Proporcionalidade e Regra de 3

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Para quem não me conhece, meu nome é Henrique Tiezzi, sou formado 
em Física Médica pela Unesp de Botucatu, depois estudei dois anos na 
Europa (Itália e Inglaterra). De volta ao Brasil, trabalhei um ano com pesquisa 
no LNBio (Laboratório Nacional de Biociências) dentro do CNPEM (Centro 
Nacional de Pesquisa em Energia e Materiais) localizado em Campinas/
SP, até me render a vida de concurseiro. Após quase um ano de estudo, fui 
aprovado, em 2013, no concurso de Agente Fiscal de Rendas do Estado de 
São Paulo, o famoso ICMS/SP, cargo que ocupo desde então.
Nesse e-book falaremos de proporção e regra de 3, aprendendo a forma 
como montar e resolver esses exercícios de forma mais rápida e direta.
APRESENTAÇÃO
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SUMÁRIO
PROPORCIONALIDADE
.........................................................................................4
1.1 Grandezas diretamente proporcionais...................................4
1.2 Grandezas inversamente proporcionais ................................5
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
.........................................................................................10
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1.Proporcionalidade
Para entrarmos no conceito de proporção, primeiro é importante entendermos o signifi cado 
de razão. Razão é uma forma de comparação de duas grandezas, realizada através da divisão 
de uma grandeza pela outra. Por exemplo, em uma sala com 100 alunos, 30 são mulheres e 
70 são homens. Nesse caso temos duas grandezas, quantidade de mulheres e quantidade 
de homens. A razão entre a quantidade de homens e a quantidade de mulheres é de 70/30, 
que pode ser simplifi cada para 7/3, ou seja, a razão entre homens e mulheres nesta sala é de 
7/3 (sete terços), para cada 3 mulheres na sala, temos 7 homens.
Entendido o conceito de razão, passaremos agora a proporção, que é a igualdade expressa 
entre duas razões. Utilizando o exemplo acima, considerando “M” o número de mulheres na 
sala, e “H” o número de homens, podemos escrever a proporção da seguinte maneira:
Ou seja, a razão entre homem e mulher é de sete para três.
Grandeza é tudo aquilo que pode ser contado, medido, pesado, ou seja, tudo que pode ser 
quantifi cado. Por exemplo: número de dias, horas trabalhadas, número de operários em uma 
obra, entre outros.
Existem dois tipos de relação entre grandezas, as diretamente proporcionais e as inversamente 
proporcionais.
1.1. Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando, à medida que uma 
aumenta a outra também aumenta, bem como, à medida que uma diminui a outra 
também diminui.
Exemplifi cando: Vamos pensar em uma construção, onde temos as grandezas: 
quantidade de trabalhadores (T1) e área construída por dia (A1).
Se aumentarmos a quantidade de trabalhadores (T2) a área construída por eles em um 
mesmo período de tempo (A2) será maior ou menor? Com certeza maior, portanto, à 
medida que uma grandeza aumenta a outra também aumenta, nesse caso temos duas 
grandezas diretamente proporcionais. Ou seja, quanto mais gente trabalhando maior 
será a área construída.
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1.2. Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando, à medida que uma 
aumenta a outra diminui, bem como, à medida que uma diminui a outra aumenta.
Exemplifi cando: Vamos pensar naquela mesma construção do exemplo acima, 
mas agora considerando as grandezas: quantidade de trabalhadores (T1) e horas 
trabalhadas por dia (H1). Se aumentarmos a quantidade de trabalhadores (T2), para 
construir a mesma área, os trabalhadores deverão trabalhar mais ou menos horas 
no dia (H2)? Com certeza menos, portanto à medida que eu aumento o número de 
trabalhadores a eu diminuo a quantidade de horas trabalhadas no dia, nesse caso 
temos duas grandezas inversamente proporcionais. Ou seja, se eu tiver mais gente 
para realizar uma obra, eles farão a obra mais rápido, o que quer dizer que, quanto 
mais trabalhador, menor o tempo de trabalho.
 OK professor, mas e na hora de resolver o exercício, como montar isso? 
Bom, vamos usar os exemplos acima para montar os problemas. Inicialmente 
devemos identifi car as grandezas, e colocar na primeira linha as condições iniciais e 
na segunda, as novas condições:
Exemplo1.1: Nesse caso as grandezas são: quantidade de trabalhadores e área 
construída. As condições iniciais eram T1 e A1, e as novas condições são T2 e A2.
Qtdd. trabalhadores Área construída
 T1 A1
 T2 A2
 Após relacionar as grandezas, e as condições iniciais e as novas, devemos analisar 
se as grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Assim 
devemos colocar uma seta em uma das grandezas, vamos escolher a grandeza que 
tem a incógnita, apontando a ponta da seta para o “X”. Vamos supor que nossa 
incógnita está na posição do T2, assim colocamos a primeira seta com a ponta para 
o T2.
