Torque e Momento Angular na Física

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Resumo Exercício 1 Exercício 2 Exercício 3 Exercício 4
Notas de Física - Mecânica
Torque e Momento Angular
P. S. Volpiani
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Resumo Exercício 1 Exercício 2 Exercício 3 Exercício 4
Resumo: Torque
Torque
O torque em relação ao ponto O realizado pela força F aplicada a
uma distância ~r desse ponto é definido como:
: ~τ = ~r × ~F
: τ = rF sin θ
: Note que apenas a componente F⊥ contribui para o torque
: Em 2D:~i×~j = ~k e~j ×~i = −~k (Regra da mão direita) O x
y
~r
~F
θ
~F‖
~F⊥
A segunda Lei de Newton para rotação
: Em um movimento que envolve rotação, para a componente perpendicular do vetor posição, temos F⊥ = ma⊥.
: Considerando o torque associado a essa força:
τ = rF⊥ = mra⊥ = mr(rα) = (mr
2
)α ⇒ τ = Iα
O mesmo é válido para um sistema de partículas.
Trabalho e potência para rotação
: Trabalho executado pela força ~F :
W =
∫ θf
θi
τdθ
: Potência associada à força ~F :
P =
dW
dt
= τ
dθ
dx
= τω
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Resumo: Momento angular
Momento angular de uma partícula
O momento angular de uma partícula de massa m localizada pelo
vetor posição ~r , que tem momento linear ~p é definido como:
~̀= ~r × ~p
x
y
~r
~p
θ
~p‖
~p⊥
Relação entre o momento angular de uma partícula e o torque associado à força resultante
: Vamos considerar a variação do momento angular no tempo:
d`
dt
=
d
dt
(~r × ~p) ⇒
d`
dt
=
d~r
dt
× ~p+ ~r ×
d~p
dt
E como d~r
dt
× ~p = ~v × ~p = m~v × ~v = 0 e
d~p
dt
= ~F
d~̀
dt
= ~r × ~F ⇒
d~̀
dt
= ~τ
Para um sistema de partículas
d~L
dt
= ~τ
ext
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Resumo: Momento angular
Momento angular de um corpo rígido
Vamos considerar um corpo rígido que gira em torno do eixo z com velocidade angular
ω. Vamos dividi-lo em pequenos volumes ∆Vi de massa ∆mi de momento linear ~pi
e com posição ~ri. O momento angular desta pequena massa é:
~̀
i = ~ri × ~pi
Como o ângulo entre os vetores ~ri e ~pi é 90◦, temos:
`i = ripi = rivi∆mi
A componente z do momento angular se escreve:
`iz = (ri sin θ)vi∆mi = ri⊥vi∆mi = ri⊥(ωiri⊥)∆mi = ω∆mir
2
i⊥
Logo,
Lz =
n∑
i
`iz = ω
n∑
i
∆mir
2
i⊥
No caso limite, e tratando apenas situações onde o momento angular de um corpo
rígido é paralelo ao eixo de rotação, podemos considerar o momento de inércia uma
grandeza escalar e omitir o índice z:
~L = I~ω
Conservação do momento angular
Para um sistema de partículas, a variação do momento angular total é igual ao torque externo: d~L/dt = ~τext
Em um sistema isolado, (torque externo nulo) o momento angular total será constante: d~L/dt = 0 ⇒ ~L = cte
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Resumo Exercício 1 Exercício 2 Exercício 3 Exercício 4
Resumo: Conservação do momento angular
Realize a seguinte experiência:
(a) (b)
O momento angular L = Iω se conserva entre o caso (a) e (b).
Caso (a): Grande momento de inércia, pequena velocidade angular;
Caso (b): Grande velocidade angular, pequeno momento de inércia.
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Resumo: Relações entre movimento translacional e rotacional
Relação entre variáveis lineares e angulares
Posição: s = θr
Velocidade escalar: v =
ds
dt
⇒ v = ωr
Aceleração tangencial: at =
dv
dt
⇒ at = αr
Aceleração centrípeta: acp = v2/r = ω2r
Obs: No caso de corpos rígidos, cada ponto observado mantém uma distância constante ao eixo de rotação. Dessa forma, ω é a
velocidade angular do corpo por inteiro.
