MATEMATICA BÁSICA I - EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

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D
Expressões Algébricas
2
1. ObjetivOs
•	 Rever	 conceitos	 básicos	 sobre	 expressões	 algébricas,	
equações	polinomiais,	fatoração	e	produtos	notáveis.
•	 Identificar	e	resolver	equações	e	 inequações	do	1º	e	2º	
grau.
2. COnteúdOs
•	 Expressões	algébricas	e	equações	polinomiais.
•	 Produtos	notáveis	e	fatoração.
•	 Equações	e	inequações	do	1º	e	2º	graus.
3. Orientações para O estudO da unidade
Antes	de	 iniciar	o	estudo	desta	unidade,	é	 importante	que	
você	leia	as	orientações	a	seguir:	
© Matemática Básica I110
1)	 É	 fundamental	 que	 você	 tenha	 sempre	 disponível	
o	 significado	 dos	 conceitos	 básicos	 referentes	 às	
expressões	 algébricas,	 produtos	 notáveis,	 fatoração,	
equações	e	inequações.
2)	 Para	 fixar	os	conteúdos	desta	unidade,	procure	revisar	
os	 conteúdos	 já	 apresentados	 –	 a	 apreensão	 desses	
conceitos	 é	 fundamental	 para	 que	 outros,	 mais	 bem	
elaborados,	 sejam	 compreendidos	mais	 facilmente	 no	
decorrer	deste	curso.	
3)	 Lembre-se	 de	 que	 sua	 participação	 pode	 significar	 a	
diferença	para	transformar	conhecimentos	em	qualidade	
profissional.	Por	isso,	procure	interagir	com	seus	colegas	
de	turma	e	o	tutor.
4. intrOduçÃO À unidade
Nesta	 segunda	 unidade,	 revisaremos	 conceitos	 básicos	 de	
expressões	 algébricas,	 produtos	 notáveis,	 fatoração,	 equações	 e	
inequações	do	1º	e	2º	graus	e	sistemas	de	equações	e	inequações.	
Tais	conceitos	são	fundamentais	para	um	bom	entendimento	
de	outros	conceitos	matemáticos	mais	bem	elaborados,	os	quais	
estudaremos	nas	unidades	subsequentes.
5. expressões algébriCas
São	expressões	matemáticas	que	apresentam	letras	e	núme-
ros,	como,	por	exemplo,	5 2a b+ 	e	 33
4
x y z− + − .	Ao	observamos	
esses	exemplos,	notaremos	que	podemos	realizar	operações	por	
meio	delas.	No	entanto,	devemos	para	resolver	as	operações	de	
acordo	com	a	seguinte	ordem:
•	 Potenciação	ou	radiciação.
•	 Multiplicação	ou	divisão.
•	 Adição	ou	subtração.
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111© U2 – Expressões Algébricas
Fique	atento	quanto	à	prioridade	dessas	operações:
Antes	de	cada	uma	das	três	operações	citadas,	deve-se	rea-
lizar	a	operação	que	estiver	dentro	dos	parênteses,	colchetes	ou	
chaves.
A	multiplicação	pode	ser	indicada	por	(×)	ou	por	um	ponto	
centralizado	na	altura	(·),	às	vezes	ela	vem	sem	sinal,	desde	que	fi-
que	evidente	a	intenção	de	multiplicação	da	expressão.	Aqui,	será	
adotado	o	ponto	como	símbolo	preferencial,	a	fim	de	que	não	nos	
confundamos	com	os	demais,	mas	é	importante	sabermos	da	exis-
tência	de	outras	formas.	
Exemplo:	 considere	 3 8A B= + ,	 e	 tomemos	 5B = .	 Nesse	
caso,	temos:	 3 (5) 8 15 8 23A = ⋅ + = + = .
Aqui	B	é	a	variável	independente	da	expressão;	5,	o	valor	numé-
rico	da	variável B;	e	23,	o	valor	numérico	da	expressão	indicada	por	A.
Se	alterarmos	o	valor	de	B	para	8,	obtemos	um	novo	valor	
numérico	para	a	expressão	A:	 3 (8) 8 24 8 32A = ⋅ + = + = .
