Transformadas de Fourier

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TRANSFORMADAS: TEMPO 
CONTÍNUO E DISCRETO 
AULA 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Guilherme Augusto Pianezzer 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Caro aluno, na aula passada, vimos como definir a transformada de 
Fourier e a transformada de Fourier inversa de uma função 𝑓(𝑥) dada. Algumas 
funções e propriedades essenciais para o desenvolvimento desta aula foram 
apresentadas. 
O objetivo desta aula é mostrar como utilizar as ferramentas aprendidas 
para a resolução de importantes problemas matemáticos, como o cálculo de 
integrais impróprias, a resolução de equações diferenciais ordinárias, a 
resolução de equações diferenciais parciais e a resolução de equações íntegro-
diferenciais. 
Ao final desta aula, você será capaz de compreender a importância e a 
facilidade que a transformada de Fourier traz na resolução de problemas 
complexos. 
TEMA 1 – TRANSFORMADA DE FOURIER DE ALGUMAS FUNÇÕES NÃO 
ABSOLUTAMENTE INTEGRÁVEIS 
Vejamos como obter a transformada de Fourier em alguns casos 
específicos a partir das regras de transformação que foram obtidos na aula 
anterior. Por exemplo, seja a função 
f(x) = x3e−|x| 
Essa função f(x) se enquadra nas regras de derivadas de transformadas. 
Nesse caso, veja que 
ℑ{f(x)} = ℑ{x3e−|x|} 
Lembrando que 
ℑ{xng(x)} = (−i)nG(n)(α) 
Podemos escrever: 
ℑ{f(x)} = ℑ{x3e−|x|} = (−i)3G(3)(α) 
Como 
g(x) = e−|x|, 
 
 
3 
Então 
G(α) =
2
α2 + 1
 
Veja que as derivadas de G(α) podem ser obtidas pela regra da derivada 
da divisão. Nesse caso, obtemos: 
G′(α) =
4α
(α2 + 1)2
 
G′′(α) = 
4. (α2 + 1)2 − 8α(α2 + 1)
(α2 + 1)4
 
G′′′(α) =
α2 + 1 − 4α2
(α2 + 1)3
 
Unindo todas as informações, obtemos: 
ℑ{f(x)} = (−i)3G(3)(α) = i.
(α2 + 1 − 4α2)
(α2 + 1)3
 
TEMA 2 – CÁLCULO DE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 
Vejamos como utilizar as transformadas de Fourier para resolver o cálculo 
de Integrais Impróprias. Para isso, vamos considerar um exemplo extraído de 
Rudimar, (2014, p. 137). 
Neste exemplo, seja f(x) = {
x2, |x| ≤ 1
0, |x| > 1
 
Podemos determinar a transformada de Fourier da função f(x). Será dada 
por: 
ℑ{f(x)} = F(α) 
Veja que pela definição da transformada de Fourier aprendida na aula 
anterior, podemos encontrar F(α): 
F(α) = ∫ f(x)eiαxdx
∞
−∞
 
Como existe uma porção da função f(x) o qual o resultado é zero, 
podemos atualizar o limite de integração da seguinte forma: 
 
 
4 
F(α) = ∫ x2. eiαxdx
1
−1
 
Lembre-se que pela Identidade de Euler, podemos reescrever a função 
exponencial complexa como uma soma de senos e cossenos. Nesse caso, 
F(α) = ∫ x2eiαxdx
1
−1
= ∫ x2[cos(αx) + i. sen(αx)dx
1
−1
 
F(α) = ∫ x2 cos(αx) dx
1
−1
+ ∫ x2sen(αx)dx
1
−1
 
Veja que uma das funções que estão sendo integradas é uma função par, 
enquanto a outra é uma função ímpar. Utilizando as propriedades de simetria 
aprendidas na primeira aula, podemos reescrever F(α) de forma simplificada, 
obtendo: 
F(α) = 2. ∫ x2 cos(αx) dx
1
0
 
Veja que pela integral por partes, podemos calcular a seguinte integral: 
∫ x2 cos(αx) dx =
x2sen(αx)
α
+
2xcos(αx)
α2
−
2sen(αx)
α3
+ C 
Portanto, 
F(α) = 2. [
x2sen(αx)
α
+
2xcos(αx)
α2
−
2sen(αx)
α3
]
0
1
 
Substituindo os limites de integração, obtemos: 
F(α) = 2. [
senα
α
+
2 cos(α)
α2
−
2sen(α)
α3
] 
TEMA 3 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
Podemos utilizar as regras vistas na aula anterior referentes a obtenção 
das transformadas de Fourier para obter a solução de algumas equações 
diferenciais. Veja a seguinte equação diferencial 
6𝑦′′(𝑥) + 3𝑦′(𝑥) + 𝑦(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
 
