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Análise de dados Problema O departamento de Recursos Humanos da empresa ABC deseja reade- quar os salários de seus funcionários a partir de uma nova política de cargos e salários. A primeira providência do coordenador do departamento foi verifi- car o perfil dos funcionários da empresa. Solicitou para um estudo preliminar a relação dos funcionários em que deveria constar algumas variáveis para esse primeiro estudo: ordem de con- tratação, sexo, idade, salário e setor. Um auxiliar administrativo apresentou o seguinte quadro como resultado: Número de ordem Nome Sexo Idade Salário (R$) Setor 1 A. L. Ferraz M 49 1.714,00 Oper. 2 R. Abreu M 48 1.701,00 Oper. 3 R. S. Reis M 64 1.589,00 Oper. 4 N. Farias F 37 1.418,00 Oper. 5 J. L. Jansen F 42 1.000,00 Aux. Adm. 6 U. S. Machado M 40 3.732,00 Téc. 7 F. Nogueira F 21 1.330,00 Oper. 8 M. Pinheiro F 33 1.307,00 Oper. 9 M. A. da Silva M 39 1.282,00 Oper. 10 P. A. B. Costa F 42 1.260,00 Oper. 11 H. F. Minho F 39 975,00 Aux. Adm. 12 N. M. de Lima M 32 1.256,00 Oper. 13 C. F. Loureiro M 22 1.185,00 Oper. 19 20 Análise de dados Número de ordem Nome Sexo Idade Salário (R$) Setor 14 M. E. M. Ferreira M 21 3.535,00 Téc. 15 J. A. Isaias F 37 2.956,00 Téc. 16 J. Martins F 24 1.179,00 Oper. 17 A. P. Ribeiro M 28 966,00 Aux. Adm. 18 L. C. Batista M 32 3.204,00 Adm. 19 A. F. dos Santos M 31 881,00 Aux. Adm. 20 C. A. Brandão F 38 3.080,00 Adm. 21 D. J. Feltrin M 23 2.872,00 Téc. 22 L. S. Prestes M 22 826,00 Aux. Adm. 23 J. L. Campos M 46 1.010,00 Oper. 24 S. I. Magalhães F 34 708,00 Aux. Adm. 25 P. R. Gonçalves M 47 2.960,00 Adm. 26 M. I. Machado M 42 2.797,00 Téc. 27 M. Paraná F 32 1.001,00 Oper. 28 U. V. Guimarães F 29 2.315,00 Adm. 29 E. M. Moreira M 41 5.572,00 Ger. 30 A. P. de Andrade M 30 2.372,00 Téc. 31 L. R. de Souza F 51 4.829,00 Ger. 32 R. T. Moraes F 23 1.826,00 Adm. 33 J. Pilloto M 20 540,00 Oper. 34 F. C. Lopes F 27 489,00 Oper. 35 C. A. Meier F 33 479,00 Oper. 36 H. O. Silveira F 22 1.904,00 Téc. 37 K. D. Almeida M 41 659,00 Aux. Adm. 38 M. J. D. Colares F 34 1.827,00 Téc. 39 R. F. L. Silvério M 24 472,00 Oper. 40 M. N. Messias F 20 640,00 Aux. Adm. Análise de dados 21 Os dados apresentados foram organizados de forma a oferecer ao coorde- nador do departamento de Recursos Humanos as informações que revelassem a distribuição dos salários segundo as variáveis: (I) número de ordem, no sen- tido que o mais antigo na casa recebeu o número 1 e o mais novo o número 40, não importando muito o tempo de contratação, uma vez que a empresa foi constituída há pouco tempo, (II) o sexo, (III) a idade, (IV) o salário e (V) o setor, dividindo os funcionários segundo as funções: operacional (Oper.), auxiliar administrativo (Aux. Adm.), técnico (Téc.), administrativo (Adm.) e ge- rência (Ger.), sendo uma gerência técnica e outra administrativa. O coordenador analisou a tabela e verificou imediatamente que os funcio- nários mais antigos eram na sua maioria do setor operacional, exceto dois auxi- liares administrativos. Observou também que poucos funcionários ganhavam menos do que R$1.000,00 e que havia uma pequena predominância de funcio- nários do sexo masculino. Viu que o Reis de fato era o funcionário mais velho, com 64 anos, e que a empresa não tinha nenhum funcionário com menos de 20 anos. Verificou também que ele próprio era o décimo oitavo contratado como também que entre os administradores era o mais antigo e que o seu salário era o maior comparado com seus pares, R$3.204,00. Concluiu, finalmente, que da forma como os dados foram apresentados estava com dificuldade de tirar maiores informações sobre a distribuição de cargos e salários. Chamou um dos administradores e pediu que ele organizasse um pouco melhor os dados e que em termos gerais não importava o nome das pessoas. Foi prontamente atendido e recebeu o seguinte novo quadro: Sexo Idade Setor Número de ordem Salário (R$) Média salarial M 41 Ger. 29 5.572,00 F 51 Ger. 31 4.829,00 5.200,50 M 40 Téc. 6 3.732,00 M 21 Téc. 14 3.535,00 F 37 Téc. 15 2.956,00 M 23 Téc. 21 2.872,00 M 42 Téc. 26 2.797,00 M 30 Téc. 30 2.372,00 22 Análise de dados Sexo Idade Setor Número de ordem Salário (R$) Média salarial F 22 Téc. 36 1.904,00 F 34 Téc. 38 1.827,00 2.749,38 M 32 Adm. 18 3.204,00 F 38 Adm. 20 3.080,00 M 47 Adm. 25 2.960,00 F 29 Adm. 28 2.315,00 F 23 Adm. 32 1.826,00 2.677,00 M 49 Oper. 1 1.714,00 M 48 Oper. 2 1.701,00 M 64 Oper. 3 1.589,00 F 37 Oper. 4 1.418,00 F 21 Oper. 7 1.330,00 F 33 Oper. 8 1.307,00 M 39 Oper. 9 1.282,00 F 42 Oper. 10 1.260,00 M 32 Oper. 12 1.256,00 M 22 Oper. 13 1.185,00 F 24 Oper. 16 1.179,00 M 46 Oper. 23 1.010,00 F 32 Oper. 27 1.001,00 M 20 Oper. 33 540,00 F 27 Oper. 34 489,00 F 33 Oper. 35 479,00 M 24 Oper. 39 472,00 1.130,12 F 42 Aux. Adm. 5 1.000,00 F 39 Aux. Adm. 11 975,00 M 28 Aux. Adm. 17 966,00 Análise de dados 23 Sexo Idade Setor Número de ordem Salário (R$) Média salarial M 31 Aux. Adm. 19 881,00 M 22 Aux. Adm. 22 826,00 F 34 Aux. Adm. 24 708,00 M 41 Aux. Adm. 37 659,00 F 20 Aux. Adm. 40 640,00 831,88 Com o novo quadro pôde verificar uma série de novas informações, tais como média salarial e número de funcionários por categoria, e também que havia uma certa coerência dentro de cada categoria com relação ao tempo de serviço e salário, ou seja, funcionários mais antigos da mesma categoria recebiam salários maiores. Mas sobre sexo e idade e as suas relações com as demais informações ainda havia muita dificuldade em tirar conclusões. Esse tipo de problema é colocado no dia a dia do tomador de decisões. Os dados individuais, por mais bem organizados que estejam, trazem poucas informações. É necessário que sejam sintetizados através de tabelas, gráficos e medidas que possam resumir a