Resumo Sinais e Sistemas 23_09_20

Prévia do material em texto

CENTRO UNIVERSITÁRIO 
INSTITUTO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA 
ENGENHARIA ELÉTRICA/COMPUTAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo de Sinais e Sistemas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Brasília - DF 
23 de Setembro de 2020 
CENTRO UNIVERSITÁRIO 
INSTITUTO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA 
ENGENHARIA ELÉTRICA/COMPUTAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo de Sinais e Sistemas 
 
 
 
Este é um resumo da aula 6 que contém teorias, exemplos
e exercícios práticos durante a aula ministrada. 
 
Orientador: Thiago Carvalho 
Aluno: Edicarlos Silva Fernandes 
Matrícula:1322081056 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Brasília - DF 
23 de Setembro de 2020 
 
 
 
 - Na aula passada paramos em combinação linear de impulsos unitários (em tempo discreto) 
em que falamos das propriedades da convolução e do impulso e agora discutiremos a uma 
propriedade em específico para resolver um exemplo, então ela é assim: 
 
 
 𝑥[𝑛] ∗ 𝛿[𝑛] = 𝑥[𝑛] (1) 
 
- Quando convoluímos um sinal com um impulso 𝜹[𝒏], teremos o próprio sinal 𝒙[𝒏]. 
 
- Se o impulso estiver deslocado, a equação 1 terá o seguinte comportamento: 
 
 
𝑥[𝑛] ∗ 𝛿[𝑛 − 𝑛0] = 𝑥[𝑛 − 𝑛0] (2) 
 
- Sabemos que convolução de dois sinais é assim: 
 
 
𝑥[𝑛] ∗ 𝛿[𝑛] = ∑ 𝑥[𝑘]. 𝛿[𝑛 − 𝑘]
∞
𝑘=−∞
 (3) 
 
 
Obs 1: Toda a soma que aparece de menos infinito a infinito é onde tem o sinal, onde não 
tem, é porque a amostra vale zero. 
 
 
Exemplo 1 - A melhor forma de entender a equação 3 é fazer o gráfico e primeiramente obter 
o sinal como combinação linear de impulsos unitários, então dado um sinal abaixo: 
 
 
 
 
Fig.1 – Gráfico em tempo discreto para montar uma combinação linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1° Passo - Vemos uma amostra de cada vez conforme será mostrado nos gráficos abaixo: 
 
 
 
 
 
Fig.2 – Faremos com a primeira amostra que teremos 𝜹[𝒏 + 𝟏], pois, 𝜹 só tem amplitude “1” e o deslocamento 
é ”n” pela esquerda em 1 unidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.3 – Faremos agora com a segunda amostra que teremos 2𝜹[𝒏], pois, 𝜹 só tem amplitude “2” e o deslocamento 
é apenas ”n” pela esquerda (sem deslocamento). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.4 – Faremos agora por fim com a terceira e última amostra que teremos que é 𝟑𝜹[𝒏 − 𝟏], pois, 𝜹 só tem 
amplitude “3” e o deslocamento é ”n” pela direita em 1 unidade. 
 
 
 
 
 
2° Passo – Construiremos as os termos de cada figura numa expressão numa única expressão 
do sinal de impulso, ou seja, que de acordo com as figuras 2,3 e 4 vai ficar assim: 
 
 
 𝒙[𝒏] = 𝜹[𝒏 + 𝟏] + 2𝜹[𝒏] + 3𝜹[𝒏 − 𝟏] (𝟒) 
 
 
- Esta expressão acima (eq.4) é o que chamamos de combinação linear. 
 
 
Obs 2: Temos que a partir da figura 2 o primeiro impulso chamamos de x[-1] = 1, e x[0] = 2 e 
o x[1] = 3 e temos que a nossa soma é: 
 
 
𝒙[𝒏] = 𝒙[−𝟏]. 𝜹[𝒏 + 𝟏] + 𝒙[𝟎].2𝜹[𝒏] + 𝒙[𝟐].3𝜹[𝒏 − 𝟏] (𝟓) 
 
 
Ou seja, podemos montar uma soma: 
 
 
𝒙[𝒏] = 𝜹 ∑ 𝒙
+∞
𝒌=−∞
[𝒌]. 𝜹[𝒏 − 𝒌] (𝟔) 
 
 
- Podemos verificar então que a propriedade da eq.1 é válida para escrever combinação linear 
de impulsos e isso pode ser escrito para qualquer sinal. 
 
