Lista - Derivada direcional e gradiente

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UNIPAC 
 Universidade Presidente Antônio Carlos 
 
 LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
 
ASSUNTO: Derivadas direcionais e o vetor gradiente 
 
01) Determine a derivada direcional de f no ponto dado e a direção indicada pelo 
ângulo . 
a) 
3
),2,1(,2),( 432

 =−+= yxyxyxf 
b) 
6
),1,4(,45),(

 −=−= yxyxf 
02) Encontre o gradiente de f, calcule-o no ponto P e determine a taxa de variação de 
f em P na direção do vetor u, em cada caso: 
a) 
13
12
,
13
5
),2,1(,45),( 32 =−= uPyxxyyxf 
b) 
3
1
,
3
1
,
3
1
),1,2,1(,),,( 32
−
=−= uPzxyzyxf 
03) Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v. 
a) 3,4),4,3(,21),( −=+= vyxyxf 
b) jivestsg t +== ),0,2(,),( 2 
c) 3,6,6),2,2,1(,),,(
222 −−=−++= vzyxzyxf 
 
04) Determine a derivada direcional de xyyxf =),( em P(2,8) na direção de 
Q(5,4). 
 
05) Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso 
ocorre. 
 
a) )0,1(,3.),( yexyxf y += − 
b) )0,1(),(),( xysenyxf = 
c) )1,3,4(,),,( −+=
z
y
xzyxf 
 
06) Suponha que numa certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por 
zxyxyxzyxV +−= 35),,( 2 . 
a) Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do vetor v 
= i+j–k. 
b) Em que direção V varia mais rapidamente em P? 
c) Qual a taxa máxima de variação em P? 
 
07)A superfície de uma montanha é modelada pela equação 
h(x,y) = 5000 – 0,001x2 -0,004y2. Um alpinista está no ponto (500, 300, 4390). 
Em que direção o alpinista deve se mover para subir com a maior taxa? 
 
 
08)A temperatura, em graus Celsius, na superfície de uma placa de metal é 
22420),( yxyxT −−= , onde x e y são medidos em centímetros. Em qual direção a partir 
de (2,3) a temperatura cresce mais rapidamente? Qual a máxima taxa de crescimento? 
 
 
 
Respostas 
 
01) a) 1637 − b) 
4
1
3
16
5
+ 
02) a) 322 410,125),( xxyyxyyxf −−= , 16,4− , 
13
172
 
 b) 22332 3,2,),,( zxyxyzzyzyxf = , 12,4,4 − , 
3
20
 
03) a) 
10
23
 b) 24 c) 
9
4
 
04) 
5
2
 
05) a) 2,1,5 , b) 1,0,1 , c) 3,1,1,11 −− 
06) a) 
3
32
 b) 12,6,38 c) 4062 
07) -i - 2,4j 
08) direção do vetor –16i–6j; aproximadamente 17,09 graus/centímetro