Apostila 3

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FÍSICA - ELETRICIDADE
UNIDADE 3 - CIRCUITOS
Laura Cristina Duarte
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Introdução
É praticamente impossível nos dias de hoje, imaginar nossas vidas sem o uso da eletricidade. Fazemos parte de
uma sociedade industrializada que depende da eletricidade tanto coletivamente como individualmente. O
próprio desenvolvimento tecnológico só é possível graças a eletricidade; um dos primeiros grandes feitos, foi a
invenção da lâmpada por Thomas Alva Edison em 1879. Esse cientista realizou uma ‘revolução’ para a época, ao
iluminar uma rua inteira da cidade de Nova York. Além de cientista, Thomas era empresário, o que corroborou
para que seu invento não demorasse a gerar grandes lucros na fabricação de equipamentos eletrônicos e na
distribuição de eletricidade.
Mas, você já se perguntou o que acontece no interior de um equipamento eletrônico ao ser conectado a uma
fonte de eletricidade? Para entender o funcionamento desses aparatos, no decorrer da unidade vamos aprender
alguns conceitos como corrente elétrica, diferença de potencial elétrico, energia elétrica e os tipos de ligações em
circuitos.
Além disso, você sabe como calcular a energia elétrica que você consome no seu dia-a-dia? Necessitamos, nesse
caso, aprender sobre a potência dos equipamentos, uma vez que quanto maior essa grandeza, mais energia
elétrica um aparelho consome.
Além das inúmeras contribuições que o descobrimento da eletricidade forneceu, ainda hoje existem diversas
pesquisas nesse ramo. Por exemplo, partículas carregadas são constantemente emitidas do Sol e podem
interferir no funcionamento dos satélites, o que acarretaria uma falha no sistema de comunicação terrestre; no
ramo da biologia, o impulso nervoso é o que permite que um estímulo seja percebido e uma resposta seja
enviada ao corpo. Esse impulso nada mais é do que uma corrente elétrica. Portanto, ao compreender fenômenos
em que essa grandeza está envolvida, podemos olhar a nossa volta e perceber as inúmeras aplicações existentes
nessa área.
3.1 Definição de corrente elétrica
Em fios condutores; feitos mais comumente de cobre ou de aço; existem um grande número de elétrons livres
(elétrons de condução). Entretanto, antes de conectar o fio a uma fonte de energia, essas partículas apresentam
um movimento aleatório com uma velocidade média de m/s, o qual não pode ser considerado uma corrente
elétrica. Como o movimento é desordenado, o fluxo líquido de carga que atravessa determinada área é
praticamente nulo, uma vez que existem cargas se movimentando em sentidos diferentes. Portanto, só existe
corrente quando há um movimento ordenado (direcionado) de cargas. Então, por que ao conectarmos o fio à
bateria o movimento se ordena? Nesse caso, os polos opostos da fonte criam um campo elétrico, o que faz com
que as cargas ali presentes se movimentem a favor ou contra o campo, dependendo do sinal que elas têm.
Para que uma lâmpada acenda, o chuveiro funcione ou o celular carregue é necessário que flua uma corrente
elétrica nesses dispositivos. Quais as características dessa corrente? Como ela é gerada? Discutiremos esses
assuntos no decorrer da unidade.
3.1.1 Corrente elétrica – Movimento de cargas
Observe a figura abaixo. Parte a). Um fio condutor possui diferença de potencial zero em todos os pontos,
portanto nenhum campo elétrico pode ser gerado para orientar o movimento de seus elétrons de condução.
Parte b) o fio é ligado aos terminais de uma fonte de energia (nesse caso uma bateria), o que produz uma
diferença de potencial entre os pontos onde o fio está conectado. Através disso, a bateria cria um campo elétrico
no interior do fio, o que provoca o movimento ordenado de cargas elétricas no circuito. Esse movimento é
chamado de corrente elétrica e denominada ( ). (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016).i
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Figura 1 - a) Fio sem conexão a bateria. Não existe campo elétrico. b) Bateria após ser conectada, a diferença de 
potencial entre os polos cria o campo que força os elétrons a se movimentarem em determinada direção.
Fonte: HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016. p 141.
