LEIS DE KEPLER

Prévia do material em texto

1 Prof. Diogo Eduardo - Física 
LEIS DE KEPLER 
1º Lei 
Os planetas se movem-se em elipse sendo o Sol um dos focos. 
A força é inversamente proporcional ao quadrado da distância. 
 
1
𝑟
= 𝐵 + 𝐴. 𝑐𝑜𝑠𝜃; 𝑟1 < 𝑟 < 𝑟2 – dois pontos de retorno. 
 
𝐵 =
1
𝑎(1−𝜀2)
; 𝐴 = 𝜀. 𝐵; 𝜀 =
𝐴
𝐼𝐵𝐼
; 
1
𝑟
= 
1
𝑎(1−𝜀2)
+
𝜀
𝑎(1−𝜀2)
. 𝑐𝑜𝑠𝜃 
 
 
2º Lei 
O raio vetor que liga o Sol ao Planeta varre áreas iguais em intervalo de 
tempo iguais. 
Independente da Força Central, conservação do momento angular. 
 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= 𝜏 = 𝑟 𝑥 �⃗�; Força Central: �⃗�(𝑟) = �⃗�(𝑟)
�̂�
𝑟
; 𝜏 = 0 
 
�⃗⃗� = 𝑚. 𝑟2. �̇� → é constante, então 𝑟2 𝑒 �̇� tem que ser inversamente 
proporcional. 
 
 
*figura* 
 
 
> Analisando a geometria do problema, a área total varrida corresponde a 
 
∆𝑆 ≅ ∆𝑆1 + ∆𝑆2 = 
1
2
𝑟2. ∆𝜃 + 
1
2
. 𝑟. ∆𝑟. ∆𝜃 
 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
=
1
2
𝑟2 . �̇� =
𝐿
2.𝑚
→ CONSTANTE 
 
 
2 Prof. Diogo Eduardo - Física 
3º Lei 
Os quadrados dos períodos de movimento dos planetas são proporcionais 
aos cubos dos semi eixo maior de suas orbitas. 
 
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 
𝐿
2𝑚
 S = 
𝐿
2𝑚
. 𝑡 
 
Sabemos que a área de uma elipse é dada por S=𝜋. 𝑎. 𝑏; área varrida! 
𝑏 = 𝑎. √1 − 𝜀2; 𝑎 =
𝑘
2𝐸0
; 𝜀 =
𝐴
𝐼𝐵𝐼
; 𝐵2 =
𝑚2.𝑘2
𝐿2
; 
𝜀2 = 1 + 2
𝐸0.𝐿
2
𝑚.𝐾2
; 𝑏 = 𝑎. √2
𝐸0.𝐿2
𝑚.𝐾2
 𝑏 = 𝑎. √
𝐿2
𝑎.𝑚.𝐾
; logo 𝑆 = 𝜋. 𝑎2. √
𝐿2
𝑎.𝑚.𝐾
 
 
- Igualando os S, teremos: 
(𝜋. 𝑎2. √
𝐿2
𝑎. 𝑚. 𝐾
)2 = (
𝐿
2𝑚
. 𝑡)2 
𝑻𝟐 =
4. 𝑚. 𝜋2
𝐾
𝒂𝟑