Resumo das relações entre movimento translacional e rotacional
Movimento de tranlação
Posição x
Velocidade v = dx/dt
Aceleração a = dv/dt
Massa m
Força F
2a Lei de Newton ~F = m~a
Momento linear ~P
2a Lei de Newton ~F ext = d~P/dt
Trabalho W =
∫
Fdx
Energia cinética: K = mv2/2
Potência: P = Fv
TEC: W = ∆K
Movimento de Rotação
Posição angular θ
Velocidade angular ω = dθ/dt
Aceleração angular α = dω/dt
Inércia de rotação I
Torque τ
2a Lei de Newton ~τ = I~α
Momento angular ~L
2a Lei de Newton ~τext = d~L/dt
Trabalho W =
∫
τdθ
Energia cinética: K = Iω2/2
Potência: P = τω
TEC: W = ∆K
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Exercício 1 (Resnick, Halliday e Krane)
Um cilindro maciço de comprimento L e raio R tem peso P . Duas cordas são enroladas em
torno do cilindro, perto de cada borda, e as pontas das cordas são presas a ganchos no teto.
O cilindro é mantido na horizontal com as duas cordas exatamente verticais e então é aban-
donado. Ache (a) a tração em cada corda enquanto elas se desenrolam e (b) a aceleração
linear do cilindro enquanto ele cai.
Resolução
1) Como a força peso não produz torque em relação ao eixo de
rotação, temos que:
τ = 2TR = Iα ⇒ T =
Iα
2R
Como
a = αr ⇒ T =
Ia
2R2
2) Pela 2a Lei de Newton:
P − 2T = Ma
Mg − 2
(
Ia
2R2
)
= Ma
a =
g
1 +
I
MR2
3) Considerando que o momento de inércia do cilindro
I = MR2/2:
a =
2g
3
4) Como:
T =
Ia
2R2
T =
MR2
2
·
1
2R2
·
2g
3
T =
Mg
6
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Exercício 1 (Resnick, Halliday e Krane)
Um cilindro maciço de comprimento L e raio R tem peso P . Duas cordas são enroladas em
torno do cilindro, perto de cada borda, e as pontas das cordas são presas a ganchos no teto.
O cilindro é mantido na horizontal com as duas cordas exatamente verticais e então é aban-
donado. Ache (a) a tração em cada corda enquanto elas se desenrolam e (b) a aceleração
linear do cilindro enquanto ele cai.
Resolução
1) Como a força peso não produz torque em relação ao eixo de
rotação, temos que:
τ = 2TR = Iα ⇒ T =
Iα
2R
Como
a = αr ⇒ T =
Ia
2R2
2) Pela 2a Lei de Newton:
P − 2T = Ma
Mg − 2
(
Ia
2R2
)
= Ma
a =
g
1 +
I
MR2
3) Considerando que o momento de inércia do cilindro
I = MR2/2:
a =
2g
3
4) Como:
T =
Ia
2R2
T =
MR2
2
·
1
2R2
·
2g
3
T =
Mg
6
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Resumo Exercício 1 Exercício 2 Exercício 3 Exercício 4
Exercício 2 (Halliday, Resnick e Walker)
Na figura ao lado, uma barra delgada uniforme de comprimentoL = 0.5 m e massaM = 4, 0
kg está livre para rodar no plano horizontal em torno do eixo central perpendicular a esse
plano. A barra está em repouso quando um projétil de massa m = 3 g impacta uma de suas
extremidades fazendo um ângulo de θ = 60◦ com a direção da barra. Sabe-se que o projétil
fica preso à barra e que a velocidade angular do conjunto após o impacto é ω = 10 rad/s.
Calcule a velocidade inicial do projétil.
Resolução
1) Sabe-se que o momento angular se conserva. O eixo de
rotação está posicionado no meio da barra, distante r = 0, 25 m
de cada extremidade.
