AD1-Q2-2019-1-Gabarito

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questão 2 da AD 1 – Métodos Determińısticos I – 2019-1
Questão 2 (2,5 pontos)
Para os itens (a) a (e), considere a proposição abaixo:
p: “Em todas as filiais das lojas As Pindamonhangabenses, todos os cheques emitidos no mês de
janeiro foram compensados.”
(a) Escreva a negação da proposição p.
Solução: A negação de p é dada por
∼ p: “Em pelo menos alguma das filiais das lojas As Pindamonhangabenses, pelo menos um
cheques emitidos no mês de janeiro não foi compensado.”
ou ainda, em outras palavras,
∼ p: “Existe alguma das filiais das lojas As Pindamonhangabenses, tal que exista nesta filial
algum cheques emitido no mês de janeiro que não foi compensado.”
Para justificar isto, podemos pensar da seguinte forma. Considere a seguinte notação:
F : conjunto das filiais das lojas As Pindamonhangabenses
Cf : conjunto dos cheques compensados na filial f
Assim, p pode ser escrita como
p : ∀f ∈ F, ∀c ∈ Cf , c foi compensado.
Vamos também escrever
q(f) : ∀c ∈ Cf , c foi compensado.
Assim,
p : ∀f ∈ F, q(f)
Como foi visto no EP3, a negação de p é dada por
∼ p : ∃f ∈ F | ∼ q(f).
Por outro lado, a negação de q(f) é
∼ q(f) : ∃c ∈ Cf | c não foi compensado.
Assim,
∼ p : ∃f ∈ F | ∃c ∈ Cf | c não foi compensado.
Em palavras, isto corresponde às duas formas apresentadas acima:
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 2 da AD 1 – 2019-1 2
∼ p: “Em pelo menos alguma das filiais das lojas As Pindamonhangabenses, pelo menos um
cheques emitidos no mês de janeiro não foi compensado.”
ou
∼ p: “Existe alguma das filiais das lojas As Pindamonhangabenses, tal que exista nesta filial
algum cheques emitido no mês de janeiro que não foi compensado.”
Achou complicado? Acreditamos, isto realmente não é simples. Mas, exatamente para que
você consiga chegar à negação correta, ainda que não da maneira mais formal apresentada
aqui, é que existem os itens de (b) a (e).
Para os itens (b), (c), (d) e (e), suponha que a rede de lojas As Pindamonhangabenses possua
atualmente 3 filiais.
(b) Imagine a seguinte situação sobre o mês de janeiro:
Filial 1: todos os cheques foram compensados
Filial 2: todos os cheques foram compensados
Filial 3: 3 cheques não foram compensado
A proposição p é verdadeira ou falsa? A negação que você escreveu no item (a) é verdadeira
ou falsa?
Solução: A proposição p é falsa neste caso, pois, em pelo menos alguma filial, não aconteceu
de todos os cheques serem compensados. Repare que poderiam ter sido 3 cheques, mil cheques
ou apenas um, concorda? Já a negação ∼ p escrita acima é verdadeira.
(c) Imagine agora a seguinte situação sobre o mês de janeiro:
Filial 1: todos os cheques foram compensados
Filial 2: todos os cheques foram compensados
Filial 3: nenhum cheque foi compensado
A proposição p é verdadeira ou falsa? A negação que você escreveu no item (a) é verdadeira
ou falsa?
Solução: Admitindo que a filial 3 recebeu algum cheque, a proposição p é falsa neste caso,
pois, em pelo menos alguma filial, não aconteceu de todos os cheques serem compensados.
Neste caso, ∼ p seria verdadeira.
Acontece que, se a filial 3 não recebeu cheque algum, não dá para dizer que p é falsa, pois
não houve um cheque que não tenha sido compensado. Lembre-se de que, a negação de
∀x ∈ X, r(x) é ∃x ∈ X | ∼ r(x).
Note que, caso a Filial 3 não tenha recebido cheque algum, a negação ∼ p escrita acima é
falsa (não existe filial na qual exista cheque não compensado.).
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 2 da AD 1 – 2019-1 3
Assim, não podemos dizer que p seja falsa, bem como não podemos afirmar nada sobre ∼ p.
(d) Imagine agora a seguinte situação sobre o mês de janeiro:
Filial 1: 1 cheque não foi compensado
Filial 2: 2 cheques não foram compensados
Filial 3: nenhum cheque foi compensado
A proposição p é verdadeira ou falsa? A negação que você escreveu no item (a) é verdadeira
ou falsa?