informação de uma forma agregada. Conceitos fundamentais A Estatística Descritiva, que mais modernamente, com a incorporação de novas técnicas, é chamada de Análise Exploratória de Dados, pode suprir a necessidade de uma primeira organização dos dados de forma a transfor- má-los verdadeiramente em informação. As técnicas utilizadas na exploração dos dados tiveram uma evolução muito grande com o advento da computação e particularmente de progra- mas que facilitam essas tarefas. Para o senso comum, a Estatística resume-se a esse trabalho. Veremos nos capítulos seguintes que esse é somente um primeiro importante passo na organização das informações para aquisição do conhecimento de modo a auxiliar a tomada de decisões. Fundamentalmente, a análise de dados compreende três frentes: orga- nização de tabelas, construção de gráficos e síntese dos dados através do cálculo de medidas estatísticas. 24 Análise de dados Variáveis quantitativas e categorizadas Associadas a cada indivíduo, temos medidas e atributos que o definem. As medidas são características de variáveis quantitativas e os atributos são características de variáveis categorizadas ou qualitativas. As variáveis quantitativas podem ser contínuas ou discretas. Elas são contí- nuas quando entre dois quaisquer valores possam estar novos valores. As va- riáveis quantitativas contínuas são frutos de medidas que podem ser expres- sas pelos números reais. O salário dos empregados de uma empresa pode ser considerado uma variável contínua. As variáveis são discretas quando são fruto de contagem e podem ser expressas através de números inteiros, como a idade dos funcionários. Uma outra característica importante das variáveis quantitativas é que podemos fazer operações matemáticas com seus valores, como soma, subtração, multiplicação e divisão. As variáveis categorizadas ou qualitativas são expressas em escalas ordinais, como é o caso da ordem em que os funcionários foram contratados, ou expres- sas em categorias ou escalas nominais, como o sexo do funcionário ou o setor em que ele trabalha. Não se pode, nesse caso, fazer operações matemáticas. Valor discrepante ou outlier Um valor discrepante ou outlieré um valor que destoa do conjunto prin- cipal dos dados. Tabelas e quadros estatísticos Existe uma pequena diferença entre quadro estatístico e tabela estatística. A tabela estatística é o resultado de alguma forma de resumo dos dados. As linhas à esquerda e à direita de uma tabela estatística nunca devem ser fechadas segundo as normas da ABNT. Elas são utilizadas para apresentação de resultados estatísticos e também como ferramenta de desenvolvimento de operações. Uma tabela bastante importante utilizada em estatística é a distribuição de frequências. Já o quadro serve para apresentação de dados, como os do exemplo, ou para apresentação de resultados-resumo, como um quadro de médias, por exemplo. O quadro pode ter seus limites à esquerda e à direita fechados por linhas. Análise de dados 25 Apresentação gráfica Os dados de uma tabela estatística podem ser apresentados através de gráficos estatísticos, devendo o tipo de gráfico ser compatível com a natureza dos dados. Os principais gráficos são: o gráfico de colunas ou de barras, o gráfico de setores ou pizza, o gráfico de bastões, o gráfico de linhas e o histograma. Existem, na análise exploratória de dados, algumas apresentações grá- ficas que auxiliam a compreensão do comportamento dos dados, como o ramo e folhas, o esquema de cinco números e o diagrama de caixas ou Box-plot. O detalhamento da utilização de cada tipo de gráfico será ainda assunto deste capítulo. Medidas estatísticas A utilização de medidas estatísticas serve para resumir os dados através de valores representativos. Existem quatro tipos de medidas utilizadas: medidas de posição, de dispersão, de assimetria e as de achatamento ou de curtose. As medidas de posição objetivam verificar pontos que representem o con- junto de dados. Elas podem ser medidas de tendência central, como a média, por exemplo, que mostra em torno de que ponto os dados se concentram ou as separatrizes, que informam o valor em que os dados se dividem em quatro, dez ou cem partes. As medidas de dispersão mostram a intensidade de concentração dos dados em torno de medidas de tendência central. As principais medidas de dispersão são a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação. As medidas de assimetria são utilizadas para verificar se os dados são simé- tricos em relação a um valor central, e as de curtose para verificar se o gráfico de dados concentra-se em valores próximos ao eixo X ou se distanciam dele. Essas últimas medidas de achatamento são de menor interesse na análise de dados, e não serão tratadas neste livro. 26 Análise de dados Variáveis categorizadas As variáveis categorizadas são medidas de atributos, como sexo, grau de instrução, setor de trabalho, categoria profissional, preferência eleitoral etc. Os indivíduos estão relacionados a alguma categoria dentro de cada variá- vel, como sexo e categoria dos empregados da empresa ABC. Distribuição por sexo A tabela e os gráficos abaixo apresentam a distribuição por sexo dos indi- víduos da empresa ABC. Tabela 1 – Sexo dos empregados da empresa ABC Sexo Número Perc. Fem. 19 47,5% Masc. 21 52,5% Total 40 100,0% Um gráfico estatístico objetiva dar a impressão visual da representação dos dados. Os gráficos adequados para a representação dessa tabela são os de colunas ou de barras e o gráfico de setores. Gráfico de colunas Fem. Masc. 20 15 10 5 0 Sexo Distribuição por sexo Análise de dados 27 Gráfico de barras Fem. Masc. 20151050 Sexo Distribuição por sexo Número Gráfico de setores Distribuição por sexo 48% Fem. Masc. 52% O gráfico de setores é