ATIVIDADE PRÁTICA - TRANSFORMADAS - TEMPO CONTÍNUO E DISCRETO

Prévia do material em texto

CENTRO UNIVERSITÁRIO INTERNACIONAL UNINTER
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Habilitação em Eletrônica
Nome
ATIVIDADE PRÁTICA
TRANSFORMADAS - TEMPO CONTÍNUO E DISCRETO
Porto Alegre
2020
ATIVIDADE PRÁTICA
Nome
Trabalho escrito de graduação a ser
apresentado à Disciplina de Trans-
formadas Tempo Contínuo e Dis-
creto do curso de Engenharia Elé-
trica da Universidade Uninter
Porto Alegre
2020
SUMÁRIO
1 ATIVIDADE ....................................................................................................................... 4
1.1 OBJETIVO ......................................................................................................................... 4
1.2 INTRODUÇÂO .................................................................................................................. 4
1.3 PROCEDIMENTOS.......................................................................................................... 4
2 PROBLEMAS ................................................................................................................... 5
3 REFERÊNCIAS ............................................................................................................. 12
4
1 ATIVIDADE
1.1 OBJETIVO
Essa atividade tem como intuito colocar em prática os métodos de resolução de equações
diferenciais por meio das Transformada sabor dadas na disciplina. Como contexto, utilizaremos
uma Equação Diferencial que descreve a corrente de um circuito. Com esta situação problema
você será capaz de compreender a importância e aplicação das Transformadas.Após o término
do relatório, o aluno deverá entregar em um ARQUIVO ÚNICO NO FORMATO PDF no AVA
no ícone trabalhos.
1.2 INTRODUÇÂO
Quando falamos sobre Equações Diferenciais, temos uma gama de métodos para resolver
esses problemas. As transformadas podem ser utilizadas como método de resolução destas
equações. Uma possível aplicação das Transformadasde Fourier, Laplace e Z ocorre no cálculo
da corrente em um circuito para um determinado instante.
1.3 PROCEDIMENTOS
• Desenvolver os cálculos detalhados para resolver os problemas enunciados
5
2 PROBLEMAS
QUESTÃO 01
Para um circuito em série contendo apenas um resistor e um indutor, a segunda Lei de
Kirchhoff estabelece que a soma das quedas de tensão no indutor (L) e no resistor (R) é igual à
tensão aplicada no circuito E(t), conforme ilustrado na figura:
Obtemos assim, a equação diferencial linear para a corrente i(t):
Com base nessas informações, suponha que uma bateria de 5 volts é conectada ao circuito
descrito acima, no qual a indutância é de 2H e a resistência é de 10 ohms. Determine a corrente
i(t) por meio da Transformada de Fourier.
Inicialmente faremos a substituição dos dados na Derivada.
2.i′+10 = 5
2F (i′)+10F (i) = 5
6
Aplicando a formula da transformada de funções derivada:
F { f n(x)}= (−ia)nF(a)
Reescrevendo
2(−ia)Y (a)+10Y (a) = 5
Colando Y( a ) e evidência
Y (a) =
5
−2ia+10
Transformada inversa
F−1 {F(α)}= 1
π
∫
∞
−∞
F(α)e−iαxdα
Substituindo, teremos:
