Apostila nº 3 - Curva Vertical

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E.T.E. I – Estudos de Traçados de Estradas – Profº Rogério Sant´Anna 
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Faculdade de Tecnologia de São Paulo 
 
CURVA VERTICAL 
 
10. Considerações gerais 
 
O projeto de uma estrada em perfil é constituído de greides retos, concordados dois 
a dois por curvas verticais. Os greides retos são definidos pela sua declividade, 
expressa em porcentagem. 
 
Nos greides ascendentes os valores das rampas (i) são considerados positivos e nos 
greides descendentes são considerados negativos. Para se fazer esta convenção é 
necessário dar um sentido ao perfil, que é geralmente o mesmo do estaqueamento. 
 
À interseção dos greides retos dá-se a denominação de PIV (ponto de interseção 
vertical). Os pontos de tangência são denominados de PCV (ponto de curva vertical) 
e PTV (ponto de tangência vertical). A medida do comprimento de uma curva vertical 
(Y) é feita sobre a projeção horizontal da curva. 
 
O DNER recomenda o uso de parábola de 2º grau no cálculo de curvas verticais, de 
preferência simétricas em relação ao PIV, ou seja, a projeção horizontal das 
distâncias do PIV ao PCV e do PIV ao PTV são iguais. 
 
Essas parábolas são definidas pelo seu parâmetro de curvatura K, que traduz a taxa 
de variação da declividade longitudinal na unidade do comprimento, estabelecida 
para cada velocidade. O valor de K representa o comprimento da curva no plano 
horizontal, em metros, para cada 1% de variação na declividade longitudinal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Y/2 Y/2 
 
 
 Y 
 
Figura 2 – Parábola de 2º grau simples 
 
 
 
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Para se calcular o K da curva e o e (flecha máxima) são utilizadas as seguintes 
fórmulas: 
 
)( 12 ii
Y
K

 e  12
800
ii
Y
e  
 
Onde: Y = comprimento da curva vertical, em m. 
 i1 = declividade da rampa anterior à curva, em %. 
I2 = declividade da rampa posterior à curva, em %. 
 
Para se calcular o Y (comprimento da curva), o L (comprimento da rampa) e os 
demais pontos notáveis (PCV, PIV e PTV) existem várias formas. As apresentadas 
abaixo representa uma das maneiras de se obter os resultados esperados: 
 
PTVPCVL  PCVPTVY  
2
Y
PIVPCV  
YPCVPTV  
 
Ao se definir um alinhamento vertical deve-se observar algumas condições 
importantes, especialmente em relação às rampas máximas e mínimas. 
Basicamente, as condições são as seguintes, podendo variar de projetista para 
projetista. 
 
 Minimização das rampas longitudinais. A principal limitação ao emprego de 
rampas suaves reside no fator econômico, traduzido pelo aumento do custo 
de construção em regiões topograficamente desfavoráveis. 
 
 Deve-se garantir um vão livre de 5,50 m para passagem sobre rodovia federal, 
de 7,20 m sobre ferrovia e de 2,00 m sobre a máxima enchente verificada nos 
cursos d’água. 
 
 Otimização das massas. O greide deve ser uma linha que minimize os 
volumes de cortes e aterros, equilibrando-os. 
 
 Cuidado com a drenagem superficial. Evitar que pontos de cota mais baixa 
fiquem situados dentro de cortes, assim como trechos com declividade menor 
que 0,5%. 
 
 As curvas verticais devem ser suaves e bem concordadas com as tangentes 
verticais. Freqüentemente quebras no greide devem ser evitadas. 
 
 
 
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 Nas rampas ascendentes longas é preferível colocar rampas maiores no início 
e diminuí-las no topo, tirando proveito do impulso acumulado no seguimento 
anterior à subida. 
 
 Harmonizar os projetos geométrico horizontal e vertical. Sempre que possível, 
as curvas verticais devem estar contidas nos trechos de curva horizontal. Isto, 
além de oferecer melhor aspecto estético tridimensional, aumenta as 
distâncias de visibilidade em alguns casos. 
 
 Onde houver rampas de comprimento acima do crítico e se o volume de 
tráfego de veículos lentos for considerável, deve-se prever uma 3ª faixa para 
uso destes veículos. 
 
 Para maior facilidade no cálculo das ordenadas da curva vertical, deve-se 
projetar os greides retos de forma que o PIV coincida com estacas inteiras ou 
intermediárias (preferencialmente +10,00 ou se não for possível, múltiplo de 
+5,00). 
 
 
Nos estudos de curvas verticais é muito utilizada a variação total da declividade do 
greide, definida pela fórmula seguinte: 
 
12 iiI  
 
CÁLCULO DAS COTAS E FLECHAS DA PARÁBOLA SIMPLES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para se calcular qualquer flecha pertencente à curva vertical utilizamos a fórmula 
abaixo onde encontramos um h para cada x da curva, ou seja, ao entrarmos com o 
valor, em metros, para x1, x2, x3,...etc. encontraremos um valor respectivo h1, h2, 
h3,...etc. 
 
 
 2
2
2
Y
e
xh  ou 
K
x
h


200
2
 
 
 
Como normalmente o que se quer descobrir é a cota de um ponto em relação ao seu 
x e não apenas a flecha, usamos a fórmula como está apresentada abaixo: 
 
 











 aPCV
xi
x
Y
ii
a cot
100200
cot 1212 
 
 
 
 
 
 
Referências: 
 
 Pontes Filho, Glauco. Estradas de rodagem: projeto geométrico/ Glauco 
Pontes Filho – São Carlos: G. Pontes Filho, 1998. 
 
 
 Pimenta, Carlos R. T e Oliveira, Márcio P. Projeto geométrico de Rodovias 
– São Carlos - RiMa Editora, 2001.