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Matéria: Raciocínio Lógico 
Professor: Alex Lira 
 
 
 
Matéria: Raciocínio Lógico 
Teoria e questões comentadas 
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SUMÁRIO 
RAZÃO ................................................................................................ 4 
1. Conceito .......................................................................................... 4 
2. Razões Iguais ................................................................................... 6 
2. Razão Inversa .................................................................................. 6 
3. Simplificação de uma razão ................................................................ 7 
4. Razões Especiais ............................................................................... 8 
4.1. Velocidade Média ........................................................................... 8 
4.2. Densidade Demográfica ................................................................ 11 
4.3. Escalas ....................................................................................... 11 
4.3.1. Propriedades das escalas ............................................................ 13 
PROPORÇÃO ...................................................................................... 14 
1. Conceito ........................................................................................ 14 
2. Propriedades das Proporções ............................................................ 17 
3. Terceira Proporcional ....................................................................... 20 
4. Quarta Proporcional ........................................................................ 21 
5. Proporção Contínua ......................................................................... 21 
NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS ........................................... 22 
1. Introdução ..................................................................................... 22 
2. Grandezas Diretamente Proporcionais ............................................... 22 
3. Grandezas Inversamente Proporcionais ............................................. 25 
DIVISÃO PROPORCIONAL .................................................................... 31 
1. Introdução ..................................................................................... 31 
2. Divisão em Números Diretamente Proporcionais ................................. 31 
3. Divisão em Números Inversamente Proporcionais ............................... 38 
4. Conceito Misto – Divisão Direta e Inversamente Proporcional ............... 44 
REGRA DE SOCIEDADE ........................................................................ 50 
REGRA DE TRÊS ................................................................................. 59 
1. Regra de Três Simples ..................................................................... 62 
2. Regra de Três Composta .................................................................. 66 
PORCENTAGEM ................................................................................... 69 
1. Introdução ..................................................................................... 70 
2. Formas de representação ................................................................. 70 
3. Cálculo da porcentagem de um número ............................................. 72 
Aula – Raciocínio Matemático (parte 2) 
 
 
 
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4. Operações sobre mercadorias ........................................................... 75 
5. Aumentos e descontos percentuais.................................................... 80 
6. Aumentos e descontos percentuais sucessivos .................................... 84 
7. Percentual incluído .......................................................................... 87 
8. Variação Percentual ......................................................................... 88 
QUESTÕES COMENTADAS .................................................................... 91 
 
 
 
 
 
 
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RAZÃO 
 
 
1. Conceito 
Inicialmente, é de grande importância conhecermos o conceito de Razão: 
 
A razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo segundo. 
 
Portanto, meu amigo, quando aparecer a palavra “razão” no âmbito da 
matemática, devemos sempre nos lembrar de que haverá uma divisão! 
A razão de a para b é representada como: 
𝒂
𝒃
 𝒐𝒖 𝒂 ∶ 𝒃 (𝐜𝐨𝐦 𝐛 ≠ 𝟎) 
 
Em que a é chamado antecedente e b é chamado consequente da razão 
dada. 
 
Como você pode perceber, uma razão é também representada por uma fração. 
Porém, não deve ser lida como se fosse um número racional. Observe: 
 
 
 
 
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Dessa maneira, percebemos que Razão, em matemática, é uma forma utilizada 
para comparar grandezas com a mesma unidade de medida, o que a torna 
uma grandeza adimensional. 
 
 
1- (FCC/TRF - 1ª Região/Téc Judic/2001) Para o 
transporte de valores de certa empresa são usados dois veículos, A e B. Se a 
capacidade de A é de 2,4 toneladas e a de B é de 32 000 quilogramas, então a 
razão entre as capacidades de A e B, nessa ordem, equivale a 
a) 0,0075% b) 0,65% c) 0,75% d) 6,5% e) 7,5% 
RESOLUÇÃO: 
A questão pede que calculemos a razão entre as capacidades dos automóveis 
A e B. Para isso, o enunciado menciona: 
 Capacidade do automóvel A: 2,4 toneladas 
 Capacidade do automóvel B: 32.000 quilogramas = 32 toneladas 
Note que foi necessário colocar tudo na mesma unidade. Poderíamos ter 
escolhido converter a capacidade de A para quilogramas ou a de B para 
toneladas. Optamos pela segunda alternativa. 
Já sabemos que quando aparecer a palavra razão, devemos sempre nos 
lembrar de que haverá uma divisão! Assim, a razão entre as capacidades dos 
automóveis A e B é: 
2,4
32
= 𝟎, 𝟎𝟕𝟓 = 𝟕, 𝟓% 
Gabarito 1: E. 
 
2- (TJ-SC/Téc Judic/2011) Se b é diferente de zero e se 
a/b = 5, então a razão de 4a – b para a, em valores percentuais é igual a: 
a) 380% b) 3,8% c) 26,3% d) 20% e) 420% 
RESOLUÇÃO: 
O enunciado afirma que a/b = 5. Dessa relação, tiramos que: 
𝑎 = 5 . 𝑏 (I) 
Em seguida, a questão pede o valor percentual da razão: 
 
 
 
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4𝑎 − 𝑏
𝑎
 (II) 
Substituindo (I) em (II), teremos: 
4 . (5 . 𝑏) − 𝑏
5 . 𝑏
=
20𝑏 − 𝑏
5𝑏
=
19𝑏
5𝑏
= 3,8 
Visto que queremos o valor percentual, basta multiplicar tanto o numerador 
quanto o denominador por 100, obtendo: 
𝟒𝒂 − 𝒃
𝒂
= 𝟑𝟖𝟎% 
Gabarito 2: A. 
 
2. Razões Iguais 
Razões iguais são aquelas em que seus termos foram multiplicados ou 
divididos por um mesmo número (diferente de zero), existindo uma relação 
de equivalência entre elas. Ou seja, razões iguais são originadas de frações 
equivalentes. 
Veja o exemplo a seguir, em que temos algumas razões iguais: 
 
 
 
2
3
 = 
4
6
 = 
6
9
 = 
8
12
 = … 
 
 
 
 
2. Razão Inversa 
Vejamos as seguintes razões: 
𝟐
𝟓
 𝐞 
𝟓
𝟐
 
Elas são tidas como razões inversas ou recíprocas, pois o antecedente de uma 
é o consequente da outra e vice-versa. Assim, a razão inversa de a para b é: 
𝒃
𝒂
 𝒐𝒖 𝒃 ∶ 𝒂 
 
x3 
x4 
x2 
x2 
x3 
x4 
 
 
 
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Além disso, uma propriedade das razões inversas é que o produto delas é 
sempre igual a 1. Isto se deve ao fato de uma ser o inverso multiplicativo da 
outra. 
Esse é o caso, por exemplo, de 3/5 e 10/6, pois: 
3
5
 𝑥 
10
6
= 1 
Daí, podemos dizer que: 3 está para 5 na razão inversa de 10 para 6. 
 
3. Simplificação de uma razão 
Ao representar uma razão frequentemente simplificamos os seus termos, 
procurando, quando possível, torná-los inteiros. 
Observe um exemplo: 
 
Note que a razão 
4
5
 é a forma mais simples de 
48
60
 e não é possível simplificá-la 
ainda mais. Portanto, é chamada de irredutível. 
 
 
 A razão entre 16 e 20 é: 
16
20
=
16 ÷ 4
20 ÷ 4
=
4
5
 (4 𝑝𝑎𝑟𝑎 5) 
 
 A razão entre 0,25 e 2 é: 
0,25
2
=
1
4
2
=
1
4
 .
1
2
= 
1
8
 (1 𝑝𝑎𝑟𝑎 8) 
 
 
 
 
 
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3- (ENDEMIAS) Num posto médico existem 120 frascos 
da vacina X e 200 frascos da vacina Y. A razão entre o número de frascos da 
vacina X e o número total de frascos é: 
a) 2/3 b) 2/5 c) 3/4 d) 3/8 
RESOLUÇÃO: 
A questão pede que calculemos a razão entre o número de frascos da vacina X 
e o número total de frascos. Para isso, o enunciado fornece: 
 Número de frascos da vacina X: 120 
 Número de frascos da vacina Y: 200 
Com isso, podemos concluir que o número total de frascos é 120 + 200 = 320. 
Logo: 
Número de frascos da vacina X
Número total de frascos
=
120
320
 
Podemos simplificar a razão acima, dividindo o numerador e o denominador por 
40: 
120 ÷ 40
320 ÷ 40
=
𝟑
𝟖
 
Gabarito 3: D. 
 
4. Razões Especiais 
Cabe destacar algumas razões especiais que geralmente são cobradas em 
provas de concursos públicos, merecendo a abordagem em tópicos específicos. 
 
4.1. Velocidade Média 
Você deve lembrar-se de suas aulas de Física no ensino médio que Velocidade 
Média é a razão entre a distância percorrida (d) e o tempo gasto (t) para 
percorrê-lo: 
𝑽 =
𝒅
𝒕
 
 
 
 
 
 
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4- (VUNESP/SEJUS-ES/Ag Penit/2013) Para ir de casa 
ao trabalho, de porta a porta, Elis percorre de bicicleta 3.600 metros a uma 
velocidade média de 300 metros por minuto. Se esse mesmo percurso fosse 
efetuado utilizando-se uma moto a uma velocidade média de 30 quilômetros 
por hora, levaria a menos que de bicicleta 
a) 4 min 48 s b) 4 min 8 s c) 5 min 18 s d) 6 min 8 s e) 7 min 2 s. 
RESOLUÇÃO: 
A funcionária Elis dispõe de duas formas para ir ao trabalho: de bicicleta ou de 
moto. Ora, certamente ela chegará mais rápido caso opte por ir trabalhar de 
moto, concorda? Mas quão rápido seria, ou seja, quanto tempo ela economizaria 
por escolher esse meio de transporte? Bem, é exatamente isso que o enunciado 
deseja que calculemos! Vamos lá, então. 
Iniciemos calculando qual o tempo gasto para Elis ir ao trabalho de bicicleta, 
lembrando que a distância será a mesma independentemente do método utili-
zado para ela chegar ao seu destino: 
𝑉𝑏𝑖𝑐 =
𝑑
𝑡𝑏𝑖𝑐
 
𝑡𝑏𝑖𝑐 =
𝑑
𝑉𝑏𝑖𝑐
 
𝑡𝑏𝑖𝑐 =
3600 𝑚
300 𝑚/𝑚𝑖𝑛
= 𝟏𝟐 𝒎𝒊𝒏 
Agora, façamos o mesmo para a realização do mesmo trajeto (3600 metros = 
3,6 quilômetros) utilizando uma moto como meio de transporte: 
𝑉𝑚𝑜𝑡𝑜 =
𝑑
𝑡𝑚𝑜𝑡𝑜
 
𝑡𝑚𝑜𝑡𝑜 =
𝑑
𝑉𝑚𝑜𝑡𝑜
 
𝑡𝑚𝑜𝑡𝑜 =
3,6 ℎ
30 𝑘𝑚/ℎ
= 𝟎, 𝟏𝟐 𝒉 = 𝟕, 𝟐 𝒎𝒊𝒏 
O nosso objetivo consiste em obter a diferença entre os tempos gastos para Elis 
ir ao trabalho de bicicleta e de moto. Logo: 
∆𝑡 = 𝑡𝑚𝑜𝑡𝑜 − 𝑡𝑏𝑖𝑐 = 7,2 𝑚𝑖𝑛 − 12 𝑚𝑖𝑛 
∆𝒕 = −𝟒, 𝟖𝒎𝒊𝒏 = −𝟒 𝒎𝒊𝒏 𝟒𝟖 𝒔. 
 
