Transformadas: Tempo Contínuo e Discreto

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TRANSFORMADAS: TEMPO 
CONTÍNUO E DISCRETO 
AULA 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Guilherme Augusto Pianezzer 
 
 
2 
 
CONVERSA INICIAL 
Nas aulas passadas, aprendemos a utilizar as transformadas de Fourier 
e as transformadas de Laplace para resolver problemas envolvendo equações 
diferenciais específicas. 
Nessa aula, vamos discutir como utilizar a Transformada-Z como uma 
outra ferramenta que pode ser utilizada para resolver outras classes de 
problemas. 
TEMA 1 – TRANSFORMADA-Z 
A transformada-Z, atua, assim como a transformada de Fourier e a 
transformada de Laplace, como uma alteração na função 𝑓(𝑥) que permite 
reescrever o problema em um formato mais simplificado. 
A principal diferença que a transformada-Z apresenta é que a função 
que será transformada não é uma função contínua, mas sim discreta. 
Denotamos por Ζ{𝑓𝑛} = 𝐹(𝑧) a transformada-Z da função 𝑓𝑛. 
 Dizemos que uma função 𝑓𝑛 possui transformada quando a série dada a 
seguir converge para algum complexo: 
Ζ{𝑓𝑛} = 𝐹(𝑧) = ∑𝑓𝑛𝑧
−𝑛
∞
𝑛=0
 
Ζ{𝑓𝑛} = 𝑓0 + 𝑓1𝑧
−1 + 𝑓2𝑧
−2 +⋯𝑓𝑛𝑧
−𝑛 
Ζ{𝑓𝑛} = 𝑓0 +
𝑓1
𝑧
+
𝑓2
𝑧2
+
𝑓3
𝑧3
+⋯ 
Vejamos o caso da função definida a seguir: 
𝑓(𝑥) =
{
 
 
 
 
2, 𝑛 = 0
−1, 𝑛 = 1
1, 𝑛 = 2
−2, 𝑛 = 3
3, 𝑛 = 4
−4, 𝑛 = 5
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
Vamos determinar Ζ{𝑓𝑛}: 
Ζ{𝑓𝑛} = 𝑓(0) + 𝑓(1)𝑧
−1 + 𝑓(2)𝑧−2 + 𝑓(3)𝑧−3 + 𝑓(4)𝑧−4 + 𝑓(5)𝑧−5 
 
 
3 
Ζ{𝑓𝑛} = 2 − 𝑧
−1 + 𝑧−2 − 2𝑧−3 + 3𝑧−4 − 4𝑧−5 
Ζ{𝑓𝑛} = 2 −
1
𝑧
+
1
𝑧2
−
2
𝑧3
+
3
𝑧4
−
3
𝑧5
 
Essa representa a transformada-Z de 𝑓𝑛. Vejamos o caso da função 
delta de Dirac. Essa função também apresenta uma transformação específica. 
Para isso, é necessário escrever uma versão discreta da função delta de Dirac, 
visto que a transformada-Z só é aplicável a funções discretas. Nesse caso, 
𝑓𝑛 = {
1, 𝑛 = 0
0, 𝑛 ≠ 0
 
Sua transformada-Z pode ser obtida a partir da definição: 
Ζ{𝑓𝑛} = 𝑓0 = 1 
Vejamos o caso em que 𝑓𝑛 = 1 para qualquer 𝑛 pertencente ao domínio 
discreto. Nesse caso, a função sempre retorna 1. Podemos definir sua 
transformada-Z: 
Ζ{𝑓𝑛} = Ζ{1} = ∑𝑧
−𝑛
∞
𝑛=0
= 1 +
1
𝑧
+
1
𝑧2
+
1
𝑧3
+⋯ 
Ζ{1} = ∑
1
1 −
1
𝑧
∞
𝑛=0
=
𝑧
𝑧 − 1
 
