Integrais Múltiplas e Cálculo Vetorial - II

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Integrais Múltiplas E 
Cálculo Vetorial
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lucia Nogueira Junqueira
Revisão Textual:
Profa. Esp. Natalia Conti
Derivada direcional e aplicações
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• Diferenciabilidade
• Regras da Cadeia
• Derivadas Direcionais e Gradientes
• Vetor Gradiente
• Extremos absolutos e relativos: Máximos e Mínimos
• Determinação de extremos condicionados
 · Apresentar as noções de incrementos e diferenciais e suas aplicações.
 · Definir derivada direcional e gradiente e ver aplicações relacionadas ao teorema 
do gradiente. 
 · Apresentar conceitos de plano tangente e reta normal a uma superfície em um 
ponto. 
 · Trabalhar máximos e mínimos e pontos críticos de uma função de duas variáveis, 
multiplicador de Lagrange, exemplos e aplicações. 
 · Definir derivação implícita. 
 · Apresentar exemplos e resolução de exercícios envolvendo diferenciação de 
funções de várias variáveis.
Caro(a) aluno(a)!
Na Unidade vamos dar continuidade ao estudo de funções de várias variáveis iniciado na 
unidade anterior, ainda dentro do âmbito da diferenciação.
Nesse sentido, vamos tratar inicialmente de derivadas parciais de funções definidas por 
mais de uma lei e ver o que isto pode implicar em termos de duas derivadas parciais no 
ponto de transição da lei. Em seguida vamos ver uma derivada em outra direção diferente 
das derivadas parciais primeiras, a derivada direcional, e um conceito muito importante que 
é o vetor gradiente de uma função, bem como a relação que este vetor tem com a derivada 
direcional, plano tangente e reta normal a uma superfície em um dado ponto. 
Por fim, vamos ver como encontrar pontos críticos de uma função de duas ou três variáveis 
e como analisar esses extremos da função, se máximos ou mínimos locais ou ponto de sela. 
Veremos ainda como encontrar extremos de uma função sujeita a uma restrição, também 
chamados de máximos e mínimos condicionados. 
Derivada direcional e aplicações
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Além do desenvolvimento da fundamentação teórica, você encontrará diversos exemplos e 
imagens para ajudar na visualização e nos procedimentos de resolução. Reforço a importância 
de ter em mente os conceitos de Geometria Analítica, uma vez que estaremos tratando de 
superfícies, planos e retas. 
Espera-se que ao término da unidade você seja capaz reconhecer, analisar e trabalhar com 
os conceitos do cálculo de funções de mais de uma variável, uma vez que os fenômenos no 
mundo físico e aplicações no mundo real envolvem sempre relações e funções com várias 
variáveis. Espera-se acima de tudo que você saiba utilizar os conceitos aqui tratados transpondo-
os em outras situações em que se façam presentes. 
Bom estudo!
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Contextualização
Bacias Hidrográficas
Entende-se por Bacias Hidrográficas localidades da superfície terrestre separadas 
topograficamente entre si, cujas áreas funcionam como receptores naturais das águas da chuva.
Devido a isso, todo o volume de água captado não infiltrado é automaticamente escoado 
por meio de uma rede de drenagem das áreas mais altas para as mais baixas, seguindo uma 
hierarquia fluvial, até concentrarem-se em um único ponto, formando um rio principal. 
Assim, o conceito de Bacia Hidrográfica pode ser entendido por meio de dois aspectos: Rede 
Hidrográfica e Relevo.
Fonte: mundolecogeo.blogspot.com.br
Vimos que Curvas de Nível do relevo topográfico são isolinhas, ou seja, linhas que 
representam todos os pontos de um terreno de mesma altitude. As Curvas Mestras são curvas 
de nível mais grossas e numeradas com o valor de altitude que ocorrem a cada cinco curvas, e 
a quinta curva é sempre uma curva mestra nas cartas e mapas topográficos. 
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Unidade: Derivada direcional e aplicações
Fonte: w3.ufsm.br
O mapa dos contornos da região de Camobi, distrito de Santa Maria-RS, mostra os rios 
desta bacia que seguem os caminhos de maior inclinação, correndo perpendicularmente aos 
contornos (curvas de nível das altitudes). Os afluentes dos rios seguem sempre o caminho 
de maior inclinação para ir em direção ao rio principal, que faz o mesmo até desaguar no 
mar. Portanto, a taxa de variação instantânea na altitude do rio acima do nível do mar tem 
uma direção definida. A direção que os rios seguem é determinada pelo que chamamos de 
gradiente. Veremos nesta unidade que o gradiente é perpendicular aos contornos, ou seja, 
às curvas de nível. 
Vimos também que as curvas de nível são determinadas por cortes transversais à superfície 
por planos paralelos ao plano XY, projetadas no plano horizontal XY e que as derivadas 
parciais determinam a declividade em pontos de curvas da superfície, obtidas pela interseção 
de planos verticais na direção do eixo X ou na direção do eixo Y. 
Isto sugere que se quisermos encontrar a inclinação da superfície em outra direção além 
dessas, do eixo X ou do eixo Y, determinadas respectivamente pelas derivadas parciais, teremos 
que defini-la. Esta será a derivada direcional, que veremos na unidade. Em particular, a 
direção que indicar a maior inclinação na superfície é a direção do vetor gradiente. Assim, 
estabelecemos a relação entre derivada direcional e gradiente. 
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Ponte de Lima
Ponte de Lima é uma vila portuguesa no Distrito de Viana do Castelo, e sub-região do 
Minho-Lima, com cerca de 2 800 habitantes. Considerada a Vila mais antiga de Portugal é 
reconhecida como um património universal por sua arquitetura medieval e pela área envolvente, 
banhada pelo Rio Lima. 
 
