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Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Câmpus Campo Mourão
Departamento de Matemática
GA3X1 - Geometria Analítica e Álgebra Linear
Lista de Exercícios: Estudo Analítico de Cônicas e Quádricas
Prof. Lilian Caroline Xavier Candido
1. Determine o foco, o vértice, o parâmetro e a diretriz da parábola P e faça um esboço.
(a) P : y2 = 4x
(b) P : y2 + 8x = 0
(c) P : x2 + 6y = 0
(d) P : 5y2 = 8x
(e) P : 5x2 = 8y
(f) P : 5x2 = 16y
2. Obtenha, em cada caso, uma equação da parábola de vértice (0, 0), conhecendo seu parâmetro p e a
localização do foco.
(a) p = 2
3
e o foco está no semi-eixo positivo das abscissas.
(b) p = 4
3
e o foco está no semi-eixo negativo das ordenadas.
(c) p = 1 e o foco está no semi-eixo negativo das abscissas.
(d) p = 1
2
e o foco está no semi-eixo positivo das ordenadas.
3. Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da parábola de vértice V (0, 0), utilizando as infor-
mações dadas.
(a) O foco é (8, 0).
(b) A diretriz tem equação y = 2.
(c) O ponto (4, 7) pertence à diretriz e o eixo é Ox.
(d) O foco pertence ao semi-eixo positivo das abscissas e a amplitude focal é 8.
(e) O foco pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas e o triângulo fundamental tem área 18.
4. São dados, em cada caso, o foco e a diretriz de uma parábola. Obtenha uma equação algébrica de
segundo grau em x e y que todo ponto (x, y) da parábola deva satisfazer.
(a) F (2, 3) r : x = 0
(b) F (3, 1) r : y + 3 = 0
(c) F (−4,−2) r : 2x+ y = 3
5. São dados, em cada caso, o parâmetro geométrico a e os focos de uma elipse. Obtenha uma equação
algébrica de segundo grau em x e y que todo ponto (x, y) da elipse deva satisfazer.
(a) a = 4 F1 = (−3, 2) F2 = (−3, 6)
(b) a = 3 F1 = (−1,−1) F2 = (1, 1)
(c) a = 3 F1 = (0, 0) F2 = (1, 1)
6. Nos casos em que a equação dada descreve uma elipse de focos em algum dos eixos coordenados,
especifique-o e calcule: a distância focal, a medida do eixo maior e a medida dos eixo menor e a
excentricidade. Faça alguns esboços, a mão livre e com o auxílio do computador, para comparar.
(a) 4x2 + 169y2 = 676
(b) x2 + 2y
2
3
= 8
(c) x
2
4
+ y
2
2
= 0
(d) 8x2 + 3y2 = 24
(e)
(
3x
5
)2
+ y2 = 9
(f) x2 − 4y2 = 1
(g) 5x2 + 9y2 = 45
(h) 3x2 + 5y2 = 15
(i) 4x2 + 9y2 + 1 = 0
(j) 16x2 − 4 + 4y2 = 0
7. Escreva uma equação reduzida da elipse, nos casos:
(a) O centro é O, os focos estão em Ox, o eixo menor mede 6, e a distância focal é 8.
(b) O centro é O, os focos estão em Oy, o eixo maior mede 10, e a distância focal é 6.
(c) Os focos são (0, 6) e (0,−6), e o eixo maior mede 34.
(d) Os focos são (5, 0) e (−5, 0) e um dos vértices é (−13, 0).
(e) Os focos são (−1, 0) e (1, 0) e um dos vértices é (0,
√
2).
(f) As extremidades do eixo menor são (0, 4) e (0,−4), e a amplitude focal é 8
5
.
(g) Os focos são (0, 2
√
3) e (0,−2
√
3), e a amplitude focal é 2.
8. Em cada caso, determine os vértices, os focos, e a medidas dos eixos maior e menor da elipse.
(a) E : 16x2 + 25y2 = 400
(b) E : x2 + 9y2 = 9
(c) E : 50− y2 − 2x2 = 0
(d) E : 3x2 + 4y2 − 12 = 0
9. Pela Primeira Lei de Kepler, a trajetória da Terra é elíptica e o Sol ocupa a posição de um de seus
focos. Calcule o periélio e o afélio da Terra (que são, respectivamente, a menor e a maior distância
da Terra ao Sol), adotando os valores aproximados: distância focal da trajetória da Terra, 0.50 · 107
km; medida do eixo maior, 30.00 · 107 km.