 
 
 
 
 
- Podemos usar a propriedade da eq.2 que é 𝑥[𝑛] ∗ 𝛿[𝑛 − 𝑛0] = 𝑥[𝑛 − 𝑛0] para calcular a 
convolução. 
 
 
Exemplo 2: 
 
 
(3𝛿[𝑛 − 1]) ∗ (5𝛿[𝑛 − 7]) 
 
 
- Com isso, usaremos “ 𝑥[𝑛] ∗ 𝛿[𝑛 − 𝑛0] = 𝑥[𝑛 − 𝑛0] “ que é a convolução de qualquer sinal 
“x[n]” convoluído com um delta deslocado” 𝛿[𝑛 − 𝑛0]” resultando em um sinal deslocado 
“𝑥[𝑛 − 𝑛0]”, então : 
 
 
Passo 1: Multiplicamos as amplitudes: 
 
 
 2° 1° 
 (3𝛿[𝑛 − 1]) ∗ (5𝛿[𝑛 − 7]) = 15𝛿 
 
 
Passo 2: E somamos os deslocamentos: 
 
 
 
(3𝛿[𝑛 − 1]) ∗ (5𝛿[𝑛 − 7]) = [𝑛 − 8] 
 
 
 
Então o resultado passo 1 e do passo 2 fica assim: 
 
 
15𝛿[𝑛 − 8] 
 
 
- De modo geral: 
 
Na aula passada, escrevemos a expressão: 
 
 
 (𝐴𝛿[𝑛 − 𝑛1]) ∗ (𝐵𝛿[𝑛 − 𝑛2]) (7) 
 
 
 - Que multiplicaremos as amplitudes ” 𝑨𝜹 𝒆 𝑩𝜹 ” e somamos os deslocamentos “[𝒏 − 𝒏𝟏] e 
[𝒏 − 𝒏𝟐]” ficando assim: 
 
(𝐴𝐵𝛿[𝑛 − 𝑛1 − 𝑛2]) (8) 
 
 
 
 
 
- E quando usamos essa propriedade (eq.7), podemos resolve a convolução de um jeito melhor. 
 
Exemplo 3: 
 
 
 
 
 
Fig.5 – Gráficos de x1 e x2. 
 
 
 
- A partir dos gráficos dados acima, vamos resolver a convolução primeiro determinando 
expressão de cada um, então para o gráfico de x1[n] é: 
 
 
 
𝑥1[𝑛] = 2𝛿[𝑛] + 3𝛿[𝑛 − 1] (9) 
 
 
E o gráfico para x2[n] é: 
 
 
 
𝑥2[𝑛] = 𝛿[𝑛 + 1] + 𝛿[𝑛] − 𝛿[𝑛 − 1] (10) 
 
 
Que usando a propriedade da equação 7 fica assim: 
 
 
(2𝛿[𝑛] + 3𝛿[𝑛 − 1]) ∗ (𝛿[𝑛 + 1] + 𝛿[𝑛] − 𝛿[𝑛 − 1]) 
 
- Que multiplicaremos as amplitudes “𝛿” e somaremos os deslocamentos “n”, então: 
 
 
 
 3° 2° 1° 
 𝑥1[𝑛] ∗ 𝑥2[𝑛] = (2𝛿[𝑛] + 3𝛿[𝑛 − 1]) ∗ (𝛿[𝑛 + 1] + 𝛿[𝑛] − 𝛿[𝑛 − 1]) 
 
 1° 
 2° 
 3° 
 
𝑥1[𝑛] ∗ 𝑥2[𝑛] = 2𝛿[𝑛 + 1] + 2𝛿[𝑛] − 2𝛿[𝑛 − 1] + 3𝛿[𝑛] + 3𝛿[𝑛 − 1] − 3𝛿[𝑛 − 2] 
 
 
 
 
 
E juntamos os termos que são semelhantes e o que não forem, repetimos: 
 
 
 
𝑥1[𝑛] ∗ 𝑥2[𝑛] = 2𝛿[𝑛 + 1] + 2𝛿[𝑛] − 2𝛿[𝑛 − 1] + 3𝛿[𝑛] + 3𝛿[𝑛 − 1] − 3𝛿[𝑛 − 2] 
 
 
 
𝑥1[𝑛] ∗ 𝑥2[𝑛] = 2𝛿[𝑛 + 1] + 5𝛿[𝑛] − 𝛿[𝑛 − 1] − 3𝛿[𝑛 − 2] 
 
 
 
Que fazendo um gráfico fica: 
 
 
 
Fig.6 – Gráfico do resultado da convolução entre os sinais de x1 e x2. 
 
