Fenômenos (7RS) - 22-07-2020 - Regime Transiente A

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CONDUÇÃO TRANSIENTE
Universidade do Estado de Santa Catarina
Centro de Educação Superior do Oeste – CEO
Disciplina: Fenômenos de Transporte B
Profa. Marlene Bampi
PONTOS A SEREM ABORDADOS
CONDUÇÃO TRANSIENTE
 1 - Método da capacitância global
 Validade de método da capacitância global
 Análise Geral Via Capacitância Global
 2 – Efeitos espaciais (Soluções exatas e aproximadas) – dependência
da T com posição e tempo
 Sólidos finitos (parede plana, cilindros e esfera)
 Soluções Exatas
 Soluções Aproximadas
 Sólidos semi-infinitos
INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO TRANSIENTE
CONDUÇÃO TRANSIENTE
 As condições de contorno de um sistema mudam com o tempo
 As mudanças continuarão a ocorrer - até uma distribuição de
temperatura estacionária seja alcançada
 Ex: se a temperatura 
superficial de um 
sistema for alterada a 
temperatura em cada 
ponto do sistema 
também começará a 
mudar
OBJETIVO
CONDUÇÃO TRANSIENTE
 Determinar a dependência da distribuição da temperatura
no interior de um sólido em relação ao tempo durante um
processo transiente
 Determinar a transferência de calor entre o sólido e a
vizinhança
Transferência convectiva na camada do fluido circundando o sólido
Transferência condutiva no interior do sólido
CONDUÇÃO TRANSIENTE
Capacitância Global Efeitos espaciais
Situações possíveis
CONDUÇÃO TRANSIENTE
1 - Capacitância global/concentrada
 O gradiente de temperatura no interior do sólido pode ser
desprezado
CONDUÇÃO TRANSIENTE
2 – Efeito espaciais
 Quando o gradiente de temperatura no interior não é desprezível
 Utilizada para calcular a dependência da temperatura com a
posição e o tempo
 Para os sólidos finitos e sólidos semi-infinitos
CONDUÇÃO TRANSIENTE
 Admite a hipótese de que a temperatura do sólido é uniforme
no espaço, em qualquer instante durante o processo
transiente.
CAPACITÂNCIA GLOBAL
Figura 5.1: Resfriamento de um metal quente
CONDUÇÃO TRANSIENTE
CAPACITÂNCIA GLOBAL
 Balanço global de energia no sólido ou VC (Fig. 5.1)
 Consideração: sem geração de calor, nem calor entrando
 Na saída a pera de calor se deve ao mecanismo convectivo
Portando:
CONDUÇÃO TRANSIENTE
CAPACITÂNCIA GLOBAL
 Considerando a diferença de temperatura: 𝜃 = 𝑇 − 𝑇∞
 E reconhecendo que Τ𝑑𝜃 𝑑𝑡 = Τ
𝑑𝑇
𝑑𝑡, obtém-se:
 Separando as variáveis e integrando a partir da condição inicial:
 t = 0
 T(0) = Ti
onde: 𝜃𝑖 ≡ 𝑇𝑖 − 𝑇∞ 5.5
CONDUÇÃO TRANSIENTE
 Aplicando o exponencial de ambos os lados:
CAPACITÂNCIA GLOBAL
5.6
Fará com que um sólido responda
mais lentamente
 Constante de tempo térmico:
Rt - resistência à TC por convecção
Ct - capacidade térmica concentrada
 Indica que a diferença entre as
temperaturas do sólido e do fluido
devem diminuir exponencialmente
para zero à medida que t se
aproxima do infinito.
CONDUÇÃO TRANSIENTE
 O total de energia transferida Q em algum instante de tempo t, pose
ser determinado por:
Energia total transferida
5.6
5.8a
5.8b
Q = + resfriamento do sólido
Q = - aquecimento do sólido
5.7Lembrando: 
 Integrando e substituindo θ da equação acima, pelo θ obtido da
equação 5.6
 Q está relacionada com a mudança da energia interna do sólido,
portanto:
 Obtemos a equação 5.8a:
CONDUÇÃO TRANSIENTE
VALIDADE DO MÉTODO DE CAPACITÂNCIA GLOBAL
 O Método do Capacitância Global é o método mais simples e
conveniente que pode ser utilizado na solução de problemas
transientes de aquecimento e resfriamento.