Vejamos o caso em que 𝑓𝑛 = 𝑒
𝑎𝑛 para alguma constante 𝑎 e para 
qualquer 𝑛 pertencente ao domínio discreto. Nesse caso, sua transformada-Z é 
dada por: 
Ζ{𝑓𝑛} = Ζ{𝑒
𝑎𝑛} = ∑𝑒𝑎𝑛𝑧−𝑛
∞
𝑛=0
= ∑(
𝑒𝑎
𝑧
)
𝑛∞
𝑛=0
 
Ζ{𝑓𝑛} = 1 +
𝑒𝑎
𝑧
+
𝑒2𝑎
𝑧2
+
𝑒3𝑎
𝑧3
+⋯ 
Ζ{𝑓𝑛} =
1
1 −
𝑒𝑎
𝑧
=
𝑧
𝑧 − 𝑒𝑎
 
Vejamos o caso em que 𝑓𝑛 = 𝑎
𝑛 com𝑎 constante e 𝑛 qualquer 
pertencente ao domínio discreto. Nesse caso, sua transformada-Z é dada por: 
 
 
4 
Ζ{𝑓𝑛} = Ζ{𝑎
𝑛} = ∑𝑎𝑛𝑧−𝑛
∞
𝑛=0
=∑(
𝑎
𝑧
)
𝑛
∞
𝑛=0
 
Ζ{𝑓𝑛} = 1 +
𝑎
𝑧
+
𝑎2
𝑧2
+
𝑎3
𝑧3
+⋯ 
Ζ{𝑓𝑛} =
1
1 −
𝑎
𝑧
=
𝑧
𝑧 − 𝑎
 
Conhecendo algumas funções básicas, como as apresentadas nesse 
tema, pode-se utilizar-se as propriedades das transformadas-Z, que serão 
discutidas na sequência, para encontrar a transformada-Z de funções mais 
complexas. 
TEMA 2 – PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA-Z 
A transformada-Z, assim como a transformada de Laplace e a 
transformada de Fourier, apresentam a propriedade de linearidade. No que se 
refere à transformada-Z, podemos escrever essa propriedade na forma: 
Ζ{𝑎𝑓𝑛 + 𝑏𝑔𝑛} = aΖ{𝑓𝑛} + 𝑏Ζ{𝑔𝑛} = 𝑎𝐹(𝑧) + 𝑏𝐺(𝑧). 
Essa propriedade, inclusive, permite encontrar a transformada-Z de mais 
algumas funções complexas, como é o caso de 
Ζ{senh(an)} = Ζ {
eaz − 𝑒−𝑎𝑧
2
}. 
Como visto na temática anterior, 
Ζ{ean} =
𝑧
𝑧 − 𝑒𝑎
 
Utilizando esse resultado e a propriedade de linearidade, podemos 
escrever: 
Ζ{senh(an)} =
1
2
(Ζ{ez} − Ζ{e−z}) 
=
1
2
(
𝑧
𝑧 − 𝑒𝑎
−
𝑧
𝑧 − 𝑒−𝑎
) =
𝑧 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎)
𝑧2 − 2𝑧𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎) + 1
 
De forma análoga, podemos utilizar a propriedade de linearidade para 
encontrar que 
 
 
5 
Ζ{cosh(an)} =
z(z − cosha)
z2 − 2𝑧𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎) + 1
 
Ζ{sen(an)} =
zsen(a)
z2 − 2𝑧𝑐𝑜𝑠(𝑎) + 1
 
Ζ{cos(an)} =
z(z − cos(a))
z2 − 2𝑧𝑐𝑜𝑠(𝑎) + 1
 
A transformada-Z também tem a propriedade de translação. Nesse caso, 
Ζ{fn+k} = 𝑧
𝑘 [𝐹(𝑧) −∑𝑓𝑛𝑧
−𝑛
𝑘−1
𝑛=0
] 
Por exemplo, se estivermos interessados em obter 
Ζ{ea(n+2)} = 𝑧𝑘 [𝐹(𝑧) −∑𝑓𝑛𝑧
−𝑛
𝑘−1
𝑛=0
] 
= 𝑧2[
𝑧
𝑧 − 𝑒𝑎
−∑𝑓𝑛𝑧
−𝑛
1
𝑛=0
= 𝑧2 [
𝑧
𝑧 − 𝑒𝑎
− 𝑓0 −
𝑓1
𝑧
] 
𝑒2𝑎𝑧
𝑧 − 𝑒𝑎
 