útil quando queremos observar o valor relativo da participação de cada categoria no total. Distribuição por categoria profissional A tabela e os gráficos apresentam a distribuição dos indivíduos por cate- goria profissional na empresa: Tabela 2 – Categoria dos empregados da empresa ABC Categoria Número Perc. Gerência 2 5,0% Adm. 5 12,5% Téc. 8 20,0% Aux. Adm. 8 20,0% Oper. 17 42,5% Total 40 100,0% 28 Análise de dados Gráfico de colunas 8 6 4 2 0 Gerência Categoria dos empregados da Empresa ABC 14 12 10 16 18 Adm. Téc. Aux. Adm. Oper. N úm er os Gráfico de setores Categoria dos empregados da Empresa ABC 20% Gerência Adm.42% Téc. Aux. Adm. Oper. 5% 13% 20% Análise de dados 29 Variáveis quantitativas As variáveis quantitativas, sejam elas discretas ou contínuas, são apre- sentadas através da chamada distribuição de frequências. Nos dois casos po- demos construir distribuições de frequências, que, como o próprio nome indica, informam, através de tabelas, quais são os valores da variável e qual a frequência de ocorrência de dados para cada um desses valores. No caso de variável contínua, ou mesmo de variável discreta com um grande número de possibilidades, é comum a construção de classes em que mais de um valor é contemplado. Distribuição de frequências Vamos estudar inicialmente o caso de uma variável discreta através da verificação da distribuição de frequências das idades dos funcionários. Pode ser de interesse saber qual é a distribuição de idade dos funcionários com menos de trinta anos. A tabela da distribuição de frequências corresponden- te a esses dados será: Distribuição de frequências dos funcionários com menos de 30 anos Idade Freq. 20 2 21 2 22 3 23 2 24 2 25 0 26 0 27 0 28 1 29 1 Total 13 30 Análise de dados O gráfico correspondente à distribuição de frequências dessas idades é o gráfico de bastões: 2 1,5 1 0,5 0 3,5 3 2,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Diagrama ramo e folhas Uma outra forma de representação gráfica utilizando as próprias idades é o chamado diagrama ramo e folhas, em que o ramo representa os algarismos relativos às dezenas e as folhas os algarismos relativos à unidade. Ramo e folhas das idades dos 40 funcionários: 2 00112223344789 3 01222334477899 4 0112226789 5 1 6 4 Observe o aspecto da informação gráfica do diagrama ramo e folhas em analogia ao histograma apresentado na sequência. A vantagem de sua uti- lização é que ele mostra o desenho da distribuição sem perder a informação detalhada. Poderíamos, eventualmente, considerar a idade como uma variável ale- atória contínua cuja representação está aproximada para os valores inteiros das idades. A rigor, a variável idade é mesmo contínua, porque podería- mos medir o tempo de vida em anos, dias e mesmo segundos. Nesse caso, poderíamos construir classes entre certas idades de tal forma que elas repre- sentassem um contínuo. Análise de dados 31 Histograma A representação gráfica da tabela da distribuição de frequências, quando organizada em classes, recebe o nome de histograma. É um gráfico de colu- nas adjacentes representando um contínuo. Distribuição de frequência das idades Idade Freq. Perc. 20 a 29 14 35,0% 30 a 39 14 35,0% 40 a 49 10 25,0% 50 a 59 1 2,5% 60 ou + 1 2,5% Total 40 100,0% Histograma Idade Distribuição de frequência das idades 20 a 29 anos 8 6 4 2 0 14 12 10 16 Fr eq . 30 a 39 anos 40 a 49 anos 50 a 59 anos 60 anos ou mais 1 32 Análise de dados Distribuição dos salários Salário (R$) Freq. Freq. rel. Até 1.000,00 11 0,27 De 1.000,00 a 1.999,00 17 0,43 De 2.000,00 a 2.999,00 6 0,15 De 3.000,00 a 3.999,00 4 0,10 Acima de 4.000,00 2 0,05 Total 40 1,00 Histograma Distribuição salarial Até 100 8 6 4 2 0 14 12 10 16 Fr eq . De 1.000 a 1.999 De 2.000 a 2.999 De 3.000 a 3.999 Acima de 4.000 Salários (R$) 1 18 Elementos de uma distribuição de frequências A distribuição de frequências, como apresentada, é útil não só para apre- sentação de dados, mas para análises um pouco mais aprofundadas. Vamos reapresentar a distribuição de frequências dos salários de uma maneira mais matematicamente formal. Análise de dados 33 Salário (R$) Freq. Freq. rel. X < 1.000,00 11 0,27 1.000,00 ≤ X < 2.000,00 17 0,43 2.000,00 ≤ X < 3.000,00 6 0,15 3.000,00 ≤ X < 4.000,00 4 0,10 X ≥ 4.000,00 2 0,05Total 40 1,00 Observe agora que a distribuição é apresentada como um contínuo. Não há descontinuidade entre R$1.999,00 e R$2.000,00, podemos, assim, ter a representação de qualquer valor como R$1.999,85, por exemplo. Definimos cinco classes. O número de classes de uma distribuição de fre- quências não deve ser muito grande. Em torno de cinco a oito classes é um número bastante razoável e elas devem ter igual amplitude. No nosso caso, como temos poucos valores acima de R$4.000,00 agregaremos todos esses valores na última classe. Cada uma delas tem um limite inferior de classe e um limite superior. A diferença entre o limite superior e o limite inferior chama- mos de amplitude do intervalo de classe. Podemos ainda definir o ponto médio de cada classe. Esse valor será útil para a determinação das medidas estatísticas quando não tivermos os dados brutos. O ponto médio representará todos os valores da classe. Entre R$1.000,00 e R$2.000,00 temos 17 valores. Todos eles serão considerados como R$1.500,00. Perdemos um pouco em informação, mas ganhamos em poder de síntese. A frequência relativa será uma aproximação de probabilidades. A proba- bilidade de sortearmos um dos 40 funcionários e que esse sorteado per- ceba um salário entre R$3.000,00 e R$4.000,00 será de 4/40 ou de 0,10. Formalmente, temos que P(3.000 ≤ X < 4.000) = 0,10. Podemos dizer, sem perder muito o rigor, que essa probabilidade é de 10%. A probabilidade de sortearmos um funcionário que ganhe menos do que R$2.000,00 pode ser definida como P(X < 2.000) = 28/40 = 0,70. Também P(X ≥ 2.000) = 12/40 = 0,30. Observe que P(X < 2.000) + P(X ≥ 2.000) = 1, sempre que isso ocorre; dizemos que essas probabilidades são complementares. 