 
 
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Assim, caso opte ir ao trabalho de moto, Elis levaria 4 minutos e 48 segundos a 
menos que de bicicleta! 
Gabarito 4: A. 
 
5- (CONSULPLAN/Correios/Atend Comerc/2008) 
Daniel é um dos funcionários da Agência dos Correios de uma certa cidade. 
Neste mês ele entrou de férias e foi viajar com a família. A viagem foi feita de 
carro, em 4 dias, viajando-se 9 horas por dia a uma velocidade média de 75 
km/h. Se Daniel tivesse viajado a uma velocidade de 90km/h e andado 5h por 
dia, teria gasto quantos dias nessa viagem? 
a) 6 dias b) 2 dias c) 5 dias d) 10 dias e) 3 dias 
RESOLUÇÃO: 
Quem não gosta de férias, não é mesmo?! Daniel, funcionário dos Correios, 
adora viajar com a família durante o seu merecido descanso. No entanto, ele 
está com uma dúvida: 
“Para chegar ao meu destino, devo empreender uma viagem com uma maior 
velocidade, gastando menos tempo, ou percorrer o trajeto de forma mais tran-
quila apreciando a paisagem, mais comprometendo uma parcela maior do meu 
tempo de lazer?” 
Bem, podemos ajudar o Daniel calculando a diferença de tempo gasto em rela-
ção às opções que estão à disposição dele, lembrando que a distância será a 
mesma independentemente do método utilizado para ela chegar ao seu destino. 
Vamos lá! 
 Primeira situação: 4 dias, viajando-se 9 horas por dia a uma velocidade 
média de 75 km/h. 
𝑉1 =
𝑑
𝑡1
 
𝑑 = 𝑉1 . 𝑡1 
𝑑 = 75 . (4 . 9) = 𝟐𝟕𝟎𝟎 𝒌𝒎 
 Segunda situação: X dias, viajando-se 5 horas por dia a uma velocidade 
média de 90 km/h. 
𝑉2 =
𝑑
𝑡2
 
𝑡2 =
𝑑
𝑉2
 
𝑡2 =
2700 𝑘𝑚
90 𝑘𝑚/ℎ
= 𝟑𝟎𝒉 
 
 
 
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Assim, conforme os dados da segunda situação, Daniel gastaria 30 horas para 
percorrer o seu trajeto. Visto que ele viaja 5 horas por dia, então ele utilizará 
6 dias das suas férias dirigindo na estrada! 
Gabarito 5: A. 
 
4.2. Densidade Demográfica 
Densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes de uma 
região e a área dessa região. 
 
 
Se uma região de 300 km2 tem 15.000 habitantes, então a densidade demográ-
fica dessa região é igual a: 
15.000 ℎ𝑎𝑏
300 𝑘𝑚2
=
150 ℎ𝑎𝑏
3 𝑘𝑚2
= 𝟓𝟎 𝒉𝒂𝒃/𝒌𝒎𝟐 
 
4.3. Escalas 
As questões de concursos públicos envolvendo escalas são bem simples e 
objetivas. Tratam também de conversão de unidades de medida, pois as 
distancias em um mapa geralmente são dadas em cm e as distâncias na vida 
real são dadas em km. 
Chamamos de escala a razão constante entre qualquer medida de 
comprimento em um modelo (desenho, mapa ou maquete) e a medida 
correspondente no objeto real representado pelo modelo, sendo ambas as 
medidas tomadas na mesma unidade. 
 
 
 
Dessa forma, teremos que: 
 
 
 
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6- (FCC/TRT-15ª Região/Ana Judic/2013) O terreno 
de uma casa possui 32 metros de frente. Na planta dessa casa, a frente do 
terreno tem 8 cm, o que implica dizer que a escala da planta é de: 
a) 1:4 b) 1:25 c) 1:250 d) 1:40 e) 1:400 
RESOLUÇÃO: 
Agora é o contrário. A questão dá as medidas e pede qual será a escala. Ora, já 
sabemos que: 
𝑬𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂 = 
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒔𝒆𝒏𝒉𝒐
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒏𝒐 𝒐𝒃𝒋𝒆𝒕𝒐 𝒓𝒆𝒂𝒍
 
 
Substituindo os valores fornecidos pelo enunciado, teremos: 
𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 =
8𝑐𝑚
32𝑚
 
Simplificando em cima e embaixo por 8, teríamos: 
𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 =
1
4
 
Temos uma resposta? É claroque sim! No entanto, isso está errado. 
Mas, por quê, professor? 
Simples, meu amigo: as medidas inseridas na fórmula da escala devem estar 
na mesma unidade de comprimento! Perceba que no numerador tínhamos 
um valor em centímetros, ao passo que o denominador estava em metros. 
Daí, teremos que converter as duas medidas para a mesma unidade. Basta 
lembrar que: 
1 metro = 100 centímetros 
Escala = 1 : 100
1 centímetro no desenho equivale a 
100 centímetros na realidade.
1 decímetro no desenho equivale a 
100 decímetros na realidade.
1 metro no desenho equivale a 100 
metros na realidade.
 
 
 
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Logo, para converter uma medida de metro para centímetros, basta multiplicar 
por 100. Vamos fazer isso! 
32 metros = 32 x 100 centímetros = 3.200 centímetros 
Agora sim. Trabalhemos com a fórmula da escala novamente. 
𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 = 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛ℎ𝑜
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙
 
𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 =
8 𝑐𝑚
3200 𝑐𝑚
 
Simplificando em cima e embaixo por 8, temos: 
𝑬𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂 =
𝟏
𝟒𝟎𝟎
 
Gabarito 6: E. 
 
7- (FCC/TJ-SP/Téc Judic/2006) Na maquete de uma 
praça pública construída na escala 1:75, o edifício da prefeitura, de 13,5 m de 
altura, está representado com uma altura de 
a) 16 cm b) 18 cm c) 20 cm d) 22 cm e) 24 cm 
RESOLUÇÃO: 
Como a escala é de 1 para 75, cada 1 metro da praça pública medido na 
maquete corresponderá a 75 metros no objeto real. Assim: 
1
75
=
𝑥
13,5
 
Multiplicando em “cruz credo”, temos: 
75 . 𝑥 = 13,5 . 1 
𝒙 = 𝟎, 𝟏𝟖 𝒎 = 𝟏𝟖 𝒄𝒎 
Gabarito 7: B. 
 
4.3.1. Propriedades das escalas 
Conforme já vimos, toda escala é uma razão entre duas medidas de 
comprimento. Algumas vezes, porém, precisamos comparar uma escala com 
a razão entre duas medidas de área ou entre duas medidas de volume. 
Nesses casos, as relações a seguir nos permitem comparar as razões entre duas 
áreas (A1 e A2) ou entre dois volumes (V1 e V2) com dois comprimentos de uma 
escala (C1 e C2): 
 
 
 
 
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𝑨𝟏
𝑨𝟐
= (
𝑪𝟏
𝑪𝟐
)
𝟐
= (𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂)𝟐 
 
𝑽𝟏
𝑽𝟐
= (
𝑪𝟏
𝑪𝟐
)
𝟑
= (𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂)𝟑 
 
 
 
PROPORÇÃO 
 
 
1. Conceito 
Proporção é a relação de igualdade entre duas ou mais razões. Podemos 
classifica-las em Simples ou Múltipla. 
 
 
 
Então, 
𝟔𝟎
𝟒𝟎
=
𝟑𝟎
𝟐𝟎
 é uma proporção que se lê: sessenta está para quarenta, assim 
como trinta está para vinte. 
 
Uma proporção simples pode ser denotada das seguintes formas: 
 1ª forma: 
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
 
Nesse caso, dizemos que a e c são os antecedentes; b e d são os 
consequentes. 
Proporção
Simples
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
Múltipla
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
=
𝒆
𝒇
 
 
 
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 2ª forma: 
𝒂 ∶ 𝒃 = 𝒄 ∶ 𝒅 
Nesse caso, dizemos que a e d são os extremos; b e c são os meios. 
 
 3ª forma: 
Os números a, b, c e d são chamados, respectivamente, 1º, 2º, 3º e 4º 
termos: 
 
 
Visto que uma razão é uma grandeza adimensional, uma proporção também 
não possui unidade de medida. Com isso, não faria sentido dizer que uma 
proporção entre 4m, 7m, 12m e 21m será representada em metros! 
 
 
8- (CESGRANRIO - Técnico/FINEP/2011) Uma 
empresa desenvolveu postes de iluminação elétrica feitos de fibra de vidro, mais 
flexíveis e mais leves do que os postes tradicionalmente usados no Brasil. Cada 
poste de fibra de vidro tem 120 kg, o que corresponde a e , 
respectivamente, das massas dos postes de madeira, aço e concreto. Qual é, 
em kg, a massa de um poste de aço? 
a) 80 b) 150 c) 180 d) 270 e) 360 
RESOLUÇÃO: 
Sabemos que nas provas de concursos públicos temos que ser rápidos, pois o 
tempo urge! Dessa forma, vamos simplificar a questão. Perceba que o nosso 
objetivo consiste em obter a massa de um poste de aço. O enunciado afirma 
 
 
 
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que cada poste de fibra de vidro tem 120 kg, o que corresponde a 
𝟐
𝟑
 da 
massa do poste de aço. Logo, temos a seguinte proporção: 
120 =
2
3
 . 𝑥 
𝑥 = 120 .
3
2
= 𝟏𝟖𝟎 𝐤𝐠 
Gabarito 8: C. 
9- (VUNESP - Auxiliar/MPE-SP/2014) Em um 
campeonato de futebol, cada time ganha 3 pontos por vitória, 1 ponto por 
empate e, obviamente, nenhum ponto em caso de derrota. Nesse campeonato, 
o time WM já disputou 15 partidas e não teve nenhuma derrota, sendo a razão 
entre o número de vitórias e o de empates, nessa ordem, igual a 3/2. Se esse 
time vencer 3 e empatar 1 das quatro partidas que ainda restam, ele terminará 
o campeonato com um número total de pontos igual a 
a) 39 b) 43 c) 46 d) 36 e) 40 
RESOLUÇÃO: 
A questão nos apresenta o time WM, invicto num campeonato de futebol. Isso 
mesmo, das 15 partidas que disputou, o WM não perdeu nenhuma! Dessa 
forma, sendo x o número de vitórias, podemos afirmar que o número de 
empates será 15 – x. 
Em seguida, é dito que a razão entre o número de vitórias e o de empates, 
nessa ordem, igual a 
𝟑
𝟐
. Com isso, podemos montar a seguinte proporção: 
𝑥
15 − 𝑥
=
3
2
 
2𝑥 = 45 − 3𝑥 
5𝑥 = 45 
𝒙 = 𝟗 
Logo, o time WM teve 9 vitórias e 6 empates, o que totaliza: 
9 . 3 + 6 . 1 = 𝟑𝟑 𝐩𝐨𝐧𝐭𝐨𝐬 
Daí, se esse time vencer 3 jogos e empatar 1 das quatro partidas restantes, 
ele somará: 
3 . 3 + 1 . 1 = 𝟏𝟎 𝐩𝐨𝐧𝐭𝐨𝐬 
Isso indica que o time WM terminará o campeonato com o seguinte total de 
pontos: 
33 + 10 = 𝟒𝟑 𝐩𝐨𝐧𝐭𝐨𝐬 
 
 
 
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Gabarito 9: B. 
 
