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Aula 13 - Produto escalar entre vetores/Ortogonalidade Def O produto escolar ou produto n enterno entre dois vetores do R ii eu é o número n V.V Upon Ur Tat Union Ui Oi produto escapar in outra notação Lu v v.v Exemplo Ele Hit V.V 1 3 2.5ft f 3 2 3 10 6 p Teorema Sejam U V e w vetores da lã e a um número real Então a V.V V U b v v W v.v U w c Ku V KLU.it 4 kv d u.us 0 e v.v o ao trava d U UM Us U t 42.4 t Un Un Usp UIT the 70 U.u 142 444 Unf O To União NÃO funfo Up U2 Um O U O F umfiqd.at V.V 2T 2 3 2 6 4 LO U.U 1 1 2 I 2 1 4 5 Vou 2 1 3 C 2 2 6 4 Exemplo mostre que Utv UH LUN U UN V v Vtv V utu U.U 1 4 v t V U t V.V U.U 2 v.v v.v Definição O comprimento ou normal do vetor v µ é o número 11H t.ve comprimento ou norma do vetor V Hull MNitwit font Enzo v NA O l à E É 1 O tt 4 1 9 CÁ teorema Sejam v um vetor do ir e k um número real Então a Hull o v _o VÉI b 4h41 1141141 Def Normalizar um vetor não nulo v é multiplicar o vetor pelo inverso do seu comprimento Exemple Normalize o vetor I Redação HV It NÉ MI mi ETEÊ Hull Ft 14 Hull M 1 Ef Um vetor unitário é todo vetor com compumento qual a 1 Teorema Desigualdade de Candy Schwarz Para quaisquer vetores u e V do fê NY eHull IIVII v.v O 4 3 6 7 6 1 UH VÉI 3N HUH o y 1 g v.v L Hull Hull teorema Desigualdade triangular Para quaisquer vetores u e V do ir HutVII e II ulltllvh.pro Hum à utu un U.U t 2 v.v 1 V.v e U.U 214.01 V.V E 11412 2 1141.1141 11h12 HUH 11h15 U U V H U t vH I 11411 1141 ExempIo p a µ un µ UNA Í A Hull FÃO p VII FI Hut VII e Hull 1 1141 Fã ã pena VI 6 6 E 8.4 Ref A distância entre os pontos a E eu i número d un 11 u VII Energy Determine a distância entre 4 4 p II tt tdlu v HU VH f2 1 t 1 2 Vetores ortogonais DI Dois vetores u e v do nê são ortogonais se v.v 0 Exemple se Iv _µ V.V O O O O go u e V são ortogonais ie v.v O 2 6 8 0 Logo a e V são ortogonas Teorema de Pitágoras III Para todos os vetores reev de ir HutVII_HulftHolf v.v O vetores ortogonais Prova 11UNIR Mit 2 v.v 11VIR Ímos 114ft IIVII u 1141 1141 Conjuntos ortogonais de vetores Def Um conjunto de vetores va va vial da Rn é um conjunto ortogonal se todos os pares de vetores distintos forem ortogonais isto é vi Vj 0 se é z e 1,2 ik J 1,2 K Exempt A base canônica desta en do ar é um conjunto ortogonal E cz O i Ci ej 0 se é j FEmpho Mostre que 1 h K V b é um subconjunto ortogonal do ir sendo 4 I vel Y_µ Resolução 4 Vz U2 V O 1 1 0 VI Vs Vsvs 2 1 1 0 z.ws vz.dz O 1 1 O Teorema se 14 va VII é um conjuntoortogonal de vetores não nulos de pê então vi vz Url é linearmente independent fro va C V Cz V z Cicva O 9 Vs t Cruz Clave Vp ONy O 1 vn.vn Cruz V t 1 KVK.tk O 1141170 O 0 Logo q 0 Analogamente c Cz Ck 0 Det Uma Laser de um subespaço vetorial w do Mn é ortogonal ser por um conjunto ortogonal Enremplo Os vetores A ftp.viff evs ff formam uma base ortogonal da ré Redução já vimos que µ K Us é um conjunto ortogonal com vetores não nulos Logo 44 vais 1 él r tartufo base ortogonal do pé Teorema Seja B Lv vn V e uma baseortogonal de um subespaço vetorial Wdf IR Seja w e W Então as coordenadas K de w na base B são dadas