Também possui a propriedade de similaridade, ou seja 
Ζ{βn𝑓𝑛} = 𝐹 (
𝑧
𝛽
) 
Por exemplo, se estivermos interessados em obter 
Ζ{ean𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑛)} = 𝐹 (
𝑧
𝑏
) =
𝑧
𝑒𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝑏)
(
𝑧
𝑒𝑎)
2
− 2(
𝑧
𝑒𝑎) cos
(𝑏) + 1
 
Essas e outras propriedades também ajudam a encontrar a 
transformada de outras funções complexas. Veja, na Tabela 1, algumas das 
transformadas obtidas até aqui. 
Tabela 1 – Transformada-Z de algumas funções elementares discretas 
𝑓𝑛 𝐹(𝑧) 
𝛿 1 
1 𝑧
𝑧 − 1
 
 
 
6 
𝑒𝑎𝑛 𝑧
𝑧 − 𝑒𝑎
 
𝑎𝑛 𝑧
𝑧 − 𝑎
 
𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑛) 𝑧𝑠𝑒𝑛(𝑎)
𝑧2 − 2𝑧𝑐𝑜𝑠(𝑎) + 1
 
cos (𝑎𝑛) 𝑧(𝑧 − cos(𝑎))
𝑧2 − 2𝑧𝑐𝑜𝑠(𝑎) + 1
 
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑛) 𝑧𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎)
𝑧2 − 2𝑧𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎) + 1
 
cosh (𝑎𝑛) 𝑧(𝑧 − cosh(𝑎))
𝑧2 − 2𝑧𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎) + 1
 
𝑛 𝑧
(𝑧 − 1)2
 
𝑛2 𝑧(𝑧 + 1)
(𝑧 − 1)3
 
𝑛3 𝑧(𝑧2 + 4𝑧 + 1)
(𝑧 − 1)4
 
TEMA 3 – TRANSFORMADA-Z INVERSA 
Vejamos como realizar a operação inversa e obter, com base na forma 
transformada de uma função, sua forma original. Para isso, vejamos o seguinte 
exemplo: 
𝐹(𝑧) = 4 + 3𝑧−1 + 7𝑧−4 
Desejamos encontrar 
𝑓𝑛 = Ζ
−1{𝐹(𝑧)} 
𝑓𝑛 = Ζ
−1{4 + 3𝑧−1 + 7𝑧−4} 
Pela propriedade de linearidade, podemos escrever: 
𝑓𝑛 = 4Ζ
−1{1} + 3Ζ−1 {
1
𝑧
} + 7Ζ−1 {
1
𝑧4
} 
Consultando a Tabela 1 e utilizando as propriedades, podemos verificar 
que: 
Ζ−1{1} = 𝛿(𝑛) 
Ζ−1 {
1
𝑧
} = 𝛿(𝑛 − 1) 
 
 
7 
Ζ−1 {
1
𝑧4
} = 𝛿(𝑛 − 4) 
Nesse caso, 
𝑓𝑛 = 𝛿(𝑛) + 𝛿(𝑛 − 1) + 𝛿(𝑛 − 4) 
Vejamos o seguinte exemplo: 
𝐹(𝑧) = 2 −
3𝑧
𝑧 − 4
 
Desejamos encontrar 
𝑓𝑛 = Ζ
−1{𝐹(𝑧)} 
𝑓𝑛 = Ζ
−1 {2 −
3𝑧
𝑧 − 4
} 
Pela propriedade de linearidade: 
𝑓𝑛 = 2Ζ
−1{1} − 3Ζ−1 {
𝑧
𝑧 − 4
} 
Consultando a Tabela 1, podemos verificar que: 
Ζ−1{1} = 𝛿 
Ζ−1 {
𝑧
𝑧 − 4
} = 4𝑛 
Portanto, 
𝑓𝑛 = 2𝛿 − 3.4
𝑛 
TEMA 4 – SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM CONDIÇÕES 
INICIAIS 
Vejamos a resolução da seguinte equação diferencial: 
{
𝑦𝑛+2 + 3𝑦𝑛+1 + 2𝑦𝑛 = 3
𝑛
𝑦0 = 1
𝑦1 = 1
 