2. Propriedades das Proporções 
O estudo das proporções são bastante facilitados por meio de algumas 
propriedades, as quais auxiliam nos cálculos necessários à resolução das 
questões cobradas em concursos públicos. Vamos estudá-las! 
 
 Propriedade Fundamental: 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
 ⇔ 𝒃 . 𝒄 = 𝒂 . 𝒅 
 
 
Na proporção simples 
2
7
=
12
42
, temos: 
- Produto dos meios: 7 x 12 = 84 
- Produto dos extremos: 2 x 42 = 84 
 
 Propriedade da soma ou da diferença: 
A soma ou a diferença entre os dois primeiros termos de uma propor-
ção está para o primeiro termo, assim como a soma ou a diferença 
entre os dois últimos está para o terceiro termo. 
𝒂 + 𝒃
𝒂
=
𝒄 + 𝒅
𝒄
 
𝒂 − 𝒃
𝒂
=
𝒄 − 𝒅
𝒄
 
 
A soma ou a diferença entre os dois primeiros termos de uma propor-
ção está para o segundo termo, assim como a soma ou a diferença 
entre os dois últimos está para o quarto termo. 
𝒂 + 𝒃
𝒃
=
𝒄 + 𝒅
𝒅
 
𝒂 − 𝒃
𝒃
=
𝒄 − 𝒅
𝒅
 
 
 
 
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 Propriedade da soma ou diferença dos antecedentes e 
consequentes: 
A soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a dife-
rença dos consequentes, assim como qualquer antecedente está para 
o seu consequente. 
𝒂 + 𝒄
𝒃 + 𝒅
=
𝒂
𝒃
=
𝒂 − 𝒄
𝒃 − 𝒅
 
𝒂 + 𝒄
𝒃 + 𝒅
=
𝒄
𝒅
=
𝒂 − 𝒄
𝒃 − 𝒅
 
 
 
4
6
=
8
12
=
4 + 8
6 + 12
=
12
18
 
 
 
Ou seja, podemos “prolongar” toda proporção, somando os numeradores das 
fraçõese somando os denominadores. Você perceberá que essa propriedade 
será utilizada diversas vezes na resolução de questões envolvendo divisão 
proporcional. 
 
10- (CESGRANRIO - Ana Amb/INEA/Contador/2008) 
Dada a proporção: 
 
O valor de X na proporção é 
 
 
 
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a) 15 b) 20 c) 65 d) 68 e) 80 
RESOLUÇÃO: 
Questão bem simples, não é mesmo?! O enunciado apresenta a seguinte 
proporção com a finalidade que encontremos o valor da incógnita: 
15
20
=
60
𝑋
 
 
Acabamos de aprender que a Propriedade Fundamental das Proporções afirma 
que: 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
 ⇔ 𝒃 . 𝒄 = 𝒂 . 𝒅 
Aplicando essa propriedade, obtemos: 
15 . 𝑋 = 60 . 20 
𝑋 =
1200
15
 
𝑋 = 80 
Gabarito 10: E. 
11- (ESAF/Ministério da Fazenda/Anata/2013) Em 
uma secretaria do Ministério da Fazenda, trabalham 63 pessoas. A razão entre 
o número de homens e o número de mulheres é igual 4/5. A diferença entre o 
número de mulheres e o número de homens que trabalham nessa secretaria é 
igual a: 
a) 8 b) 7 c) 6 d) 9 e) 5 
RESOLUÇÃO: 
Sejam: 
H: Número de homens que trabalham em uma secretaria do Ministério da 
Fazenda; 
M: Número de mulheres que trabalham em uma secretaria do Ministério da 
Fazenda. 
O enunciado afirma que nessa secretaria trabalham 63 pessoas. Logo: 
𝐻 + 𝑀 = 63 (𝐈) 
Em seguida é dito que a razão entre o número de homens e o número de 
mulheres é igual 4/5. Ou seja: 
𝐻
𝑀
=
4
5
 
 
 
 
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Aplicando a propriedade fundamental das proporções, teremos: 
4 . 𝑀 = 5 . 𝐻 
Isolando a incógnita “M”, obtemos: 
𝑀 =
5 . 𝐻
4
 (𝐈𝐈) 
Substituindo (II) em (I), temos: 
𝐻 +
5 . 𝐻
4
= 63 
9
4
 . 𝐻 = 63 
𝑯 = 𝟐𝟖 
Dessa forma, já podemos concluir que M vale 35. No entanto, a questão quer 
que obtenhamos a diferença entre o número de mulheres e o número de 
homens. Logo: 
𝑀 − 𝐻 = 35 − 28 = 𝟕 
Gabarito 11: B. 
 
3. Terceira Proporcional 
Em uma proporção, em que os meios são iguais, um dos extremos é a ter-
ceira proporcional do outro extremo. Assim, temos a seguinte representa-
ção: 
𝒂
𝒃
=
𝒃
𝒙
 
Logo, a terceira proporcional entre a e b é x. 
 
 
A terceira proporcional entre os números 4 e 5 será: 
4
5
=
5
𝑥
 
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, teremos: 
4 . 𝑥 = 5 . 5 
𝒙 = 𝟔, 𝟐𝟓 
 
 
 
 
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4. Quarta Proporcional 
Um número é chamado de Quarta Proporcional de três outros números, 
dados numa certa ordem, quando forma com eles uma proporção. Assim, 
temos a seguinte representação: 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝒙
 
Logo, a quarta proporcional entre a, b e c, nessa ordem, é x. 
 
 
A quarta proporcional entre os números 6, 8 e 12 será: 
6
8
=
12
𝑥
 
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, teremos: 
6 . 𝑥 = 12 . 8 
𝒙 = 𝟏𝟔 
 
5. Proporção Contínua 
Proporção Contínua é toda proporção simples, formada por números 
positivos, na qual os meios ou os extremos são iguais. 
𝑎 ∶ 𝒃 ∷ 𝒃 ∶ 𝑐 
ou 
𝑎
𝒃
=
𝒃
𝑐
 
 
 
Se 9, x e 49 formam, nessa ordem, uma proporção contínua, vamos calcular o 
valor de x. 
Visto que é informado que os números dados formam uma proporção contínua, 
então, os meios ou os extremos são iguais. Logo, teremos: 
9
𝑥
=
𝑥
49
 
 
 
 
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Aplicando a propriedade fundamental das proporções, teremos: 
𝑥2 = 9 . 49 
𝑥 = √441 = 𝟐𝟏 
 
 
NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS 
 
 
1. Introdução 
Chamamos de Grandeza a todos os valores que podem ser medidos e 
estão relacionados a algum outro valor. Ou seja, se houver variação em 
um valor, o outro também irá variar. Como exemplo, citamos: comprimento, 
tempo, preço, idade etc. 
A relação de dependência entre duas grandezas, dependendo da condição 
apresentada, pode ser classificada como Diretamente proporcional ou 
Inversamente proporcional. 
 
 
2. Grandezas Diretamente Proporcionais 
Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando, 
AUMENTANDO uma delas, a outra também AUMENTA na mesma proporção, 
ou, DIMINUINDO uma delas, a outra também DIMINUI na mesma proporção. 
 
Grandezas
Diretamente Proporcionais
Inversamente Proporcionais
 
 
 
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Falando de uma maneira mais informal, são grandezas que crescem juntas e 
diminuem juntas. 
Por exemplo, considere um automóvel que percorre 80 Km em 1 hora, 160 Km 
em 2 horas e 240 Km em 3 horas. A tabela a seguir representa essa situação 
hipotética: 
Distância (Km) Tempo (h) 
80 1 
160 2 
240 3 
 
O que podemos concluir? Bem, notamos que quando duplica o intervalo de 
tempo, duplica também a distância percorrida e quando o intervalo de tempo é 
triplicado, a distância também é triplicada, ou seja, quando o intervalo de tempo 
aumenta, a distância percorrida também aumenta na mesma proporção. 
Portanto, distância e tempo são grandezas diretamente proporcionais! 
Veja outros exemplos de números e grandezas diretamente proporcionais a 
seguir: 
 Público X bilheteria: quanto maior o público de um show, maior será a 
arrecadação da bilheteria. Isto é, se 300 pessoas foram a um show e deu 
uma bilheteria de R$ 6.000,00, se tivessem ido mais pessoas, a bilheteria 
teria sido maior. 
 Horas de trabalho por dia X m2 de muro pintado: quanto mais horas de 
trabalho os pintores trabalharem por dia, mais m2 de muro eles pintarão. Ou 
seja, se eles trabalharam 10 horas/dia e pintaram 5 m2 de muro, se tivessem 
trabalhado mais horas/dia, teriam pintado uma área maior do muro. 
Por fim, é importante destacar outra característica marcante das grandezas 
diretamente proporcionais: a razão entre elas é constante. 
𝒂
𝒃
= 𝒌 
 
Os números a e b são chamados termos da proporção. O resultado constante 
das razões entre dois termos correspondentes, k, é chamado de constante de 
proporcionalidade. 
 
 
 
 
 
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Os valores 6, 7, 10 e 15, nessa ordem, são diretamente proporcionais aos 
valores 12, 14, 20 e 30, respectivamente, pois as razões 6/12, 7/14, /10/20 1 
15/30 são todas iguais, sendo ½ o fator de proporcionalidade da primeira para 
a segunda. 
Como se pode perceber, as sucessões de números diretamente proporcionais 
formam proporções múltiplas. 
 
12- (CESPE – Ana Judic/TST/2008) Os números 135, 
189 e 297 são diretamente proporcionais aos números 5, 7 e 11, 
respectivamente. 
RESOLUÇÃO: 
Vimos que a característica marcante das grandezas diretamente 
proporcionais consiste no fato que a razão entre elas é constante. 
Assim, nossa tarefa é analisar se as razões 135/5, 189/7 e 297/11 fornecem o 
mesmo resultado. Logo: 
 
Portanto, 135, 189 e 297 são diretamente proporcionais a 5, 7 e 11, o que 
torna o item certo. 
Gabarito 12: Certo. 
 
