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Material Álgebra Linear II

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Professora Vania C. Machado
A´lgebra Linear II - 2014/01
Exemplo: O operador linear T : R4−→R4, definido por T (x, y, z, t) = (3x− 4z, 3y + 5z,−z,−t)
e´ diagonaliza´vel.
Soluc¸a˜o: De fato, considerando α a base canoˆnica do R4, tem-se:
[T ]αα =

3 0 −4 0
0 3 5 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
 ,
p (λ) = 0 =⇒ det ([T ]αα − λI) = 0 =⇒ det

3− λ 0 −4 0
0 3− λ 5 0
0 0 −1− λ 0
0 0 0 −1− λ
 = 0.
Fazendo j = 4 =⇒
4∑
i=1
ai4∆i4 = 0 =⇒ a44∆44 = 0 =⇒ a44 (−1)4+4 |A44| = 0 =⇒
=⇒ (−1− λ) det

3− λ −4 0
0 3− λ 5
0 0 −1− λ
 = 0 =⇒
(−1− λ) [(3− λ)2 (−1− λ)] = 0 =⇒ (3− λ)2 (−1− λ)2 = 0 =⇒
(3− λ)2 = 0 ou (−1− λ)2 = 0 =⇒ λ = 3 ou λ = −1.
Portanto, λ1 = 3 e λ2 = −1 sa˜o autovalores distintos de T, ambos com multiplicidade 2,
enta˜o os candidatos a polinoˆmio minimal sa˜o:
p1 (x) = (x− 3) (x+ 1)
p2 (x) = (x− 3)2 (x+ 1)
p3 (x) = (x− 3) (x+ 1)2
p4 (x) = (x− 3)2 (x+ 1)2
1
Observe que p1 ([T ]
α
α) = 0 =⇒ p1 (x) = (3− x) (x+ 1) e´ o polonoˆmio minimal =⇒T.3 T e´
diagonaliza´vel=⇒ existe β base de autovetores de R4 e nesta base
[T ]ββ =

3 −0 0 0
0 3 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
 .
Tipos Especiais de Operadores
Definic¸a˜o 01: Seja A uma matriz n× n e At sua transposta.
a) Se A = At dizemos que A e´ sime´trica;
b) Se AAt = AtA = I dizemos que A e´ ortogonal.
TEOREMA 01: Uma matriz e´ ortogonal ⇐⇒ as colunas (ou as linhas) sa˜o vetores ortog-
onais.
Exemplo 01 : Veremos agora uma situac¸a˜o onde matrizes ortogonais aparecem natural-
mente.
Seja V = R2, α = {(1, 0) , (0, 1)} e β = {(cos θ,−senθ) , (senθ, cos θ)} bases ortonormais.
Calculemos [I]αβ .
Soluc¸a˜o:
TEOREMA 02 : Se V e´ um espac¸o vetorial com produto interno e α e β sa˜o bases ortonor-
mais de V, enta˜o a matriz mudanc¸a de base [I]αβ e´ uma matriz ortogonal.
OBS: Se [I]αβ e´ ortogonal =⇒ [I]αβ
(
[I]αβ
)t
= I ou seja:
(
[I]αβ
)t
=
(
[I]αβ
)−1
= [I]βα =⇒
[I]βα =
(
[I]αβ
)t
.
2
Operadores Auto-adjuntos e Ortogonais
Definic¸a˜o 02 : Seja V um espac¸o vetorial com produto interno, α uma base ortonormal de
V e T : V −→ V um operador linear. Enta˜o:
a) T e´ chamado auto-adjunto se [T ]αα e´ uma matriz sime´trica;
(
[T ]αα = ([T ]
α
α)
t
)
b) T e´ dito ortogonal (isome´trico) se [T ]αα e´ uma matriz ortogonal.
((
[T ]αα ([T ]
α
α)
t
)
= I
)
Exemplo 02 : T : R3−→R3 tal que T (x, y, z) = (x cos θ − ysenθ, xsenθ + y cos θ, z) . Se α e´
a base canoˆnica de R3, enta˜o:
[T ]αα =

