AULA 3 GA(ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIAS) 2017 ALUNOS

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11/3/2016 
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Circunferência é lugar geométrico dos pontos de um plano que 
distam igualmente, ou seja, de uma mesma medida – chamada 
raio, de um ponto fixo denominado centro. 
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
AULA 3 CIRCUNFERÊNCIAS 
 
Equação da reduzida da 
circunferência 
 A dedução da equação da circunferência segue a definição 
da distância entre dois pontos, onde temos um ponto 
qualquer (x,y) equidistantes do centro C(x0, y0) que é a 
medida do raio R. 
Então chegamos a equação: 
 (x – x0)
2 + (y – y0)
2 = R2 
 
Exemplo: a equação reduzida de uma circunferência de 
raio 8 e centro (5,-7) é: 
 
 
A equação geral de uma circunferência é 
definida quando se desenvolve a equação 
reduzida. Assim: 
(x – x0)
2 + (y –y0)
2 = R2 
(x2 – 2x0x + x
2
0) + (y
2 – 2y0y + y
2
0 ) = R
2 
x2 + y2 – 2x0x – 2y0 y + x
2
0 + y
2
0 – R
2 = 0 
 
Equação geral da circunferência 
 
x2 + y2 – 2x0x – 2y0 y + x
2
0 + y
2
0 – R
2 = 0 
 
Equação geral da circunferência 
 
²
2
2
2
0
2
0
0
0
Ryxp
yn
xm
generalizada: x2 + y2 + mx + ny + p = 0 
Exemplo 1: Encontre a equação geral da 
circunferência de raio 8 e centro (5,-7): 
Exemplo 2: Encontre a equação geral da 
circunferência de raio 4 e centro (3,-6): 
Para se determinar o centro e o raio de uma circunferência a 
partir da equação geral 
x2 + y2 + mx + nx + p = 0 
Temos os seguintes dados: 
 
Determinação de centro e raio a partir da 
equação geral 
²
2
2
2
0
2
0
0
0
Ryxp
yn
xm
pyxR
n
y
m
x
2
0
2
0
0
0
2
2
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Exemplo 1: Dadas as equações de circunferências 
abaixo, identificar o raio e as coordenadas do centro : 
a) x² + y² - 8x - 6y +10 = 0 
b) x² + y² - 5x + 11y + 1 = 0 
 
Exemplo 2: Monte as equações (reduzida e geral) das 
circunferências: 
a) C (0, 0) e R = 5 
b) C (1, -3) e R = 8 
c) C (0, 5) e R = 5 
 
2
Exemplo 3: Observe a figura abaixo e responda: 
a) Qual as equações (reduzida e geral) da 
circunferências: 
b) Qual o valor da área cinza da figura. 
 
Posição relativa entre reta e circunferência 
 
1. Reta externa à circunferência 
A reta s é externa à circunferência de centro O e raio R, então 
podemos propor a seguinte situação: a distância do centro da 
circunferência à reta s é maior que o raio da circunferência. 
D > R 
 
Posição relativa entre reta e circunferência 
 
2. Reta tangente à circunferência 
A reta s é tangente à circunferência de centro O e raio 
R, isto é, a reta s possui um ponto em comum com a 
circunferência, por isso podemos dizer que a distância 
entre centro O até a reta s possui a mesma medida. 
D = R 
 
Posição relativa entre reta e circunferência 
 
2. Reta secante à circunferência 
A reta s é secante à circunferência de raio R e centro O, 
a reta intercepta a circunferência em dois pontos. Nesse 
caso constatamos que a medida do raio da 
circunferência é maior que a medida da reta secante. 
D < R 
Exercícios 
1) Verifique qual a posição relativa da reta r: x - y + 3 = 0 em à 
circunferência (x - 4)2 + y2 = 3 
Resolução: Vamos encontrar o centro e o raio. 
2) Verifique se à reta r: x - y - 4 = 0 é tangente à 
circunferência (x - 2)2 + y2 = 2 
Resolução: Vamos encontrar o centro e o raio. 
3) Verifique a posição da reta r: x + y +1 = 0 em 
relação à circunferência: 
(x + 1)2 + (y + 1)2 = 1 
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5) Dada a equação de uma circunferência C 
 x2 + y2 – 2y – 7 = 0. 
 
a) Verifique se o ponto (2,3) pertence à 
circunferência. 
b) Determine os pontos onde a circunferência 
intercepta o eixo das coordenadas x e y. 
 