Depois de um certo tempo de conexão com a bateria o movimento das cargas atinge o regime estacionário, ou
seja, deixa de variar com o tempo. A figura abaixo mostra uma pequena seção do fio condutor, parte de um
circuito. No regime estacionário, a corrente que passa pelos planos imaginário é a mesma que passa pelosaa’
plano e . Ou seja, o mesmo número de cargas passa por essas regiões em um mesmo intervalo debb’ cc’ (dq)
tempo . (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). Assim, a corrente que atravessa esses planos é definida(dt ) i
como:
 (1)
Figura 2 - Pequena seção de um fio condutor componente de um circuito. A corrente elétrica no regime 
estacionário é a mesma em qualquer seção , e .aa’ bb’ cc’
Fonte: HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016. p 141.
Integrando a equação (1) encontramos que a carga que passa pelo plano em um intervalo de tempo de 0 a é:t
 (2)
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 (2)
A unidade de corrente elétrica no SI é Coulomb por segundo, também chamada Ampère, designado pela letra : A
Dessa maneira, quando se diz que um aparelho “puxa” uma corrente de “30A”, significa que a cada1A = 1 C/s. 
seção da fiação passam 30 Coulombs de carga a cada segundo.
Na figura que ilustra a bateria após ser conectada, a diferença de potencial entre os polos cria o campo que força
os elétrons a se movimentarem em determinada direção, percebe-se que o sentido da corrente é: saindo do polo
positivo da bateria e entrando no polo negativo. Essa é uma convenção histórica e não haveria problema em
fazer-se a definição ao revés. No entanto, para a resolução de exercícios é importante padronizar um único
sentido e assim, sempre adotamos a escolha de positivo para negativo como o sentido da corrente.
3.1.2 Resistência e resistividade
Condutores diferentes, quando submetidos a uma mesma diferença de potencial, podem apresentar
comportamentos completamente distintos. Isso nos induz a pensar que deve haver alguma propriedade, que
interfere nesse comportamento. Essa característica do material, quando submetido a uma tensão (diferença de
potencial) é denominada resistência elétrica ( ). Essa grandeza pode ser medida submetendo um dispositivoR
condutor a uma diferença de potencial e medindo a corrente resultante. A relação entre a resistência, diferença
de potencial e corrente elétrica é dada pela expressão
 (3)
A definição (3) mostra que possui alta resistência elétrica, um material que percorrido uma diferença de
potencial elevada é percorrido por uma corrente elétrica de baixa intensidade. Assim, os resistores que são
introduzidos nos circuitos elétricos, nada mais são que condutores que têm como função introduzir uma certa
resistência a passagem da corrente. Esses elementos transformam a energia elétrica em energia térmica e
geralmente em um circuito se representam com o símbolo . (HALLIDAY; RESNICK; WALKER,
2016).
Além disso, observando essa mesma equação, percebe-se que a unidade no SI de resistência é o Volt por Ampère,
comumente chamada ohm (Ω). Assim, 1 Ω = 1V/A. O quadro abaixo evidencia as unidades e propriedades das
grandezas apresentadas.
Quadro 1 - Grandezas físicas relevantes nos circuitos elétricos e suas unidades no SI.
Fonte: Elaborada pela autora, 2019.
A Muitas vezes, vamos encontrar como característica física de um material a sua resistividade, denominada .
Essa grandeza não é dependente de tensão, nem de corrente e é uma propriedade intrínseca do material,
definida como:
 (4)
em que é o módulo do campo elétrico em algum ponto do material resistivo e a densidade de correnteE J
distribuída em uma unidade de área do condutor. (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). As unidades dessa
grandeza no SI o Ω×m.
Analogamente, ao inverso da resistividade, denomina-se a condutividade de um material, dada por:
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Analogamente, ao inverso da resistividade, denomina-se a condutividade de um material, dada por:
 (5)
cuja unidade fundamental é o , muitas vezes chamado de mho. A tabela abaixo mostra a resistividade de
alguns materiaiscomuns.
Quadro 2 - Materiais e suas respectivas resistividades. As condutividades podem ser inferidas a partir da 
equação (5).
Fonte: Elaborada pela autora, baseada em HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016. p 148.
Assim, um isolante típico como o vidro, com alta resistividade, se opõe a passagem de portadores de carga
elétrica. É importante levar em conta que a resistividade varia de forma quase linear com a temperatura, assim, a
resistividade dos materiais geralmente é fornecida para uma temperatura de 20 C, como no caso do quadro
acima.
A supercondutividade é um fenômeno pelo qual, baixando muito a temperatura dos condutores sua resistividade
se anula, tornando esse material um supercondutor. A temperatura sob a qual um material se torna um
supercondutor é próxima do zero absoluto e varia de acordo com o metal.
