MATEMATICA BÁSICA I - UNIDADE 1

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MATEMÁTICA BÁSICA I
CURSOS DE GRADUAÇÃO – EAD
Matemática Básica I – Prof. Ms. Antônio César Geron
Meu nome é Antônio César Geron. Sou mestre em Ciências e 
Práticas Educativas pela Universidade de Franca (Unifran/SP) e 
especialista em Educação Matemática, licenciado em Física e 
Matemática pela mesma universidade. Atuo como professor 
nas áreas de Física e Matemática no Ensino Fundamental II e no 
Ensino Médio em diversos cursos de graduação e EaD.
E-mail: geron@claretiano.edu.br
Fazemos parte do Claretiano - Rede de Educação
MATEMÁTICA BÁSICA I
Antônio César Geron
Batatais
Claretiano
2013
Fazemos parte do Claretiano - Rede de Educação
© Ação Educacional Claretiana, 2012 – Batatais (SP)
Versão: dez./2013
 
510 G325m
 Geron, Antônio César
 Matemática Básica I / Antônio César Geron – Batatais, SP : Claretiano, 
 2013.
 288 p.
 ISBN: 978-85-8377-044-2
 
 1. Teoria dos conjuntos. 2. Produtos notáv eis e f atoração. 3. Razão e 
 proporção. 4. Funções. 5. Trigonometria. I. Matemática Básica I. 
 
 CDD 510
Corpo Técnico Editorial do Material Didático Mediacional
Coordenador de Material Didático Mediacional: J. Alves
Preparação 
Aline de Fátima Guedes
Camila Maria Nardi Matos 
Carolina de Andrade Baviera
Cátia Aparecida Ribeiro
Dandara Louise Vieira Matavelli
Elaine Aparecida de Lima Moraes
Josiane Marchiori Martins
Lidiane Maria Magalini
Luciana A. Mani Adami
Luciana dos Santos Sançana de Melo
Luis Henrique de Souza
Patrícia Alves Veronez Montera
Rita Cristina Bartolomeu 
Rosemeire Cristina Astolphi Buzzelli
Simone Rodrigues de Oliveira
Bibliotecária 
Ana Carolina Guimarães – CRB7: 64/11
Revisão
Cecília Beatriz Alves Teixeira
Felipe Aleixo
Filipi Andrade de Deus Silveira
Paulo Roberto F. M. Sposati Ortiz
Rodrigo Ferreira Daverni
Sônia Galindo Melo
Talita Cristina Bartolomeu
Vanessa Vergani Machado
Projeto gráfico, diagramação e capa 
Eduardo de Oliveira Azevedo
Joice Cristina Micai 
Lúcia Maria de Sousa Ferrão
Luis Antônio Guimarães Toloi 
Raphael Fantacini de Oliveira
Tamires Botta Murakami de Souza
Wagner Segato dos Santos
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Claretiano - Centro Universitário
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SUMÁRIO
CADERnO DE REfERênCIA DE COnTEúDO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 9
2 ORIENTAÇÕES PARA ESTUDO .......................................................................... 10
3 REFERêNCIAS BIBLIOGRáFICAS ...................................................................... 71
4 E-REFERêNCIAS ................................................................................................ 72
UNIDADE 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS, POTêNCIAS E FRAÇÕES
1 OBJETIVOS ........................................................................................................ 73
2 CONTEúDOS ..................................................................................................... 73
3 ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE ............................................... 74
4 INTRODUÇÃO À UNIDADE ............................................................................... 74
5 CONJUNTOS NUMÉRICOS................................................................................ 75
6 OPERAÇÕES ELEMENTARES NO CONJUNTO DOS NúMEROS REAIS ............ 82
7 CASOS PARTICULARES DA MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO ................................ 84
8 POTêNCIAS ........................................................................................................ 85
9 RADICAIS ........................................................................................................... 90
10 REVISÃO DE CONCEITOS IMPORTANTES ........................................................ 93
11 OPERAÇÕES COM OS NúMEROS RACIONAIS ................................................ 98
12 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS ........................................................................ 104
13 CONSIDERAÇÕES .............................................................................................. 107
14 E-REFERêNCIAS ................................................................................................ 107
15 REFERêNCIAS BIBLIOGRáFICAS ...................................................................... 107
UNIDADE 2 – ExPRESSÕES ALGÉBRICAS
1 OBJETIVOS ........................................................................................................ 109
2 CONTEúDOS ..................................................................................................... 109
3 ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE ............................................... 109
4 INTRODUÇÃO À UNIDADE ............................................................................... 110
5 ExPRESSÕES ALGÉBRICAS ............................................................................... 110
6 EQUAÇÕES POLINOMIAIS ................................................................................ 111
7 FATORAÇÃO ...................................................................................................... 116
8 PRODUTOS NOTáVEIS ...................................................................................... 119
9 EQUAÇÕES ........................................................................................................ 121
10 INEQUAÇÕES .................................................................................................... 129
11 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS ........................................................................ 135
12 CONSIDERAÇÕES .............................................................................................. 136
13 E-REFERêNCIA .................................................................................................. 137
14 REFERêNCIAS BIBLIOGRáFICAS ...................................................................... 137
UNIDADE 3 – RAzÕES, PROPORÇÕES, FUNÇÕES E RELAÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS
1 OBJETIVOS ........................................................................................................ 139
2 CONTEúDOS ..................................................................................................... 139
3 ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE ............................................... 140
4 INTRODUÇÃO À UNIDADE ............................................................................... 140
5 RAzÃO E PROPORÇÃO ..................................................................................... 140
6 FUNÇÕES ........................................................................................................... 157
7 OPERAÇÕES COM FUNÇÕES ............................................................................ 172
8 RAzÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIâNGULO RETâNGULO......................... 174
9 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS ........................................................................ 180
10 CONSIDERAÇÕES .............................................................................................. 181
11 E-REFERêNCIA .................................................................................................. 182
12 REFERêNCIAS BIBLIOGRáFICAS ......................................................................182
UNIDADE 4 – ExPONENCIAIS E LOGARITMO
1 OBJETIVOS ........................................................................................................ 183
2 CONTEúDOS ..................................................................................................... 183
3 ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE ............................................... 183
4 INTRODUÇÃO À UNIDADE ............................................................................... 184
5 FUNÇÕES ExPONENCIAIS ................................................................................ 184
6 LOGARITMO ...................................................................................................... 197
7 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS ........................................................................ 206
8 CONSIDERAÇÕES .............................................................................................. 207
9 REFERêNCIAS BIBLIOGRáFICAS ...................................................................... 208
UNIDADE 5 – TRIGONOMETRIA
1 OBJETIVOS ........................................................................................................ 209
2 CONTEúDOS ..................................................................................................... 209
3 ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE ............................................... 209
4 INTRODUÇÃO À UNIDADE ............................................................................... 210
5 TRIGONOMETRIA ............................................................................................. 210
6 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS ........................................................................ 250
7 CONSIDERAÇÕES .............................................................................................. 251
8 E-REFERêNCIAS ................................................................................................ 252
9 REFERêNCIAS BIBLIOGRáFICAS ...................................................................... 252
UNIDADE 6 – NúMEROS COMPLExOS
1 OBJETIVOS ........................................................................................................ 255
2 CONTEúDOS ..................................................................................................... 255
3 ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE ............................................... 255
4 INTRODUÇÃO À UNIDADE ............................................................................... 256
5 NúMEROS COMPLExOS ................................................................................... 256
6 OPERAÇÕES COM NúMEROS COMPLExOS .................................................... 259
7 FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DE UM NúMERO COMPLExO ........ 265
8 OPERAÇÕES DE COMPLExOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA ..................... 269
9 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS ........................................................................ 285
10 CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................. 286
11 REFERêNCIAS BIBLIOGRáFICAS ...................................................................... 287
CRC
Caderno de 
Referência de 
Conteúdo
Ementa –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Teoria dos conjuntos como base para definição de número natural e demais ex-
tensões dos campos numéricos. Conjuntos numéricos. Operações com números 
reais. Produtos notáveis e fatoração. Razão e proporção. Resolução de equa-
ções e inequações. Funções. Trigonometria no triângulo retângulo. Exponenciais 
e logaritmos. Trigonometria: conjunto dos números complexos.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1. InTRODUÇÃO
Vamos juntos refletir sobre o ensino-aprendizagem da Mate-
mática e descobrir que o domínio de certos conteúdos, conceitos, 
habilidades e competências próprias à Matemática são de extre-
ma importância para o exercício pleno da construção do conheci-
mento e da cidadania.
Neste Caderno de Referência de Conteúdo vamos revisar o 
estudo de alguns conceitos básicos como conjuntos numéricos, 
potências e raízes, números primos e fatores primos, máximo di-
© Matemática Básica I10
visor comum e mínimo múltiplo comum, frações, expressões algé-
bricas, fatoração e produtos notáveis.
Revisaremos também os conceitos de equação e inequação do 
1º e 2º grau, razão e proporção. Além disso, vamos conceituar e de-
finir funções, construir e interpretar gráficos, identificar e reconhecer 
diferentes tipos de funções e sua utilização no estudo de fenômenos 
do cotidiano da Matemática e de outras ciências. Revisaremos razões 
trigonométricas no triângulo retângulo e também conceitos de seno, 
cosseno, tangente e funções no ciclo trigonométrico, além de núme-
ros complexos, conceito, propriedades e operações.
Esperamos que o estudo e a compreensão dos conteúdos e 
conceitos abordados neste Caderno de Referência de Conteúdo pos-
sam contribuir de maneira significativa para o domínio de impor-
tantes conceitos matemáticos capazes de proporcionar-lhe maior 
coerência e objetividade em seu raciocínio lógico e no aumento sig-
nificativo de seus conhecimentos.
Após essa introdução aos conceitos principais apresentare-
mos, a seguir, no Tópico Orientações para estudo, algumas orienta-
ções de caráter motivacional, dicas e estratégias de aprendizagem 
que poderão facilitar seu estudo.
2. ORIEnTAÇÕES PARA ESTUDO
Abordagem Geral
Aqui, você entrará em contato com os assuntos principais 
deste conteúdo de forma breve e geral e terá a oportunidade de 
aprofundar essas questões no estudo de cada unidade. Desse 
modo, essa Abordagem Geral visa fornecer-lhe o conhecimento 
básico necessário a partir do qual você possa construir um refe-
rencial teórico com base sólida – científica e cultural – para que, no 
futuro exercício de sua profissão, você a exerça com competência 
cognitiva, ética e responsabilidade social.
Claretiano - Centro Universitário
11© Caderno de Referência de Conteúdo
Unidade 1 – Conjuntos numéricos
Na Unidade 1, estudaremos o conjunto dos números na-
turais, dos números inteiros, racionais, irracionais e reais, como 
também operações com esses números. Veremos potência e suas 
propriedades operatórias; radicais e propriedades.
Revisaremos os conceitos de divisores e múltiplos de um nú-
mero, números primos, números compostos, máximo divisor co-
mum e mínimo múltiplo comum.
Lembre-se de que, neste Caderno de Referência de Conteú-
do (CRC), abordaremos apenas os conceitos básicos. Exemplos e o 
estudo mais aprofundado dos conteúdos desta unidade deverão 
ser realizados diretamente na Unidade 1 e demais.
Conjuntos numéricos
A teoria matemática desenvolveu-se com base em dois ob-
jetos elementares: os números e as figuras geométricas. Esses são 
imprescindíveis à compreensão e à utilização da Matemática como 
ferramenta para uma participação mais ativa na sociedade.
Estamos acostumados a lidar com diversos tipos de núme-
ros, como, por exemplo, os números inteiros, com ou sem sinal: 
3, +2, -4, 22, -1 etc.; os números fracionários: etc.; os 
números decimais: 0,32; 5,673; -67,24 etc.
Há também números como , (o número "pi" ligado ao 
cálculo do comprimento da circunferência), que são chamados nú-
meros irracionais.
Esses números são classificados em grupos, como apresen-
taremos a seguir.
Conjunto dos números naturais ( )
O conjunto dos números naturais é representado por:
© Matemática Básica I12
As reticências após o número 5 indicam que existem infinitos 
números naturais.
Conjunto dos números inteiros ( )
O conjunto dos números inteiros é representado por:
Observe que o conjunto dos números inteiros contém o 
conjunto dos números naturais .
No conjunto dos números inteiros, dado um número x qual-
quer, chamamos oposto de x (ou simétrico de x) ao número que 
está à mesma distância do número x ao zero, mas em sentido 
oposto e indicamos o oposto de x por –x.
No conjunto dos números inteiros anterior,e na reta numé-
rica da Figura 1, o oposto de –2, em símbolos, é ou 2, ou 
seja, a distância de –2 até zero é 2. Nesse sentido, o oposto de 4, 
em símbolos, é –4, e o oposto de 1 é –1.
Figura 1 Reta numérica dos números inteiros.
Outro importante conceito que podemos destacar no con-
junto dos números inteiros é o conceito de módulo ou valor abso-
luto de um número inteiro. Assim, podemos chamar de módulo 
ou valor absoluto de um número inteiro x à distância de zero até 
o número x.
Indicamos módulo ou valor absoluto de x por . A distância 
de zero a x é o número de unidades de zero até o número x, e po-
demos escrever: .
Observe que, na reta numérica dos números inteiros da Fi-
gura 1, a distância ; dessa maneira, temos que .
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13© Caderno de Referência de Conteúdo
De acordo com esse conceito, temos: o módulo de 5 é 5, 
pois ou ; o módulo de –8 é 8, pois ou 
.
Conjunto dos números racionais ( Q )
O conjunto dos números racionais é o conjunto dos números 
que podem ser escritos na forma de uma fração p
q
 com 0q ≠ .
São números racionais: 7 1 1 5 4, , , ,
5 3 2 4 2
− − .
Todo número racional, na forma de fração p
q
, tem uma re-
presentação decimal, bastando para isso dividir o numerador p da 
fração pelo denominador q, com 0q ≠ .
Vejamos:
a)
 