 
5 
Resolver a equação diferencial é encontrar a expressão 𝑦(𝑥) que torna a 
igualdade verdadeira. Para isso, podemos aplicar a transformada de Fourier em 
ambos os lados da equação, obtendo: 
ℑ{6𝑦′′(𝑥) + 3𝑦′(𝑥) + 𝑦(𝑥)} = ℑ{𝑓(𝑥)} 
Veja que, se a função 𝑓(𝑥) for conhecida e possuir uma transformação 
para ela, será então dada por: 
ℑ{𝑓(𝑥)} = 𝐹(𝛼) 
Então podemos reescrever a equação diferencial dada por: 
ℑ{6𝑦′′(𝑥) + 3𝑦′(𝑥) + 𝑦(𝑥)} = 𝐹(𝛼) 
Veja que podemos utilizar a propriedade de linearidade, apresentada na 
aula anterior, para separar os termos de um dos lados da equação. Assim, 
teremos: 
6ℑ{𝑦′′(𝑥)} + 3ℑ{𝑦′(𝑥)} + ℑ{𝑦(𝑥)} = 𝐹(𝛼) 
Veja que, se a função 𝑦(𝑥) possuir uma transformação, podemos 
escrever: 
ℑ{𝑦(𝑥)} = 𝑌(𝛼) 
Além disso, conhecemos as regras das transformadas de Fourier das 
derivadas de funções. No caso, as derivadas primeiras e segundas podem ser 
transformadas como se segue: 
ℑ{𝑦′(𝑥)} = −𝑖𝛼𝑌(𝛼) 
ℑ{𝑦′′(𝑥)} = −𝛼2𝑌(𝛼) 
Aplicando as transformadas de Fourier na equação diferencial 
6ℑ{𝑦′′(𝑥)} + 3ℑ{𝑦′(𝑥)} + ℑ{𝑦(𝑥)} = ℑ{𝑓(𝑥)} 
−6𝛼2𝑌(𝛼) − 3𝑖𝛼𝑌(𝛼) + 𝑌(𝛼) = 𝐹(𝛼) 
Veja que a nova equação obtida possui um formato simples de resolução 
se tivermos interesse de encontrar 𝑌(𝛼). Nesse caso, podemos colocar 𝑌(𝛼) em 
evidência e obter: 
 
 
6 
𝑌(𝛼). (−6𝛼2 − 3𝑖𝛼 + 1) = 𝐹(𝛼) 
𝑌(𝛼) =
𝐹(𝛼)
−6𝛼2 − 3𝑖𝛼 + 1
 
Veja que encontramos a transformada de Fourier da solução 𝑦(𝑥),𝑌(𝛼). 
Para encontrar 𝑦(𝑥) a partir de 𝑌(𝛼) basta utilizarmos a transformada inversa. 
Nesse caso, aplicando a transformada inversa à função dada, obtemos: 
𝑦(𝑥) = ℑ−1{𝑌(𝛼)} =
1
𝜋
∫ 𝑌(𝛼)𝑒−𝑖𝛼𝑥𝑑𝛼
∞
−∞
 
𝑦(𝑥) =
1
𝜋
∫
𝐹(𝛼)
(−6𝛼2 − 3𝑖𝛼 + 1)
𝑒𝑖𝛼𝑥𝑑𝛼
∞
−∞
 
No caso em que a função 𝑓(𝑥) não é conhecida, o resultado fica em 
função da integral imprópria que define a transformada inversa de Fourier. Veja 
que esse resultado depende apenas da transformada de Fourier da função 
faltante. Vejamos um caso em que conhecemos a função 𝑓(𝑥). Por exemplo, a 
seguinte equação diferencial 
𝑦′′(𝑥) + 𝑦(𝑥) = 𝛿(𝑥) 
Possui uma resolução semelhante. Aplicando a transformada de Fourier 
de ambos os lados, obtemos: 
ℑ{y′′(x) + y(x)} = ℑ{δ(x)} 
Utilizando as mesmas regras de linearidade e de aplicação da 
transformada da derivada, além da transformada da função delta de Dirac, 
ℑ{δ(x)} = 1, podemos escrever: 
ℑ{y′′(x)} + ℑ{y(x)} = ℑ{δ(x)} 
−𝛼2𝑌(𝛼) + 𝑌(α) = 1 
𝑌(𝛼)(−𝛼2 + 1) = 1 
𝑌(𝛼) =
1
−α2 + 1
 
Aplicando a transformada inversa, podemos obter 𝑦(𝑥): 
 