Fonte: Wikimedia Commons
Em pleno coração do Vale do Lima, a beleza peculiar desta vila esconde raízes profundas e 
lendas ancestrais. Foi a Rainha D. Teresa quem, em 1125, outorgou carta de foral à vila, referindo-
se à mesma como Terra de Ponte. Anos mais tarde, já no século XIV, D. Pedro I, atendendo à 
posição geoestratégica de Ponte de Lima, mandou erigir uma muralha, como um burgo medieval 
cercado de muralhas e nove torres, das quais ainda restam duas e vários vestígios das restantes e 
de toda a estrutura defensiva de então, fazendo-se o acesso à vila através de seis portas.
A ponte, que deu nome a esta terra, construída originalmente pelos romanos, adquiriu sempre 
uma importância de grande significado em todo o Alto Minho, sendo a única passagem segura 
do Rio Lima, em toda a sua extensão, até aos finais da Idade Média. Costuma ser uma referência 
em roteiros, muitos deles antigos, que descrevem a passagem por ela de milhares de peregrinos 
com destino a Santiago de Compostela e que ainda nos dias de hoje a transpõem com a mesma 
finalidade. Com a expansão urbana, a partir do século XVIII, deu-se início à destruição da muralha 
que abraçava a vila e a prosperar, por toda região, a opulência das casas senhoriais que a nobreza 
da época se encarregou de disseminar. Ao longo dos tempos, Ponte de Lima foi, assim, somando à 
sua beleza natural magníficas fachadas góticas, barrocas, neoclássicas e oitocentistas, aumentando 
significativamente o valor histórico, cultural e arquitetônico deste rincão único em todo Portugal. 
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Unidade: Derivada direcional e aplicações
A Universidade de Fernando Pessoa, sediada na cidade do Porto, fez um Mapa Ambiental 
e Epidemiológico de Ponte de Lima, com o estudo das condições meteorológicas verificadas 
no entorno, no ano de 2010. Os resultados das variáveis meteorológicas foram apresentados 
segundo mapas de valores médios anuais para uma área de 30 km por 30 km, centrada numa 
porção territorial da parte administrativa de Ponte de Lima. A resolução usada é de 1000 m 
por 1000 m.
Temperatura: os mapas de temperatura representam a distribuição espacial da temperatura 
do ar superficial (10 m de altura). Confiram no mapa a seguir.
Fonte: paas.ufp.pt
Tratando-se de valores médios anuais, os valores estimados apresentam um fraco 
gradiente térmico, comos valores médios máximos observados a diferir apenas alguns graus 
dos valores médios mínimos. Ressalta-se que os resultados apresentam de forma evidente as 
áreas mais baixas (de vale) com valores médios mais elevados e os locais mais elevados com 
valores médios mais baixos.
Humidade relativa: os mapas da humidade relativa representam a distribuição espacial 
da umidade relativa do ar superficial (10 m de altura). 
11
Tratando-se de valores médios anuais, os valores estimados também apresentam um fraco 
gradiente da humidade relativa, com os valores médios máximos observados a deferir 
apenas alguns pontos percentuais dos valores médios mínimos. Ressalta-se que os resultados 
apresentam de forma evidente as áreas mais baixas (de vale) com valores médios mais baixos 
e os locais mais elevados com valores médios mais elevados. Confiram no mapa a seguir. 
Fonte: paas.ufp.pt
Geotermometria do Sistema Aquífero Guarani 
Especialistas da geociência vêm utilizando geotermômetros para a determinação das 
temperaturas esperadas nos reservatórios de águas subterrâneas, sendo a maior parte deles 
baseada no equilíbrio químico existente entre as águas termais e minerais constituintes do 
arcabouço do aquífero Guarani. Nesse sentido, segundo Gastmans, Reis e Kiang (2012), 
águas subterrâneas do Sistema Aquífero Guarani do Estado de São Paulo, com temperaturas 
acima de 38ºC, classificadas como hipertermais pelo Código de Águas Minerais, tiveram sua 
composição química avaliada com o objetivo de se determinar as temperaturas esperadas 
no reservatório com base na utilização de diversos geotermômetros. Existe uma boa relação 
entre a temperatura e a profundidade em que se encontra o aquífero, indicando gradiente 
geotérmico médio de 27,7ºC/km. Uma faixa na região central da área de estudo apresenta 
os menores gradientes termais, abaixo de 25ºC/km, enquanto os maiores gradientes estão 
situados nas porções NE e W da área de estudo. Os geotermômetros apontam para a 
possibilidade da ocorrência de misturas de águas mais profundas, especialmente nos poços 
da porção SW da área.
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Unidade: Derivada direcional e aplicações
Fonte: Mapa das isotermas (GASTMANS, REIS, KIANG, 2012, p. 215)
Aqui temos as curvas de nível isotérmicas. A função T(x,y) dá a temperatura da água 
subterrânea do aquífero no ponto de coordenadas (x,y). Para encontrar a derivada direcional, 
digamos, na direção da cidade de Marília para a cidade de Presidente Prudente, fazemos assim:
• Inicialmente traçamos uma reta que passa por Marília na direção de Presidente Prudente.
• Aproximamos a derivada direcional, que vamos denotar por Du(T) pela taxa média 
de variação de temperatura entre os pontos onde a reta traçada intercepta as curvas 
isotérmicas 45ºC e 60ºC. 
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Veja na figura a seguir:
O vetor u está representado no mapa, saindo de Marília na direção de Presidente Prudente. 
A distância aproximada entre os pontos (em linha reta no mapa) é de 150 km Logo: 
( ) 60 45 0,10 /
150
D T km−≈ ≈ °u C
Observe que u não é necessariamente ortogonal à curva de nível, nesse caso, portanto, não 
é a direção de maior crescimento partindo de Marília. 
Penso ter dado uma ideia do significado e da aplicação de derivada direcional e de gradiente, 
conceitos que veremos em detalhes na unidade. 
Máximos e Mínimos
Uma das grandes utilidades do Cálculo de Várias Variáveis é utilizar os conceitos para 
encontrar valores máximos e mínimos (extremos) de uma função de mais de uma variável. 
Vejamos alguns tipos de aplicações nessa direção.
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Unidade: Derivada direcional e aplicações
Construção de um oleoduto
Uma empresa petroleira deseja construir um oleoduto da plataforma A até a refinaria B. 
A plataforma está a 2 milhas da costa e a refinaria está a 1 milha do mar, conforme indica a 
figura.
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 969)
O custo da construção do oleoduto é de 4 milhões de reais por milha no mar e de 3 milhões 
de reais por milha na terra. Portanto, o custo do oleoduto depende da localização do ponto 
de origem. A solução desejada é encontrar qual trajetória do oleoduto minimizará os custos de 
produção. 
Claro que aqui o problema foi posto de forma muito simplificada, com certeza a questão é 
muito mais complexa e envolve outras variáveis, mas em geral questões com muitas variáveis 
costumam ser resolvidas em etapas, cada etapa escolhendo quais são as variáveis envolvidas. 
Nesse caso, a questão se resume a descobrir a trajetória do oleoduto envolvendo apenas as 
variáveis custo por milha e distância entre os pontos, visando minimizar os custos. 
Aplicações em outras áreas
Economia e Negócios
Nas aplicações dos extremos à economia e aos negócios normalmente se tem mais de uma 
variável independente envolvida na questão. Por exemplo, uma empresa pode produzir vários 
modelos de um mesmo produto. O preço e o lucro por unidade de produção de cada modelo 
são, em geral, diferentes. A demanda de cada modelo é, frequentemente, função dos preços 
dos outros modelos, bem como de seu próprio preço. 
Biologia e Medicina
Os alelos são as formas alternativas do mesmo gene. Por exemplo, o gene B que determina 
a característica de presença de chifres em bovinos possui dois alelos: B e b. O alelo b leva à 
ausência de chifres (macho) e o alelo B leva à presença de chifres. Existem também os alelos 
múltiplos, que é uma série formada por três ou mais alelos, pertencentes a um mesmo gene, 
ocorrendo aos pares, mas com diversas possíveis combinações. Alelos múltiplos decorrem de 
mutações em um locus gênicus. 
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Três alelos, A, B e O determinam quatro tipos de sangue, a saber, A (AA ou AO), B (BB 
ou BO), O (OO) e AB. A Lei de Hardy-Weinberg estabelece que a proporção de indivíduos 
de uma população que levam dois alelos diferentes é dada por 2 2 2P pq pr qr= + + , onde p,q,r são as proporções de A, B e O na população, e satisfazem a condição p + q + r = 1. 
Nessas condições, tal questão pode ser resolvida matematicamente na busca de extremos 
condicionados e 2
3
 é o máximo valor que pode ser assumido por P. 
Em 1908 o matemático inglês Godfrey H. Hardy (1877 – 1947) e o médico alemão Wilhem 
Weinberg (1862-1937) concluíram que, se nenhum fator evolutivo atuasse sobre uma população 
que satisfizesse certas condições, as frequências de seus alelos permaneceriam inalteradas ao 
longo das gerações. Esse princípio, que estabelece um padrão teórico para o comportamento 
gênico ao longo das gerações, ficou conhecido como Lei de Hardy-Weinberg ou princípio 
do equilíbrio gênico. Na prática, ajuda a perceber se uma população se encontra ou não em 
equilíbrio, chamando a atenção para os possíveis fatores evolutivos que estão atuando.
 Saiba Mais
Sobre bacias hidrográficas
http://www.ufscar.br/aprender/aprender/2010/06/bacias-hidrograficas/
Sobre Ponte de Lima
http://www.cm-pontedelima.pt/ver.php?cod=0L
https://vimeo.com/102144052
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Unidade: Derivada direcional e aplicações
Diferenciabilidade
Nesta unidade daremos continuidade aos fundamentos relativos à derivação de funções 
de várias variáveis independentes. Vamos iniciar tratando de um conceito chave que é o de 
diferenciabilidade.
E começamos trazendo alguns exemplos clássicos para alertar sobre as diferenças 
que distinguem a noção de diferenciabilidade de função de uma variável e a noção de 
diferenciabilidade de função de mais de uma variável. 
Caso 1: Função descontínua e parcialmente derivável
No cálculo de uma variável aprendemos que se uma função ( )y f x= é derivável no ponto c, ela é necessariamente contínua em c. Ou seja, uma função descontínua num ponto não 
pode ser derivável naquele ponto. No caso de função de mais de uma variável, a existência das 
derivadas parciais não assegura a continuidade da função. É o caso, por exemplo, da função:
( )
( ) ( )
( ) ( )2 2 , , 0,0,
0, , 0,0
xy para x y
x yf x y
para x y
 ≠ += 
 =
Usando a definição (por conta de a função ser definida por duas leis), a função tem as 
derivadas parciais no ponto (0,0) que é o ponto de transição de uma sentença para outra, e 
( ) ( )0, 0 0, 0 0x yf f= = . No entanto, a função não é contínua em (0,0), pois:
pelo caminho 
( ) ( )
( ) ( )2, 0,0 0 0
00, lim , lim lim 0 0
x y x x
x f x y
y→ → →
= = = =
pelo caminho 
( ) ( )
( )
2
2, 0,0 0 0
1 1, lim , lim lim
2 2 2x y x x
xy x f x y
x→ → →
 = = = = 
 
Logo, como por caminhos diferentes, os limites são distintos, a função f não é contínua 
em (0,0).
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Caso 2: Função com derivadas parciais contínuas e derivadas mistas distintas 
Seja a função ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 , , 0, 0,
0, , 0, 0
xy x y
x yg x y x y
x y
 −
 ≠
= +
 =
. 
Vamos calcular as derivadas parciais gxy e gyx na origem. 
Nos pontos ( ) ( ), 0,0x y ≠ a derivada parcial gx é calculada pela regra do quociente e obtemos 
( )
( )
4 5 2 3
22 2
4,x
x y y x yg x y
x y
− +
=
+ . Na origem, temos que usar a definição e obtemos 
( ) ( ) ( )
0 0 0
,0 0,0 00,0 lim lim lim 0 0.x h h h
g h g
g
h h→ → →
−
= = = = Então temos que:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4 5 2 3
22 2
4 , , 0,0
,
0, , 0,0
x
x y y x y x y
x yg x y
x y
 − +
≠
+= 
 =
Como a função g é antissimétrica, isto é, ( ) ( ), ,g y x g x y= − , temos que:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
5 4 3 2
22 2
4 , , 0,0
,
0, , 0,0
y
x xy x y x y
x yg x y
x y
 − −
≠
+= 
 =
Calculando as derivadas segundas mistas na origem, pela definição:
( ) ( )( ) ( ) ( )
5
50 0
0, 0,0
0,0 0,0 lim lim 1x xxy x k k
g k g kg g
y k k→ →
−∂ −
= = = = −
∂
g
x
g
g k g
k
k
kyx y k
y y
k
0 0 0 0
0 0 0
1
0 0
5
5
, , lim
, ,
lim( ) = ∂
∂
( )( ) = ( ) − ( ) = =
→ →
Logo, ( ) ( )0,0 0,0xy yxg g≠ . 
Caso 3: Funções com derivadas parciais descontínuas e derivadas mistas iguais
Seja a função ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1
, , , 0,0
0, , 0,0
x y sen
f x y x yx y
x y
  
  +  = ≠ + 

=
As derivadas parciais xf e yf são calculadas como no caso 2. Fora da origem, pela regra do 
quociente e na origem pela definição. 
( )
2 2 2 2 2 2
1 1, 2 .x
xf x y x sen cos
x y x y x y
   
   = −
   + + +   
f
f h f
h
h
h
sen
hx h h h
0 0
0 0 0 1
0 0
2
, lim
, ,
lim . lim( ) = ( ) − ( ) =





 =→ → →00
1
0h sen
h
.