3 0,75
4
= ;
 
4 0,8
5
− = − ;
 
1 0,125
8
= ;
 
22 2,0
1
= =
b)
 
1 0,333...
3
= ; 
131 0,1323232...
990
=
 
(dízimas periódicas)
De modo geral, é possível afirmar que os números racionais 
são representados por frações, decimais finitas do tipo 0,75 ou 
por decimais infinitas periódicas, como, por exemplo, 0,3333... (as 
dízimas periódicas).
Adotamos a seguinte convenção: duas frações, tais que uma 
delas é a forma simplificada da outra, representam o mesmo nú-
mero racional. Assim, 6
2
 e 3
1
 representam o mesmo valor e, nes-
se caso, podem ser representadas pelo número inteiro 3.
Desse fato decorre que o conjunto dos números racionais 
contém o conjunto dos números inteiros.
© Matemática Básica I14
Conjunto dos números irracionais ( I )
Até a época de Pitágoras, acreditava-se que o conjunto dos nú-
meros racionais era suficiente para resolver todos os problemas de 
Matemática. No entanto, os próprios estudiosos da Escola Pitagórica 
descobriram a necessidade de ampliar esse conjunto para resolver um 
simples problema de geometria: calcular o comprimento da hipotenusa 
de um triângulo retângulo cujos catetos têm medida igual a 1 (Figura 2).
Figura 2 Triângulo retângulo de catetos com medida igual a 1.
Para compreender melhor, lembremo-nos do famoso teore-
ma de Pitágoras, que enuncia: em um triângulo retângulo, o qua-
drado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das 
medidas dos catetos.
No triângulo da Figura 2, a medida da hipotenusa deve ser 
um número que, elevado ao quadrado, seja igual a 2.
De acordo com o teorema de Pitágoras, temos:
2 2 2 21 1 2 2a a a= + ⇒ = ⇒ =
Esse número, representado pelo símbolo 2 , não pode ser 
racional, isto é, não existe nenhum par de números inteiros p e 
q , tal que 
2
2p
q
 
= 
 
, ou seja, esse número não pode ser escrito 
na forma de fração.
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15© Caderno de Referência de Conteúdo
Concluímos que 2 é um número irracional, cuja forma de 
representação decimal tem infinitas casas decimais, sem que seja 
uma dízima periódica: 2 1,41421356...= .
Além do número 2 e do "pi" ( 3,14159...π = ), citado ante-
riormente, existe uma infinidade de outros números irracionais ca-
racterizados por terem representação decimal com infinitas casas 
decimais, sem que sejam dízimas periódicas.
Conjunto dos números reais ( R )
É considerado conjunto dos números reais ( R ) a junção do con-
junto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.
O conjunto dos números reais tem uma representação geo-
métrica muito importante: cada número real x corresponde a um 
único ponto da reta e, reciprocamente, cada ponto da reta cor-
responde a um único número real. Essa correspondência permite 
identificar o conjunto dos números reais com a reta real.
Podemos representar o conjunto dos números reais de acor-
do com o esquema da Figura 3. Observe que o conjunto dos nú-
meros reais é composto pelo conjunto dos números naturais ( N ), 
inteiros ( Z ), racionais ( Q ) e irracionais ( I ).
Conjunto dos Números Reais (R)
R - Q = I
(Irracionais)
N Z Q
Figura 3 Representação esquemática do conjunto dos números reais.
© Matemática Básica I16
Potências
Um produto de fatores iguais pode ser escrito na forma de 
potência. Por exemplo: 42 2 2 2 2⋅ ⋅ ⋅ = , na qual 2 é a base e 4, o 
expoente. A expressão 24 (lê-se "dois elevado à quarta").
Veremos a seguir algumas particularidades das potências.
Potência de expoente natural
Dados os números e ,a R n N∈ ∈ definimos:
• 
0 1a = ( 0)a ≠ (
00 não é definido)
• 
1a a=
•
 
...n
n parcelas
a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Exemplos:
•
 
05 1
4
  = 
 
• ( )
112 12− = −
• ( ) ( ) ( )
23 3 3 9− = − ⋅ − =
• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
42 2 2 2 2 16− = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − =
Potência de expoente negativo
Dados os números a R∈ ( )0a ≠ e n N∈ , definimos:
1 n na a
− =
Exemplos:
•
 
2
2
1 13
3 9
− = =
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17© Caderno de Referência de Conteúdo
• ( )
( )
3
3
1 1 13
27 273
−− = = = −
−−
Potência de expoente fracionário
Dados os números a, m e n, com , 0 , , a R a m Z n N∈ > ∈ ∈ , 
definimos: 
m
n mna a= .
Em particular, podemos escrever:
nn aa =
1
Exemplos:
• 
2
3 2 334 4 16= =
• 
1
29 9 3= =
Deve-se considerar que ( )na− não é o mesmo que ( )na− . 
Veja o exemplo: ( ) ( ) ( )22 2 2 4− = − ⋅ − = e ( )22 2 2 4− = − ⋅ = − .
Sendo a um número real e m e n, números naturais, pode-
mos escrever:
m
n mna a=
Nela:
• m é o expoente do radicando;
• n o índice do radical e 0n ≠ e 0a ≥ .
Se as potências 
1
na e 
m
na definidas anteriormente tiverem o 
expoente negativo, teremos:
1
1
1
1 1 1 1 e 
m
mn n
n n
m
n n
a a
a aa a
− −   = = = =   
   
© Matemática Básica I18
Exemplos:
•
 
1
1 3
3
1 3
3
1 1 1 18 = =
8 28(8)
−  
= = 
 
•
 
2
32 2
3 32 1 3
23 2
3
−
 
    = =    
    
 
Principais propriedades operatórias das potências
Para se obter o produto de potências de mesma base, deve-
-se conservar a base e somar os expoentes:
m n m na a a +⋅ =
Exemplos:
• 2 3 2 3 53 3 3 3 243+⋅ = = =
• 2 5 2 5 32 2 2 2 8− − +⋅ = = =
Em relação ao quociente de potências de mesma base, de-
ve-se conservar a base e subtrair os expoentes:
-
m
m n m n
n
aa a a
a
÷ = =
Exemplos:
• 
3 2 3 2 13 3 3 3 3−÷ = = =
•
 
3 3
2 5 2 5 3
3
1 1 12 2 2 2
2 2 8
− −  ÷ = = = = = 
 
Em relação à potência de potência de mesma base, deve-se 
conservar a base e multiplicar os expoentes:
( )nm m na a ⋅=
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19© Caderno de Referência de Conteúdo
Exemplos:
•
 ( )
22 2 2 43 3 3 81⋅= = =
•
 