34 Análise de dados Se considerarmos a amplitude do intervalo de classe como a unidade, a probabilidade pode ser calculada como a área de cada retângulo, que terá como base o valor 1 e como altura a frequência relativa. Esse cálculo de pro- babilidades através de áreas será fundamental quando tratarmos da inferên- cia estatística. Outro elemento importante em uma distribuição de frequências é a cha- mada frequência acumulada. Até R$2.000,00, temos 28 elementos, como acabamos de ver. Até R$3.000,00, temos 34 elementos e assim por diante. Abaixo apresentamos a tabela completa da distribuição de frequências: Salário (R$) Freq. Freq. rel. Ponto médio Freq. acumulada X < 1.000,00 11 0,27 500 11 1.000,00 ≤ X < 2.000,00 17 0,43 1.500 28 2.000,00 ≤ X < 3.000,00 6 0,15 2.500 34 3.000,00 ≤ X < 4.000,00 4 0,10 3.500 38 X ≥ 4.000,00 2 0,05 4.500 40 Total 40 1,00 Uma outra aproximação que podemos fazer é suavizar a apresentação do histograma, construindo um novo gráfico que una os pontos médios das classes. Esse novo gráfico é chamado de polígono de frequências e estará pos- sivelmente mais próximo dos dados reais. Veja que com esse polígono de frequências podemos determinar através do cálculo de áreas as probabili- dades de qualquer intervalo, como, por exemplo, P(1.022,34 ≤ X < 3.087,53). O polígono de frequências é apresentado na figura a seguir. Observe que a área abaixo do polígono é também igual à unidade e toda área que é re- tirada do histograma é recolocada. Podemos verificar isso através de seme- lhança de triângulos: Análise de dados 35 Distribuição salarial Até 100 8 6 4 2 0 14 12 10 16 Fr eq . De 1.000 a 1.999 De 2.000 a 2.999 De 3.000 a 3.999 Acima de 4.000 Salários (R$) 18 Série temporal Muitas variáveis são medidas a intervalos de tempo. O gráfico de linhas é a maneira mais adequada de apresentar a evolução de uma variável no tempo. O eixo X sempre será correspondente a uma escala de tempo. Quando não há um número demasiadamente grande de pontos, a liga- ção entre os pontos por segmentos de retas ajuda a visualizar o padrão de variação ao longo do tempo. Suponha que no exemplo da empresa ABC os dados tivessem sido apre- sentados pelo tempo de casa de cada funcionário. Uma possível organiza- ção dos dados seria verificar quantos funcionários a empresa tinha em cada um de seus quatro anos de existência, conforme a tabela abaixo: Número de funcionários por ano Anos Funcionários Ano 1 15 Ano 2 20 Ano 3 32 Ano 4 40 36 Análise de dados Gráfico de linhas Número de empregados por ano 20 15 10 5 0 35 30 25 40 Ano 1 45 Ano 2 Ano 3 Ano 4 . Medidas estatísticas O objetivo de sintetização das informações tem sido realizado até aqui atra- vés de apresentação tabular e gráfica dos dados originais ou brutos. A forma de completar essa tarefa se dá através do cálculo das medidas estatísticas. Trataremos de três tipos de medidas: (I) as de posição, (II) as de dispersão e (III) as de assimetria. Medidas de posição Trabalharemos aqui com dois tipos de medidas, as de tendência central e as separatrizes. As medidas de tendência central resumem os dados no centro da distri- buição. São medidas de tendência central a média aritmética, a mediana e a moda. Análise de dados 37 A média aritmética A média aritmética ou simplesmente média é uma das medidas mais im- portantes da Estatística. Além de resumir os dados, ela servirá enormemente para os propósitos de estimação de características da amostra para a popu- lação, pois possui as melhores propriedades de um estimador. Ela é a soma dos dados dividida pelo número de observações, e sua ex- pressão matemática é: 1 2 i=1 1 + + ... + = =å n n i x x x x x n n Quando não houver conflito com outras expressões, apresentaremos =1 å n i i x simplesmente como Σ X. A média aritmética representa o centro de gravidade dos dados. Alguns cuida- dos, no entanto, devem ser tomados quando desejamos resumir os dados pelo valor de sua média. Ela é muito sensível a valores extremos. Um único valor muito grande ou muito pequeno pode mudar substancialmente o valor da média, po- dendo ela perder sua representatividade. Esses valores extremos são chamados de valores discrepantes ou outliers e quando eles aparecem em um conjunto de dados devem receber um tratamento muito especial. No nosso exemplo temos como valor da média das idades dos emprega- dos da empresa ABC o valor 34 anos e a média dos salários é de R$1.791,20. Se considerarmos a idade de 64 anos como um outlier a nova média será de 33,2 anos, e se considerarmos os salários R$4.829,00 e R$5.572,00 como valores muito acima dos demais, teremos uma média salarial de R$1.611,76, quase R$200,00 de diferença com relação à primeira média. No primeiro caso a diferença parece não ter sido de grande significância, mas para a média salarial essa diferença pode ser considerada importante, mesmo porque será um elemento importante na análise de cargos e salários. Retirar o salário dos dois gerentes no cálculo da média pode ser útil para a construção da nova política de cargos e salários. Essa sensibilidade da média a valores extremos pode ser bem compreen- dida com a seguinte ilustração. “Se coloco os pés próximos a uma área gelada e a cabeça próxima a uma área quente, a temperatura média do corpo será agradável”. 38 Análise de dados A média ponderada Se tivermos o seguinte conjunto de dados: (2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4) e que- remos calcular a sua média, a soma dos dados pode ser realizada da seguinte forma: (2 . 5) + (3 . 2) + (4 . 