 =
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Unidade: Derivada direcional e aplicações
Então temos:
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 12 . , , 0,0
( , )
0, , 0,0 
x
xx sen cos x y
f x y x y x y x y
x y
    
    − ≠    = + + +    

=
E como f é uma função simétrica, ou seja, ( , ) ( , )f y x f x y= temos que:
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 12 . , , 0,0
( , )
0, , 0,0
y
yy sen cos x y
f x y x y x y x y
x y
    
    − ≠    + + +    

=
Para mostrar que xf não é contínua na origem, vamos tomar uma sequência de pontos 
1 ,0nP nπ
 =  
 
 que se aproxima da origem, pelo caminho y = 0 (eixo X), quando 0n→ , e nesses 
pontos ( ) ( ) ( ) 11 nx nf P cos nπ
+= − = − não se aproxima de 0, como deveria ser, se xf fosse 
contínua. Da mesma forma, ocorre com yf , também não contínua em (0,0). 
Com cálculo análogo ao caso 2, deixo como exercício mostrar que ( )0, 0 0xyf = e ( )0,0 0yxf = . 
Vimos nesses três casos que a noção de diferenciabilidade para função de mais de uma 
variável exige bem mais atenção.
Resumindo
função descontínua e parcialmente diferenciável
derivadas parciais mistas iguais e descontínuas no ponto
derivadas parciais descontínuas e derivadas parciais mistas iguais
Ressalto que já tínhamos visto na unidade anterior que, para ter garantia de as derivadas 
parciais mistas serem iguais num ponto, xyf e yxf têm que ser contínuas em um disco aberto R centrado neste ponto. Entretanto, esta é uma condição suficiente, não necessária, como 
vimos nos casos 2 e 3, em que as derivadas mistas não são contínuas num ponto, mesmo 
assim são iguais. Também não é natural esperar que uma função descontínua num ponto 
tenha derivadas parciais nesse ponto, como a função do caso 1, cujo gráfico vem em seguida: 
Fonte: Stewart (2012 p. 917)
A questão central para a diferenciabilidade de uma função de várias variáveis é a ideia de 
incremento, análogo ao caso de função de uma variável, como a seguir. 
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Incrementos e diferenciais
Teorema 1: Seja uma função ( ),f x y e suponha que que suas derivadas parciais de 
primeira ordem sejam definidas em uma região aberta R que contém o ponto (x0, y0) e que xf 
e yf sejam contínuas em (x0, y0). 
Então a variação ( ) ( )0 0 0 0, ,z x yf x y f x y∆ = + ∆ + ∆ − no valor de f que resulta do 
movimento de (x0, y0) para outro ponto ( )0 0,x yx y+ ∆ + ∆ em R satisfaz uma equação da forma:
( ) ( )0 0 0 0 1 2, ,z x x y y x yf x y f x y ε ε∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆
na qual 1 2, 0ε ε → quando , 0x y∆ ∆ → .
Resultados similares são verdadeiros para funções de mais de duas variáveis independentes. 
Por exemplo:
Para ( ), ,f x y z com , ,x y zf f f definidas em ( )0 0 0, ,B x y zδ e contínuas em ( )0 0 0, ,x y z
( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3, , , , , ,w x x y y z z x y zf x y z f x y z f x y z ε ε ε∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆
Sendo que 1 2 3, , 0ε ε ε → quando , , 0x y z∆ ∆ ∆ →
Definição 1: Diferenciabilidade de uma função de duas variáveis independentes
Uma função ( ),z f x y= é diferenciável em ( )0 0,x y se ( )0 0,xf x y e ( )0 0,yf x y existem 
e z∆ satisfaz a equação ( ) ( )0 0 0 0 1 2, ,z x x y y x yf x y f x y ε ε∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ , com 1 2, 0ε ε → 
quando , 0x y∆ ∆ → . 
Dizemos que f é diferenciável se ela é diferenciável para todos os pontos do seu domínio. 
Com esta definição, temos o seguinte:
Corolário do Teorema 1: Continuidade de derivadas parciais implica 
diferenciabilidade.
Se as derivadas parciais e yf de uma função ( ),f x y são contínuas em uma região aberta R, então f é diferenciável em todos os pontos de R.
Se ( ),z f x y= é diferenciável, então a definição de diferenciabilidade assegura que 
( ) ( )0 0 0 0 1 2, ,z x x y y x yf x y f x y ε ε∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ se aproxima de 0 quando , 0x y∆ ∆ → . Isso nos 
diz que uma função de duas variáveis é contínua em todos os pontos onde ela é diferenciável. 
Teorema 2: Diferenciabilidade implica Continuidade
Se uma função ( ),f x y é diferenciável em (x0,y0), então é contínua em (x0,y0).
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Unidade: Derivada direcional e aplicações
Diferencial total
Queremos generalizar os conceitos de incrementos e diferenciais para funções de mais de 
uma variável, de forma similar a estes conceitos para função de uma variável ( )y f x= , em 
que se define a diferencial de y como ( )y xd f x d= ′ . 
Para uma função de duas variáveis ( ),z f x y= , dados os incrementos Δx e Δy de x e y, 
respectivamente, o incremento em z é dado por ( ) ( ), ,z x yf x y f x y∆ = + ∆ + ∆ − .
Definição 2: Diferencial total
Se ( ),z f x y= e Δx , Δy são incrementos de x e y, então as diferenciais das variáveis 
independentes são dx = Δx e dy = Δy, e a diferencial total da variável dependente z é 
( ) ( ), ,z x x y yd f x y d f x y d= + .
Exemplo 1
Encontrar a diferencial total da função ( ) 2 32 . 3z x sen y x y= −
Resolução
( ) ( )3 2 22 6 2 .cos 9Z x y x y
z zd d dsen y xy d x y x y d
x y
∂ ∂    = + = − + −   ∂ ∂
Aproximação mediante diferenciais
O Teorema 1 diz que podemos escolher ( ), x yx y+ ∆ + ∆ suficientemente próximos de (x, y) 
para tornar 1 xε ∆ e 2 yε ∆ insignificantes e, assim, podermos usar a aproximação z zd∆ ≈ .
Esta aproximação está representada na figura a seguir: 
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 920)
21
Há que se lembrar de que as derivadas parciais podem ser interpretadas como as inclinações 
da superfície nas direções de x e y. Isso significa que Z x yz zd x y∂ ∂= ∆ + ∆∂ ∂ representa a variação na 
altura de um plano tangente à superfície no ponto ( )( ), , ,x y f x y . Como um plano no espaço 
se representa por uma equação linear nas variáveis x, y, z, a aproximação de Δz por dz se 
chama aproximação linear. Mais à frente veremos a interpretação geométrica desta situação. 
Exemplo 2
Utilizar a diferencial total para aproximar a variação em 2 24z x y= − − quando (x,y) se 
desloca do ponto (1,1) ao ponto ( )1,01; 0,97 . Comparar esta aproximação com o valor exato de z.
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 920)
Resolução
Se fizermos ( ) ( ), 1,1 x y = e ( ) ( ), 1,01;0,97x yx y+ ∆ + ∆ = , obtemos 0,01x xd = ∆ = 
e 0,03y yd = ∆ = − . Portanto, a variação de ∆z pode ser aproximada por:
2 2 2 24 4
z z x y x x
z z x yd d d d d
x y x y x y
∂ ∂ − −
∆ ≈ = + = +
∂ ∂ − − − −
Quando (x,y) = (1,1) temos:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 0,02 20,01 0,03 0,02 2 0,01 0,0141
22 2 2z
∆ ≈ − − − = = = ≅
A variação exata corresponde à diferença entre as alturas dos dois pontos na superfície do 
hemisfério, que é dada por:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21,01;0,97 1,1 4 1,01 0,97 4 1 1 0,0137z f f∆ = − = − − − − − ≅
22
Unidade: Derivada direcional e aplicações
Análise de erros
A diferencial total pode também ser utilizada para análise de erros em cálculo de variações. 
Exemplo 3
O raio da base e a altura de um cone circular reto medem 10cm e 25cm, respectivamente, 
com um possível erro de medição de 0,1 em cada uma dessas medidas. Utilize diferencial para 
estimar o máximo erro no cálculo do volume do cone.
Resolução
O volume de um cone de raio r e altura h é 21
3
V r hπ= . Então a diferencial de v é:
21 2 . .
3V r h r h
V Vd d d rh d r d
r h
π π∂ ∂  = + = + ∂ ∂
Sendo cada erro de (0,1) como o máximo permitido, temos que 0,1r∆ ≤ e 0,1h∆ ≤ . Então, 
para estimar o maior erro na medida do volume do cone, tomamos o maior erro permitido nas 
outras duas medidas. Portanto, dr = 0,1 e dh = 0,1, bem como r = 10 e h = 25. Assim:
( ) ( )1 500 0,1 100 0,1 20
3V
d π π π= + =  
Portanto, o erro máximo no volume calculado é aproximadamente 3 320 63cm cmπ ≈ .
23
Regras da Cadeia
Caso 1: Regra da Cadeia de uma variável independente
Seja ( ),w f x y= , onde f é uma função derivável em x e y. Se ( )x g t= e ( )y h t= , com g e h funções deriváveis em t, então w é uma função derivável em t e vale:
dw w dx w dy
dt x dt y dt
∂ ∂
= +
∂ ∂
Caso 2: Regra da Cadeia de duas variáveis independentes
Seja ( ),w f x y= , onde f é uma função derivável em x e y. 
Se ( ),x g s t= e ( ), y h s t= são tais que as derivadas de primeira ordem , , ,x x y y
s t s t
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
 
existem, então 
w
s
∂
∂ e 
w
t
∂
∂
 existem e são dadas por:
w w x w y
s x s y s
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
w w x w y
t x t y t
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Podemos usar uma representação em diagrama de árvore:
z
x
s t s t
y
∂z
∂x
∂x
∂s
∂x
∂t
∂y
∂s
∂y
∂t
∂z
∂y
24
Unidade: Derivada direcional e aplicações
Caso geral: Regra da Cadeia 
Suponhamos que u é uma função derivável de n variáveis x1, x2, x3, ..., xn e que cada variável xj é função derivável de m variáveis t1, t2, ..., tm. Então u é função de t1, t2, ..., tm e vale:
1 2
1 2
n
i i i n i
xx xu u u u
t x t x t x t
∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
= + +…+
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
para cada i = 1, 2, ..., m.
Exemplo 4
Se ( ), , ,w f x y z t= é uma função derivável nas variáveis , , ,x y z t e suponha que cada uma 
delas seja derivável em u,v. Então w é derivável em u e v e 
w w x w y w z w t
u x u y u z u t u
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
w w x w y w z w t
v x v y v z v t v
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Veja a representação em diagrama de árvore:
Exemplo 5
Se 3 2 4u x y y z= + , onde 2 tx rs e= , 2 ty r se−= e ( )2z rs sen t= , determine o valor de ur
∂
∂
 