( ) 22 2 ( 2) 4 13 3 3 81
− ⋅ − −= = =
Radicais
Denomina-se raiz de índice n (ou raiz enésima) de A, ao nú-
mero (x) que, elevado à potência n, resulta em A, ou seja:
Representa-se a raiz pelo símbolo . Assim, temos: 
(lê-se "raiz enésima de A"), na qual:
• é chamado de índice do radical;
• é chamado radical;
• é chamado de radicando.
Exemplos:
• , pois ;
• , .
Observe, pela definição anterior, que não existe um número 
racional x, tal que , denotando que não é um número 
racional e, sim, um número complexo.
Algumas propriedades
Devemos lembrar que a raiz índice par positivo de um núme-
ro real positivo é um número real positivo:
; 
A raiz índice par de zeros é zero: .
A raiz índice par de números negativos não é número real:
© Matemática Básica I20
Lembre-se também de que a raiz índice ímpar positivo de 
um número real positivo é um número real: .
Se o número é positivo, a raiz índice ímpar positivo é um 
número positivo: .
Se o número é negativo, a raiz índice ímpar positivo é um 
númeronegativo: .
A raiz índice ímpar positivo de zero é zero: 7 0 0= .
Vejamos mais algumas propriedades de raízes.
Se a e b são números reais positivos e n, um número natural 
diferente de zero, temos: n n na b a b⋅ = ⋅ e 
n
n
n
a a
b b
= .
Exemplo: 3 3 38 64 8 64 2 4 8⋅ = ⋅ = ⋅ = .
Para todo número real x, temos: 2x x= .
Exemplo: 24 4 4= = .
Para todo número real x, temos: 3 3x x= .
Exemplo: 3 32 2= .
Para a expressão de radicais n m a , temos: m nn m a a⋅= .
Exemplo: 2 32 3 63 3 3⋅= = .
Para a expressão de radicais m ma b⋅ , temos: 
m m ma b a b⋅ = ⋅ .
Exemplo: 5 5 5 53 4 3 4 12⋅ = ⋅ = .
Para a expressão de radicais 
m n
m n
a
b
, *, m Z n Z∈ ∈ , temos:
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21© Caderno de Referência de Conteúdo
nm n
m
m n
a a
bb
 =  
 
