Cálculo aplicado várias variáveis

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PERGUNTA 1
1. Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de alguma grandeza podem ser modelados matematicamente por meio do seguinte problema de valor inicial:
 ,
onde   é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou negativa. Considere a seguinte situação:
 
Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, assinale a alternativa que corresponde à expressão da função crescimento dessa população.
 
 
 
 
	
	
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PERGUNTA 2
1. Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem constante de   um capacitor com capacitância de   e um resistor com uma resistência de  . Sabe-se que esse circuito pode ser modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial:  , onde   é a carga, medida em coulombs.
 
Dado que  , assinale a alternativa correta.
 
 
	
	
	A função carga é expressa por .
	
	
	O fator integrante da EDO é .
	
	
	A EDO é uma equação linear de segunda ordem.
	
	
	A função corrente é expressa por .
	
	
	O fator integrante da EDO é .
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PERGUNTA 3
1. As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. O método de resolução de uma equação diferencial depende de algumas características apresentadas pela mesma. Por exemplo, equações diferenciais escritas na forma   são ditas equações diferenciais separáveis e resolvidas usando a integração em ambos os membros da igualdade.
 
Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A solução da equação   é  .
II. A solução da equação   é   .
III. A solução da equação   é  .
IV. A solução da equação   é  .
 
É correto o que se afirma em:
 
 
	
	
	I, II e IV, apenas.
	
	
	III e IV, apenas.
	
	
	II e III, apenas.
	
	
	I e III, apenas.
	
	
	II, III e IV, apenas.
 
 
 
 
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PERGUNTA 4
1. Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao trocarmos a função e suas derivadas na equação, o resultado obtido for uma igualdade verdadeira. Uma equação diferencial possui uma infinidade de funções como solução, caso nenhuma condição seja especificada. Por outro lado, dada uma condição, obtém-se uma solução particular para a equação diferencial.
 
Considere a equação diferencial  . Analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
I. (   )  Para   temos que   é solução da equação diferencial dada.
II. (   )  Para   temos que   é solução da equação diferencial dada.
III. (   ) Para  , temos que   é solução da equação diferencial dada.
IV. (   ) Para  , temos que   é solução da equação diferencial dada.
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
 
 
	
	
	V, V, V, F.
	
	
	V, V, F, F.
 
 
	
	
	F, V, V, F.
	
	
	F, V, V, V.
	
	
	V, F, V, F.
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PERGUNTA 5
1. “Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma  , onde   e   são funções contínuas” (STEWART, 2016, p. 1028). Se  , a equação é dita linear homogênea, caso contrário, se   a equação é dita linear não homogênea.
 
STEWART, J. Cálculo .
São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Com relação às equações homogêneas, assinale a alternativa correta:
 
 
	
	
	A equação diferencial  tem solução .
	
	
	A equação diferencial  tem solução .
	
	
	A equação diferencial  tem solução .
	
	
	A equação diferencial  tem solução .
	
	
	A equação diferencial  tem solução .
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PERGUNTA 6
1. Um circuito elétrico simples composto por um resistor  , um indutor   e uma força eletromotriz   (proporcionada por uma pilha ou gerador) pode ser modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial:  . Sabendo que essa equação é do tipo linear de primeira ordem, considere um resistor de  , uma indutância de   e uma voltagem constante de  .
 
Assinale a alternativa que corresponde ao fator integrante da EDO dada.
 
 
	
	
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PERGUNTA 7
1. De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo publicado em 1694”.
 
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa que corresponde à solução da equação diferencial  .
 
 
	
	
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PERGUNTA 8
1. Leia o excerto a seguir:
 
“A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é  . A queda de voltagem por causa do indutor é  . Uma das Leis de Kirchhoff diz que a soma das quedas de voltagem é igual à voltagem fornecida  . Então. temos  , que é uma equação diferencial de primeira ordem que modela a corrente no instante  ” (STEWART, 2016, p. 537).
 
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Considerando uma resistência de  , uma indutância de   e uma voltagem constante de  , assinale a alternativa que corresponde à expressão da corrente do circuito  quando o interruptor é ligado em  .
 
 
	
	
	
	
	
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PERGUNTA 9
1. Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem, consiste em determinar uma solução   que satisfaça às condições iniciais da forma   e  . Por meio dessas condições, é possível determinar o valor das constantes obtidas na solução geral.
 
Considere o seguinte PVI:  ,   e  . Analise as afirmativas a seguir:
 
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas.
II. A solução do PVI é  .
III. O valor de umas das constantes da solução geral é  .
IV. A EDO dada não é homogênea.
 
É correto o que se afirma em:
 
 
	
	
	I e II, apenas.
	
	
	II, apenas.
	
	
	IV, apenas.
	
	
	I e IV, apenas.
	
	
	I e III, apenas.
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PERGUNTA 10
1. As equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem podem ser expressas por meio da seguinte forma:  , onde   e   são funções contínuas. Para resolvermos equações desse tipo, precisamos escrever uma equação auxiliar, a qual é uma equação de segundo grau.
 
Com relação à solução de equações diferenciais lineares e homogêneas de segunda ordem, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
I. (   ) A equação auxiliar pode apresentar duas raízes reais distintas.
II. (   ) A equação auxiliar sempre apresenta raízes reais.
III. (  ) A equação auxiliar da EDO homogênea de segunda ordem   é expressa por  .
IV. (  ) A equação auxiliar de raízes complexas   e   apresenta como solução a função  .
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
 
 
	
	
	F, V, V, F.
	
	
	F, V, V, F.
	
	
	V, F, F, F.
	
	
	V, V, V, F.
	
	
	V, F, V, V.