Solucionario Hibbeler Mechanics of materials

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8-1
	
Deflexão em vigas
Prof. Antonio Brito.
Universidade Federal de Santa Catarina
Campus Joinville
Mecânica dos Sólidos 2
Introdução:
Introdução:
O que seria deflexão de uma viga?
A deflexão v(x) é o deslocamento na direção y de qualquer ponto da viga.
Introdução:
O que seria deflexão de uma viga?
Se uma viga flete excessivamente, quando solicitada, ela pode perder a sua funcionalidade!
Introdução:
Introdução:
Pinguela
P1
P2
P1
P
Carga transversal
Introdução:
Viga em material compósito
http://element6composites.com/applications-trusses-beams.asp
1
Introdução:
GERE 9ed
1
Introdução:
Beer 7 ed
1
Introdução:
Beer 7 ed
1
https://www.youtube.com/watch?time_continue=41&v=tUHVNc1hJkM
Introdução:
Medindo a deflexão:
Introdução:
Medindo a deflexão:
Introdução:
Viga em material compósito
http://element6composites.com/applications-trusses-beams.asp
1
Introdução:
O que seria deflexão de uma viga?
Introdução:
Definição de vigas:
Introdução:
Não estamos mais se preocupando só com o nível de tensão na estrutura!
Introdução:
Verrazano Narrows Bridge is supported by four cables 36 inches in diameter, each formed by many strands. Vehicles cross on two six-lane levels. Beams in the deck of such structures must be designed for both strength and a restricted amount of deflection.
Introdução:
iPhone 6
 No caso do iPhone 6 Plus, não há chassi de magnésio para dar mais resistência.
Assim, o que suporta os componentes na estrutura são somente as duas finas camadas de alumínio, material conhecido por ser flexível.
Fonte:
http://www.techtudo.com.br/
Introdução:
iPhone 6: Ensaio de flexão.
Introdução:
 - Projeto de uma escada
Introdução:
- Deflexão da asa de um avião.
Introdução:
A asa de um avião como exemplo de uma viga.
Introdução:
A asa de um avião como exemplo de uma viga.
Introdução:
- Deflexão da asa de um avião: imagens superpostas.
Introdução:
- Ensaios de deflexão e fadiga.
Introdução:
- Ensaios de deflexão e fadiga.
P1
P1
Por que este fenômeno acontece?
Introdução: O efeito do Momento de Inércia
Introdução: O efeito do Momento de Inércia
a) A rectangular section beam with the larger dimension horizontal
b) A rectangular section with the larger dimension vertical
c) I section
http://www.mace.manchester.ac.uk/project/teaching/civil/structuralconcepts/Statics/sections/section_mod2.php
Introdução: O efeito do Momento de Inércia
Turn the ruler through 90 degrees
Observe the displacement at the free end of the cantilever with a span of say 350 mm
Double the span to 700 mm as shown
Introdução: O efeito do Momento de Inércia
Deflections of a simply supported beam
Deflections of a fixed beam 
Introdução: O efeito das Condições de Contorno
Introdução: O efeito das Condições de Contorno
3. A curva elástica
	Objetivo: determinar a curva elástica, v(x), para uma viga submetida a uma carga transversal, por exemplo:
3. A curva elástica
Rotação da seção transversal
3. A curva elástica
Rotação da seção transversal
Timber Design livro
1
3. A curva elástica
Rotação da seção transversal
Timber Design livro
1
3. A curva elástica
Rotação da seção transversal
Timber Design livro
1
Inclinação da linha elástica
3. A curva elástica
Riley
1
3. A curva elástica
Relação entre o raio de curvature e a deformação de um elemento de comprimento infinitesimal.
Mott
1
3. A curva elástica
Raio de curvatura
Se o material for homogêneo e comportar-se de uma maneira linear elástica, a Lei de Hooke é aplicável,
3. A curva elástica
ρ = raio de curvatura em um ponto específico
M = momento fletor interno na viga no ponto ρ
E = módulo de elasticidade do material
I = momento de inércia calculado em torno do eixo neutro
EI = rigidez à flexão
Substituindo os valores na equação da curvatura, temos:
Sendo:
e
4. Inclinação e deslocamento por integração
4. Inclinação e deslocamento por integração
4. Inclinação e deslocamento por integração
4. Inclinação e deslocamento por integração
Na maioria dos problemas a rigidez à flexão será constante ao longo do comprimento da viga.
Para uma viga temos:
Cada integração é usada para resolver todas as constantes de modo a obter uma solução única para um problema particular.
4. Inclinação e deslocamento por integração
Condições de contorno e continuidade
As constantes de integração são determinadas pela avaliação das funções para cisalhamento, momento, inclinação ou deslocamento.
Esses valores são chamados de condições de contorno.
4. Inclinação e deslocamento por integração
5. Simulação utiliando pacotes comerciais
Table 5.1: Deflection for common cantilever and simply-supported beam conditions. See also Appendix D. 
6. Soluções de referência
Gere Apêndice G
Figure A.4 Various cases of simply supported and cantilever beams with concentrated and distributed forces. Shear V, and moment M, diagrams are shown, along with maximum deflection, v.
(
)
(
)
(
)
x
M
dx
v
d
EI
x
V
dx
v
d
EI
x
w
dx
v
d
EI
=
=
-
=
2
2
3
3
4
4
 
 
noitcefleDgnidaoLfoepyT
y = −
P
6EI
x − a 3 − x3 + 3 x2 a
When b = 0 , y = −
P
6EI
3lx 2 − x3
and ymax = y(l) = −
P L 3
3EI
x
b
P
y
l
ymaxa
y = −
wo
24EI
4bx3 − 12bx2 a +
b
2
− x − a 4
When a = 0 and b = l, y =
wo
24EI
6l2 x2 − 4lx 3 + x4
and ymax = −
wo l4
8EI
x
b
y
l
ymaxa wo
y = −
Mx 2
2EI
, ymax = −
Ml 2
2EIM x
y
l ymax
y =
P
6EI
b
l
x 3 − x − a 3 + 3 a 2 x − 2alx −
a 3 x
l
x
y
l
b
P
a
Pa
l
Pb
l
y =
wo b
24lEI
4 c +
b
2
x 3 −
l
b
x − a 4 − x − a − b 4
+ x b3 + 6 bc2 + 4 b2 c + 4 c3 − 4l2 c +
b
2
x
y
l
a c
b
wo
a + b–2
wob–––l
c + b–2
wob–––l
( )
( )