 
 
 
Obs 3: Para fixar melhor as operações de convolução por exemplo 𝛿[𝑛 − 2] ∗ 𝛿[𝑛 − 3] basta 
que substituímos “n-3” em “n” da expressão “n-2” que ficará 𝜹[(𝒏 − 𝟑) − 𝟐] e fazer isso 
também com “n-2” substituindo em “n” da expressão “n-3” que ficará 𝜹[(𝒏 − 𝟑) − 𝟐] e 
enfim somando ficará: 
 
𝛿[(𝑛 − 3) − 2] + 𝛿[(𝑛 − 2) − 3] 
 n n 
 
𝛿[(𝑛 − 5)] 
 
- Só somamos os deslocamentos “(-2) + (-3)“ que será “-5” e o “n” repetimos e ficará conforme 
o resultado acima. 
 
Exemplo 4: 
 
 
 
 
 
 - Para finalizar isso, temos a relação entre um impulso e um degrau em tempo discreto, para 
x[n] sendo o degrau,x[n] = u[n] 
 
 
 
 
Fig.7 – Gráfico de um degrau unitário em tempo discreto. 
 
 
Que a partir de figura 1 podemos escrever uma combinação linear de impulsos infinita que 
neste caso, então: 
 
 
𝑥[𝑛] = 𝛿[𝑛] + 𝛿[𝑛 − 1] + 𝛿[𝑛 − 2] + 𝛿[𝑛 − 3] + ⋯ 
 
 
E isso vai para o infinito que podemos escrever de forma mais compacta: 
 
 
 𝑥[𝑛] = ∑ 𝛿[𝑛 − 𝑘]
∞
𝑘=0
 (11) 
 
- Podemos escrever dessa forma, a relação entre degrau e impulso. 
 
 
Ou seja, existe essa relação para degrau onde temos: 
 
𝑢[𝑛] = ∑ 𝛿[𝑛 − 𝑘]
∞
𝑘=0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 -Exercício de exemplo: 
 
 
 
 
 𝑢[𝑛] = ∑ 𝛿[𝑘]
𝑛
𝑘=−∞
 (12) 
 
 
 
Que é equivalente a tempo discreto 
 
 
 
 
 𝑢(𝑛) = ∫ 𝛿(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
−∞
 (13) 
 
 
 
 
Que substituindo para n > 0 temos o seguinte gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.8 - Gráficos para n = 1, n = 2 e n = amplitude n. 
 
 
 
Que montando uma expressão fica: 
 
 
𝑢[𝑛] = 𝛿[1] + 𝛿[2] + 𝛿[𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑛] 
 
 
E para n < 0 temos o seguinte gráfico: 
 
 
 
Fig.9 - Gráficos para n = -1, n = - 2 e n = amplitude -n. 
 
 
 
 
Que montando uma expressão fica: 
 
 
𝑢[𝑛] = 𝛿[−1] + 𝛿[−2] + 𝛿[𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 − 𝑛] 
 
 
 
E por fim para n = 0 temos o seguinte gráfico: 
 
 
 
 
 
Fig.10 – Gráfico para n = 0 
 
 
 
E a expressão fica: 𝑢[𝑛] = ∞ 
 
 
Obs 4: Mas o que chama atenção é porque de ter dado infinito para n = 0 se deve ao fato de 
que a tangente de um ângulo tende a “∞” quando este ângulo tende a 90 graus, em outras 
palavras seria um infinito complexo. 
 
 
 
Obs 5: O equivalente discreto: 
 
 
𝛿(𝑡) =
𝑑
𝑑𝑡
𝑢(𝑡) 
 
- É uma derivada no sentido generalizado porque a princípio “u(t)” não tem derivada, então o 
impulso não é chamado de distribuição. 
 
 
Vamos verificar graficamente a expressão 𝛿[𝑛] = 𝑢[𝑛] − 𝑢[𝑛 − 1] que é : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.11 – Resultado da subtração do gráfico (subtração de cada amostra dos gráficos). 
 