VOCÊ SABIA?
Apesar de ser comum que a resistência de um metal aumente com a temperatura, existem
materiais em que essa quantidade diminui conforme aumentamos a temperatura. Os principais
exemplos são o carbono e o telúrio. Isso acontece porque o coeficiente , que mede a variação
da resistividade do material, com a mudança de temperatura é negativo e portanto, de acordo
com a equação abaixo, sua resistividade diminui, o que acarreta em uma diminuição da
resistência.
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3.1.3 Cálculo da resistência a partir da resistividade
Um ponto importante é que apesar de semelhante no nome e nas propriedades, resistência e resistividade são
duas coisas diferentes. Enquanto a primeira diz respeito a uma propriedade de um dispositivo condutor, a
segunda é relativa e intrínseca ao material.
É possível calcular a resistência a partir da resistividade: suponha que em um fio de comprimento e seção L A
(espessura do fio) seja aplicada uma diferença de potencial , de maneira que uma corrente uniforme comece aV i
fluir através desse condutor. Conhecendo que o modulo do campo elétrico no fio vale e que a densidade
de corrente , podemos utilizar as equações (3) e (4) para encontrar a resistência no fio. (TIPLER, 2009).
Vejamos:
o que fornece,
 (6)
de acordo com (6), ao aumentar o comprimento de um fio feito com um material de resistividade , mantendo
constante a sua área de seção A, a resistência aumenta.
A relação entre a resistência elétrica e a resistividade do material é conhecida como a segunda Lei de Ohm.
3.2 Leis de Ohm
Imagine que o resistor da figura a seguir esteja ligado a uma bateria de 6.0V e seja percorrido por uma corrente
de 0.3A. Se a bateria for substituída por outra que promove uma d.d.p 12 V, o que acontecerá com a intensidade
da corrente? Vejamos qual é a relação entre corrente e diferença de potencial aplicada, para responder a essa
pergunta.
3.2.1 Influência da d.d.p na resistência elétrica
Já vimos anteriormente que a d.d.p aplicada no terminal de um condutor é responsável pelo aparecimento da
corrente elétrica; é de se esperar então que aumentando a d.d.p aumentemos também a corrente elétrica. No
entanto, será esse aumento proporcional? Vamos observar a figura abaixo para responder a essa pergunta.
Figura 3 - Corrente elétrica em função da diferença de potencial. Percebe-se uma relação linear entre as 
grandezas, características de resistores ôhmicos.
Fonte: HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016. p 151.
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A figura acima, mostra em função de para certo dispositivo eletrônico. Como existe uma relação linear entrei V
as grandezas, a inclinação da reta, razão ), é a mesma para qualquer ponto do gráfico. Conclui-se assim, que(i/V
essas grandezas são proporcionais; logo, aumentando , aumentamos também a corrente elétrica que percorre oV
material para que a razão se mantenha constante. Essa razão nada mais é do que o inverso da resistência ( ).1/R
Assim, enunciamos a lei de Ohm da seguinte maneira:
“Para um condutor metálico mantido a temperatura constante, a corrente que o atravessa é sempre diretamente
proporcional a diferença de potencial aplicada aos seus terminais”. (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016. p
151).
 (7)
Portanto, a lei de ohm relaciona as principais grandezas físicas medidas em circuitos elétricos. Por meio dela,
podemos analisar e quantificar a corrente que atravessa um dispositivo se conhecemos a tensão a qual o
aparelho está ligado e a resistência que faz parte do sistema.
3.3 Associação de resistores
Para utilizar os aparelhos elétricos, não é necessário nenhum conhecimento em eletricidade e nas ligações entre
os circuitos. Entretanto, com o estudo que vamos desenvolver no decorrer da unidade, deixaremos a condição de
meros usuários e passaremos a entender as quantidades que fazem parte da fiação elétrica de nossa residência,
por exemplo.
Um circuito corresponde a um sistema no qual ocorre transferência de energia de um elemento (o gerador) para
outro (o receptor). A transferência é realizada por cargas elétricas. Nessa seção vamos estudar os circuitos
formados por geradores (as fontes de energia, fontes de força eletromotriz) e por resistores, que, conforme já
vimos, transformam a energia elétrica em energia térmica.
