Exercícios Resolvidos de Fatoração Algébrica

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Exercícios Resolvidos de Fatoração Algébrica 
 
 
Exemplo 19) Fatore c 2 - 2bc - a2 + b2 
 
Reagrupando o polinômio, teremos : b 2 - 2bc + c 2 - a2 = (b2 - 2bc + c 2) - a2 
 
O trinômio b 2 - 2bc + c 2 pode ser fatorado como : (b - c) 2 
 
E dessa forma, teremos a diferença de dois quadrado s (b - c) 2 - a2, e finalmente, teremos : 
 
(b - c) 2 - a2 = (b - c + a) (b - c - a) 
 
Exemplo 20) Fatore: 5m 8 + 10m4 - 15 
 
Percebemos que o fator 5 pode ser evidenciado, Assi m: 
 
5m8 + 10m4 - 15 = 5(m8 + 2m4 - 3) 
 
O trinômio m 8 + 2m4 - 3 não é um trinômio quadrado perfeito, mas poder á ser um trinômio de Stevin. 
E realmente o é, pois os números 3 e -1, têm por so ma 2 e por produto - 3, e a soma aparece multiplica da pela 
raiz quadrada m 4 
de m 8. 
 
Dessa forma, teremos : 5m 8 + 10m4 - 15 = 5(m8 + 2m4 - 3) = 5(m4 + 3) (m4 - 1) 
 
E como (m 4 - 1) = (m2 + 1) (m2 - 1) , e como (m 2 - 1) (m + 1)(m - 1) teremos : 5m 8 + 10m4 - 15 = 5(m4 + 3)(m2 + 1)(m 
+ 1)(m - 1) 
 
Exemplo 21) Fatore: (x - y) 2 + 2(y - x) - 24 
 
Antes de mais nada, lembremos que (x - y) 2 = (y - x) 2 ( verifique se isso é verdade ) 
 
Com isso podemos escrever a expressão dada como : ( y - x) 2 + 2(y - x) - 24 
 
Para facilitar o reconhecimento do caso de fatoraçã o, chamemos o binômio (y - x) de A, então : 
 
(y - x) 2 + 2(y - x) - 24 = A 2 + 2A - 24 
 
O trinômio não é quadrado perfeito, mas parece ser de Stevin. 
Verificando, percebemos que os números - 4 e + 6 tê m por soma + 2 e por produto - 24 e a soma + 2 apar ece 
multiplicada pela raiz 
quadrada A de A 2. 
 
E assim : A 2 + 2A - 24 = (A + 6) (A - 4) e como A = y - x, fina lmente teremos: (x - y) 2 + 2(y - x) - 24 = (y - x + 6) (y - 
x - 4) 
 
Exemplo 22) Fatore x 6 - y6 
 
1ª Resolução: Considerando uma diferença de dois cubos 
 
Como ambos são termos cúbicos, essa diferença poder á ser fatorada. 
A raiz cúbica de x6 é x2 e a raiz cúbica de y 6 é y2. Assim já temos o nosso primeiro fator x 2 - y2 
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O q uadrado de x 2 é x4 ; o produto entre x 2 e y2 é x2y2 e o 
quadrado do 
segundo é y 2 é y4. 
 
E dessa forma, teremos: 
 
x6 - y6 = (x2 - y2) ( x4 + x2y2 + y4). Como a diferença de quadrados (x 2 - y2) ainda pode ser fatorado, teremos : 
 
x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x 4 + x2y2 + y4). 
 
Se escrevermos o trinômio ( x 4 + x2y2 + y4) de uma outra forma, perceberemos que ele também p oderá ser 
fatorado. Vejamos : 
 
 x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2, que é uma diferença de dois quadrados. 
 
Assim : (x 2 + y2)2 - x2y2 = ( x2 + y2 + xy) ( x 2 + y2 - xy) = ( x 2 - xy + y 2) ( x2 + xy + y 2). E finalmente : 
 
x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x 2 - xy + y 2) ( x2 + xy + y 2) 
 
2ª Resolução: Considerando uma diferença de dois quadrados. Como ambos são quadrados, temos uma 
diferença de dois 
quadrados. 
 
A raiz quadrada de x 6 é x3 e a raiz quadrada de y 6 é y3. 
 
Assim já temos o nosso primeiro fator (x 3 + y3) e o segundo fator (x 3 - y3). 
 
Assim, teremos : x 6 - y6 = (x3 + y3) (x3 - y3) . 
Como a soma e a diferença de dois cubos (x 3 + y3) e (x3 - y3) ainda podem ser fatorados, teremos : 
 
x6 - y6 = (x3 + y3) (x3 - y3) = (x + y) ( x 2 - xy + y 2) (x - y) ( x 2 + xy + y 2) , ou ainda : 
 
x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x 2 - xy + y 2) ( x2 + xy + y 2) 
 
OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE 
 
Sempre que fatoramos uma expressão algébrica ou qua ndo efetuamos um produto notável devemos utilizar o 
sinal de identidade 
que é uma ampliação do conceito de igualdade. 
 
Vamos entender melhor essa diferenciação: 
 
Quando afirmamos que 3x + 4 = 19, sabemos que apena s o valor de x = 5 tornará verdadeira essa sentença . 
Nesse caso utilizaremos o sinal de igualdade. 
 
Quando afirmamos que 2(x + 3) = 2x + 6, percebemos que qualquer valor de x, torna essa sentença verdad eira. 
Nesse caso devemos utilizar o sinal de identidade . 
 
E escrevermos : 
 
Assim o correto seria utilizarmos o sinal de identi dade para todos os casos de produtos notáveis e, ta mbém, 
de fatoração. 
 
Assim, por exemplo : 
 
 
Fatoração Algébrica - Exercícios Propostos 
 
 
I - Fatore colocando em evidência 
 
 
II - Fatore os trinômios quadrados perfeitos 
 
 
 
III - Fatore as diferenças entre quadrados 
 
 
 
IV - Fatore os trinômios de Stevin 
 
 
 
V - Fatore as Somas ou diferenças entre dois cubos 
 
 
 
VI - Fatore por agrupamento 
 
 
 
VII - Fatore as expressões algébricas 
 
 
 
Resposta dos Exercícios Propostos de Fatoração Algébrica