quando 2r = , s π= e 0t = .
Resolução
Com a ajuda do diagrama da árvore, vamos calcular o que se pede.
u u x u y u z
r x r y r z r
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 4 2 3 23 . 2 . 2 4 . .t tu x y s e x yz rse y z s sen tr
−∂    = + + +   ∂
25
Para r = 2, s = 1 e t = 0 temos que x = 2, y = 4 e z = 2. Portanto:
( )( ) ( )( ) ( )( )48 1 136 4 512 0 592u
r
∂
= + + =
∂
Teorema 3: Regra da Cadeia: Derivação implícita
Se a equação ( ), 0F x y = define para y implicitamente uma função da variável x, então 
( )
( )
,
,
x
y
F x ydy
dx F x y
= − , ( ), 0yF x y ≠
Se a equação ( ), , 0F x y z = define z implicitamente como função diferenciável de x e y, 
então
( )
( )
, ,
, ,
x
z
F x y zz
x F x y z
∂
= −
∂
 e ∂
∂
= −
( )
( ) ( )
≠
z
y
F x y z
F x y z
F x y zy
z
z
, ,
, ,
, , , 0
Este teorema pode se estender a funções diferenciáveis definidas implicitamente com 
qualquer número de variáveis. 
Exemplo 6
Encontrar 
z
x
∂
∂
 e 
z
y
∂
∂
, dada a equação 2 2 2 33 2 3 5x z x y z yz− + + = .
Resolução
Para usar o Teorema 2, vamos escrever
( ) 2 2 2 3, , 3 2 3 5F x y z x z x y z yz= − + + −
( ) 2, , 6 2xF x y z xz xy= −
( ) 2, , 2 3yF x y z x y z= − +
( ) 2 2, , 3 6 3zF x y z x z y= + +
Portanto:
( )
( )
2
2 2
, , 2 6
, , 3 6 3
x
z
F x y zz xy xz
x F x y z x z y
∂ −
= − =
∂ + +
 e ( )
( )
2
2 2
, , 2 3
, , 3 6 3
y
z
F x y zz x y z
y F x y z x z y
∂ −
= − =
∂ + +
26
Unidade: Derivada direcional e aplicações
Derivadas Direcionais e Gradientes
Suponha que se está na colina da figura e se deseja determinar a inclinação da colina em 
relação ao eixo Z. 
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 933)
Se a colina é representada por ( ),z f x y= , até o momento se sabe como determinar a 
inclinação em apenas duas direções diferentes: a direção do eixo X, por meio da derivada 
parcial ( ),xf x y e a do eixo Y, por meio da derivada parcial ( ),yf x y . Nesta seção veremos 
como se pode calcular a inclinação em qualquer direção.
Fonte: tecdigital.tec.ac.cr
Também na Contextualização vimos que a função ( ),T x y da figura a seguir dá a temperatura 
da água subterrânea do Aquífero Guarani do Estado de São Paulo no ponto de coordenadas (x,y).
27
A derivada parcial Tx mede a taxa de variação da temperatura se caminhamos, a partir 
de um ponto, na direção leste e a derivada parcial Ty, a taxa de variação da temperatura se 
caminhamos, a partir de um ponto, na direção norte.
E se quisermos medir a taxa de variação, a partir de um ponto, mas em outra direção 
diferente destas duas? Por exemplo, como indica o vetor v, que parte de Marília na direção 
de Presidente Prudente. 
Então teremos o que se chama derivada direcional, que vai medir a taxa de variação 
de uma função de duas variáveis em qualquer direção. A direção da derivada direcional será 
determinada por um vetor unitário ( ) ( )u cos i sen jθ θ= +
 

., sendo θ o ângulo que forma com 
o eixo X positivo, no sentido anti-horário, como indica a figura (imagem da esquerda).
Para falar da inclinação desejada, reduz-se o problema a duas dimensões cortando a 
superfície dada pela função com um plano vertical que passa pelo ponto P e é paralelo ao 
vetor u, como podeser visto na figura a seguir (imagem da direita). 
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 933)
Podemos, de maneira informal, expressar a inclinação da curva c como um limite análogo 
ao usado no cálculo de uma variável. O plano vertical que gera a curva c corta o plano XY 
numa reta L representada pelas equações paramétricas:
( )0x x tcos θ= + e ( )0y y tsen θ= +
De forma que, para todo t∈, o ponto Q = (x,y) se encontra na reta L. Para cada um dos 
pontos P, Q há um ponto correspondente na superfície, a saber:
( )( )0 0 0 0, , , x y f x y ponto sobreP→
( )( ), , , x y f x y ponto sobreQ→
Como a distância entre P e Q é:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 22 20 0x x y y tcos tsen tθ θ− + − = + =
podemos escrever a inclinação da reta secante que passa por ( )( )0 0 0 0, , ,x y f x y e 
( )( ), , ,x y f x y como:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0 0 0 00 0 , ,, , f x tcos y tsen f x yf x y f x y
t t
θ θ+ + −−
=
Por fim, fazendo 0t → , chegamos à definição:
28
Unidade: Derivada direcional e aplicações
Definição 3: Derivada Direcional
Seja f uma função de duas variáveis x e y e considere ( ) ( )u cos i sen jθ θ= +  um vetor 
unitário. Então a derivada direcional de f na direção de u, que se denota uD f , é:
( )
( ) ( )( ) ( )0 0 0 0
0
, ,
, limu t
f x tcos y tsen f x y
D f x y
t
θ θ
→
+ + −
=
sempre que este limite exista. 
Calcular a derivada direcional pela definição é o mesmo que encontrar a derivada de uma 
função de uma variável pelo processo do limite. Uma fórmula de processo mais simples para 
encontrar derivadas direcionais empregando as derivadas parciais xf e yf é a que vemos a 
seguir: 
Teorema 4: Derivada Direcional de função de duas variáveis
Se f é uma função diferenciável em x e y, então a derivada direcional de f na direção de 
um vetor unitário ( ) ( )u cos i sen jθ θ= +
 

 é:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,u x yD f x y f x y cos f x y senθ θ= +
Demonstração:
Dado um ponto fixado ( )0 0,x y , seja ( )0x x tcos θ= + e ( )0y y tsen θ= + . Considere 
( ) ( ) ( )( ),g t f x t y t= . Como f é diferenciável, podemos aplicar a regra da cadeia e obter:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,x yg t f x y x t f x y y t+′ ′= ′
Se 0 00 t x x e y y= ⇒ = = e, portanto:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 00 , ,x yg f x y cos f x y senθ θ′ = +
Pela definição de ( )g t′ , também é verdade que:
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )0 0
0 0
, 0
0 lim lim
t t
f x tcos y tseng t g
g
t t
θ θ
→ →
+ +
′
−
= =
Portanto, chegamos à tese: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,u x yD f x y f x y cos f x y senθ θ= + .
Há uma quantidade infinita de derivadas direcionais em um dado ponto da superfície, já que 
podemos escolher em qualquer direção a partir do ponto fixado, duas delas sendo as derivadas 
parciais xf e yf . Veja uma representação na figura. 
29
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 934)
Entre todas as direções possíveis, duas delas são as derivadas parciais xf e yf .
Por exemplo: na direção do eixo X, 0θ = e ( ) ( )0 0u cos i sen j i= + =
  

 e
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , 0 , 0 ,x y xiD f x y f x y cos f x y sen f x y= + =
E na direção do eixo Y, 
2
πθ = e 
2 2
u cos i sen j jπ π   = + =   
   
  

 e
( ) ( ) ( ) ( ), , , ,
2 2x y yj
D f x y f x y cos f x y sen f x yπ π   = + =   
   

Exemplo 6
Encontrar a derivada direcional da função ( ) ( )2, 2f x y x sen y= no ponto 1,
2
P π =  
 
 na 
direção do vetor 3 4v i j= −
 

. 
Resolução
Como ( )2 2xf xsen y= e ( )22 2yf x cos y= são contínuas, f é diferenciável e podemos 
usar o Teorema 4. Começamos por calcular o vetor unitário u na direção de v. Assim, como 
2 23 4 25 5v = + = = , então ( ) ( )3 4
5 5
u i j cos i sen jθ θ= − = +
   
 .
( ) ( )( ) ( )( )23 4, 2 2 2 25 5uD f x y xsen y x cos y
   = + −   
   

( ) ( )( ) ( )3 4 3 4 81, 2 2 0. 2
2 5 5 5 5 5u
D f sen cosπ π π       = + − = + − − =       
       

Veja a representação na figura a seguir:
30
Unidade: Derivada direcional e aplicações
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 935)
Atenção
Atenção ao vetor u que é sempre unitário, ou seja, se o vetor v de 
uma dada direção não for unitário, há que se tomar o vetor unitário 
vu
v
=



 para o cálculo da derivada direcional. Além disso, quando 
falamos em mesma direção estamos também nos referindo ao mesmo 
sentido e, direção oposta, em sentido contrário, mas na mesma reta 
que os contém. 
Exemplo 7
Determinar a derivada direcional ( ),uD f x y se f x y x xy y,( ) = − +3 23 4 e u

 é o vetor unitário 
dado pelo ângulo 
6
πθ = e calcular ( )1,2uD f .
Resolução
A função f é diferenciável, portanto, usando o Teorema 4 temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1, , , 3 3 3 86 6 2 2u x yD f x y f x y cos f x y sen x y x y
π π       = + = − + − +             

( ) ( )21, 3 3 3 8 3 32uD f x y x x y = − + − 
No ponto P = (1,2) será:
( ) ( ) ( ) ( )( )21 13 3 31,2 3 3 1 3 1 8 3 3 22 2uD f
− = − + − = 

A figura a seguir é uma representação dessa situação.
Fonte: Stewart (2012, p. 936)
31
Vetor Gradiente
O gradiente de uma função de duas variáveis é uma função vetorial de duas variáveis, 
conforme indica a figura. Esta função tem várias aplicações importantes, das quais veremos 
algumas ao longo do desenrolar do conteúdo. 
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 936))
Definição 4: Gradiente de uma função de duas variáveis
Seja ( ),z f x y= tal que xf e yf existem. Então o gradiente de f , denotado por ( ),f x y∇ 
é o vetor
( ) ( ) ( ), , ,x yf x y f x y i f x y j∇ = +
 
Outra notação pode ser grad f (x,y) Na figura anterior, pode-se observar que ( ),f x y∇ é 
um vetor no plano XY, não no espaço. 
Definição 5: Gradiente como uma função vetorial
Se f e uma função de duas variáveis, x e y, com derivadas parciais, então o gradiente de f 
pode ser visto como a função vetorial f∇ definida por:
f ff i j
x y
∂ ∂
∇ = +
∂ ∂
 
quando aplicada no ponto (x,y) fornece o vetor
( ) ( ) ( ), , ,x yf x y f x y i f x y j∇ = +
 
32
Unidade: Derivada direcional e aplicações
Exemplo 8
Se ( ) ( ), xyf x y sen x e= + , então 
( ) ( ) ( ), xy xyf x y cos x ye i xe j ∇ = + + 
 
E no ponto P = (0,1): 
( ) ( ) ( )0 00,1 0 1. 0. 2 0 2f cos e i e j i j i ∇ = + + = + = 
    
