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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro Professora Vania C. Machado A´lgebra Linear II - 2014/01 Exemplo: O operador linear T : R4−→R4, definido por T (x, y, z, t) = (3x− 4z, 3y + 5z,−z,−t) e´ diagonaliza´vel. Soluc¸a˜o: De fato, considerando α a base canoˆnica do R4, tem-se: [T ]αα = 3 0 −4 0 0 3 5 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 , p (λ) = 0 =⇒ det ([T ]αα − λI) = 0 =⇒ det 3− λ 0 −4 0 0 3− λ 5 0 0 0 −1− λ 0 0 0 0 −1− λ = 0. Fazendo j = 4 =⇒ 4∑ i=1 ai4∆i4 = 0 =⇒ a44∆44 = 0 =⇒ a44 (−1)4+4 |A44| = 0 =⇒ =⇒ (−1− λ) det 3− λ −4 0 0 3− λ 5 0 0 −1− λ = 0 =⇒ (−1− λ) [(3− λ)2 (−1− λ)] = 0 =⇒ (3− λ)2 (−1− λ)2 = 0 =⇒ (3− λ)2 = 0 ou (−1− λ)2 = 0 =⇒ λ = 3 ou λ = −1. Portanto, λ1 = 3 e λ2 = −1 sa˜o autovalores distintos de T, ambos com multiplicidade 2, enta˜o os candidatos a polinoˆmio minimal sa˜o: p1 (x) = (x− 3) (x+ 1) p2 (x) = (x− 3)2 (x+ 1) p3 (x) = (x− 3) (x+ 1)2 p4 (x) = (x− 3)2 (x+ 1)2 1 Observe que p1 ([T ] α α) = 0 =⇒ p1 (x) = (3− x) (x+ 1) e´ o polonoˆmio minimal =⇒T.3 T e´ diagonaliza´vel=⇒ existe β base de autovetores de R4 e nesta base [T ]ββ = 3 −0 0 0 0 3 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 . Tipos Especiais de Operadores Definic¸a˜o 01: Seja A uma matriz n× n e At sua transposta. a) Se A = At dizemos que A e´ sime´trica; b) Se AAt = AtA = I dizemos que A e´ ortogonal. TEOREMA 01: Uma matriz e´ ortogonal ⇐⇒ as colunas (ou as linhas) sa˜o vetores ortog- onais. Exemplo 01 : Veremos agora uma situac¸a˜o onde matrizes ortogonais aparecem natural- mente. Seja V = R2, α = {(1, 0) , (0, 1)} e β = {(cos θ,−senθ) , (senθ, cos θ)} bases ortonormais. Calculemos [I]αβ . Soluc¸a˜o: TEOREMA 02 : Se V e´ um espac¸o vetorial com produto interno e α e β sa˜o bases ortonor- mais de V, enta˜o a matriz mudanc¸a de base [I]αβ e´ uma matriz ortogonal. OBS: Se [I]αβ e´ ortogonal =⇒ [I]αβ ( [I]αβ )t = I ou seja: ( [I]αβ )t = ( [I]αβ )−1 = [I]βα =⇒ [I]βα = ( [I]αβ )t . 2 Operadores Auto-adjuntos e Ortogonais Definic¸a˜o 02 : Seja V um espac¸o vetorial com produto interno, α uma base ortonormal de V e T : V −→ V um operador linear. Enta˜o: a) T e´ chamado auto-adjunto se [T ]αα e´ uma matriz sime´trica; ( [T ]αα = ([T ] α α) t ) b) T e´ dito ortogonal (isome´trico) se [T ]αα e´ uma matriz ortogonal. (( [T ]αα ([T ] α α) t ) = I ) Exemplo 02 : T : R3−→R3 tal que T (x, y, z) = (x cos θ − ysenθ, xsenθ + y cos θ, z) . Se α e´ a base canoˆnica de R3, enta˜o: [T ]αα = cos θ −senθ 0 senθ cos θ 0 0 0 1 =⇒ ([T ]αα)t = cos θ senθ 0 −senθ cos θ 0 0 0 1 =⇒ =⇒ [T ]αα ([T ]αα)t = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 =⇒ [T ]αα e´ ortogonal. Como α e´ uma base ortonormal =⇒ T : R3 −→ R3 e´ um operador ortogonal ou isome´trico( T e´ uma isometria). Exemplo 03: T : R2−→R2 tal que T (x, y) = (2x− 