13- (ESAF/TFC/CGU/2008) As idades de três irmãos 
encontram-se na razão 4:6:8. Sabendo-se que a soma das idades é igual a 180 
anos, então a idade do irmão mais velho, em anos, é igual a: 
a) 40 b) 45 c) 80 d) 70 e)60 
RESOLUÇÃO: 
Sejam x, y e z, respectivamente, a idade do irmão mais novo, do irmão do meio 
e do irmão mais velho. 
A idade dos 3 irmãos é diretamente proporcional a 4:6:8. 
 
 
 
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Já sabemos que a razão entre duas grandezas diretamente proporcionais é 
uma constante, chamada constante de proporcionalidade k. Logo, podemos 
escrever: 
 
Então, podemos concluir que: 
 x = 4k 
 y = 6k 
 z = 8k 
Se a soma das idades é 180, temos: 
4k+6k+8k = 180 
18k=180 
k=10 
O mais velho tem a seguinte idade: 
z = 8k = 80 anos 
Gabarito 13: C. 
 
3. Grandezas Inversamente Proporcionais 
Podemos afirmar que duas grandezas são inversamente proporcionais 
quando, AUMENTANDO uma delas, a outra DIMINUI na mesma proporção, 
ou, DIMINUINDO uma delas, a outra AUMENTA na mesma proporção. 
 
 
Falando de modo informal, são grandezas que, quando uma aumenta, a 
outra diminui. 
Aumenta
Diminui 
 
 
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Por exemplo, suponha que um carro realiza um percurso em 1 hora com 
velocidade de 90km/h, em 2 horas com velocidade de 45km/h e em 3 horas 
com velocidade de 30km/h. Nessa situação, verifica-se que tempo e 
velocidade são grandezas inversamente proporcionais, pois quanto 
menor é a velocidade que o veículo desenvolve maior será o tempo necessário 
para que ele chegue ao destino. 
Veja outros exemplos de números e grandezas inversamente proporcionais a 
seguir: 
 Horas por dia de trabalho X dias trabalhados: se aumentarmos o número 
de horas que trabalhamos diariamente, em menos dias terminaremos um 
determinado serviço. 
 Dias trabalhados X número de operários: se nós aumentarmos o número 
de operários para realizar uma obra, ela será feita em menos tempo (menos 
dias). 
Uma das principais etapas na resolução de questões envolvendo o tema deste 
capítulo e dos próximos consiste em determinar se duas ou mais grandezas são 
entre si direta ou inversamente proporcionais. Assim, o treinamento é muito 
importante. Nesse sentido, a prática obtida por meio do exemplo seguinte será 
bastante útil! 
Além disso, vimos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando a 
razão entre elas é constante. Pois bem, qual é o inverso da divisão? É a 
multiplicação! 
Assim, quando o produto entre duas grandezas é constante, dizemos que 
tais grandezas são inversamente proporcionais. 
𝒂 . 𝒃 = 𝒌 
 
Coloque D ou I nos parênteses abaixo, caso a relação entre as grandezas seja 
diretamente ou inversamente proporcional: 
a) ( ) quantidade de produtos X preço 
b) ( ) dias X operários 
c) ( ) horas/dia X dias 
d) ( ) horas/dia X operários 
e) ( ) dias X tamanho da obra 
f) ( ) horas/dia X tamanho da obra 
g) ( ) tamanho da obra X operários 
h) ( ) velocidade X tempo 
 
 
 
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i) ( ) velocidade X espaço 
j) ( ) espaço X tempo 
k) ( ) volume de um reservatório X tempo para enchê-lo 
l) ( ) quantidade de comida X trabalhadores 
m) ( ) salário X dias trabalhados 
n) ( ) número de linhas por página X número de páginas de um livro 
o) ( ) dificuldade de uma tarefa X tempo para executá-la 
p) ( ) facilidade de uma tarefa X tempo para executá-la 
q) ( ) máquinas X dias 
r) ( ) máquinas X peças produzidas 
s) ( ) m2 de muro pintado X número de pintores 
t) ( ) m2 de muro pintado X horas/dia 
u) ( ) m2 de muro pintado X dias 
v) ( ) percentual de desconto de um produto X preço final a ser pago 
w) ( ) horas/dia X quantidade de páginas estudadas 
Gabarito: D-I-I-I-D-D-D-I-D-D-D-D-D-I-D-I-I-D-D-D-D-I-D 
 
 
 
 
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14- (Quadrix/COBRA Tecn (BB)/Téc de Oper/2015) 
Assinale a alternativa que contenha 2 grandezas que são inversamente 
proporcionais. 
a) Área de uma parede e a quantidade de tinta necessária para pintar essa 
parede. 
b) Tempo de uma lâmpada acesa e consumo de energia elétrica. 
c) Tempo para percorrer um determinado trajeto e velocidade utilizada para 
percorrer esse mesmo trajeto. 
d) Volume de uma caixa d'água e a quantidade de água que cabe nessa caixa. 
e) Tamanho de um saco de feijão e o peso desse saco de feijão. 
Grandezas
Diretamente 
Proporcionais
As RAZÕES entre as 
grandezas é uma 
constante.
AUMENTANDO uma delas, 
a outra também AUMENTA 
na mesma proporção, ou, 
DIMINUINDO uma delas, a 
outra também DIMINUI na 
mesma proporção.
Inversamente 
Proporcionais
O PRODUTO entre as 
grandezas é constante.
AUMENTANDO uma delas, 
a outra DIMINUI na 
mesma proporção, ou, 
DIMINUINDO uma delas, a 
outra AUMENTA na mesma 
proporção.
 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
As grandezas inversamente proporcionais são aquelas que, quando 
uma aumenta, a outra diminui. 
Dessa maneira, o "tempo para percorrer um determinado trajeto e velocidade 
utilizada para percorrer esse mesmo trajeto" são grandezas inversas pois 
quanto maior for a velocidade menor será o tempo gasto. 
Gabarito 14: C. 
 
15- (IBFC/ILSL/Téc de Radiol/2013) Se os números da 
sucessão x, y ,8 são inversamente proporcionais aos da sucessão 16,8,6 então 
a soma entre x e y é igual a: 
a) 9 b) 10 c) 8 d) 12 
RESOLUÇÃO: 
A questão informa que os números de uma determinada sucessão de valores 
são inversamente proporcionais aos de outra sucessão. Logo: 
𝑥
1
16
=
𝑦
1
8
=
8
1
6
 
𝑥
1
16
=
𝑦
1
8
= 48 
Assim, temos: 
 𝒙 =
48
16
= 𝟑 
 𝒚 =
48
8
= 𝟔 
No entanto, o enunciado é claro ao exigir de nós o valor da soma entre x e y: 
𝒙 + 𝒚 = 3 + 6 = 𝟗 
Gabarito 15: A. 
 
16- (CETRO – Auditor-Fiscal/Pref-SP/2014) Com o 
intuito de gratificar, por mérito, os funcionários de uma repartição pública, o 
valor a ser repartido com os 3 funcionários mais assíduos é de R$ 54.500,00. O 
maior prêmio será pago àquele que menos faltas tiver, e o menor ao terceiro 
com menor número de ausências, proporcionalmente. João faltou 1 dia, Angélica 
3 e Samuel 5. O valor recebido por Samuel será de (em R$) 
 
 
 
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a) 7.512,30 b) 7.108,70 c) 7.006,90 d) 6.987,30 e) 6.807,50 
RESOLUÇÃO: 
Estamos diante de uma questão de grandezas inversamente 
proporcionais, pois é informado que: 
O MAIOR prêmio será pago àquele que MENOS faltas tiver. 
Sejam os seguintes termos: 
A: Angélica; 
J: João; 
S: Samuel. 
Vamos analisar cada frase do enunciado, transformando-a para a linguagem 
matemática: 
O valor a ser repartido com os 3 funcionários mais assíduos é de R$ 
54.500,00. 
Ou seja: 
A + J + S = 54.500 (I) 
 
João faltou 1 dia, Angélica 3 e Samuel 5. 
Podemos, então, montar a seguinte proporção: 
𝐴
1
3
=
𝐽
1
1
=
𝑆
1
5
 (𝐈𝐈) 
Aplicando a propriedade da soma dos antecedentes em (II), temos: 
𝐴 + 𝐽 + 𝑆
1
3
+
1
1
+
1
5
=
𝑆
1
5
 
Substituindo (I) na proporção acima, encontramos: 
54.500
23
15
=
𝑆
1
5
 
Aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos: 
23
15
. 𝑆 = 54500.
1
5
 
23
15
. 𝑆 = 10900 
 
 
 
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𝑆 = 10900.
15
23
= 𝟕𝟏𝟎𝟖, 𝟕 
Portanto, Samuel recebeu R$ 7.108,70, o que torna a alternativa B 
correta. 
Gabarito 16: B. 
 
 
DIVISÃO PROPORCIONAL 
 
 
1. Introdução 
Podemos definir Divisão Proporcional como sendo a partição de um 
determinado valor em partes diretamente ou inversamente proporcionais 
a um grupo de números. Temos também o caso misto, em que um valor pode 
ser dividido em partes diretamente proporcionais a um grupo de números e em 
partes inversamente proporcionais a um outro grupo de números. 
 
Dessa forma, inicialmente estudaremos o caso da divisão em números 
diretamente proporcionais. Em seguida, faremos a análise da situação em que 
estará presente a divisão inversamente proporcional. E, por fim, veremos 
problemas em que a divisão ocorrerá de modo misto, sendo o valor fracionado 
em partes diretamente e inversamente proporcionais, simultaneamente. 
 
2. Divisão em Números Diretamente Proporcionais 
Divisão
Direta e Inversamente 
Proporcional
(Conceito Misto)
Inversamente 
Proporcional
Diretamente 
Proporcional
 
 
 
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A divisão de um valor em partes diretamente proporcionais a outros 
números dados, consiste em se determinar as parcelas que são diretamente 
proporcionais a cada um dos números dados e que somadas, totalizam o valor 
original. 
De fato, dividir um número T em n partes diretamente proporcionais a um 
grupo de números dados, a1, a2, a3, ... an, significa encontrar um outro grupo, 
X1, X2, X3, ..., Xn, que satisfaz o seguinte: 
1º) As razões entre cada uma das partes procuradas e os respectivos membros 
do grupo proporcional devem ser todas iguais: 
𝑿𝟏
𝒂𝟏
=
𝑿𝟐
𝒂𝟐
=
𝑿𝟑
𝒂𝟑
= ⋯ =
𝑿𝒏
𝒂𝒏
= 𝒌 
2º) A soma das partes procuradas seve ser igual ao valor original: 
𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + 𝑿𝟑 + ⋯ + 𝑿𝒏 = 𝑻 
Depois de calculado o valor da constante k, basta substituí-lo nas igualdades da 
proporção e realizar as contas para descobrir o valor de cada uma das partes. 
 