Relação entre gradiente e derivada direcional
Pela notação do gradiente ( ) ( ) ( ), , ,x yf x y f x y i f x y j∇ = +
 
, podemos escrever a 
expressão para a derivada direcional como:
( ) ( ), , .uD f x y f x y u= ∇

Esta equação expressa a derivada direcional na direção de um vetor unitário u como o 
produto escalar do vetor gradiente ( ),f x y∇ e do vetor u. 
Exemplo 9
Determine a derivada direcional da função ( ) 2 3, 4f x y x y y= − no ponto P = (2, -1) na 
direção do vetor 2 5v i j= +
 

.
Resolução
Vamos calcular primeiro o vetor gradiente no ponto P = (2, -1)
( ) ( )3 2 2, 2 3 4f x y xy i x y j∇ = + − 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2, 1 2. 2 . 1 3. 4 . 1 4 4 8f i j i j∇ − = − + − = − +
   
Agora vamos calcular o vetor unitário u na direção do vetor v: 
2 2 2 52 5 29
29 29
vv u i j
v
= + = ⇒ = = +

 
 

Assim, a derivada direcional em P = (2,-1) na direção de u é:
( ) ( ) 2 5 8 40 322, 1 4 8 .
29 29 29 29 29u
D f i j i j − = − + + = − + = 
 

   
33
A figura a seguir representa ( )2, 1uD f − junto às curvas de nível da função f lembrando que 
o vetor v se sobrepõe ao seu vetor unitário u. 
Fonte: Stewart (2012, p. 937)
A derivada direcional e o vetor gradiente podem ser definidos para função de três variáveis 
independentes.
Se ( ), ,f x y z éderivável e u ai bj ck= + +

 

, então utiliza-se o mesmo método que se 
aplicou no Teorema 4 para demonstrar que:
( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,u x y zD f x y z f x y z a f x y z b f x y z c= + +
E o vetor gradiente para função de três variáveis é:
( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,x y zf x y z f x y z i f x y z j f x y z k∇ = + +

 
Ou podemos representar a função vetorial gradiente da seguinte forma:
f i j k
x y z
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂

 
Então, para função de três variáveis, a derivada direcional pode ser assim expressa: 
( ) ( ), , , , .uD f x y z f x y z u= ∇

34
Unidade: Derivada direcional e aplicações
Exemplo 10
Se ( ) ( ), ,f x y z xsen yz= determine o gradiente de ƒ e encontre a derivada direcional de 
f no ponto P = (1,3,0) na direção do vetor 2v i j k= + −   .
Resolução
Vamos achar primeiro o gradiente de f
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ), ,f x y z sen yz i xzcos yz j xycos yz k∇ = + +

 
( ) ( ) ( ) ( )1, 3, 0 0 0 3 3f i j k k∇ = + + =
 
 
Agora vamos encontrar o vetor unitário u na direção de v
( ) ( ) ( )2 2 2 1 2 11 2 1 6
6 6 6
vv u i j k
v
= + + − = ⇒ = = + −


 
 

Portanto, a derivada direcional de f no ponto P = (1,3,0) na direção de u é:
( ) ( )1, 3, 0 1, 3, 0 .uD f f u= ∇

( ) ( ) 1 2 1 3 6 31, 3, 0 3 . 2 26 6 6 6uD f k i j k
 
= + − = − = − = − 
 

 
 
Aplicações do gradiente
Muitas vezes se deseja encontrar em que direção uma função de duas variáveis cresce (ou 
decresce) mais rapidamente. Essa direção de maior inclinação é dada pelo gradiente.
Teorema 5: Propriedades do gradiente de uma função de duas variáveis.
Seja f uma função de duas variáveis, x e y, diferenciável em um ponto P = (x,y).
1. Se ( ), 0f x y∇ =

, então ( ), 0uD f x y = para todo u

.
2. A direção de máximo incremento de f é dada por ( ),f x y∇ . O valor máximo de 
D f x yu ,( ) é ( ),f x y∇ .
3. A direção de mínimo incremento de f é dada por ( ),f x y−∇ . O valor mínimo de 
D f x yu ,( ) é ( ), f x y− ∇ .
Demonstração:
Se ( ), 0f x y∇ =

, então em qualquer direção, com qualquer u, se tem que
( ) ( ) ( ) ( ), , . 0 0 . 0uD f x y f x y u i j cos i sen jθ θ   = ∇ = + + =   
   

Se ( ), 0f x y∇ ≠

 seja θ o ângulo entre ( ),f x y∇ e um vetor unitário u. Usando o produto 
escalar podemos aplicar o Teorema 4 para concluir que:
D f x y f x y u f x y u cos f x y cosu
 
, , . , . ,( ) = ∇ ( ) = ∇ ( ) ( ) = ∇ ( ) ( )θ θ
35
Logo, o valor máximo de ( ),uD f x y se dá quando cos θ( ) =1. Portanto, θ = 0 e o valor 
máximo da derivada direcional se tem quando u tem a mesma direção de ( ),f x y∇ .
E da mesma forma, o valor mínimo da derivada direcional se tem quando θ = π e, portanto, 
quando u aponta na direção oposta de ( ),f x y∇ .
Exemplo 11
Calcule o gradiente de 
2 2f x y= + nos pontos ( )1 1,0P = , ( )2 0,1P = , ( )3 1,1P = e ( )4 0,0P =
Resolução
O gradiente de f é ( ), 2 2f x y xi yj∇ = +
 
Calculando nos respectivos pontos temos:
Em ( ) ( )1 1,0 1,0 2 0 2P f i j i= ⇒∇ = + =
  
Em ( ) ( )2 0,1 0,1 0 2 2P f i j j= ⇒∇ = + =
  
Em ( ) ( )2 1,1 1,1 2 2P f i j= ⇒∇ = +
 
Em ( ) ( )3 0,0 0,0 0 0 0P f i j= ⇒∇ = + =

 
Na figura a seguir a representação desses vetores junto à configuração de curvas de nível 
da superfície 2 2f x y= + , o paraboloide representado na última ilustração, para melhor 
visualizar e relacionar as cotas das curvas de nível. 
Fonte: insperblog.files.wordpress.com
36
Unidade: Derivada direcional e aplicações
Note que os vetores gradiente sempre indicam a direção onde a função aumenta e onde a 
função é mínima, o vetor gradiente se anula. Outra característica é que o vetor gradiente em 
um determinado ponto sempre segue uma reta perpendicular à curva de nível naquele ponto. 
Isto confirma a observação de que os afluentes correm perpendicularmente às curvas de nível 
topográficas, como mostrado na Contextualização. 
Um exemplo para ajudar a compreensão do conceito de gradiente: suponha que um 
alpinista queira subir uma montanha diretamente até seu ponto mais alto. Ele deve, a partir 
do ponto em que está, seguir a direção de maior aclive, se não tiver nenhum abismo no 
percurso. A direção para a qual a subida é mais íngreme é a que o levará ao ponto mais alto, 
pelo caminho mais curto, embora muito mais cansativo, no caso real. Mas é só para dar uma 
ideia. Entretanto, pode ocorrer que ele chegue sim a um ponto localmente mais alto, mas não 
ao topo mais alto. Veja a ilustração.
Fonte: insperblog.files.wordpress.com
Esta figura ilustra dois caminhos obtidos usando o gradiente como guia: no caminho em 
azul, chega-se ao topo do maior dos dois picos, no outro caminho, em vermelho, chega-se a 
um máximo, mas um máximo local, não o absoluto. Concluindo: o gradiente é o vetor que dá 
a direção de maior crescimento da função a partir de um determinado ponto (por isso será o 
maior valor da derivada direcional nesse ponto). Isto será útil na maximização ou minimização 
de uma função. 
Exemplo 12
Um industrial tem que decidir onde investir R$ 100.000,00 e, depois de estudos, estima que 
a produção de sua empresa possa ser modelada pela função ( ) 0,25 0,75, 1,1P K T K T= , onde 
o capital investido K e o trabalho T são medidos em milhões de reais. No momento o capital 
investido é de 7 milhões de reais e o gasto em trabalho é de 6 milhões de reais. Determine 
quanto do dinheiro tem que ser usado em cada uma dessas áreas de modo a maximizar a 
produção da empresa. 
37
Resolução
O vetor gradiente, calculado a partir do ponto (K, T) = (7,6), correspondente ao nível atual 
de investimento (7 milhões em capital e 6 milhões em trabalho) determina a “direção” de 
maior crescimento da função produção. Portanto, podemos começar calculando o gradiente 
da função nesse ponto.
( ) 0,75 0,75 0,25 0,25, 0, 275 0,875P K T K T i K T j− −   ∇ = +   
 
∇ ( ) = ( )  +  
− −P i7 6 0 275 7 6 0 825 7 60 75 0 75 0 25 0 25, , ( ) , ( ) ( ), , , ,

 ≈ ( ) + ( )
  
j i j0 245, 0,858
Portanto, de modo a aumentar a produção ao máximo, deve-se usar a proporção de 
0 245,
0,858 
entre o capital e o trabalho. Como o dinheiro disponível para investimento é 100 mil reais, 
isto corresponde a 0,1 milhão de reais, que significa investir
I
I
K
T
=
+
( ) ≈
=
+
( ) ≈
0 245
0 245
0 1
0 245
0 1
,
,
. ,
,
. ,
0,858
0,022
0,858
0,858
0,,078
Desse modo, o industrial deverá investir R$ 22.000,00 em capital e gastar R$ 77.800,00 
em trabalho.
Plano tangente e reta normal
O vetor gradiente para uma função diferenciável de três variáveis satisfaz a todas as 
propriedades que os gradientes de duas variáveis, guardadas as diferenças de dimensão. Em 
outras palavras, em todo ponto P0 do domínio de f , o vetor gradiente f∇ é normal à superfície 
de nível em P0. 
O processo de encontrar uma reta normal a uma superfície pode ser feito ao encontrar o 
plano tangente à superfície. 
Suponha S uma superfície de nível cuja equação é ( ), ,f x y z k= , isto é, S é uma superfície 
de nível de uma função F de três variáveis, ( ) ( ), , , ,F x y z f x y z k= − , tal que S é obtida por
( ) , , 0F x y z = . Seja ( )0 0 0 0, ,P x y z= um ponto de S e C uma curva na superfície que passa por 
Então a curva C pode ser definida pela função vetorial ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k= + +   . Assim, 
para todo t∈ temos que ( ) ( ) ( )( ), , 0F x t y t z t = . Se F é diferenciável e ( ) ( ) ( ), ,x t y t z t′ ′ ′ 
existem, segue que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 , , , , , ,x y zF t F x y z x t F x y z y t F x y z z t= =′ + +′ ′ ′
No ponto P0 = (x0, y0, z0), a forma vetorial é:
( ) ( )