 
7 
𝑦(𝑥) = ℑ−1{𝑌(𝛼)} = ℑ−1 {
1
−𝛼2 + 1
} =
1
2𝜋
∫
1
(−𝛼2 + 1)
. 𝑒𝑖𝛼𝑥𝑑𝛼
∞
−∞
 
TEMA 4 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 
As transformadas de Fourier podem ser utilizadas na resolução de 
equações diferenciais parciais, assim como aquelas vistas na aula 2, equação 
do calor, equação da onda e equação de Laplace. A resolução dessas equações 
diferenciais parciais pelo uso das transformadas apresenta uma nova estratégia 
na resolução de problemas que pode facilitar em alguns casos. Vejamos o caso 
da equação do calor. Como visto na aula 2, esse problema pode ser modelado 
por: 
{
∂u
∂t
= k
∂2u
dx2
u(x, 0) = f(x) = {
1, se |x| ≤ 1
0, se |x| > 1
 
Para a resolução deste problema, precisamos das regras das 
transformadas de Fourier das derivadas parciais. São elas: 
ℑ{u(x, t)} = U(α, t) 
ℑ{ux(x, t)} = −iαU(α, t) 
ℑ{uxx(x, t)} = −α
2U(α, t) 
ℑ{ut(x, t)} =
d
dt
U(α, t) 
Aplicando a transformação em ambos os lados da equação do calor, 
obtemos: 
∂u
∂t
= k
∂2u
dx2
 
ℑ {
∂u
∂t
} = ℑ {k
∂2u
dx2
} 
Aplicando a propriedade de linearidade, visto que k é uma constante. 
ℑ {
∂u
∂t
} = k. ℑ {
∂2u
dx2
} 
 
 
8 
Aplicando as transformadas das derivadas parciais, escrevemos: 
d
dt
U = −kα2U 
Veja que chegamos a uma equação diferencial de primeira ordem em 
relação a U(α, t). Existem várias resoluções aprendidas na disciplina de 
equações diferencias. Uma estratégia simples que pode ser aplicada nessa 
equação é o método de separação das variáveis. Nesse caso, separamos ambos 
os lados da equação, obtendo: 
1
U
dU
dt
 = −kα2 
Veja que em um dos termos da equação, existe a derivada pela regra da 
cadeia da função ln(U(α, t)). Nesse caso, podemos reescrever: 
d
dt
ln(U) = −kα2 
Integrando ambos os lados emrelação a t, obtemos: 
∫
d
dt
ln U dt = ∫ −kα2dt 
ln U = −kα2t + C 
E arranjando as constantes, encontramos uma expressão para U(α, t): 
U(α, t) = K. e−kα
2t 
Veja que essa expressão representa a solução geral da equação 
diferencial na forma transformada. Antes de aplicar a transformada inversa, 
podemos encontrar o valor das constantes de integração na forma atual. Veja 
que a condição de contorno é de que 
u(x, 0) = f(x) = {
1, se |x| ≤ 1
0, se |x| > 1
 
Entretanto, precisamos da condição de contorno na forma transformada 
para podermos aplicar na solução geral. Nesse caso, aplicamos a transformada 
de Fourier em ambos os lados da condição de contorno: 
u(x, 0) = f(x) 
 
 
9 
ℑ{u(x, 0)} = ℑ{f(x)} 
U(α, 0) =
2sen(α)
α
 
visto que a transformada de f(x) pode ser obtida diretamente para o caso 
da função sinal, como visto na aula anterior. Aplicando a condição de contorno 
transformada na condição de contorno, obtemos: 
U(α, t) = Ke−kα
2t 
U(α, 0) = K =
2sen(α)
α
 
Portanto, a solução geral da equação da onda na forma transformada se 
torna: 
U(α, t) =
2sen(α)
α
e−kα
2t 
A solução geral da equação da onda final é dada aplicando-se a 
transformada inversa na expressão U(α, t): 
ℑ−1{U(α, t)} = u(x, t) =
1
2π
∫ U(α, t)e−iαtdα
∞
−∞
 
u(x, t) =
1
2π
∫
2sen(α)
α
e−iαtdα
∞
−∞
 
TEMA 5 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INTEGRAIS E DE EQUAÇÕES ÍNTEGRO-
DIFERENCIAIS 
Para a solução de equações que envolvam integrais, vejamos o exemplo 
apresentado por (Rudimar, 2014, p. 151). Nesse exemplo, vamos considerar a 
seguinte equação: 
f(x) = f(x − 3) + xe−3|x| + ∫ g(u)f(x − u)du
∞
−∞
 
No qual g(x) = {
1, |x| ≤ 3
0, |x| > 3
. 
 