3) = 10 + 6 +12 = 28. Isso porque a frequência do 2 é 5, a do 3 é 2 e a do 4 é 3. Observe que a soma das frequências é 10 (5 + 2 + 3), igual ao número de observações. Podemos expressar esse fato por: = å å Xf X f Em que f é a frequência de cada X. Essa expressão representa a chamada média aritmética ponderada ou simplesmente a média ponderada. Os ponde- radores são as frequências. Esse cálculo é muito útil quando os dados são apresentados em uma dis- tribuição de frequências em que X será o ponto médio de cada classe e a frequência será o ponderador. Se observarmos que a frequência relativa é igual à frequência dividida pelo número de observações, isto é f freq frel = å . ,podemos representar a média como: = . å relX X f No cálculo da média ponderada das idades e dos salários, encontramos os seguintes valores para as médias, com o auxílio das tabelas a seguir. Idade média 34,75 anos e salário médio R$1.735,00. Idade Ponto médio (X) frel ΣX frel 20 --- 30 24,5 0,35 8,575 30|--- 40 34,5 0,35 12,075 40|--- 50 44,5 0,25 11,125 50|--- 60 54,5 0,025 1,3625 60|---| 70 64,5 0,025 1,6125 34,75 Análise de dados 39 Salário (R$) Ponto Médio (X) frel ΣX frel X < 1.000,00 500 0,28 140 1.000,00 ≤ X < 2.000,00 1.500 0,43 645 2.000,00 ≤ X < 3.000,00 2.500 0,15 375 3.000,00 ≤ X < 4.000,00 3.500 0,1 350 X ≥ 4.000,00 4.500 0,05 225 1.735 Os valores encontrados para os dados brutos foram idade média de 34 anos e salário médio de R$1.791,20. Os valores obtidos a partir da distribui- ção de frequências sofreram pequenas alterações, principalmente o valor do salário médio, em razão de considerarmos o valor dos salários dos gerentes como R$4.500,00 na distribuição de frequências, quando de fato eles tinham valores bem superiores ao considerado. Essas distorções costumam desaparecer quando retiramos os outliers do cálculo ou quando o número de observações for grande. A mediana A mediana é o valor que divide o rol em duas partes iguais. O rol é de- finido como a sequência ordenada de dados. Por exemplo, para o seguinte conjunto de dados (2, 3, 7, 7, 9) a mediana é o número 7 que divide o rol em duas partes iguais. Quando o número de dados é muito grande convém definir a posição da mediana antes de sua determinação. A posição da mediana será definida por PMed = (n + 1)/2. No exemplo acima, a posição da mediana será PMed = (5 + 1)/2 = 6/2 =3, portanto, a mediana será o terceiro elemento do rol. O valor da media- na será o do elemento que ocupa a terceira posição, nesse caso Med = 7. No caso de “n” ser par, o procedimento é semelhante, define-se a posição da mediana e depois calcula-se a média aritmética dos dois números imedia- tamente inferior e superior do valor da posição da mediana. No exemplo da empresa ABC, em que n = 40, teremos PMed = (40 +1)/2 = 41/2 = 20,5. A mediana será então a média entre os valores que ocupam a vigésima e a vigésima pri- meira posições da variável em consideração. 40 Análise de dados No nosso exemplo a idade mediana será Med = 33, porque X20 = X21 = 33. O salário mediano será Med = R$1.318,50, porque X20 = 1.307,00 e X21 = 1.330,00. A mediana para dados agrupados Uma forma aproximada de determinação da mediana para dados agru- pados consiste em localizar inicialmente a classe que contém a mediana, com o auxílio da distribuição de frequências acumulada. Em seguida, tomar o ponto médio da classe mediana como um valor aproximado do verdadeiro valor da mediana. Observe na tabela a seguir que o vigésimo e o vigésimo primeiro va- lores estão na segunda classe que contém do décimo segundo ao vigési- mo oitavo elementos. Podemos, por simplicidade, determinar o valor da mediana como aproximadamente R$1.500,00, o valor do ponto médio da classe mediana. Essa aproximação para esse caso foi bastante razoável, como podemos observar pela comparação do valor obtido nesse cálculo e o valor real deter- minado pelos dados do rol. Quando a posição da mediana estiver muito pró- xima de alguma dos limites da classe, uma interpolação deve ser realizada. Salário (R$) Freq. Ponto médio Freq. acumulada X < 1.000,00 11 500 11 1.000,00 ≤ X < 2.000,00 17 1.500 28 2.000,00 ≤ X < 3.000,00 6 2.500 34 3.000,00 ≤ X < 4.000,00 4 3.500 38 X ≥ 4.000,00 2 4.500 40 Total 40 A moda A moda é o valor que ocorre com maior frequência. Para o conjunto de dados (2, 3, 3, 3, 4), a moda será o valor 3. Quando um conjunto tem uma só moda, ele é chamado de unimodal. Se tiver duas modas, de bimodal, e poli- modal se tiver três modas, ou mais. Se o conjunto não tiver nenhuma moda será chamado de amodal. Análise de dados 41 Separatrizes As separatrizes são medidas que dividem um rol em duas partes pro- porcionais a certos valores. A medida que separa os dados em duas partes iguais, ou em 50% e 50% é a mediana, como vimos a pouco. Uma série de três medidas pode separar o rol em quatro partes iguais. Elas são chamadas de quartis. O primeiro quartil (Q1) separa o rol em 25% e 75%, o segundo quartil (Q2) é a própria mediana e o terceiro quartil (Q3) divide o rol em 75% e 25%. Da mesma forma que a mediana, para os quartis devemos inicialmente calcular a sua posição para depois determinar o seu valor. A posição do quar- til de ordem i, com i = 1..., 3 é dada por ( +1)= 4Qi i n P . No nosso exemplo, se desejamos verificar o valor dos quartis para os sa- lários, teremos PQ1 = (40 + 1)/4 = 10,25 e PQ13 = 3(40 +1 )/4 = 30,75, lembran- do que o segundo quartil é a própria mediana. Então, verificando no rol de dados, teremos Q1 = R$987,50 e Q3 = R$2.584,50, uma vez que o décimo salá- rio é de R$975,00 e o décimo primeiro de R$1.000,00 e que o trigésimo é de R$2.372,00 e o trigésimo primeiro de R$2.797,00. Esses são valores aproxima- dos, mas podemos verificar que são aproximações bastante razoáveis. Podemos tambem definir um conjunto de nove medidas que separam o rol em 10 partes, chamadas de decis, e um conjunto de 99 medidas que separam o rol em 100 partes, chamadas de percentis. Bastando, para isso, determinar as posições de cada decil pela expressão i.