Os geradores são responsáveis por manter uma diferença de potencial entre dois terminais e dessa maneira,
manter uma corrente estacionária em algum dispositivo. Esses dispositivos geralmente são chamados fontes de
tensão, e produzem uma força eletromotriz o mesmo que submeter as cargas elétricas a uma diferença de
potencial. (JOHN; RAYMOND, 2014). Existem várias fontes de força eletromotriz, como pilhas, baterias, células
solares etc.
Com relação aos outros componentes de um circuito, os resistores, vamos nesse tópico inserir uma breve
VOCÊ QUER VER?
A universidade do Colorado desenvolveu um software muito eficaz em simular experimentos
físicos. Você pode acessar este link < >,https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/ohms-law
para aprender na prática a Lei de Ohm. Em um circuito simples, na simulação, é possível
ajustar a tensão e a resistência e observar a mudança na corrente elétrica. Em outra simulação,
presente aqui < >, vocêhttps://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/legacy/battery-voltage
poderá observar por dentro o funcionamento de uma bateria, como se movem os portadores
de carga e a leitura do voltímetro. Já neste link <https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations
>, são encontradas todas as simulações/category/physics/electricity-magnets-and-circuits
pertencentes a essa unidade. Não perca tempo para observar na prática os fenômenos físicos
estudados e ampliar o seu entendimento!
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/ohms-law
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/legacy/battery-voltage
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/category/physics/electricity-magnets-and-circuits
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/category/physics/electricity-magnets-and-circuits
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Com relação aos outros componentes de um circuito, os resistores, vamos nesse tópico inserir uma breve
discussão sobre esses componentes.
3.3.1 Fontes de força eletromotriz
Para manter uma tensão constante entre os polos de um condutor é necessária uma fonte de força eletromotriz, 
. Manter uma diferença de potencial é o mesmo que bombardear cargas em um circuito, mantendo assim uma
corrente elétrica.
A força eletromotriz é também medida em Volts, assim como a tensão. O que geralmente causa confusão é: por
que definir força eletromotriz se já definimos tensão? Não são a mesma grandeza? Para compreender a diferença
entre essas duas grandezas, observe o circuito da figura abaixo:
Figura 4 - Uma bateria real sempre possui uma resistência interna , o que dissipa parte da energia fornecida. r
Portanto, a tensão nos terminais não é igual a força eletromotriz.
Fonte: JOHN; RAYMOND, 2014. p 106.
Uma bateria fornece uma força eletromotriz ao sistema. No entanto, os geradores sempre possuem uma
resistência interna , assim, parte da diferença de potencial total fornecida é consumida por esse dispositivo. A
tensão real entre os terminais e é:a d
 (8)
ao analisar o circuito, vemos que existe outro componente, a resistência A diferença detensão é a mesmaR. 
sofrida nesse resistor, portanto,
 (9)
e a corrente distribuída pelo circuito é:
 (10)
dessa maneira, uma resistência interna sempre corrobora para que a corrente entregue seja menor. Geralmente,
os resistores internos transformam a energia elétrica em energia térmica, portanto, se , parte significativa
da energia fornecida pela fonte é consumida pela resistência interna permanecendo na bateria que se aquecerá.
(TIPLER, 2009).
Uma das fontes mais comuns e mais antigas de força eletromotriz são as fontes químicas, como as pilhas. Nesses
dispositivos a energia contida nas moléculas e nas ligações entre elas (energia química) é convertida em energia
elétrica. A reação de oxirredução entre os metais do polo positivo (em pilhas comuns, o zinco) e o negativo
(grafite) e a solução com a qual estão em contato, são responsáveis pelo aparecimento e manutenção de uma
diferença de potencial entre os terminais, consequentemente mantendo uma corrente elétrica no circuito.
(GUIMARÃES; FONTE BOA, 2010).
Hoje já temos várias fontes alternativas para conversão em energia elétrica. Usinas que utilizam a energia
térmica proveniente do sol, assim como dos ventos e das marés são alternativas que substituem as fontes
convencionais. Apesar do alto custo de implementação, essas fontes são vantajosas, porque não geram poluição e
são inesgotáveis. Para se ter noção, a energia solar que atinge o planeta em uma hora equivale ao consumo
durante todo o ano de toda a população do planeta. Obviamente, não é possível aproveitar toda a energia
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durante todo o ano de toda a população do planeta. Obviamente, não é possível aproveitar toda a energia
proveniente do sol, mas a partir disso, você pode ter ideia de como recursos alternativos de energia podem ser
uma opção!
