I AVALIAÇÃO DE ANÁLISE MATEMÁTICA

Prévia do material em texto

Peso da Avaliação1,50 Prova41446956 Qtd. de Questões10 Acertos/Erros9/1 Nota9,00 
 
1.Muitas vezes, para utilizarmos a demonstração por indução, é necessário primeiramente concluir o termo 
geral da sequência ou série que se está trabalhando. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o termo 
geral da série gerada pela soma dos números naturais: 
(A) (n²+n)/2 
(B) n(n+2)/2 
(C)(n²+n)/2n 
 (D) n(n²+2)/2n 
2Muitas vezes, para provar que um conjunto é enumerável, precisamos construir uma função que associe 
cada um dos elementos do conjunto a um número natural, em seguida, provamos que esta função é injetora e 
assim concluímos que o conjunto é enumerável. Qual das seguintes funções dos naturais em X é a função 
que prova que o conjunto X={1, 2, 6, 24, 120, ...} é enumerável? 
 
(A) n! 
(B) (n-1)n 
(C) (n-1)n! 
(D) (n+1)! 
 
3Observe as provas matemáticas e associe os itens, utilizando o código a seguir: 
 
I- Prova por Absurdo. 
II- Prova Direta. 
III- Prova por Indução. 
 
( ) Prove que: 
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1) 
i - para n = 1 
2 = 1(1+1) = 2 
ii - considerando válido para n = k, verificamos a validade para n = k + 1 
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1) 
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) 
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 2)(k + 1) 
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2) 
 
( ) Prove que existem infinitos números primos. 
Suponha que não existam infinitos números primos, portanto deve haver um último número primo, o maior 
de todos, o P. Se multiplicarmos todos os números primos entre si e somarmos 1 ao resultado, teremos um 
número Q, que não é divisível por nenhum número primo. Ora, mas se Q não é divisível por nenhum 
número primo, deve ser primo também e maior que P, logo não faz sentido dizer que P é o maior e último 
número primo. Conclui-se que existem infinitos números primos. 
 
( ) Prove que (a + b)² = a² +2ab + b². 
(a + b)² = (a + b) (a + b) 
 = a(a + b) + b(a + b) 
 = a² + ab + ab + b² 
 = a² +2ab + b² 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
(A) I - III - II. 
(B) II - I - III. 
(C) III - I - II. 
(D) III - II - I. 
 
4Quando conhecemos as propriedades de um conjunto X, por muitas das vezes, podemos aferir condições 
existentes para quaisquer subconjuntos não-vazios de X. Pois os subconjuntos carregam as propriedades e 
características do conjunto em que estão contidos. Sobre as propriedades que qualquer subconjunto X não-
vazio dos naturais possuem, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) X é infinito. 
( ) X é limitado. 
( ) X possui elemento neutro. 
( ) X possui um maior elemento. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
(A) V - F - V - V. 
(B) F - F - V - V. 
(C) V - V - F - F. 
(D) F - V - F - V. 
 
5Muitas vezes pensamos que a Análise Matemática procura provar fatos que intuitivamente parecem ser 
bastante simples. É claro que a matemática que conhecemos hoje é fruto de uma grande quantidade de anos, 
onde estudos foram cada vez mais aperfeiçoados, sendo que, hoje ainda existem problemas matemáticos 
ainda não resolvidos. Logo, partindo de um fato simples, a multiplicação de números naturais, analise as 
sentenças que são provadas matematicamente: 
 
I- Dados três números naturais m, n e p, m . (n + p) = m . n + m . p. 
II- Dados três números naturais m, n e p, m . (n . p) = (m . n) . p. 
III- Sejam m, n, temos que m . n = m . (-n). 
IV- Seja m natural, temos que m é sucessor de algum número. 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 
(A) Somente a sentença I está correta. 
(B) As sentenças II e III estão corretas. 
(C) As sentenças I e II estão corretas. 
(D) As sentenças I, II e IV estão corretas. 
6-Todo o subconjunto não vazio A contido no conjunto dos números naturais N possui elemento mínimo. 
Esse teorema refere-se ao: 
(A) Princípio de simetria. 
(B) Princípio da Igualdade. 
(C) Princípio da boa ordenação. 
(D)Princípio do não vazio. 
7-Ao realizar-se uma prova matemática, é necessário ter muito claro o fato de qual modalidade de 
demonstração que será utilizada. Para tanto, um conhecimento teórico de qual sistemática que cada método 
possui é fundamental. Baseado nisto, acerca da demonstração por indução, assinale a alternativa 
CORRETA: 
(A) A partir das hipóteses contidas na afirmação a ser provada, utilizam-se argumentos lógicos válidos para 
se chegar à tese. 
(B) É aplicado quando o resultado a ser provado envolve indexação por números naturais (índices naturais). 
(C) Nega-se o que deve ser provado. 
(D) Contradiz-se uma das hipóteses contidas na afirmação. 
 
8Durante o aprendizado em matemática, e em particular no estudo da análise matemática, faz-se necessário 
construir os raciocínios ligados aos métodos de transformação. A parte mais importante e mais complicada 
talvez seja o processo de decidir qual estratégia será utilizada para demonstrar certo teorema, propriedade ou 
proposição. Baseado nisto, para mostrar que a raiz de 2 é irracional, o tipo mais aconselhado de 
demonstração a ser utilizado é a por: 
 
(A) Prova Direta. 
(B) Absurdo. 
(C) Contradição. 
(D) Indução. 
 
9Existem alguns métodos de demonstração conhecidos. Porém, os mais importantes da matemática são os 
métodos da indução, a demonstração direta e a redução ao absurdo. Baseado nestes casos, assinale a 
alternativa CORRETA que pode ser provada pelo método da indução: 
 
(A) Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n² para todo número natural n. 
(B) Teorema de Tales. 
(C) Se m é um número inteiro e m² é um número par, então m também é um número par. 
 (D) Para todo número real a não nulo, temos que a . 0 = 0. 
 
100Quanto ao método de demonstração por redução ao absurdo, sabemos que a teoria é muito curta e 
intuitiva, porém a pratica pode ser muito complicada. Para demonstrar alguma proposição por absurdo você 
deve assumir que a negação dela é verdadeira e com isso mostrar que a veracidade da negação implica que a 
negação é falsa, que de acordo com a hipótese inicial, torna a negação falsa e a afirmação verdadeira. 
Baseado nesta técnica, analise as sentenças a seguir que podem ser provadas por redução ao absurdo: 
 
I- Se x + x = x, obrigatoriamente x = 0. 
II- Mostrar que o conjunto dos racionais é enumerável. 
III- Mostrar que a soma dos primeiros n números pares é n + n². 
IV- Provar que raiz de 3 é irracional. 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 
(A) As sentenças I e IV estão corretas. 
(B) As sentenças II e III estão corretas. 
(C) As sentenças I e II estão corretas. 
(D) As sentenças I, II e IV estão corretas.