 
- Então teremos que o gráfico da figura 11 onde 𝑢[𝑛] − 𝑢[𝑛 − 1] é exatamente igual a 𝛿[𝑛], 
ou seja, o sinal impulso em tempo discreto. 
 
Relações entre degrau e impulso (em tempo contínuo e discreto) 
 
 
Tempo contínuo: 
 
 
 𝑢(𝑡) = ∫ 𝛿(𝜏)
𝑡
∞
𝑑𝜏 (14) 
 
Por que: 
 
 
 
 𝛿(𝑡) =
𝑑
𝑑𝑥
𝑢(𝑡) (15) 
 
 
Tempo discreto: 
 
 
 𝑢[𝑛] = ∑ 𝛿[𝑘] 
𝑛
𝑘=−∞
 (16) 
 
 
Porque: 
 
 
𝛿[𝑛] = 𝑢[𝑛] − 𝑢[𝑛 − 1] (17) 
 
 
 
 - Na nossa segunda unidade veremos a parte de sistemas: 
 
 
- Sistemas 
 
 
 
 
 
 
Fig.12 – Esquema de entrada e saída de um sistema. 
 
 
- Podemos representar por meio de uma expressão abaixo: 
 
 
 𝑦(𝑡) = 𝐻{𝑥(𝑡)} (18) 
 
 - Onde o H é o sistema. 
 
 - O esquema da figura 12 é o seguinte: “alguma coisa que pega um sinal “x(t)”, transforma 
(caixinha com a letra H) e ti devolve outro sinal “y(t)”. 
 
- Conceitualmente é a transformação sobre um sinal. 
 
- O x(t) para o sinal de entrada. 
 
- O y(t) para o sinal de saída (ou resposta). 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5 - Em circuitos elétricos, principalmente quando falamos de amplificadores 
operacionais, a gente tem a relação explicitamente de entrada e saída: 
 
 
 
Fig.13 – Circuito derivador onde temos a representação x(t) como sendo a entrada e y(t) como sendo a tensão de 
saída. 
 
 
Utilizando a equação 18, temos que nesse caso o H{x(t)} que é a saída y(t) é a transformação 
sobre o sinal, então: 
 
 
𝑦(𝑡) = 𝐻{𝑥(𝑡)} = −𝑅𝐶
𝑑
𝑑𝑡
𝑥(𝑡) (19) 
 
 
 
Obs 6: Nesta disciplina somente vamos tratar de sistema em tempo contínuo e somente sistema 
de um uma entrada e uma saída. 
 
 
De modo geral: 
 
 
 
Fig.14 – Esquema onde podemos ter várias entradas representadas por x(t) até M entradas e podemos ter várias 
saídas representadas por y(t) até N saídas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs 7: No caso geral, veremos nos livros as nomenclaturas de alguns possíveis sistemas tais 
como: 
 
 
 
i) Se temos M = 1, N = 1 temos o SISO (Single Input Single Output); 
 
ii) Se temos M > 1, N=1 temos o MIMO (Multiple Input Multiple Output); 
 
iii) Se temos M = 1, N>1 temos SIMO (Single Input Multiple Output); e 
 
iv) Se temos M > 1, N > 1 temos MIMO (Multiple Input Multiple Output). 
 
 
 
 
Classificação de sistemas 
 
Existem outros tipos de sistemas mas trataremos deste principais dados abaixo: 
 
i) Linearidade; 
 
ii) Invariância no tempo; 
 
iii) Estabilidade; 
 
iv) Memória; e 
 
v) Causalidade. 
 
 
 
Obs 8: Em Linearidade é discutido em álgebra linear que é dito que v = T(v) é linear quando 
satisfazia essas duas coisas: 
 
1°) Se multiplicamos “α” vezes “v” e aplicamos a transformação é a mesma coisa de aplicar a 
transformação direto no “v” e multiplicar só o “α” depois: 
 
 
 𝑇(∝ 𝑣) = (𝑣) (20) 
 
 
- Essa propriedade chamamos de homogeneidade. 
 
 
2°) Se aplicamos a transformação numa soma de vetores, ou seja, somamos os dois vetores e 
isso dará um vetor e aplicamos nesse vetor da soma a transformação resultante e terá de dá o 
mesmo resultado (se o sistema for linear) aplica separadamente e somar os resultados depois da 
transformação de cada vetor: 
 
 
 
 
 
𝑇(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑇(𝑣1) + 𝑇(𝑣2) (21) 
 
 
- Essa propriedade chamamos de aditividade. 
 