 Desta forma, é importante determinar sob quais condições
ele pode ser empregado com precisão satisfatória.
CONDUÇÃO TRANSIENTE
 Quando se pode aplicar o Método da Capacidade Global?
VALIDADE DO MÉTODO DE CAPACITÂNCIA GLOBAL
 Como analiso ou avalio para saber se posso aplicar o Método
da Capacidade Global?
CONDUÇÃO TRANSIENTE
VALIDADE DO MÉTODO DE CAPACITÂNCIA GLOBAL – PAREDE PLANA
 Em estado estacionário
qcond = qconv
 Rearranjando: 
Bi = Número de Biot (adimensional)
Influência do número de Biot
na distribuição da temperatura
5.9
CONDUÇÃO TRANSIENTE
 O método de capacitância global é preferido para a resolução
de problemas transientes, devido a sua simplicidade
 Biot – Fornece a queda da temperatura no sólido
Fig 5.4 - Distribuições de T transientes para diferentes nº de Biot em
uma parede plana simetricamente resfriada por convecção.
T < Ts
VALIDADE DO MÉTODO DE CAPACITÂNCIA GLOBAL – PAREDE PLANA
CONDUÇÃO TRANSIENTE
 No entanto a primeira providência a ser tomada é calcular o
número de Biot,
5.10
 Lc para a capacitância global
VALIDADE DO MÉTODO DE CAPACITÂNCIA GLOBAL – PAREDE PLANA
CONDUÇÃO TRANSIENTE
 Trabalhando com o expoente da equação 5.6
VALIDADE DO MÉTODO DE CAPACITÂNCIA GLOBAL
(5.6)
Multiplicando o numerador e o denominador por Lck
Definindo como Fourier 
Fourier é um tempo
adimensional que, com o
n° de Biot, caracteriza
problemas de condução
transiente
(5.11)
 Subst. Eq. (5.11) na (5.6)
(5.13)
(5.12)
CONDUÇÃO TRANSIENTE
VALIDADE DO MÉTODO DE CAPACITÂNCIA GLOBAL
CONDUÇÃO TRANSIENTE
 Quando os gradientes de temperatura no interior do meio NÃO são
desprezíveis
 A aplicação do Método da Capacitância Global é inadequado
EFEITOS ESPACIAIS
 As soluções das Equações Diferenciais Parciais (EDP) fornecem a
variação da temperatura com o tempo e com as coordenadas
espaciais.
CONDUÇÃO TRANSIENTE
 Uma alternativa é a solução da equação do calor para resolver
problemas de condução transiente de calor Placa, cilindro e esfera
 A solução dessas equações fornecem a variação da
temperatura com o tempo e com as coordenadas espaciais
 Soluções exatas
 Soluções aproximadas
EFEITOS ESPACIAIS
CONDUÇÃO TRANSIENTE
 Considerações:
 Condições simétricas
 Sem geração de energia interna
 Condutividade térmica constante
 Somente uma coordenada espacial
Parede Plana T(x,t) com convecção
(2.17)
Lembrando
(5.26)
CONDUÇÃO TRANSIENTE
 Para resolver a Eq. 5.26 = encontrar a distribuição de temperatura
T(x,t) é necessário especificar a condição inicial e duas de contorno
(5.26)
qcond = qconv
Parede Plana T(x,t) com convecção
CONDUÇÃO TRANSIENTE
 As temperaturas na parede dependem de uma série de parâmetros
físicos:
(5.30)
(5.34)
(5.36)
 Para simplificar a solução, adimensionalizar as equações se torna
importante
(5.35)
Parede Plana T(x,t) com convecção
CONDUÇÃO TRANSIENTE
 Substituindo os números adimensionais na eq. 5.26
(5.26)
Assim como as
condições de contorno
(5.34)
 Escrevendo a equação em termos de θ*, x* e t* tem-se:
Parede Plana T(x,t) com convecção
CONDUÇÃO TRANSIENTE
 Com base nas substituições anteriores
 Lembrando:
Parede Plana T(x,t) com convecção
CONDUÇÃO TRANSIENTE
 Solução da eq. (5.34) adimensionalizada
(5.34)
 A solução da equação adimensionalizada é dada por:
 Solução exata
 Solução aproximada
Parede Plana T(x,t) com convecção
CONDUÇÃO TRANSIENTE
 Uma solução exata para a distribuição da temperatura para
esse problema tem a forma:
Cn - Coeficiente
ζ n – Raizes
Solução Exata - Parede Plana T(x,t) com convecção
 Os auto-valoresde ζn são raízes positivas da equação
transcendental
 As quatro primeiras raízes dessa equação são fornecidas no
Apêndice B.3.