2) Cálculo do momento angular antes do impacto:
~̀= ~r × ~p
` = rmv sin θ
3) Cálculo do momento angular após o impacto:
~L = I~ω
L =
(
ML2
12
+mr
2
)
ω
4) Como
rmv sin θ =
(
ML2
12
+mr
2
)
ω
5) A velocidade inicial do projétil vale:
v =
1
rm sin θ
·
(
ML2
12
+mr
2
)
ω
v = 1.3 · 103 m/s
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Resumo Exercício 1 Exercício 2 Exercício 3 Exercício 4
Exercício 2 (Halliday, Resnick e Walker)
Na figura ao lado, uma barra delgada uniforme de comprimentoL = 0.5 m e massaM = 4, 0
kg está livre para rodar no plano horizontal em torno do eixo central perpendicular a esse
plano. A barra está em repouso quando um projétil de massa m = 3 g impacta uma de suas
extremidades fazendo um ângulo de θ = 60◦ com a direção da barra. Sabe-se que o projétil
fica preso à barra e que a velocidade angular do conjunto após o impacto é ω = 10 rad/s.
Calcule a velocidade inicial do projétil.
Resolução
1) Sabe-se que o momentoangular se conserva. O eixo de
rotação está posicionado no meio da barra, distante r = 0, 25 m
de cada extremidade.
2) Cálculo do momento angular antes do impacto:
~̀= ~r × ~p
` = rmv sin θ
3) Cálculo do momento angular após o impacto:
~L = I~ω
L =
(
ML2
12
+mr
2
)
ω
4) Como
rmv sin θ =
(
ML2
12
+mr
2
)
ω
5) A velocidade inicial do projétil vale:
v =
1
rm sin θ
·
(
ML2
12
+mr
2
)
ω
v = 1.3 · 103 m/s
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Resumo Exercício 1 Exercício 2 Exercício 3 Exercício 4
Exercício 3 (Halliday, Resnick e Walker)
Na figura ao lado, um bloco de massa m = 50 g escorrega de uma altura h = 20 cm sobre
uma superfície sem atrito e gruda em uma barra de massa M = 100 g e de comprimento
L = 40 cm. O conjunto gira um ângulo θ máximo em torno de O. Determine o valor de θ.
Resolução
1) Conservação da energia mecânica antes do impacto:
mgh =
1
2
mv
2 ⇒ v =
√
2gh
2) Conservação do momento angular no momento do impacto:
mvd = I · ω
3) Cálculo do momento de inércia do conjunto barra + bloco
I = Ibarra + Ibloco
I =
Md2
12
+M
(
d
2
)2
+md
2
I =
Md2
3
+md
2
4) Cálculo da velocidade angular do conjunto:
ω =
md
√
2gh
Md2/3 +md2
5) Conservação da energia mecânica após o impacto:
1
2
Iω
2
= mgH +Mg
H
2
Notem que o CM do bloco se eleva de uma altura H, enquanto
que o CM da barra se eleva de uma altura H/2. Como
H = d(1− cos θ):
1
2
m2d2(2gh)
Md2/3 +md2
=
(
m+
M
2
)
gd(1− cos θ)
cos θ = 1−
m2h/d
(m+M/2)(m+M/3)
cos θ = 1−
h/d
(1 +M/2m)(1 +M/3m)
cos θ = 0, 85 ⇒ θ ≈ 30◦
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Exercício 3 (Halliday, Resnick e Walker)
Na figura ao lado, um bloco de massa m = 50 g escorrega de uma altura h = 20 cm sobre
uma superfície sem atrito e gruda em uma barra de massa M = 100 g e de comprimento
L = 40 cm. O conjunto gira um ângulo θ máximo em torno de O. Determine o valor de θ.
Resolução
1) Conservação da energia mecânica antes do impacto:
mgh =
1
2
mv
2 ⇒ v =
√
2gh
2) Conservação do momento angular no momento do impacto:
mvd = I · ω
3) Cálculo do momento de inércia do conjunto barra + bloco
I = Ibarra + Ibloco
I =
Md2
12
+M
(
d
2
)2
+md
2
I =
Md2
3
+md
2
4) Cálculo da velocidade angular do conjunto:
ω =
md
√
2gh
Md2/3 +md2
5) Conservação da energia mecânica após o impacto:
1
2
Iω
2
= mgH +Mg
H
2
Notem que o CM do bloco se eleva de uma altura H, enquanto
que o CM da barra se eleva de uma altura H/2. Como
H = d(1− cos θ):
1
2
m2d2(2gh)
Md2/3 +md2
=
(
m+
M
2
)
gd(1− cos θ)
cos θ = 1−
m2h/d
(m+M/2)(m+M/3)
cos θ = 1−
h/d
(1 +M/2m)(1 +M/3m)
cos θ = 0, 85 ⇒ θ ≈ 30◦
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Exercício 4 (Resnick, Halliday e Krane)
Um jogador de boliche principiante joga uma bola de massa M e raio R = 11 cm na pista,
com velocidade inicial v0 = 8, 5 m/s . A bola é arremessada de tal maneira que desliza uma
certa distância antes de começar a rolar. Ela não está girando quando atinge a pista sendo o
seu movimento puramente translacional. O coeficiente de atrito cinético entre ela e a pista é
0,21.
