Questão sobre Raciocínio Lógico - IUDS CREA-MG 2018

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Questão sobre Raciocínio Lógico - IUDS – CREA/MG – 2018 
 
No Torneio Estudantil de Xadrez da cidade de Formosinha, dos oito alunos 
classificados para final, três são do Colégio Elite. Quantos resultados são 
possíveis, se não há empates e ao menos um aluno do Colégio Elite fique entre 
os três primeiro colocados? 
a) 33.120 resultados. 
b) 56 resultados. 
c) 40.320 resultados 
d) 10 resultados. 
 
2 
 
Resposta 
Para começar, vamos nomear os alunos do campeonato em: E1, E2, E3, 
A4, A5, A6, A7 E A8, sendo a letra “E” uma designação para alunos do colégio 
Elite e a letra “A” para alunos de outros colégios. 
Para resolver essa questão, podemos encontrar o número de 
possibilidade levando em consideração a restrição imposta pelo enunciado 
(PELO MENOS um aluno do colégio Elite deve estar entre os três primeiro 
colocado). 
1. Apenas um Aluno Elite no Pódio: 
I. Suposição: Aluno E1 em 1º lugar e os outros alunos do colégio elite 
fora do pódio: 
• 1º lugar: 1 aluno possível (Aluno E1); 
• 2º lugar: 5 alunos possíveis (Todos os alunos que não são do 
Colégio Elite); 
• 3º lugar: 4 alunos possíveis (Todos os alunos que não são do 
Colégio Elite, exceto aquele que está em 2º lugar). 
• 4º lugar: 5 alunos possíveis (Todos os alunos restantes, inclusive 
E2 e E3). 
• 5º lugar: 4 alunos possíveis (Todos os alunos restantes, inclusive 
E2 e E3). 
• 6º lugar: 3 alunos possíveis (Todos os alunos restantes, inclusive 
E2 e E3). 
• 7º lugar: 2 alunos possíveis (Todos os alunos restantes, inclusive 
E2 e E3). 
• 8º lugar: 1 alunos possíveis (Todos os alunos restantes, inclusive 
E2 e E3). 
Logo, 
𝑃𝐸1,1º = 1𝑥5𝑥4𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 → 𝑃𝐸1,1º = 2400 𝑃𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
II. Suposição: Aluno E1 em 2º lugar e os outros alunos do colégio elite 
fora do pódio: 
3 
 
Este caso é o mesmo do anterior, mudando apenas a posição do Aluno 
E1. 
Logo, 
𝑃𝐸1,2º = 5𝑥1𝑥4𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 → 𝑃𝐸1,1º = 2400 𝑃𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
III. Suposição: Aluno E1 em 3º lugar e os outros alunos do colégio elite 
fora do pódio: 
Este caso é o mesmo do anterior, mudando apenas a posição do Aluno 
E1. 
Logo, 
𝑃𝐸1,3º = 5𝑥4𝑥1𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 → 𝑃𝐸1,1º = 2400 𝑃𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
IV. Suposição: Aluno E2 em 1º, 2º ou 3º lugar e os outros alunos do 
colégio elite fora do pódio: 
𝑃𝐸2,1º = 5𝑥1𝑥4𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 → 𝑃𝐸1,1º = 2400 𝑃𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑃𝐸2,2º = 5𝑥1𝑥4𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 → 𝑃𝐸1,1º = 2400 𝑃𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑃𝐸2,2º = 5𝑥1𝑥4𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 → 𝑃𝐸1,1º = 2400 𝑃𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
V. Suposição: Aluno E3 em 1º, 2º ou 3º lugar e os outros alunos do 
colégio elite fora do pódio: 
𝑃𝐸3,1º = 5𝑥1𝑥4𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 → 𝑃𝐸1,1º = 2400 𝑃𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑃𝐸3,2º = 5𝑥1𝑥4𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 → 𝑃𝐸1,1º = 2400 𝑃𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑃𝐸3,3º = 5𝑥1𝑥4𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 → 𝑃𝐸1,1º = 2400 𝑃𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
Portanto, para o caso de apenas um Aluno Elite estar entre os 3 primeiros, 
tem-se: 
𝑃1 = 2400𝑥9 = 21.600 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
2. Dois Alunos Elite no pódio: 
I. Suposição: Alunos E1 e E2 em 1º e 2º lugar, e o aluno E3 fora do 
pódio: 
4 
 
