gabaritotarefa1-2020-2

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Tarefa 1 - MAT 1260 – 2020.2
Gabarito
1) Determine todos os posśıveis vetores u = (x, y) ∈ R2 cuja projeção ortogonal no vetor
v = (1, 1) seja o vetor
w =
(
1
2
,
1
2
)
.
Resposta: Observe que os vetores u cuja projeção ortogonal no vetor v é o vetor w são
da forma
u = w + tn, t ∈ R,
onde n é qualquer vetor não nulo ortogonal a v = (1, 1), por exemplo o vetor n = (1,−1).
Portanto
u = (a, b), a =
1
2
+ t, b =
1
2
− t, t ∈ R.
Se você escolhe outro vetor ortogonal diferente obterá parametrizações diferentes dos ve-
tores u.
Outra forma de escrever a solução anterior é
u = (a, b), a+ b = 1.
Você pode também aplicar diretamente a fórmula da projeção ortogonal: seja u = (a, b),
(a, b) · (1, 1)
(1, 1) · (1, 1)
(1, 1) = (1
2
, 1
2
).
Ou seja,
a+ b
2
(1, 1) = (1
2
, 1
2
), (a+ b)(1, 1) = (1, 1), a+ b = 1.
2) Considere o sistema de equações lineares
(?)

2x+ y − z = −2,
x+ y + αz = −4,
3x+ y − 2z = β,
α, β ∈ R.
Determine α e β de modo que o sistema possua infinitas soluções.
Resposta: Em primeiro lugar permutamos as duas primeiras equações:
x+ y + αz = −4,
2x+ y − z = −2,
3x+ y − 2z = β.
Escalonando agora o sistema com as operações elementares L2 − 2L1 e L3 − 3L1 obtemos
o sistema linear equivalente:
x+ y + αz = −4,
−y + (−1− 2α)z = 6,
−2y + (−2− 3α)z = β + 12,
,
Fazendo L3 − 2L2 temos: 
x+ y + αz = −4,
−y + (−1− 2α)z = 6,
αz = β.
Queremos que o sistema seja posśıvel e indeterminado. Portanto,
α = 0, β = 0.