 
Se o enunciado da questão só mencionar a palavra “proporcional”, sem afirmar 
se é diretamente ou inversamente proporcional, assuma sempre que é 
diretamente proporcional! 
 
 
Dividir o número 72 em três partes diretamente proporcionais aos números 3, 
4 e 5. 
RESOLUÇÃO: 
Sejam, a, b e c as três partes procuradas. Visto que a razão entre grandezas 
diretamente proporcionais é uma constante, chamada constante de 
proporcionalidade k, podemos escrever: 
𝑎
3
=
𝑏
4
=
𝑐
5
= 𝑘 
Daí, teremos que: 
 𝑎 = 3𝑘 
 𝑏 = 4𝑘 
 
 
 
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 𝑐 = 5𝑘 
Como a soma das três partes deve ser 72, temos: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 72 
3𝑘 + 4𝑘 + 5𝑘 = 72 
12𝑘 = 72 
𝒌 = 𝟔 
Agora que encontramos o valor da constante de proporcionalidade basta 
substituí-lo nas igualdades da proporção e realizar as contas para descobrir o 
valor de cada uma das partes: 
 Valor de a: 3𝑘 = 3 . 6 = 𝟏𝟖 
 Valor de b: 4𝑘 = 4 . 6 = 𝟐𝟒 
 Valor de c: 5𝑘 = 5 . 6 = 𝟑𝟎 
 
 
Dividir o número 320 em três partes diretamente proporcionais a 4, 12 e 16. 
RESOLUÇÃO: 
Sejam, A, B e C as três partes procuradas. Vamos adotar um outro caminho de 
resolução, que chamaremos de método simplificado. Como funciona? Bem, 
na divisão diretamente proporcional, a grosso modo, basta pegar o valor 
total e dividir pela soma das partes, comparando com cada incógnita 
dividida pela sua parte. 
Talvez pareça um pouco complicado olhando tão somente a definição, mas ficará 
mais claro aplicando o método a um caso prático. E é isso o que vamos fazer 
agora! 
Primeiramente, pegamos o valor total, que é 320, e dividimos pela soma das 
partes, ou seja, 4 + 12 + 16, igualando à proporção formada por cada incógnita 
dividida pela sua parte: 
320
4 + 12 + 16
=
𝐴
4
=
𝐵
12
=
𝐶
16
 
Simplificando a primeira fração da proporção anterior: 
320
4 + 12 + 16
=
320
32
= 𝟏𝟎 
 
 
 
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Agora é só comparar 10 com cada uma das igualdades 
𝐴
4
, 
𝐵
12
 e 
𝐶
16
, encontrando 
A, B e C um de cada vez: 
 Valor de A: 10 =
𝐴
4
 ⇒ 𝑨 = 𝟒𝟎 
 Valor de B: 10 =
𝐵
12
 ⇒ 𝑩 = 𝟏𝟐𝟎 
 Valor de C: 10 =
𝐶
16
 ⇒ 𝑪 = 𝟏𝟔𝟎 
 
Assim, fica claro que temos dois caminhos de resolução para as questões 
de divisão diretamente proporcional: 
 
 
 
Três sócios devem dividir proporcionalmente o lucro de R$ 30.000,00. O sócio 
A investiu R$ 60.000,00, o sócio B R$ 40.000,00 e o sócio C R$ 50.000,00. Qual 
a parte correspondente de cada um? 
RESOLUÇÃO: 
Primeiramente, pegamos o valor total, que é R$ 30.000, e dividimos pela soma 
das partes, ou seja, 60 + 40 + 50, igualando à proporção formada por cada 
D
iv
s
iã
o
 d
ir
e
ta
m
e
n
te
 p
r
o
p
o
r
c
io
n
a
l
Método da constante de 
proporcionalidade (k)
1º) Montar a proporção
2º) Determinar o valor 
de k
3º) Substituir k na 
proporção para calcular o 
valor de cada parte
Método simplificado
1º) Dividir o valor total 
pela soma das partes
2º) Comparar o resultado 
obtido no passo anterior 
com cada incógnita 
dividida pela sua parte
 
 
 
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incógnita dividida pela sua parte. Para simplificar, vamos esquecer os zeros dos 
milhares. 
30
60 + 40 + 50
=
𝐴
60
=
𝐵
40
=
𝐶
50
 
Simplificando a primeira fração da proporção anterior: 
30
60 + 40 + 50
=
30
150
=
1
5
 
Agora é só comparar 
1
5
 com cada uma das igualdades 
𝐴
60
, 
𝐵
40
 e 
𝐶
50
, encontrando 
A, B e C um de cada vez: 
 Parte de A: 
1
5
=
𝐴
60
 ⇒ 𝑨 = 𝟏𝟐 
 Parte de B: 
1
5
=
𝐵
40
 ⇒ 𝑩 = 𝟖 
 Parte de C: 
1
5
=
𝐶
50
 ⇒ 𝑪 = 𝟏𝟎 
Portanto, ao sócio A coube R$ 12.000,00; ao sócio B, R$ 8.000,00; e ao sócio 
C, R$ 10.000,00. 
 
 
Para ter mais certeza dos seus cálculos, a soma das partes tem que dar o todo, ou 
seja, 12.000 + 8.000 + 10.000 tem que ser igual aos 30.000 que foram 
divididos. 
 
 
17- (FGV/CAERN/Ag Admin/2010) Dividindo-se 11 700 
em partes proporcionais a 1, 3 e 5, a diferença entre a maior das partes e a 
menor delas é 
a) 6 500. b) 5 500. c) 5 800. d) 5 200. e) 5 000. 
RESOLUÇÃO: 
Sejam, a, b e c as três partes procuradas. Visto que a razão entre grandezas 
diretamente proporcionais é uma constante, temos: 
𝑎
1
=
𝑏
3
=
𝑐
5
= 𝑘 (𝐈) 
 
 
 
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Além disso, como a soma das três partes deve ser 11700, temos: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 11700 (𝐈𝐈) 
Aplicando a propriedade da soma dos antecedentes em (I), obtemos: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
1 + 3 + 5
= 𝑘 
Substituindo (II) na igualdade acima, encontramos: 
𝑘 =
11700
9
= 𝟏𝟑𝟎𝟎 
Agora que encontramos o valor da constante de proporcionalidade basta 
substituí-lo nas igualdades da proporção e realizar as contas para descobrir o 
valor de cada uma das partes: 
 Valor de a: 1𝑘 = 1 . 1300 = 𝟏𝟑𝟎𝟎 
 Valor de b: 3𝑘 = 3 . 1300 = 𝟑𝟗𝟎𝟎 
 Valor de c: 5𝑘 = 5 . 1300 = 𝟔𝟓𝟎𝟎 
Questão concluída? Com certeza não, pois o nosso objetivo consiste em obter a 
diferença entre a maior e a menor parte. Logo: 
𝑐 − 𝑎 = 6500 − 1300 = 𝟓𝟐𝟎𝟎Gabarito 17: D. 
 
18- (VUNESP/SEJUS-ES/Agente/2013) Os 250 
trabalhadores de uma instituição serão distribuídos em frentes de trabalho, em 
3 grupos de x, y e z pessoas. O número de trabalhadores x, y e z desses grupos 
será diretamente proporcional a 10, 15 e 25. Nesse caso, a diferença entre a 
frente com maior e a frente com menor número de trabalhadores será 
a) 50. b) 100. c) 75. d) 45. e) 25. 
RESOLUÇÃO: 
Já sabemos que a razão entre grandezas diretamente proporcionais é uma 
constante. Com isso, podemos montar a seguinte proporção: 
𝑥
10
=
𝑦
15
=
𝑧
25
= 𝑘 (𝐈) 
Além disso, como a soma das três partes deve ser 250, temos: 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 250 (𝐈𝐈) 
Aplicando a propriedade da soma dos antecedentes em (I), obtemos: 
 
 
 
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𝑥 + 𝑦 + 𝑧
10 + 15 + 25
= 𝑘 
Substituindo (II) na igualdade acima, encontramos: 
250
50
= 𝑘 
𝒌 = 𝟓 
Por fim, vamos substituir o valor da constante de proporcionalidade nas 
parcelas da proporção: 
 Valor de x: 10𝑘 = 10 . 5 = 𝟓𝟎 
 Valor de y: 15𝑘 = 15 . 5 = 𝟕𝟓 
 Valor de z: 25𝑘 = 25 . 5 = 𝟏𝟐𝟓 
Terminamos a questão? Não meus amigos, pois o nosso objetivo consiste em 
obter a diferença entre a frente com maior e a frente com menor número 
de trabalhadores. Logo: 
𝑧 − 𝑥 = 125 − 50 = 𝟕𝟓 
Gabarito 18: C. 
 
19- (OBJETIVA/CISVALE/Contador/2015) Em um 
escritório de contabilidade, quatro Contadores precisam elaborar 1.260 
balanços. Sabendo-se que eles resolveram dividir essa quantidade entre eles de 
forma diretamente proporcional aos tempos em que eles trabalham nesse 
escritório, que são 12, 14, 16 e 18 meses, respectivamente, assinalar a 
alternativa CORRETA: 
 a) O Contador que trabalha há 12 meses nesse escritório elaborará 254 
balanços. 
 b) O Contador que trabalha há 14 meses nesse escritório elaborará 296 
balanços. 
 c) O Contador que trabalha há 16 meses nesse escritório elaborará 336 
balanços. 
 d) O Contador que trabalha há 18 meses nesse escritório elaborará 387 
balanços. 
RESOLUÇÃO: 
Sejam a, b, c e d as quantidades de balanços elaborados pelo contador que 
trabalham há, respectivamente, 12, 14, 16 e 18 meses no escritório de 
contabilidade. 
 
 
 
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Já sabemos que a razão entre grandezas diretamente proporcionais é uma 
constante. Com isso, podemos montar a seguinte proporção: 
𝑎
12
=
𝑏
14
=
𝑐
16
=
𝑑
18
= 𝑘 (𝐈) 
Além disso, como a soma de todos os balanços elaborados é 1260, temos: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1260 (𝐈𝐈) 
Aplicando a propriedade da soma dos antecedentes em (I), obtemos: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑
12 + 14 + 16 + 18
= 𝑘 
Substituindo (II) na igualdade acima, encontramos: 
1260
60
= 𝑘 
𝒌 = 𝟐𝟏 
Por fim, vamos substituir o valor da constante de proporcionalidade nas 
parcelas da proporção: 
 Valor de a: 12𝑘 = 12 . 21 = 𝟐𝟓𝟐 
 Valor de b: 14𝑘 = 14 . 21 = 𝟐𝟗𝟒 
 Valor de c: 16𝑘 = 16 . 21 = 𝟑𝟑𝟔 
 Valor de d: 18𝑘 = 18 . 21 = 𝟑𝟕𝟖 
Portanto, a alternativa correta é a letra C, já que o Contador que trabalha há 
16 meses nesse escritório elaborará 336 balanços. 
Gabarito 19: C. 
 