Exemplo: 
23 2 2
33 3
23 2
4 4 4 16
3 3 93
 = = = 
 
.
Unidade 2 – Expressões algébricas
Na Unidade 2, estudaremos as expressões algébricas, equa-
ções polinomiais, monômios, polinômios e suas operações. Estu-
daremos também as equações polinomiais e sua resolução. A fa-
toração, os produtos notáveis e as equações e inequações serão 
também revisadas nesta Unidade 2.
Expressões algébricas
São expressões matemáticas que apresentam letras e po-
dem conter números. São também denominadas expressões lite-
rais. Assim, as expressões 5 2a b+ e 33
4
x y z− + − são expressões 
algébricas.
Equações polinomiais
Na maioria das situações práticas, os problemas do dia a dia são 
descritos por meio de equações matemáticas envolvendo uma ou mais 
variáveis ou incógnitas. Nessas situações, para resolver tais equações é 
preciso encontrar o valor (ou valores) da incógnita que torne(m) verda-
deira uma sentença matemática que descreve o problema.
Uma classe muito importante de tais equações consiste nas 
chamadas equações polinomiais, que caracterizaremos a seguir.
Expressões formadas por um numeral e uma letra, juntos, indi-
cam o produto dos números representados pelo numeral e pela letra.
© Matemática Básica I22
Monômios
Se considerarmos, por exemplo, 2x , dizemos que é o 
produto de 2 por x. O numeral é denominado coeficiente e a letra 
é denominada variável.
A expressão da forma nax , em que a é um número real (coe-
ficiente), n um número natural e x um valor desconhecido (variá-
vel ou incógnita), é chamada de monômio.
Por exemplo, 43x é um monômio, no qual o coeficiente é 
igual a 3; x, a variável; e 4, o expoente da variável.
Soma e subtração de monômios
Somente podemos somar ou subtrair monômios quando 
os monômios forem semelhantes. Se isso não ocorrer, devemos 
simplesmente repetir o monômio não semelhante. Assim, temos: 
2 2 22 3 5 3 5 2a a b b a b+ − + = − .
Multiplicação de monômios
O produto de monômios, mesmo não sendo semelhantes, é 
sempre um monômio. Assim, multiplicamos os coeficientes numé-
ricos e somamos os expoentes das variáveis, quando forem iguais.
Exemplo: 2 2 2 2 2 2 42 3 (2) (3) 6 6x x x x x x+⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = = .
Divisão de monômios
A divisão de monômios semelhantes é sempre um monô-
mio. Assim, dividimos os coeficientes numéricos e subtraímos os 
expoentes das variáveis.
Exemplo: 
3
3 6 3
6
15 15 5
3 3
a a a
a
− −= =
Polinômios
Um polinômio consiste na soma de dois ou mais monômios. 
A expressão 4 23 2x x x− + é um polinômio.
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23© Caderno de Referência de Conteúdo
Adição e subtração de polinômios
Para determinar a soma de dois ou mais polinômios, basta 
somar os coeficientes dos termos de mesmo grau, reduzindo-os a 
um único termo com esse grau.
Exemplo: dado o polinômio 2( ) 3 5 2P x x x= + − e o polinô-
mio 3 2( )Q x x x x= − + , calcule ( ) ( )P x Q x+ .
3 2( ) ( ) 2 6 2P x Q x x x x+ = − + −
Multiplicação de polinômios
Dados dois polinômios ( )P x e ( )Q x , é possível multiplicá-los e 
obter o polinômio ( )M x , isto é, ( ) ( ) ( )M x P x Q x= ⋅ . Para multiplicá-
los, utilizamos a propriedade distributiva da multiplicação.
Exemplos: dado o polinômio 3( ) 2P x x= + e o 3( ) 6Q x x= , 
calcule ( ) ( )P x Q x⋅ .
3 3
6 3
( ) ( ) ( 2) (6 )
( ) ( ) 6 12
P x Q x x x
P x Q x x x
⋅ = + ⋅
⋅ = +
Equação polinomial
A equação polinomial consiste na igualdade de polinômios. 
Por exemplo, 2 22 3 2 2 3x x x x− + = − + é uma equação polinomial.
Considerando que uma equação polinomial exprime a igualdade 
entre dois polinômios, podemos sempre reescrevê-la na forma redu-
zida, transpondo os monômios do segundo membro para o primeiro 
membro (tomando o cuidado de, a cada transposição, efetuar a troca 
de sinal do referido termo) e, em seguida, agrupando os monômios se-
melhantes, de modo que o segundo membro fique igual a zero.
Assim, por exemplo:
2 2
2
2 3 2 2 3 0
5 1 0
x x x x
x x
− + + + − =
+ − =
© Matemática Básica I24
Grau da equação polinomial
O grau da equação polinomial é dado pelo maior expoente 
da variável x da equação. Observem os exemplos a seguir:
• 3 6 0x + = (equação do 1º grau).
• 22 3 2 0x x+ − = (equação do 2º grau).
• 4 25 2 3 0x x x+ − + = (equação do 4º grau).
• 3 22 5 2 0x x x− − + = (equação do 3º grau).
Fatoração
Fatorar é transformar uma expressão matemática em um 
produto, utilizando propriedades dos números racionais.
Fator comum em evidência
Começaremos pelo fator comum em evidência. Para isso, 
você deve se lembrar da propriedade distributiva da multiplicação 
em relação à adição/subtração.
Assim, sendo a, b, c números racionais, temos: 
( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅ .
Nesse sentido, quando escrevemos ( )a b a c a b c⋅ + ⋅ = ⋅ + , 
dizemos que fatoramos a expressão a b a c⋅ + ⋅ , obtendo a expressão 
( )a b c⋅ + . Podemos dizer que "colocamos" o fator comum a em 
evidência e transformamos uma soma em um produto.
Podemos fatorar uma expressão, ou seja, colocar 
o fator comum em evidência em expressões que conte-
nham mais de dois termos somado ou subtraído. Exemplo: 
8 3 4 (8 3 4) (1)x x x x x x− − = ⋅ − − = ⋅ = .
Podemos, também, colocar em evidência o fator comum em 
expressões algébricas que contenham termos que consistem de 
um numeral seguido de uma ou mais letras, os quais podem ter 
como expoentes números inteiros positivos.
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25© Caderno de Referência de Conteúdo
Por exemplo, a expressão 2 3 2 22 6 8x y xy x y− + possui três 
termos e, colocando em evidência o fator comum, ele pode ser 
determinado de acordo com as observações a seguir:
1) na parte numérica, determinamos o máximo divisor co-
mum dos coeficientes numéricos de todas as parcelas 
(no exemplo anterior, o MDC é o numeral 2);
2) na parte literal, consideramos todas as letras que apare-
cem em todas as parcelas, com o menor expoente (no 
exemplo anterior, as letras x e y ambas com expoente 1);
3) dividimos cada uma das parcelas pelo fator comum.
Na expressão 2 3 2 22 6 8x y xy x y− + , temos que o MDC é 2 e as 
letras que se repetem em todas as parcelas, x e y, com expoente 1.
Observe que, para obtermos os termos que irão ficar dentro 
dos parênteses, temos que dividir cada uma das parcelas da ex-
pressão inicial pelo fator comum, ou seja:
2 3 2 2
22 6 8 3 4 
2 2 2
x y xy x yx y xy
xy xy xy
−
= = − =
Após os procedimentos de fatoração, obtemos:
2 3 2 2 22 6 8 2 ( 3 4 )x y xy x y xy x y xy− + = ⋅ − +
Fatoração por agrupamento
Pode ocorrer que em uma expressão não seja possível deter-
minar um fator comum a todos os termos para colocar em evidên-
cia. Quando isso acontecer, podemos tentar reagrupar ou rearran-
jar os termos para obtermos um fator comum.
Observe a expressão ax ay bx by+ + + . A letra a é comum 
somente às duas primeiras parcelas, enquanto a letra b é comum 
às duas últimas parcelas. Assim, podemos colocar a letra a em evi-
dência para as duas primeiras parcelas e a letra b em evidência 
para as duas últimas parcelas.
© Matemática Básica I26
Exemplos: fatore por agrupamento a expressão 
4 4a xa b xb+ + + :
4 4 (4 ) (4 )
4 4 (4 ) (4 ) (4 ) ( )
a xa b xb a x b x
a xa b xb a x b x x a b
+ + + = + + +
+ + + = + + + = +⋅ +
Nesse caso, se aplicarmos a propriedade distributiva na 
expressão (4 ) ( )x a b+ ⋅ + , obteremos a expressão original 
4 4a xa b xb+ + + .
Produtos notáveis
Cálculos que envolvem expressões algébricas são muito fre-
quentes e utilizados na resolução de problemas matemáticos.
Alguns desses cálculos são de seu conhecimento, mas vamos 
revê-los. São os conhecidos produtos notáveis, que consistem na 
multiplicação de expressões algébricas.
Um exemplo de produto notável é a expressão 2( )a b+ , conhe-
cida como o quadrado da soma de dois números a e b. Para obtermos 
esse produto, utilizamos a propriedade distributiva e obtemos:
2 2 2( ) ( ) ( ) 2a b a b a b a a a b a b b b a ab b+ = + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + +
O mesmo vale para o quadrado da diferença de dois núme-
ros a e b, 2( )a b− , que resulta em: 2 2 2( ) 2a b a ab b− = − + .
Outro importante produto notável é a diferença de dois 
números quadrados, descrito por 2 2a b− , que é o produto de 
( )a b− por ( )a b+ , o que resulta em:
2 2
2 2
( ) ( )
( ) ( )
a b a b a a ab ab b b a b
a b a b a b
− ⋅ + = ⋅ + − − ⋅ = −
− ⋅ + = −
Equações
Equação é uma sentença matemática que estabelece uma 
igualdade entre duas expressões algébricas.
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27© Caderno de Referência de Conteúdo
Nesse sentido, podemos afirmar que 8 9 7x − = é uma equa-
ção, pois estabelece uma igualdade entre 8 9x − e 7, como tam-
bém 2 9 0y − = ao estabelecer uma igualdade entre 2 9y − e 0.
Nos exemplos anteriores, as letras são descritas como incóg-
nita, que representa o número o qual se deseja conhecer para que 
a sentença matemática seja verdadeira.
Na equação 8 9 7x − = o que se deseja saber é qual o núme-
ro x que multiplicado por 8 e subtraído de 9, resulta em 7. Neste 
caso, o valor de x é 2, pois 8 (2) 9 7⋅ − = .
Resolver uma equação é determinar todos os valores possí-
veis para a incógnita da equação, valores estes capazes de tornar a 
igualdade uma sentença matemática verdadeira.
A seguir, iremos rever alguns tipos de equações e suas reso-
luções, já estudados ao frequentarmos o Ensino Fundamental e o 
Ensino Médio.
Equações do 1º grau
A equação do 1º grau é representada na forma 0ax b+ = , na 
qual 0a ≠ , ao passo que a e b são os coeficientes (números conhe-
cidos) e x, a variável ou incógnita da equação.
A solução de uma equação do 1º grau na forma 0ax b+ = , 
na qual 0a ≠ , é dada por: bx
a
−
= . Vejamos, a seguir, um exemplo 
de equação de 1º grau com sua solução: 2 6 0x − = .
Resolução: 62 6 0 2 6 3
2
x x x x− = ⇒ = ⇒ = ⇒ = .
Equações do 2º grau
A equação do 2º grau caracteriza-se por ser escrita na forma 
2 0ax bx c+ + = , na qual a, b e c são os coeficientes (números reais 
conhecidos), com 0a ≠ .
© Matemática Básica I28
O coeficiente a tem de, necessariamente, ser diferente de 
zero, pois se 0,a = a equação não é do 2º grau. Por exemplo, 
20 4 7 0 4 7 0x x x+ − = ⇔ − = não é uma equação do 2º grau e, 
sim, do 1º grau.
Para resolver uma equação do 2º grau na forma geral, 
utilizamos a fórmula para resolução de equações do 2º grau: 
2
bx
a
− ± ∆
= , na qual: 
2 4b ac∆ = − .
Algumas observações sobre a fórmula para resolução de 
equações do 2º grau:
• A expressão 2 4b ac∆ = − é chamada discriminante da 
equação, e a expressão 
2
bx
a
− ± ∆
= só faz sentido se o 
discriminante for não negativo ( 0∆ ≥ ). Caso contrário, se 
0∆ < , não é possível calcular ∆ (não existe raiz quadra-
da de número negativo). Assim, se 0∆ < , a equação não 
possui solução
• O sinal ( )± , na expressão das soluções (x), significa que há 
duas soluções: uma delas calculada com o sinal negativo 
(–); a outra solução, com o sinal positivo (+). Poderíamos 
separar essas duas soluções escrevendo: 
1 2
bx
a
− − ∆
= 
ou 2 2
bx
a
− + ∆
= .
Resumidamente, na resolução da equação do 2º grau, temos: 
2 0ax bx c+ + = , sendo que 0a ≠ .
• Se 0∆ > , a equação possuirá duas raízes reais distintas: 
1 2
bx
a
− − ∆
= e 2 2
bx
a
− + ∆
= .
• Se 0∆ = , a equação possuirá duas raízes reais iguais: 
1 2 2
bx x
a
−
= = .
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29© Caderno de Referência de Conteúdo
• Se 0∆ < a equação não admitirá raízes reais (não terá 
solução).
Inequações
Inequação é uma sentença matemática que estabelece uma 
desigualdade entre duas expressões algébricas.
Nesse sentido, podemos afirmar que 8 9 7x − ≥ é uma inequa-
ção, pois estabelece uma desigualdade entre 8 9x − e 7, como tam-
bém 2 9 0y − > ao estabelecer uma desigualdade entre 2 9y − e 0.
Nos exemplos anteriores, as letras são descritas como incóg-
nita, e esta representa o intervalo o qual se deseja conhecer para 
que a sentença matemática seja verdadeira.
Na inequação 8 9 7x − ≥ , o que se deseja saber é qual o mí-
nimo valor de x que, multiplicado por 8 e subtraído de 9, resulta 
em um número maior ou igual a 7. Nesse caso, x deve assumir 
valores maiores que 2, pois se 2x ≥ , a sentença 8 9 7x − ≥ será 
verdadeira, pois 8 (2) 9 7⋅ − ≥ .
Resolver uma inequação é determinar todos os valores possí-
veis (intervalo) para a incógnita da inequação, valores estes capazes 
de tornar a desigualdade uma sentença matemática verdadeira.
Inequações do 1º grau
A inequação do 1º grau pode ser definida como uma relação 
da forma 0ax b+ > , com 0a ≠ ou qualquer outro dos sinais de 
desigualdade, como, por exemplo, ( ; ; ; )> < ≥ ≤ , isto é, maior, me-
nor, maior ou igual, menor ou igual, respectivamente.
Vamos recordar o que as desigualdades podem representar:
• A B> : significa que "A é maior do que B".
• A B< : significa que "A é menor do que B".
• A B≥ : significa que "A é maior que ou igual a B".
• A B≤ : significa que "A é menor que ou igual a B".
© Matemática Básica I30
Para resolver uma inequação do 1º grau, devemos estar aten-
tos à seguinte regra envolvendo operações com desigualdades:
• Somando-se ou subtraindo-se ambos os membros de 
uma desigualdade, em uma mesma quantidade, a desi-
gualdade não se altera. Observe o exemplo em símbolos:
 A C B C e A C B CA B> ⇒ + > + − > −
Para multiplicar ou dividir uma desigualdade por certa quan-
tidade, temos de tomar um pouco mais de cuidado: separar em 
dois casos, conforme essa quantidade seja positiva ou negativa, de 
acordo com as regras:
• Multiplicando-se ou dividindo-se ambos os membros de 
uma desigualdade por uma mesma quantidade positiva, 
a desigualdade não se altera. Vejamos em símbolos:
 e C > 0 A C > B C e A C B CA B> ⇒ ⋅ ⋅ ÷ > ÷
• Multiplicando-se ou dividindo-se ambos os membros de 
uma desigualdade por uma mesma quantidade negativa, 
a desigualdade muda de sentido. Vejamos em símbolos:
 e C 0 A C B C e A C B CA B> < ⇒ ⋅ < ⋅ ÷ < ÷
Solução da inequação do 1º grau
Para resolver a inequação do 1º grau 0; a 0ax b+ ≥ ≠ , deve-
mos separá-la em dois casos:
• Caso 1: 0a >
Solução: 0 bax b ax b x
a
−
+ ≥ ⇒ ≥ − ⇒ ≥
• Caso 2: 0a <
Solução: 0
bax b ax b x
a
−
+ ≥ ⇒ ≥ − ⇒ ≤
Vamos analisar outros exemplos? Observe as inequações do 
primeiro grau e acompanhe a resolução dos exemplos a seguir:
1) Resolva a inequação 2 5 7x − ≤ no conjunto dos R.
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Resolução:
Qualquer número real menor ou igual a 6 é solução dessa 
inequação. Na linguagem de "intervalos da reta", essa solução 
pode ser escrita: .
Inequações do 2º grau
A inequação do 2º grau pode ser definida como uma relação 
da forma , com ou qualquer outro dos sinais 
de desigualdade, como, por exemplo, , isto é, maior, 
menor, maior ou igual, menor ou igual, respectivamente.
Vamos recordar o que as desigualdades podem representar:
• : significa que "A é maior do que B".
• : significa que "A é menor do que B".
• : significa que "A é maior que ou igual a B".
• : significa que "A é menor que ou igual a B".
Para resolver uma inequação do 2º grau, devemos estar 
atentos à seguinte regra envolvendo operações com desigualda-
des, como estudamos nas inequações do 1º grau.
Solução da inequação do 2º grau
Para resolvera inequação do 2º grau , 
devemos primeiro determinar as raízes dessa inequação utilizando-
-se o cálculo do delta e a fórmula para resolução de equações do 
2º grau estudados anteriormente. 
Nesse caso, devemos lembrar que temos duas possibilida-
des, das quais apresentaremos somente a primeira:
© Matemática Básica I32
Se 0∆ > e 0a > , temos duas raízes reais distintas, e a ine-
quação assume valores negativos entre as raízes 1x e 2x e positi-
vos para valores maiores que 2x e menores que 1x , conforme a 
Figura 4:
Figura 4 Esquema de solução da inequação do 2º grau para a>0.
Dada a inequação 2 7 12 0x x− + + − > , determine o conjunto 
solução.
Resolução:
Observe na inequação que 0a < , ou seja, 1a = − e, portan-
to, entre as raízes a inequação assume valores positivos e, para 
valores maiores e menores que as raízes, a inequação assume va-
lores negativos.
Observe também que 7b = e 12c = − , portanto, 
2 24 (7) 4 ( 1) 12b ac∆ = − ⇒ ∆ = − ⋅ − ⋅ , o que resulta 1∆ = . Com 
os valores do delta e dos coeficientes a, b e c determinados, cal-
culamos as raízes da inequação do 2º grau utilizando-se a fórmula 
de Báskara:
1
2
(7) 1 7 1
2 2 ( 1) 2
7 1 6 3
2 2
7 1 8 4
2 2
b
a
x
x
− ± ∆ − ± − ±
= = ⇒
⋅ ⋅ − −
− + −
⇒ = = =
− −
− − −
⇒ = = =
− −
Observe, na Figura 5, que, para valores maiores que 3 e para 
valores menores que 3, a inequação assume valores positivos e, 
portanto, é a solução para a inequação 2 7 12 0x x− + − > .
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Figura 5 Esquema de solução da inequação 2 7 12 0x x− + + − > .
O conjunto solução para a inequação 2 7 12 0x x− + − > é 
V { / 3 4} ]3; 4[x R x= ∈ < < = .
Unidade 3 – Razões, proporções, funções e relações trigonométricas
Na Unidade 3, revisaremos os conceitos de razão e propor-
ção, razões diretas e inversas, regra de três simples e composta, 
divisão de um número em partes proporcionais e porcentagens.
O conceito de função, tipos de funções e seus gráficos e ra-
zões trigonométricas no triângulo retângulo também serão con-
ceitos abordados nesta unidade.
Razão
O quociente ou razão entre dois números é útil para compa-
rá-los. Assim, a razão de um número x para um número y ( 0)y ≠ 
é o quociente de x por y, isto é, x
y
 ou :x y .
Podemos dizer que:
• A razão de 10 para 5 é 10
5
, que é igual a 2.
• A razão de 30 para 60 é 30
60
, que é igual a 0,5.
Razões inversas
Duas razões são inversas entre si quando uma é igual ao in-
verso multiplicativo da outra. Assim, se x e y são números reais não 
nulos, então x
y
 e y
x
 são razões inversas, pois = = 1x y xy
y x xy
⋅ .
© Matemática Básica I34
Observe que, pela definição anterior, a razão inversa de 2
3
 
