Controle de Vibrações

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Prof. Júlio A. Cordioli, Dr. Eng.
Prof. Roberto Jordan, Dr. Eng.
Fundamentos de Vibrações -
Notas de Aula
31 de janeiro de 2021
Sumário
1 Conceitos básicos em vibrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Procedimento de análise de vibrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Componentes de sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Elemento de rigidez (ou de mola) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Elemento de inércia (ou de massa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.3 Elemento de amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Equações do Movimento do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Sistemas lineares e invariante no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6 Tipos de excitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.1 Vibrações livres vs. Vibrações forçadas . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.2 Excitação senoidal ou harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6.3 Excitação periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.6.4 Outros tipos de excitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7 Movimento Harmônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8 Funções periódicas e Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.8.1 Funções periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.8.2 Série de Fourier em senos e cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.8.3 Série de Fourier na forma complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.9 Outras caracteŕısticas de sinais vibratórios - Valor RMS e
decibels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.10 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2 Sistemas de 1 Grau de Liberdade - Vibrações Livres . . . . . . 61
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2 Sistema de 1 GL não-amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3 Sistema rotacional não-amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.4 Método da Conservação de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.5 Sistema de 1 GL - Amortecimento Viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.6 Medição de amortecimento - Decremento logaŕıtmico . . . . . . . . 78
2.7 Outros modelos de amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3
4 Sumário
2.7.1 Amortecimento de Coulomb - Dissipação por atrito seco 81
2.7.2 Amortecimento estrutural ou histerético . . . . . . . . . . . . . 82
2.8 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3 Sistemas de 1 Grau de Liberdade - Excitação harmônica
e periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2 Excitação harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3 Funções Resposta em Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.4 Medição de Amortecimento - Banda de Meia Potência . . . . . . 106
3.5 Excitação na forma de massa desbalanceada . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.6 Movimento harmônico da base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.7 Isolamento de vibrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.8 Amortecimento histerético ou estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.9 Excitação periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.10 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4 Sistemas de 1 Grau de Liberdade - Condições gerais de
excitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.2 Função Delta de Dirac e Resposta Impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.3 Resposta a uma excitação qualquer - Teorema da convolução . 142
4.4 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.4.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.4.2 Espectros de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.4.3 Exemplos da Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 150
4.4.4 Função Resposta em Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.5 Implementação numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.5.1 Integral de Convolução Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.5.2 Transformada Discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5 Sistemas Discretos de Múltiplos Graus de Liberdade . . . . . 165
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.2 Equações do movimento - Sistemas de múltiplos GL . . . . . . . . 165
5.3 Determinação das matrizes do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.3.1 Coeficientes de influência de flexibilidade e de rigidez . 170
5.3.2 Amortecimento proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.3.3 Amortecimento estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.4 Vibrações livres não-amortecidas - Problema de autovalor . . . 172
5.5 Ortogonalidade das formas modais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.6 Teorema da Expansão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.7 Resposta a condições iniciais via Análise Modal . . . . . . . . . . . . 178
5.8 Vibrações Forçadas - Método Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.8.1 Sistemas não-amortecidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Sumário 5
5.8.2 Amortecimento proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.9 Vibrações Forçadas - Método Direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
A Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
A.1 Revisão de números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Respostas dos exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Prefácio
O curso de graduação em Engenharia Mecânica da UFSC inclui duas disci-
plinas que abordam assuntos relacionados com vibrações mecânicas: a dis-
ciplina obrigatória ”Controle de Vibrações”e disciplina optativa ”Vibrações
e Sistemas Lineares”. Essas disciplinas já foram ministradas por diferentes
professores e abordaram ao longo do tempo diferentes conteúdos, nem sem-
pre em uma sequência lógica. Dessa forma, o principal objetivo dos autores
dessa apostila foi de criar um material que pudesse ser adotado por ambas as
disciplinas de vibrações e que oferecesse ao aluno um visão global do assunto
de forma sequencial, partindo dos conceitos básicos necessários para os estu-
dos de vibrações até a modelagem de sistemas dinâmicos através do Método
de Elementos Finitos. Espera-se que as disciplinas venham a proporcionar
ao aluno o conhecimentobásico para atacar problemas relativamente sim-
ples de engenharia na área de vibrações ou permitir que o futuro engenheiro
possa discutir de forma consciente com um especialista na área a solução de
problemas mais complexos. Não é o objetivo dessa apostila discutir em deta-
lhes todos os conceitos da área de vibrações e, por uma questão de tempo e
espaço, assuntos importantes não puderam ser inclúıdos no material. Assim,
o material também vem acompanhado de uma série de referências que, caso
seja de interesse do aluno, podem ser acessadas com o intuito de obter mais
detalhes sobre determinados conceitos.
Florianópolis, Março de 2014.
Julio A. Cordioli
Roberto Jordan
7
Caṕıtulo 1
Conceitos básicos em vibrações
1.1 Introdução
A primeira pergunta a ser respondida antes de iniciar o estudo de vibração é
”Por que estudar vibrações?”.
Vibrações mecânicas estão presentes em muitas de nossas atividades
diárias, e conhecer os fenômenos envolvidos com a vibração de componen-
tes ou estruturas é essencial para se entender o funcionamento de sistemas
mais complexos e, caso necessário, modifica-los de forma proveitosa.
De uma forma geral, vibrações podem ser desejadas ou indesejadas. Um
exemplo de vibração desejada é a vibração do cone de um alto-falante, a qual
é responsável pela geração do som que escutamos. Outro exemplo de vibração
desejada é a vibração do t́ımpano no sistema auditivo e que permite que se
escute o som ambiente. Outros exemplos de engenharia são o uso de vibração
para a limpeza de peças ou a compactação de material.
Os exemplos de vibrações indesejadas também são bastante numerosos e
pode-se citar os seguintes:
• Vibração em um foguete durante seu lançamento, o que pode danificar
algum componente;
• Vibração durante um processo de usinagem, o que pode prejudicar o aca-
bamento superficial de uma peça;
• A vibração de equipamentos de metrologia, o que pode resultar em erros
de medição;
• O rúıdo provocado pela vibração de estruturas;
• Etc.
No caso da geração de rúıdo, a vibração de estruturas ou componentes é a
principal causa do rúıdo presente em instalações industriais. Assim, conhecer
os parâmetros que controlam a vibração dessas estruturas é fundamental para
compreender o processo de geração de rúıdo e identificar as melhores formas
de reduzir o rúıdo gerado.
9
10 1 Conceitos básicos em vibrações
Nesse caṕıtulo, o estudo de vibrações será iniciado pela discução dos con-
ceitos básicos relacionados com vibrações.
1.2 Procedimento de análise de vibrações
Uma vez identificado um problema de vibrações, é necessário definir um pro-
cedimento de análise para o problema. Nesse sentido, o primeiro passo é
buscar simplificar o problema de forma a dar destaque às variáveis mais im-
portantes. Assim, um problema de vibrações é normalmente representado de
forma simplificada através de um esquema, como mostrado na Fig. 1.1, onde
o sistema vibratório é mostrado como uma caixa que recebe uma excitação e
retorna uma resposta vibratória (também chamado de relação excitação-
resposta).
Excitação 
Sistema Vibratório 
Resposta 
f (t) x(t)
Figura 1.1: Representação esquemática de um problema de vibrações através
de uma relação excitação-resposta.
O principal objetivo aqui é, a partir do conhecimento do comportamento
do sistema, prever a resposta obtida para uma dada excitação. Esta previsão
é normalmente feita através de um modelo matemático do sistema. Uma
vez obtido o modelo matemático, é posśıvel verificar a influência de diferentes
parâmetros do sistema mecânico sobre a resposta obtida.
Um bom modelo matemático pode ser de grande importância na solução
de problemas de vibração, assim como no projeto de estruturas que ainda
não existem. No caso de um problema de vibrações já existente, o modelo
matemático permite testar virtualmente diferentes soluções para o problema
e identificar a melhor delas, reduzindo o tempo de solução e otimizando os
resultados. Já no caso de um novo produto, o modelo matemático permite
verificar se o sistema terá problemas de vibração antes da construção dos pri-
meiros protótipos, reduzindo os custos com a construção de vários protótipos
e com os testes que teriam que ser feitos, além de reduzir o tempo total de
projeto.
Um exemplo desse tipo de abordagem pode ser dado pelo problema de
vibração da fuselagem de um avião devido ao desbalanceamento dos moto-
res. Nesse caso, a excitação é a força de desbalanceamento dos motores e o
sistema mecânico é composto pela fixação dos motores, a asa e a fuselagem.
A resposta do sistema é a vibração da fuselagem do avião. A partir de um
1.2 Procedimento de análise de vibrações 11
modelo matemático do sistema é posśıvel propor mudanças na estrutura do
avião de forma a reduzir a vibração da fuselagem e, consequentemente, re-
duzir o rúıdo interno do avião. Aqui, a principal vantagem de um modelo
matemático é permitir a simulação de diferentes modificações do sistema
sem ser necessária a construção de protótipos e a realização de medições.
Imagine o custo de construir diferentes aviões e realizar ensaios em vôo para
determinar os novos ńıveis de vibração! Desta forma, um modelo matemático
confiável pode representar uma redução significativa de custos e de prazos na
solução de problemas de vibração.
É importante destacar que um modelo matemático é sempre uma apro-
ximação de um sistema f́ısico real. O modelo deve incluir os parâmetros do
sistema que são determinantes para o seu comportamento vibratório, mas
não deve ser demasiadamente complexo a ponto de dificultar a análise do
problema. O número de parâmetros a serem considerados no modelo deve
ser determinado pelo grau de precisão dos resultados que serão obtidos pelo
modelo.
Em geral, modelos matemáticos de sistemas vibratórios podem ser dividi-
dos em dois grandes grupos: sistemas discretos e sistemas cont́ınuos. No
caso de sistemas discretos ou de parâmetros concentrados, os parâmetros que
definem o comportamento dinâmico do sistema são discretizados na forma de
elementos de massa, rigidez e amortecimento (os quais são discutidos em mais
detalhes nos próximos itens), e a vibração do sistema pode ser representada
por um número finito de variáveis independentes, chamadas de graus de
liberdade (GL). Já no caso de sistemas cont́ınuos ou distribúıdos, a massa,
rigidez e amortecimento do sistema estão distribúıdos espacialmente e são
representados através de funções espaciais. Sistemas cont́ınuos possuem infi-
nitos GL. Um resumo das caracteŕısticas de modelos matemáticos discretos
e cont́ınuos é mostrado na Tabela 1.1.