2y,−2x+ 5y) . Se α e´ a base canoˆnica de R2, enta˜o: [T ]αα = 2 −2 −2 5 =⇒ ([T ]αα)t = [T ]αα =⇒ [T ]αα e´ sime´trica. Como α e´ uma base ortonormal =⇒ T : R2 −→ R2 e´ um operador auto-adjunto. Propriedades: TEOREMA 02: Se V e´ um espac¸o vetorial com produto interno 〈, 〉 e T : V −→ V e´ um operador linear. Enta˜o T auto-adjunto implica 〈Tv, w〉 = 〈v, Tw〉 , ∀v, w ∈ V. 3 TEOREMA 03: Seja T : V −→ V auto-adjunto e λ1 6= λ2 autovalores e v1, v2 autovetores associados a λ1, λ2 respectivamente. Enta˜o v1 ⊥ v2. TEOREMA 04: Seja T : V −→ V auto-adjunto. Enta˜o existe uma base ortonormal de autovetores. Exemplo 04: Se T : R3−→R3 operador linear cuja a matriz em relc¸a˜o a base canoˆnica e´ [T ] = −2 0 0 0 6 1 0 1 6 . Podemos exibir uma base ortonormal de autovetores de T? Como a base canoˆnica do R3 e´ uma base ortonormal e [T ] e´ sime´trica =⇒ T.4 existe uma base ortonormal de autovetores. Vamos encontrar os autovalores e autovetores. p (λ) = 0 =⇒ det ([T ]− λI) = 0 =⇒ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −2− λ 0 0 0 6− λ 1 0 1 6− λ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 =⇒ (−2− λ) (6− λ)2 − (−2− λ) = 0 =⇒ (−2− λ) [(6− λ)2 − 1] = 0 =⇒ (−2− λ) (36− 12λ+ λ2 − 1) = 0 =⇒ (−2− λ) (λ2 − 12λ+ 35) = 0 =⇒ (−2− λ) = 0 ou λ2 − 12λ+ 35 = 0 =⇒ λ1 = −2 ou λ2 = 7, λ3 = 5 =⇒ 4 Para λ1 = −2 −2 0 0 0 6 1 0 1 6 x y z = −2 x y z =⇒ −2x = −2x 6y + z = −2y =⇒ z = −8y =⇒ z = 0 y + 6z = −2z =⇒ y = −8z = −8 (−8y) =⇒ y = 64y =⇒ y = 0 =⇒ v1 = (x, 0, 0) = x (1, 0, 0) , x 6= 0 =⇒ v1 ∈ [(1, 0, 0)] Para λ2 = 7 −2 0 0 0 6 1 0 1 6 x y z = 7 x y z =⇒ −2x = 7x =⇒ 9x = 0 =⇒ x = 0 6y + z = 7y y + 6z = 7z =⇒ y = z =⇒ v2 = (0, y, y) = y (0, 1, 1) , y 6= 0 =⇒ v2 ∈ [(0, 1, 1)] Para λ3 = 5 −2 0 0 0 6 1 0 1 6 x y z = 5 x y z =⇒ −2x = 5x =⇒ 7x = 0 =⇒ x = 0 6y + z = 5y y + 6z = 5z =⇒ y = −z =⇒ v3 = (0, y,−y) = y (0, 1,−1) , y 6= 0 =⇒ v3 ∈ [(0, 1,−1)] Como v1, v2, e v3 sa˜o autovetores associados a λ1, λ2 e λ3 que autovalores distintos =⇒ T.3 v1, v2, e v3 sa˜o ortogonais dois a dois. 5 Assim {v1, v2, v3} e´ uma base ortogonal de R3. Portanto, basta normaliza´rmos esses ve- tores que teremos a base desejada. Normalizando, u1 = v1 ‖v1‖ , u2 = v2 ‖v2‖ , u3 = v3 ‖v3‖ . Onde, ‖v1‖ = 1, ‖v2‖ = √ 2, ‖v3‖ = √ 2. Portanto, β = { (1, 0, 0) , ( 0, 1√ 2 , 1√ 2 ) , ( 0, 1√ 2 ,− 1√ 2 )} e´ a base procurada. TEOREMA 05 (Teorema Espectral): Seja T : V −→ V um operador linear num espac¸o vetorial V com produto interno 〈, 〉 . Enta˜o as condic¸o˜es abaixo sa˜o equivalentes. a) T e´ ortogonal; b) T transforma bases ortogonais em bases ortogonais, isto e´, se {v1, v2, . . . . , vn} e´ uma base ortonormal de V, enta˜o {Tv1, T v2, . . . . , T vn} e´ uma base ortonormal; c) T preserva produto interno, isto e´, 〈Tu, Tv〉 = 〈u, v〉 . d) T preserva norma, isto e´, ‖Tv‖ = ‖v‖ . 6
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