10. Escreva uma equação reduzida da elipse de excentricidade e = 3
5
, sabendo que dois vértices são (5, 0)
e (−5, 0) e que os focos estão em
(a) Ox (b) Oy
11. Utilizando as informações dadas em cada caso, calcule a excentricidade da elipse E. Aponte, entre
elas, quais são semelhantes, qual é a mais alongada e qual é a menos alongada.
(a) E : 16x2 + 25y2 = 400
(b) A coroa fundamental de E tem raios 5 e 10.
(c) E : 2x2 + y2 − 50 = 0
(d) O triângulo F1B2F2 é retângulo.
(e) As diagonais do retângulo fundamental de E formam ângulos de 60◦.
(f) A área do retângulo fundamental é 8, e a da coroa fundamental é 3π.
12. Nos casos em que a equação dada descreve uma hipérbole de focos em algum dos eixos coordenados,
especifique-o e calcule a distância focal e as medidas dos eixos real e imaginário e a excentricidade.
Faça alguns esboços, a mão livre e com o auxílio do computador, para comparar.
(a) 9x2 − 4y2 = 36
(b) 9x
2
25
− y2 + 9 = 0
(c) x2 + 2y2 = 1
(d) 25x2 − 100y2 = 0
(e) 5x2 − 9y2 − 45 = 0
(f) x2 − y2 + 1 = 0
13. Determine, em cada caso, os vértices, os focos, as extremidades do eixo imaginário e equações das
assíntotas da hipérbole:
(a) 25x2 − 144y2 = 3600
(b) 16x2 − 25y2 = 400
(c) y2 − x2 = 16
(d) 9y2 − 4x2 = 36
(e) 3x2 − y2 = 3
14. Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole.
(a) Os vértices são (2, 0) e (−2, 0), e os focos, (3, 0) e (−3, 0).
(b) Os vértices são (−15, 0) e (15, 0) e as assíntotas têm equações 5y − 4x = 0 e 5y + 4x = 0.
(c) Os focos são (−5, 0) e (5, 0), e a amplitude focal é 9
2
.
(d) Os focos são (−5, 0) e (5, 0) e as assíntotas têm equações 2y = x e 2y = −x.
(e) Os focos estão no eixo Oy, as assíntotas têm equações 2y + 3x = 0 e 2y − 3x = 0, e o eixo
imaginário mede 8.
15. São dados, em cada caso, o parâmetro geométrico a e os focos de uma hipérbole. Obtenha uma
equação algébrica de segundo grau em x e y que todo ponto (x, y) da hipérbole deva satisfazer.
a) a = 3 F1 = (3,−3) F2 = (3, 7) b) a = 1 F1 = (3, 4) F2 = (−1,−2)
16. Escreva, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole.
(a) Os focos são (−13, 0) e (13, 0), e a excentricidade, 13
12
.
(b) Os vértices são (0,−4) e (0, 4), e a excentricidade,
√
2.
(c) A excentricidade é 2, e as assíntotas têm equações y = 2x e y = −2x.
(d) As extremidades do eixo imaginário são (−2, 0) e (2, 0), e a excentricidade é 2√
5
.
(e) As assíntotas têm equações y = x√
3
e y = − x√
3
, e a excentricidade é 2.
17. Calcule, em cada caso, a excentricidade de hipérbole H.
(a) H : 4x2 − y2 = 16
(b) H : x2 − 2y2 + 8 = 0
(c) As diagonais do retângulo fundamental formam ângulos de 60◦.
(d) Os pontos A1, A2, B1 e B2 são vértices de um quadrado.
18. Identifique a cônica e, quando for o caso, obtenha seus parâmetros geométricos (a, b, c ou p) e
determine, em relação ao sistema inicial, os elementos geométricos principais: centro, focos, vértices,
eixos, assíntotas, diretriz, etc.
(a) 2x2 + 3y2 − 8x+ 6y − 7 = 0 (b) 16x2 + 16y2 − 16x+ 8y − 59 = 0
19. Associe a cada equação de cônica da coluna da esquerda as equações de cônicas congruentes a ela da
coluna da direita.