Tabela 1.1: Caracteŕısticas de modelos discretos e cont́ınuos.
Sistemas Discretos Sistemas Continuos
Caracteŕısticas dinâmicas concentra-
das em elementos
Caracteŕısticas dinâmicas dis-
tribúıdas (funções)
No. finito de GL No. infinito de GL
Equações Diferenciais Ordinárias Equações Diferenciais Parciais
Um exemplo da representação de um sistema f́ısico por um modelo discreto
é apresentado na Fig. 2.1. Aqui a máquina de lavar é tratada como um corpo
ŕıgido (não sofre deformação) e a rigidez e o amortecimento do sistema advêm
dos apoios da máquina de lavar.
12 1 Conceitos básicos em vibrações
Figura 1.2: Máquina de lavar (a) e uma opção de modelo discreto (b) [5].
Outro exemplo da representação de um sistema f́ısico através de mode-
los matemáticos é dado na Fig. 1.3. Nesse caso, dois modelos distintos são
apresentados para o comportamento dinâmico de um foguete. No primeiro
modelo, a massa e a rigidez do sistema são concentrados em determinados
elementos, ou seja, um modelo discreto. Já o segundo modelo é baseado na
distribuição espacial da massa e rigidez do sistema através de um modelo de
sistema cont́ınuo.Figura 1.3: Modelos dinâmicos de um foguete: a) Sistema real, b) Modelo
discreto e c) Modelo cont́ınuo [5].
Uma vez definido o tipo de modelo matemático que será utilizado (in-
cluindo os graus de liberdade que serão considerados), os próximos passos no
procedimento de análise de um sistema vibratório incluem:
a) Caracterizar os componentes constituintes do sistema com relação ao seu
comportamento dinâmico;
1.3 Componentes de sistemas discretos 13
b) Definir as equações do movimento do sistema;
c) Solucionar as equações do movimento, levando em conta o tipo de ex-
citação;
d) Analisar a resposta do sistema e propor alterações que a aproximem a
resposta do sistema ao comportamento desejado.
Cada uma dessas etapas será discutida em detalhes ao longo desta apostila.
1.3 Componentes de sistemas discretos
De forma geral, os componentes de um sistema vibratório podem ser divididos
em três grandes grupos:
a) Componentes que armazenam e liberam energia cinética;
b) Componentes que armazenam e liberam energia potencial;
c) Componentes que dissipam energia.
Nesse sentido, o movimento vibratório de um sistema é caracterizado pela
constante conversão de um tipo de energia na outra, com parte da energia
sendo dissipada.
Outra forma de dividir os componentes está relacionada com a força que o
componente exerce ser proporcional ao deslocamento, velocidade e aceleração.
1.3.1 Elemento de rigidez (ou de mola)
O elemento de rigidez representa um componente do sistema vibratório cuja
massa e amortecimento são despreźıveis e cujo principal papel é armazenar
energia potencial elástica quando deformado. O exemplo mais comum de
um componente f́ısico que pode muitas vezes ser aproximado através de um
elemento de mola é uma mola helicoidal, como mostrado na Fig. 1.4.
Figura 1.4: Mola helicoidal [5].
A Fig. 1.5 apresenta a representação esquemática normalmente utilizada
para representar um elemento de rigidez em um sistema discreto.
14 1 Conceitos básicos em vibrações
Figura 1.5: Representação de um elemento de mola [5].
Nesta apostila serão considerados apenas elementos de mola linear cuja
força de mola Fs é proporcional à deformação aplicada sobre a mola, sendo
dada por
Fs = kx (1.1)
onde k é a constante de rigidez da mola [N/m] ou simplesmente constante de
mola e x = x2 − x1 é a deformação aplicada à mola.
O elemento de rigidez descrito acima está associado a um movimento de
translação. Entretanto, também pode-se armazenar energia potencial a partir
de um movimento de rotação. Nesse caso, o elemento é chamado de mola
torcional e representado como na Fig. 1.6. A relação entre o momento da
mola Ms e a deformação angular θ é dada por
Ms = ktθ (1.2)
onde kt é a constante de mola torcional [N.m/rad] e θ = θ2 − θ1 [rad].
Figura 1.6: Representação de um elemento de mola torcional [5].
Ambos os elementos de rigidez descritos acima são ditos molas lineares,
para qual a relação entre força e deformação (ou entre momento e deformação
angular) é linear e definida pela constante de mola. De forma geral, ne-
nhum elemento de rigidez real apresenta um comportamento perfeitamente
linear. Entretanto, para pequenos deslocamentos a representação do elemento
através de uma mola linear é geralmente aceitável. Um comportamento t́ıpico
da relação força-deformação de um elemento de estrutural é mostrado na
Fig. 1.7, onde pode-se observar que a hipótese de comportamento linear é
válida para uma faixa de valores pequenos de deformação.
1.3 Componentes de sistemas discretos 15
Figura 1.7: Relação força-deformação t́ıpica para um elemento estrutural.
Nos casos em que o elemento trabalha em um ponto fora da faixa linear,
é posśıvel ainda aproximar o comportamento elástico do material assumindo
pequenas variações da deformação em torno do ponto. Assim, para um ponto
x0, a constante de mola pode ser aproximada como
k ≈ dFs
dx
∣∣∣∣
x=x0
. (1.3)
Durante a definição do modelo matemático de um sistema vibratório é co-
mum a representação de elementos estruturais/distribúıdos como elementos
discretos. No caso de um elemento que irá sofrer deformação, armazenando
energia potencial elástica e cuja massa pode ser desprezada, podemos repre-
sentá-lo através de uma mola equivalente.
Exemplo 1.1. Seja um sistema vibratório formado por uma viga em ba-
lanço (engastada-livre) que suporta em sua extremidade livre uma máquina
de massa m como mostrado na Fig. 1.8.a.
O interesse aqui está no movimento vertical da máquina. Nesse caso, a
viga é o elemento que sofrerá maior deformado durante o movimento e, as-
sumindo que a massa da máquina é muito maior que a massa da viga, pode-se
inicialmente desprezar a massa da viga e sua dissipação e representa-la como
um elemento de mola. A máquina é admitida como um elemento ŕıgido, ou
seja, não sofre deformação e não armazena energia potencial, e cuja massa
está concentrada na extremidade da viga. Desta forma, o sistema pode ser
representado como mostrado na Fig. 1.8.b e o objetivo é então determinar a
constante de mola equivalente que represente a rigidez da viga.
Da Teoria de Flexão de Vigas [1], tem-se que a deformação vertical y(x)
da linha neutra de uma viga engastada-livre em um ponto x devido a um car-
16 1 Conceitos básicos em vibrações
kv
€ 
m
a. 
€ 
x(t)
b. 
€ 
m
L
EI
Figura 1.8: Sistema vibratório composto por viga em balanço e massa em sua
extremidade livre.
regamento estático devido P aplicado em um ponto a da viga como mostrado
na Fig. 1.9 é dado por
y(x) =

Px2
6EI
(3a− x), 0 ≤ x ≤ a
Pa2
6EI
(3x− a), a ≤ x ≤ L
(1.4)
onde E é o módulo de elasticidade do material da viga e I é o momento de
inércia de área da seção transversal da viga.
Figura 1.9: Viga engastada-livre submetida a um carregamento pontual.
Tem-se então que a deformação estática δst da extremidade da viga devido
a um carregamento também na extremidade, ou seja, x = L e a = L na
equação acima, é dada por
δst = y(x = L) =
PL3
3EI
(1.5)
Como a constante de mola independe de a força ser estática ou dinâmica,
pode-se obter a constante de mola da viga kv como
1.3 Componentes de sistemas discretos 17
kv =
Fs
x
=
P
δst
=
3EI
L3
. (1.6)
ut
Energia potencial de um elemento de rigidez
A energia potencial U de um sistema elástico submetido a forças conser-
vativas de resultante Fr e com base em um ponto de referência xref é dada
por (ver [5] para a derivação completa)
U =
∫ xref
x
Fr(ξ)dξ. (1.7)
No caso de uma mola linear operando em torno do ponto de equiĺıbrio (xref =
0) a força restauradora (força conservativa) é oposta a força aplicada, ou seja,
Fr(ξ) = −kξ, tal que a Eq. (1.8) fica
U =
∫ 0
x
−kξdξ = 1
2
kx2. (1.8)
Em muitos casos é necessário empregar um conjunto de molas para re-
presentar elementos de um sistema vibratório. Para facilitar a definição das
equações do movimento do sistema é comum calcular uma mola equivalente
para um dado conjunto de molas e alguns métodos são vistos a seguir.
Associação de molas em paralelo:
Diz-se que duas ou mais molas estão associadas em paralelo quando sofrem
a mesma deformação.
Seja o caso de duas molas em paralelo como mostrado na Fig. 1.10.a.
Figura 1.10: Associação de molas em paralelo [5].
Pode-se notar que ambas as molas são submetidas à mesma deformação
x = x2 − x1, e que uma constante de mola equivalente é dada pela relação
18 1 Conceitos básicos em vibrações
keq = Fs/x. A partir da Fig. 1.10.b tem-se que a força Fs nada mais é que a
soma de cada uma das forças de mola individuais, ou seja,
Fs = Fs1 + Fs2 = k1x+ k2x
Fs = (k1 + k2)x. (1.9)
Conclui-se então que a constante de mola equivalente é dada por
keq = k1 + k2. (1.10)
É posśıvel mostrar que a Eq. (1.10) pode ser generalizada para um número
n de molas em paralelo, sendo que a constante de mola equivalente é dada
por
keq =
n∑
i=1
ki.(1.11)
Associação de molas em série:
Já a associação de molas em série é caracterizada por todas as molas serem
submetidas à mesma força Fs.
A Fig. 1.11 mostra o exemplo de duas molas em série.
Figura 1.11: Associação de molas em série [5].