(n + 1)/10 e de cada percentil por i.(n + 1)/100. É fácil verificar que o vigésimo quinto percentil, por exemplo, é o primeiro quartil. Com base nas separatrizes, podemos construir duas representações que fazem parte também da chamada análise exploratória de dados, que são: o esquema de cinco números e o diagrama de caixa ou Box-plot. 42 Análise de dados Esquema de cinco números O esquema de cinco números consiste em apresentar os valores extre- mos, os quartis e a mediana, conforme desenho a seguir: Q1 Med Q3 Xmín Xmáx Diagrama de caixa ou Box-plot O Box-plot, como é corriqueiramente conhecido, constitui-se de uma caixa ou um retângulo cujo valor à esquerda na caixa é o primeiro quartil, e o valor à direita na caixa é o terceiro quartil. Um traço no centro da caixa representa a mediana e os pontos extremos são mostrados fora da caixa. +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 No exemplo acima, o primeiro quartil (Q1) é 7, a mediana é 8,5 e o terceiro quartil (Q3) é 9. Essas três medidas são utilizadas para a construção da caixa. A diferença entre o terceiro e o primeiro quartis é chamada de amplitude in- terquartílica (Aiq). Qualquer valor abaixo de Q1 – 1,5 Aiq e acima de Q3 + 1,5 Aiq é considerado como outlier. No exemplo em foco Aiq = 9 – 7 = 2, então valores menores do que 7 – 2(1,5) = 4 e maiores que 7 + 2(1,5) = 10 são outliers. O valor 5 no diagrama é o menor valor dos dados que não é outlier, e o valor 10 é o maior valor dos dados que também não é outlier. Marcamos esses dois pontos e os unimos à caixa por um traço. Podemos também definir outlier extremo como valores abaixo de Q1 – 3 Aiq e acima de Q3 + 3 Aiq . O valor 3,5 é um outlier, por ser menor do que 4 e o valor 0,5 é um outlier extremo por ser menor do que 7 – 3(2) = 1. Não temos valores de outlier à direita. Marcamos então o outlier com um asterisco (*) e o outlier extremo com uma circunferência (°). Esse diagrama indica que temos um conjunto de dados com uma certa assimetria negativa. Análise de dados 43 Medidas de dispersão Essas medidas são úteis para que possamos verificar o quanto os dados se dispersam, ou, mais comumente, o quanto eles se dispersam em torno da média. São medidas de variabilidade. Podemos dizer que dados com grande variabilidade representam um conjunto heterogêneo. As três principais medidas de variabilidade são (I) a variância, (II) o desvio- padrão e (III) o coeficiente de variação. A variância A variância mede a variabilidade média dosdesvios dos valores em torno da média ao quadrado. Pode ser representada por VAR(X) ou σ2. O quadrado é utilizado porque a média tem sempre a propriedade que a soma dos desvios em torno de si é igual a zero, ou seja, Σ(X – μ) = 0. Dessa forma, a variância pode ser definida como: σ2 = ∑(X – μ)2 N Quando tratamos de amostra em vez de população, N é substituído por (n – 1), cuja justificativa será apresentada no capítulo referente à Estimação, quando tratarmos de distribuições amostrais. Nesse caso substituímos σ2 por S2. Então, para o caso de amostra, teremos: S2 = ∑(X – X)2 n – 1 Uma forma alternativa de determinar o valor da variância, derivada da expressão acima, é dada por: S2 = ∑X 2 – nX2 n – 1 ou S2 = ∑X2 – n – 1 (∑X)2 n 44 Análise de dados A variância para dados agrupados pode ser determinada pela expressão: S2 = ∑(X – X) 2 . f n – 1 Em que f é a frequência de cada classe, X o ponto médio de cada classe e X a média aritmética dos dados. Ou de forma alternativa por: S2 = ∑X2 . f – n – 1 (∑X . f )2 n O desvio-padrão Como a unidade da variância é sempre ao quadrado, a forma de represen- tar uma medida de dispersão na mesma unidade dos dados é calculando a raiz quadrada da variância. Essa medida é chamada de desvio-padrão e é, como veremos, uma das medidas mais importantes da Estatística. O coeficiente de variação O desvio-padrão tem várias utilidades em Estatística. Uma delas é com- parar a variabilidade entre dois conjuntos que têm a mesma média. Como o desvio-padrão não tem um significado físico mais bem definido, o seu valor será grande ou pequeno dependendo da dimensionalidade dos dados. Um desvio-padrão pode ser irrisório ou imenso dependendo da dimen- são dos dados que estamos tratando. Existe, no entanto, uma possibilidade de comparação da variabilidade entre dois conjuntos padronizando o valor do desvio-padrão pelo valor da média do conjunto de dados. Ou seja, se igualarmos a média a 100 e fizermos uma regra de três simples, obteremos: X 100 S CV Então, CV = . 100%S X Análise de dados 45 CV é conhecido como o coeficiente de variação dos dados. Seu valor é dado em percentagem, o que possibilita uma informação mais intuitiva da variabilidade, e é a forma de comparar-se a heterogeneidade entre dois con- juntos com médias diferentes. Observe que os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {11, 12, 13} e C = {111, 112, 113} têm o mesmo desvio-padrão. Nos três casos o seu valor é igual a 1. No entanto, os valores dos coeficientes de variação são: CVA = 50%, CVB = 8,3% e CVC = 0,9%. Verifique que esses resultados estão mesmo de acordo com a intuição. Se cada medida dessas for uma medida de distância aferida por algum apa- relho, é muito menor o erro entre as medidas do conjunto C do que do conjunto A. Medidas de assimetria Existem várias medidas para verificar se os dados são simétricos em torno de um valor central (a média) de um conjunto. A mais usual é a apre- sentada abaixo: A = 3 (média – mediana) S Se A < 0, dizemos que os dados têm assimetria negativa, caso contrário as- simetria positiva. Se A = 0, o conjunto de dados é simétrico. O aspecto gráfico de dados simétricos e assimétricos é dado abaixo: X = Md = MoMo Md X X Md Mo assimetria positiva assimetria negativasimétrico 46 Análise de dados Atividades de aplicação 1. Uma pesquisa realizada com fornecedores de uma determinada indús- tria tinha por objetivo atualizar alguns dados importantes para o contro- le financeiro e administrativo. As seguintes variáveis foram observadas: a) Nome da empresa b) Idade da empresa c) Faturamento anual d) Número de funcionários e) Localização (UF) f) Área construída Indique, para as variáveis acima, qual o tipo de cada uma delas. 