Cap I - FLAMBAGEM DE COLUNAS

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS III
Prof. William Fernandes
I - FLAMBAGEM DE COLUNAS
Elementos compridos e esbeltos sujeitos a uma força axial de compressão são chamados colunas e a deflexão
lateral que sofrem é chamada flambagem. Em geral esse fenômeno leva a uma falha súbita e dramática da
estrutura ou mecanismo. Na engenharia, problemas como este são chamados de problemas de instabilidade.
A carga axial máxima que uma coluna pode suportar quando está no limite de flambagem é chamada carga
crítica Pcr. Para compreender este efeito, seja o mecanismo a seguir.
(Fonte: Resistência dos Materiais, Hibbeler, 7ª Edição)
Para uma pequena força P aplicada no topo de uma das
barras, estando estas verticais, tem-se que a mola de rigidez k
não se deforma. Por outro lado, quando se “perturba” o
sistema aplicando-se um deslocamento pequeno D na mola, a
mesma terá uma reação F = kΔ. Fazendo-se o equilíbrio do
sistema, chega-se a três situações possíveis:
Para Pcr=
k L
4
, tem-se equilíbrio neutro.
Para P
k L
4
, tem-se equilíbrio instável.
Para P
k L
4
, tem-se equilíbrio estável.
I.1 - Fórmula de Euler para barras rotulas em suas extremidades
As considerações a serem feitas para a carga crítica em
uma coluna ideal são:
• Coluna perfeitamente reta antes do carregamento;
• Material homogêneo com comportamento linear
elástico;
• Carregamento é aplicado no centróide de sua seção
transversal.
Para a determinação da carga crítica para a coluna em
questão, parte-se da Equação da Linha Elástica:
EI
d2 v
dx2
=M
Em um ponto qualquer da coluna tem-se uma deflexão
horizontal v. Logo, para o referencial ao lado, tem-se:
EI
d2 v
dx2
=−Pv 
d2 v
dx2

P
EI
v=0
Esta equação é diferencial ordinária, de 2ª ordem, linear, homogênea, com coeficientes constantes. A solução
deste problema é feita da seguinte forma:
v=G e x 
d2 v
dx2
=
2G e x G e x2 PEI =0

2

P
EI
=0  =±i 
P
EI
=±i n
e in x=cos n x i sinn x=v1
e−in x=cosn x−i sinn x=v2
A solução geral fica:
v=Av1Bv2
v=A cosn xisin n xBcosn x−i sin n x
v=i A−Bsin n x ABcosn x
Fazendo AB=C2 e i A−B =C1 , a equação fica:
v=C1sin  PEI x C2cos PEI x 
C1 e C2 são determinados por condições de contorno:
x=0  v 0=0  C2 cos0=0  C2=0
x=L  v L=0  C1 sen  PEI L=0
Neste caso, existem duas possibilidades:
• C1=0  v=0 : solução trivial que considera que a barra permaneça reta depois da carga crítica.
•
sen PEI L=0   PEI L=arcsen 0   PEI L=n
P=
n22 EI
L2
n=0,1,2,3, ...
O menor valor de P ocorre quando o número de semiondas n é igual a 1. Logo: P=Pcr=
π
2 EI
L2
I.2 - Fórmula de Euler para barras com outras condições de extremidade
A fórmula de Euler apresentada no tópico anterior foi
desenvolvida para colunas com extremidades rotuladas. Na
equação, L representa a distância sem apoio entre os pontos de
momento nulo. Para outras condições de apoio, a fórmula de
Euler pode ser usada desde que L represente a distância entre
pontos de momento fletor nulo. Essa distância é chamada
comprimento efetivo da coluna, Lef. As normas de projeto
fornecem fórmulas que empregam um coeficiente adimensional
k chamado fator de comprimento efetivo, definido por:
Lef =k L
Valores de k para outras condições de apoio:
(Fonte: Resistência dos Materiais, Hibbeler, 7ª Edição)
Portanto, a generalização da Fórmula de Euler fica:
P=Pcr=
π
2 EI
(kL)2