3.3.2 Resistores
Resistores são dispositivos utilizados para controlar a passagem da corrente elétrica em um circuito ou dividir a
tensão. Muitas vezes, convertem energia elétrica disponibilizada pela fonte de tensão em energia térmica, por
exemplo, os chuveiros elétricos e os aquecedores. Existem especificações técnicas dos resistores, fornecidas pelo
fabricante e que auxiliam os responsáveis pelas instalações elétricas.
Alguns pontos do texto são bastante técnicos e mais importantes para quem tem interesse na área de Engenharia
Elétrica, pois nesse caso é imprescindível saber aplicar as especificidades de um componente para a completa
formação e estruturação do circuito elétrico.
3.4 Potência elétrica
Você gostaria de saber o gasto de energia elétrica em sua residência, quanto paga e pelo que está pagando?
Agora vamos introduzir o conceito que nos ajudará a responder essa pergunta, começaremos entender sobre
potência elétrica.
3.4.1 Potência e energia elétrica
Potência é a grandeza física que mede a energia elétrica transformada por segundo em um aparelho. Por
exemplo, ao completar um circuito como o da bateria após ser conectada, a carga tem seu potencial dq V
reduzido, portanto, a energia potencial também diminui segundo a relação:dU
 (11)
De acordo com a lei de conservação de energia, a energia potencial é transformada em outra forma de energia. A
Potência (P) mede a taxa de transferência de energia, (dU/dt), expressa de acordo com a equação (11) por:
 (12)
portanto, a potência elétrica é a grandeza utilizada para medir o consumo de energia por unidade de tempo. No
que diz respeito a conversão de energia, tem-se conversão da energia elétrica em energia mecânica, em energia
térmica, de acordo com o componente para o qual a potência é entregue. (TIPLER, 2009).
Observando a equação (12), a unidade de potência no SI é o Volt × Àmpere, denominado Watt ( ), 1 = W V×A 1W.
Os elétrons no interior do material condutor (um resistor, por exemplo) ao sofrerem a ação da força elétrica,
transformam parte da energia potencial elétrica obtida em energia térmica. Isso se deve ao fato de que essas
cargas elétricas estão constantemente chocando-se com os átomos do resistor, o que leva a um aumento da
temperatura do dispositivo. A taxa de dissipação de energia elétrica em energia térmica, também chamada efeito
VOCÊ QUER LER?
Para quem têm o interesse em aprofundar na área de elétrica é importante conhecer todas as
características de um resistor. Acessando este link <https://wiki.sj.ifsc.edu.br/wiki/images/7
>, desenvolvido pelo Instituto Federal de Santa Catarina,/77/ELI_Lab3_Resistor_Matriz.pdf
você encontra os principais aspectos desses componentes.
https://wiki.sj.ifsc.edu.br/wiki/images/7/77/ELI_Lab3_Resistor_Matriz.pdf
https://wiki.sj.ifsc.edu.br/wiki/images/7/77/ELI_Lab3_Resistor_Matriz.pdf
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cargas elétricas estão constantemente chocando-se com os átomos do resistor, o que leva a um aumento da
temperatura do dispositivo. A taxa de dissipação de energia elétrica em energia térmica, também chamada efeito
Joule, pode ser obtida combinando as equações (7) e (12):
 (13)
Essa equação só é válida quando se tem uma conversão de energia elétrica em térmica, portanto, não é geral
como a equação (12), válida em qualquer situação. (TIPLER, 2009).
Portanto, de maneira simples, podemos relacionar a energia medida no Sistema Internacional de Unidades em
Joules, com a quantidade que estamos acostumados a visualizar nas contas de energia elétrica, o quilowatt-hora
(kWh). Através dessa grandeza é possível estimar o valor pago nas contas de energia elétrica.
3.5 Circuitos elétricos
Circuitos são ligações formadas entre cabos, dispositivos que controlam a passagem da corrente elétrica, como
os resistores, uma fonte que fornece a força eletromotriz que alimenta o sistema entre outros aparatos que
fogem do escopo dessa unidade. No decorrer dessa seção, trataremos de entender como funcionam as ligações
em série e em paralelo entre resistores e como calcular as grandezas físicas associadas a esse tipo de ligação.
CASO
Quando você lê as informações contidas na caixa de uma lâmpada, pode encontrar por
exemplo: Essas características dizem ao consumidor que ligando a lâmpada a100W – 127V. 
uma rede de 127 V, geralmente encontrada nas residências, ela gerará uma potência de 100W.