O objetivo é representar todo o conjunto de molas por uma mola equiva-
lente que relaciona o deslocamento sofrido pelos extremos com a força apli-
cada, ou seja,
keq =
Fs
x2 − x1
. (1.12)
Como a força é a mesma em ambas as molas, temos que
1.3 Componentes de sistemas discretos 19
Fs = k1(x0 − x1), (1.13)
e
Fs = k2(x2 − x0). (1.14)
Para chegarmos a uma relação como a dada pela Eq. (1.12) é necessário
eliminar a variável x0 das equações. Para tanto, pode-se isolar x0 na Eq. (1.13)
tal que
x0 =
Fs + k1x1
k1
, (1.15)
e substituindo em Eq. (1.14) tem-se
Fs = k2x2 −
k2
k1
(Fs + k1x1). (1.16)
Manipulando a Eq. (1.16) chega-se a
Fs =
(
k2
1 + k2/k1
)
(x2 − x1),
e conclui-se então que o coeficiente da mola equivalente é dado por
keq =
k2
1 + k2/k1
=
1
1/k2 + 1/k1
=
(
1
k1
+
1
k2
)−1
. (1.17)
Generalizando para um número n de molas em série, tem-se que
keq =
(
n∑
i=1
1
ki
)−1
. (1.18)
Exemplo 1.2. Seja o sistema vibratório formado por um tambor de içamento
e um equipamento de massa m sendo erguido como mostrado na Fig. 1.12.a.
Admitindo que a massa do equipamento sendo erguido é muito maior que
a massa do tambor de içamento, da viga e do cabo, podemos representar o
sistema vibratório como mostrado na Fig. 1.12.b, ou seja, duas molas em
série (uma representando a rigidez da viga e outra representando a rigidez
do cabo) e uma massa m (representando o equipamento sendo erguido). Note
que as molas estão em série, pois a força aplicada na extremidade do cabo
é igual a força aplicada na extremidade da viga, pois se despreza a inércia
desses elementos.
A rigidez de uma viga em balaço foi vista no Exemplo 1.1 e é dada por
kv =
3EvI
L3v
.
Já o cabo pode ser considerado como um elemento sofrendo deformação
axial. Seguindo procedimento similar ao utilizado no Exemplo 1.1, tem-se que,
20 1 Conceitos básicos em vibrações
Lv
m
EvI
AEc
Viga 
Cabo 
Lc
kc
kv
b. 
m
a. 
Figura 1.12: Sistema vibratório formado por um tambor de içamento e massa
sendo erguida.
da Teria de deformação axial de barras, a relação entre um carregamento
estático P aplicado na extremidade de um elemento de comprimento L e sua
deformação δst é dada por [1]
δst =
PL
AE
, (1.19)
onde A é a área de seção transversal do elemento e E o módulo de elasticidade
do material. Logo, a constante de mola equivalente para o cabo fica
kc =
AcEc
Lc
. (1.20)
A rigidez equivalendo do sistema é então dada por
keq =
(
1
kv
+
1
kc
)−1
=
(
L3v
3EvI
+
Lc
AEc
)−1
=
3AIEvEc
L3vAEc + 3LcEvI
. (1.21)
Método da energia potencial para associação de molas
1.3 Componentes de sistemas discretos 21
Em alguns casos, os elementos de rigidez de um sistema não podem ser
enquadrados como uma associação em série ou em paralelo. Isto é particu-
larmente comum em sistemas onde existe uma relação não unitária entre a
deformação aplicada em cada mola (se a relação fosse unitária as molas esta-
riam em paralelo). Nesses casos, a forma mais fácil de obter uma constante
de mola equivalente é recorrer ao Método da Energia Potencial. O método
estabelece que uma constante de mola equivalente pode ser determinada que
a energia potencial obtida com base em uma dada deformação é igual a soma
da energia potencial de todas as molas do sistema, ou seja,
1
2
keqx
2 =
n∑
i=1
Ui. (1.22)
Um exemplo será mostrado mais a frente que também inclui um método
similar para a associação de elementos de inércia.
1.3.2 Elemento de inércia (ou de massa)
O elemento de inércia ou de massa é o componente de um sistema vibratório
discreto responsável por armazenar energia cinética. Por sua vez, este ele-
mento não pode ser deformado, e por isso também é chamado de elemento
de corpo-ŕıgido, além de não dissipar energia.
O comportamento do elemento de massa é regido pela segunda lei de New-
ton de tal forma que a força Fm associada ao elemento é dada por
Fm = ma = mẍ, (1.23)
onde m é a massa do elemento e a = ẍ a sua aceleração. Note que nesse caso
a força associada ao elemento é proporcional a aceleração, sendo esta outra
caracteŕıstica dos elementos de inércia.
A Eq. (1.23) assume um movimento de translação. No caso de movimento
de rotação, o comportamento do elemento de inércia é dado por
M0,m = J0θ̈, (1.24)
onde M0,m é o momento aplicado ao elemento de inércia em torno do ponto
0, sendo θ̈ a sua aceleração angular e J0 o momento de inércia de massa do
elemento em torno do ponto 0 dado por
J0 =
∫
corpo
r2dm, (1.25)
onde r é o raio em torno do ponto 0 de cada elemento infinitesimal de massa
dm que compõe o corpo ŕıgido. No caso de um corpo com densidade constante
22 1 Conceitos básicos em vibrações
a Eq. (1.25) fica
J0 = ρ
∫
V
r2dV, (1.26)
onde assumiu-se dm = ρ(r)dV = ρdV e V é o volume do corpo.
A energia cinética de um elemento de massa em movimento de translação
pura é, por definição, dada por
T =
1
2
mv2 =
1
2
mẋ2. (1.27)
A Eq. (1.27) também pode ser entendida como uma definição alternativa
para o elemento de massa. Nesse caso, a massa do sistema é o valor que
multiplicado pelo quadrado da velocidade e dividido por dois fornece a energia
cinética do sistema. A Eq. (1.27) é na verdade uma simplificação de
T =
1
2
∫
corpo
ẋ · ẋdm = 1
2
∫
V
ρ|ẋ|2dV, (1.28)
onde ẋ é o vetor velocidade associado a cada elemento infinitesimal de massa
dm, (.) é o produto interno de dois vetores. Para chegar na Eq. (1.27),
assumiu-se que todos os elementos infinitesimais apresentam a mesma densi-
dade e velocidade, o que é válido para um corpo-ŕıgido de densidade uniforme,
e considerou-se apenas uma direção.
No caso de um corpo-ŕıgido em rotação, a energia cinética é dada por
T =
1
2
J0θ̇
2. (1.29)
onde θ̇ é a velocidade angular do corpo.
Para um corpo-rigido em um movimento composto planar (translação e
rotação em um mesmo plano) pode-se mostrar que a energia cinética é a soma
energia cinética de translação associada ao centro de massa Ttr,c e a rotação
em torno do centro de massa Trot,c, ou seja,
T = Ttr,c + Trot,c
=
1
2
mẋc
2 +
1
2
Jcθ̇
2, (1.30)
onde ẋc é a velocidade do centro de massa e Jc é o momento de inércia de
massa em torno do centro de massa.
Método da Energia Cinética para associação de massas:
Alguns sistemas vibratório podem apresentar mais de um elemento de
massa. Se os movimentos desses elementos são dependentes, ou seja, pode-se
escrever um em função do outro, é posśıvel calcular um elemento de massa
equivalente que represente esses elementos. Para tanto, pode-se utilizar o
1.3 Componentes de sistemas discretos 23
Método da Energia Cinética que estabelece que a energia cinética associada
a massa equivalente é a soma da energia cinética de todas as massas, ou seja,
1
2
meqẋ
2 =
n∑
i=1
Ti. (1.31)
Note que se o movimento dos elementos de massa são independentes, ou
seja, um não pode ser escrito em função dos demais, o sistema apresenta mais
de um GL e não é posśıvel calcular um elemento de massa equivalente.
Exemplo 1.3. Seja o sistema abaixo composto de elementos de rigidez e de
massa. Determine a rigidez e a massa equivalentes do sistema em relação ao
movimento da massa m1.
L
m1
k1
k2
a
b
Esfera (me e re) 
Sem 
escorregamento Barra rígida de 
massa desprezível 
kt
Figura 1.13: Sistemas de massas e rigidezas acopladas.
O primeiro passo para obter a massa e rigidez equivalentes é determi-
nar a relação entre os movimentos de translação e rotação dos elementos de
corpo-ŕıgido, a deformação dos elementos de rigidez e o grau de liberdade que
deseja-se considerar, nesse caso, a translação da massa m1. Tomando entãox1 como a translação da massa m1, θ a rotação da barra em torno de seu
ponto pinado, xe a translação da esfera e θe a rotação da esfera em torno de
seu centro, e assumindo pequenos deslocamentos tal que tan θ ≈ θ tem-se as
seguintes relações entre os graus de liberdade:
24 1 Conceitos básicos em vibrações
tan θ =
x1
b
≈ θ,
tan θ =
xe
a
≈ θ,
tan θe =
xe
re
≈ θe.
(1.32)
A relação entre θe e re levou em consideração o fato que não há escorre-
gamento entre a esfera e o plano sobre a qual a mesma está posicionada.
Escrevendo cada grau de liberdade em termos de x1, tem-se então
θ =
x1
b
,
xe =
a
b
x1,
θe =
a
bre
x1.
(1.33)
Utilizando o Método da Energia Potencial para determinar a rigidez equi-
valente em relação a x1 tem-se que
1
2
keqx
2
1 =
3∑
i=1
Ui
=
1
2
k1x
2
1 +
1
2
k2x
2
e +
1
2
ktθ
2
=
1
2
k1x
2
1 +
1
2
k2
(a
b
)2
x21 +
1
2
kt
1
b2
x21,
(1.34)
de onde conclui-se que a rigidez equivalente é dada por
keq = k1 + k2
(a
b
)2
+ kt
1
b2
. (1.35)
A massa equivalente pode ser obtida através do Método da Energia Cinética.
Nesse caso, tem-se que
1
2
meqẋ
2
1 =
3∑
i=1
Ti
=
1
2
m1ẋ
2
1 +
1
2
meẋ
2
e +
1
2
Jeθ̇
2
e
=
1
2
m1ẋ
2
1 +
1
2
me
(a
b
)2
ẋ21 +
1
2
Je
(
a
bre
)2
ẋ21,
(1.36)
onde considerou-se tanto o movimento de translação como o movimento de
rotação da esfera e Je é o momento de inércia da esfera. A massa equivalente
é então dada por
meq = m1 +me
(a
b
)2
+ Je
(
a
bre
)2
. (1.37)
1.3 Componentes de sistemas discretos 25
Exemplo 1.4. Seja novamente o sistema considerado no Exemplo 1.1, onde
inicialmente desprezou-se a massa da viga a qual foi representa exclusiva-
mente como uma mola. Tal aproximação pode levar a erros significativos
dependendo da relação entre a massa da viga e a massa do equipamento.
Entretanto, pode-se empregar o Método da Energia Cinética para obter uma
massa equivalente da viga e com isso melhor representar o sistema.