Podemos aplicar a transformada-Z em ambos os lados para encontrar a 
solução da equação dada. Nesse caso, teremos: 
𝑦𝑛+2 + 3𝑦𝑛+1 + 2𝑦𝑛 = 3
𝑛 
Ζ{yn+2 + 3yn+1 + 2yn} = Ζ{3
n} 
Aplicando a propriedade da linearidade, escrevemos: 
 
 
8 
Ζ{yn+2} + 3Ζ{yn+1} + 2Ζ{yn} = Ζ{3
n} 
Consultando a Tabela 1 para cada uma das transformadas indicadas, 
podemos reescrever a expressão da seguinte forma: 
𝑧2 [𝑌(𝑧) − 𝑦0 −
𝑦1
𝑧
] + 3𝑧[𝑌(𝑧) − 𝑦0] + 2𝑌(𝑧) =
𝑧
𝑧 − 3
 
Aplicando as condições iniciais, dadas no problema, escrevemos: 
𝑧2𝑌(𝑧) − 𝑧2 − 𝑧 + 3𝑧𝑌(𝑧) − 3𝑧 + 2𝑌(𝑧) =
𝑧
𝑧 − 3
 
Para encontrarmos a solução, 𝑌(𝑧), no domínio transformado, 
primeiramente isolamos 𝑌(𝑧), como se segue: 
𝑌(𝑧)(𝑧2 + 3𝑧 + 2) =
𝑧
𝑧 − 3
+ 𝑧2 + 4𝑧 
𝑌(𝑧) =
(
𝑧
𝑧 − 3 + 𝑧
2 + 4𝑧)
𝑧2 + 3𝑧 + 2
 
𝑌(𝑧) =
(
𝑧
𝑧 − 3 + 𝑧
2 + 4𝑧)
(𝑧 + 1)(𝑧 + 2)
 
𝑌(𝑧) =
𝑧
(𝑧 − 3)(𝑧 + 1)(𝑧 + 2)
+
𝑧2
(𝑧 + 1)(𝑧 + 2)
+
4𝑧
(𝑧 + 1)(𝑧 + 2)
 
Essas frações podem ser decompostas pela técnica de decomposição 
em frações parciais. Nesse caso, obtemos: 
𝑌(𝑧) = −
6
5
(
𝑧
𝑧 + 1
) − 3 (
𝑧
𝑧 + 2
) +
26
5
(
𝑧
𝑧 − 3
) 
Assim, podemos aplicar a Transformada Inversa para obtermos a 
solução da Equação proposta: 
𝑦𝑛 = Ζ
−1{Y(z)} 
𝑦𝑛 = Ζ
−1 {−
6
5
(
z
z + 1
) − 3 (
z
z + 2
) +
26
5
(
z
z − 3
)} 
Aplicando a propriedade de linearidade, escrevemos: 
𝑦𝑛 = −
6
5
Ζ−1 {
𝑧
𝑧 + 1
} − 3Ζ−1 {
z
z + 2
} +
26
5
Ζ−1 {
z
z − 3
}9 
Consultando a tabela de transformadas, podemos escrever: 
𝑦𝑛 =
6
5
(−1)𝑛 − 3(−2)n +
26
5
3n 
 
