01 Análise matemática

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18/11/2020 UNIASSELVI - Centro Universitário Leonardo Da Vinci - Portal do Aluno - Portal do Aluno - Grupo UNIASSELVI
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Disciplina: Análise Matemática (MAT27)
Avaliação: Avaliação I - Individual Semipresencial ( Cod.:657270) ( peso.:1,50)
Prova: 26513886
Nota da Prova: 10,00
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. Um dos mais icônicos escritos da matemática do século XIX foi o famoso Formulaire de Mathematiques, de Giuseppe Peano.
 
Nele Peano, matemático italiano, formulou os famosos axiomas dos números naturais. Ferramenta que desenvolveu fortemente a Análise Matemá
eles:
 
? Zero é um número.
 ? Se a é um número, o sucessor de a é um número.
 ? Zero não é o sucessor de um número.
 ? Dois números cujos sucessores são iguais são eles próprios iguais.
 ? Se um conjunto S de números contém o zero e também o sucessor de todo número de S, então todo número está em S.
 
Baseado nisto, assinale a opção de uma proposição que pode ser provada a partir do uso destes axiomas:
 a) Todo subconjunto dos números naturais é enumerável.
 b) Seja X um conjunto finito e Y um subconjunto de X. Então Y também é finito e possui no máximo o mesmo número de elementos de X.
 c) Raiz de 2 é um número irracional.
 d) Sejam m, n e p três números naturais quaisquer. Então (m + n) + p = m + (n + p).
2. Análise é o ramo da matemática que lida com os conceitos introduzidos pelo cálculo diferencial e integral, medidas, limites, séries infinitas e funçõ
analíticas. Porém, seu início se dá em um estudo bastante elementar à nossa visão, mas que é de fundamental importância no estudo dos concei
anteriormente citados, os conjuntos numéricos. Quanto às propriedades dos conjuntos numéricos a seguir, classifique V para as sentenças verdad
para as falsas:
 
( ) Se A não foi finito, dizemos que A é infinito.
 ( ) O conjunto dos números naturais N é finito. 
 ( ) O conjunto dos números inteiros Z não é enumerável.
 ( ) Não existe bijeção entre um conjunto finito e um subconjunto próprio dele mesmo. 
 
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) F - V - V - F.
 b) V - V - F - F.
 c) V - F - F - V.
 d) F - F - V - V.
3. Os conjuntos numéricos foram surgindo à medida que certas operações aritméticas não eram fechadas dentro dos conjuntos em que eram realiza
Assim, por exemplo, o conjunto dos números inteiros surgiu como extensão do conjunto dos números naturais. Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Os números naturais são fechados com relação à adição.
 b) Os números irracionais são fechados com relação à divisão.
 c) Os números racionais são fechados com relação à divisão.
 d) A subtração de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional.
4. Na matemática, toda e qualquer afirmação precisa ser provada a partir de fatos considerados válidos ou verdadeiros. Uma vez provada a afirmaçã
para sempre. Basicamente existem três tipos de provas matemáticas. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta os três tipos de provas:
 a) Prova indireta, prova por indução e prova por comparação.
 b) Prova direta, prova por comparação e prova por absurdo.
 c) Prova concreta, prova por comparação e prova por contradição.
 d) Prova direta, prova por indução e prova por absurdo.
5. Durante o aprendizado em matemática, e em particular no estudo da analise matemática, faz-se necessário construir os raciocícios ligados aos m
transformação. A parte mais importante e mais complicada talvez seja o processo de decidir qual estratégia será utilizada para demonstrar certo te
propriedade ou proposição. Baseado nisto, para mostrar que a raiz de 2 é irracional, o tipo mais aconselhado de demonstração a ser utilizado é a 
 a) Absurdo.
 b) Indução.
 c) Prova direta.
 d) Contradição.
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6. Observe as provas matemáticas e associe os itens, utilizando o código a seguir:
 
I- Prova por Absurdo.
 II- Prova Direta.
 III- Prova por Indução.
 
( ) Prove que:
 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)
 i - para n = 1
 2 = 1(1+1) = 2
 ii - considerando válido para n = k, verificamos a validade para n = k + 1
 2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1)
 2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
 2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 2)(k + 1)
 2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
 
( ) Prove que existem infinitos números primos.
 Suponha que não existam infinitos números primos, portanto deve haver um último número primo, o maior de todos, o P. Se multiplicarmos todos 
primos entre si e somarmos 1 ao resultado, teremos um número Q, que não é divisível por nenhum número primo. Ora, mas se Q não é divisível p
número primo, deve ser primo também e maior que P, logo não faz sentido dizer que P é o maior e último número primo. Conclui-se que existem i
números primos.
 
( ) Prove que (a + b)² = a² +2ab + b².
 (a + b)² = (a + b) (a + b)
 = a(a + b) + b(a + b)
 = a² + ab + ab + b²
 = a² +2ab + b²
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) II - I - III.
 b) III - I - II.
 c) III - II - I.
 d) I - III - II.
7. Quanto ao método de demonstração por redução ao absurdo, sabemos que a teoria é muito curta e intuitiva, porém a prática pode ser muito comp
Para demonstrar alguma proposição por absurdo, você deve assumir que a negação dela é verdadeira e com isso mostrar que a veracidade da ne
implica que a negação seja falsa, que de acordo com a hipótese inicial, torna a negação falsa e a afirmação verdadeira. Baseado nesta técnica, a
sentenças que podem ser provadas por redução ao absurdo:
 
I) Se x + x = x, obrigatoriamente x = 0.
 II) Mostrar que o conjunto dos racionais é enumerável.
 III) Mostrar que a soma dos primeiros n números pares é n + n².
 IV) Provar que raiz de 3 é irracional.
 
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) As sentenças I e IV estão corretas.
 b) As sentenças I, II e IV estão corretas.
 c) As sentenças I e II estão corretas.
 d) As sentenças II e III estão corretas.
8. Existem alguns métodos de demonstração conhecidos. Porém, os mais importantes da matemática são os métodos da indução, a demonstração d
redução ao absurdo. Baseado nestes casos, assinale a alternativa CORRETA que pode ser provada pelo método da demonstração por absurdo:
 a) Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n² para todo número natural n.
 b) Para todo número real a não nulo, temos que a . 0 = 0.
 c) Teorema de Tales.
 d) Se m é um número inteiro e m² é um número par, então m também é um número par.
9. Os conjuntos com uma infinidade de elementos, também chamados de conjuntos infinitos, têm propriedades que muito intrigaram e surpreenderam
matemáticos ao longo da história. Por este motivo, várias são as possibilidades dentro da analise matemática para comprovar que um conjunto é 
Para concluir que um conjunto é infinito, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas, em seguida,assinale a alternativa que ap
sequência CORRETA:
 a) V - V - V - F.
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 b) F - V - V - F.
 c) F - V - F - V.
 d) V - V - F - F.
10.Normalmente, o ato de somar nos remete a um processo simples. Contudo, na analise matemática, podem ser provadas várias propriedades da a
números naturais. Estas provas podem ser feitas por indução, e não são tão simples quanto o usual ato de somar números. Sobre as propriedade
adição dos números naturais, analise as opções a seguir:
 
I- Comutatividade.
 II- Associatividade.
 III- Elemento inverso.
 IV- Lei do corte.
 
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) As sentenças I, II e IV estão corretas.
 b) As sentenças II e III estão corretas.
 c) As sentenças III e IV estão corretas.
 d) As sentenças I e III estão corretas.
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