O primeiro passo é calcular a energia cinética da viga com base no grau
de liberdade de interesse, nesse caso o movimento vertical da extremidade
da viga onde está o equipamento. Entretanto, cada elemento infinitesimal da
viga possui uma velocidade diferente durante sua deformação. Desta forma,
a energia cinética total da viga é dada pela integração da energia cinética de
cada elemento. Da Eq. (1.28) tem-se então que
T =
1
2
∫ L
0
ρAv2(z)dz, (1.38)
onde z é a direção longitudinal da viga e considerou-se que a massa de cada
elemento infinitesimal é dada por ρAdz, sendo ρ a densidade do material da
viga e A a área da seção transversal. A relação entre a velocidade de cada
ponto da viga e o movimento de sua extremidade pode ser obtida com base
no comportamento da linha elástica y(z) da viga, que no caso de uma viga
engastada-livre com carregamento P na extremidade é dada por
y(z) =
Pz2
6EI
(3L− z). (1.39)
O deslocamento vertical da extremidade da viga nesse caso é dado por
yext = y(z = L) =
PL3
3EI
, (1.40)
e relação entre o deslocamento vertical de cada ponto e o deslocamento da
extremidade (grau de liberdade de interesse) pode ser escrito como
y(z) = yext
z2
2L3
(3L− z). (1.41)
Derivando em relação ao tempo, tem-se que a relação entre a velocidade
vertical de cada ponto e a velocidade da extremidade fica
v(z) = ẏ(z) = ẏext
z2
2L3
(3L− z). (1.42)
Substituindo na integral tem-se
T =
1
2
∫ L
0
ρA
(
z2
2L3
(3L− z)
)2
ẏ2extdz. (1.43)
Resolvendo a integral acima chega-se a
26 1 Conceitos básicos em vibrações
T =
1
2
33
140
mv ẏ
2
ext (1.44)
onde mv = ρAL é a massa da viga, e de onde conclui-se que a massa equi-
valente da viga em relação ao movimento de sua extremidade é
meq =
33
140
mv. (1.45)
1.3.3 Elemento de amortecimento
Em todos os sistemas reais parte da energia vibratória é gradualmente con-
vertida em calor ou outro tipo de energia (som por exemplo). Esse fenômeno
é conhecido como amortecimento e pode envolver diferentes mecanismos de
dissipação de energia. Um exemplo é dado pela oscilação de um pêndulo.
Após colocar o pêndulo para oscilar, pode-se notar que a amplitude da os-
cilação diminui ao longo do tempo. Nesse caso, a maior parte da energia é
dissipada na forma de calor provocado pelo atrito entre o pêndulo e ar.
Diferentes modelos de amortecimento estão dispońıveis na literatura e bus-
cam descrever diferentes mecanismos de dissipação. O elemento de amorteci-
mento mais utilizado para sistemas com poucos GL é o amortecedor viscoso
devido a sua simplicidade matemática sendo representado como mostrado na
Fig. 1.14.
Figura 1.14: Representação de um elemento de amortecimento viscoso.
Um amortecedor viscoso é em geral associado a um pistão com furos ou
folgas laterais posicionado dentro de um cilindro com óleo como mostrado
na Fig. 1.15. O movimento do pistão força a passagem do óleo através dos
furos ou das folgas laterais provocando a dissipação de energia vibratória em
decorrência da viscosidade do fluido.
No caso de um amortecedor viscoso, a força de amortecimento Fd associada
ao elemento é proporcional a velocidade imposta ao elemento tal que
Fd = cẋ (1.46)
onde c é a constante de amortecimento viscoso e ẋ = ẋ2 − ẋ1 é a diferença
de velocidade imposta às extremidades do amortecedor (Fig. 1.14).
1.3 Componentes de sistemas discretos 27
Figura 1.15: Exemplo de amortecedor viscoso: pistão em cilindro com óleo.
Outros modelos matemáticos descritos na literatura são (alguns serão vis-
tos mais a frente na disciplina):
• Amortecimento de Coulomb (ou por atrito):
– Dissipação devido ao atrito entre superf́ıcies;
– Magnitude da força de amortecimento é constante mas de sinal oposto
à velocidade;
• Amortecimento histerético ou estrutural:
– Amortecimento intŕınseco ao material quando deformado (dissipação
interna na forma de calor, formação de micro-trincas e deformação
plásticas dos grãs do material);
– Está associado a curva de histerese do material
• Amortecimento proporcional
– Modelo de amortecimento onde a matriz de amortecimento é propor-
cional as matrizes de massa e/ou rigidez (utilizado para sistemas com
mais de um GL);
Associação de amortecedores viscosos em paralelo:
A derivação segue o mesmo procedimento visto para associação de molas
e resulta em
ceq =
n∑
i=1
ci. (1.47)
Associação de amortecedores viscosos em série:
Novamente, seguindo o mesmo procedimento aplicado a associação de mo-
las em série mas para amortecedores chega-se a
ceq =
(
n∑
i=1
1
ci
)−1
. (1.48)
Método da energia dissipada para associação de amortecedores
viscosos:
28 1 Conceitos básicos em vibrações
Pode-se mostrar que a energia dissipada por um amortecedor viscoso é
dada por
Ediss = cẋ
2. (1.49)
Logo, uma constante de amortecimento equivalente para um sistema com
vários amortecedores é dada por
ceqẋ
2 =
n∑
i=1
Ediss,i. (1.50)
Observação: Os mecanismos de dissipação de sistemas vibratórios são
geralmente muito complexos e os modelos de amortecimento descritos acima
são sempre aproximações que permitem incluir alguma forma de dissipação no
modelo matemático do sistema. Em geral, os parâmetros de amortecimento
são obtidos através de ensaios experimentais ou com base na experiência
com estruturas/sistemas similares e, mesmo que o modelo de amortecimento
não represente fielmente o mecanismo de dissipação, modelos matemáticos
razoavelmente precisos podem ser obtidos.
1.4 Equações do Movimento do Sistema
- Objetivo: Relacionar a resposta do sistema com a excitação aplicada levando
em consideração os parâmetros do sistema.
- Número de equações deve ser igual ao número de variáveis (GL do sis-
tema) de forma a permitir a solução.
- Sistema massa-mola-amortecedor:
Seja o sistema massa-mola-amortecedor mostrado na Fig. 1.16.a e que será
bastante utilizado ao longo da disciplina.
O primeiro passo na derivação daequação do movimento é determinar o
diagrama de corpo-livre do sistema. Para isso, tira-se o sistema do equiĺıbrio
e, assumindo, por exemplo, deslocamento e velocidade do sistema positivos
(x > 0 e ẋ > 0), indica-se o sentido e amplitude das forças aplicadas ao corpo-
ŕıgido, como mostrado na Fig. 1.16.b. Na sequência, aplicando a Segunda Lei
de Newton, tem-se que
∑
i
Fi = mẍ
−kx− cẋ+ f = mẍ
mẍ+ cẋ+ kx = f, (1.51)
a qual é a eq. do movimento do sistema.
1.4 Equações do Movimento do Sistema 29
€ 
k
€ 
m
a. 
€ 
x(t) € 
kx(t)
b. € 
c
€ 
c˙ x (t)
f (t)
Posição de 
equilíbrio 
€ 
m
€ 
x(t)
f (t)
Figura 1.16: Sistema massa-mola-amortecedor e diagrama de corpo-livre.
- Note que no sistema acima, a posição de equiĺıbrio coincide com o ponto
onde a mola não está deformada. Entretanto, nem sempre isso ocorre. Seja
por exemplo o caso do mesmo sistema massa-mola-amortecedor anterior, mas
agora na posição vertical como mostrado abaixo. Nesse caso, a presença da
força peso provoca uma deformação inicial da mola. O diagrama de corpo-
livre assumindo um deslocamento positivo a partir do ponto onde a mola não
está deformada (y > 0)
€ 
k
€ 
m
a. 
€ 
x(t)
ky(t)
€ 
m
b. 
y(t)
€ 
c cy(t)
f (t) f (t)
Posição de 
equilíbrio 
y(t)
Posição da mola 
 não-deformada 
δst
mg mg
Figura 1.17: Sistema massa-mola-amortecedor na posição vertical e diagrama
de corpo-livre.
Aplicando a Segunda Lei de Newton, tem-se que
30 1 Conceitos básicos em vibrações∑
i
Fi = mÿ
−ky − cẏ −mg + f = mÿ
mÿ + cẏ + ky +mg = f. (1.52)
Note que a nova equação do movimento inclui um novo termo relacionado
ao peso do sistema. Entretanto, pode-se reescrever as equações com base na
posição de equiĺıbrio do sistema. Sabe-se que a relação entre as duas posições
é dada por
y(t) = x(t)− δst (1.53)
onde δst é a deformação estática provocada pela força peso. Como o sistema
está em equiĺıbrio quando x = 0, conclui-se que
kδst = mg. (1.54)
Substituindo as equações acima na equação do movimento anterior tem-se
que
m
d2
dt2
(x− δst) + c
d
dt
(x− δst) + k(x− δst) +mg = f
mẍ+ cẋ+ kx− kδst +mg = f
mẍ+ cẋ+ kx = f (1.55)
ou seja, tem-se a mesma equação do movimento do sistema na posição hori-
zontal.
- De forma geral, se a equação do movimento é obtida a partir do ponto de
equiĺıbrio, não é necessário considerar a força peso e a equação do movimento
independe da orientação do sistema.
1.5 Sistemas lineares e invariante no tempo
- Definição de sistema linear e invariante no tempo
Diz-se que um sistema dinâmico é linear se obedece o Prinćıpio da Su-
perposição, o qual estabelece que se x1(t) e x2(t) são as respostas de um
sistema quando submetido separadamente as excitações F1(t) e F2(t), res-
pectivamente, tem-se então que a resposta a uma excitação do tipo F (t) =
F1(t) + F2(t) é igual a x(t) = x1(t) + x2(t), ou seja, a resposta é a soma
das respostas individuais. O Prinćıpio da Superposição é representado na
Fig. 1.18
Já um sistema invariante no tempo é definido como aquele que, aplicando-
se um atraso na excitação, tem-se o mesmo atraso na resposta, como mostrado
na Fig. 1.19 para um atraso τ .
1.6 Tipos de excitação 31
Sistema Linear 
f1(t) x1(t)
Sistema Linear 
f2 (t) x2 (t)
Sistema Linear 
c1 f1(t)+ c2 f2 (t) c1x1(t)+ c2x2 (t)
Figura 1.18: Prinćıpio da superposição [5].