a) Por quanto tempo a bola desliza?
b) A que velocidade está se movendo quando começa a rolar?
c) Qual a distância que ela desliza na pista?
d) Quantas revoluções fez antes de começar a rolar?
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Exercício 4 (Resnick, Halliday e Krane)
Um jogador de boliche principiante joga uma bola de massa M e raio R = 11 cm na pista,
com velocidade inicial v0 = 8, 5 m/s . A bola é arremessada de tal maneira que desliza uma
certa distância antes de começar a rolar. Ela não está girando quando atinge a pista sendo o
seu movimento puramente translacional. O coeficiente de atrito cinético entre ela e a pista é
0,21.
a) Por quanto tempo a bola desliza?
b) A que velocidade está se movendo quando começa a rolar?
c) Qual a distância que ela desliza na pista?
d) Quantas revoluções fez antes de começar a rolar?
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a) Por quanto tempo a bola desliza?
O movimento da bola pode ser visto como uma composição de movimentos: rotação + translação. Cada parte da
bola terá uma velocidade. As velocidades no ponto superior e inferior são dadas por:
vs = vtran + vrot
vi = vtran − vrot
Quando a bola atinge a pista a velocidade de rotação é nula, e ela possui apenas velocidade de translação v0 .
Quando a bola começa a deslizar, ela adquiri velocidade angular. Quando ela alcançar velocidade angular ω1, ela
terá um movimento de rolamento sem deslizamento.
O movimento de translação obedece às seguintes equações:
v1 = v0 − atrant
v21 = v
2
0 − 2atrand
Já o movimento de rotação obedece:
ω1 = ω0 + αt ⇒ v1 = ω1R = Rαt ⇒ v1 = arott
ω21 = ω
2
0 − 2αθ ⇒ v21 = 2(Rα)(Rθ) ⇒ v21 = 2arotL
Ao contrário do rolamento com deslizamento, as velocidades de translação e rotação não estão conectadas
diretamente. Isso só acontece quando a bola não desliza, e nesse caso v1 = ω1R.
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A 2a Lei de Newton para a translação se escreve:
{
N = P
Fat = Matran
⇒ atrans = µcg
A 2a Lei de Newton para a rotação se escreve:
τ = FatR = Icmα
µcMg =
Icm
R
α =
Icm
R2
(Rα) =
Icm
R2
arot
arot = µcg
R2
Icm
E como:
{
v1 = Rαt = arott
v1 = v0 − atrant
⇒ v1 =
arot
atran + arot
· v0
t =
v0
atran + arot
=
v0
µcg
(
1 +
MR2
Icm
)
Considerando que para a esfera Icm = 2/5MR2:
t =
2v0
7µcg
= 1, 18 s
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b) A que velocidade está se movendo quando começa a rolar?
v1 = Rαt = arott = µcg
(
MR2
Icm
)
t ⇒ v1 =
5
2
µcg = 6, 07 m/s
c) Qual a distância que ela desliza na pista?
v21 = v
2
0 − 2atrand ⇒ d =
v20 − v21
2µcg
= 8, 60 m
d) Quantas revoluções fez antes de começar a rolar?
ω21 = ω
2
0 + 2αθ ⇒ (ω1R)2 = 2(αR)(Rθ) ⇒ v21 = 2arotL
E como
L =
v21
2arot
=
1
2
arott
2 = N(2πR) ⇒ N =
1
2πR
·
arott2
2
=
1
4πR
·
MR2
Icm
· µcgt2
N =
5µcgt2
8πR
= 5, 18 ref
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	Resumo
	Exercício 1
	Exercício 2
	Exercício 3
	Exercício 4