AULA 4 GA (ESTUDO DAS CÔNICAS) 2016 ALUNOS

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17/03/2016
1
GEOMETRIA 
ANALÍTICA
AULA 4 ESTUDO DAS CÔNICAS
Prof. Cláudio Marcelo Guimarães
E-mail: marcelomguimaraes50@gmail.com
As curvas obtidas quando cortamos um cone (as
chamadas secções cônicas) aparecem com
frequência na natureza e na nossa vida cotidiana.
Cônicas, parábolas, elipses e Cônicas, parábolas, elipses e 
hipérboleshipérboles
ELIPSE
Denominamos elipse ao lugar geométrico dos 
pontos de um plano para os quais a soma das 
distâncias a dois pontos F1 e F2 do plano, é igual a 
uma constante 2a, maior que F1F2.
Elementos da Elipse:
Eixo Focal
Os pontos F1 e F2
chamam-se focos e 
a distância entre 
eles é representado 
por 2c, que é a 
distância focal da 
elipse. 
dF1F2 = 2c 
2c
Elementos da Elipse:
Eixo Maior
O segmento A1A2 é 
chamado de eixo 
maior da elipse, e a 
distância entre eles é 
representado por 2a 
dA1A2 = 2a (eixo 
maior)
2
a
Elementos da Elipse: 
Eixo Menor
2
a
2
b
2c
O segmento B1B2 é chamado 
de eixo menor da elipse, e a 
distância entre eles é 
representado por 2b 
dB1B2 = 2b (eixo menor)
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Elementos da Elipse
Excentricidade
Excentricidade 
da elipse á a 
razão entre a 
semi-distância 
focal e o semi-
eixo maior.
Elementos da Elipse
Do triângulo 
retângulo 
OF1B1 temos 
a relação 
a² = b² + c²
Equações da Elipse
1º Caso: Equação da Elipse
com Foco no eixo x:
Para a Elipse de centro (0, 0)
e os focos no eixo x temos a
seguinte equação:
ba
b
y
a
x
>
=+ 1
²
²
²
²
Equações da Elipse
2º Caso: Equação da Elipse
com eixo Focal paralelo ao
eixo x: Para esses casos
temos a seguinte equação:
Obs: C(xc, yc)
ba
b
yy
a
xx cc
>
=
−
+
−
1
²
)²(
²
)²(
C(xc, yc)
Equações da Elipse
3º Caso: Equação da Elipse
com Foco no eixo y:
Para a Elipse de centro (0, 0)
e os focos no eixo y temos a
seguinte equação:
ba
a
y
b
x
>
=+ 1
²
²
²
²
Equações da Elipse
4º Caso: Equação da Elipse
com eixo Focal paralelo ao
eixo y: Para esses casos
temos a seguinte equação:
Obs: C(xc, yc)
ba
a
yy
b
xx cc
>
=
−
+
−
1
²
)²(
²
)²(
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Exemplo 1: Os vértices de uma elipse são os 
pontos (4; 0) e (-4; 0), e seus focos são os pontos 
(3; 0) e (-3; 0). Determine a equação da elipse.
2) Dois vértices de uma elipse € são os pontos 
(0, 6) e (0, -6) seus focos são os pontos (0; 4) e (0, -
4), Determine a equação da elipse. 
4) Uma elipse € tem seu centro na origem e um de 
seus vértices sobre a reta focal (0; 7). Se a elipse 
passa pelo ponto .
Determine sua equação, seus vértices, seus focos e 
sua excentricidade. Faça também um esboço da 
elipse.






3
14
;5
3) Os focos de uma elipse são os pontos (2, 0) e
(-2, 0) e sua excentricidade é 2/3. Determine a
equação da elipse
6) Qual a excentricidade da elipse 5x² + 9y² = 45?
5) Observando a equação da elipse abaixo, 
determine o valor do semi-eixo maior do semi-eixo 
menor, as coordenadas dos focos, vértices, centro e 
o valor da excentricidade.
1
9
)²5(
25
)²2(
=
+
+
− yx
d
dpd = dpf para todo ponto P da parábola.
A distância entre F e d, é igual a 2p,
chama-se parâmetro da parábola.
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No ponto V da parábola, temos dpf = p. VF é
denominada eixo da parábola ou eixo de
simetria.
Equação reduzida da Parábola:
Parábola com vértice na origem e eixo de
simetria sobre y.
1º Caso
Vértice na origem:
ypx .4² =
Vértice fora da origem:
).(4)²( vv yypxx −=−
Equação reduzida da Parábola:
Parábola com vértice na origem e eixo de
simetria sobre y.
2º caso
Vértice na origem:
ypx .4² −=
Vértice fora da origem:
).(4)²( vv yypxx −−=−
Equação reduzida da Parábola:
Parábola com vértice na origem e eixo de
simetria sobre x.
1º Caso
Vértice na origem:
xpy .4² =
Vértice fora da origem:
).(4)²( vv xxpyy −=−
Equação reduzida da Parábola:
Parábola com vértice na origem e eixo de
simetria sobre x.
2º Caso
Vértice na origem:
xpy .4² −=
Vértice fora da origem:
).(4)²( vv xxpyy −−=−
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1) Determinar a equação da parábola P com
vértice V na origem, cujo foco é o ponto F
( 3; 0). 
2) Uma parábola P com vértice V na origem,
cuja reta focal é o eixo OY, passa pelo ponto
P (4, -2). Determine sua equação, o foco F e
a equação da diretriz D.
3) Determinar a equação da parábola P de
vértice (3, 4) e Foco (3, 2). Determinar
também a equação de sua diretriz D.
4) Obter a equação da parábola que
satisfaça as condições em cada caso.
a) Vértice na origem e foco em (0, 1);
b) Foco em (0, −3) e diretriz y = 3;
c) Vértice na origem, concavidade voltada
para cima e passando pelo ponto P(−2, 5).
5) Determinar, para cada uma das parábolas,
o foco e uma equação da diretriz.
016² ) =− yxa
²
4
1
 ) yxb −=
6) Dada a equação x² + 6x − 8y + 17 = 0,
determine sua equação reduzida, o vértice, o
foco e uma equação da sua diretriz e do eixo
focal.