Solução: A proposição p é falsa neste caso, pois, em pelo menos alguma filial (Filial 1, Filial
2), não aconteceu de todos os cheques serem compensados.
Note que ∼ p é verdadeira.
(e) Imagine agora a seguinte situação sobre o mês de janeiro:
Filial 1: nenhum cheque foi compensado
Filial 2: nenhum cheque foi compensado
Filial 3: nenhum cheque foi compensado
A proposição p é verdadeira ou falsa? A negação que você escreveu no item (a) é verdadeira
ou falsa?
Solução: Admitindo que alguma filial tenha recebido algum cheque, a proposição p é falsa
neste caso, pois, nesta filial, não teria acontecido de todos os cheques serem compensados.
Porém, pode ter ocorrido de nenhuma das filiais receber cheques... e áı? Neste caso, não
daria para dizer que a proposição p está sendo descumprida, pois, como dissemos, dizer que
“todo cheque foi compensado”é falso, é dizer que “existe cheque que não foi compensado”,
pois, como visto no EP3, a negação de uma sentença do tipo ∀x ∈ X, r(x) é ∃x ∈ X | ∼ r(x).
Note que, caso todas as filiais não tenha recebido cheque algum, a negação ∼ p escrita acima
é falsa (não existe filial na qual exista cheque não compensado.).
Assim, não podemos dizer que p seja falsa, bem como não podemos afirmar nada sobre ∼ p.
(f) [Bônus] Após responder alguns dos itens de (b) a (e), você alterou a resposta que havia ini-
cialmente dado no item (a) ? Em caso afirmativo, escreva a resposta original e explique por
que razão mudou de ideia. [ Seja sincero! ]
Solução: Esta é a questão mais interessante!
É posśıvel que você, ou um colega seu, tenha negado p da forma
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 2 da AD 1 – 2019-1 4
∼ p: “Em nenhuma das filiais das lojas As Pindamonhangabenses, nenhum cheque emitido
no mês de janeiro foi compensado.”
É normal confundirmos negação com oposição ou com o conceito de antônimo. Negação,
em lógica, é a ideia do complementar lógico, isto é, a negação de p, denotada ∼ p, é ver-
dadeira sempre que p é falsa, e é falsa sempre que p for verdadeira.
Um exemplo simples: a negação de “João é muito alto”não é “João é muito baixo”. Para ser
mentira que “João é muito alto”, é necessário e suficiente que ele seja baixo, mediano ou até
razovelmente alto. Ou seja, que não seja muito alto.
Outro exemplo, este com quantificadores e mais relacionado a esta questão: a negação de
“todos desta turma usam óculos”não é “ninguém desta turma usa óculos”. Para ser mentira
que “todos desta turma usam óculos”, bastaria e seria necessário que “pelo menos uma pessoa
da turma não usa óculos”, ou seja, “existe pessoa desta turma que não usa óculos”.
Imagine a negação de um “para todo”como uma situação de cumprimento de lei. Pense no
seguinte exemplo, absolutamente cotidiano: “em todos os turnos de uma obra, todos os tra-
balhadores devem utilizar equipamento de proteção individual (EPI)”.
Se você fosse um fiscal do Ministério do Trabalho, em que situação autuaria a construtora?
Bom, bastaria existir um turno da obra no qual exista algum trabalhador que não esteja usando
seu EPI. Mesmo que todos os outros trabalhadores, deste turno ou de todos os outros, esti-
vessem utilizando seu EPI, uma única ocorrência já feriu a lei. Certo? Pense com calma!
Ainda no exemplo acima, imagine uma obra parada, sem trabalhadores. Nela, pode-se dizer que
“nenhum trabalhador, em nenhum dos turnos, usa seu EPI”. Claro, né, não tem trabalhador
algum na obra... Mas, neste caso, a lei não estaria sendo descumprida! Estaria? Você, como
fiscal, consegue apontar algum trabalhador sem EPI?
Portanto, resumindo esta questão:
• A negação de
p : ∀x ∈ X, q(x)
é
∼ p : ∃x ∈ X | ∼ q(x).
• A negação de
p :∀x ∈ X, ∀y ∈ Y, q(x, y)
é
∼ p : ∃x ∈ X | ∃y ∈ Y | ∼ q(x, y).
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