Outro	exemplo:	seja	 3 2 2 5X A B= − + − ,	e	se	alterarmos	o	
valor	de A	e	de	B	para	 2A = 	e	 3B = ,	obteremos	um	valor	numé-
rico	de	X.
Assim,	 temos:	 3 (2) 2 2 (3) 5X = ⋅ − + ⋅ − ,	 o	 que	 resulta	 em	
6 2 6 5 5X = − + − = .
Podemos	concluir	que	o	valor	numérico	de	uma	expressão	
algébrica	é	o	valor	obtido	na	expressão	quando	substituímos	a	va-
riável	por	um	valor	numérico	qualquer.
6. eQuações pOlinOMiais
Na	maioria	das	situações	práticas,	os	problemas	do	dia	a	dia	
são	descritos	por	meio	de	equações	matemáticas	envolvendo	uma	
ou	mais	 variáveis	 ou	 incógnitas.	Nessas	 situações,	 para	 resolver	
tais	equações	é	preciso	encontrar	o	valor	(ou	valores)	da	incógnita	
© Matemática Básica I112
que	torne	verdadeira	uma	sentença	matemática	que	descreve	o	
problema.
Uma	classe	muito	importante	de	tais	equações	consiste	nas	
chamadas	equações	polinomiais,	que	caracterizaremos	a	seguir.
Expressões	formadas	por	um	numeral	e	uma	letra,	juntos,	indi-
cam	o	produto	dos	números	representados	pelo	numeral	e	pela	letra.
Monômios
Se	considerarmos,	por	exemplo,	2x,	dizemos	que	é	o	produto	
de	2	por	x.	O	numeral	é	denominado	coeficiente,	e	a	letra,	deno-
minada	variável.
É	chamada	de	monômio	a	expressão	da	forma	 nax ,	em	que 
a	é	um	número	real	(coeficiente);	n,	um	número	natural;	e	x,	um	
valor	desconhecido	(variável ou incógnita).
Por	exemplo,	 43x 	 é	um	monômio,	no	qual	o	 coeficiente	é	
igual	a	3; x,	a	variável;	e	4,	o	expoente	da	variável.
Monômios semelhantes
Dois	monômios	podem	ser	semelhantes	quando	possuem	as	
mesmas	variáveis,	com	os	mesmos	expoentes,	ou	seja,	são	seme-
lhantes	quando	forem	exatamente	iguais	ou	diferirem	apenas	com	
relação	aos	seus	coeficientes.
Os	monômios	 22x 	e	 23x− são	semelhantes,	pois	a	única	dife-
rença	são	os	coeficientes	(numeral).	Os	monômios	 33x 	e	 22x ,	por	
exemplo,	não	são	semelhantes,	pois	os	expoentes	são	diferentes,	
o	que	também	ocorre	com	os	monômios	 22x 	e	 2x .
soma e subtração de monômios
Somente	 podemos	 somar	 ou	 subtrair	 monômios	 quando	
eles	 forem	 semelhantes.	 Se	 isso	 não	 ocorrer,	 devemos	 simples-
mente	repetir	o	monômio	não	semelhante.
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113© U2 – Expressões Algébricas
Assim,	temos:
•	 2 2 22 3x x x− = −
•	 2 2 22 3 5 3 5 2a a b b a b+ − + = −
•	 3 3 34 3 5 7 5x x y x y+ − = −
Multiplicação de monômios
O	produto	de	monômios,	mesmo	não	sendo	eles	semelhan-
tes,	é	sempre	um	monômio.	Multiplicamos	os	coeficientes	numé-
ricos	e	somamos	os	expoentes	das	variáveis,	quando	elas	 forem	
iguais.
Exemplos
•	 2 2 2 2 2 2 42 3 (2) (3) 6 6x x x x x x+⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = =
•	 2 2 2 2 2 23 5 ( 3) (5) 15z x z x z x− ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ = −
•	 5 2 5 2 5 ( 2) 33 (1) (3) 3 3a a a a a a− − + −⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = =
divisão de monômios
A	divisão	 de	monômios	 semelhantes	 é	 sempre	 um	monô-
mio.	Dividimos	os	coeficientes	numéricos	e	subtraímos	os	expoen-
tes	das	variáveis.