3. Divisão em Números Inversamente Proporcionais 
A divisão de um valor em partes inversamente proporcionais a outros 
números dados consiste em se determinar as parcelas que são inversamente 
proporcionais a cada um dos números dados e que somadas, totalizam o valor 
original. 
De fato, dividir um número T em n partes inversamente proporcionais a 
um grupo de números dados, a1, a2, a3, ... an, significa encontrar um outro 
grupo, X1, X2, X3, ..., Xn, que satisfaz o seguinte: 
1º) As razões de cada uma das partes procuradas pelos respectivos inversos 
dos membros do grupo proporcional devem ser todos iguais: 
 
 
 
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𝑿𝟏
𝟏
𝒂𝟏
=
𝑿𝟐
𝟏
𝒂𝟐
=
𝑿𝟑
𝟏
𝒂𝟑
= ⋯ =
𝑿𝒏
𝟏
𝒂𝒏
= 𝒌 
Repare que isso equivale a afirmar que os produtos de cada uma das partes 
procuradas pelos respectivos membros do grupo proporcional devem ser todos 
iguais: 
𝒂𝟏 . 𝑿𝟏 = 𝒂𝟐 . 𝑿𝟐 = 𝒂𝟑 . 𝑿𝟑 = ⋯ = 𝒂𝒏 . 𝑿𝒏 = 𝒌 
2º) A soma das partes procuradas deve ser igual ao valor original: 
𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + 𝑿𝟑 + ⋯ + 𝑿𝒏 = 𝑻 
Assim como o caso da divisão diretamente proporcional, após calcularmos o 
valor da constante k, basta substituí-lo nas igualdades da proporção e realizar 
as contas para descobrir o valor de cada uma das partes. 
Note que a diferença entre a divisão diretamente proporcional e a inversamente 
proporcional é que nesta temos de utilizar, como quantidade de parcelas a que 
cada parte tem direito, o inversamente proporcional do valor atribuído à 
parte. Assim, por exemplo, se a quantidade de parcelas for 4, então à parte 
caberá 1/4. 
Além disso, na divisão diretamente proporcional, a parte que tem direito 
ao menor número de parcelas fica com a menor parte da divisão. Por sua vez, 
na divisão inversamente proporcional, temos o contrário, ou seja, a parte 
que tem direito ao maior número de parcelas é que fica com a menor parte 
da divisão. 
 
 
Dividir o número 72 em três partes inversamente proporcionais aos números 3, 
4 e 12. 
RESOLUÇÃO: 
Sejam, a, b e c as três partes procuradas. Visto que o produto entre grandezas 
inversamente proporcionais é uma constante, chamada constante de 
proporcionalidade k, podemos escrever: 
𝑎
1
3
=
𝑏
1
4
=
𝑐
1
12
= 𝑘 
Daí, teremos que: 
 𝑎 =
𝑘
3
 
 
 
 
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 𝑏 =
𝑘
4
 
 𝑐 =
𝑘
12
 
Como a soma das três partes deve ser 72, temos: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 72 
𝑘
3
+
𝑘
4
+
𝑘
12
= 72 
4𝑘 + 3𝑘 + 𝑘
12
= 72 
𝑘 =
72 . 12
8
= 𝟏𝟎𝟖 
Agora que encontramos o valor da constante de proporcionalidade basta 
substituí-lo nas igualdades da proporção e realizar as contas para descobrir o 
valor de cada uma das partes: 
 Valor de a: 
𝑘
3
=
108
3
= 𝟑𝟔 
 Valor de b: 
𝑘
4
=
108
4
= 𝟐𝟕 
 Valor de c: 
𝑘
12
=
108
12
= 𝟗 
 
 
Decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 
e 3. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos utilizar este exemplo para demonstrar a você que também há um 
método simplificado de resolução no caso de questões de divisão 
inversamente proporcional. É feito de modo bem parecido com o da divisão 
diretamente proporcional, mas como o próprio nome diz, em vez de colocarmos 
diretamente os valores das partes na equação, colocamos os inversos destes 
valores. 
Assim, na divisão inversamente proporcional, basta pegar o valor total e 
dividir pelo inverso da soma das partes, comparando com cada 
incógnita dividida pelo inverso da sua parte. 
Vamos aplicar isso em nosso exemplo. Tudo ficará mais claro! 
 
 
 
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Primeiramente, pegamos o valor total, que é 120, e dividimos pelo inverso da 
soma das partes, ou seja, 
1
2
+
1
3
, igualando à proporção formada por cada 
incógnita dividida pelo inverso da sua parte: 
120
1
2
+
1
3
=
𝐴
1
2
=
𝐵
1
3
 
Simplificando a primeira fração da proporção anterior: 
120
1
2
+
1
3
=
120
5
6
= 120 .
6
5
= 𝟏𝟒𝟒 
Agora é só comparar 144 com cada uma das igualdades 
𝐴
1
2
 e 
𝐵
1
3
, encontrando A 
e B um de cada vez: 
 Parte A: 144=
𝐴
1
2
 ⇒ 𝑨 = 𝟕𝟐 
 Parte B: 144 =
𝐵
1
3
 ⇒ 𝑩 = 𝟒𝟖 
Note que a soma das partes também tem que dar o todo, ou seja, 72 + 48 = 
120. 
 
Assim, fica claro que temos dois caminhos de resolução para as questões 
de divisão inversamente proporcional: 
 
 
 
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20- (VUNESP/Pref. de Suzano/Aux Ativ Escol/2015) 
Em um concurso de redação, foram premiados os 2 primeiros colocados. Todo 
o prêmio era composto de 32 livros, repartidos entre os dois finalistas em partes 
inversamente proporcionais ao número de erros que tiveram na redação. 
Sabendo-se que o primeiro colocado teve 3 erros, e o segundo, 5 erros, o 
número de livros recebidos pelo primeiro colocado foi 
a) 24. b) 21. c) 20. d) 19. e) 18. 
RESOLUÇÃO: 
Sejam a e b o número de livros que caberá, respectivamente, ao primeiro e ao 
segundo colocado. 
O enunciado informa que a divisão de livros no concurso de redação foi realizada 
entre os dois finalistas em partes inversamente proporcionais ao número 
de erros que tiveram na redação. Logo: 
𝑎
1
3
=
𝑏
1
5
= 𝑘 (𝐈) 
D
iv
s
iã
o
 i
n
v
e
r
s
a
m
e
n
te
 p
r
o
p
o
r
c
io
n
a
l
Método da constante de 
proporcionalidade (k)
1º) Montar a proporção
2º) Determinar o valor 
de k
3º) Substituir k na 
proporção para calcular o 
valor de cada parte
Método simplificado
1º) Dividir o valor total 
pelo inverso da soma das 
partes
2º) Comparar o resultado 
obtido no passo anterior 
com cada incógnita 
dividida pelo inverso da 
sua parte
 
 
 
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Além disso, como a quantia total de livros a ser dividida é 32, temos: 
𝑎 + 𝑏 = 32 (𝐈𝐈) 
Aplicando a propriedade da soma dos antecedentes em (I), obtemos: 
𝑎 + 𝑏
1
3
+
1
5
= 𝑘 
32
1
3
+
1
5
= 𝑘 
Visto que o MMC entre 3 e 5 é 15, obtemos: 
32
5 + 3
15
= 𝑘 
𝑘 = 32 .
15
8
= 𝟔𝟎 
Agora que encontramos o valor da constante de proporcionalidade basta 
substituí-lo na igualdade da proporção referente ao número de livros recebidos 
pelo primeiro colocado: 
𝑎 =
1
3
 . 𝑘 =
1
3
 . 60 = 𝟐𝟎 
Gabarito 20: C. 
 
 
21- (FCC/TRE-PE/Téc Judic/2004) Um total de 141 
documentos devem ser catalogados por três técnicos judiciários. Para cumprir 
a tarefa, dividiram os documentos entre si, em partes inversamente 
proporcionais às suas respectivas idades: 24, 36 e 42 anos. Nessas condições, 
o número de documentos que coube ao mais jovem foi 
a) 78 b) 63 c) 57 d) 42 e) 36 
RESOLUÇÃO: 
Sejam a, b e c o número de documentos que coube ao servidor com, 
respectivamente, 24, 36 e 42 anos de idade. 
O enunciado informa que a divisão de documentos a serem catalogados foi 
realizada em partes inversamente proporcionais às idades dos servidores, 
o que significa que dividiremos a quantidade total de documentos pelo inverso 
das idades de cada uma dos técnicos judiciários. Logo: 
 
 
 
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𝑎
1
24
=
𝑏
1
36
=
𝑐
1
42
= 𝑘 (𝐈) 
Além disso, como o número total de documentos a serem catalogados é 141, 
temos: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 141 (𝐈𝐈) 
Aplicando a propriedade da soma dos antecedentes em (I), obtemos: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
1
24
+
1
36
+
1
42
= 𝑘 
141
1
24
+
1
36
+
1
42
= 𝑘 
Visto que o MMC entre 24, 36 e 42 é 504, obtemos: 
141
21 + 14 + 12
504
= 𝑘 
141
47
504
= 𝑘 
𝑘 = 141 .
504
47
= 𝟏𝟓𝟏𝟐 
Agora que encontramos o valor da constante de proporcionalidade basta 
substituí-lo na igualdade da proporção referente à idade do servidor mais 
jovem (a), pois a questão é clara ao exigir que encontremos o número de 
documentos que coube a ele: 
𝑎 =
1
24
 . 𝑘 =
1
24
 . 1512 = 𝟔𝟑 
Gabarito 21: B. 
 
4. Conceito Misto – Divisão Direta e Inversamente Proporcional 
O conceito misto implica a divisão de um número em certa quantidade de 
partes, de tal forma que cada uma dessas partes seja, ao mesmo tempo, 
diretamente proporcional a pelo menos uma sucessão de números dados e 
inversamente proporcional a pelo menos uma outra. 
Assim, a fim de dividirmos um número T em n partes que sejam diretamente 
proporcionais à sucessão (a1, a2, ..., an) e, ao mesmo tempo, inversamente 
 
 
 
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proporcional à sucessão (b1, b2, ..., bn), devemos encontrar a sucessão de 
números (x1, x2, ..., xn), de tal forma que: 
𝒙𝟏
𝒂𝟏/𝒃𝟏
=
𝒙𝟐
𝒂𝟐/𝒃𝟐
= ⋯ =
𝒙𝒏
𝒂𝒏/𝒃𝒏
= 𝒌 
 
Dessa maneira, fica claro que dividir um número, ao mesmo tempo, de forma 
direta e inversamente proporcional a outros significa dividi-lo de forma 
diretamente proporcional ao produto entre as parcelas diretas e as parcelas 
inversas de cada uma das partes. 
Em outras palavras, no numerador de cada igualdade da proporção ficarão as 
partes procuradas, e no denominador teremos uma fração, em que a parte 
dividida diretamente proporcional (DP) de cada um fica “em cima” e a 
inversamente proporcional (IP) fica “embaixo”: 
𝐏𝐚𝐫𝐭𝐞 𝐩𝐫𝐨𝐜𝐮𝐫𝐚𝐝𝐚
𝐏𝐚𝐫𝐭𝐞 𝐃𝐏
𝐏𝐚𝐫𝐭𝐞 𝐈𝐏
 
 
Este assunto pode parecer complicado quando tentamos entender as definições 
que acabaram de ser expostas. Entretanto, bastará a resolução de algumas 
questões para vermos que não é difícil como aparenta. 
 