é 3
2
, pois 
2 3 6 1
3 2 6
× = = .
Proporções
Observe que a razão de 8 para 4 é 8
4
, o que resulta 2, e a 
razão de 12 para 6 é 
12
6
, o que resulta 2. 
Como essas razões resultam em um mesmo quociente, po-
demos concluir que essas razões são iguais, e que essa igualdade 
forma uma proporção 
8 12
4 6
= , na qual se lê: 8 está para 4, assim 
como 12 está para 6.
Em uma proporção, os números a, b, c e d, diferentes de 
zero, formam nessa ordem uma proporção se, e somente se, a ra-
zão a
b
 é igual à razão c
d
, indicada por a c
b d
= , na qual a e d são 
chamados extremos e b e c, meios.
Nesse contexto, podemos afirmar que o produto dos extre-
mos é igual ao produto dos meios e, portanto, temos:
a c a d b c
b d
= ⇒ ⋅ = ⋅
Por exemplo:
• a igualdade 
2 15
4 30
= é uma proporção, pois 2 30 4 15⋅ = ⋅ .
Grandezas diretamente proporcionais
Dizemos que as variáveis x e y, em um dado universo, são 
diretamente proporcionais se, para *k R+∈ (conjunto dos números 
reais positivos), temos y k x= ⋅ ou equivalente 
yk
x
= com 0x ≠ .
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Regra de três simples direta
Considere duas grandezas y e x, diretamente proporcionais e 
1y , 1x e 2y , 2x , os pares de valores correspondentes dessas gran-
dezas. Se as grandezas y e x são proporcionais, existe uma constan-
te k não nula, tal que:
1 1 2 2 e y k x y k x= ⋅ = ⋅
Podemos considerar: 1 1 1 1
2 2 2 2
y k x y x
y k x y x
⋅
= ⇒ =
⋅
.
Se 500 gramas de prata custam R$ 370,00, qual é o preço de 
450 gramas desse metal?
Resolução:
500 450 500 370 450
370
500 166 500
166 500
500
333,00
x
x
x
x
x
= ⇒ = ×
⇒ =
⇒ =
⇒ =
O valor de 450 gramas de prata é R$ 333,00.
Grandezas inversamente proporcionais 
Na equação 1y
x
= , as variáveis y e x são números reais posi-
tivos. Se substituirmos uma das variáveis por um numeral, o valor 
da outra variável fica determinado. Isso acontece em todas as equa-
ções da forma ky
x
= (ou equivalente y x k⋅ = , com 0x ≠ ). 
Regra de três simples inversa
Considere duas variáveis, y e x, inversamente proporcionais, 
e 1y , 1x e 2y , 2x os pares de valores correspondentes dessas 
grandezas.
© Matemática Básica I36
Se as grandezas y e x são inversamente proporcionais, existe 
uma constante k não nula, tal que:
1 2
1 2
1 1e y k y k
x x
= ⋅ = ⋅
Podemos considerar:
1 1 1 1 1 2
2 2 2 1
2 2
1 1
1 1
k
y x y x y x
y y y xk
x x
⋅
= ⇒ = ⇒ =
⋅
Vejamos um exemplo de aplicação: para construir uma pista 
asfaltada de 50 metros de comprimento em um dia, são neces-
sários 8 trabalhadores. Quantos trabalhadores serão necessários 
para construir a mesma pista em 4 dias?
Resolução: 
Observe que, para um mesmo serviço (pista asfaltada de 
50 metros), 8 trabalhadores demoram 1 dia e que, se aumentar-
mos o número de dias para 4, devemos diminuir o número de 
trabalhadores para realizar o serviço. Assim, trata-se de grande-
zas inversamente proporcionais, e podemos resolver da seguinte 
forma:
1 8 1 4 1 8
4 4 8
4 8
8 2
4
2
x x
x
x
x
x
= ⇒ = ⇒ × = ×
⇒ =
⇒ = =
⇒ =
Serão necessário 2 trabalhadores para construir uma pista 
asfaltada de 50 metros em 4 dias.
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37© Caderno de Referência de Conteúdo
Regra de três composta
Quando, em uma proporção, tivermos relacionadas três ou 
mais grandezas distintas, sejam elas diretamente ou inversamente 
proporcionais, teremos uma regra de três composta.
Devemos lembrar que, se uma grandeza x é diretamente 
proporcional às grandezas y e z, a medida de x será diretamente 
proporcional ao produto das medidas dessas grandezas, ou seja:
1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
= ⋅
Vejamos um exemplo de aplicação: dois trabalhadores, de-
pois de 4 dias de trabalho, receberam R$ 2.000,00. Quanto rece-
berão 3 trabalhadores por 6 dias de trabalho?
Resolução:
a) 1x = o salário de 2.000;
b) 2x = o valor do salário procurado;
c) 1y = é igual a 4 dias de trabalho;
d) 2y = é igual a 6 dias de trabalho;
e) 1z = corresponde a 2 trabalhadores;
f) 2z = corresponde a 3 trabalhadores.
Observe que as grandezas salários e tempo são diretamente 
proporcionais, ou seja, quanto maior quantidade de dias trabalha-
dos, maior será o salário. O mesmo acontece com as grandezas 
salário e número de trabalhadores, pois quanto maior número de 
trabalhadores, maior será o valor do salário.
Nesse contexto, podemos escrever:
© Matemática Básica I38
2 2
2
2
2
2000 4 2 2000 8
6 3 18
8 2000 18
8 36000
36000 45000
8
x x
x
x
x
= ⋅ ⇒ =
⇒ = ×
⇒ =
⇒ = =
Os 3 trabalhadores receberão R$ 4.500,00 por 6 dias de trabalho.
Porcentagens
Porcentagens ou razões centesimais são frações que apre-
sentam denominadores iguais a 100, representadas pelo símbolo 
"%" (lê-se "por cento").
As razões 3,5
100
, 8
100
, 25
100
 e 80
100
 podem ser representadas 
por 3,5%, 8%, 25% e 80%, respectivamente.
Na verdade, a expressão "por cento" significa "centésimos" 
ou "divisão por cem". Assim, a expressão 25 centésimos pode ser 
representada por: 25 125% 0,25
100 4
= = = .
A partir das considerações anteriores, podemos escrever:
•
 
3,53,5% 0,035
100
= =
•
 
88% 0,08
100
= =
•
 
8080% 0,80
100
= =
•
 
125125% 1,25
100
= =
Vejamos um exemplo sobre porcentagem: umaloja oferece 
4% de desconto para pagamento à vista de uma calça, cujo valor é 
R$ 78,00. Qual o valor dessa calça à vista? 
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39© Caderno de Referência de Conteúdo
Resolução:
Anotemos os dados:
 Preço Porcentagem
 78,00 100
 4x
Como as grandezas envolvidas são diretamente proporcio-
nais, temos:
100 78 4
100 312
312 3 12
100
x
x
x
= ×
=
= = ⋅
O preço da calça, à vista, será de 78,00 3,12 $ 74,88R− = .
Funções
Considere dois conjuntos, A e B, entre os quais exista uma re-
lação, chamada f, que associe os elementos do conjunto A com os 
elementos de B. Dizemos que a relação f é uma função se, e somen-
te se, todo elemento de A está associado a um único elemento de B.
Observe a relação f da Figura 6. Esta relação é uma função, 
pois cada elemento do conjunto A está associado a um único ele-
mento do conjunto B.
Figura 6 Função de A em B.
Sejam A e B dois subconjuntos do conjunto dos números reais 
R. Uma função f é uma lei ou regra que associa cada elemento de 
A com um único elemento de B.
© Matemática Básica I40
Escrevemos: ( )
:f A B
x f x
→
→
O conjunto A é chamado domínio da função f e o conjunto 
B, contradomínio de f.
No exemplo anterior, a função f tem como domínio o con-
junto ( ) { }1 2 3Dom g A , ,= = e seu contradomínio é o conjunto 
( ) { }4 5 6CDom g B , ,= = .
O conjunto de elementos de B que foram associados a ele-
mentos de A é chamado imagem da função f. No exemplo, esse 
conjunto é ( ) { }4 5 6Im g , ,= .
Podemos resumir esses conceitos da seguinte maneira:
• Domínio é o conjunto de todos os valores admitidos para 
o conjunto A.
• Contradomínio é o conjunto de todos os possíveis valores 
do conjunto B para a relação f.
• Imagem é o conjunto de todos os valores assumidos pela 
função f e que pertencem ao conjunto B.
Unidade 4 – Exponenciais e logaritmo
Na Unidade 4, revisaremos os conceitos de funções expo-
nenciais, suas propriedades e seus gráficos. Revisaremos também 
os conceitos de equações exponenciais, resolução de equações ex-
ponenciais e algumas aplicações.
O conceito de logaritmo, suas propriedades operatórias, 
seus gráficos e aplicações também serão estudados nesta unidade.
Função exponencial
Toda função que possui a incógnita no expoente de uma 
base recebe o nome de função exponencial. Assim, uma função 
exponencial *( de em )f R R+ é denotada por ( )
xf x a= , na qual a 
é a base ( 0 e 1)a a> ≠ e x é a incógnita.
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41© Caderno de Referência de Conteúdo
Exemplos de funções exponenciais:
• ( ) 2xf x =
• 
1( )
3
x
g x  =  
 