Dica para a letra b 
Substitua separadamente x = 0 e y = 0 
4) Obtenha as equações das retas de coeficiente 
angular a = -1 e que tangenciam a circunferência 
(x - 2)2 + (y - 2)2 = 8. 
6) O ponto A(–4, 3) é equidistante dos pontos P(–10, 1) e 
Q(x, y). Nessas condições, determine a equação da 
circunferência a qual Q pertence. 
Dica: Uma circunferência pode ser determinada por três pontos 
colineares. Escrevendo a fórmula da distância entre pontos e igualando 
as expressões. dAP = dAQ 
7) Encontre a equação reduzida da circunferência que 
passa pelos pontos (3, 0), (-6, -3) e (1, 4). 
 
Dica: Cada ponto satisfaz à equação da circunferência, 
então substitua cada ponto em uma equação reduzida da 
circunferência, e monte três sistema resolvendo dois a 
dois. 
8) Uma circunferência passa pelos pontos (2, 0), 
(2, 4) e (0, 4). Logo, a distância do centro dessa 
circunferência à origem é? 
 
9) Qual a distância entre os centros das 
circunferências: 
(x – 3)2 + y2 = 11 
x2 + y2 + 2x – 6y – 12 = 0 
Dica: Encontre os centros e depois aplique a 
fórmula de distância entre dois pontos. 
11) A circunferência de centro (1, 2) e raio 
, passa pelo ponto (2, p). Encontre os 
valores de p. 
5
12) Qual a equação da circunferência tangente 
ao eixo dos x na origem e que passa pelo 
ponto (3, 4). 
10) Encontre os pontos de interseção entre a reta 
r: x – y + 4 = 0 e a circunferência x2 + y2 – 2x – 4y – 
4 = 0. 
Dica: O ponto de interseção serão encontrados 
solucionando o sistema com as duas equações 
13) Dadas a circunferência 
C: x2 + (y – 2)2 = 9 e a reta ( r ) y = x – 5, qual 
a equação da reta perpendicular a (r) e que 
passa pelo centro de C. 
Resp: a) x + y – 2 = 0 
. 
1ª. Circunferências Tangentes externas: 
Quando possuem somente um ponto em comum e uma 
exterior à outra. A condição para que isso ocorra é que a 
distância entre os centros das duas circunferências seja 
equivalente à soma das medidas de seus raios. 
2121dc 
interseção de ponto um Tangente
rrc
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS 
 Em se tratando de posições relativas entre duas circunferências, 
elas podem ser: tangentes, secantes, externas, internas ou 
concêntricas. Vamos analisar cada caso. 
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2ª Tangentes internas. 
Quando possuem apenas um ponto em comum e uma 
esteja no interior da outra. A condição para que isso ocorra 
é que a distância entre os dois centros seja igual ao 
módulo da diferença entre os dois raios. 
2121dc 
interseção de ponto um Tangente
rrc
3ª Circunferências externas. 
Quando não possuem pontos em comum. A condição para 
que isso ocorra é que a distância entre os centros das 
circunferências deve ser maior que a soma das medidas de 
seus raios. 
2121dc 
interseção de ponto nenhum Externa
rrc
4ª Circunferências secantes. 
Quando possuem dois pontos em comum. A condição para 
que isso aconteça é que a distância entre os centros das 
circunferências deve ser menor que a soma das medidas 
de seus raios 
2121dc 
interseção de pontos dois Secante
rrc
5ª Circunferências internas. 
Quando não possuem pontos em comum e uma está 
localizada no interior da outra. A condição para que isso 
ocorra é que a distância entre os centros das 
circunferências deve ser menor que à diferença entre as 
medidas de seus raios. 
2121dc 
interseção de pontos Sem
rrc
6ª Circunferências concêntricas. 
Quando possuem o centro em comum. Nesse caso, a 
distância entre os centro é nula. 
0dc 
interseção de pontos Sem
21c
Exemplo 1) Verificar a posição relativa das 
circunferências: c1: (x - 1)² + (y - 3)² = 4 e 
c2: (x - 5)² + (y - 4)² = 25 
Dica: Encontre a distância dos centros e depois 
compare com a soma dos raios. 
Exemplo 2) Obtenha os pontos de interseção das 
circunferências: c1: x² + y² + 2x + 2y - 3 = 0 e 
c2: x² + y² - x – 4y - 3 = 0 
Exemplo 3) Para que valores de k as circunferências 
c1: x² + y² = 1 e c2: (x – 3)² + (y – 4)² = k são 
tangentes?