Geometria Analítica: Parábolas, Elipses e Hipérboles

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Professor Julierme Oliveira
e-mail: Julierme.oliveira@unifbv.edu.br
Aulas: 
Segundas-feiras – 8 às 11h
mailto:Julierme.oliveira@unifbv.edu.br
PARÁBOLAS CENTRADAS NA ORIGEM
É o lugar geométrico dos pontos de um plano na
qual a distância entre estes pontos e a reta
geratriz é igual a distância destes pontos ao foco
da parábola.
F
Geratriz
Parábola
y
x
diretriz
𝑝
2
𝑝
2
𝐹 0,
𝑝
2
𝑃 𝑥, 𝑦
𝑃′ 𝑥, −
𝑝
2
𝑉 0,0
𝑑𝐹,𝑃 = 𝑑𝑃′,𝑃
PARÁBOLAS CENTRADAS NA ORIGEM
A equação x² = 2py é conhecida como equação reduzida da
parábola e constitui a forma padrão da equação da parábola.
Analisando a equação, conclui-se que o tremo 2py é sempre
positivo, pois x² ≥ 0, então p e y sempre terão o mesmo sinal.
Consequentemente se p > 0, a parábola terá concavidade
para cima, enquanto que p < 0, a parábola terá concavidade
para baixo.
p > 0
y > 0
p < 0
y < 0
PARÁBOLAS CENTRADAS NA ORIGEM
𝑑𝐹1,𝑃 + 𝑑𝐹2,𝑃 = 𝑑𝐴1,𝐴2
É o lugar geométrico dos pontos de um
plano na qual soma das distâncias a dois
pontos fixos desse plano é constante, ou
seja:
Consideramos que os pontos F1 e F2 são os focos, C é o centro, e, A1, A2, B1 e
B2, são os vértices da elipse.
P(x,y)
F1 F2
B2
B1
A1 A2C
ELIPSES CENTRADAS NA ORIGEM
a
b
c
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
2c
2a
C𝐴1 𝐹1 𝐹2 𝐴2
𝐵1
𝐵2
𝑑𝐹1,𝑃 + 𝑑𝐹2,𝑃 = 𝑑𝐴1,𝐴2
ELIPSES CENTRADAS NA ORIGEM
É o lugar geométrico dos pontos de um
plano cuja a diferença das distâncias, em
valor absoluto, a dois pontos fixos deste
plano é constante:
Consideramos que os pontos F1 e F2 são os focos, C é o centro, A1 e A2, os
vértices da hipérbole, e a distância entre F1 e F2, é dita distância focal.
F1 F2
P
A1 A2
|𝑑𝐹1,𝑃 − 𝑑𝐹2,𝑃| = 𝑑𝐴1,𝐴2
HIPÉRBOLES CENTRADAS NA ORIGEM
|𝑑𝐹1,𝑃 − 𝑑𝐹2,𝑃| = 𝑑𝐴1,𝐴2
2c
c
b
a
2a
𝐴1𝐹1 𝐹2𝐴2
𝐵1
𝐵2
2b
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
HIPÉRBOLES CENTRADAS NA ORIGEM
TRANSLAÇÃO DE EIXOS
Então, com a ajuda da figura,
temos que:
x = x’ + h e y = y’ + k
Ou então:
x' = x - h e y’ = y - k
P
y'y
x'
x
O’
O(0,0)
y
y'
x
x'
k
h
EQUAÇÃO GERAL DA PARÁBOLA
X0
Y0
V
EQUAÇÃO GERAL DA ELIPSE
A1 F1 F2 A2
B1
B2
C (x’, y’)
EQUAÇÃO GERAL DA HIPÉRBOLE
F1 F2A2A1
C(x’,y’)