Qtdd. trabalhadores Área construída
 T1 A1
 T2 A2
 
 
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Agora, temos que colocar a seta na segunda grandeza. Caso a grandeza seja 
diretamente proporcional, a seta será na mesma direção da primeira, caso a grandeza 
seja inversamente proporcional, a seta será no sentido inverso. Nesse caso, como 
falamos acima, se aumentarmos a quantidade de trabalhadores (T2) a área construída 
(A2) será maior, portanto, as grandezas são diretamente proporcionais, e as setas 
fi carão no mesmo sentido.
Qtdd. trabalhadores Área construída
 T1 A1
 T2 A2
Feito isso, como as duas setas estão no mesmo sentido, caímos em uma regra de três 
comum, onde multiplicaremos em cruz. Portanto:
Qtdd. trabalhadores Área construída
 T1 A1
 T2 A2
Chegamos à proporção: T1 x A2 = T2 x A1
Exemplo 1.2: Nesse caso as grandezas são: quantidade de trabalhadores e horas 
trabalhadas por dia. As condições iniciais eram T1 e H1, e as novas condições são T2 
e H2.
Qtdd. trabalhadores Horas por dia
 T1 H1
 T2 H2
 O próximo passo é analisar se as grandezas são diretamente proporcionais 
ou inversamente proporcionais. Considerando novamente T2 como incógnita, 
colocaremos a seta com a ponta em T2.
 T1 A1
 T2 A2
 T1 A1
 T2 A2
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Qtdd. trabalhadores Horas por dia
 T1 H1
 T2 H2
 Nesse segundo caso, se aumentarmos a quantidade de trabalhadores (T2), para a 
construção de uma mesma área, a quantidade de horas trabalhadas será menor (H2), 
portanto as grandezas são inversamente proporcionais, e a seta será colocada no 
sentido oposto.
Qtdd. trabalhadores Horas por dia
 T1 H1
 T2 H2
Aqui está a diferença do primeiro exemplo, para podermos multiplicar em cruz, 
devemos inverter a seta de uma das grandezas. Nesse casovamos inverter a grandeza 
“Horas por dia”, e assim multiplicarmos em cruz. Portanto:
Qtdd. trabalhadores Horas por dia
 T1 H2
 T2 H1
Feita a inversão, chegamos à proporção: T1 x H1 = T2 x H2
Outra forma de montar a equação, que para algumas pessoas é mais fácil de decorar, 
pois não precisa fi car invertendo as setas, e a equação já sai montada diretamente 
com o “X” isolado, além de ser aplicado para todos os casos, inclusive nas regras de 
três compostas, é da seguinte forma: 
Lembrando, a seta deve estar apontada para a incógnita, ou seja, para o “x”. Como 
determinamos que o T2 é a incógnita do nosso problema, vou substituir o T2 pelo “X”. 
Assim temos a seguinte montagem:
 T1 H1
 T2 H2
 T1 H1
 T2 H2
 T1 H2
 T2 H1
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Qtdd. trabalhadores Horas por dia
 T1 H1
 X H2
Para montar a equação colocamos o “X” isolado de um lado do igual, e depois 
colocamos no numerador (em cima), o termo que acompanha o “X” (no caso o T1) 
multiplicado pelas pontas das outras setas (H1), e no denominador (embaixo) os 
outros termos (nesse caso o H2), fi cando com a equação da seguinte forma:
 
Esse tipo de montagem facilita muito na resolução de questões de regra de três 
compostas, como veremos a seguir. Mas antes, vamos fazer um exercício de fi xação 
de regra de três simples.
1. (Cespe – Policial Rodoviário Ferderal – 2013 - Adaptada) Considerando que uma 
equipe de 30 operários, igualmente produtivos, construa uma estrada de 10 km 
de extensão em 30 dias, julgue o item a seguir.
Se, ao iniciar a obra, a equipe designada para a empreitada receber reforço de 
uma segunda equipe, com 90 operários igualmente produtivos e desempenho 
igual ao dos operários da equipe inicial, então a estrada será concluída em 
menos de 1/5 do tempo inicialmente previsto.
Primeiramente devemos identifi car quais são as grandezas relacionadas e qual 
é a incógnita do problema. Nas questões da Cespe, por ser de “certo e errado”, o 
examinador não pede para calcular um determinado dado, mas sim para avaliar se 
aquele dado que ele fornece está correto. Para descobrirmos tudo isso, devemos 
olhar na pergunta do examinador, onde ele diz que inicialmente eram 30 operários 
para construir uma estrada em 30 dias, e depois pede para avaliar a quantidade de 
dias necessários para construir, essa mesma estrada, com 90 operários a mais. 