 
Dividir o número 160 em duas partes que sejam, ao mesmo tempo, diretamente 
proporcionais aos números 6 e 10 e inversamente proporcionais aos números 2 
e 5. 
RESOLUÇÃO: 
Sejam a e b as partes procuradas. Daí, devemos ter: 
𝑎
6/2
=
𝑏
10/5
= 𝑘 
𝑎
3
=
𝑏
2
= 𝑘 (𝐈) 
Além disso, como o número total a ser fracionado é 160, temos: 
𝑎 + 𝑏 = 160 (𝐈𝐈) 
Aplicando a propriedade da soma dos antecedentes em (I), obtemos: 
 
 
 
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𝑎 + 𝑏
3 + 2
= 𝑘 
160
5
= 𝑘 
𝒌 = 𝟑𝟐 
Agora que encontramos o valor da constante de proporcionalidade basta 
substituí-lo nas igualdades da proporção e realizar as contas para descobrir o 
valor de cada uma das partes: 
 Valor de a: 3𝑘 = 3 . 32 = 𝟗𝟔 
 Valor de b: 2𝑘 = 2 . 32 = 𝟔𝟒 
Portanto, na divisão proposta 96 unidades caberão a a, enquanto b receberá 64 
das 160 unidades. 
 
 
Dividir o número 115 em três partes que devem ser diretamente proporcionais 
aos números 1, 2 e 3 e, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais aos 
números 4, 5 e 6, sempre respectivamente. 
RESOLUÇÃO: 
Sejam a, b e c as três partes procuradas. Daí, devemos ter: 
𝑎
1/4
=
𝑏
2/5
=
𝑐
3/6
= 𝑘 (𝐈) 
Além disso, como o número total a ser fracionado é 115, temos: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 115 (𝐈𝐈) 
Aplicando a propriedade da soma dos antecedentes em (I), obtemos: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
1
4
+
2
5
+
3
6
= 𝑘 
115
15 + 24 + 30
60
= 𝑘 
𝑘 = 115 .
20
23
 
𝒌 = 𝟏𝟎𝟎 
 
 
 
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Agora que encontramos o valor da constante de proporcionalidade basta 
substituí-lo nas igualdades da proporção e realizar as contas para descobrir o 
valor de cada uma das partes: 
 Valor de a: 
1
4
 . 𝑘 =
1
4
 . 100 = 𝟐𝟓 
 Valor de b: 
2
5
 . 𝑘 =
2
5
 . 100 = 𝟒𝟎 
 Valor de c: 
3
6
 . 𝑘 =
3
6
 . 100 = 𝟓𝟎 
Portanto, na divisão proposta 25 unidadescaberão a a, enquanto b receberá 40 
e c terá 50 das 115 unidades. 
 
 
22- (ESAF - Ana Tec/SUSEP/2010) Um pai deseja dividir 
uma fazenda de 500 alqueires entre seus três filhos, na razão direta da 
quantidade de filhos que cada um tem e na razão inversa de suas rendas. 
Sabendo-se que a renda do filho mais velho é duas vezes a renda do filho mais 
novo e que a renda do filho do meio é três vezes a renda do mais novo, e que, 
além disso, o filho mais velho tem três filhos, o filho do meio tem dois filhos e 
o filho mais novo tem dois filhos, quantos alqueires receberá o filho do meio? 
a) 80 b) 100 c) 120 d) 160 e) 180 
RESOLUÇÃO: 
Sejam a, b e c a quantidade de alqueires que cabe, respectivamente, ao filho 
mais novo, ao do meio e ao mais velho. 
A fim de facilitar a resolução, a seguinte tabela será de auxílio, ressaltando que 
a sua montagem é resultado das informações fornecidas pelo enunciado: 
 
O enunciado afirma que o pai dividirá a fazenda de 500 alqueires entre seus 
três filhos, na razão direta da quantidade de filhos que cada um tem e na razão 
inversa de suas rendas. Daí, devemos ter: 
𝑎
2
1
=
𝑏
2
3
=
𝑐
3
2
= 𝑘 (𝐈) 
 
 
 
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Além disso, como a fazenda é composta por 500 alqueires, temos: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 500 (𝐈𝐈) 
Aplicando a propriedade da soma dos antecedentes em (I), obtemos: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2 +
2
3
+
3
2
= 𝑘 
500
12 + 4 + 9
6
= 𝑘 
𝑘 = 500 .
6
25
= 𝟏𝟐𝟎 
Agora que encontramos o valor da constante de proporcionalidade basta 
substituí-lo na igualdade da proporção referente à quantidade de alqueires que 
receberá o filho do meio (b): 
𝑏 =
2
3
 . 𝑘 =
2
3
 . 120 = 𝟖𝟎 
Gabarito 22: A. 
 
 
23- (FCC/SEAD-AP/Ag Penit/2002) Na tabela abaixo 
têm-se as idades e os tempos de serviço de três soldados na corporação, que 
devem dividir entre si um certo número de fichas cadastrais para verificação. 
 
Se o número de fichas for 504 e a divisão for feita em partes diretamente 
proporcionais às suas respectivas idades, mas inversamente proporcionais aos 
seus respectivos tempos de serviço na corporação, o número de fichas que 
caberá a 
a) Daniel é 180. 
b) Manoel é 176. 
c) Daniel é 170. 
d) Manoel é 160. 
 
 
 
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e) Daniel é 162. 
RESOLUÇÃO: 
Sejam a, d e m o números de fichas que caberá a, respectivamente, Abel, 
Daniel e Manoel. 
O enunciado afirma que as fichas são divididas entre os três soldados em partes 
diretamente proporcionais às suas respectivas idades, mas inversamente 
proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço na corporação. Daí, 
devemos ter: 
𝑎
20
3
=
𝑑
24
4
=
𝑚
30
5
= 𝑘 
𝑎
20
3
=
𝑑
6
=
𝑚
6
= 𝑘 (𝐈) 
Além disso, como a quantidade total de fichas a serem divididas é 504, temos: 
𝑎 + 𝑑 + 𝑚 = 504 (𝐈𝐈) 
Aplicando a propriedade da soma dos antecedentes em (I), obtemos: 
𝑎 + 𝑑 + 𝑚
20
3
+ 6 + 6
= 𝑘 
504
20 + 18 + 18
3
= 𝑘 
𝑘 = 504 .
3
56
 
𝒌 = 𝟐𝟕 
Agora que encontramos o valor da constante de proporcionalidade basta 
substituí-lo nas igualdades da proporção e realizar as contas para descobrir o 
valor de cada uma das partes: 
 Valor de a: 
20
3
 . 𝑘 =
20
3
 . 27 = 𝟏𝟖𝟎 
 Valor de d: 6 . 𝑘 = 6 . 27 = 𝟏𝟔𝟐 
 Valor de m: 6 . 𝑘 = 6 . 27 = 𝟏𝟔𝟐 
Assim, a divisão proposta terá os seguintes dados: 
Soldado Número de fichas 
Abel 180 
 
 
 
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Daniel 162 
Manoel 162 
 
Gabarito 23: E. 
 
 
REGRA DE SOCIEDADE 
 
 
Neste tópico veremos um caso particular da divisão proporcional, que é a 
famigerada Regra de Sociedade, sendo aplicado quando dois ou mais sócios 
querem dividir o lucro ou o prejuízo, após um determinado período de 
funcionamento da empresa. 
Bem, uma sociedade empresarial tem como principal objetivo a conquista de 
lucros por meio dos negócios que a constituem. No entanto, devido a diversos 
fatores, existe a possibilidade de que, ao invés de lucro, as operações da 
empresa tenham como resultado o prejuízo! Ora, nada mais justo do que o 
lucro ou o prejuízo sejam distribuídos entre os sócios que integram a sociedade 
em partes proporcionais aos capitais empregados por cada sócio, como também 
aos tempos durante os quais esses capitais permaneceram empregados na 
constituição do negócio. 
A depender da formação específica de determinada empresa descrita na 
questão, a Regra de Sociedade pode ser: 
 
Dessa maneira, quatro casos podem ocorrer: 
R
e
g
r
a
 d
e
 S
o
c
ie
d
a
d
e
Simples
Capitais iguais e tempos iguais
Capitais iguais e tempos diferentes
Capitais diferentes e tempos iguais
Composta Capitais diferentes e tempos diferentes 
 
 
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1º CASO 
Os capitais investidos são iguais e os tempos de permanência dos sócios na 
empresa são iguais. 
Nessa situação, o lucro/prejuízo será dividido pelo número de sócios da 
empresa. 
Na verdade, trata-se do caso mais óbvio e fácil, de forma que não costuma ser 
cobrado em provas. 
 
 
Três amigos se associaram num certo negócio entrando, cada um, com um 
capital de R$ 2.000,00. No fim de 5 meses de atividades empresariais verificou-
se um lucro de R$ 3.600,00. Calcule o lucro de cada sócio. 
RESOLUÇÃO: 
Não há dúvida que estamos diante de uma questão de Regra de Sociedade, 
pois é descrita a formação de uma empresa, é mencionado o lucro advindo de 
suas atividades e, por fim, pede-se para calcularmos quanto caberá desse lucro 
a cada sócio. 
Bem, a primeira análise que temos de fazer diz respeito a como se deu o 
investimento dos sócios na empresa. Note que o enunciado afirma que cada um 
deles aplicou R$ 2.000,00 para a constituição da sociedade. Assim, os capitais 
dos sócios são iguais! 
A seguir, devemos verificar o tempo em que os sócios permaneceram na 
empresa. Percebemos que a questão apresenta um caso em que cada sócio 
manteve-se os mesmos 5 meses trabalhando na empresa. Dessa forma, os 
tempos de permanência dos sócios são iguais! 
Consequentemente, visto que os capitais e os tempos são os mesmos, divide-
se o lucro pelo número de sócios: 
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑁º 𝑑𝑒 𝑠ó𝑐𝑖𝑜𝑠
=
3600
3
= 𝑹$ 𝟏. 𝟐𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
Portanto, cada sócio receberá R$ 1.200,00 a título de lucro. 
 
