4-MecanicaFluidosII-Irrotacional

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1
ESCOAMENTO POTENCIAL
Escoamento de fluido não viscoso,   0 
Equação de Euler:
Escoamento de fluido incompressível r  cte 
Equação da continuidade: 
Escoamento Irrotacional 
Se o escoamento for irrotacional, uma grande simplificação pode ser 
obtida na obtenção do campo de escoamento: o campo de 
velocidades pode ser obtido sem a solução da equação de Euler. 
Pgρ
tD
VD
ρ grad


0V

div
0 VV

rot
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Para situações bi-dimensionais, pode-se utilizar o conceito de função 
de corrente 
Escoamento bi-dimensional, incompressível, não viscoso, 
irrotacional
função de corrente: 
 satisfaz a equação da continuidade
Se obrigarmos o escoamento a ser irrotacional, temos 
para situações 2-D, e escoamento plano, 
 satisfaz a equação de Laplace, para escoamento plano, não 
viscoso, irrotacional, incompressível
2
u
y
v
x
  
 

 

,
  

V 0







 



 
z
v
x
u
y x x y y
    





 





 0  
2 0
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3
Procedimento de solução: 
1. Resolve-se  2 0 com as condições de contorno apropriadas 
2. Obtém-se os componentes da velocidade u e v pela definição de função de corrente  
3. Obtém-se a pressão p pela equação de Euler 
Condições de contorno: 
 velocidade ao longe conhecida: 
 

 
y x
, conhecidos 
 superfície sólida: corpo cons te tan 
Coordenadas polares: função de corrente u
r
u
rr
  
1  
 
 

, 
 




 


 


 
 
 

z
r
r
r u
r r
u
r r
r
r r r
    





 





 0
1 1 1 1 1
 2 0 
 
Condições de contorno: 
 velocidade ao longe conhecida: 
 

 
 r
, conhecidos 
 superfície sólida: corpo cons te tan 
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 Sabemos que esta equação será sempre verdadeira se definirmos 
onde  é um potencial, já que o rotacional do gradiente de qualquer 
função potencial é sempre zero, .
4
  

V 0
 
V    
    0
u
x
v
y
w
z
     
 

 

 

, , u
r
u
r
u
zr z
     
 

 
 
 

, ,
1
coordenadas cartesianas: coordenadas cilíndricas:
Escoamento Tri-dimensional, Incompressível, Não 
Viscoso, Irrotacional
 Para situações 3-D, não podemos utilizar o conceito de função de 
corrente, já que a mesma só é definida para situações 2-D.
 Introduziremos um novo conceito:
FUNÇÃO POTENCIAL DE VELOCIDADE
 função potencial de velocidade é definida de forma a satisfazer a 
condição de escoamento irrotacional: 
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5
Se obrigarmos o escoamento irrotacional a satisfazer a equação de conservação de massa para 
fluidos incompressíveis,   

V 0 , temos 
 


 



 



 
x x y y z z






  





  





  0  
2 0 
 
 satisfaz a equação de Laplace, para escoamento não viscoso, irrotacional, 
incompressível, 2-D ou 3-D. 
 
Condições de contorno: 
 velocidade ao longe conhecida: 
 

 

 
x y z
, , conhecidos 
 superfície sólida, velocidade normal nula: 
 
 n
 0 
 
NÃO HÁ CONDIÇÃO IMPOSTA PARA O COMPONENTE 
TANGENCIAL 
 
 s
já que o escoamento é sem viscosidade 
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LINHAS DE CORRENTE E EQUIPOTENCIAIS SÃO ORTOGONAIS
Procedimento de solução: 
1. Resolve-se  2 0 com as condições de contorno apropriadas 
2. Obtém-se os componentes da velocidade u e v pela definição de função potencial  
3. Obtém-se a pressão p pela equação de Euler 
 
Obs: Podemos resolver  e  
a) linhas de corrente  = constante são sempre tangente ao campo de velocidade 
b) 
 