2. Indique a letra adequada à coluna de acordo com as afirmativas abaixo: a) Processo utilizado para selecionar elementos numa pesquisa ou estudo. b) Uma das formas de apresentação de dados. c) Medida observada a partir de uma característica da amostra. d) Característica observada em estudos ou pesquisas. e) Medida observada a partir de uma característica da população. Distribuição de frequências. )( Estatística. )( Amostragem. )( Parâmetro. )( Variável. )( 3. A diretoria de uma empresa, preocupada com a participação de seus membros nas reuniões ordinárias, fez um levantamento do número de faltas no último semestre. Os dados obtidos para os 48 membros participantes estão apresentados a seguir: 2 0 0 4 3 0 0 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 1 1 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Análise de dados 47 a) Especifique o tipo de variável estudada, classificando-a. b) Construa um diagrama de bastões. c) Construa uma tabela de frequências. d) Qual a proporção de membros que faltou no máximo a duas reuniões? e) Determine as frequências relativas. 4. A distribuição de frequências abaixo apresenta os salários dos 120 fun- cionários da empresa “A” . Salários (em S. M.) fi (n. o de funcionários) 0 ---- 5 52 5 |--- 10 38 10|--- 15 17 15|--- 20 8 20|---| 50 5 Total 120 Determine: a) A amplitude observada entre a 2.a e a 4.a classe. b) O salário médio da 4.a classe de frequências. c) A frequência acumulada da 3.a classe de frequências. d) Quantos funcionários que recebe entre 5 e 15 salários mínimos? e) Quantos funcionários que recebe pelo menos 10 salários mínimos? 5. Pesquisando-se o preço médio de fornos micro-ondas de diversas marcas em 28 lojas e pontos de venda em Curitiba, observou-se a se- guinte distribuição: Preço (R$) 192,00 220,00 240,00 255,00 262,00 280,00 Lojas 1 7 11 6 2 1 48 Análise de dados a) Calcule o preço médio do produto. b) Calcule o preço mediano. 6. Os dados abaixo apresentam as vendas semanais em classes de salá- rios mínimos de vendedores de gêneros alimentícios: Vendas semanais n.º de vendedores 20 – 30 2 30 – 40 10 40 – 50 18 50 – 60 50 60 – 70 70 70 – 80 30 80 – 90 18 90 – 100 2 Total 200 a) Determine o número médio de vendas semanais. b) Determine o desvio-padrão e o coeficiente de variação das vendas semanais. 7. Trinta embalagens plásticas de mel foram pesadas com precisão de decigramas. Os pesos, após convenientemente agrupados, fornece- ram a seguinte distribuição de frequências (em gramas): Xi 31,5 32,5 33,5 34,5 35,5 36,5 fi 1 5 11 8 3 2 Determine: a) A média da distribuição dos pesos das embalagens. b) A mediana dos pesos. c) A moda dos pesos. d) A variância dos dados. Análise de dados 49 8. A tabela abaixo apresenta as taxas de juros do rotativo, cobradas pelos cartões de crédito, em determinado mês. American Express 10,95 30 Horas Visa Gold 11,90 Federal Card Nac. 9,80 D is po ní ve l e m : F ol ha d e Sã o Pa ul o/ Ca de rn o D in he iro . Credicard Nac. 9,20 30 Horas Visa Int. 11,90 Federal Card Int. 9,80 Credicard Intern. 9,04 Ourocard Intern. 8,50 Federal Card Gold 9,50 Diners 10,70 BFB Gold 9,90 HSBC Open Card 10,50 Bradesco Nac. 10,32 BFB Intern. 9,90 HSBC Gold 5,90 Bradesco Intern. 10,22 Sudameris Classic 10,20 Bradesco Gold 9,53 Sudameris Gold 10,20 a) Qual a taxa média cobrada no mercado? b) Qual a taxa mediana? c) Qual o valor do desvio-padrão das taxas? O comportamento das taxas é homogêneo? d) Existe algum cartão que possa ser considerado um outlier, supon- do uma variação de 2 desvios da média? 9. A idade média dos candidatos a um determinado curso de aperfeiço- amento sempre foi baixa, na ordem de 22 anos. Como esse curso foi planejado para atender a todas as idades, decidiu-se fazer uma cam- panha de divulgação. Para verificar se a campanha foi ou não eficiente, fez-se um levantamento da idade dos candidatos à última promoção, e os resultados estão apresentados na tabela abaixo: Idade Número de candidatos 18 – 20 18 20 – 22 12 22 – 26 10 26 – 30 8 30 – 36 2 Baseando-se nesses resultados, você diria que a campanha produziu algum efeito (istoé, a idade média aumentou)? 50 Análise de dados 10. Os salários dos empregados da empresa “A” são 20% maiores que os da empresa “B”, para todos os empregados comparados individualmente. Com base nessa informação, podemos afirmar que: a) O desvio-padrão dos empregados é o mesmo para ambas as empresas. b) O desvio-padrão dos salários dos empregados da empresa “A” é 20% maior do que o dos salários da empresa “B’. c) O desvio-padrão dos salários dos empregados da empresa “A” é igual ao desvio-padrão dos salários dos empregados da empresa “B”, multiplicado pelo quadrado de 1,20 . d) Não há elementos para se comparar o desvio-padrão dos salários dessas empresas. Gabarito 1. a) Qualitativa nominal. b) Quantitativa contínua. c) Quantitativa contínua. d) Quantitativa discreta. e) Qualitativa nominal. f) Quantitativa contínua. 