Sistema Invariante 
f (t +τ ) x(t +τ )
Figura 1.19: Sistema invariante no tempo [5].
1.6 Tipos de excitação
O estudo na área de vibrações esta voltado principalmente para o cálculo
da resposta de um sistema mecânico frente a uma excitação. Entretanto, a
solução das equações envolvidas depende do tipo de excitação aplicada ao
sistema. A seguir, discutiremos as classificações utilizadas para as diferentes
excitações e algumas caracteŕısticas dessas excitações que iremos utilizar mais
a frente na solução de problemas de vibrações.
1.6.1 Vibrações livres vs. Vibrações forçadas
De forma geral, as excitações aplicadas a um sistema mecânico podem ser
divididas em dois grande grupos: vibrações livres e vibrações forçadas.
No caso de vibrações livres (também chamadas de condições iniciais ou
excitações iniciais) aplica-se um deslocamento e/ou velocidade iniciais ao sis-
tema e deixa-se o sistema vibrar livremente. Nesse caso, outras excitações
não são aplicadas ao sistema depois que o movimento é iniciado e, por isso,
o nome vibrações livres é utilizado.
Vibrações forçadas compreende os casos onde uma excitação é aplicada ao
sistema depois do ińıcio do movimento (com algumas exceções). A excitação
pode ser uma força, um momento ou um deslocamento imposto a uma parte
do sistema. De forma geral, os diferentes tipos de excitação e resposta (cha-
mados de forma geral de sinais) podem ser classificados de acordo com o
32 1 Conceitos básicos em vibrações
diagrama apresentado na Fig. 1.20. A definição de cada tipo é apresentado
na sequência
Figura 1.20: Classificação dos tipos de excitação e resposta, também chama-
dos de sinais.
1.6.2 Excitação senoidal ou harmônica
Excitações senoidais ou harmônicas são aquelas que se comportam de forma
harmônica, ou seja na forma de seno ou cosseno. Um exemplo de excitação
harmônica pode ser dado pelo caso da máquina de lavar considerado na
Fig. 1.21. Imagine que a roupa não tenha sido distribúıda de forma uni-
forme no cesto da máquina de lavar, ou seja, diz-se que o sistema possui uma
massa desbalanceada (ou massa excêntrica). Nesse caso, quando a máquina
começar a girar a massa desbalanceada irá provocar uma força sobre o eixo
da máquina, como mostrado na Fig. 1.21, onde m é a massa desbalanceada e
ω é a frequência angular de giro da máquina. Pode-se mostrar que nesse caso
a excitação provocada pela massa na direção vertical (estamos considerando
apenas o movimento vertical da máquina) é dada por
Fv = meω
2 senωt (1.56)
onde e é o raio do movimento feito pela massa desbalanceada.
A análise de sistemas vibratórios com excitação harmônica irá utilizar as
propriedades vistas no Item 1.7.
1.6 Tipos de excitação 33
Figura 1.21: Sistema com excitação harmônica na forma de uma massa des-
balanceada.
1.6.3 Excitação periódica
Como visto no Item 1.6.1 , as excitações harmônicas pertencem a uma classe
maior de excitações denominadas de excitações periódicas. Um exemplo de
excitação periódica é mostrada na Fig. 1.22. Será visto mais a frente que
a solução de problemas envolvendo excitações periódicas pode ser obtida
utilizando Séries de Fourier para representar a excitação e o conceito de
linearidade do sistema (Prinćıpio da Superposição) de forma que o problema
se reduz a solução de vários problemas harmônicos.
Figura 1.22: Excitação periódica.
34 1 Conceitos básicos em vibrações
1.6.4 Outros tipos de excitação
Além de excitações harmônicas e periódicas, sistemas vibratórios também
podem ser submetidos a outros tipos de excitação. Funções que não são
periódicas são chamadas de funções não-periódicas e representam um grande
número de excitações. Um exemplo de uma função não-periódica é mostrado
na Fig. 1.23.
Figura 1.23: Excitação não-periódica.
Dentre as funções não-periódicas destaca-se um sub-grupo chamado de
funções transientes e que são caracterizadas por uma uma excitação não-nula
em apenas uma parte da função. Um exemplo de excitação transiente é a
chamada função pulso retangular mostrada na Fig. 1.24. Note que a excitação
é nula para t < 0 e para t > T .
Figura 1.24: Excitação transiente.
Todas as excitações vistas até aqui pertencem a uma classe de excitações
chamadas determińısticas e recebem esse nome visto que podem ser escri-
tas na forma de equações, permitindo a determinação do valor da excitação
em qualquer instante de tempo.Entretanto, existem muitas excitações que
1.7 Movimento Harmônico 35
não podem ser representadas por equações e cujos valores não podem ser
previstos de antemão. Estas excitações são chamadas de excitações aleatórias
ou não-determińısticas. Um exemplo de uma função aleatória é mostrada na
Fig. 1.25. A solução de sistemas envolvendo excitações aleatórias requer o uso
de ferramentas estat́ısticas e não serão consideradas neste estudo.
Figura 1.25: Excitação aleatória.
1.7 Movimento Harmônico
O estudo de sistemas submetidos a uma excitação harmônica é uma parte
importante do estudo de vibrações e permite introduzir conceitos que serão
fundamentais no estudo de outros tipos de excitações. Assim, uma breve re-
visão sobre movimento harmônico é apresentada a seguir.
Alguns conceitos de números complexos serão utilizados nessa seção e
recomenda-se ao aluno uma leitura do Anexo A.
De forma geral, uma função com comportamento harmônico no tempo
pode ser escrita utilizando umas das seguintes formas
f(t) = A1 cos(ωt) +A2 sen(ωt) (1.57)
f(t) = A cos(ωt− φ) (1.58)
f(t) = A sen(ωt− θ) (1.59)
onde A, A1 e A2 são amplitudes, ω é a frequência de oscilação (ou frequência
angular) em rad/s e φ e θ são ângulos de fase em radianos.
36 1 Conceitos básicos em vibrações
A relação entre a representação pela soma de senos e cossenos ou por
apenas um seno ou cosseno é dada por (utilizando relações trigonométricas)
A =
√
A21 +A
2
2 (1.60)
e
φ = θ +
π
2
= tan−1(
A2
A1
), (1.61)
ou ainda
A1 = A cos(φ) e A2 = A sen(φ). (1.62)
Note que em todas as formas acima a forma da função é controlada por duas
variáveis, amplitude e fase, nas formas de seno e cosseno, e duas amplitudes,
na forma de soma de seno e cosseno.
A Fig. 3.2 mostra um exemplo de função harmônica.
T	
φ/ω	
F	
Figura 1.26: Exemplo de comportamento harmônico [7].
Da figura tem-se que o peŕıodo T é dado por
T =
2π
ω
. (1.63)
A relação entre frequência angular ω e a frequência f em Hertz (Hz) é
dada por
ω = 2πf. (1.64)
Assumindo que o deslocamento de um sistema dinâmico apresenta compor-
tamento harmônico, pode-se obter a sua velocidade e aceleração simplesmente
derivando o deslocamento, ou seja,
1.7 Movimento Harmônico 37
x(t) = A cos(ωt− φ) (1.65)
v(t) = ẋ(t) =
dx(t)
dt
= −ωA sen(ωt− φ)
= −ωA cos(ωt− φ− π
2
) = ωA cos(ωt− φ+ π
2
) (1.66)
a(t) = ẍ(t) =
d2x(t)
dt2
= −ω2A cos(ωt− φ)
= ω2A cos(ωt− φ+ π) (1.67)
As operações acima podem ser visualizadas no ćırculo trigonométrico mos-
trado na Fig. 1.27.
x(t)
x(t)
x(t)
ωt −φ
ωt −φ +π 2
ωt −φ +π
cos()
sen()
Figura 1.27: Ćırculo trigonométrico.
Das equações acima tem-se que ẍ(t) = −ω2x(t). A relação entre x(t) e ẋ(t)
é mais complicada pois envolve uma mudança de fase de π/2, a qual não pode
ser representada simplesmente por uma mudança de sinal (como no caso de
uma mudança de fase de π). O efeito da diferença de fase entre deslocamento,
velocidade e aceleração no tempo pode ser observado na Fig. 1.28.
Note que as operações de derivação acabam misturando representações em
senos e cossenos, o que dificulta a manipulação algébrica das equações. Por
esse motivo, utiliza-se uma representação complexa do movimento harmônico
como será visto a frente.
Representação exponencial ou complexa
38 1 Conceitos básicos em vibrações
Figura 1.28: Representação no tempo do deslocamento, velocidade e ace-
leração harmônicos.
De forma a facilitar a manipulação das equações envolvidas na solução de
problemas de vibrações, pode-se reescrever uma função harmônica em senos
e/ou cossenos na forma exponencial utiliza-se a Fórmula de Euler dada por
eiα = cosα+ i senα, (1.68)
No caso de uma função na forma de cosseno, tem-se que
f(t) = Fm cos(ωt− φ)
= Re
{
Fme
i(ωt−φ)
}
. (1.69)
onde Re{} indica a parte real do número complexo.
No caso de uma função na forma de seno, tem-se que
f(t) = Fm sen(ωt− θ)
= Im
{
Fme
i(ωt−θ)
}
. (1.70)
onde Im{} indica a parte imaginária do número complexo.
Por sua vez, a Eq. (1.70) pode ser reescrita utilizando o conceito de ampli-
tude complexa. Para o a função na forma de cosseno, define-se a amplitude
complexa como F̃ = Fme
−iφ, ou seja, um número complexo, tal que
f(t) = Re
{
Fme
−iφeiωt
}
= Re
{
F̃ eiωt
}
. (1.71)
1.7 Movimento Harmônico 39
Note que a amplitude complexa inclui em um único número a informação de
magnitude e fase da função harmônica.
A representação complexa de uma função harmônica pode ser visualizada
graficamente através do plano complexo mostrado na Fig. 1.29, onde o termo
eiωt é chamado de fasor (vetor que rotaciona com o tempo no plano com-
plexo) e a multiplicação do fasor por F̃ faz com que haja uma alteração de
fase e magnitude do vetor. A função harmônica é representada pela projeção
do vetor no eixo x, ou seja, a parte real (assumindo que a função esteja na
forma de cosseno).
Feiωt = Fme
−iφeiωte
iωt
ωt −φ
ωt1
Re( )
Im ( )
Fm
Figura 1.29: Fasor e representação complexa de uma função harmônica.