por Ci W Vi i p 2 K vi vi m 7 7 www.villvrlf Justificativa W 44 lzvz i t CKVKW.vpfpvr lzvz i I CK.vn V C Vp Vp T czvz.bg t CKVK.ve 0 O q w.ve Analogamente Viva O O Analogamente Cz W.ve Cr w.LI vk.ve Exemplo Determine as coordenadas do vetor w É em relação à base ortogonal B 4 Va Va V Y onde viii tititi Resolução C With L 12 3 1 Vivi 4 1 1 6 W 0 2 3 E z.ve 0 1 1 2 W 3 1 2 3 2 3 Vs 1 1 1 3 miff Hittite iii Hit Def Um conjunto de vetores Iva Mcl da Rn é um conjunto orto normal se Vai Nr for um conjunto ortogonal e Live Via são vetores decomprimento1 isto é vi Vj O sei j o Vi vi L se e p Def Uma base orto normal de um subespaço vetorial w é uma base de w que é um conjunto ortonormal Ii mind B 14 V S é uma baseorthonormal do Mpas 4 vi viva FÉ É FÉ O 4 V t t t t t t É tt f 1 4 A Ir É E E É f t f t f f 1 Logo B é uma base orto normal do à Teorema Seja B viva V e uma base orto normal de um subespaço vetorial W de IR Seja w e W Então as coordenadas K de w na base B são dadas por i W Vi i 1 2 K Projeção ortogonal 7 U 7 A W ptgwt fv.EE it O SejamW um subespaço vetorial de Mel vk.ua 1 Uk uma base ortogonal de W A projeção ortogonal de um vetor V sobre W é o vetor www fi mtlIItm ifiFteExempb W ffIz a y 23 0 III Encontre prywlv Resolução W ftp.a ytsz o taxi B III f é base de w mas w não é base ortogonal e w f Y Us O Y 2J y O 2J 22 0 y p we musé base ortogonal III III www fi fm lIifu fzHl fFtfit l tH Processo de Ortogonalização de Gram Schmidt Seja Ya Mr base de um subespaço vetorial W.de m Define V Xp E K f ti s pfvr a vi link felitti Então unir Mas é base ortogonal deW Exemple EI HI W span Xp Xu XD B ftp.xnxzt é base de W vem nf i O l ZKxa fj.IN 4 tititi É z im FÉ tititi i Mínimos Quadrados F à ir o_projw v i i itW proju Projw v projeção ortogonal de no subespaço W B turma UK base ortogonal de W maior total µ mt Sejayewcomy fprojwlvlv y v prgwlvi prg.ws y r E W é ortogonal a qualquervetor em W Pelo Teorema de Rtajoras Ho zi v prgwhrlftpprgjr.sk lo yIisl1v prgwlvyf o Ho YI Ho preguinha dlv.gr sd v projwlvD V yew com distância yfprgu.lv Concluindo produlviéovetordew mais próximo dev Método dos Mínimos Quadrados A x D sistema linear combinação inconsistente lineardas sobredeterminado colunas de A tem equações min demais i w _cota É Ar revi Aê é um subespaço w vetorial HAE blfm.nl AxbIlxEtR Aâ b c Núcleo At tn kernel Atlas b ao ÂAâ Atb 0 ATA â A sistema linear quadrado Teorema Seja A uma matriz mxn com msn.se as colunas de A forem l i então eIa é emotiva Logo â LÁATÉb Exemple Considere o sistema linear 4 24 20 Encontre a melhor solução 4 do s ar sistema Resolução E X À T atitifol 1 Logo as colunas de A são h Assim Ata é envertível Atatê AI ate t H Ii p Ata AI p t.is iii Ii E D  6 Ê 25 35 Ê 130 â 2 7  25 6 f Ef à E7  e 2,71 à E 3,71 Exemple Suponha que algum sistema é modelado pela função quadrática f n art but C onde a b e a são constantes Dados experimentais K 1 2 3 4 fpe 1 10 9 16 Encontre os valores de a b e C Resolução A 12 b 1 c 1 a É b 2 c 10 A 32 b 3 e 9 aí b 4 c 16 X H 16 4 1 F T al t.lt I p iii Ii P Logo ATA é envertível p E ialê ato i cê 0,5 ft 1 0,5 2 6 sn 4,5 Â_E 6,9 10 Ô f 4,5