Exemplos:
•	
5
5 2 3
2
3 3 3
2 2 2
x x x
x
−= =
•	
3
3 6 3
6
15 15 5
3 3
a a a
a
− −= =
•	
5
5 5 0
5
4 4 2 2
2 2
z z z
z
−− −= = − = −
Nesse	caso,	lembre-se	de	que	todo	número	elevado	a	zero	
resulta	em	1,	ou	seja,	 0 1z = .
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polinômios
Um	polinômio	consiste	na	soma	de	dois	ou	mais	monômios.	
As	expressões	a	seguir	são	polinômios:
•	 3 22 4 1x x− +
•	 4 23 2x x x− +
•	 5 2x x−
Operações com polinômios
Adição e subtração de polinômios 
Para	determinar	a	soma	de	dois	ou	mais	polinômios,	basta	
somar	os	coeficientes	dos	termos	de	mesmo	grau,	reduzindo-os	a	
um	único	termo	com	esse	grau.
Exemplos:
Dados	 os	 polinômios	 3 2( ) 2 3 5 2P x x x x= − + − 	 e	
3 2( ) 6 3Q x x x x= − + + ,	calcule	 ( ) ( )P x Q x+ :
2
1 2( )( )ax bx c a x x x x+ + = − −
Nesse	caso,	é	preciso	ter	cuidado	com	o	sinal	de	menos	do	
polinômio	 ( )Q x .	Lembre-se	de	que,	para	subtrair	um	polinômio	
de	outro,	basta	somar	o	polinômio	 ( )P x 	como	o	oposto	do	poli-
nômio	 ( )Q x ,	obtendo	 ( ) ( ( ))P x Q x+ − :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 2 3 2
3 2 3 2
3 3 2 2
3 2
2 3 5 2 6 3
2 3 5 2 6 3
2 6 3 5 2 3
4 2 4 5
P x Q x x x x x x x
P x Q x x x x x x x
P x Q x x x x x x x
P x Q x x x x
− = − + − − − + +
− = − + − − − + +
− = − + − + + − + − −
− = − − + −
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115© U2 – Expressões Algébricas
Multiplicação de polinômios
Dados	dois	polinômios	 ( )P x 	e	 ( )Q x ,	é	possível	multiplicá-los	
e	obter	o	polinômio	 ( )M x ,	isto	é,	 ( ) ( ) ( )M x P x Q x= ⋅ .	Para	multipli-
cá-los,	utilizamos	a	propriedade	distributiva	da	multiplicação.
Exemplos: 
Dados	os	polinômios	 3( ) 2 2P x x= + 	e	 3( ) 6 3Q x x= + ,	calcu-
le	 ( ) ( )P x Q x⋅ :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3
3 3 3 2
6 3 2
2 2 6 3
2 6 2 3 2 6 2 3
12 6 12 6
P x Q x x x
P x Q x x x x x
P x Q x x x x
⋅ = + ⋅ +
⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ = + + +
Dado	o	polinômio	 2( ) 2P x x= − 	e	o	polinômio	 ( ) 2Q x x= − 	
calcule	 ( ) ( )P x Q x⋅ :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
3 2
3 2
2 2
2 2 2 2
2 2 4
2 2 4
P x Q x x x
P x Q x x x x x
P x Q x x xx
P x Q x x x x
⋅ = − ⋅ −
 ⋅ = ⋅ + ⋅ − + − ⋅ + − ⋅ −       
⋅ = + − + − +
⋅ = − − +
equação polinomial
A	equação	polinomial	consiste	na	igualdade	de	polinômios.	
Por	exemplo,	 3 2 22 4 1 1x x x x− + = + − 	é	uma	equação	polinomial.
Considerando	que	uma	equação	polinomial	exprime	a	igual-
dade	entre	dois	polinômios,	podemos	sempre	reescrevê-la	na	for-
ma reduzida,	transpondo	os	monômios	do	segundo	membro	para	
o	primeiro	membro	(tomando	o	cuidado	de,	a	cada	transposição,	
efetuar	a	troca	de	sinal	do	referido	termo)	e,	em	seguida,	agrupan-
do	os	monômios	semelhantes,	de	modo	que	o	segundo	membro	
fique	igual	a	zero.