 
- Podemos resumir isso em duas propriedades numa só desse jeito: 
 
 
 
𝑇(∝1 𝑣1 +∝2 𝑣2) =∝1 𝑇(𝑣1) +∝2 𝑇(𝑣2) (22) 
 
 
 
Então dado um sistema 𝑦(𝑡) = 𝐻{𝑥(𝑡)} , diz-se que é linear se: 
 
 
1) Pela propriedade da homogeneidade se aplicamos o sistema a uma constante vezes um 
sinal “ax(t)” tem que ser a mesma coisa de multiplicamos o “a” pra fora do parêntesis, o seja, 
aplicar o H no seu sinal de entrada e multiplicar o “a” só depois: 
 
 
𝐻{𝑎𝑥(𝑡)} = 𝑎𝐻𝑥{(𝑡)} (23) 
 
 
 
2) Tem de valer a propriedade da aditividade e se somamos dois sinais “x1(t) com x2(t)” e 
aplicamos como entrada o sinal de entrada vai ser o sinal resultante dessa soma, ou seja, soma 
os dois sinais e vai dá outro sinal, aplica o sistema nele e se o sistema for linear temos que poder 
separar e aplicar o sistema só no x1 e depois só no x2 e efetua a soma os dois resultados: 
 
 
𝐻{𝑥1(𝑡) + 𝑥2(𝑡)} = 𝐻{𝑥1(𝑡)} + {𝑥2(𝑡)} (24) 
 
 
Ou seja, linearidade é a mesma coisa de homogeneidade mais aditividade. 
 
Em termos de esquema para homogeneidade e aditividade fica: 
 
 
1) Homogeneidade: 
 
 
 
Fig.15 – Esquema do lado esquerdo 𝐻{𝑎𝑥(𝑡)} da eq.23 onde usamos um triângulo para amplificador e impomos 
esse resultado como entrada no sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.16 – Esquema do direito 𝑎𝐻𝑥{(𝑡)} da eq.23 bastamos trocar de lugar e se o sistema é homogêneo quer dizer 
que podemos primeiro aplicar o “H” e o resultado desse “H” multiplicaremos por “a”. 
 
 
Obs 9: Ambas as figuras são a mesma coisa se aplicamos a entrada x(t). 
 
 
2) Aditividade: 
 
 
 
 
 
Fig.17 – Esquema do lado esquerdo 𝑇(∝1 𝑣1 +∝2 𝑣2) da eq.22 a gente soma e depois aplicamos o “H” onde 
pegaremos dois sinais por exemplo “x1(t) e x2(t)” e pegaremos um bloco somador de sinais onde usamos o símbolo 
de somatório e desse bloco somador é que vai sair o resultado e em seguida aplica o “H” e se ele for aditivo quer 
dizer que podemos trocar a ordem. 
 
 
 
 
 
Fig.18 – Esquema do lado direito ∝1 𝑇(𝑣1) +∝2 𝑇(𝑣2) da eq.22 a gente fará o contrárioonde pegamos x1(t) 
e passamos pelo “H” e pegamos o x2(t) e passamos pelo ”H” e também somaremos depois e se o sistema é aditivo, 
teremos os mesmos resultados. 
 
 
Obs 10: Para um sistema ser linear tem de satisfazer as duas propriedades anteriores (1 e 2), e 
podemos verificar essas duas ao mesmo tempo: 
 
 
𝐻{𝑎1𝑥1(𝑡)𝑎2𝑥2(𝑡)} = 𝑎1𝐻{𝑥1(𝑡)} + 𝑎2𝐻{𝑥2(𝑡)} (25) 
 
 
 
 
 
 
- Se o H é uma constante vezes um sinal mais outra constante vezes outro sinal seja igual a 
essas constantes para fora do parêntesis e em seguida somaremos onde isso é uma característica 
linearidade. 
 
 
Exemplo: Sistema amplificador/atenuador 
 
 
Descrevemos o processo de amplificação ou atenuação para qualquer sistema começando 
sempre pela expressão abaixo: 
 
 𝑦(𝑡) = 𝐻{𝑥(𝑡)} (26) 
 
 
Para o caso do amplificado o nosso H{x(t)} será: 
 
 
 
 𝐻{𝑥(𝑡)} = 𝐴𝑥(𝑡) (27) 
 
- Onde “A” é uma constante de amplificação vezes “x(t). 
 