Analisando essas informações identifi camos que nossas grandezas são “número 
de operários” e “dias de trabalho”, e minha incógnita é o total de dias de trabalho 
nesse segundo momento, com mais operários. Nota-se que o examinador fala em 90 
operários a mais, no segundo momento, o que signifi ca que somando os 30 iniciais 
 T1 H1
 X H2
 
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com esse reforço de 90, temos um total de 120 operários. Portanto, montando nosso 
problema temos:
Qtdd. operários Dias de trabalho
 30 30
 120 X 
 Agora colocaremos as setas, primeiro colocaremos a seta apontando para o “X”.
Qtdd. operários Dias de trabalho
 30 30
 120 X 
Depois avaliaremos se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. Nesse 
caso se aumentarmos o número de operários, será necessário aumentar ou diminuir 
a quantidade de dias trabalhados? Com certeza a resposta é diminuir, portanto as 
grandezas são inversamente proporcionais, pois aumentando a quantidade de 
trabalhadores irá diminuir a quantidade de dias trabalhados para construir a mesma 
estrada. Assim a seta fi cará no sentido inverso da primeira.
Qtdd. operários Dias de trabalho
 30 30
 120 X 
Pronto, problema quase resolvido, agora é só montar a equação. Primeiro o “X” isolado 
de um lado do igual, do outro lado, no numerador (em cima) vão multiplicados, o número 
que acompanha o “X” (30) e a ponta da outra seta (30 também), e no denominador (em 
baixo) o número que sobra (120).
 30 30
 120 X 
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Simplifi cando* o primeiro 30 com o 120, resta: 
Chegamos que o tempo necessário para a construção dessa estrada com 120 
operários é de 7,5 dias. A questão afi rma que esse tempo é menor que 1/5 (um quinto) 
do tempo inicial. Se o tempo inicial era de 30 dias, 30 dividido por 5 resulta em 6 dias. 
Portanto 1/5 do tempo inicial são 6 dias. 
Logo o tempo necessário para a construção é de 7,5 dias, portanto maior que 1/5 do 
tempo inicial que corresponde a 6 dias. Afi rmação errada do examinador.
GABARITO: ERRADO
* A simplifi cação é a divisão de um número do numerador e de um número do 
denominador pelo mesmo número, no caso dividimos o primeiro 30 do numerador 
por 30, e o 120 também por 30, resultando, respectivamente, em 1 e 4.
2.Regra de três composta
Na regra de três composta a diferença é que teremos mais de duas grandezas relacionadas, 
normalmente nas questões de concurso se trabalha com 3 grandezas.
A fórmula de resolução é semelhante à regra de três simples (com duas grandezas). Primeiro 
relacionamos as grandezas envolvidas, depois colocamos os valores das condições iniciais, 
e depois as das condições fi nais do problema, em seguida colocamos a primeira seta 
apontada para o “X” e posteriormente colocamos o restante das setas, considerando se as 
grandezas são direta ou inversamente proporcionais. Vamos aprender diretamente com um 
exercício da nossa banca.
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2. (Cespe – Analista Administrativo – TCE-ES – Ciências Contábeis – 2013) Em um 
tribunal, 20 auditores igualmente efi cientes, trabalhando durante 30 dias, emitem 
42 pareceres. Se mais 5 auditores, com a mesma efi ciência, se juntarem à equipe 
inicial, essa nova equipe emitirá, em 40 dias:
a) 70 pareceres.
b) 80 pareceres.
c) 90 pareceres.
d) 50 pareceres.
e) 60 pareceres.
Lembrando, primeira coisa a se fazer é entender quais são as grandezas. Olhando o 
enunciado vemos que as grandezas são: “quantidade de auditores”, “número de dias” 
e “quantidade de pareceres”. A incógnita, nesse caso, vemos que é a quantidade 
de pareceres que será emitido no caso de alterarmos a quantidade de auditores e a 
quantidade de dias trabalhados. Portanto a montagem do problema será:
Auditores Dias Pareceres
 20 30 42
 25 40 X 
O próximo passo é colocar a seta apontada para o “X”. 
Auditores Dias Pareceres
 20 30 42
 25 40 X 
Depoistemos que colocar o restante das setas, considerando se as grandezas são 
direta ou inversamente proporcionais. Vamos olhar primeiro a grandeza “Auditores”, 
se aumentarmos o número de auditores aumentará ou diminuirá a quantidade de 
pareceres feitos? A resposta é aumentará, portanto essas são grandezas diretamente 
proporcionais e a seta será na mesma direção. Agora vamos olhar a grandeza “Dias”, 
se eu precisar aumentar meu número de pareceres, eu vou precisar de mais ou menos 
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dias? Com certeza a resposta será mais dias, portanto essa grandeza também é 
diretamente proporcional e a seta também será na mesma direção.