• ( )( ) 0,3 xh x =
• ( )( ) 3 xt x =
As funções exponenciais nunca assumem valores negativos e 
a forma de crescimento de seus valores depende da base utilizada.
Quando a base a da função exponencial é um valor maior 
que 0 ( 0)a > , a função exponencial é crescente e, quando a base 
a for um valor maior que zero e menor que 1 (0 1)a< < , a função 
exponencial é decrescente.
Em algumas situações-problema, pode ocorrer que as varia-
ções exponenciais estejam associadas à depreciação e/ou à valori-
zação de bens móveis e imóveis em função do tempo. Nesse caso, 
utilizamos a função exponencial para resolver esse problema. 
Suponhamos que, por meio de algumas pesquisas realizadas por 
uma empresa, foi possível construir um modelo matemático (fun-
ção ou fórmula) para determinar a curva de valorização da marca 
dessa empresa (y) em função do tempo (t) em anos, obtendo-se 
0,210 000 (1,1) ty = × . Podemos, por exemplo, determinar após 
quanto tempo a marca terá um valor de R$ 11.000,00? Para deter-
minar esse tempo, basta substituir y por 11.000 na função, ou seja:
0,2 0,2
0,2 0,2
10 000 (1,1) 11 000 10000 (1,1)
11 000 (1,1) 1,1 (1,1)
10 000
10,2 1 5 anos
0,2
t t
t t
y
t t
×= × ⇒ = ⋅
= ⇒ =
= ⇒ = =
A marca dessa empresa custará R$ 11.000,00 após 5 anos.
© Matemática Básica I42
Logaritmo
Considere o seguinte problema: A que expoente é preciso 
elevar o número 3 para que o resultado seja 27? Para responder, 
devemos resolver a equação exponencial 3 27x = .
Utilizando as regras de exponenciação estudadas anterior-
mente, temos: 33 27 3 3x x= ⇒ = . Como as bases são iguais, con-
clui-se que 3x = . Assim, o expoente a que devemos elevar o nú-
mero 3 para que o resultado seja 27 é 3.
Dessa forma, quando queremos determinar um número que 
deve ser utilizado como expoente em uma base para obter um de-
terminado valor, dizemos que estamos determinando o logaritmo. 
No exemplo destacado, podemos então dizer que 3 é o logaritmo 
do valor 27, considerando-se a base 3.
Definição de logaritmo
Dados os números reais positivos a e b, com , define-se 
logaritmo de a, na base b, o número real c que deve ser o expoente 
de b para que a potência seja igual ao número a.
Em linguagem matemática, temos:
log cb a c b a= ⇔ = , na qual 0a > , 1b ≠ e 0b >
Nesse contexto, a é o logaritmando, b é a base e c é o logaritmo. 
A expressão blog a c= lê-se: "logaritmo de a na base b é igual a c".
Quando utilizamos base 10, não é preciso descrever e, nes-
se caso, a base é omitida. Assim, quando estivermos trabalhando 
com base 10, a notação formal 10log A (logaritmo de A na base 10) 
será simplificada para log A .
Vejamos um exemplo de aplicação: uma empresa especia-
lizada no estudo e análise das vendas de empresas varejistas, ao 
realizar um estudo das vendas de um produto de um cliente de 
acordo com o tempo (t) após a suspensão de uma propaganda do 
Claretiano - Centro Universitário
43© Caderno de Referência de Conteúdo
produto na televisão, constatou que a quantidade de produtos 
vendidos em t meses obedecia à função 0,04120000 tQ e−= . 
Com isso, é possível, por exemplo, determinar após quanto tem-
po da suspensão da propaganda as vendas chegariam a 65.000 artigos?
Para responder a essa pergunta, devemos determinar o va-
lor de t substituindo-se Q por 65.000 artigos, e assim obteríamos:
0,04
0,04
120 000
65 000 120 000
t
t
Q e
e
−
−
= ⋅
= ⋅
Em seguida, dividimos 65.000 por 120.000 e igualamos a 
expressão por 0,04te− .
0,04 0,0465 000 0,54167
120 000
t te e− −= ⇒ =
Aplicamos o logaritmo nos dois lados da expressão:
0 040 54167 , tln , lne−=
Em seguida, aplicamos a propriedade de logaritmo da potên-
cia, obtendo:
0 54167 0 04ln , , t lne= − ×
Calculamos 0 54167 0 61309ln , ,= − e 1ln e = , substituindo 
esses valores na expressão:
0 54167 0 04
0 61309 0 04 (1)
ln , , t ln e
, , t
= − ⋅
− = − ⋅
Em seguida, determinamos o valor da variável t:
0,61309 0,04 (1)
0,61309 15,33
0,04
t
t
− = − ⋅
−
= ≅
−
O tempo para que a quantidade vendida atinja 65.000 arti-
gos é de 15,33 meses.
© Matemática Básica I44
Unidade 5 – Trigonometria
Na Unidade 5, revisaremos os conceitos de arcos, ângulos 
e suas medidas. No ciclo trigonométrico, estudaremos o seno, o 
cosseno e a tangente. Veremos também como reduzir um arco ou 
ângulo ao primeiro quadrante.
Conceitos importantes como a relação fundamental da tri-
gonometria, equações trigonométricas, funções trigonométricas, 
seus gráficos, domínio, imagem e período também serão estuda-
dos nesta unidade.
Arcos e ângulos
Arco é cada uma das partes em que uma circunferência pode 
ser dividida por dois ou mais de seus pontos. Se considerarmos os 
pontos A e B da circunferência de centro O, temos: arco AB (ver-
melho) e arco BA (azul), conforme pode ser observado na Figura 7.
Figura 7 Circunferência de centro O e arcos AB e BA.
Considere a circunferência de centro O e raio r da Figura 8 
a seguir. Denomina-se ângulo à região do plano da circunferência 
limitada por dois segmentos de reta AO e BO com mesma origem 
O. Assim, os segmentos AO e BO são os lados do ângulo e o ponto 
O, o vértice do ângulo ˆBOA ou ˆAOB .
A unidade de medida de um arco pode ser determinada em 
medidas angulares (ângulo) e também em medidas lineares (com-
primento).
Claretiano - Centro Universitário
45© Caderno de Referência de ConteúdoNa Figura 8, a seguir, temos uma circunferência de raio igual 
a 2,25cm. A medida angular do arco BA é 95° e a medida linear do 
arco BA, aproximadamente, 3,73cm.
Figura 8 Circunferência de centro O e arco BA de 95º.
O comprimento do arco de 95° é obtido considerando-se 
que a medida linear de uma circunferência é 2C rπ= ⋅ ⋅ e que a 
medida angular, 360°.
Assim, temos: 
2 2 3,14 2,25 14,13 cmC r Cπ= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ =
Considerando que o comprimento da circunferência de raio 
2,25cm é 14,13cm, e que esse valor corresponde a uma medida 
angular de 360°, podemos calcular o comprimento do arco de 95°. 
Por regra de três, obtemos:
360º --------- 14,13 cm
95º --------- cm
360º 95º 14,13 360º 1.342,35º
1.342,35 3,73 cm
360
x
x x
x
⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ =
= =
O comprimento do arco de 95° é, aproximadamente, 3,73cm.
© Matemática Básica I46
Graus, radianos
A medida de um ângulo, mais comumente, é descrita em 
graus. Um grau é a medida equivalente a 
1
360
 (um trezentos e 
sessenta avos) da circunferência, o que significa que em uma cir-
cunferência (uma volta completa) cabem 360°.
Ciclo trigonométrico
Denomina-se ciclo trigonométrico a uma circunferência 
orientada de centro O, cujo raio é 1 (uma) unidade de comprimen-
to e na qual o sentido positivo é o anti-horário.
Vamos associar a esse ciclo de centro O um sistema de co-
ordenadas cartesianas ortogonais (perpendiculares), fixando o 
ponto A como origem dos arcos, conforme podemos observar na 
Figura 9 a seguir.
Figura 9 Ciclo trigonométrico e seus quadrantes.
Observe que o ciclo trigonométrico é dividido em quatro par-
tes congruentes de 90º, as quais recebem o nome de quadrantes, 
que, por sua vez, são numerados de I a IV no sentido anti-horário 
(considerado positivo).
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47© Caderno de Referência de Conteúdo
No eixo das abscissas (x), temos os pontos A e C e no eixo 
das ordenadas (y), os pontos B e D. Esses pontos não pertencem 
a nenhum quadrante e estão associados aos ângulos de 0º, 90º, 
180º, 270º e 360º no sentido anti-horário (+), partindo do ponto A.
Em radianos, temos 0 rad , 
2
radπ , radπ , 3 
2
radπ , 
2 radπ respectivamente, ou seja, para a mesma sequência (par-
tindo do ponto A, no sentido anti-horário).
Seno, cosseno e tangente no ciclo trigonométrico
Seno
Dado um arco AP de medida a, definimos seno de a ( sen a ) 
no ciclo trigonométrico como sendo a medida da projeção do ponto 
P no eixo Oy do ciclo, ou seja, a medida do segmento 'OP , conforme 
pode ser observado na Figura 10.
Figura 10 Ciclo trigonométrico – seno.
Observe que no triângulo retângulo PÔP', retângulo em P', 
temos:
 ' ' '
1
cateto oposto OP OPsen a OP
hipotenusa OP
= = = =
© Matemática Básica I48
Se considerarmos a medida do arco AP para os valores 
6
a π= 
ou 30°, 
4
a π= ou 45° e 
3
a π= ou 60°, podemos constatar que:
130º
6 2
245º
4 2
360º
3 2
sen sen
sen sen
sen sen
π
π
π
= =
= =
= =
O seno de um arco a pode assumir valores positivos ou ne-
gativos, dependendo do quadrante em que se encontra. Assim, se 
um ângulo estiver no primeiro e segundo quadrantes, o seno do 
arco assume valores positivos (segmento em azul indicado na Fi-
gura 11).
Figura 11 0sen a > – I e II quadrantes.
No entanto, se o arco a estiver no terceiro e quarto quadran-
tes, o seno do arco assume valores negativos (segmento em azul 
indicado na Figura 12).
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49© Caderno de Referência de Conteúdo
Figura 12 0sen a < – III e IV quadrantes.
Cosseno
Dado um arco AP de medida a, definimos cosseno de 
( )a cos a no ciclo trigonométrico como sendo a medida da proje-
ção do ponto P no eixo Ox do ciclo, ou seja, a medida do segmento 
''OP (destacado em verde na Figura 13).
Figura 13 Ciclo trigonométrico – cosseno.
Observe que no triângulo retângulo PÔP'', retângulo em P'', 
temos:
© Matemática Básica I50
 " "cos ''
1
cateto adjacente OP OPa OP
hipotenusa OP
= = = =
Se considerarmos a medida do arco AP para os valores 
6
a π= 
ou 30°, 
4
a π= ou 45° e 
3
a π= ou 60°, podemos constatar que:
330º
6 2
245º
4 2
160º
3 2
cos cos
cos cos
cos cos
π
π
π
= =
= =
= =
O cosseno de um arco a pode assumir valores positivos ou 
negativos, dependendo do quadrante em que se encontra. Assim, 
se um ângulo estiver no primeiro e quarto quadrantes, o cosseno 
do arco assume valores positivos (segmento em azul indicado na 
Figura 14).
Figura 14 0cos a > – I e IV quadrantes.
No entanto, se o arco a estiver no segundo e terceiro qua-
drantes, o cosseno do arco assume valores negativos (segmento 
em azul indicado na Figura 15).
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51© Caderno de Referência de Conteúdo
Figura 15 0cos a > – II e III quadrantes.
Tangente
Dado um arco AP de medida a, definimos tangente de a ( )tg a 
no ciclo trigonométrico como a medida da projeção do arco AP na 
reta tangente TA pelo ponto A do ciclo trigonométrico, ou seja, a 
medida do segmento '''AP , conforme indicado na Figura 16.
Figura 16 Ciclo trigonométrico – tangente.
Observe que no triângulo retângulo P'''ÔA, retângulo em A 
temos:
© Matemática Básica I52
cateto aposto "' "' '''
cateto adjacente 1
AP APtg a AP
OA
= = = =
Se considerarmos a medida do arco AP para os valores 
6
a π= 
ou 30°, 
4
a π= ou 45° e 
3
a π= ou 60°, podemos constatar que:
330º
6 3
45º 1
4
60º 3
3
tg tg
tg tg
tg tg
π
π
π
= =
= =
= =
A tangente de um arco a pode assumir valores positivos ou 
negativos, dependendo do quadrante em que se encontra. Assim, 
se um ângulo estiver no primeiro e terceiro quadrantes, a tangente 
do arco assume valores positivos (segmento em marrom indicado 
na Figura 17).
Figura 17 – I e III quadrante.
Na Quadro 1, a seguir, são dados o seno, o cosseno e a tan-
gente dos principais ângulos do ciclo trigonométrico. O conheci-
mento desses ângulos é fundamental.
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53© Caderno de Referência de Conteúdo
Quadro 1 Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis.
Relação fundamental da trigonometria
Ao estudarmos as relações trigonométricas no triângulo re-
tângulo vimos que, para um ângulo agudo de medida a, temos 
. Essa relação vale para qualquer . Assim, 
é possível calcular o valor do seno de um ângulo conhecendo-se o 
valor do cosseno desse ângulo.
Exemplo: 
Se a é um ângulo do segundo quadrante e 0,6sen a = , qual 
é o valor do cos a ?
Para resolver essa questão, utilizamos a relação fundamental:
2 2 2 2
2 2
2
1 (0 6) 1
0 36 1 1 0 36
0 64 0 64
0 8
sen a cos a , cos a
, cos a cos a ,
cos a , cos a ,
cos a ,
+ = ⇒ + = ⇒
⇒ + = ⇒ = − ⇒
⇒ = ⇒ = ± ⇒
⇒ = ±
Equações trigonométricas
Toda e qualquer igualdade trigonométrica em que a variável 
aparece nas medidas dos arcos ou dos ângulos são classificadas 
como equações trigonométricas.
© Matemática Básica I54
Equação na forma sen x a=
Vimos, no ciclo trigonométrico de raio unitário, que o seno de um 
ângulo pode assumir valores no intervalo [ 1, 1]− , ou seja, [ 1, 1]a∈ − . 
Podemos determinar o valor de a, tal que senx a sen x sen a= ⇒ = . 
Nesse caso, x e a apresentam o mesmo seno se a imagem desses arcos 
forem coincidentes ou simétricos no ciclo trigonométrico em relação ao 
eixo das ordenadas (y), como pode ser observado na Figura 18.
Figura 18 Simetria dos arcos – sen a sen x= . 
Para 0 2a π≤ ≤ , temos: ou
x a
sen x sen a
x aπ
=
= ⇔ 
 = −
. 
Equação na forma cos x a=
Vimos, no ciclo trigonométrico de raio unitário, que o cos-
seno de um ângulo pode assumir valores no intervalo [ 1, 1]− , 
ou seja, [ 1, 1]a∈ − . Podemos determinar o valor de a, tal que 
cos cos cosx a x a= ⇒ = . 
Nesse caso, x e a apresentam o mesmo cosseno se a 
imagem desses arcos forem coincidentes ou simétricos no ciclo 
trigonométrico em relação ao eixo das abscissas (x), como pode 
ser observado na Figura 19.
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55© Caderno de Referência de Conteúdo
Figura 19 Simetria dos arcos – cos a cos x= .
Para 0 2a π≤ ≤ , temos:ou
2
x a
cos x cos a
x aπ
=
= ⇔ 
 = −
.
 