Vetor tangente'
0 0
Gradiente
0, , . 0F x y z r t∇ =


38
Unidade: Derivada direcional e aplicações
Este resultado significa que o gradiente em P0 é ortogonal ao vetor tangente de toda curva 
em S que passe por P0. Portanto, todas as retas tangentes em S se encontram em um plano 
que é normal a ( )0 0 0, ,F x y z∇ e contém P0, como mostra a figura seguir.
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 946)
Definição 6: Plano tangente e Reta Normal
Seja F diferenciável em um ponto P0 = (x0, y0, z0) da superfície S dada por F(x,y,z) = 0 tal 
que ( )0 0 0, , 0F x y z∇ ≠ . 
O plano que passa por P0 = (x0, y0, z0) é normal a ( )0 0 0, ,F x y z∇ e se chama plano 
tangente a S em P0.
A reta que passa por P0 = (x0, y0, z0) e tem a direção de ( )0 0 0, ,F x y z∇ se chama reta 
normal a S em P0. 
Teorema 6: Equação do plano tangente
Se F é diferenciável em um ponto P0 = (x0, y0, z0), então a equação do plano tangente à 
superfície S dada por F(x,y,z) em P0 = (x0, y0, z0) é:
( )( ) ( )( ) ( )( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , , 0x y zF x y z x x F x y z y y F x y z z z− + − + − =
Demonstração: 
Para achar a equação do plano tangente a S em P0 = (x0, y0, z0), seja P = (x,y,z) um ponto 
arbitrário no plano tangente. 
Então o vetor ( ) ( ) ( )0 0 0v x x i y y j z z k= − + − + −

 

 se encontra no plano tangente. Como 
( )0 0 0, ,F x y z∇ é normal ao plano tangente, então é ortogonal a todo vetor do plano tangente. 
Daí, se tem que ∇ ( ) =F x y z v0 0 0 0, , .

, o que demonstra o teorema.
39
Propriedades algébricas do vetor gradiente
( )kf k f∇ = ∇ (qualquer k)
( )f g f g∇ ± = ∇ ±∇
( ). gf g f g f∇ = ∇ + ∇
2
gf g f f
g g
  ∇ − ∇
∇ = 
 
Exemplo 13
Determine as equações do plano tangente e da reta normal, no ponto P = (-2,1,-3), do 
elipsoide 
2 2
2 3
4 9
x zy+ + = .
Resolução
O elipsoide é a superfície de nível (k=3) da função ( )
2 2
2, ,
4 9
x zF x y z y= + +
Portanto, ( ), ,
2x
xF x y z = , ( ), , 2yF x y z y= e ( )
2 , ,
9z
zF x y z =
Daí, ( )2,1 , 3 1xF − − = − , ( )2,1 , 3 2yF − − = e ( ) 22,1 , 3 3zF − − = −
. Assim, a equação do plano 
tangente à S em P = (-2, 1, -3) é:
( ) ( ) ( )21 2 2 1 3 0 3 6 2 18 0
3
x y z x y z− + + − − + = ⇒ − + + =
E as equações da reta normal à S em P = (-2, 1, -3) são:
2 1 3
21 2
3
x y z+ − +
= =
− −
A figura seguir representa esta situação:
Fonte: Stewart (2012, p. 941)
40
Unidade: Derivada direcional e aplicações
Exemplo 14
Descrever a reta tangente à curva C de interseção das superfícies: 
( )
( )
2 2 2
2 2
2 2 20 
4 
x y z
x y
elipsoide
paraboloidz e
 + + =

+ + =
 , no ponto P = (0,1,3) como mostra a figura
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 949)
Resolução
Vamos calcular o gradiente das duas superfícies no ponto P = (0,1,3).
Sejam as funções ( ) 2 2 2, , 2 2 20F x y z x y z= + + − e ( ) 2 2, , 4G x y z x y z= + + −
( ), , 2 4 4F x y z xi yj zk∇ = + +

 
 e ( ), , 2 2G x y z xi yj k∇ = + +

 
( )0,1,3 4 12F j k∇ = +


 e ( )0,1,3 2G j k∇ = +


O produto vetorial destes vetores gradientes é um vetor tangente a ambas as superfícies no 
ponto P = (0,1,3).
( ) ( )0,1,3 e 0,1,3 0 4 12 20
0 2 1
i j k
F G i∇ × ∇ = = −

 

Portanto, a reta tangente à curva C interseção das superfícies, no ponto P = (0,1,3) é uma 
reta paralela ao eixo X e que passa pelo ponto P = (0,1,3). 
41
Extremos absolutos e relativos: Máximos e Mínimos
Uma das principais aplicações das derivadas ordinárias é encontrar os valores máximos e 
mínimos da função de uma variável. O mesmo ocorre para funções de mais de uma variável. 
Vamos ver como usar derivadas parciais para encontrar os máximos e mínimos de uma função 
de duas variáveis. 
Observe as colinas e os vales no gráfico de uma função f mostrado na figura a seguir. Há 
pontos para os quais f tem um máximo local, isto é, onde ( ),f a b é maior do que em pontos 
numa vizinhança. O maior destes valores é o máximo absoluto. Da mesma forma, f tem 
mínimos locais, onde ( ),f c d é menor do que seus valores numa vizinhança de (c,d). O menor 
destes valores é o mínimo absoluto. 
Fonte: Stewart (2012, p. 946)
Considere a função contínua f de duas variáveis, definida numa região limitada e fechada R. Os valores ( ),f a b e ( ),f c d tais que ( ) ( ) ( ), , ,f a b f x y f c d≤ ≤ , para todo ( ),x y R∈ 
são conhecidos, respectivamente, como mínimo absoluto e máximo absoluto de f em R. 
Lembre-se de que uma região no plano é fechada se contém seus pontos da fronteira. O 
teorema do valor extremo se refere a uma região fechada e limitada. Uma região do plano é 
limitada se é uma sub-região de um disco fechado no plano. 
Teorema 7: Teorema do Valor Extremo
Seja f uma função contínua de duas variáveis, x e y, definida em uma região limitada e 
fechada R no plano XY.
1. Existe pelo menos um ponto um ponto em R no qual ƒ tem um valor mínimo. 
2. Existe pelo menos um ponto em R e ƒ cursivos. Conferir com original.
A este mínimo também se chama mínimo absoluto e este máximo também se chama 
máximo absoluto. Como no cálculo de uma variável se distingue extremos absolutos de 
extremos relativos. 
42
Unidade: Derivada direcional e aplicações
Definição 7: Extremos relativos
Seja f uma função definida em uma região que contém o ponto P x y
0 0 0
= ( ),
1. A função f tem um mínimo relativo em P0 se ( ) ( )0 0, ,f x y f x y≥ para todo (x,y) em 
um disco aberto que contém (x0,y0)
2. A função f tem um máximo relativo em P0 se ( ) ( )0 0, ,f x y f x y≤ para todo (x,y) em 
um disco aberto que contém (x0,y0)
Atenção
Em pontos de máximos ou de mínimos, os planos tangentes são 
horizontais. Extremos relativos são também chamados de extremos locais. 
Para localizar os extremos relativos de f pode-se investigar os pontos em que o gradiente 
de f é o vetor nulo ou os pontos nos quais uma das derivadas parciais não exista. Tais pontos 
se chamam pontos críticos de f .
Definição 8: Pontos críticos
Seja f uma função definida em uma região aberta R que contém P0 = (x0,y0). 
O ponto P0 = (x0,y0) é um ponto crítico de f se satisfaz uma das duas condições:
a) ( )0 0, 0xf x y = e ( )0 0, 0yf x y =
b) ( )0 0,xf x y ou ( )0 0,yf x y não existe. 
Lembrando que, se f é diferenciável e ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , , 0 0x yf x y f x y i f x y j i j∇ = + = +
   
, 
então toda derivada direcional em (x0,y0) deve ser zero. Isto implica que a função tem um 
plano tangente horizontal no ponto (x0,y0) como indica a figura a seguir. Investigar tais pontos 
é encontrar os candidatos prováveis a máximos ou mínimos relativos da função. 
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 955)
Teorema 8: Os extremos relativos se apresentam só em pontos críticos
Se f em um extremo relativo em (x0,y0) em uma região aberta R, então (x0,y0) é um ponto 
crítico de f . 
Definição 9: Uma função diferenciável f tem um ponto de sela em um ponto crítico (x0,y0) se em todo disco aberto centrado em (x0,y0) existem pontos (x,y) do domínio onde 
( ) ( )0 0 , ,f x y f x y> e pontos (x,y) do domínio onde ( ) ( )0 0, ,f x y f x y< . Nesse caso, 
o ponto ( )( )0 0 0 0, , ,x y f x y na superfície ( ),z f x y= é chamado de ponto de sela da 
superfície. 
43
Exemplo 15
Calcule os valores extremos de ( ) 2 2,f x y y x= −
Resolução
Como f xx = −2 e 2yf y= , então o único ponto crítico é (0,0). 
Observe que para os pontos do eixo X, y = 0 de modo que ( ) 2, 0f x y x= − < (se 0x ≠ ) e 
para pontos do eixo Y, x = 0, ( ) 2, 0f x y y= > (se 0y ≠ ). Portanto, todo disco centrado em 
(0,0) contém pontos onde ƒ assume valores positivos, como também contém pontos onde ƒ 
assume assume valores negativos. Logo, ( )0,0 0f = não pode ser um valor extremo, aliás 
ƒ não tem valorextremo. Na verdade, pela definição, (0,0) é um ponto de sela desta função. 
Confira o gráfico a seguir:
Fonte: Stewart (2012, p. 947)
Prova da derivada segunda
Suponhamos que as derivadas parciais segundas de f são contínuas em um 
disco aberto centrado em (x0,y0) e suponhamos que (x0,y0) seja um ponto 
crítico de f . 
Seja ( ) ( ) ( ) ( )
2
0 0 0 0 0 0 0 0, , , ,xx yy xyD D x y f x y f x y f x y = = −   . Então:
Se 0D > e f x y f x yxx 0 0 0 00, ,( ) > ⇒ ( ) é mínimo local.
Se 0D > e f x y f x yxx 0 0 0 00, ,( ) < ⇒ ( ) é máximo local.
Se 0D < ⇒ ( )⇒ ( )f x y x y0 2 0 0, , é ponto de sela.
Observações: No caso D = 0 o teorema não fornece informações, f pode ter um máximo 
local, ou um mínimo local, ou mesmo um ponto de sela. Precisa-se analisar separadamente. 
Para reconhecer a fórmula de D basta recordar que:
( )2xx xy xx yy xy
yx yy
f f
D f f f
f f
= = − .
44
Unidade: Derivada direcional e aplicações
Exemplo 16
Seja a função f x y x y
x y
,( ) = −( )
−
+