(a) 4x2 + y2 + 8x− 10y + 13 = 0
(b) 4x2 − 3y2 + 24x− 12y + 17 = 0
(c) 4x2 − 5y2 + 12x+ 40y + 29 = 0
(d) y2 − 4x+ 10y + 13 = 0
(A) (y′)2 − 4x′ = 0
(B) 4(x′)2 − 5(y′)2 + 100 = 0
(C) 4(x′)2 + (y′)2 − 16 = 0
(D) 4(x′)2 − 3(y′)2 − 7 = 0
20. Obtenha a equação reduzida da superfície esférica de centro C e raio ρ.
(a) C(1,−1, 3), ρ = 2
(b) C(0, 0, 0), ρ = 1
(c) C(
√
2, 1,−3), ρ =
√
2
(d) C(18,−17,−1), ρ = 50
(e) C(0, 1, 0), ρ = 4
21. Nos casos em que a equação dada descreve uma superfície esférica, determine o centro e o raio.
(a) (x− 2)2 + (y − 6)2 + z2 = 25
(b) x2 + y2 + z2 − 4x+ 6y + 2z − 2 = 0
(c) x2 + y2 + z2 − 2x− 4y + 10 = 0
(d) x2 + y2 + z2 − 2x+ 2y = 0
(e) x2 + y2 + z2 − 2x− 4y − 6z + 16 = 0
(f) 2x2 + 2y2 + 2z2 − 6x+ 2y − 4z7 = 0
(g) 4x2 + 4y2 + 4z2 − 8x− 8y − 8z + 10 = 0
(h) x2 + y2 + z2 − 2x+ 4y + 15 = 0
(i) x2 + y2 + z202x+ 4y + 5 = 0
22. Obtenha uma equação da superfície esférica de centro (1, 1, 2) que contém o ponto (1, 1, 3).
23. Obtenha a equação geral da superfície esférica que contém o ponto P e é concêntrica com S :
x2 + y2 + z2 + x+ 2y − 2z − 1 = 0.
(a) P = (1, 0, 0) (b) P = (−1
2
,−1, 1)
24. Identificar as quádricas representadas pelas equações.
(a) x2 + y2 + z2 = 25
(b) 2x2 + 4y2 + z2 − 16 = 0
(c) x2 − 4y2 + 2z2 = 8
(d) z2 − 4x2 − 4y2 = 4
(e) x2 + z2 − 4y = 0
(f) x2 + y2 + 4z = 0
(g) 4x2 − y2 = z
(h) z2 = x2 + y2
(i) z = x2 + y2
(j) x2 + y2 = 9
(k) y2 = 4z
(l) x2 − 4y2 = 16
(m) 4y2 + z2 − 4x = 0
(n) −x2 + 4y2 + z2 = 0
(o) 16x2 + 9y2 − z2 = 144
(p) 16x2 − 9y2 − z2= 144
(q) 2y2 + 3z2 − x2 = 0
(r) 4x2 + 9y2 = 36z
25. Reduzir cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que
ela representa.
(a) 9x2 + 4y2 + 36z2 = 36
(b) 36x2 + 9y2 − 4z2 = 36
(c) 36x2 − 9y2 − 4z2 = 36
(d) x2 + y2 + z2 = 36
(e) x2 + y2 − 9y = 0
(f) x2 + 4z2 − 8y = 0
(g) 4x2 − 9y2 − 36z = 0
(h) x2 + 4y2 − z2 = 0
(i) x2 − y2 + 2z2 = 4
(j) y2 = x2 + z2
(k) 4x2 + 2y2 + z2 = 1
(l) x2 + y + z2 = 0
(m) x2 − 9y2 = 9
26. Representar graficamente as superfícies cilíndricas.
(a) y = 4− x2
(b) x
2
4
+ z
2
9
= 1
(c) x2 + 4y2 = 16
(d) x2−4y2 = 16 e −3 ≤ z ≤ 3
(e) x2 + y2 = 9 e 0 ≤ z ≤ 4
(f) z2 = 4y
(g) z = y2 + 2
27. Nos casos em que a interseção do plano π com o elipsóide Ω for uma elipse, determine seu centro,
focos, vértices e excentricidade. Se for uma circunferência, determine o centro e o raio.
(a) Ω : x
2
64
+ y
2
100
+ z
2
4
= 1 π : y − 5 = 0
(b) Ω : x2 + 4y2 + 4z2 = 36 π : x+ 2
√
5 = 0
(c) Ω : 4x2 +4y2 +9z2 − 2 = 0 π : z+ 1
3
= 0
28. Descreva a curva interseção do hiperbolóide Ω com o plano π e determine, quando for o caso: centro,
focos, assíntotas, raio.
(a) Ω : x2 − 4y2 + 5z2 = 1 π : z + 1√
5
= 0
(b) Ω : −3x2 − 4z2 + 5y2 = −43 π : y = 1
(c) Ω : x
2
2
− y2
2
− z2 = 1 π : y + 2 = 0
29. Descreva a curva de interseção do parabolóide Ω com o plano π e determine, quando for o caso,
centro, focos vértice, excentricidade, assíntotas, raio, etc.