2. b, c, a, e, d. 3. a) Variável quantitativa discreta, pois o número de faltas é dado por um valor inteiro. Análise de dados 51 b) 5 10 15 20 25 30 M em br os Diagrama de Bastões Faltas 0 0 1 2 3 4 c) Distribuição de frequências Número de faltas Número de membros (f) 0 28 1 12 2 5 3 2 4 1 Total 48 d) No máximo duas reuniões é o mesmo que duas ou menos reuniões, logo será a soma das frequências de 0 + 1 + 2 dividido pelo total de casos. Proporção de no máximo 2 reuniões = 28 + 12 + 5 48 = 0,9375 ou 93,75% 52 Análise de dados e) Distribuição das frequências relativas Número de faltas Frequência relativa (fr) 0 0,583 1 0,250 2 0,104 3 0,042 4 0,021 Total 1 4. a) A amplitude entre a 2.ª e a 4.ª classes varia entre 5 (limite inferior da 2.ª classe) e 20 (limite superior da 4.ª classe), logo a Amplitude = 20 – 5 = 15. b) O salário médio da 4.ª classe é dado pela média entre 15 e 20, por- tanto, o valor é 17,5. c) A frequência acumulada da 3.ª classe será: 52 + 38 +1 7 = 107. d) O número de funcionários que recebem entre 5 e 15 salários míni- mos será dado pela soma dos que ganham entre 5 e 10 mais os que recebem entre 10 e 15 s.m., portanto, 38 + 17 = 55 funcionários. e) Pelo menos 10 s.m. é o mesmo que no mínimo 10 s.m. Sendo as- sim, será a soma das frequências das classes a partir de 10 s.m. O resultado será 17 + 8 + 5 = 30. Outra forma de cálculo seria subtrair do total os que ganham menos de 10 s.m., ou seja, 120 – 90 = 30. 5. a) Este é um caso de média ponderada, sendo assim a fórmula para a resolução é: = ∑ ∑ Xf X f = + + + + +(192).1 (220).7 (240).11 (255).6 (262).2 (280).1 28 = 6.706 28 239,50=X . Análise de dados 53 b) Para obter o preço mediano do produto, é necessário verificar a posição da mediana, ou seja: ( 1) 2 +=Med n P , logo a (28 1) 14,5 2 += =MedP , então a mediana será a média entre os valores ordenados correspondentes às posi- ções 14 e 15. Verificando na distribuição, temos os valores; XPos14 = 240,00 e XPos15 = 240,00. Portanto, como a média entre os valores será de 240,00, a mediana será 240,00. 6. a) Calcula-se o ponto médio das classes e obtém-se o resultado da média por meio da expressão: 12 480 62, 4 200 = = =∑ ∑ Xf X f Vendas (X) Freq (f) X.f 25 2 50 35 10 350 45 18 810 55 50 2 750 65 70 4 550 75 30 2 250 85 18 1 530 95 2 190 TOTAL 200 12 480 Ou, de outra forma, utilizando a frequência relativa: = ∴ = + + + =∑ 25.(0,01) 35.(0,05) ... 95.(0,01) 62, 4X XrelX .f 54 Análise de dados Vendas (X) Freq (f) X.f F relativa X. Freq rel 25 2 50 0,01 0,25 35 10 350 0,05 1,75 45 18 810 0,09 4,05 55 50 2 750 0,25 13,75 65 70 4 550 0,35 22,75 75 30 2 250 0,15 11,25 85 18 1 530 0,09 7,65 95 2 190 0,01 0,95 TOTAL 200 12 480 1 62,4 b) Como o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância, então pode- mos calcular a variância através da expressão: S2 = n – 1 ∑x2 . f – (∑x . f ) 2 n , em que precisamos obter os valores de ∑x2 . f X2 X2.f 625 1 250 1 225 12 250 2 025 36 450 3 025 151 250 4 225 295 750 5 625 168 750 7 225 130 050 9 025 18 050 ∑ 813 800 Logo, temos que a variância será: Análise de dados 55 S2 = 199 813 800 – (12 480)2 200 = 176,12 e dessa forma o resultado do desvio-padrão será obtido por meio de: 176,12 13,27= =S O coeficiente de variação será determinado por: .100%= SCV X , onde 13,27 .100% 21,3% 62, 4 = =CV 7. a) X = ∑xf 30∑f = (31,5).1 + (32,5) 5 + (33,5).11 + (34,5).8 + (35,5).3 + (36,5).2 = 30 1018= X = 33,93. b) ( 1) (30 1) 2 2 + += =Med n P = 15,5, logo, a mediana será a média entre os valores de X na posição 15 e na posição 16. O resultado da mediana será dado por + = = 33,5 33,5 Md 33,5 2 . c) A moda é representada pelo valor de maior frequência, e nesse caso a Mo = 33,5. d) A variância será expressa por: S2 = n – 1 ∑X2 . f – (∑X . f ) 2 n , em que obtemos os valores dos somatórios na tabela: Xi i Xi.fi X 2 X2.fi 31,5 1 31,5 992,25 992,25 32,5 5 162,5 1 056,25 5 281,25 33,5 11 368,5 1 122,25 12 344,75 34,5 8 276,0 1 190,25 9 522,00 35,5 3 106,5 1 260,25 3 780,75 36,5 2 73,0 1 332,25 2 664,50 1 018,00 34 585,50 56 Análise de dados Logo: S2 = 29 34 585,5 – (1 018)2 30 = 1,43 8. a) x = 1 n ∑ n i = 1 xi , em que x = 1 19 (10,95 + 9,20 + 9,04 + ... + 10,50 + 5,90) = 187,96 19 = 9,89. b) Após a ordenação dos valores, encontramos a posição da mediana dada por ( 1) (19 1) 2 2 + += =Med n P = 10, em que o valor de X na posição 10 corresponde a uma mediana igual a 9,9. c) O desvio-padrão será obtido pela raiz quadrada da variância, logo, a variância é: S 2 = n – 1 ∑X2 – (∑X) 2 n e obtendo os somatórios através da tabela a seguir: Taxas (X) X2 10,95 119,9025 9,2 84,64 9,04 81,7216 10,7 114,49 10,32 106,5024 10,22 104,4484 9,53 90,8209 11,9 141,61 Análise de dados 57 Taxas (X) X2 11,9 141,61 8,5 72,25 9,9 98,01 9,9 98,01 10,2 104,04 10,2 104,04 9,8 96,04 9,8 96,04 9,5 90,25 10,5 110,25 5,9 34,81 187,96 1 889,486 Temos: S2 = 18 1 889,49 – (187,96)2 19 = 1,67, logo o desvio-padrão será dado pela 1,67 1,29= . Para verificarmos se o grupo de dados é homogêneo, calcula- mos o coeficiente de variação (CV). Normalmente, grupos com dispersão relativa até 30% são considerados homogêneos. O cálculo do coeficiente de variação é dado por: .100%= SCV X ∴ 1,29 .100% 13,07% 9,89 = =CV Logo, as taxas cobradas no mercado são homogêneas. d) Será considerado um cartão outlier aquele em que a taxa cobrada do rotativo exceda os limites de X ± 2S, ou seja, 9,89 ± 2.(1,29). Sendo assim, os limites estarão entre 7,31 e 12,47. Dessa forma, o único valor fora desse intervalo corresponde a 5,90 do cartão HSBC Gold. 58 Análise de dados 9. Utiliza-se o ponto médio das classes como valor de X na classe (obser- ve que as classes têm amplitudes diferentes) e através da expressão X = ∑Xf ∑f obtém-se a média das idades. Então, X = 19.(18) + 21.(12) + 24.(10) + 28.(8) + 33.(2) 50 = 22,48 Logo, a campanha não surtiu efeito, pois a idade média permanece em torno de 22 anos. 10. B