2 2 2
2 2
 e 
 
. Encontre seus pontos críticos a analise-os.
Resolução
Como para encontrar os pontos críticos temos que fazer ( ), 0f x y∇ =

, então basta analisar 
( ) ( ), , 0x yf x y f x y= = . Então temos:
f x y x x xy
f x y
x
x y
y
x y
,
,
( ) = − +( ) =
( ) =
−
+





−
+


e 
e 
2 2
2 2
2 3 2
2
2 0




− + −( ) =2 03 2y y x y
É equivalente ao sistema:
x x y
y x y
x ou x y
y ou y x
2 0
2 0
0 2
0
2 2
2 2
2 2
2
− +( ) =
− − +( ) =




⇒
=
= − 22 2
0 0 2 0
=



⇒ ( ) ± ±, ;
Para analisar os pontos críticos, temos que encontrar as derivadas parciais segundas para 
calcular seus valores nos pontos críticos.
f x y e x x x y y
f x y e x
xx
x y
xy
x y
,
,
( ) = − − + + 
( ) =
−
+
−
+
 
 
2 2
2 2
2 4 2 2 2 2
2 3
5 2
yy xy
f x y e y y x y x
f
yy
x y
− 
( ) = − + + − − 
−
+





3
2 4 2 2 2 2
2 2
5 2,
 
yyx
x y
x y e x y xy,( ) = − 
−
+




 
2 2
2 3 3
Observe que ( ) ( ), ,xy yxf x y f x y= , como era de se esperar pela continuidade das derivadas 
parciais segundas. O cálculos dos valores estão na tabela.
xxf yyf xyf 2yy xy( )( ) ( )xxD f f f= − Conclusão
(0,0) 2 -2 0 -4 < 0 Ponto de sela
( 2,0) 14e−− 14e−− 0 216 0e− > Máximo local
( 2,0)− 14e−− 14e−− 0 216 0e− > Máximo local
(0, 2) 14e− 14e− 0 216 0e− > Mínimo local
( , )0 2− 14e− 14e− 0 216 0e− > Mínimo local
45
Segue uma representação do gráfico de f x y x y e
x y
,( ) = −( )
−
+





2 2 2
2 2
 
Fonte: Vilches; Corrêa (2005, p.214)
Exemplo 17
Veja como uma pequena mudança da lei da função implica em outro tipo de superfície. Seja 
a função ( ) ( ) ( )
2 2
2 2, 2 x yf x y x y e− += + e vamos analisar seus pontos críticos.
( ) ( ) ( )
2 2
2 2, 4 1 0x yxf x y xe x y
− +
= − − =
( ) ( ) ( )
2 2
2 2, 4 1 0x yxf x y ye x y
− +
= − − =
O que é equivalente ao sistema:
( )
( )
2 2
2 2
2 2
1 0
0 1
1 0
x x y
x y e x y
y x y
 − − = ⇒ = = + =
− − =
Observe que esta função, além do ponto (0,0) tem uma curva como pontos críticos, ou seja, 
os pontos da circunferência ( ){ }2 2 2, : 1x y x y∈ + = . Veja a superfície na figura a seguir e 
confira que (0,0) é mínimo local e todos os pontos da circunferência são de máximo local com 
mesmo valor. 
Fonte: Vilches; Corrêa (2005, p.213)
46
Unidade: Derivada direcional e aplicações
Exemplo 18
Observe a comparação entre tipos de pontos críticos (x0, y0) de uma função ( , )f x y e a 
configuração das curvas de nível da função.
Caso 1: (x0, y0) ponto de mínimo local.
Fonte: Vilches; Corrêa (2005, p.218)
Caso 2: (x0, y0) ponto de máximo local.
Fonte: Vilches; Corrêa (2005, p.218)
Caso 3: ponto de sela
Fonte: Vilches; Corrêa (2005, p.218)
A diferença da configuração das curvas de nível dos casos (1) e (2) são os valores das cotas. 
No caso (1), os valores absolutos das cotas são crescentes do centro para as extremidades e, 
no caso (2), os valores absolutos das cotas são decrescentes do centro para a extremidade. 
47
Exemplo 19
Se uma função é contínua num ponto (x0,y0) e se as derivadas parciais primeiras de f não 
existem em (x0,y0), mesmo assim é possível que este ponto seja extremo e deve ser analisado 
separadamente. Veja o caso da função ( ) 2 2,f x y x y= + , que é contínua em 2 e as 
derivadas parciais primeiras não existem na origem. Por outro lado, 2 20 x y≤ + , para todo 
( ) 2,x y ∈ e ( ) ( )0,0 0 ,f f x y= ≤ , para todo ( ) 2,x y ∈ . Logo, (0,0) é um mínimo local e 
absoluto da função f . Veja a figura a seguir.
Fonte: Vilches; Corrêa (2005, p.219)
48
Unidade: Derivada direcional e aplicações
Determinação de extremos condicionados
Muitos problemas de otimização têm restrições para os valores que podem ser usados 
para chegar à solução ótima. Tais restrições tendem a complicar os problemas de otimização, 
porque a solução ótima pode se apresentar em um ponto da fronteira do domínio. 
Para tratar desse tema vamos ver o método de multiplicadores de Lagrange.
Para ver como essa técnica funciona, suponha que queremos encontrar o retângulo de área 
máxima que possa ser inscrito da elipse 
2 2
1
9 16
x y
+ = .
Seja (x,y) é o vértice do retângulo que se encontra no primeiro quadrante, como mostra a 
figura mais à frente. Como o retângulo tem lados com medidas 2x e 2y, então sua área é dada 
pela função ( ), 4f x y xy= , denominada função objetivo. Mas como se quer que o retângulo 
seja inscrito na elipse, temos a seguinte condição para os pares (x,y), a saber, x y2 2
9 16
1+ = , 
denominada restrição. 
Agora consideremos a equação restritiva ou de ligação e relação com uma curva de nível 
fixa, ( )
2 2
,
9 16
x yg x y = + . Então as curvas de nível de f representam uma família de hipérboles
( ), 4f x y xy k= = . Nesta família, as curvas de nível que satisfazem a restrição dada correspondem 
às hipérboles que cortam a elipse. Além disso, para maximizar ( ),f x y , queremos encontrar a 
hipérbole que justamente satisfaça a restrição. E a curva de nível que faz isto é a que é tangente 
à elipse, como mostra a figura. 
Fonte: Larson; Edwards (2010, p. 970)
49
E para encontrar a hipérbole apropriada, usamos o fato de que as duas curvas, elipse e 
hipérbole, são tangentes num ponto, se e somente se, seus vetores gradiente são paralelos. 
Isto significa que ( ),f x y∇ deve ser um múltiplo escalar de ( ),g x y∇ no ponto de tangência. 
No contexto de problemas de otimização com restrições, este escalar se denota pela letra λ 
(lambda) e expressamos assim:
( ) ( ), ,f x y g x yλ∇ = ∇
O escalar λ é conhecido como um multiplicador de Lagrange. O teorema a seguir dá as 
condições necessárias para a existência de tais multiplicadores. 
Teorema 9: Teorema de Lagrange
Sejam f e g funções com derivadas parciais primeiras contínuas e tais que f tem um extremo 
(ponto crítico) no ponto (x0,y0) sobre a curva de restrição ( ),g x y c= . Se ( ), 0g x y∇ ≠ , então 
existe um número real λ tal que: 
( ) ( ), ,f x y g x yλ∇ = ∇
Método dos Multiplicadores de Lagrange
Sejam f e g funções que satisfazem as hipóteses do Teorema de Lagrange e suponhamos 
que f seja a função que tem um mínimo ou um máximo, sujeito à restrição ( ),g x y c= . Para 
encontrar o mínimo ou o máximo de f , devemos seguir os seguintes passos:
Resolver simultaneamente as equações ( ) ( ), ,f x y g x yλ∇ = ∇ e ( )g x y c, resolvendo o 
seguinte sistema de equações:
( ) ( ), ,x xf x y g x yλ=
( ) ( ), ,y yf x yg x yλ=
( ),g x y c=
Calcular f em cada ponto obtido no primeiro passo. O maior valor é o máximo de f e, o 
menor valor é o mínimo de f , sujeito à restrição ( ),g x y c= . 
Exemplo 20
Vamos encontrar a solução do problema do início desta seção, sobre a área máxima de um 
retângulo inscrito da elipse 
x y2 2
9 16
1+ = . 
Vimos que ( ), 4f x y xy= , com x > 0 e y > 0 e a função objetivo 
2 2
1
9 16
x y
+ = é a restrição, 
então ( )
2 2
,
9 16
x yg x y = + .
50
Unidade: Derivada direcional e aplicações
Vamos encontrar as derivadas parciais das funções e escrever os sitemas (passo 1):
( ), 4xf x y y= ; ( ), 4yf x y x= ; ( )
2,
9x
g x y x= e ( ) 1,
8y
g x y y= . Logo, o sistema é:
4
2
9
4
1
8
9 16
1
2 2
y x
x y
x y
= 





= 





+ =









λ
λ
Da primeira equação, temos que 18y
x
λ = , que substituindo na segunda equação dá
2 218 94
8 16
y yx x y
x
  = ⇒ =  
  
Substituindo na terceira equação, temos:
2 2 21 9 1 1 8 2 2
9 16 16
y y y y  + = ⇒ = ⇒ = ± 
 
Como ( )2 2 29 9 9 38
16 16 2 2
x y x x= ⇒ = = ⇒ = ±
Dessa forma, como queremos x > 0 e y > 0, tomamos 3 22x = e 2 2y = e o ponto 3 2 ,2 22     
é o ponto procurado. Falta agora só calcular o valor de f neste ponto.
( )3 2 3 2,2 2 4 2 2 242 2f
   