Ou, em outras palavras, transformará uma energia de 100J para cada segundo que estiver
acesa. Portanto, a cada hora acesa, a lâmpada transformará 360000J de energia elétrica em
outros tipos de energia, como térmica e luminosa. No entanto, a fatura de energia elétrica
emitida pelas companhias, fornece o valor a ser pago e a quantidade de energia consumida em
quilowatt-hora (kWh). Um kWh é a energia consumida por um equipamento de 1000W
funcionando durante uma hora. Portanto, para obter o consumo em kWh da lâmpada de 100W
basta fazer a relação de proporcionalidade:
Assim, a lâmpada ao consumir 360000J em uma hora, consome um valor correspondente a 0.1
kWh portanto, podemos estabelecer a seguinte relação entre as duas unidades:
O consumidor pode calcular a quantidade de energia que consumiu por meio da relação:
Se a potência for expressa em quilowatt (kW) e o intervalo de tempo em horas, a energia será
automaticamente expressa em quilowatt-hora (kWh). Para encontrar o valor a ser pago, basta
multiplicar a energia consumida pelo custo X que cada companhia cobra por quilowatt-hora
(kWh) consumido:
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3.5.1 Resistências em série e circuitos com uma malha
Para entender o funcionamento de um circuito em série, observe a figura abaixo. Nesse tipo de associação, os
resistores estão conectados um após o outro, e uma diferença de potencial é aplicada nas extremidades da
ligação. Como só existe um caminho para que a corrente percorra o circuito, cada carga terá que passar
obrigatoriamente por e , deixando parte de sua energia em cada um dos resistores. (GUIMARÃES; FONTE
BOA, 2010).
Figura 5 - Associação de resistores em série. A corrente que passa por cada resistor é a mesma e a diferença de 
potencial é dividida entre eles, de acordo com o valor da resistência.
Fonte: HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016. p 163.
Consequentemente:
a corrente é igual nos dois resistores eé a mesma que o gerador envia para a associação em série:
= (14);
a d.d.p é dividida pelos resistores:
 = (15);
assim, a maior resistência fica com a maior parcela da diferença de potencial, pois, V=Ri.
A resistência equivalente é dada pela soma individual das resistências:
 (16).
3.5.2 Resistência em paralelo e circuitos com mais de uma malha
Para compreender o funcionamento de uma ligação em paralelo observe a figura abaixo. Nesse tipo de
associação, a corrente possui mais de um caminho a percorrer e pode passar por um resistor sem
necessariamente passar por outro. Cada carga passa por um resistor, deixando nele toda a sua energia.
VAMOS PRATICAR?
É comum, no pisca-pisca de Natal, observar que quando uma das luzes queima, todo o conjunto
de luzes que estão dispostas depois dessa defeituosa, deixa de operar. Porque isso acontece?
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Figura 6 - Circuito associado em paralelo. Todos os resistores apresentam a mesma queda de potencial e a 
corrente se divide em cada ramificação do circuito.
Fonte: JOHN; RAYMOND, 2014. p 110.
Clique na interação a seguir e veja o que temos:
A diferença de potencial é a mesma nos resistores do circuito e igual àquela mantida pela bateria:
 = .
A corrente fornecida pelo gerador se divide em cada nó:
 = .
Portanto, a maior parcela de corrente, passa no condutor com menor resistência como consequência da lei de
ohm.
A maior potência será dissipada pela menor resistência / .
A resistência equivalente do circuito é:
Vamos demonstrar a relação da resistência equivalente em circuitos ligados em paralelo. Começando com a
definição de resistência equivalente, a partir das relações entre resistência e voltagem tem-se:
O que consequentemente nos leva a seguinte relação:
Generalizando para um sistema com resistências:n 
 (17);
assim, a resistência equivalente é menor do que a menor das resistências.
Pelo funcionamento de lâmpadas e aparelhos elétricos em uma residência, percebe-se que suas ligações são
independentes. Ou seja, se uma lâmpada queimar, isso não afetará o desempenho de outros aparelhos. Nesse
caso, os dispositivos são ligados de maneira a terem a mesma tensão, ou seja, em uma residência, geralmente se
encontram ligações em paralelo.
3.6 Leis de Kirchhoff
Existem situações em que não é simples diferenciar entre ligações em série e em paralelo. Além disso, o sistema
pode ser formado por inúmeras ramificações onde a corrente se divide, o que torna complexo a determinação
dessa grandeza. Visto isso, físico alemão Gustav Robert Kirchhoff estabeleceu um conjunto de leis que facilitam a
resolução de problemas.