cos θ −senθ 0
senθ cos θ 0
0 0 1
 =⇒ ([T ]αα)t =

cos θ senθ 0
−senθ cos θ 0
0 0 1
 =⇒
=⇒ [T ]αα ([T ]αα)t =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
 =⇒ [T ]αα e´ ortogonal.
Como α e´ uma base ortonormal =⇒ T : R3 −→ R3 e´ um operador ortogonal ou isome´trico(
T e´ uma isometria).
Exemplo 03: T : R2−→R2 tal que T (x, y) = (2x− 2y,−2x+ 5y) . Se α e´ a base canoˆnica
de R2, enta˜o:
[T ]αα =
 2 −2
−2 5
 =⇒ ([T ]αα)t = [T ]αα =⇒
[T ]αα e´ sime´trica.
Como α e´ uma base ortonormal =⇒ T : R2 −→ R2 e´ um operador auto-adjunto.
Propriedades:
TEOREMA 02: Se V e´ um espac¸o vetorial com produto interno 〈, 〉 e T : V −→ V e´ um
operador linear. Enta˜o T auto-adjunto implica
〈Tv, w〉 = 〈v, Tw〉 , ∀v, w ∈ V.
3
TEOREMA 03: Seja T : V −→ V auto-adjunto e λ1 6= λ2 autovalores e v1, v2 autovetores
associados a λ1, λ2 respectivamente. Enta˜o v1 ⊥ v2.
TEOREMA 04: Seja T : V −→ V auto-adjunto. Enta˜o existe uma base ortonormal de
autovetores.
Exemplo 04: Se T : R3−→R3 operador linear cuja a matriz em relc¸a˜o a base canoˆnica e´
[T ] =

−2 0 0
0 6 1
0 1 6
 .
Podemos exibir uma base ortonormal de autovetores de T?
Como a base canoˆnica do R3 e´ uma base ortonormal e [T ] e´ sime´trica =⇒
T.4
existe uma
base ortonormal de autovetores.
Vamos encontrar os autovalores e autovetores.
p (λ) = 0 =⇒ det ([T ]− λI) = 0 =⇒
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−2− λ 0 0
0 6− λ 1
0 1 6− λ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 =⇒
(−2− λ) (6− λ)2 − (−2− λ) = 0 =⇒
(−2− λ) [(6− λ)2 − 1] = 0 =⇒
(−2− λ) (36− 12λ+ λ2 − 1) = 0 =⇒
(−2− λ) (λ2 − 12λ+ 35) = 0 =⇒
(−2− λ) = 0 ou λ2 − 12λ+ 35 = 0 =⇒
λ1 = −2 ou λ2 = 7, λ3 = 5 =⇒
4
Para λ1 = −2 
−2 0 0
0 6 1
0 1 6


x
y
z
 = −2

x
y
z
 =⇒
−2x = −2x
6y + z = −2y =⇒ z = −8y =⇒ z = 0
y + 6z = −2z =⇒ y = −8z = −8 (−8y) =⇒ y = 64y =⇒ y = 0
=⇒
v1 = (x, 0, 0) = x (1, 0, 0) , x 6= 0 =⇒ v1 ∈ [(1, 0, 0)]
Para λ2 = 7 
−2 0 0
0 6 1
0 1 6


x
y
z
 = 7

x
y
z
 =⇒
−2x = 7x =⇒ 9x = 0 =⇒ x = 0
6y + z = 7y
y + 6z = 7z =⇒ y = z
=⇒
v2 = (0, y, y) = y (0, 1, 1) , y 6= 0 =⇒ v2 ∈ [(0, 1, 1)]
Para λ3 = 5 
−2 0 0
0 6 1
0 1 6


x
y
z
 = 5

x
y
z
 =⇒
−2x = 5x =⇒ 7x = 0 =⇒ x = 0
6y + z = 5y
y + 6z = 5z =⇒ y = −z
=⇒
v3 = (0, y,−y) = y (0, 1,−1) , y 6= 0 =⇒ v3 ∈ [(0, 1,−1)]
Como v1, v2, e v3 sa˜o autovetores associados a λ1, λ2 e λ3 que autovalores distintos =⇒
T.3
v1, v2, e v3 sa˜o ortogonais dois a dois.
5
Assim {v1, v2, v3} e´ uma base ortogonal de R3. Portanto, basta normaliza´rmos esses ve-
tores que teremos a base desejada.
Normalizando,
u1 =
v1
‖v1‖ , u2 =
v2
‖v2‖ , u3 =
v3
‖v3‖ .
Onde,
‖v1‖ = 1, ‖v2‖ =
√
2, ‖v3‖ =
√
2.
Portanto,
β =
{
(1, 0, 0) ,
(
0,
1√
2
,
1√
2
)
,
(
0,
1√
2
,− 1√
2
)}
e´ a base procurada.
TEOREMA 05 (Teorema Espectral): Seja T : V −→ V um operador linear num espac¸o
vetorial V com produto interno 〈, 〉 . Enta˜o as condic¸o˜es abaixo sa˜o equivalentes.
a) T e´ ortogonal;
b) T transforma bases ortogonais em bases ortogonais, isto e´, se {v1, v2, . . . . , vn} e´ uma base
ortonormal de V, enta˜o {Tv1, T v2, . . . . , T vn} e´ uma base ortonormal;
c) T preserva produto interno, isto e´,
〈Tu, Tv〉 = 〈u, v〉 .
d) T preserva norma, isto e´,
‖Tv‖ = ‖v‖ .
6

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