(a) Ω : z + x2 + 3y2 = 0 π : z + 9 = 0
(b) Ω : 4y − 4x2 − z2 = 0 π : z − 1 = 0
(c) Ω : x+ y2 + 2z2 = 0 π : x− 1 = 0
30. Prove que a equação dada descreve uma quádrica cônica.
x2 − y2 + z2 − 4x− 6y − 2z − 4 = 0
Respostas
1. (a) (1, 0), (0, 0), p = 1, r : x+ 1 = 0
(b) (−2, 0), (0, 0), p = 2, r : x− 2 = 0
(c) (0,−3
2
), (0, 0), p = 3
2
, r : y − 3
2
= 0
(d) (2
5
, 0), (0, 0), p = 2
5
, r : 5x+ 2 = 0
(e) (0, 2
5
), (0, 0), p = 2
5
, r : 5y + 2 = 0
(f) (0, 4
5
), (0, 0), p = 4
5
, r : 5y + 4 = 0
2. (a) y2 = 8x
3
(b) x2 = 116y
3
(c) y2 = −4x (d) x2 = 2y
3. (a) y2 = 32x (b) x2 = −8y (c) y2 = −16x (d) y2 = 8x (e) x2 = 12y
4. (a) y2 − 4x− 6y + 13 = 0
(b) x2 − 6x− 8y + 1 = 0
(c) x2 − 4xy + 4y2 + 52x+ 26y + 91 = 0
5. (a) 4x2 + 3y2 + 24x− 24y + 36 = 0
(b) 8x2 − 2xy + 8y2 − 63 = 0
(c) 35x2 − 2xy + 35y2 − 34x− 34y − 289 = 0
6. (a) Ox; 26, 4, 2
√
165
(b) Oy; 4
√
3, 4
√
2, 4
(c) Não é elipse
(d) Oy; 4
√
2, 2
√
3, 2
√
5
(e) Ox; 10, 6, 8
(f) Não é elipse
(g) Ox; 6, 2
√
5, 4
(h) Ox; 2
√
5, 2
√
3, 2
√
2
(i) Não é elipse
(j) Oy; 2, 1,
√
3
7. (a) x
2
25
+ y
2
9
= 1
(b) x
2
16
+ y
2
25
= 1
(c) x
2
253
+ y
2
289
= 1
(d) x
2
169
+ y
2
144
= 1
(e) x
2
3
+ y
2
2
= 1
(f) x
2
400
+ y
2
16
= 1
(g) x
2
4
+ y
2
16
= 1
8. (a) Vértices: (±5, 0), (0,±4); focos: (±3, 0); 2a = 10; 2b = 8
(b) Vértices: (±3, 0), (0,±1); focos: (±2
√
2, 0); 2a = 6; 2b = 2
(c) Vértices: (0,±5
√
2), (±5, 0); focos: (0,±5); 2a = 10
√
2; 2b = 10
(d) Vértices: (±2, 0), (0,±
√
3); focos: (±1, 0); 2a = 4; 2b = 2
√
3
9. 14.75 · 107 km e 15.25 · 107 km
10. (a) x
2
25
+ y
2
16
= 1 (b) x
2
25
+ y
2
625
16
= 1
11. (a) 3
5
(b)
√
3
2
(c)
√
2
2
(d)
√
2
2 (e)
√
2
3
(f)
√
3
2
Elipses semelhantes: (b) e (f), (c) e (d). Mais alongadas: (b) e (f). Menos alongada: (a).
12. (a) Ox; 4, 6, 2
√
13
(b) Oy; 6, 10, 2
√
34
(c) Não é hipérbole
(d) Não é hipérbole
(e) Ox; 6, 2
√
5, 2
√
14
(f) Oy; 2, 2, 2
√
2
13. (a) (±12, 0), (±13, 0), (0,±5), y = ±5x
12
(b) (±5, 0), (±
√
41, 0), (0,±4), y = ±4x
5
(c) (0,±4), (0,±4
√
2), (±4, 0), y = ±x
(d) (0,±2), (0,±
√
13), (±3, 0), y = ±2x
3
(e) (±1, 0), (±2, 0), (0,±
√
3), y = ±
√
3x
14. (a) x
2
4
− y2
5
= 1
(b) x
2
255
− y2
144
= 1
(c) x
2
16
− y2
9
= 1
(d) x
2
20
− y2
5
= 1
(e) −x2
16
+ y
2
36
= 1
15. (a) 9x2 − 16y2 − 54x+ 64y + 161 = 0 (b) 3x2 + 12xy + 8y2 − 18x− 28y + 11 = 0
16. (a) x
2
144
− y2
25
= 1
(b) −x2
16
+ y
2
16
= 1
(c) Não existe a hipérbole (os dados são incompatíveis).
(d) Não existe, pois 2√
5
< 1.