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As Leis enunciadas por este cientista são apresentadas na interação a seguir. Clique para ver.
Lei das malhas: a soma algébrica das variações de potencial encontradas ao percorrer uma malha fechada é
sempre zero.
Isso ocorre porque estamos percorrendo um circuito fechado, ou seja, saindo e voltando a origem de um ponto
com mesma diferença de potencial.
Lei das resistências: Ao atravessar a resistência no sentido da corrente, a variação do potencial é -Ri.
Consequentemente, se passamos pela resistência no sentido contrário, a queda de tensão é Ri.
O potencial deve diminuir se o sentido convencional da corrente é saindo do polo positivo ao negativo. Estamos
passando de um lado de potencial mais alto para um outro mais baixo.
Lei das fontes: Quando atravessamos uma fonte de força eletromotriz do terminal negativo para o positivo, a
variação do potencial é + . Se percorremos o sentido oposto, a variação é - .
Lei dos nós: a soma das correntes que saem de um nó deve ser igual a soma das correntes que saem de um nó.
Primeiramente, um nó é um ponto de ramificação do circuito, onde existem um ou mais fios condutores ligados
ao mesmo ponto. Essa regra remete a conservação da carga, ou seja, nenhuma carga é criada ou destruída nos
nós do circuito, portanto o “fluxo” de carga que entra deve ser igual ao que sai.
Vamos aplicar algumas dessas regras ao circuito da figura de associação de resistores em série:
 (18).
Nesse caso, a resistência equivalente é sempre maior que a maior das resistências.
3.7 Circuito RC
Capacitores são dispositivos que armazenam carga elétrica. Nesses aparelhos as cargas podem variar com o
tempo, portanto, as correntes também. Sendo assim, a análise desses objetos em circuitos com resistores deve
levar em consideração esse tipo de característica.
3.7.1 Carga de um capacitor
A figura abaixo mostra um circuito RC em série, formado por uma resistência, uma fonte de força eletromotriz,
um capacitor e uma chave S que controla o processo de carga e descarga do capacitor. (HALLIDAY; RESNICK;
WALKER, 2016).
VOCÊ O CONHECE?
Gustav Robert Kirchhoff nasceu em Königsberg, Prússia (atualmente Kaliningrado, Rússia) no
ano de 1824. Suas contribuições científicas são principalmente na área de circuitos elétricos,
elasticidade e radiação de corpo negro. Além de propor as Leis para a determinação da
corrente e diferença de potencial em um circuito (Leis de Kirchhoff), foi também esse cientista
quem propôs a lei da emissão de radiação térmica, posteriormente explicada por Niels Bohr, o
que contribuiu de forma significativa no surgimento da Mecânica Quântica.
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Figura 7 - Circuito RC em série. Quando a chave S é colocada na posição , o processo de carga de inicia. Na a
posição , o capacitor se descarrega.b
Fonte: HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016. p 182.
Quando a chave é fechada na posição , a corrente começa a circular no circuito e o capacitor começa o processoa 
de carga. Cada placa do capacitor acumula uma carga de forma que uma diferença de potencial éq
estabelecida. A corrente deixa de circular quando a diferença de potencial no capacitor é igual a diferença de
potencial da fonte, de maneira que a carga final máxima atingida é .
Aplicando a regra das malhas é possível ver o processo de carga do capacitor e como as quantidades relevantes,
carga, corrente e diferença de potencial, variam no tempo. (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). Partindo do
terminal negativo em sentido horário, podemos aplicar a lei das malhas para obter:
 (19).
Levando em consideração que a corrente elétrica é igual a variação da carga elétrica no tempo, , podemos
eliminar uma variável em (19) para ficar com um sistema de apenas uma equação e uma incógnita:
 (20)
A equação (20) é uma equação diferencial que representa o carregamento de um capacitor. Para resolvê-la
necessitamos conhecer as condições iniciais do sistema, nesse caso, que a carga é zero em , pois o capacitort=0
encontra-se inicialmente descarregado. (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). A solução para essas condições
mostra que a variação da carga do capacitor de acordo com o tempo é dada por:
Multiplique essa equação por , e divida por , integrando a condição inicial para os limites de integração:
A partir da definição de logaritmo natural, a expressão acima pode ser escrita como
 (21).