Ver animação ”Complex.gif”.
Seja agora o caso onde o deslocamento x(t) de um sistema vibratório é
escrito na forma complexa, ou seja,
x(t) = Re
{
X̃eiωt
}
(1.72)
onde X̃ = Xme
iφ é a amplitude complexa do deslocamento.
A grande vantagem desse formato é que permite calcular de forma rápida
a velocidade e aceleração do sistema. Aplicando a derivada na Eq. (1.72)
tem-se
ẋ(t) =
d
dt
[
Re
{
X̃eiωt
}]
= Re
{
iωX̃eiωt
}
, (1.73)
de onde tem-se que a amplitude complexa da velocidade Ṽ = iωX̃. No caso
da aceleração tem-se que
ẍ(t) =
d
dt
[
Re
{
iωX̃eiωt
}]
= Re
{
−ω2X̃eiωt
}
, (1.74)
e a amplitude complexa da aceleração fica à = −ω2X̃.
40 1 Conceitos básicos em vibrações
Da Fórmula de Euler, Eq. (A.27),tem-se que
ei
π
2 = cos
π
2
+ i sen
π
2
= i (1.75)
e
eiπ = cosπ + i senπ = −1. (1.76)
Logo, as equações na forma complexa são condizentes com as equações na
forma de cosseno onde pode-se observar uma diferença de fase de π/2 entre a
velocidade e o deslocamento e de π entre a aceleração e o deslocamento. De
forma similar ao observado no ćırculo trigonométrico, as mudanças de fase e
de magnitude devido a derivação e/ou integração, podem ser representados
no plano complexo como mostrado na Fig. 1.30.
x(t)
x(t)
x(t)
ωt −φ
ωt −φ +π 2
ωt −φ +π
Re( )
Im ( )
Figura 1.30: Representação no plano complexo do deslocamento, velocidade
e aceleração.
Note que o comportamento no tempo do deslocamento, velocidade e ace-
leração é dado pela projeção no eixo x (parte real) dos vetores complexos
mostrado na Fig. 1.30. Assumindo uma fase φ = π/2, as curvas no tempo
ficam como mostrado na Fig. 1.28.
Ver animação ”phase-nodamp.gif”.
As equações acima mostram que pode-se obter a velocidade e a aceleração
de um sistema com comportamento harmônico diretamente a partir da am-
plitude complexa do deslocamento do sistema. O contrário também é válido
e tendo a velocidade e/ou a aceleração, pode-se obter o deslocamento. Essas
simplificações serão muito úteis a frente.
Observação: Alguns autores omitem o termo Re{ } ou Im{ }, e escrevem
apenas x(t) = X̃eiωt de forma a simplificar a escrita das equações. Nesses
casos, está subentendido que é necessário considerar apenas a parte real (no
1.8 Funções periódicas e Série de Fourier 41
caso de a excitação ser escrita na forma de cosseno) ou a parte imaginária
(no caso de a excitação ser escrita na forma de seno) dos resultados obtidos.
Nos caṕıtulos posteriores iremos assumir que a excitação é sempre escrita
na forma de cosseno (caso seja fornecida na forma de seno, basta ajustarmos
a fase) e, caso nada seja dito, uma resposta na forma complexa subentende
que apenas a parte real deve ser utilizada.
Este formato será utilizado mais a frente.
1.8 Funções periódicas e Série de Fourier1.8.1 Funções periódicas
Uma outra classe de funções muito importante no estudo de vibrações são as
funções periódicas. Uma função x(t) é dita periódica com peŕıodo T se
x(t± nT ) = x(t) (1.77)
onde n é um número inteiro. Em outras palavras, a função repete-se a inter-
valos regulares de tempo T .
Inúmeros casos podem ser observados na práticas que envolvem excitações
periódicas. Alguns exemplos são o movimento de um came do sistema de con-
trole de válvulas de um motor a combustão interna (Fig. 1.31), e a excitação
provocada pelos impactos de um prensa a intervalos regulares.
Figura 1.31: Exemplo de função periódica: função gerada por um came.
Note que as funções harmônicas são também funções periódicas.
42 1 Conceitos básicos em vibrações
Uma propriedade extremamente útil das funções periódicas é que estas
podem ser escritas como uma soma de funções seno e/ou cossenos, no que
é conhecido como Série de Fourier. Esta propriedade é a base da solução
de problemas de vibração que envolvem excitações periódicas como veremos
mais a frente.
1.8.2 Série de Fourier em senos e cossenos
A Série de Fourier permite escrever qualquer função periódica como uma
soma de senos e cossenos. Nesse caso, uma função x(t) com peŕıodo T pode
ser escrita como
x(t) =
a0
2
+
∞∑
p=1
[ap cos pωT t+ bp sen pωT t] (1.78)
onde os coeficientes a0, ap e bp são dados por
a0 =
2
T
∫ T
0
x(t)dt =
2
T
∫ T/2
−T/2
x(t)dt, (1.79)
ap =
2
T
∫ T
0
x(t) cos pωT tdt =
2
T
∫ T/2
−T/2
x(t) cos pωT tdt, (1.80)
bp =
2
T
∫ T
0
x(t) sen pωT tdt =
2
T
∫ T/2
−T/2
x(t) sen pωT tdt, (1.81)
e ωT = 2π/T é a frequência angular fundamental da função periódica. O
termo frequência fundamental é também utilizado para indicar a frequência
em Hz fT = 1/T .
Note que:
• O valor a0/2 nada mais que é que o valor médio da função no tempo;
• Cada coeficiente ap e bp está associado a um seno ou cosseno com
frequência
ωp = pωT =
2πp
T
, (1.82)
ou em [Hz],
fp =
pωT
2π
=
p
T
. (1.83)
A Fig. 1.32 mostra a função dente-de-serra (similar ao comportamento do
came, Fig. 1.31) sendo aproximada por uma série de Fourier utilizando um,
dois e três termos na série. Note que a medida que o número de termos cresce,
a soma dos termos vai se aproximando da função propriamente dita.
1.8 Funções periódicas e Série de Fourier 43
Figura 1.32: Aproximação de uma função através de séries de Fourier.
Exemplo 1.5. Seja a função onda quadrada mostrada na Fig. 1.33. Deter-
mine sua representação através de Série de Fourier.
x(t)
1
−1
π t2π 3π−π
Figura 1.33: Função onda quadrada.
Note que o peŕıodo da função é T = 2π e que para um peŕıodo a função é
dada por
x(t) =
{
1, 0 6 t < π
−1 π 6 t < 2π.
Começando pelo coeficiente a0, tem-se que
44 1 Conceitos básicos em vibrações
a0 =
2
2π
∫ 2π
0
x(t)dt
=
1
π
[∫ π
0
1dt+
∫ 2π
π
−1dt
]
= 0
ou seja, o valor médio é zero. Lembrando que ωT = 2π/T = 1, os coeficiente
ap e bp são então dados por
ap =
2
T
∫ T
0
x(t) cos pωT tdt
=
1
π
[∫ π
0
cos ptdt−
∫ 2π
π
cos ptdt
]
= 0
bp =
2
T
∫ T
0
x(t) sen pωT tdt
=
1
π
[∫ π
0
sen ptdt−
∫ 2π
π
sen ptdt
]
=
2
pπ
[1− cos pπ]
=
{ 4
πp , p = 1, 3, 5, . . .
0, p = 2, 4, 6, . . .
A série de Fourier da função onda quadrada é então escrita como
x(t) =
∞∑
p=1
4
(2p− 1)π sen [(2p− 1)t]
A Fig. 1.34 apresenta a representação em Série de Fourier da onda qua-
drada considerando os 8 primeiros termos.
Ver MatLab ”Exemplos Serie Fourier.m”.
Algumas propriedades de funções que podem auxiliar no cálculo dos coe-
ficientes são aquelas relacionadas com funções pares e impares.
• No caso de uma função x(t) par, tem-se que x(−t) = x(t), ou seja, é
simétrica com relação ao eixo y e tem como propriedade que∫ a
−a
x(t)dt = 2
∫ a
0
x(t)dt
onde a é uma constante qualquer. Exemplos: x(t) = cos t, x(t) = t2.
• No caso de uma função x(t) impar, tem-se que x(−t) = −x(t), ou seja, é
simétrica com relação a origem e tem como propriedade que
1.8 Funções periódicas e Série de Fourier 45
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
t (s)
x(
t)
Figura 1.34: Função onda quadrada e representação em série com 8 termos.
∫ a
−a
x(t)dt = 0
Exemplos: x(t) = sen t, x(t) = t3.
• Tem-se ainda as seguintes propriedades para a multiplicação de funções
pares e impares:
– função par × função par = função par
– função impar × função impar = função par
– função par × função impar = função impar
• Levando em conta as propriedades acima, note então que:
– Função par =⇒ bp = 0.
– Função impar =⇒ a0 = ap = 0.
46 1 Conceitos básicos em vibrações
1.8.3 Série de Fourier na forma complexa
A Fórmula de Euler pode ser utilizada para reescrever a série de Fourier em
sua forma complexa. Nesse caso, tem-se que seno e cosseno podem ser escritos
como
cos θ =
1
2
(
eiθ + e−iθ
)
e sen θ =
1
2i
(
eiθ − e−iθ
)
(1.84)
Substituindo as equações acima na Série de Fourier tem-se que
x(t) =
a0
2
+
∞∑
p=1
[
ap
2
(
eipωT t + e−ipωT t
)
+
bp
2i
(
eipωT t − e−ipωT t
)]
=
a0
2
+
∞∑
p=1
1
2
(
ap +
bp
i
)
eipωT t +
∞∑
p=1
1
2
(
ap −
bp
i
)
e−ipωT t
=
a0
2
+
∞∑
p=1
(
ap − ibp
2
)
eipωT t +
∞∑
p=1
(
ap + ibp
2
)
e−ipωT t
(1.85)
Definindo então as constantes
c0 = a0/2, c̃p =
ap − ibp
2
e c̃p
∗ =
ap + ibp
2
(1.86)
tem-se que
x(t) = c0 +
∞∑
p=1
c̃pe
ipωT t +
∞∑
p=1
c̃p
∗e−ipωT t (1.87)
Finalmente, reconhecendo que c̃p
∗ = c̃−p tem-se que uma função x(t)
periódica pode ser escrita como
x(t) =
∞∑
p=−∞
c̃pe
ipωT t (1.88)
onde
c̃p =
ap − ibp
2
=
1
T
∫ T
0
x(t)e−ipωT tdt. (1.89)
Por ser um número complexo, pode-se calcular o módulo e a fase (ou
argumento) dos coeficientes c̃p através de
|cp| =
1
2
√
a2p + b
2
p, (1.90)
φp = arg (c̃p) = arctan
(−bp
ap
)
. (1.91)
1.8 Funções periódicas e Série de Fourier 47
Nesse caso, uma forma alternativa de representar uma função periódica é
através de um gráfico na frequência do módulo e da fase dos coeficientes cp,
como mostrado na Fig. 1.35 e Fig. 1.36.