V      

V é perpendicular as linhas de  constante (equipotenciais) 
  e 
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Pergunta:
Existe alguma vantagem em resolver a 
equação de Laplace, ao invés da equação de 
Euler? 
SIM!!!
A análise da equação de Laplace está bastante 
desenvolvida. Existem diversas técnicas disponíveis
 superposição de soluções elementares
 análise numérica
 mapeamento conforme
 analogia elétrica
 etc.
7
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SOLUÇÕES ELEMENTARES PARA ESCOAMENTOS 
PLANOS
Vários problemas interessantes de escoamento potencial 
podem ser construídos a partir de três tipos de soluções 
elementares:
 escoamento uniforme
 fonte ou sorvedouro
 vórtice
As soluções destes problemas podem ser combinadas produzindo 
resultados úteis. Para isso, usamos o fato que a equação de Laplace é 
linear e o princípio de superposição
Se 1 e 2 são soluções da equação de Laplace, a soma de 1  2
também é solução.
8
       2 1
2
2
2
1 20 0 0   e ( )
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Exemplo 6.11: Escoamento sobre um Cilindro:
Superposição de Dipolo e Escoamento Uniforme.
Determine: (i) função corrente (ii) função potencial (iii) campo de velocidade
(iv) localize pontos de estagnação (v) campo de pressão
(vi) força resultante sobre o cilindro: arraste e sustentação
Solução: 
 escoamento uniforme: yU ; xU 
 dipolo: 

 sen
r
 ; 

 cos
r
 
(i) Função corrente: 

 senrUsen
r
 
(ii) Função potencial: 

 coscos rU
r
 
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u
r
u
rr
  
1  
 
 

,





 
r
1
u
r
ur ,
 eueuV rr

ou
(iii) Campo de velocidade:


 coscos rU
r





 











 






 22
22r
r
U
1senUsenUsen
rr
1
u
r
U
1UU
rr
u
/
/
coscoscos
(iv) pontos de estagnação: ponto onde 0V 

 logo 0ur  e 0u  
 
Note que 0ur  para qualquer  se  Ur / (r=cte  círculo) logo o raio do 
cilindro é Ua / 
Para ambos os componentes serem nulos, é preciso verificar se o componente angular pode 
ser nulo sobre a superfície do cilindro. 
Para r=a   senU2u . Então 0u  para = 0 e   
Os pontos de estagnação são (r, ) = (a, 0) e ( a,  
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A função de corrente pode representar um escoamento sobre um cilindro ou um semi- 
hemisfério 
   








U r sen
a
r
1
2
2
 
a 
A B 
O perfil de velocidade sobre a superfície do cilindro é   senU2uu ; 
 euV

 ;  senU2VV

 
0 45 90 135 180
0
1
2
| 
u
/U
 |
 
 B A 
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(v) campo de pressão: 
Para escoamento irrotacional podemos utilizar a EQUAÇÃO DE Bernoulli entre quaisquer 
dois pontos: ponto no infinito e ponto sobre a superfície do cilindro 
2
V
p
2
U
p
22
rr    2
222
sen41
2
U
p
2
V
2
U
pp r








r  
 
Coeficiente de pressão:   2
2p
sen41
2U
pp
C 
r

 
/
 
0 45 90 135 180

-3
-2
-1
0
1
C
 p
 
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Força resultante sobre o cilindro:
   
R F i F j p dA p n a L dA S
cilindro
       

0
2
   
n e i j senr  cos 
 
  
R p i jsen a L d F p a L d e F p sen a L dA S         cos cos      
  
0
2
0
2
0
2
 





rr


2
0
222
A dLasen4U
2
1
U
2
1
pF cos
 r 





r

 dsenLaU2dLaU
2
1
pF
2
0
22
2
0
2
A coscos 03
sen
U2senU
2
1
p
La
F
2
0
3
22
0
2A 

r





r



FA  0
 





rr


2
0
222
S dLasensen4U
2
1
U
2
1
pF
F
a L
p U U sen
S
 





   
1
2
2
3
2 02 0
2 2 2
0
2
r  r



cos
cos
( ) FS  0
Força de arraste:
Força de sustentação: 
 r 




r

 dsensenLaU2dsenLaU
2
1
pF
2
0
22
2
0
2
S
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Obs: 
1. Na realidade existe arraste, veremos que o escoamento separa, ocorre a formação de 
esteira. 
2. Todo escoamento com simetria em relação a horizontal, apresenta sustentação nula. 
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Exercício: Meia Superfície de Rankine 
Conhecendo o seguinte campo potencial    m r U rln cos , determine: 
i) o campo de velocidades 
ii) pontos de estagnação 
iii) as linhas de corrente 
iv) forma do corpo 
 
 
r 
 
x 
y 
a 
Sabe-se que x= r cos  y= r sen  , logo 
          m x y U x
m
x y U xln ln2 2 2 2
2
 
i) 
u
x
U
m x
x y
U
m r
r
U
m
r
   

   
 