 
Podemos escrever diretamente também: 
 
 
𝑦(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) 
 
 
 - Onde “y(t)” é a saída vezes a constante “A” vezes “x(t)”. 
 
 
 - É amplificador quando |A|>1 e é atenuador quando |A|<1 e logo isto é linear e para verificar 
a linearidade basta verificar que é homogêneo e depois se é aditivo, então chamamos o “A” o 
fator de amplificação então o que seria essas expressões abaixo? 
 
 
Resp – teremos de calcular a expressão 28 e 29 e comparamos ambos pra ver se dará a mesma 
resposta, e dando o mesmo resultado, é porque o sistema é homogêneo: 
 
 
𝐻{𝑎𝑥(𝑡)} = 𝐴(𝑎𝑥(𝑡)) (28) 
 
 
𝑎𝐻(𝑥(𝑡)) = 𝑎(𝐴𝑥(𝑡)) (29) 
 
- Temos 𝐻{𝑎𝑥(𝑡)} da eq.26 é o sinal de entrada e o sistema amplificador ele pega esse sinal 
“(𝑎𝑥(𝑡)) “ depois da igualdade (quem quer que seja ele) e multiplica por “A”. 
 
 
 
 
- E a eq.28 é a mesma expressão da eq.29 pois primeiro fazemos a operação “ 𝑎(𝐴𝑥(𝑡))” e 
vamos ver que no final das contas vai dá a mesma coisa porque o sistema é linear. 
 
 
portanto, o sistema é homogêneo! 
 
 
 
E verificado se é aditivo, temos que ver se as duas expressões se são iguais: 
 
 
 𝐻{𝑥1(𝑡) + 𝑥2(𝑡)} = 𝐴. (𝑥1(𝑡) + 𝑥2(𝑡)) (30) 
 
 
 
H{x1(t)}+H{x2(t)} 
 
 
 
- Em que “H{x1(t)+x2(t)}” da eq.30 é o nosso sinal de entrada então pega esse resultado 
”x1(t)+x2(t)” e plica o sistema ”H” (aplicar o H em qualquer entrada é multiplicar o sinal em 
qualquer entrada) e se o sinal de entrada for uma soma no lugar do “x(t)” então no outro “x(t)” 
será também uma soma (e devemos colocar uma parêntesis), e multiplicamos pela constante 
“A”. 
 
 
 
 
Mas sabemos que a eq.30 é: 
 
 
𝐻{𝑥1(𝑡) + 𝑥2(𝑡)} = Ax1(t)+Ax2(t) 
 
 
E vemos que “Ax1(t)” é igual a “H{x1(t)}” e “Ax2(t)” é também igual a “H{x2(t)}”. 
 
 
 
Então Ambos são iguais, portanto, é aditivo. 
 
 
 
Outro exemplo: 
 
 
 - Pegamos um diferenciador 𝑦(𝑡) = 𝑑/𝑑𝑡 𝑥(𝑡) e queremos verificar que ele é linear. 
 
- Temos que verificar que: 
 
 
 
 
 
 
H{a1 x1(t)+a2x2(t)} = a1H{x1(t)}+a2H{x2(t)} (31) 
 
 
Se a gente aplicar um sistema numa soma ponderada de sinais de entrada, tem que dá a 
mesma coisa (podemos fazer só homogeneidade e aditividade) 
 
 
 
 
Fig.19 - Lembramos que a entrada é x(t) e saída y(t) é a derivada da entrada x(t) 
 
 
 
 
 
Se a nossa entrada for” H{a1 x1(t)+a2x2(t)} “ toda a eq.29, tem que sair isso: 
 
 
 
 
 
 
E isso dá: 
 
 
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑎1𝑥1(𝑡)) +
𝑑
𝑑𝑡
(𝑎2𝑥2(𝑡)) 
 
 
 
 E essa derivada podemos tirar ambas as constantes para fora: 
 
 
= 𝑎1
𝑑
𝑑𝑡
𝑥1(𝑡) + 𝑎2
𝑑
𝑑𝑡
𝑥2(𝑡) 
 
 
 
 
 
E identificamos que a derivada de x1 é o H{x1(t)} e a derivada de x2 é o H{x2(t)}: 
 
 
 
 
 
= 𝑎1
𝑑
𝑑𝑡
𝑥1(𝑡) + 𝑎2
𝑑
𝑑𝑡
𝑥2(𝑡) 
 
 H{x1(t)} H{x2(t)} 
 
Então é linear! 
 