Figura 1.35: Espectro na frequência do módulo da função [6].
Figura 1.36: Espectro na frequência da fase da função [6].
Note que:
• Cada coeficiente c̃p está associado a um seno e cosseno com frequência fp =
p/T representados juntos no termo eipωT t (e no seu complexo conjugado
e−ipωT t). O módulo de c̃p representa uma medida da ”importância”daquela
frequência na função periódica. Essa informação é de grande utilidade
no estudo de vibrações pois permite identificar as frequências com maior
vibração, no caso de o sinal em análise ser a resposta do sistema. Já no
caso onde o sinal em análise é a excitação do sistema, permite identificar
as frequências onde tem-se uma excitação elevada e onde há uma grande
probabilidade de o sistema também apresentar uma resposta elevada.
• Como o somatório vai de −∞ até ∞, tem-se em teoria frequências ne-
gativas. Mas faz sentido dizer que um seno ou cosseno possui frequência
negativa??
De fato, não faz sentido dizer isso e as frequência negativas aparecem
apenas devido ao artif́ıcio matemático utilizado para escrever os senos e
cossenos na forma exponencial e obter a Eq. (1.88).
• A informação de fase é de extrema importância na representação de
uma função periódica através da Série de Fourier. De fato, duas funções
48 1 Conceitos básicos em vibrações
periódicas podem apresentar o mesmo espectro de amplitude mas serem
completamente diferentes no tempo devido a diferenças no espectro de
fase.
Exemplo 1.6. Seja o exemplo anterior da onda quadrada. Pode-se calcu-
lar os coeficientes c̃p da Série de Fourier na forma complexa utilizando a
Eq. (1.89). Nesse caso, tem-se que
c̃p =
1
T
∫ T
0
x(t)e−ipωT tdt.
=
1
2π
[∫ π
0
e−ipωT tdt−
∫ 2π
π
e−ipωT tdt
]
Como o peŕıodo da onda quadradaanalisada é T = 2π, tem-se que ωT = 1 e
lembrando que
e−ipπ = cos pπ − i sen pπ = (−1)p
e
e−ip2π = cos 2pπ − i sen 2pπ = 1,
para p um número inteiro, chega-se a
c̃p =
1
2π
[
e−ipt
−ip
∣∣∣∣π
0
− e
−ipt
−ip
∣∣∣∣2π
π
]
=
i
2πp
[e−ipπ − 1− e−ip2π + e−ipπ]
=
i
2πp
[2(−1)p − 2]
=
{
2i
πp , p = 1, 3, 5, . . .
0, p = 2, 4, 6, . . .
Note que o resultado está de acordo com os resultados obtidos anterior-
mente se considerarmos a definição de c̃p dada pela Eq. (1.86).
O espectro da magnitude e da fase de c̃p é dado na Fig. 1.37.
Ver exemplos MatLab.
A análise harmônica é uma ferramenta largamente utilizada em acústica e
vibrações pois permite identificar os principais componentes na frequência de
um determinado sinal e compara-los. Além disso, a representação de funções
periódicas em senos e cossenos facilita a análise de sistemas submetidos a este
tipo de excitação como será visto a frente.
1.9 Outras caracteŕısticas de sinais vibratórios - Valor RMS e decibels 49
Figura 1.37: Espectro de magnitude e fase da onda quadrada vista no exem-
plo.
1.9 Outras caracteŕısticas de sinais vibratórios - Valor
RMS e decibels
• Sinais harmônicos são completamente caracterizados através das seguintes
grandezas:
– Amplitude X
– Fase φ
– Frequência ω ou f
ou seja,
x(t) = X cos(ωt− φ) (1.92)
• Sinais periódicos são completamente caracterizados através das seguintes
grandezas:
– Espectro de magnitude |cn|
– Espectro de fase φn
Uma outra grandeza comumente utilizada para caracterizar um sinal vi-
bratório é seu valor RMS (root mean square - raiz quadrada do valor quadrado
médio) definido como
xrms =
√
1
∆t
∫ ∆t
0
x2(t)dt (1.93)
onde ∆t é um intervalo de tempo escolhido.
O valor RMS está em geral associado a energia do sinal (conceito que vem
da engenharia elétrica).
50 1 Conceitos básicos em vibrações
No caso de um sinal harmônico, o valor RMS está diretamente relacionado
a amplitude através de
xrms =
X√
2
. (1.94)
No caso de um sinal periódico, o valor RMS fica
xrms =
√√√√ ∞∑
p=−∞
|c̃p|2
2
. (1.95)
Uma forma muito utilizada para apresentar as grandezas associadas a si-
nais vibratórios é através do chamado ńıvel de vibração em decibels, dado
por
NV [dB] = 20 log
x
xref
(1.96)
onde xref é um valor de referência escolhido e que indica o ponto na escala
para 0 dB. Note que:
• A escala em dB permite analisar em um mesmo gráfico valores com grande
diferença de amplitude. Um exemplo é mostrado na ,onde a mesma curva
na frequência é mostrada em escala linear e em dB e pode-se notar que o
terceiro pico só pode ser visto na escala em dB por ser muito menor que
os outros dois picos.
0 5 10 15 20 25 30
0
1
2
3
4
5
6
7
x 10−3
Frequencia [Hz]
|H
(f)
| [
m
/N
]
0 5 10 15 20 25 30
−110
−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
Frequencia [Hz]
|H
 (f
)| 
[d
B 
re
f. 
1 
m
/N
]
Figura 1.38: Exemplo de um gráfico em escala linear e em decibels.
• A escala em dB pode ser utilizada para qualquer grandeza;
• Em geral, o valor x da Eq. (1.96) é o valor RMS do sinal.
1.10 Exerćıcios 51
1.10 Exerćıcios
1.1. Responda as questões abaixo:
a) Dê dois exemplos de efeitos positivos e negativos de vibrações.
b) Quais os dois tipos de energia envolvidas com a vibração de um sistema
mecânico?
c) Quais são as três partes elementares de um sistema vibratório?
d) O que é amortecimento?
e) Qual o objetivo de um modelo matemático em uma análise de vibrações?
f) O que são graus de liberdade?
g) Qual a diferença entre sistemas discretos e sistemas cont́ınuos?
h) Explique o prinćıpio da superposição e o que é um sistema linear.
i) Qual a diferença entre vibrações livres e vibrações forçadas?
j) Qual a diferença entre excitações determińısticas e vibrações aleatórias?
k) Qual a diferença entre movimento periódico e movimento harmônico?
l) Em um movimento harmônico, qual a relação entre T , ω e f?
m) Por que se representa funções harmônicas na forma complexa?
n) O que é a Série de Fourier?
o) O que significam as frequências negativas na representação complexa da
Série de Fourier?
1.2. Um automóvel trafegando sobre uma estrada esburacada pode ser repre-
sentado como um sistema dinâmico em vibração. Nesse caso, a representação
do sistema pode ser feita com diferentes ńıveis de complexidade. Desenvolva
três modelos discretos do sistema com diferentes graus de complexidade, in-
dicando o número de graus de liberdade em cada um e o significado de cada
componente discreto (massa, rigidez e amortecimento).
1.3. Uma máquina de lavar está montada sobre quatro apoios, cada um com
uma rigidez de 10.000 N/m. Qual a rigidez equivalente do sistema?
1.4. Seja novamente a máquina de lavar do exerćıcio anterior. Em baixo de
cada apoio colocasse um pedaço de borracha com rigidez de 2500 N/m. Qual
a nova rigidez equivalente do sistema?
1.5. Determine a constante de mola equivalente para o sistema abaixo.
52 1 Conceitos básicos em vibrações
1.6. Determine a constante de mola equivalente para o sistema abaixo para
o GL θ.
1.7. Determine a constante de mola e a massa equivalente do sistema abaixo
com relação à coordenada x.
1.10 Exerćıcios 53
1.8. Determine a constante de mola e a massa equivalentes para o sistema
abaixo com base no GL θ. Admita as barras AOB e CD ŕıgidas e de massa
despreźıvel. Dica: Considere a força de empuxo como uma força de mola.
1.9. A força necessária para deformar uma mola em Newton é descrita pela
função f(x) = 500x+ 2x3, onde x é a deflexão em miĺımetros. Determine:
a) A constante de mola linearizada em x = 10 mm.
b) A força linearizada.
c) O erro associado à linearização em x = 9 mm e x = 15 mm.
54 1 Conceitos básicos em vibrações
1.10. Determine a constante de mola e a massa equivalente do sistema abaixo
com relação à coordenada x.
1.11. Determine a constante de amortecimento viscoso equivalente para o
sistema abaixo.
Barra rígida 
1.12. Determine a constante de amortecimento viscoso equivalente com base
no GL associado ao movimento do ponto onde o amortecedor c1 está acoplado
a barra (ẋ1). Admita que a barra é ŕıgida.
1.10 Exerćıcios 55
1.13. Seja o sistema abaixo formado por uma viga de comprimento L apoiada
em ambas as extremidades, uma massa m e um conjunto de molas e amorte-
cedores. Considerando o GL associado ao movimento vertical da massa m e
assumindo que a linha elástica da viga não é alterada pela presença da massa
e das molas e amortecedores, determine massa, rigidez e amortecimento equi-
valentes.
L/3 L/2 
m 
k1
c2k2
c1
Viga elástica (A, ρ, E, I) 
1.14. Derive a equação do movimento para o sistema abaixo com relação ao
deslocamento x(t) da massa quando o sistema é submetido a um deslocamento
y(t) como mostrado. Admita que a massa m desliza sobre a superf́ıcie sem
atrito.
56 1 Conceitos básicos em vibrações
1.15. Derive a equação do movimento para o sistema abaixo com relação ao
deslocamento x(t) da massa.