2 2 2
cos
cos 
v
y
m y
x y
m r sen
r
m
r
sen  

 
 



2 2 2
 
Sabe-se que x= r cos  y= r sen  , logo 
          m x y U x
m
x y U xln ln2 2 2 2
2
 
i) 
u
x
U
m x
x y
U
m r
r
U
m
r
   

   
 



2 2 2
cos
cos 
v
y
m y
x y
m r sen
r
m
r
sen  

 
 



2 2 2
 
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ii) Ponto de estagnação: 

V  0 , 
i) velocidade vertical: v = 0 para  = 0 e  
ii) velocidade horizontal : 
 em  = 0 , u = U + m / r = 0  r < 0 impossível 
 em  =  , u = U - m / r = 0  r = m/U = a x = - a 
 
iii) u
y
U
m x
x y
dy f x U y m
y
x
f x   









   
 


2 2
1( ) tan ( ) 
v
x
m y
x y
dx g y m
y
x
g y    

  
 


2 2
1( ) tan ( ) 
 f(x) = 0 e g(y) = U y         U y m
y
x
U r sen mtan 1 
iv) o ponto de estagnação deve estar localizado sobre o corpo, logo o valor de  no ponto de 
estagnação é       m ou m 
O lugar geométrico da linha de corrente   m , a qual separa o escoamento da fonte do 
escoamento uniforme é     

m U r sen m r
m
U sen
  
 

( )
 
u
x
U
m x
x y
U
m r
r
U
m
r
   

   
 



2 2 2
cos
cos
v
y
m y
x y
m r sen
r
m
r
sen  

 
 



2 2 2
ii) Ponto de estagnação: 

V  0 , 
i) velocidade vertical: v = 0 para  = 0 e  
ii) velocidade horizontal : 
 em  = 0 , u = U + m / r = 0  r < 0 impossível 
 em  =  , u = U - m / r = 0  r = m/U = a x = - a 
 
iii) u
y
U
m x
x y
dy f x U y m
y
x
f x   









   
 


2 2
1( ) tan ( ) 
v
x
m y
x y
dx g y m
y
x
g y    

  
 


2 2
1( ) tan ( ) 
 f(x) = 0 e g(y) = U y         U y m
y
x
U r sen mtan 1 
iv) o ponto de estagnação deve estar localizado sobre o corpo, logo o valor de  no ponto de 
estagnação é       m ou m 
O lugar geométrico da linha de corrente   m , a qual separa o escoamento da fonte do 
escoamento uniforme é     

m U r sen m r
m
U sen
  
 

( )
 
ii) Ponto de estagnação: 

V  0 , 
i) velocidade vertical: v = 0 para  = 0 e  
ii) velocidade horizontal : 
 em  = 0 , u = U + m / r = 0  r < 0 impossível 
 em  =  , u = U - m / r = 0  r = m/U = a x = - a 
 
iii) u
y
U
m x
x y
dy f x U y m
y
x
f x   









   
 


2 2
1( ) tan ( ) 
v
x
m y
x y
dx g y m
y
x
g y    

  
 


2 2
1( ) tan ( ) 
 f(x) = 0 e g(y) = U y         U y m
y
x
U r sen mtan 1 
iv) o ponto de estagnação deve estar localizado sobre o corpo, logo o valor de  no ponto de 
estagnação é       m ou m 
O lugar geométrico da linha de corrente   m , a qual separa o escoamento da fonte do 
escoamento uniforme é     

m U r sen m r
m
U sen
  
 

( )
 
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 uniforme    U r sen 
 dipolo  

 
r
sen 
 vórtice     K
r
a
ln 
Definindo: a U
2   / , a referência 
 
   








U r sen
a
r
K
r
a
1
2
2
ln 
r = a é uma linha de corrente (  = 0)
u
r
U
a
r
r   









1
1
2
2
 
 
cos
Velocidade:
u
r
U sen
a
r
K
r
 

    