 
 
Um exemplo que não linear - Um 1/2 retificador, um sistema com um valor absoluto 
determinado por esta expressão abaixo: 
 
 
𝑦(𝑡) = |𝑥(𝑡)| 
 
 
 
 
 
Fig.20 - O sinal x(t) entra um sinal e sai o módulo dele. 
 
 
Não é linear! 
 
 
Obs 11: O 1/2 retificador é uma etapa da retificação: 
 
 
 
 
Fig.21 - O retificador de onda completa pega esse nível e mantém mais o menos constante (um exemplo disso é 
circuito RC com um diodo onde conseguimos um retificador). 
 
 
 
Vamos verificar que não homogêneo verificando a entrada “H{-2x(t)}” então: 
 
 
 
H{-2x(t)} = |-2x(t)| = |-2| |x(t)| = 2 |x(t)| 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E ao passo de que usando a aq. 27 temos que: 
 
 
 
H{x(t)} = Ax(t) 
 
 
 (−2)𝐻 {𝑥(𝑡)} = (−2) |𝑥(𝑡)| 
 
 
E temos então que: 
 
𝐻{(−2)𝑥(𝑡)} ≠ (−2)𝐻{𝑥(𝑡)} 
 
 
Portanto não é homogêneo, e se não homogêneo não será linear. 
 
 
 
Obs 12: Para Invariância no tempo vamos escrever matematicamente que o sistema não 
muda ao longo do tempo: 
 
 
- Se aplicamos uma entrada x(t) e observamos uma saída y(t), podemos esperar pra aplicar 
essa entrada depois, ou seja, podemos esperar “t0“unidades de tempo: 
 
 
 
 
 
 
Fig.22 – Temos de ter o mesmo y(t) e temos de ter mesma forma de onda originalmente e o tanto que atrasamos 
aquela entrada vai ter que ser o tato de saída que vai atrasar também. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A maneira de descrever a fig.22 é um sistema qualquer definido por 𝑦(𝑡) = 𝐻{𝑥(𝑡)} é 
invariante no tempo quando: 
 
 
 
 
𝑦(𝑡 − 𝑡0) = 𝐻{𝑥(𝑡 − 𝑡0)} 
 
 
 
Obs 13: Na prática mesmo é de que nenhum sistema vai ser exatamente invariante no tempo, 
ou seja, por exemplo um carro não terá a mesma potência quando tínhamos antes de quando 
compramos ou um aparelho celular nunca será totalmente funcional por muito tempo, pois, 
estes sistemas sempre vão se deteriorando aos poucos. 
 
 
 
Exemplo - Amplificador 
 
- Queremos mostrar que é invariante no tempo, ou seja, que vale a definição: 
 
 
y(t) = Ax(t) 
 
 
Então temos que no caso geral de que “qualquer que seja a entrada, atrasa ela um pouquinho e 
teremos a mesma que saída que teríamos atrasado o mesmo pouquinho”: 
 
 
 
y(t-t0) = H{x(t-t0)} 
 
 
 - Ou seja, a mesma resposta que teríamos atrasado o mesmo tanto. 
 
 
 
Vamos especificar o amplificado por um fator de 10: 
 
 
y(t) = 10x(t) 
 
 
Temos: 
 
H{x(t)} = 10x(t) 
 
E, 
 
y(t) = 10x(t) 
 
 
 
 
e aplicando no H{x(t-t0)} fica: 
 
 
H{x(t-t0)} = 10x(t-t0) 
 
 
 
E o 𝑦(𝑡 − 𝑡0) é: 
 
 
 
𝑦(𝑡 − 𝑡0) = 10𝑥(𝑡 − 𝑡0) 
 
 
 
 
É invariante no tempo! 
 