Cinco pessoas fundaram uma sociedade, cujo capital de R$ 10.000,00 foi 
realizado em partes iguais. Após sete meses verificou-se um lucro de R$ 
9.000,00. Calcule o lucro de cada sócio. 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
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Temos mais uma questão de Regra de Sociedade, em que tanto os capitais 
como os tempos de permanência de cada pessoa na empresa foram iguais! 
Daí, para descobrirmos o quanto do lucro caberá a cada sócio faremos: 
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑁º 𝑑𝑒 𝑠ó𝑐𝑖𝑜𝑠
=
9000
5
= 𝑹$ 𝟏. 𝟖𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
Portanto, cada sócio receberá R$ 1.800,00 a título de lucro. 
 
2º CASO 
Os capitais dos sócios são iguais e os tempos de permanência de cada um na 
empresa são diferentes. 
Nessa situação, a divisão do lucro/prejuízo será diretamente proporcional 
aos tempos de cada um. 
 
 
Três amigos constituíram uma empresa, entrando cada um com o capital de R$ 
1.500,00. No entanto, tiveram um prejuízo de R$ 750,00. O primeiro ficou na 
sociedadedurante 8 meses; o segundo, 7 meses; e o terceiro, 9 meses. 
Determine o prejuízo do terceiro. 
RESOLUÇÃO: 
Primeiramente, pegamos o prejuízo total, que é R$ 750,00, e dividimos pela 
soma das partes, que são os tempos de permanência de cada sócio na empresa, 
ou seja, 8 + 7 + 9, igualando à proporção formada por cada incógnita dividida 
pela sua parte: 
𝐴
8
=
𝐵
7
=
𝐶
9
=
750
8 + 7 + 9
 
𝐴
8
=
𝐵
7
=
𝐶
9
=
125
4
 
Agora é só comparar 
125
4
 com a igualdade da proporção referente ao terceiro 
sócio, a fim de determinar a parte que lhe coube do prejuízo total: 
𝐶
9
=
125
4
 ⇒ 𝑪 = 𝟐𝟖𝟏, 𝟐𝟓 
Portanto, o terceiro sócio amargará um prejuízo de R$ 281,25. 
 
 
 
 
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Adriel, Fernando e Tiago são sócios de uma empresa há 10, 8 e 4 meses, 
respectivamente. Calcule a quantia que caberá a cada um dos sócios se o lucro 
obtido foi de R$ 26.620,00. 
RESOLUÇÃO: 
Primeiramente, pegamos o lucro total, que é R$ 26.620,00, e dividimos pela 
soma das partes, que são os tempos de permanência de cada sócio na empresa, 
ou seja, 10 + 8 + 4, igualando à proporção formada por cada incógnita dividida 
pela sua parte: 
𝐴
10
=
𝐹
8
=
𝑇
4
=
26620
10 + 8 + 4
 
𝐴
10
=
𝐹
8
=
𝑇
4
= 1210 
Agora é só comparar 1210 com cada uma das igualdades, a fim de determinar 
a parte do lucro total que coube a cada um dos sócios: 
 Lucro de A: 1210 =
𝐴
10
 ⇒ 𝑨 = 𝟏𝟐𝟏𝟎𝟎 
 Lucro de F: 1210 =
𝐹
8
 ⇒ 𝑭 = 𝟗𝟔𝟖𝟎 
 Lucro de T: 1210 =
𝑇
4
 ⇒ 𝑻 = 𝟒𝟖𝟒𝟎 
Portanto, Adriel receberá R$ 12.100,00; Fernando, R$ 9.680,00 e Tiago ficará 
com R$ 4.840,00. 
 
3º CASO 
Os capitais investidos são diferentes e os tempos de permanência dos sócios 
na empresa são iguais. 
Nessa situação, a divisão do lucro/prejuízo será diretamente proporcional 
aos valores dos capitais. 
 
Dois sócios constituem uma sociedade, com o primeiro investindo um capital de 
R$ 3.000,00, e o segundo com R$ 2.000,00. Ao final de certo tempo, a 
sociedade apresentou um lucro de R$ 1.500,00. Calcule o lucro a que teve 
direito cada sócio. 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
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Primeiramente, pegamos o lucro total, que é R$ 1.500,00, e dividimos pela 
soma das partes, que são os capitais investidos por cada sócio na empresa, 
igualando à proporção formada por cada incógnita dividida pela sua parte: 
𝐴
3000
=
𝐵
2000
=
1500
3000 + 2000
 
𝐴
3000
=
𝐵
2000
=
3
10
 
Agora é só comparar 
3
10
 com cada uma das igualdades, a fim de determinar a 
parte do lucro total que coube a cada um dos sócios: 
 Lucro de A: 
3
10
=
𝐴
3000
 ⇒ 𝑨 = 𝟗𝟎𝟎 
 Lucro de B: 
3
10
=
𝐵
2000
 ⇒ 𝑩 = 𝟔𝟎𝟎 
Portanto, o primeiro sócio receberá R$ 900,00 e o segundo ficará com R$ 
600,00. 
 
Três pessoas A, B e C constituíram uma sociedade com capitais de R$ 2.000,00, 
R$ 3.000,00 e R$ 5.000,00 respectivamente. No final a sociedade apresentou 
um prejuízo de R$ 4.000,00. Calcule os prejuízos dos sócios B e C. 
RESOLUÇÃO: 
Primeiramente, pegamos o prejuízo total, que é R$ 4.000,00, e dividimos pela 
soma das partes, que são os capitais investidos por cada sócio na empresa, 
igualando à proporção formada por cada incógnita dividida pela sua parte. Para 
simplificar, vamos esquecer os zeros dos milhares: 
𝐴
2
=
𝐵
3
=
𝐶
5
=
4
2 + 3 + 5
 
𝐴
2
=
𝐵
3
=
𝐶
5
=
2
5
 
Agora é só comparar 
2
5
 com cada uma das igualdades, a fim de determinar a 
parte do prejuízo total que coube aos sócios B e C: 
 Prejuízo de B: 
2
5
=
𝐵
3
 ⇒ 𝑩 = 𝟏, 𝟐 
 Prejuízo de C: 
2
5
=
𝐶
5
 ⇒ 𝑪 = 𝟐 
Portanto, o sócio B amargará um prejuízo de R$ 1.200,00 e o sócio C, R$ 
2.000,00. 
 
 
 
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4º CASO 
Os capitais e os tempos de permanência são diferentes. 
Nessa situação, estamos diante da Regra de Sociedade Composta, em que 
a divisão do lucro/prejuízo será diretamente proporcional ao produto dos 
capitais pelos tempos. 
 
 
Três sócios lucraram, juntos, R$ 38.000,00. O primeiro investiu R$ 5.000,00 
durante 1 ano, o segundo investiu R$ 4.000,00 durante 6 meses e o terceiro 
empregou R$ 6.000,00 durante 5 meses. Que parte do lucro cabe a cada um 
dos três sócios? 
RESOLUÇÃO: 
Sejam A, B e C os lucros de cada sócio. 
Primeiramente, pegamos o lucro total, que é R$ 38.000,00, e dividimos pela 
soma das partes, igualando à proporção formada por cada incógnita dividida 
pelo produto do capital investido por cada sócio na empresa e o respectivo 
tempo de permanência. Para simplificar, vamos esquecer os zeros dos milhares: 
𝐴
5 . 12
=
𝐵
4 . 6
=
𝐶
6 . 5
=
38
114
 
𝐴
60
=
𝐵
24
=
𝐶
30
=
1
3
 
 Lucro de A: 
1
3
=
𝑎
60
 ⇒ 𝑨 = 𝟐𝟎 
 Lucro de B: 
1
3
=
𝐵
24
 ⇒ 𝑩 = 𝟖 
 Lucro de C: 
1
3
=
𝐶
30
 ⇒ 𝑪 = 𝟏𝟎 
Portanto, o primeiro sócio recebeu R$ 20.000,00; o segundo, R$ 8.000,00 e o 
terceiro teve direito a R$ 10.000,00. 
 
 
Almeida, Batista e Carlos constituem uma sociedade. Almeida entrou com um 
capital de R$ 3.000 durante 2 meses; Batista, com um capital de R$ 4.000,00 
durante 3 meses e Carlos investiu R$ 2.000,00 durante 4 meses. Sabendo-se 
 
 
 
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que, ao findar a sociedade, Batista recebeu R$ 3.200,00 de lucro mais do que 
Carlos, calcule o lucro de Almeida. 
RESOLUÇÃO: 
Sejam A, B e C os lucros de cada sócio. 
Repare que neste exemplo não foi fornecido o lucro/prejuízo total. Assim, 
utilizaremos outro caminho de resolução. 
Primeiramente, montamos a proporção, eliminando os zeros dos milhares para 
simplificar: 
𝐴
3 . 2
=
𝐵
4 . 3
=
𝐶
2 . 4
= 𝑘 
𝐴
6
=
𝐵
12
=
𝐶
8
= 𝑘 (𝐈) 
Note que o enunciado nos informa que, ao findar a sociedade, Batista recebeu 
R$ 3.200,00 de lucro mais do que Carlos. Logo: 
𝐵 = 𝐶 + 3,2 (𝐈𝐈) 
Substituindo (II) nas igualdades da proporção (I) referente aos lucros de B e C, 
temos: 
𝐶 + 3,2
12
=
𝐶
8
 
𝐶 + 3,2 =
12𝐶
8
 
2𝐶 + 6,4 = 3𝐶 
𝑪 = 𝟔, 𝟒 
Todavia, nosso objetivo consiste em determinar o lucro de Almeida. Assim: 
𝐴
6
=
𝐶
8
 
𝐴
6
=
6,4
8
 
8𝐴
6
= 6,4 
𝐴 =
6,4 . 3
4
= 𝟒, 𝟖 
Portanto, o lucro de Almeida foi de R$ 4.800,00. 
 
 
 
 
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24- (CESGRANRIO) Três amigos compraram um terreno 
de 5.400 m2 para montar uma empresa. Sabendo que o primeiro entrou com 
R$ 8.000,00; o segundo com R$ 10.000,00 e o terceiro com R$ 12.000,00. Caso 
a sociedade fosse desmantelada, a porção do terreno que caberia ao segundo 
sócio seria de: 
a) 1.440 m2 b) 1.640 m2 c) 1.700 m2 d) 1.800 m2 e) 2.160 m2 
RESOLUÇÃO: 
Percebemos que os capitais investidos são diferentes ao passo que os tempos 
de permanência de cada sócio na empresa são iguais! Nesse caso, o terreno 
deverá ser dividido proporcionalmente aos capitais. 
Considerando que A, B e C representam, respectivamente, a parcela do lucro 
destinada ao primeiro, segundo e terceiro sócio, temos: 
𝐴
8
=
𝐵
10
=
𝐶
12
=
5400
8 + 10 + 12
 
𝐴
8
=
𝐵
10
=
𝐶
12
= 180 
Agora é só comparar 180 com a igualdade relativa à porção do terreno que 
caberia ao segundo sócio (B): 
𝐵
10
= 180 ⇒ 𝑩 = 𝟏. 𝟖𝟎𝟎 
Gabarito 24: D. 
CAPITAIS (C)
=
=
≠
≠