(e) Existem infinitas hipérboles nessas condições, todas com centro O, focos em Oy. Suas equações
são da forma − x2
3m2
+ y
2
m2
= 1(m 6= 0)
17. (a)
√
5 (b)
√
3 (c) 2 ou 2√
3
(d)
√
2
18. (a) Elipse. a = 3, b =
√
6, c =
√
3; centro: (2,−1); vértices: (−1, 1), (5,−1), (2,−
√
6− 1), (2,
√
6−
1); focos: (2+
√
3,−1), (2−
√
3,−1); eixo maior contido na reta r : y = −1, eixo menor na reta
s : x = 2.
(b) Circunferência de centro (1
2
,−1
4
) e raio 2.
19. (a) (C) (b) (D) (c) (B) (d) (A)
20. (a) (x− 1)2 + (y + 1)2 + (z − 3)2 = 4
(b) x2 + y2 + z2 = 1
(c) (x−
√
2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2 = 2
(d) (x− 18)2 + (y + 17)2 + (z − 1)2 = 2500
(e) x2 + (y − 1)2 + z2 = 16
21. (a) C = (2,−6, 0), ρ = 5
(b) C = (2,−3,−1), ρ = 4
(c) C = (1,−1, 0), ρ =
√
2
(d) C = (1, 1, 1), ρ =
√
2
2
22. (x− 1)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 1
23. (a) x2 + y2 + z2 + x+ 2y − 2z − 2 = 0
(b) Não existe tal superfície esférica (P é o centro de S)
24. (a) Superfície esférica
(b) Elipsóide
(c) Hiperbolóide de uma folha
(d) Hiperbolóide de duas folhas
(e) Parabolóide elíptico
(f) Parabolóide elíptico
(g) Parabolóide hiperbólico
(h) Superfície cônica
(i) Parabolóide elíptico
(j) Superfície cilíndrica
(k) Superfície cilíndrica
(l) Superfície cilíndrica
(m) Parabolóide elíptico
(n) Superfície cônica
(o) Hiperbolóide de uma folha
(p) Hiperbolóide de duas folhas
(q) Superfície cônica
(r) Parabolóide elíptico
25. (a) x
2
4
+ y
2
9
+ z
2
1
= 1, elipsóide
(b) x
2
1
+ y
2
3
− z2
9
= 1, hiperbolóide de uma folha
(c) x
2
1
− y2
4
− z2
9
= 1, hiperbolóide de duas folhas
(d) x
2
36
+ y
2
36
+ z
2
36
= 1, superfície esférica de raio 6
(e) x
2
1
+ y
2
1
= 9z, parabolóide elíptico
(f) x
2
4
+ z
2
1
= 2y, parabolóide elíptico
(g) x
2
9
− y2
4
= z, parabolóide hiperbólico
(h) x
2
4
+ y
2
1
− z2
4
= 0, superfície cônica
(i) x
2
4
− y2
4
+ z
2
2
= 1, hiperbolóide de uma folha
(j) x
2
1
+ z
2
1
− y2
1
= 0, superfície cônica
(k) x
2
1
4
+ y
2
1
2
+ z
2
1
= 1, elipsóide
(l) x
2
1
+ z
2
1
= −y, parabolóide elíptico
(m) x
2
9
− y2
1
= 1, superfície cilíndrica
26.
27. (a) Elipse. Centro (0, 5, 0), focos (±3
√
5, 5, 0), vértices (±4
√
3, 5, 0) e (0, 5,±
√
3), e =
√
15
4
.
(b) Elipse. Centro (−2
√
5, 0, 0), focos (−2
√
5, 0,±2
√
5
3
), vértices (−2
√
3, 0,±2) e (−2
√
5,±4
3
, 0),
e =
√
5
3
.
(c) Circunferência. Centro (0, 0,−1
3
), raio 1
2
.
28. (a) Reunião de duas retas concorrentes no ponto (0, 0,− 1√
5
).
(b) Elipse de centro (0, 1, 0) e focos (±2, 1, 0).
(c) Hipérbole de centro (0,−2, 0), focos (±3,−2, 0), assíntotas r : X = (0,−2, 0) + λ(±
√
2, 0, 1).
29. (a) Elipse de centro (0, 0,−9), focos (±
√
6, 0,−9), vértices (±3, 0,−9), (0,±
√
3,−9), excentricidade
√
6
3
.
(b) Parábola de vértice (0, 1
4
, 1), foco (0, 1
2
, 1), parâmetro 1
4
, diretriz X = (0, 0, 1) + λ(1, 0, 0).
(c) π ∩ Ω = ∅.
30. Complete quadrados.