Equação na forma tg x a= 
Vimos, no ciclo trigonométrico de raio unitário, que a tangente 
de um ângulo pode assumir valores para qualquer valor de a, tal que 
a R∈ . Temos que tg x a tg x tg a= ⇒ = . Nesse caso, x e a apresen-
tam a mesma tangente se as imagens desses arcos forem coincidentes 
ou simétricas no ciclo trigonométrico em relação ao a de origem, ou 
seja, diametralmente opostas, como pode ser observado na Figura 20. 
Figura 20 Simetria dos arcos – tg a tg x= .
© Matemática Básica I56
Para 0 2a π≤ ≤ , temos:
 
ou
x a
tg x tg a
x aπ
=
= ⇔ 
 = +
Funções trigonométricas
Vimos que, para um número real x, é possível determinar um 
ponto P do ciclo trigonométrico, que está associado a um valor de 
cosseno e a um valor de seno (veja a Figura 21). 
Figura 21 Ponto P do ciclo trigonométrico.
A partir dessa observação, é possível estudarmos o que 
ocorre com o seno, o cosseno e a tangente de um arco ou ângulo 
qualquer para cada ponto P do ciclo trigonométrico.
Função seno, cosseno e tangente
Função seno
A função seno associa a cada ponto P do ciclo trigonométrico 
um número real x, definido por . Para todo x real, 
associamos um valor para .
• Domínio:
O domínio da função é o conjunto dos nú-
meros reais para n voltas ou posições do ponto P no ciclo 
trigonométrico, e escrevemos .
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• Imagem:
No ciclo trigonométrico, quando o , x assume o 
valor , e quando .
Podemos afirmar que a imagem da função é 
definida pelo intervalo entre os números 1 e –1, e escre-
vemos .
Função cosseno
A função cosseno associa a cada ponto P do ciclo trigonomé-
trico um número real x, definido por . Para todo 
x real, associamos um valor para .
• Domínio:
O domínio da função é o conjunto dos 
números reais para n voltas ou posições do ponto P no 
ciclo trigonométrico, e escrevemos .
• Imagem:
No ciclo trigonométrico, quando o , x assume o 
valor , e quando .
Podemos afirmar que a imagem da função é 
definida pelo intervalo entre os números 1 e –1, e escre-
vemos .
Função tangente
A razão entre o seno e cosseno de um número real x é a 
tangente desse número real. Assim, sen xtg x
cos x
= com cos 0x ≠ .
A função tangente fica definida para ( ) f x tg x= , de modo 
que : / ,
2
f x R x k k Rπ π ∈ ≠ + ∈ 
 
.
© Matemática Básica I58
• Domínio:
O domínio da função ( ) f x tg x= é o conjunto dos nú-
meros reais para n voltas ou posições do ponto P no ciclo 
trigonométrico, e escrevemos:
( ) / ,
2
Df x x R x k k Rπ π = ∈ ≠ + ∈ 
 
• Imagem:
No ciclo trigonométrico, a tangente de um número real 
pode assumir qualquer valor real. Desse modo, a imagem 
da função tangente é definida por ( ) = ] [Im f x ,−∞ ∞ .
Unidade 6 – números complexos
Na Unidade 6, definiremos números complexos, unidade 
imaginária, representação gráfica de um número complexo no pla-
no cartesiano. Veremos também operações com números comple-
xos e sua representação vetorial.
A forma trigonométrica ou polar de um número complexo e 
operações na forma trigonométrica também serão estudados nes-
ta unidade.
Números complexos
Os números reais podem ser associados aos pontos de uma 
reta numérica com origem no zero, e cada ponto dessa reta cor-
responde um número real, como pode ser observado na Figura 22.
Figura 22 Reta real.
Para o conjunto dos números complexos, que admite solu-
ção para 1− , por exemplo, para cada número complexo é asso-
ciado um ponto de um plano.
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Nesse sentido, podemos afirmar que o conjunto dos núme-
ros reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos, 
ou seja, R C⊂ .
Dado o plano cartesiano da Figura 23, o ponto A correspon-
de ao número complexo (3; 2), e dizemos que A é a imagem do 
complexo (3; 2). O ponto B corresponde ao número complexo (-2; 
3); o ponto C, ao número complexo (3; 0); e o ponto D, ao número 
complexo (0; 1).
Figura 23 Plano cartesiano.
Os números complexos que estão sobre o eixo dos x (eixo 
real) são os números reais e os números complexos que estejam 
fora do eixo dos x, números imaginários. Os números complexos 
que estiverem no eixo dos y (eixo imaginário) são chamados ima-
ginários puros.
Nesse sentido, na Figura 23, temos: 
• Os pontos A (3; 2) e B (-2; 3) são números imaginários.
• O ponto C (3; 0) é um número real.
• O ponto D (0; 1) é um número imaginário puro.
Um número complexo é um par ordenado de números reais 
nos quais, em um número complexo ( ; )z a b= , temos:
© Matemática Básica I60
• a é a parte real do número complexo z, e indicamos por 
( )a Re z= .
• b é a parte imaginária do complexo z, e indicamos por 
( )b Im z= .
Os números complexos podem ser descritos na forma 
algébrica. Dado um número complexo ( ; )z a b= , a sua notação na 
forma algébrica é z a bi= + , com 2( , e 1)a R b R i∈ ∈ = − , na qual:
• i é chamada de unidade imaginária do complexo z.
• a é a parte real do complexo z.
• b é a parte imaginária do complexo z.
Nesse contexto, para os complexos A (3; 2), B (-2; 3), C (3; 0) 
e D (0; 1), representamos no plano cartesiano da seguinte forma, 
como podemos observar na Figura 24:
Figura 24 Representação dos números complexos no plano.
Unidade imaginária
A unidade imaginária obedece à condição 2 1i = − , pois se 
considerarmos que 1 i− = , podemos escrever que 2 1i = − . De 
acordo com esse raciocínio, podemos considerar que ,ni n N∈ , e 
assim temos:
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61© Caderno de Referência de Conteúdo
• 0 1i =
• 1i i=
• 2 1i = −
• 3 2 1i i i i i= ⋅ = − ⋅ = −
• 4 2 2 1 1 1i i i= ⋅ = − ⋅ − =
Fique atento a essas potências da unidade imaginária dos 
números complexos, pois serão utilizadas com muita frequência 
no decorrer dos conteúdos estudados.
Forma trigonométrica ou polar de um número complexo
Como vimos anteriormente, um número complexo z a bi= + 
pode ser identificado como um ponto ( ; )a b do plano ou como 
um vetor de origem (0;0) e extremidade ( ; )a b .
Vimos também que a distância da origem (0;0) e o pon-
to ( ; )a b é o módulo z do número complexo determinado por 
2 2z a b= + .
Se considerarmos o ângulo θ (teta) formado entre o módulo 
do vetor z (com 0z ≠ ) e o eixo real x, é possível dizer que ( ; )z θ são 
as coordenadas polares, nas quais o ângulo θ (0 2 )θ π≤ ≤ é tam-
bém denominado argumento do complexo z e descrito por arg (z).
Nesse caso, podemos estabelecer uma relação entre as co-
ordenadas cartesianas ( ; )a b do complexo z e as coordenadas po-
lares ( ; )r θ . Observe a Figura 25:
© Matemática Básica I62
Figura 25 Complexo z a bi= + .
2 2
( )
( )
z a bi
z r a b
arg z θ
= +
= = +
=
Como estudamos em trigonometria, podemos afirmar que:
acos a r cos
r
bsen b r sen
r
θ θ
θ θ
= ⇒ = ⋅
= ⇒ = ⋅
Substituindo os valores de a e b no complexo ( )z a bi= + , 
obtemos ( )z r cos r isenθ θ= ⋅ + ⋅ .
Se fatorarmos a expressão anterior e escrever r em evidên-
cia, obtemos ( )z r cos i senθ θ= + ⋅ , que é denominada forma 
polar ou forma trigonométrica de um número complexo.
Na Figura 26, podemos observar que o argumen-
to ( )arg z do complexo 3 3z i= + é o ângulo 45θ = ° e que 
2 2 2 23 3 18 3 2r z a b= = + = + = = . Assim, as coordenadas 
polares do complexo 3 3z i= + são (3 2;45º ) . 
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Figura 26 Coordenadas polares de z.
Para apresentarmos na forma polar ou trigonométrica, sabe-
mos que 2 245 e 45
2 2
cos sen ° = ° = .
Da trigonometria, temos que 45
4
radπ° = .
Podemos escrever z na forma trigonométrica:
• 3 3 3 2
4 4
z i cos i senπ π = + = + ⋅ 
 