Observe que as condições iniciais são satisfeitas, em a carga é 0 e quanto tende ao ∞ a carga é máxima.t=0 t
Para encontrar a variação da corrente no processo de carga, basta derivar a equação (21). Portanto temos:
 (22).
Novamente as condições iniciais são satisfeitas, quando tende ao ∞ a corrente tende a 0 e se a corrente é at t=0 
máxima fornecida pela bateria A relação da diferença de potencial entre as placas do capacitor é encontrada. 
utilizando a equação da carga (20):
 (23).
De acordo com (23), se tende ao ∞ o capacitor tem carga máxima, portanto . A relação que aparecet
nas equações anteriores tem dimensão de tempo e é denominada constante de tempo capacitiva, .
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3.7.2 Descarga de um capacitor
Com o capacitor da figura circuito RC em série totalmente carregado, mudamos a chave S para a posição em umb 
instante de tempo . Nessa situação esse dispositivo começa a descarregar através da resistência Para R. 
encontrar as expressões para a variação da carga e da corrente utilizamos outra vez a lei das malhas. No entanto,
a fonte de força eletromotriz , não participa do circuitonessa situação:
 (24);
resolvendo a equação diferencial tem-se,
 (25).
Portanto, o capacitor se descarrega com o aumento do tempo, ou da constante de tempo capacitiva. Derivando
(25) temos a relação para a corrente enquanto o capacitor se descarrega:
 (26).
A corrente também diminui com o decorrer do tempo, o que simplesmente enfatiza que o capacitor está sendo
descarregado.
Síntese
O conteúdo Circuitos dentro da unidade Física - Eletricidade é importante principalmente no ramo das
Engenharias. As aplicações em instalações são inúmeras e por isso é tão importante conhecer cada aparato e
cada grandeza física associada às ligações estudadas. Assim, chegamos ao final da unidade sobre circuitos
elétricos.
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
• entender como uma corrente elétrica é gerada;
• conhecer quais são os principais componentes de um circuito elétrico e como eles funcionam;
• compreender como a energia elétrica pode ser transformada em energia térmica;
• analisar a relação de custo pago por energia elétrica em sua residência dependendo da energia gasta e 
do preço pago por quilowatt-hora (kWh);
• perceber as principais diferenças entre circuitos resistivos conectados em série e em paralelo;
• aplicar a lei das malhas de Kirchhoff em circuitos simples;
• verificar o processo de carga e descarga de um capacitor e como isso influencia nos demais componentes 
VAMOS PRATICAR?
Caro estudante, para que você possa se apropriar cada vez mais dos conhecimentos adquiridos
nesta unidade, disponibilizamos uma lista de exercícios. Realize as atividades e, na sequência,
confira as respostas.
Lembre-se: a prática é um dos caminhos mais assertivos para se ter domínio sobre os
conceitos aprendidos. Bons estudos!
Clique aqui para acessar os exercícios.
Clique aqui para acessar as resoluções.
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https://laureatebrasil.blackboard.com/bbcswebdav/institution/laureate/conteudos/ENG_FISELE_19/unidade_3/ebook/ENG_FISELE_19_E_3_exercicios.pdf
https://laureatebrasil.blackboard.com/bbcswebdav/institution/laureate/conteudos/ENG_FISELE_19/unidade_3/ebook/ENG_FISELE_19_E_3_gabarito.pdf
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• verificar o processo de carga e descarga de um capacitor e como isso influencia nos demais componentes 
de um circuito.
Bibliografia
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https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/category/physics/electricity-magnets-and-circuits
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https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/legacy/battery-voltage
https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/legacy/battery-voltage
	Introdução
	3.1 Definição de corrente elétrica
	3.1.1 Corrente elétrica – Movimento de cargas
	3.1.2 Resistência e resistividade
	3.1.3 Cálculo da resistência a partir da resistividade
	3.2 Leis de Ohm
	3.2.1 Influência da d.d.p na resistência elétrica
	3.3 Associação de resistores
	3.3.1 Fontes de força eletromotriz
	3.3.2 Resistores
	3.4 Potência elétrica
	3.4.1 Potência e energia elétrica
	3.5 Circuitos elétricos
	3.5.1 Resistências em série e circuitos com uma malha
	3.5.2 Resistência em paralelo e circuitos com mais de uma malha
	3.6 Leis de Kirchhoff
	3.7 Circuito RC
	3.7.1 Carga de um capacitor
	3.7.2 Descarga de um capacitor
	Síntese
	Bibliografia