Prova 1 - Metodos Matematicos em Biologia I

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Instituto de Biofísica Carlos Chagas Filho
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Métodos Matemáticos em Biologia - P1
06/01/2021
O raciocínio para resolução das questões é tão importante quanto a resposta �nal.
Indique de forma clara os passos da resolução.
As questões não precisam ser apresentadas em ordem, mas devem ser claramente
identi�cadas por número e item.
Escreva o seu nome e DRE na folha com as respostas
Você não precisa imprimir esta folha
1. Considere 3 funções contínuas f(x), g(x) e h(x), tais que
f(2) = 10 lim
x→5
f(x) = 2
lim
x→2
g(x) = −3 lim
x→−1
g(x) = 2
h(5) = 5 h(−3) = π
. Determine
(a) (5 pontos) lim
x→2
f(x)− g(x)
(b) (5 pontos) lim
x→2
√
2x− 2
g(x)
(c) (5 pontos) lim
x→−3
1− cos(h(x))
(d) (5 pontos) lim
x→1
f(3x2 + 2x)
(e) (5 pontos) lim
x→5
h(x)
(x2 − 29
6
x− 5
6
)2
(f) (5 pontos) lim
x→−1
g(x)2 + 2g(x)− 8
(g) (5 pontos) lim
x→5
h(g(f(h(x))))
(h) (5 pontos extra) A partir do teorema do valor intermediário e da de�nição de continuidade,
responda:
i. O que podemos a�rmar sobre as raízes de f(x) sabendo que g(x)/f(x) é contínua em todos
os pontos?
ii. Por que podemos a�rmar que h(x)/g(x) não é contínua em todos os pontos?
2. (25 pontos) Para as funções abaixo determine
� as raízes dos denominadores;
� se possuem assíntotas verticais (limite para as raízes do denominador);
� se possuem assíntotas horizontais (limites no in�nito);
� e se são funções limitadas.
(a) f(x) =
x2 − 1
x3 − x2 + x− 1
(b) g(x) =
2(x2 − x− 2)
3x2 − 6x
3. (15 pontos) Calcule os limites abaixo. Considere B = (quinto digito do seu DRE) + 1
(a) lim
x→π/2
sen(Bx) + cos(Bx)
ex + x− π/2 (b) limx→B2
B −
√
x
x
B
−B
(c) lim
x→27
3
√
x− 3
3− x
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MMB-1 Primeira Prova, Pág. 2 de 2 06/01/2021
4. (15 pontos) Considere C = (sétimo dígito do seu DRE) + 1, e os limites fundamentais trigonométrico
e exponencial, para calcular os limites abaixo
(a) lim
x→0
tg(Cx2)
x
(b) lim
x→0+
(1 + 2x)Cx
(c) lim
x→−1
ln
(
(2 + x)C
)
1 + x
5. (10 pontos) Utilize o teorema do confronto para determinar os limites abaixo
(a) lim
x→3
(
2 + sen
(
ln(x+ 2)− 1
x3 − 27
))
(x2 − 8
3
x− 1)
(b) lim
x→4
g(x), se
√
x2 + 9 ≤ g(x) ≤ −(x+ 6)
2− x
Questão 1 2 3 4 5 Total
Pontos 35 25 15 15 10 100
Pontos obtidos
Lembretes
lim
x→0
senx
x
= 1 lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
= e lim
h→0
ln(1 + h)
h
= 1