CONDUÇÃO TRANSIENTE
Solução Exata - Parede Plana T(x,t) com convecção
CONDUÇÃO TRANSIENTE
 Se Fo > 0,2 * a solução da série infinita pode ser aproximada pelo
primeiro termo da série.
Pq Cos (0) = 1
 Portanto a forma adimensional da distribuição de temperaturas fica:
 𝜁1 e 𝐶1 são tabelados em função de Bi Tabela 5.1
 Sendo:
ou 
Representa a temperatura 
adimensional no plano central (x*= 0). 
Solução Aproximada-Parede Plana T(x,t) com convecção
CONDUÇÃO TRANSIENTE
Solução Aproximada-Parede Plana T(x,t) com convecção
CONDUÇÃO TRANSIENTE
 Em muitos situações é útil conhecer a energia total que deixou (ou
entrou) a parede até um dado t, em processo transiente
 A exigência de conservação de energia pode ser aplicada
Transferência Total deEnergia - Parede Plana com convecção
 Considerando propriedades termofísicas constantes, obtém-
se que:
onde
 Considerando que não tem geração e nem entrada
 Quantidade máxima de energia
que pode ser trocada
CONDUÇÃO TRANSIENTE
SISTEMAS RADIAIS COM CONVECÇÃO
 Para um cilindro infinito (L/r0 ≥ 10) ou uma esfera com
raio r0 que está inicialmente a uma temperatura uniforme
e passa por uma mudança nas condições convectivas,
resultados semelhantes aos obtidos para a placa plana
podem ser desenvolvidos.
CONDUÇÃO TRANSIENTE
SOLUÇÕES EXATAS - CILINDRO INFINITO COM CONVECÇÃO
𝑟∗ =
𝑟
𝑟0
 Cilindro Infinito (L >>> r0)
 Os auto-valoresde ζn são raízes positivas da equação
transcendental
CONDUÇÃO TRANSIENTE
SOLUÇÕES EXATAS - CILINDRO INFINITO COM CONVECÇÃO
CONDUÇÃO TRANSIENTE
SOLUÇÕES APROXIMADAS - CILINDRO INFINITO COM CONVECÇÃO
 Se Fo > 0,2 * a solução da série infinita pode ser aproximada pelo
primeiro termo da série.
 A dependência da temperatura em relação ao tempo em qualquer
ponto do interior do sistema radial é a mesma que na linha de
centro ou no ponto central (r = 0).
 𝜁1 e 𝐶1 são tabelados em função de Bi Tabela 5.1
5.52c 
CONDUÇÃO TRANSIENTE
SOLUÇÕES EXATA - ESFERA COM CONVECÇÃO
 De forma análoga para a esfera
 Os valores de ζn são raízes positivas da equação transcendental
CONDUÇÃO TRANSIENTE
SOLUÇÕES APROXIMADA - ESFERA COM CONVECÇÃO
 Se Fo > 0,2 * a solução da série infinita pode ser aproximada pelo
primeiro termo da série.
ou 
 Na qual 𝜃0
∗ representa a temperatura adimensional no plano central
(r*= 0).
 𝜁1 e 𝐶1 são tabelados em função de Bi Tabela 5.1
5.53c 
CONDUÇÃO TRANSIENTE
 Cilindro
Transferência Total de Energia–Sistemas radiais com convecção
 Esfera
 Os valores para as temperaturas centrais 𝜃0
∗ são determinados pelas
equações 5.52c e 5.53c, usando os coeficientes da Tabela 5.1.
RESUMO
CONDUÇÃO TRANSIENTE
Pontos abordados
 Método da capacitância global – gradientes de T no interior
podem ser desprezados
 Validade de método da capacitância global
 Efeitos espaciais - gradientes de T no exterior podem ser
desprezados
 Parede plana com convecção
 Sistemas radiais com convecção