Circunferência: Conceito e Elementos

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Circunferência
Prof.Clarohana Grigorio 
Conceito 
A circunferência é uma figura geométrica plana formada pela união de pontos equidistantes, ou seja, possuem a mesma distância de um ponto fixo chamado de centro. O estudo da circunferência também está presente na geometria analítica, na qual é possível deduzir uma equação que a represente.
Embora o círculo e a circunferência sejam figuras geométricas planas com alguns elementos em comum, o que geralmente acarreta dúvidas, essas figuras apresentam diferenças importantes sobretudo no que diz respeito à dimensionalidade.
Diferenças entre circunferência e círculo
A diferença entre uma circunferência e um círculo diz respeito ao número de dimensões de cada elemento. Enquanto a circunferência possui uma dimensão, o círculo possui duas.
A circunferência é uma região no plano formada por pontos todos equidistantes de um ponto fixo chamado de origem. O círculo é constituído por toda região no interior da circunferência. Veja em imagens a diferença:
Elementos da circunferência
O ponto C é chamado de centro da circunferência, e observe que os pontos A e B pertencem a ela. O segmento que une os extremos da circunferência passando pelo centro é chamado de diâmetro. Na circunferência anterior, temos então que o diâmetro é o segmento AB.
Ao dividir o diâmetro ao meio, vamos obter o raio da circunferência, ou seja, o raio (r) de uma circunferência é o segmento que une o centro e a extremidade. Nesse caso, o raio é o segmento CB. Podemos estabelecer uma relação matemática entre esses dois elementos, uma vez que o diâmetro é o dobro do raio.
d = 2 · r
Exemplo
Determine o raio de uma circunferência que possui diâmetro medindo 40 cm.
Sabemos que o diâmetro é o dobro do raio, assim:
Comprimento da circunferência
Considere uma circunferência que possui raio medindo r. O comprimento ou perímetro da circunferência é dado pelo produto da constante pi (π) pelo dobro do raio.
Ao calcularmos o comprimento ou perímetro de uma circunferência, estamos determinando o tamanho da linha verde no desenho anterior, e, para isso, basta substituir o valor do raio na fórmula que procede a figura.
Exemplo
Determine o comprimento da circunferência de raio 5 cm.
O raio da circunferência é igual 5 cm, logo, para determinar o comprimento da circunferência, devemos substituir esse valor na fórmula.
C = 2πr
C = 2(3,14)(5)
C = 6,24 · 5
C = 31,2 cm
Área da circunferência
Considere uma circunferência de raio r. Para calcular sua área, devemos multiplicar o quadrado do valor do raio por π.
Quando calculamos a área da circunferência, estamos determinando a medida da superfície, ou seja, toda região no interior da circunferência.
Exemplo
Determine a área de uma circunferência que possui raio igual 4 cm.
Temos que o raio da circunferência é igual a 4 cm, logo, podemos substituir essa medida na fórmula da área. Veja:
A = π · r2
A = 3,14 · (4)2
A = 3,14 · 16
A = 50,24 cm2
Medidas de Arcos de Circunferência
Na determinação dos arcos de uma circunferência podemos ter dois tipos de medições: a linear e a angular. A medida linear de um arco qualquer é a distância entre dois pontos A e B, postulados na extremidade da circunferência. Observe:
Com base na ilustração notamos que a medida do arco AB é igual à medida da reta EF (arco esticado), e a medida angular do arco AB corresponde à medida do ângulo central do arco, ou seja, a medida angular do arco AB é a mesma medida do ângulo central: m(AB) = m(AÔB). Para representar a medida angular de arcos de circunferência utilizamos as seguintes unidades: grau e radiano.
Arcos congruentes
Adição de arcos
Desigualdade de arcos
Setor circular
Um setor circular é uma região do círculo delimitada por dois de seus raios, partindo do centro e um arco. 
Usualmente podemos chamar um setor circular de “fatia de pizza”, pelo seu formato. O ângulo       é chamado de ângulo central.
Observe que sempre temos dois setores circulares, um maior e outro menor (partes cinza e azul, respectivamente).
Para calcular a área de um setor circular, utilizamos as fórmulas:
Segmento Circular
Considere um círculo c de centro OO e fixe dois pontos AA e BB da circunferência de cc.
Chamamos segmento circular a região do círculo c limitada pela corda e pelo arco da circunferência definidos por AA e BB.
Se A e B não forem extremidades de um diâmetro, o segmento circular definido também pode receber nomes particulares: se o arco que define o segmento circular for o chamado “arco menor”, então temos o segmento circular menor, caso contrário, temos um segmento circular maior.
Posições relativas entre reta e circunferência
Quando uma reta e uma circunferência são definidas sobre um mesmo plano, podemos analisar as posições que cada uma ocupa em relação à outra. O conjunto dos resultados dessa análise é conhecido como posições relativas entre reta e circunferência. Cada uma dessas posições observadas está relacionada a uma quantidade de pontos partilhados ou não pelas figuras entre si. A seguir, discutiremos quais são esses tipos de posições relativas.
Reta externa à circunferência
Quando a reta e a circunferência não possuem nenhum ponto sequer em comum, dizemos que a reta é externa à circunferência.
Assim, digamos que P seja um ponto da reta cuja distância até o centro da circunferência é a menor possível, e que C é um ponto qualquer da circunferência. Nessas circunstâncias, PC > r, em que r é o raio.
Observe que o segmento PC é perpendicular à reta, pois essa é a exigência para que ele seja o menor segmento a ligá-la ao centro da circunferência.
Reta tangente à circunferência
Quando a reta e a circunferência possuem apenas um ponto em comum, dizemos que a reta é tangente à circunferência.
Nesse caso, sendo P um ponto da reta cuja distância até o centro C seja a menor possível, PC = r, em que r é o raio da circunferência. Além disso, P é o ponto em comum entre as duas figuras, também chamado de ponto de tangência.
Observe que o raio da circunferência que contém o ponto P forma um ângulo de 90° com a reta tangente. Essa característica é uma propriedade desse tipo de posição: a reta tangente a uma circunferência de centro C, no ponto P, é perpendicular ao raio CP, independentemente da localização do ponto P ou da posição da reta.
Reta secante à circunferência
Quando a reta e a circunferência possuem dois pontos em comum, dizemos que a reta é secante à circunferência.
Seja P o ponto da reta cuja distância até o centro C da circunferência seja a menor possível, o segmento PC será perpendicular à reta e sua medida sempre será menor que o raio, ou seja, PC < r.
Na imagem, os pontos em comum entre a reta e a circunferência são A e B. Observe que foram formados dois triângulos: APC e BPC. Como os segmentos CA e CB são raios, eles possuem a mesma medida, por isso, o triângulo ABC é isósceles e, assim, os ângulos A e B apresentam a mesma medida. Além disso, os ângulos formados pelo segmento PC e a reta são de 90°, assim, considerando o caso LAA de congruência, concluímos que os triângulos APC e BPC são congruentes.