F−1 {F(α)}= 1
π
∫
∞
−∞
5
−2ia+10
e−iαxdα
Resultando em
F−1 {F(α)}= 1
π
∫
∞
−∞
5e−iαx
−2ia+10
dα
7
QUESTÃO 02
Determine a corrente de um circuito, sabendo que
d2i
dt2
− di
dt
−6i = 0
Por meio da Transformada de Laplace, sabendo que
i(0) = 2e
di
dt
=−1
Comparando a Laplace a derivadas teremos;
i′′− i′−6i = 0
L {i′′}−L {i′}−L {6i}= 0
Aplicaremos o artifício das transformadas referente às funções derivadas
L {y′(y)}= sL {y(t)}− y0
L {y′′(y)}= sL {y(t)}− sy0− y′0
[
s2L {y(t)}− si(0)− i′(0)
]
− [sL {y(t)}− i(0)]−6 [sL {y(t)}] = 0
L {(t)}
[
s2− s−6
]
−2s+1+2 = 0
L {(t)}
[
s2− s−6
]
= 2s−3
8
L {(t)}= 2s−3
[s2− s−6]
L {(t)}= 2s−3
(s−3)(s+2)
Fazendo a decomposição por frações
L {(t)}= 2s−3
(s−3)(s+2)
=
A
(s−3)
+
B
(s+2)
2s−3
(s−3)(s+2)
=
(s+2)A
(s−3)
+
(s−3)B
(s+2)
Eliminando o denominador de ambas as frações
2s−3 = As+2A+Bs−3B => 2s3 = (A+B)s+(2A−3B) =>
Obtemos um sistema com duas incógnitas
AeB
 2 = A+B−3 = 2A−3B
Com a resolução do sistema obteremos;
A =
3
5
eB =
7
5
Substituindo A e B na Equação
L {(t)}= 2s−3
(s−3)(s+2)
=
A
(s−3)
+
B
(s+2)
L {(t)}= 2s−3
(s−3)(s+2)
=
3
5
(s−3)
+
7
5
(s+2)
=> L {(t)}= 3
5
(
2s−3
s−3
)
+
7
5
(
1
s+2
)
Utilizando a transformada inversa
L −1{ 1
s−a
}= eat
9
Teremos assim, o valor de corrente
i(t) =
3
5
e3t +
7
5
e−2t
QUESTÃO 03
Determine a corrente de um circuito, dado sua equação diferencial
Y n−2−Y n−1−6Y n = δ
Por meio da Transformada Z.
: Z {Y (n+ k)}= Y (z)∗ zk;Z {δ}= 1eF
(
z
z−a
)
= an
Aplicaremos a transformada Z na Equação
Y n−2−Y n−1−6n = δ
Z {yn−2}−Z {yn−1}−6Z {yn}= Z {δ}
Na tabela de transformada Z achamos os seguintes valores para resolução
Z {Y (n− k)}−Y (z)zkeZ {δ}= 1
Desenvolvendo
Y (z)
2
− Y (z)
z
−6Y (z) =>
Y (z)− zY (z)−6z2Y (z)
z2
= 1 =>
Y (z)− zY (z)−6z2Y (z) = z2 =>
Y (z) [1− z−6] = z2 => Y (z) z
2(
z+ 12
)(
z− 13
) =>
10
Y (z) = z
(
z2(
z+ 12
)(
z− 13
))
Decompondo em frações parciais, achamos as incógnitas necessária para substituição na
equação geral.
z(
z+ 12
)(
z− 13
) = A(
z+ 12
) + B(
z− 13
) =>
z(
z+ 12
)(
z− 13
) = A(z+ 13)(
z+ 12
) + B(z+ 12)(
z− 13
) =>
z = Az− A
a
+Bz+
B
2
=>
Isolando o Z teremos:
z = z(A+B)+
(
B
2
− A
3
)
=>
Teremos o sistema :
AeB
 1 = A+B0 = B2 − A3
Com o resultado do sistema teremos as incógnitas:
A =
3
5
eB =
2
5
Substituindo os valores de A e B na equação:
z(
z+ 12
)(
z− 13
) = A(
z+ 12
) + B(
z− 13
) =>
Obtemos a equação com os valores:
z(
z+ 12
)(
z− 13
) = 35(
z+ 12
) + 25(
z− 13
) =>
Substituiremos a equação na transfor mada, teremos:
11
Y (z) = Z
(
3
5
(
1(
z+ 12
))+ 2
5
(
1(
z− 13
)))
Aplicando a transformada inversa, sabemos que da tabela
F
(
z
z−a
)
= an
Temos:
Y n =
3
5
(
−1
2
)n
+
2
5
(
1
3
)n
12
3 REFERÊNCIAS
• NAGLE, Kent R.; SAFF, Edward B.; SNIDER, Arthur David. Equações diferenciais
8.ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013.PORTAL
• PORTAL EDUCAÇÃO. O Crime de Plágio. Disponível em: <https://www.portaleducacao.com.br/conteudo/artigos/direito/o-
crime-de-plagio/50044>, acesso em 11 de junho de 2018.J., ROBERTS. M. Fundamentos
de Sinais e Sistemas. ArtMed, 09/2010.
	1 ATIVIDADE
	1.1 OBJETIVO
	1.2 INTRODUÇÂO
	1.3 PROCEDIMENTOS
	2 PROBLEMAS
	3 Referências