 1
2
2
Exercício: Escoamento ao redor de um cilindro com rotação 
Obtido com a combinação de escoamento:
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23
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24
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25
Distribuição de pressão: 
p V p U V u U sen
K
a
       





  
1
2
1
2
22 2 2 2
2
r r  
 
p p U U sen
K
a
U K
a
sen    








  
1
2
1
2
4
42 2 2
2
2
r r   
 
Força resultante sobre o cilindro: 
   
R F i F j p dA p n a L dA S
cilindro
       

0
2
 
   
n e i j senr  cos  
 
  
R p i jsen a L d F p a L d e F p sen a L dA S         cos cos      
  
0
2
0
2
0
2
 
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Força de arraste:  





r


2
0
2
A dLaU
2
1
pF cos 









  
r




 dsen
a
KU4
d
a
K
dsenU4La
2
2
0
2
0
2
22
0
22 coscoscos 
F
a L
p U
K
a
sen U
sen U K
a
senA
   











     
r
 r
 r 
 
2
2
3
2
2
02
2 0
2 2
3
0
2 2
0
2

FA  0 
Força de sustentação 
F p U
K
a
a L sen d a L U sen d
U K
a
sen dS    
















 








  

  
r
 
r
   
  
2 2
4
42
2
2
0
2
2 3
0
2
2
0
2
 
 
F a L p U
K
a
U a L sen
U K
a
a L
sen U K
a
a L
S   
















  
 





   
  
 
r
 r


r   r




2
2
3
2
2
2
2
4
0 0
2
2
2
2 0
2 2 2
0
2
0
2
cos
cos
( )
  
F K L US   2  r 
Força de arraste:  





r


2
0
2
A dLaU
2
1
pF cos 









  
r




 dsen
a
KU4
d
a
K
dsenU4La
2
2
0
2
0
2
22
0
22 coscoscos 
F
a L
p U
K
a
sen U
sen U K
a
senA
   











     
r
 r
 r 
 
2
2
3
2
2
02
2 0
2 2
3
0
2 2
0
2

FA  0 
Força de sustentação 
F p U
K
a
a L sen d a L U sen d
U K
a
sen dS    
















 








  

  
r
 
r
   
  
2 2
4
42
2
2
0
2
2 3
0
2
2
0
2
 
 
F a L p U
K
a
U a L sen
U K
a
a L
sen U K
a
a L
S   
















  
 





   
  
 
r
 r


r   r




2
2
3
2
2
2
2
4
0 0
2
2
2
2 0
2 2 2
0
2
0
2
cos
cos
( )
  
F K L US   2  r 
Angela Nieckele – PUC-Rio
27
1a Questão: Um cilindro é formado ao aparafusar duas calhas semi-cilíndricas pelo lado interno, 
como mostra a figura. Existem 10 parafusos por comprimento de largura em cada lado, e a pressão 
interna é 50 kPa (manométrica). Determine a força em cada parafuso, se o fluido externo é ar a 
CNTP (r  12 kg/m3). Utilize a teoria de escoamento potencial, logo, o escoamento ao redor do 
cilindro pode ser aproximado pela soma de um dipolo ( 

 
 sen
r
) com um escoamento 
uniforme (   U y ). 
 
U=25 m/s 
p = patm 
pin 
D = 20 cm 
Angela Nieckele – PUC-Rio
28







22
1
r
U
U
r
U
r
ur
/
cos
cos
cos













22
1
r
U
U
r
U
r
u
/
sin
sin
sin







em r=(/U)0.5 , ur=0, 
u= -2 U sin 
Entao R=D/2=(/U)0.5

 r
V
t
ds
V
g z
d p
cons te
s s
    
2
2
tan
rr
 pupU  
22
22
 r 2
2
41
2
sin 
U
ppPara r=cte, regime permanente = >
    





LRd
U
ppLRdppF inin r




sin)sin(sin)(
0
2
2
0
41
2
2
 
  
3
4
2
3
0
3
2
2
0
2
0
20
4
222






 








rr
sin
coscos
sinsin)( dLR
U
dLR
U
ppF in
NL
RU
pp
NL
F
in
223
16
2
2








r  )( mNNL
F
/,567
Angela Nieckele – PUC-Rio
29
2a Questão: Uma usina nuclear despeja Q = 8,5 m3/s de água quente, utilizada no processo de 
refrigeração no fundo do mar. O jato de água sai verticalmente do fundo do mar, que está a uma 
profundidade de b = 7,6 m. A corrente marinha é igual a U = 0,4 m/s. Por razões ecológicas é 
necessário saber, a que distância da saída da tubulação a corrente marinha é afetada pela água 
quente. De acordo com a figura, deseja-se saber a e L. Note que este escoamento pode ser 
representado por uma combinação de uma fonte e um escoamento uniforme. 
Sabe-se: 
 Escoamento uniforme: 
 yU 
 Fonte: 