 
 
Exemplo de que é variante no tempo: Um sistema compressor (fator de 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, 
 
 
y(t) = x(2t) 
 
 
 
mas, 
 
 
H{x(t)} = x(2t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos verificar que não é variante no tempo: 
 
 
- Calculamos o H{x(t - t0)} e y(t – t0), comparamos dois pra ver se dará a mesma coisa: 
 
 
 
- Começando com H{x(t - t0)} temos que entender melhor isso, vamos definir um sinal 
intermediário w(t) = x (t - t0) e então teremos que: 
 
 
H{x(t – t0)} = H{w(t)} 
 
 
- Nosso H{w(t)} é o nosso compressor que é: 
 
 
H{w(t)} = w(2t) 
 
 
 - Mas w(2t) = x(2t – t0) 
 
 
- Ou seja: 𝐻{𝑥(𝑡 – 𝑡0)} = 𝑥(2𝑡 – 𝑡0) (32) 
 
 
 
Para y(t) = x(2t) temos: 
 
 
 
𝑦(𝑡 − 𝑡0) = 𝑥(2 (𝑡 − 𝑡0)) (33) 
 
 
 
E comparando a expressão(32) com (33) pra qualquer t0 temos o argumento está um pouco 
diferente pois” (2t – t0)” da eq.32 está diferente de” 2(t – t0)”, então concluímos que é variante 
no tempo! 
 
 
 
Obs 14: Para estabilidade no sentido entrada limitada/saída limitada que quer dizer que o 
sistema vai ser estável pela nossa definição “y(t) = H{x(t)}” quando uma entrada “x(t)” limitada 
em amplitude produz uma saída y(t) limitada em amplitude. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, 
 
 
 
 
Fig.23 – O sinal é limitado numa faixa horizontal o gráfico dele. 
 
 
 
 
Que de acordo com a figura 23 matematicamente é: 
 
 
 
|𝑥(𝑡)| ≤ 𝑀𝑥∀ 𝑡 → |𝑦(𝑡)| ≤ 𝑀𝑦∀ 𝑡 
 
 
- É em módulo porque quer dizer que tem uma limitação e isso é para todo claro menor ou igual 
a respectiva amplitude máxima. 
 
 
 
Exemplo: Amplificador 
 
 
y(t) = 10x(t) 
 
 
 
Queremos verificar que ele é estável, então vamos supor duas etapas: 
 
 
1) Supor que x(t) limitado: 
 
 
 
|𝑥(𝑡)| ≤ 𝑀𝑥 para todo instante de tempo 
 
 
 
 
 
 
2) Verificar se a saída também será limitada. 
 
 
- Se |𝑥(𝑡)| ≤ 𝑀𝑥∀ 𝑡 e temos y(t) = 10x(t) 
 
 
Então |y(t)| = |10x(t)| = 10 |x(t)| 
 
 
Mas sabemos que sempre |x(t)| é menor ou igual a Mx. 
 
 
Ou seja: 
 
 
|𝑦(𝑡)| ≤ 10. 𝑀𝑥 valendo para todo “t” 
 
 
E a saída y(t) também é limitada! 
 
 
 
Outro exemplo - Sistema integrador: 
 
 - A relação do sistema entrada/saída é dada por: 
 
 
 𝑦(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
−∞
 (34) 
 
 
 
 
 Onde, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Será que a integral de um sinal que é limitado tem que ser um sinal limitado pra qualquer 
sinal limitado? Será que estável? 
 
-Resp: Vamos mostrar que não é estável por exemplo, um sinal degrau 
 
 
x(t) = u(t) 
 
 
 
 
Fig.31 – Gráfico de um degrau unitário em que existe uma faixa em que o sinal está limitado. 
 
 
Está limitado pois |𝑥(𝑡)| ≤ 1 ∀ 𝑡 
 
 
Mas a integral do degrau é: 
 
 
𝑦(𝑡) = ∫ 𝑢(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
−∞
= {
𝑡 𝑡 ≥ 0
0 𝑡 < 0
 
 
 
 
 
 
Fig.32 – Temos um sinal degrau unitário do lado esquerdo e aplicamos num integrador (representado por uma 
caixinha) e saí a integral do degrau unitário que é a rampa. 
 
 
 
 
 
 
 
E o que tinha que acontecer para o gráfico do lado esquerdo (rampa) par ao sistema ser 
estável? 
 
 
- Reps: A conclusão para um sistema ser estável é que para o gráfico do degrau (lado esquerdo) 
temos uma limitação de faixa na horizontal dentro da qual o sinal está contido dentro dele e do 
gráfico dar rampa (lado direito ) não tem essa limitação de valor máximo pois se traçarmos uma 
reta na horizontal e colocando qualquer candidato “My”, em algum momento a reta passa dele, 
então : 
 
 
∄𝑀𝑦𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 |𝑦(𝑡)| ≤ 𝑀𝑦∀𝑡 
 
 
 
 
Sistema Instável!