1.16. Sendo z̃ = x+ iy, encontre:
a) Im
(
1
z̃
)
b)
(
Im
(
z̃2
))2
c) Re
(
z̃
z̃∗
)
1.17. Prove as seguintes propriedades de números complexos:
a) z̃1(z̃2 + z̃3) = z̃1z̃2 + z̃1z̃3
b)
(
z̃1
z̃2
)∗
=
z̃∗1
z̃∗2
c) z̃z̃∗ = |z̃|2
1.18. Escreva os números complexos abaixo na forma cartesiana, polar e
exponencial:
a) z̃ = 2− i3
b) z̃ = −3 + i3
c) z̃ = 2 cos 3π/2 + i2 sen 3π/2
d) z̃ = 5 cosπ/4 + i5 senπ/4
e) z̃ = 10e−i
π
3
f) z̃ = i3ei
2π
3
1.19. Encontre a parte real e imaginária, e o módulo e a fase dos números
complexos do Exerc. 1.18.
1.10 Exerćıcios 57
1.20. Seja um sistema vibratório cujo deslocamento é dado por x(t) =
0, 015 cos(20t). Responda:
a) Qual a amplitude, frequência angular, frequência em Hz e peŕıodo do mo-
vimento?
b) Quanto vale o deslocamento máximo apresentado pelo sistema?
c) Qual a amplitude da velocidade e da aceleração?
1.21. O deslocamento de uma máquina em vibração é descrito pela funçãox(t) = 16 cos(50t+ π/3). Com base nessa equação:
a) Expresse o movimento na forma de uma soma de um cosseno e um seno;
b) Expresse o movimento na forma exponencial;
c) Encontre a amplitude complexa da aceleração.
1.22. Sejam duas funções harmônicas dadas por x1(t) = 10 cos(5t − π/4) e
x2(t) = −2 sen(5t+ π). Então nesse caso:
a) Determine a diferença de fase entre as funções;
b) Represente os sinais na forma exponencial;
c) Determine suas amplitudes complexas.
1.23. Um sistema vibratório é submetido a uma excitação na forma f(t) =
10 cos(5t). Sabendo que a resposta vibratória do sistema também é uma
função harmônica de mesma frequência, com amplitude 1,5 vezes maior que
a excitação e um atraso de π/5, escreva a resposta na forma exponencial, na
forma de cosseno, na forma de seno e na forma da soma de seno e cosseno.
1.24. A amplitude complexa da resposta de um sistema vibratório quando
submetido a uma excitação harmônica em 10 Hz é dada pela multiplicação
da amplitude complexa da excitação pelo número complexo H̃ = 3 + i4.
Determine a resposta na forma exponencial e de cosseno quando a excitação
possui amplitude de 0,1 N e fase nula.
1.25. Um acelerômetro (sensor que mede aceleração) é colocado em uma
máquina e mostra que a máquina vibra harmonicamente realizando 15 cps
(ciclos por segundo), com aceleração máxima de 0,5 g. Determine:
a) O deslocamento e a velocidade máximos.
b) O peŕıodo do movimento.
1.26. Usando a forma exponencial, prove que a diferença de fase entre o
deslocamento e a aceleração de um movimento harmônico é igual a π.
1.27. O valor RMS (valor quadrado médio - root mean square) é definido
como a raiz quadrada da média do sinal ao quadrado, ou seja,
xrms =
√
1
τ
∫ τ
0
x2(t)dt
58 1 Conceitos básicos em vibrações
onde τ é o peŕıodo de medição, o qual deve ser o maior posśıvel para se ter
uma boa estimativa da média. No caso de uma função harmônica e visto que
a mesma se repete, pode-se fazer a média para apenas um peŕıodo da função,
ou seja, toma-se τ = T . Usando essa definição, determine o valor RMS da
função x(t) = X sen(ωt).
1.28. Determine a Série de Fourier em senos e cossenos da função x(t) abaixo.
1.29. Para a função y(t) abaixo, faça:
a) Determine a representação da função em Série de Fourier de senos e cos-
senos.
b) Faça um esboço dos gráficos do espectro da magnitude e fase da função.
y(t)
1
π t2π 3π 4π
1.30. Determine a Série de Fourier na forma complexa da função x(t) forne-
cida no Exerc. 1.28 e faça um esboço dos espectros de magnitude e fase.
1.31. Determine a Série de Fourier na forma complexa da função x(t) abaixo
e faça um esboço dos espectros de magnitude e fase.
1.10 Exerćıcios 59
1.32. Usando MatLab, construa gráficos para o deslocamento, velocidade e
aceleração em função do tempo (de 0 a 0,5 s) da máquina cuja vibração é
descrita no Problema 1.25.
1.33. Usando MatLab, verifique através de um gráfico a aproximação da série
de Fourier dos Exerc. 1.30 e 1.31 quanto 1, 2, 4 e 32 termos (senos, cossenos
ou exponenciais) são inclúıdos na série (ver exemplo fornecido). No caso da
série na forma complexa, incluir o mesmo número de frequências positivas e
negativas.
Caṕıtulo 2
Sistemas de 1 Grau de Liberdade -
Vibrações Livres
2.1 Introdução
• Um sistema de 1 GL é o sistema vibratório mais simples e seu comporta-
mento é descrito por apenas uma variável;
• Vários sistemas reais podem ser representados através de sistemas de 1GL
com relativa precisão. Exemplos:
– Máquina de lavar (Fig. 2.1);
– Torre de caixa d’água;
– Pêndulo.
Figura 2.1: Representação de uma máquina de lavar como um sistema de
1GL.
• Importantes conceitos podem ser estudados através de um sistema de 1GL.
61
62 2 Sistemas de 1 Grau de Liberdade - Vibrações Livres
• No que segue, iremos estudar os seguintes problemas de vibração livre:
– Sistemas de 1GL não-amortecidos
– Diferentes formas de obter as equações do movimento
– Sistemas rotacionais não-amortecidos
– Sistemas de 1GL amortecidos
– Determinação do amortecimento via decremento logaŕıtmico
2.2 Sistema de 1 GL não-amortecido
Seja a representação da máquina de lavar (Fig. 2.1) como um sistema de um
1 GL sem a presença de amortecimento, onde já somou-se as rigidezas dos
apoios.
€ 
k
€ 
m
a. 
€ 
x(t)
€ 
kx(t)
€ 
m
b. 
€ 
x(t)
Figura 2.2: Representação de uma máquina de lavar como um sistema de
1GL.
Seguindo o procedimento já visto, o primeiro passo é a determinação do
diagrama de corpo-livre da massa, mostrado na Fig. 2.2.b.
Aplicando a Segunda Lei de Newton, tem-se que
∑
i
Fi = mẍ
−kx = mẍ
mẍ+ kx = 0, (2.1)
que é a equação do movimento do sistema.
A Eq. (2.1) é normalmente reescrita como
ẍ(t) + ω2nx(t) = 0, (2.2)
onde
2.2 Sistema de 1 GL não-amortecido 63
ωn =
√
k
m
. (2.3)
Note que Eq. (2.1) é uma equação diferencial linear (EDL) homogênea
de segunda ordem de coeficientes constantes, cuja solução é obtida através
de sua equação caracteŕıstica. Para obter a equação caracteŕıstica, assume-se
uma solução do tipo
x(t) = Aest, (2.4)
onde A e s são constantes a serem determinadas. Substituindo na Eq. (2.2),
s2Aest + ω2nAe
st = 0
(s2 + ω2n)Ae
st = 0. (2.5)
Como A e est não podem ser zero (teria-se apenas a solução trivial), tem-se
que
s2 + ω2n = 0, (2.6)
que é a equação caracteŕıstica do sistema e cujas ráızes são
s1,2 = ±iωn. (2.7)
Logo, a solução geral da Eq. (2.2) fica na forma
x(t) = A1e
iωnt +A2e
−iωnt. (2.8)
Note que os termos eiωnt e e−iωnt são números complexos, mas como a
reposta x(t) do sistema deve ser um número real, conclui-se que A2 = A
∗
1 (a
soma de um número mais o seu complexo conjugado da um número real).
Escrevendo A1 e A2 na forma exponencial (A1 = C/2e
−iφ) e substituindo
na Eq. (2.8) tem-se que
x(t) =
C
2
e−iφeiωnt +
C
2
eiφe−iωnt
=
C
2
[
ei(ωnt−φ) + e−i(ωnt−φ)
]
= C cos(ωnt− φ), (2.9)
onde C e φ são constantes reais a serem determinadas com base nas condições
iniciais do problema. Note que a Eq. (2.9) representa uma função harmônica,
ou seja, um sistema de um 1GL sem amortecimento em vibração livre irá
apresentar um movimento harmônico independente dos seus valores de massa
e rigidez e das condições iniciais do problema. Um exemplo de resposta do
sistema é mostrado na Fig. 2.3.
64 2 Sistemas de 1 Grau de Liberdade - Vibrações Livres
Inclinação da reta = v0 
Figura 2.3: Representação de uma máquina de lavar como um sistema de
1GL.
A constante ωn é chamada de frequência natural do sistema e determina
o peŕıodo de oscilação do sistema através de
T =
2π
ωn
. (2.10)
A frequência natural do sistema é função apenas dos parâmetros do sistema
e independente das condições iniciais aplicadas. A frequência natural também
pode ser dada em Hz tal que ωn = 2πfn e
fn =
1
T
. (2.11)
Derivando a Eq. (2.9) tem-se que
ẋ(t) = −ωnC sen(ωnt− φ), (2.12)
e aplicando condições iniciais x(0) = x0 e ẋ(0) = v0 tem-se que
x(0) = C cos−φ = C cosφ = x0 (2.13)
e
ẋ(0) = −ωnC sen−φ = ωnC senφ = ẋ0. (2.14)
Resolvendo esse sistema de duas equações e duas incognitas chega-se a
C =
√
x20 +
(
v0
ωn
)2
(2.15)
e
2.2 Sistema de 1 GL não-amortecido 65
φ = tan−1
(
v0
x0ωn
)
. (2.16)
Pode-se escrever a Eq. (2.9) também na forma de uma soma de seno e
cosseno. Nesse caso, utilizando uma das identidades trigonométricas, tem-se
que
x(t) = C cos(ωnt− φ)
= C(cosωnt cosφ+ senωnt senφ)
= x0 cosωnt+
v0
ωn
senωnt. (2.17)
onde as condições iniciais aparecem de forma explicita na resposta do sistema.
Pelas equações acima pode-se notar que, uma vez que o sistema é colocado
em movimento, ele irá oscilar indefinitivamente, pois o sistema não dissipa
energia. Diz-se então que o sistema é conservativo. Apesar de todos os sis-
temas reais serem não-conservativos (terem alguma forma de dissipação), o