2
b/Q
 
 x = r cos   
 y  r sen   
 
222 yxr   
)x/y(tan 1 
 
2 L
U
r
 x
y
a
 
Angela Nieckele – PUC-Rio
30





22
bQ
rU
bQ
yU
/
sin
/

x
ybQ
yU 1
2
 tan
/


r
bQ
U
r
ur




2
/
cos  


 sinUr
u 
Ponto de estagnação: u=0 , ur=0 u=0 em 0 e  
ur=0 em 0 impossível
em  se a = (Q/b)/(2  U)
Ponto de estagnação: r=a,  a = (Q/b)/(2  U)=0,44m
Linha de corrente que passa pelo ponto de estagnação: 
2
bQ
a
/
),( 
22
1 bQ
x
ybQ
yU
/
tan
/
 

Lugar geométrico desta linha de corrente:
U
bQ
x
y
U
bQ
y
22
1 /tan
/
 

Lyx 
U
bQ
U
bQ
L
zero
2
0
2
1 /tan
/
 
  

m
U
bQ
L 41
2
,
/

Angela Nieckele – PUC-Rio
31
Exercicio: Um tornado pode ser representado por um vórtice (=- K ln r). A pressão foi
medida a 0,5 m do centro do vórtice como sendo igual a 90 KPa. Qual a velocidade
nesta posição? Qual a intensidade K do vórtice?
0


r
ur
r
K
r
u 



2
2
222
r
K
uVV 


r

r
 2
2
1
2
22
21 p
V
p
V
atmprp  )( 0
2  )(rV
atmp
V
p 
2
2
1
1 sm
pp
V atm /)( 1352 11 


r
smrVK /, 276711 
Angela Nieckele – PUC-Rio
32
Questão: Um “chip” retangular de microcircuito flutua numa camada de ar (r=1,2
kg/m3), com espessura h= 0,5 mm, acima de uma superfície porosa. A largura do “chip” é
L= 20 mm, e a espessura é t = 2 mm, conforme mostrado. O seu comprimento b, na
direção perpendicular ao plano da figura, é igual 100 mm. Não há escoamento na direção
z. Admita que o perfil de velocidade na direção x, na fresta sob o “chip”, é uniforme em
y, isto é, não varia com y. O fluido é incompressível e os efeitos de atrito podem ser
desprezados. Estime a massa do “chip”, sabendo que vo= 3 m/s.
 
 
y 
L 
h 
x 
t 
vo 
u 
Balanço de forças no chip =>   0F
02
2
0
 
/L
atm dxbpLbpgm

2
0
2 / '
L
dxbp
g
m
atmppp 
'
Para avaliar a pressão, desprezando efeitos de 
atrito, aplicamos a equação de Bernoulli 22
2
2
2
/LVp
u
p atm rr
precisamos estimar a velocidade
utilizando a equação da continuidade 
0dAnVd
t SCVC
 r r

 
Angela Nieckele – PUC-Rio
33
0dAnVd
t SCVC
 r r

 
temos de vo x b = u b h => u= vo x / h 
2
22
2
222
22
2
22
2
2
h
xv
h
LvuV
ppp ooatm
L rrrr
)/(
´ /









r
2
0
2
2
2
22
41
8
2 /Lo dxb
L
x
h
Lv
g
m
=> m = 0,293 kg

2
0
2 / '
L
dxbp
g
m
h
L
LxuL ovV
2
22
/
)/(/ 








r
2
2
2
22
41
8 L
x
h
Lvo
b
L
LL
h
Lv
g
m o








r
2
3
2
22 2
3
4
28
2 )/(
b
h
Lv
g
b
h
Lv
g
m oo
2
32
2
32
12
1
3
1
8
2
rr