= =      
   
Assim, a área máxima do retângulo inscrito na elipse é 24 unidades de área e as medidas 
dos lados do retângulo inscrito são 3 2
2
 e 2 2 . 
Observação: Esta questão também pode ser resolvida tomando a função 4A xy= e da 
outra equação, explicitando 2
4 9
3
y x= − , que é a expressão da parte superior do arco da 
elipse, substituindo na primeira equação, 244 9 
3
A x x = − 
 
. A partir daí, usar as técnicas de 
cálculo de máximo para função de uma variável. 
51
Multiplicador de Lagrange para função de três variáveis
O método de multiplicador de Lagrange tem uma extensão natural para funções de três 
variáveis. Para determinar os máximos e mínimos de uma função de três variáveis ( ), ,f x y z , 
sujeita à restrição ( ), ,g x y z c= , supondo que estes valores existam e que ( ), 0g x y∇ ≠ , faz-
se o seguinte:
1. Determinar todos os valores , , ,x y z λ tais que:
( ) ( ), , , ,f x y z g x y zλ∇ = ∇ e ( ), ,g x y z c=
2. Calcular f em todos os pontos ( ), ,x y z obtidos no passo anterior. O maior valor deste 
será o máximo de f , e o menor, será o mínimo de f .
Exemplo 21
Uma caixa retangular sem tampa é construída com 12m2 de papelão. Calcule o volume 
máximo desta caixa.
Resolução
Sejam , ,x y z as medidas de comprimento, largura e altura da caixa. Buscamos maximizar 
V xyz= , sujeito à restrição ( ), , 2 2 12g x y z xz yz xy= + + = .
Utilizando o método de multiplicadores de Lagrange, buscamos valores para as variáveis 
, , ,x y z λ, tais que V gλ∇ = ∇ , de onde obtemos o sistema de equações:
( ) ( )2 1x xV g yz z yλ λ= ⇒ = +
( ) ( )2 2y yV g xz z xλ λ= ⇒ = +
( ) ( )32 2 z zV g xy x yλ λ= ⇒ = +
( ) ( ), , 12 2 2 1 42 g x y z xz yz xy= ⇒ + + =
Não há regras gerais para resolver as equações do sistema. Às vezes requer uma ideia 
criativa. Por exemplo, neste caso, multiplicando cada uma da equações (1), (2) e (3) por 
, , x y z , respectivamente, os primeiros membros destas três equações ficam iguais. Então 
ficamos assim:
( ) ( )2 5xyz xz xyλ= +
( ) ( )2 6xyz yz xyλ= +
( ) )72 2 (xyz xz yzλ= +
Observe que 0λ ≠ , pois se 0λ = teríamos 0yz xz xy= = = pelas equações (1), (2) e (3), 
o que contradiz a equação (4). Lembramos também que 0; 0x y≠ ≠ e 0z ≠ , pois são as 
dimensões da caixa. Então, das equações (5) e (6) temos:
2 2 2 2 ( )xz xy yz xy xz yz x y+ = + ⇒ = ⇒ =
52
Unidade: Derivada direcional e aplicações
Das equações (6) e (7) temos: 
( )2 2 2 2 2 9 yz xy xz yz xy xz y z+ = + ⇒ = ⇒ =
Das equações (5) e (7) temos: 
( )2 2 02 2 12 xz xy xz yz xy yz x z+ = + ⇒ = ⇒ =
Das equações (8), (9) e (10) temos: 2x y z= = e substituindo estes valores na equação (4) 
obtemos:
( ) ( ) ( )( ) 2 22 2 2 2 2 2 12 12 12 1 1z z z z z z z z z+ + = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ±
Como só nos interessa os valores positivos temos: 2, 2x y= = e z = 1 e (2,2,1) é o único 
ponto encontrado, portanto é o ponto de máximo, uma vez que o mínimo seria uma caixa 
degenerada, com alguma das dimensões nulas. Resta só calcular o valor máximo do volume: 
32.2.1 4 maxV m= = .
Exemplo 22
Determine os valores extremos da função ( ) 2 2, 2f x y x y= + sobre a circunferência 
2 2 1x y+ = . Veja a figura.
Fonte: Stewart (2012, p. 960)
Resolução
Temos que calcular os extremos de f sujeito à restrição ( ) 2 2, 1g x y x y= + = . Mediante 
multiplicadores de Lagrange, vamos resolver as equações f gλ∇ = ∇ e ( ), 1g x y = . Então 
temos:
( ), 1
x x
y y
f g
f g
g x y
λ
λ
=
 =
 =
53
Da equação (1) temos: ou x = 0 e assim por (3) 1y = ± . Se 0 1x λ≠ ⇒ = e daí, por (2), 
0 1y x= ⇒ = ± , por (3). Portanto, os possíveis extremos são os pontos críticos encontrados, 
ou seja, (0,1) (0, -1), (1,0), (-1,0). Agora basta analisar os valores de f nestes pontos, que estão 
sobre a circunferência. É o caso de usar o Teorema 7, uma vez que a região (circunferência) é 
fechada e limitada. 
Então ( ) ( ) ( ) ( )0,1 2; 0, 1 2; 1,0 1 1,0 1f f f e f= − = = − = e, assim, o valor máximo de f sobre a 
circunferência é 2 nos pontos ( )0, 1± e é mínimo nos pontos ( )1,0± . 
Exemplo 23
Os princípios geométricos nos quais se apoia o uso de multiplicadores de Lagrange tratado 
no exemplo 22 podem ser ilustrados na figura a seguir, onde se pode observar que os valores 
extremos de ( ) 2 2, 2f x y x y= + correspondem às curvas de nível que tocam a circunferência 
2 2 1x y+ = 
Fonte: Stewart (2012, p. 960)
Entretanto, se quisermos calcular os extremos de f na região 2 2 1x y+ ≤ , que é um disco 
fechado de centro na origem e raio 1, comparamos os valores de f nos pontos críticos com 
valores de f na fronteira. 
E quais são os pontos críticos de f ? São os pontos que anulam as derivadas parciais 
primeiras, a saber: 
2 0
0
4 0
x
y
f x
x y
f y
= =
⇒ = = = =
Desse modo, no interior do disco, o único ponto crítico é (0,0) e como f (0,0), comparando 
com os valores ( )0, 1 2f ± = e ( )1,0 1f ± = , concluímos também pelo Teorema 7, que no 
disco 2 2 1x y+ ≤ o valor máximo absoluto de f é 2, nos pontos ( )0, 1± , e o valor mínimo 
absoluto de f é 0, no ponto (0,0).
E porque absolutos? Porque, nesse disco, em que há uma região fechada e limitada do 
plano, portanto f assume pelo menos um máximo e um mínimo, e comparando todos esses 
valores, o maior de todos será máximo absoluto, bem como o menor de todos será mínimo 
absoluto, no disco. 
54
Unidade: Derivada direcional e aplicações
Não é o caso de só tratarmos de uma restrição, é mais que isto, é analisar no interior da 
região, que é uma região aberta, para encontrar os pontos críticos; depois analisar na fronteira 
da região, que é uma restrição; daí comparar os valores para concluir que o maior deles é 
o máximo absoluto, e o menor deles é o mínimo absoluto, na região fechada (interior mais 
a fronteira). Observe que, para esta mesma função, se mudarmos a região para o disco de 
centro na origem e raio 2 , o único ponto crítico de f continua sendo o (0,0), que continuará 
sendo o mínimo absoluto, mas os pontos sobre a fronteira do novo disco mudarão e teremos 
outro valor para o máximo absoluto, em pontos diferentes do que vimos. Você pode verificar 
isto fazendo os cálculos.
Assim chegamos ao fim desta unidade. Resumindo, vimos na unidade o conceito de 
diferenciabilidade de funções de várias variáveis, regra da cadeia, inclusive no caso dederivação 
implícita, derivada direcional, gradiente, plano tangente e reta normal a uma superfície, derivada 
direcional, bem como a relação entre gradiente e derivada direcional, máximos e mínimos de 
função de várias variáveis e multiplicadores de Lagrange, para o caso de extremos sujeitos 
a uma restrição. Espero que tenham aproveitado bem e compreendido estes fundamentos 
básicos do Cálculo de várias variáveis, bem como sua relevância e aplicabilidade.
55
Material Complementar
Sites:
Funções de várias variáveis
http://www.matematiques.com.br/download.php?tabela=documentos&id=644
Curvas e superfícies de nível
http://www.matematiques.com.br/download.php?tabela=documentos&id=661
Limite e continuidade
http://www.matematiques.com.br/download.php?tabela=documentos&id=645
Derivadas parciais I
http://www.matematiques.com.br/download.php?tabela=documentos&id=646
Derivadas Parciais II
http://www.matematiques.com.br/download.php?tabela=documentos&id=647
Derivadas parciais
http://www.matematiques.com.br/download.php?tabela=documentos&id=636
Derivada direcional, gradiente e pontos críticos.
http://www.matematiques.com.br/download.php?tabela=documentos&id=746
56
Unidade: Derivada direcional e aplicações
Referências
BARBONI, A.; PAULETTE, W. Fundamentos de matemática: cálculo e análise: calculo 
diferencial e integral. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
FLEMMING, D. M.; GONCALVES, M. B. Cálculo: funções, limite, derivação, integração. 6. 
ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 2007.
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. 3.ed. São Paulo: Harbra, 1994.
Referências Complementares 1
BOULOS, P.; ABUD, Z. I. Cálculo diferencial e integral. 2. ed. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2002.
LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce H.  Cálculo com aplicações.  6.ed. Rio de Janeiro: 
Livros Técnicos e Científicos, 2005. 
SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica. Sao Paulo: Pearson Makron Books, 
v.1, 2010. 
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Makron Books 
do Brasil, 1995.
THOMAS JUNIOR, G. B. Cálculo. 10. ed. Sao Paulo: Addison-Wesley, 2004. 
ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. 8ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2007, v.2. 
Referências Complementares 2 
LARSON, R.; EDWARDS, B. H. Cálculo 2 de varias variables. 9 ed. Santa Fé-México: 
McGraw-Hill/Interamericana, 2010.
STEWART, J. Cálculo de varias variables. Transcendentes tempranas. 7 ed. Santa Fé, 
México: Cengage Learning Editores, 2012. 
VILCHES, M. A.; CORRÊA, M. L. Cálculo: Volume III. Departamento de Análise. Universidade 
Estadual do Rio de Janeiro, 2005. 
57
Anotações