 
10 
Vejamos como utilizar as propriedades de transformadas para resolver 
este problema sem precisar calcular as integrais impróprias que surgem na 
definição da transformada de Fourier. Inicialmente, aplicamos as transformadas 
de Fourier em ambos os lados da equação dada. Obtemos assim: 
ℑ{f(x)} = ℑ {f(x − 3) + xe−3|x| + ∫ g(u)f(x − u)du
∞
−∞
} 
Veja que podemos aplicar a propriedade de linearidade para separar um 
dos termos da equação. Obtemos assim: 
ℑ{f(x)} = ℑ{f(x − 3)} + ℑ{xe−3|x|} + ℑ {∫ g(u)f(x − u)du
∞
−∞
} 
Vejamos as propriedades que serão usadas para cada uma das quatro 
transformações que surgiram. Inicialmente, a transformada de f(x) é F(α). 
Desejamos encontrar uma expressão explícita para F(α) para aplicarmos a 
transformada inversa. 
O segundo termo da equação, ℑ{f(x − 3)} considera a propriedade de 
translação no tempo. Lembre-se que 
ℑ{f(x − a)} = eiaαF(α) 
ℑ{f(x − 3)} = e3iαF(α) 
O terceiro termo da equação, ℑ{xe−3|x|} pode ser reescrito como a 
propriedade das derivadas das transformações de Fourier. Lembre-se que 
ℑ{xf(x)} = −iF′(α) 
Portanto, 
ℑ{xe−3|x|} = −i. F′(α), para f(x) = e−3|x| 
Como visto nas tabelas de transformadas: 
ℑ{e−3|x|} = F(α) =
2.3
32 + α2
=
6
32 + α2
 
F′(α) =
12α
(9 + α2)2
 
Com essas informações, 
 
 
11 
ℑ{xe−3|x|} =
12iα
(9 + α2)2
. 
Por fim, o último termo da equação que buscamos resolver, ∫ g(u)f(x −
∞
−∞
u)du pode ser reescrito como uma convolução das duas funções f(x) e g(x), ou 
seja, 
(f ∗ g)(x) = ∫ g(u). f(x − u)
∞
−∞
 
E aplicando a propriedade de transformada de Fourier da convolução de 
duas funções, obtemos: 
ℑ{(f ∗ g)(x)} = ℑ{f(x)}. ℑ{g(x)} = F(α). G(α) 
No caso da função g(x) e sua transformação serem conhecidas, como 
apresentada no início do enunciado, por 
g(x) = {
1, |x| ≤ 3
0, |x| > 3
 
ℑ{g(x)} = G(α) =
2sen(3α)
α
 
podemos escrever: 
ℑ{(f ∗ g)(x)} =
2sen(3α)
α
F(α). 
Agora podemos juntar todas as transformadas conhecidas na equação 
que buscamos resolver. Nesse caso, 
ℑ{f(x)} = ℑ {f(x − 3) + xe−3|x| + ∫ g(u)f(x − u)du
∞
−∞
} 
F(α) = e3iαF(α) +
12iα
(9 + α2)2
+
2sen(3α)
α
F(α) 
Colocando F(α) na forma explícita para podermos calcular sua 
transformada inversa, obtemos: 
F(α). (1 − e3iα −
2sen(3α)
α
) =
12iα
(9 + α2)2
 
 
 
12 
F(α) =
12iα
(9 + α2)2
(1 − e3iα −
2sen(3α)
α )
=
12iα
(9 + α2)2 (1 − e3iα −
2sen(3α)
α )
 
Por fim, basta aplicarmos a transformada inversa para encontrarmos a 
solução y = f(x) 
y = f(x) = ℑ−1{F(α)} = ℑ−1 {
12iα
(9 + α2)2 (1 − e3iα −
2sen(3α)
α )
} 
y = f(x) =
1
2π
∫ [
12iα
(9 + α2)2 (1 − e3iα −
2sen(3α)
α )
] e−iαxdα
∞
−∞
 
FINALIZANDO 
Nesta aula, você viu como a utilização das transformadas de Fourier 
facilita a resolução de problemas matemáticos complexos, mas ela não é a única 
transformação existente. 
Nas aulas seguintes, veremos a transformada de Laplace e a 
transformada Z, que, com estratégias similares às utilizadas até aqui, resolvem 
problemas matemáticos avançados. 
Ao final do curso, você será capaz de utilizar várias ferramentas que 
costumam ser utilizadas em resolução de problemas específicos de cada curso, 
como nas disciplinas de sinais e controle. 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
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ed. AMGH, 2013. 
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SPIEGEL, M. R. Análise de Fourier. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 1976. 
ZILL, D. G., CULLEN, M. R. Matemática avançada para engenharia. 3. ed. 
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ZILL, D. G., CULLEN, M. Matemática avançada para engenharia. 3. ed. v. 3. 
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