TEMA 5 – EXEMPLOS 
Para finalizar outro exemplo será realizado. Seja a equação diferencial 
dada por: 
𝑦𝑛 −
3
4
𝑦𝑛−1 +
1
8
𝑦𝑛−2 = 𝛿(𝑛) 
Para encontrarmos a solução 𝑦𝑛 que satisfaça essa equação, aplicamos 
a transformada-Z em ambos os lados da equação, obtendo: 
Ζ {yn −
3
4
yn−1 +
1
8
yn−2} = Ζ{δ(n)} 
Aplicando a propriedade de linearidade em ambos os lados, podemos 
escrever: 
Ζ{yn} −
3
4
Ζ{yn−1} +
1
8
Ζ{yn−2} = Ζ{δ(n)} 
Consultando a Tabela 1 para as transformadas-Z de cada função, 
obtemos: 
𝑌(𝑧) −
3
4
𝑌(𝑧)
𝑧
+
1
8
𝑌(𝑧)
𝑧2
= 1 
Isolando 𝑌(𝑧) para obter a solução no novo domínio, obtemos: 
8𝑧2𝑌(𝑧)
8𝑧2
−
3𝑌(𝑧)2𝑧
8𝑧2
+
𝑌(𝑧)
8𝑧2
= 1 
(8𝑧2 − 6𝑧 + 1)𝑌(𝑧) = 8𝑧2 
𝑌(𝑧) =
8𝑧2
8𝑧2 − 6𝑧 + 1
 
Ou escrito de outra forma: 
𝑌(𝑧) =
𝑧2
(𝑧 −
1
2) (𝑧 −
1
4)
 
 
 
10 
Para encontrar a inversão de 𝑌(𝑧), que nos dá a solução procurada, 
devemos decompor essa fração pela técnica de decomposição em frações 
parciais, como no caso anterior. Nesse caso, escrevemos que: 
𝑌(𝑧) =
2𝑧
𝑧 −
1
2
−
𝑧
𝑧 −
1
4
 
Aplicando a transformada inversa, obtemos a solução desejada: 
𝑦𝑛 = Ζ
−1{
2𝑧
𝑧 −
1
2
−
𝑧
𝑧 −
1
4
} 
Aplicando a propriedade de linearidade, obtemos: 
𝑦𝑛 = 2Ζ
−1 {
z
z −
1
2
} − Ζ−1 {
z
z −
1
4
} 
Consultando a tabela das transformadas-Z elementares, obtemos: 
𝑦𝑛 = 2(
1
𝑛
)
𝑛
− (
1
4
)
𝑛
 
FINALIZANDO 
Neste curso, foi possível aprender como utilizar a transformada-Z para 
resolver problemas matemáticos, especialmente na solução de equações 
diferenciais de diversos tipos. 
Essas equações diferenciais serão utilizadas nas disciplinas práticas de 
Engenharia na simulação de diversos fenômenos físicos. 
 
 
 
11 
REFERÊNCIAS 
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problemas de valores de contorno. 10. ed. São Paulo: LTC, 2015. 
BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. 10. ed. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 2004. 
BRANDAO, J. C.; ABRAHAM, A.; SAMPAIO, R. N. Princípios de 
comunicações. Rio de Janeiro: Interciência, 2014. 
BRONSON, R.; COSTA, G. Equações diferenciais. 3. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2008. 
ÇENGEL, Y. A.; PALM III, W. J. Equações diferenciais. Porto Alegre: AMGH, 
2014. 
DINIZ, P. R.; SILVA, E. B. da; NETTO, S. L. Processamento digital de sinais: 
projeto e análise de sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 
FIGUEIREDO, D. G. de. Análise de Fourier e equações diferenciais 
parciais. 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012. 
HSU, H. P. Sinais e sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012. 
KREYSZIG, E. Advanced engineering mathematics. 9. ed. Hoboken: J. 
Wiley, 2006. 
NAGLE, R. K.; SAFF, E. B.; SNIDER, A. D. Equações diferenciais. 8. ed. São 
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NALON, J. A. Introdução ao processamento digital de sinais. São Paulo: 
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OPPENHEIM, A. V.; SCHAFER, R. W. Processamento em tempo discreto 
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OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S.; NAWAB, S. H. Sinais e sistemas. 2. ed. 
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ROBERTS, M. J. Fundamentos de sinais e sistemas. Porto Alegre: ArtMed, 
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SPIEGEL, M. R. Análise de Fourier. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 1976. 
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Porto Alegre: Bookman, 2011. v. 1. 
_____. Matemática avançada para engenharia. 3. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2011. v. 3.