• 1º lugar: 2 alunos possíveis (Aluno E1 ou Aluno E2); 
• 2º lugar: 1 aluno possível (Aluno E1, caso Aluno E2 esteja em 1º, 
ou E2 caso E1 esteja em primeiro); 
• 3º lugar: 5 alunos possíveis (Todos os alunos que não são do 
Colégio Elite). 
• 4º lugar: 5 alunos possíveis (Todos os alunos restantes, inclusive 
E3). 
• 5º lugar: 4 alunos possíveis (Todos os alunos restantes, inclusive 
E3). 
• 6º lugar: 3 alunos possíveis (Todos os alunos restantes, inclusive 
E3). 
• 7º lugar: 2 alunos possíveis (Todos os alunos restantes, inclusive 
E3). 
• 8º lugar: 1 alunos possíveis (Todos os alunos restantes, inclusive 
E3). 
Logo, 
𝑃𝐸1 𝑜𝑢 𝐸2,1º 𝑜𝑢 2º = 2𝑥1𝑥5𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 → 
𝑃𝐸1 𝑜𝑢 𝐸2,1º 𝑜𝑢 2º = 1200 𝑃𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
II. Suposição: Alunos E1 e E2 podem estar também em 1º e 3º ou 2º e 
3º e Aluno E3 fora do pódio: 
Essas suposições terão o mesmo número de possibilidades da 
anterior: 
𝑃𝐸1 𝑜𝑢 𝐸2,1º 𝑜𝑢 3º = 1200 𝑃𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑃𝐸1 𝑜𝑢 𝐸2,2º 𝑜𝑢 3º = 1200 𝑃𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
III. Suposição: Alunos E1 e E3 podem estar em 1º e 2º, 1º e 3º ou 2º ou 
3º lugar, e Aluno E2 fora do pódio: 
𝑃𝐸1 𝑜𝑢 𝐸3,1º 𝑜𝑢 2º = 1200 𝑃𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑃𝐸1 𝑜𝑢 𝐸3,1º 𝑜𝑢 3º = 1200 𝑃𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑃𝐸1 𝑜𝑢 𝐸3,2º 𝑜𝑢 3º = 1200 𝑃𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
5 
 
IV. Suposição: Alunos E2 e E3 podem estar em 1º e 2º, 1º e 3º ou 2º ou 
3º lugar, e Aluno E1 fora do pódio: 
𝑃𝐸2 𝑜𝑢 𝐸3,1º 𝑜𝑢 2º = 1200 𝑃𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑃𝐸2 𝑜𝑢 𝐸3,1º 𝑜𝑢 3º = 1200 𝑃𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑃𝐸2 𝑜𝑢 𝐸3,2º 𝑜𝑢 3º = 1200 𝑃𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
Portanto, para o caso de dois Aluno Elite estar entre os 3 primeiros, tem-
se: 
𝑃2 = 1200𝑥9 = 10.800 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
3. Três Alunos Elite no Pódio: 
I. Suposição: Os Alunos E1, E2 e E3 nos três primeiros lugares, e o 
restantes ocupados por alunos de outros colégios: 
• 1º lugar: 3 alunos possíveis (Alunos E1, E2 ou E3); 
• 2º lugar: 2 alunos possíveis (Os dois alunos restantes do 
colégio Elite); 
• 3º lugar: 1 alunos possíveis (O aluno restante do colégio Elite). 
• 4º lugar: 5 alunos possíveis (Todos os alunos restantes dos 
outros colégios). 
• 5º lugar: 4 alunos possíveis (Todos os alunos restantes, dos 
outros colégios). 
• 6º lugar: 3 alunos possíveis (Todos os alunos restantes, dos 
outros colégios). 
• 7º lugar: 2 alunos possíveis (Todos os alunos restantes, dos 
outros colégios). 
• 8º lugar: 1 alunos possíveis (Todos os alunos restantes, dos 
outros colégios). 
Logo, 
𝑃𝐸1, 𝐸2 𝑜𝑢 𝐸3, 1º, 2º 𝑜𝑢 3º = 3𝑥2𝑥1𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 → 
𝑃𝐸1, 𝐸2 𝑜𝑢 𝐸3, 1º, 2º 𝑜𝑢 3º = 720 𝑃𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
6 
 
𝑃3 = 720 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
Para finalizar, somaremos todas as possibilidades encontradas: 
𝑃𝑇 = 21.600 + 10.800 + 720 → 
𝑃𝑇 = 33.120 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 
Resposta: Letra A.