Auditores Dias Pareceres
 20 30 42
 25 40 X 
Agora para montar nossa equação deixamos o “X” isolado de um lado do igual, e do 
outro lado, no numerador (em cima), multiplicamos o valor que está junto com o “X” 
na seta (42) e as pontas das outras setas (40 e 25), e no denominador (em baixo) o 
restante dos números (20 e 30).
GABARITO: A
(Cespe – Assistente Técnico-Administrativo (MIN) – 2013 - Adaptada) Determinada 
construtora emprega 200 empregados na construção de cisternas em cidades 
assoladas por seca prolongada. Esses empregados, trabalhando 8 horas por 
dia, durante 3 dias, constroem 60 cisternas. Com base nessas informações e 
considerando que todos os empregados sejam igualmente efi cientes, julgue os 
itens de 3 e 4.
Nessa questão as três grandezas são: “Horas por dia” (h/d), “dias” e “número de 
cisternas”. Em todos os itens o examinador pede o número de cisternas.
 20 30 42
 25 40 X 
 20 30 42
 25 40 X 
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3. Se todos os empregados trabalharem 6 horas por dia durante 8 dias, então, 
nesse período, eles construirão menos de 110 cisternas.
 h/dh/d DiasDias CisternasCisternas
 8 3 60 8 3 60
 6 8 X 6 8 X 
Agora devemos ver se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais, 
comparando a grandeza “cisternas” com as outras duas. Se aumentarmos o número de 
horas trabalhadas por dia iremos aumentar o número de cisternas construídas, portanto 
as grandezas são diretamente proporcionais. Da mesma forma, se aumentarmos 
os dias trabalhados, iremos aumentar o número de cisternas construídas, portanto 
também são diretamente proporcionais. Nesse caso todas as setas estão no mesmo 
sentido.
 h/d Dias Cisternas
 8 3 60
 6 8 X 
Montando a equação: o “X” fi ca isolado de um lado do igual, e do outro lado no 
numerador (em cima) multiplicam-se o número que acompanha a grandeza do X, e as 
pontas das setas, e no denominador (em baixo) o restante dos números.
GABARITO: ERRADO
 8 3 60
 6 8 X 
 8 3 60
 6 8 X 
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4. Se todos os empregados trabalharem 10 horas por dia durante 3 dias, eles 
construirão, nesse período, mais de 70 cisternas.
 h/d Cisternas
 8 60
 10 X 
X = 75;
Portanto maior que 70.
GABARITO: CERTO
(Cespe – Analista Administrativo - IBAMA – 2013) Uma extensa região de 
cerrado é monitorada por 20 fi scais do IBAMA para evitar a ação de carvoeiros 
ilegais. Dessa região, a vegetação de 87 km2 foi completamente arrancada e 
transformada ilegalmente em carvão vegetal. Os 20 fi scais, trabalhando 8 horas 
por dia, conseguem monitorar toda a região em 7 dias. A partir dessa situação 
hipotética, julgue os itens 5 e 6, considerando que os 20 fi scais são igualmente 
efi cientes.
Nessa questão as grandezas envolvidas são: “número de fi scais”, “horas por 
dia” e “dias”.
5. Se o IBAMA ceder mais 45 fi scais igualmente efi cientes aos outros 20, toda a 
região poderá ser monitorada em dois dias, mantendo-se a jornada de oito horas 
de trabalho.
Nesse item, a jornada de horas de trabalho por dia não mudou da condição inicial, 
portanto não é necessário usar essa grandeza na regra de três. Olhando a relação 
das grandezas, se aumentarmos o número de fi scais, para construir a mesma área, 
será necessário menos dias de trabalho, portanto as grandezas são inversamente 
proporcionais.
 8 60
 10 X 
15
 Fiscais Dias
 20 7 
 65 X 
X = 2,15;
Portanto, não são 2 dias como afirma no item.
GABARITO: ERRADO
6. Para monitorar toda a região com 16 fi scais em 5 dias, a jornada de trabalho 
de cada fi scal deverá ser de, no mínimo, 14 horas.
Nesse item, usaremos as três grandezas, e a incógnita é a jornada de trabalho no 
dia. Olhando a relação das grandezas, se aumentarmos o número de fi scais, para 
construir a mesma área, será necessário menos horas de trabalho por dia, portanto 
as grandezas são inversamente proporcionais. Assim como, se aumentarmos os dias 
trabalhados, para construir a mesma área, precisaremos trabalhar menos horas por 
dia, portanto essas grandezas também são inversamente proporcionais.
 Fiscais h/d Dias
 20 8 7 
 16 X 5 
 20 7 
 65 X 
 20 8 7 
 16 X 5 
 20 8 7 
 16 X 5 
16
X = 14;
Portanto, o mesmo valor afi rmado no item.
GABARITO: CERTO