CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III Aula 08

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Cálculo Diferencial e Integral III
Prof(a): Ana Lucia de Sousa
Aula 8
Objetivos
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Identificar uma equação linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Determinar a solução geral de uma equação não homogênea com coeficientes constantes.
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	EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES
Definição:
Uma EDO linear não homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes pode ser representada pela seguinte equação:
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Também podemos representar a equação da seguinte forma: 
Onde, a,b e c são constantes e f(x) é uma função de x.
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FUNÇÃO F(X)
Função f(x)?
f(x) pode ser uma função: a)Polinomial
b) Exponencial
c) Trigonométrica
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Exemplos:
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SOLUÇÃO GERAL
A solução geral da equação linear não homogênea é dada por:
Onde, 
yh(x) é a solução da equação linear homogênea.
yp(x) é uma solução particular.
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COMO ENCONTRAR A SOLUÇÃO GERAL?
Veja que o processo não é difícil. Devemos seguir as seguintes etapas:
Passo 1. Encontrar a solução homogênea yh(x).
Passo 2. Encontrar a solução particular yp(x).
Passo 3. Encontrar a solução geral da EDO y(x). Nesse caso basta somar as duas funções encontradas nos passos 1 e 2.
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COMO ENCONTRAR A SOL. HOMOGÊNEA yh(x)?
Vamos considerar a equação não homogênea abaixo:
Igualar a zero
Resolver a equação característica
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Resolver a equação característica
Resolvendo a equação do 2º grau encontramos as raízes:
A solução homogênea será:
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COMO ENCONTRAR A SOL. PARTICULAR yp(x)?
A solução particular será encontrada através do método dos coeficientes a determinar, também conhecido como Método de Descartes.
Esse método considera três casos.
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Seja a equação
Caso 1: f(x) é uma função exponencial ekx 
A solução particular será da seguinte forma: 
Onde h é o grau de multiplicidade de k (raiz da equação).
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Seja a equação
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Exemplo:
Seja a equação
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A solução particular yp é da forma
Vamos derivar yp até a derivada de mais alta ordem contida na equação.
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Vamos substituir na equação dada
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Solução geral:
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Seja a equação
Caso 2: f(x) é uma função polinomial de grau m.
A solução particular será dada por um polinômio de grau m + h, onde m é o grau da função f(x) e h é a ordem da derivada de menor ordem contida na equação dada inicialmente.
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Seja a equação
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Exemplo:
Seja a equação
A solução particular yp é da forma
Grau da função f(x): m = 2
Grau da menor derivada contida na equação: h = 0
Logo, a solução particular será um polinômio de grau 2, pois m + h = 2 + 0 = 2.
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Seja a equação
A solução particular yp é da forma
Vamos derivar yp até a derivada de mais alta ordem contida na equação.
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Vamos substituir na equação dada
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Solução particular:
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Solução da equação homogênea:
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Solução geral:
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Seja a equação
Caso 3: f(x) é uma função trigonométrica da forma senkx ou coskx. 
Nesse caso a solução particular será da forma
Onde h representa o grau de multiplicidade da raiz imaginária ki da equação característica.
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Vejamos:
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Exemplo:
Seja a equação
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A solução particular yp é da forma
Agora vamos derivar yp até a derivada de mais alta ordem contida na equação.
A eq. Característica não apresenta raiz complexa
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Vamos substituir na equação dada
Inicialmente.
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Resolvendo vamos encontrar:
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Solução geral:
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Atividade
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Soluções particulares
1. Determine a solução particular da edo
Solução:
Grau da função f(x): m = 1
Grau da derivada de menor ordem contida na equação: h = 1
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Grau da solução particular: m + h, logo teremos uma solução particular de grau 2, pois m + h = 1 + 1 = 2.
yp = Ax2 + Bx + C
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2. Determine a solução particular da edo
Solução:
h = 1, pois 2 é raiz da eq. Característica. Logo a solução particular será: 
 yp = Axe2x 
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3. Determine a solução particular da edo
Solução:
h = 1 e k = 1. Existe uma raiz imaginária i. Logo a solução particular será: 
 yp = (Asenx + Bcosx)x