 em radianos;
• Ou ( )3 3 3 2 45 45ºz i cos i sen = + = ° + ⋅ em graus.
Exemplo: apresente a forma polar de 1 3 z i= + , conside-
rando 30ºθ = .
Para resolvermos o problema, devemos primeiro determinar 
221 ( 2 1 3 4 2r z= = + = + = = .
Em seguida, temos que330
2
cos ° = e 130
2
sen ° = .
O ângulo de 30
6
radπ° = .
A forma trigonométrica do complexo 1 3 z i= + 
pode ser escrita 2
6 6
z cos i senπ π = + ⋅ 
 
 em radianos e 
( )2 30º 30ºz cos i sen= + ⋅ em graus.
© Matemática Básica I64
Glossário de Conceitos
O Glossário de Conceitos permite uma consulta rápida e pre-
cisa das definições conceituais, possibilitando-lhe um domínio dos 
termos técnico-científicos utilizados na área de conhecimento dos 
temas tratados em Matemática Básica I. Veja, a seguir, a definição 
dos principais conceitos:
1) Ciclo trigonométrico: circunferência orientada de cen-
tro O, cujo raio é 1 (uma) unidade de comprimento e na 
qual o sentido positivo é o anti-horário.
2) Conjunto dos números complexos: aquele que admite 
solução para 1− . Nesse sentido, o conjunto dos nú-
meros reais é um subconjunto do conjunto dos números 
complexos, ou seja, R C⊂ .
3) Conjunto dos números inteiros (Z): representado por: 
{ }..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...Z = − − − − − .
4) Conjunto dos números irracionais (I): números que não 
podem ser escritos na forma de uma fração p
q
.
5) Conjunto dos números naturais (N): representado por: 
{ }0, 1, 2, 3, 4, 5, ...N = .
6) Conjunto dos números racionais (Q): números que po-
dem ser escritos na forma de fração p
q
 com 0q ≠ .
7) Conjunto dos números reais (R): união do conjunto dos nú-
meros racionais com o conjunto dos números irracionais.
8) Conjunto dos divisores de um número inteiro: considere 
um número a pertencente ao conjunto dos números intei-
ros (Z). Se a Z∈ , temos: ( ) { : }D a x Z x a= ∈ (lê-se "os di-
visores de a são o conjunto dos números x que pertencem 
ao conjunto dos números inteiros Z, tal que a divide x").
9) Conjunto dos múltiplos de um número inteiro: considere 
um número a pertencente ao conjunto dos números intei-
ros (Z). Se a Z∈ , temos: ( ) { : }M a x Z a x= ∈ (lê-se "os 
múltiplos de a são o conjunto dos números x que perten-
cem ao conjunto dos números inteiros Z, tal que x divide a").
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10) Cosseno: razão entre o cateto adjacente de um ângulo e 
a hipotenusa do triângulo retângulo.
11) Expressões algébricas: são expressões matemáticas 
que apresentam letras e podem conter números, como 
5 2a b+ e 5 2x y+ . São também denominadas expres-
sões literais.
12) Equação: uma sentença matemática que estabelece 
uma igualdade entre duas expressões algébricas, como 
em 8 9 7x − = .
13) Equações polinomiais: expressões formadas por um nu-
meral e uma letra (juntos, indicam o produto dos núme-
ros representados pelo numeral e pela letra).
14) Equações trigonométricas: toda e qualquer igualdade 
trigonométrica em que a variável aparece nas medidas 
dos arcos ou dos ângulos.
15) fatorar: transformar uma expressão matemática em um 
produto, utilizando propriedades dos números racionais.
16) fração imprópria: toda aquela em que o numerador é 
maior que o denominador.
17) fração própria: toda aquela em que o numerador é me-
nor que o denominador.
18) função: sejam A e B dois subconjuntos do conjunto dos 
números reais R, a função f é uma lei ou regra que asso-
cia cada elemento de A com um único elemento de B.
19) função exponencial: toda função que possui a incógnita 
no expoente de uma base. Assim, uma função exponen-
cial *( de em )f R R+ é denotada por ( )
xf x a= , na qual a 
é a base ( 0 e 1)a a> ≠ e x, a incógnita.
20) Inequação: uma sentença matemática que estabelece 
uma desigualdade entre duas expressões algébricas, 
como em 8 9 7x − ≥ .
21) Logaritmo: dados os números reais positivos a e b, com 
1b ≠ , define-se o de a, na base b, o número real c, que 
deve ser o expoente de b para que a potência seja igual 
ao número a. Em linguagem matemática, temos:
c
blog a c b a= ⇔ = , na qual 0a > , 1b ≠ e 0b > .
© Matemática Básica I66
22) número primo: considere um número p que pertence 
ao conjunto dos números inteiros Z. Assim, p é um nú-
mero primo se:
a) 0 e 1 e 1
b) os divisores de , ( ) {1; 1; ; }
p p p
p D p p p
≠ ≠ ≠ −
= − −
23) números compostos: considere um número a que per-
tence ao conjunto dos números inteiros Z. Assim, a é um 
número composto se:
a) 0 e 1 e 1
b) admite pelo menos um divisor próprio
a a a
a
≠ ≠ ≠ −
24) Máximo Divisor Comum (MDC): resulta, entre dois nú-
meros inteiros, da intersecção entre os divisores positi-
vos desses dois números, considerando o maior, ou seja, 
para a, b pertencentes aos inteiros (Z) temos:
, , 0 ou 0
( , ) ( ( ) ( ))
a b Z a b
MDC a b máximo D a D b+ +
∈ ≠ ≠
= ∩
25) Mínimo Múltiplo Comum (MMC): resulta, entre dois nú-
meros inteiros, da intersecção entre os múltiplos positivos 
desses dois números, considerando o menor, ou seja, para 
a, b pertencentes aos inteiros (Z) menos o zero, temos: 
*,a b Z∈ e * *( , ) ( ( ) ( ))mmc a b mínimo M a M b+ += ∩ .
26) Monômio: toda expressão escrita na forma nax , em que 
a é um número real (coeficiente); n, um número natural; 
e x, um valor desconhecido (variável ou incógnita).
27) Polinômio: consiste na soma de dois ou mais monômios 
como 3 22 4 1x x− + , por exemplo.
28) Porcentagens (ou razões centesimais): frações que 
apresentam denominadores iguais a 100 e são repre-
sentadas pelo símbolo % (lê-se "por cento"). Assim, as 
razões 25
100
 e 80
100
 podem ser representadas por 25% e 
80%, respectivamente.
29) Proporção: os números a, b, c e d, diferentes de zero, 
formam nessa ordem uma proporção se, e somente se, 
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a razão a
b
 é igual à razão c
d
 indicada por a c
b d
= , na 
qual a e d são chamados extremos, e b e c são chamados 
meios.
30) Raiz de índice n (ou raiz enésima): por exemplo, de A, ao 
número (x) que, elevado à potência n, resulta em A, ou 
seja: n nx A A x= ⇒ = .
31) Razão: de um número x para um número y ( 0y ≠ ), por 
exemplo, é o quociente de x por y, isto é: ou :x x y
y
.
32) Razões inversas: duas razões são inversas entre si quan-
do uma é igual ao inverso multiplicativo da outra. Assim, 
se x e y são números reais não nulos, então x
y
 e y
x
 são 
razões inversas, pois = = 1x y xy
y x xy
⋅ .
33) Seno: razão entre o cateto oposto a um ângulo e a hipo-
tenusa do triângulo retângulo.
34) Tangente: razão entre o cateto oposto e o cateto adja-
cente a um ângulo no triângulo retângulo.
Os conceitos e definições aqui construídos ou adquiridos se-
rão de importância indiscutível, habilitando o entendimento e o 
uso de tais termos com maior profissionalismo, facilitando o ensi-
no e a aprendizagem, enfim, aparelhando o futuro educador, para 
sua atividade, de maneira completa.
Esquema dos Conceitos-chave
Para que você tenha uma visão geral dos conceitos mais im-
portantes deste estudo, apresentamos, a seguir (Figura 1), um Es-
quema dos Conceitos-chave. O mais aconselhável é que você mes-
mo faça seu esquema de conceitos-chave ou até mesmo seu mapa 
mental. Esse exercício é uma forma de você construir seu conhe-
cimento, ressignificando as informações a partir de suas próprias 
percepções.
© Matemática Básica I68
É importante ressaltar que o propósito desse Esquema dos 
Conceitos-chave é representar, de maneira gráfica, as relações entre 
os conceitos por meio de palavras-chave, partindo dos mais com-
plexos para os mais simples. Esse recurso pode auxiliar você na or-
denação e na sequenciação hierarquizada dos conteúdos de ensino.
Com base na teoria de aprendizagem significativa, entende-
-se que, por meio da organização das ideias e dos princípios em 
esquemas e mapas mentais, o indivíduo pode construir seu conhe-
cimento de maneira mais produtiva e obter, assim, ganhos peda-
gógicos significativos no seu processo de ensino e aprendizagem.
Aplicado a diversas áreas do ensino e da aprendizagem esco-
lar (tais como planejamentos de currículo, sistemas e pesquisas em 
Educação), o Esquema dos Conceitos-chave baseia-se, ainda, na ideia 
fundamental da