© Matemática Básica I116
Assim,	por	exemplo:
3 2 2 3 2 22 4 1 1 2 4 1 1 0x x x x x x x x− + = + − ⇔ − + − − + =
Agrupando	 os	 termos	 semelhantes	 no	 primeiro	 membro,	
obtemos	a	forma	reduzida:
3 22 5 2 0x x x− − + =
grau da equação polinomial
O	grau	da	equação	polinomial	é	dado	pelo	maior	expoente	
da	variável	x	da	equação.
Observem	os	exemplos	a	seguir:
•	 3 6 0x + = 	(equação	do	1º	grau);
•	 22 3 2 0x x+ − = 	(equação	do	2º	grau);
•	 3 22 5 2 0x x x− − + = 	(equação	do	3º	grau);
•	 4 25 2 3 0x x x+ − + = 	(equação	do	4º	grau).
7. FatOraçÃO
Fatorar	 é	 transformar	 uma	 expressão	matemática	 em	 um	
produto,	utilizando	propriedades	dos	números	racionais.
Fator comum em evidência
Começaremos	 pelo	 fator	 comum	 em	 evidência.	 Para	 isso,	
você	deve	se	lembrar	da	propriedade	distributiva	da	multiplicação	
em	relação	à	adição	e	à	subtração.
Sendo	a,	b	e	c	números	racionais,	temos:
( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅
Nesse	sentido,	quando	escrevemos	 ( )a b a c a b c⋅ + ⋅ = ⋅ + ,	
dizemos	que	a	expressão	a b a c⋅ + ⋅ 	foi	fatorada,	obtendo	a	expressão	
( )a b c⋅ + .	Podemos	dizer	que	"colocamos"	o	fator	comum a em	evi-
dência	e	transformamos	uma	soma	em	um	produto.
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117© U2 – Expressões Algébricas
Podemos	fatorar	uma	expressão,	ou	seja,	colocar	o	fator	co-
mum	em	evidência	em	expressões	que	contenham	mais	de	dois	
termos	somados	ou	subtraídos.
Exemplos:
•	 ( )ab ac ad ae a b c d e− + − = ⋅ − + −
•	 ( )abc abe abd ab c e d− + = ⋅ − +
•	 4 8 3 4 (4 8 3 4) (5) 5x x x x x x x+ − − = ⋅ + − − = ⋅ =
Podemos,	também,	colocar	em	evidência	o	fator	comum	em	
expressões	 algébricas	que	 contenham	 termos	que	 consistem	de	
um	numeral	seguido	de	uma	ou	mais	 letras,	as	quais	podem	ter	
como	expoentes	números	inteiros	positivos.
Por	 exemplo,	 a	 expressão	 2 3 2 22 6 8x y xy x y− + 	 possui	 três	
termos	e	é	possível	colocar	em	evidência	o	fator	comum,	se	ele	for	
determinado	de	acordo	com	as	observações	a	seguir:
•	 Na	parte	numérica,	determinamos	o	máximo	divisor	co-
mum	dos	coeficientes	numéricos	de	todas	as	parcelas	(no	
exemplo	anterior,	o	MDC	é	o	número	2).
•	 Na	 parte	 literal,	 consideramos	 todas	 as	 letras	 que	 apa-
recem	em	todas	as	parcelas	com	o	menor	expoente	(no	
exemplo	anterior,	as	letras	x e	y	ambas	com	expoente	1).
•	 Dividimos	cada	uma	das	parcelas	pelo	fator	comum.
Na	expressão	 2 3 2 22 6 8x y xy x y− + ,	temos	que	o	MDC	é	2;	as	
letras	que	se	repetem	em	todas	as	parcelas	são x	e	y com	expoente	1.
Observe	que,	para	obter	os	termos	que	irão	ficar	dentro	dos	
parênteses,	temos	de	dividir	cada	uma	das	parcelas	da	expressão	
inicial	pelo	fator	comum,	ou	seja:
2 3 2 2
22 6 8 3 4 
2 2 2
x y xy x yx y xy
xy xy xy
−
= = − =
© Matemática Básica I118
Após	tais	procedimentos	de	fatoração,	obtemos:
2 3 2 2 22 6 8 2 ( 3 4 )x y xy x y xy x y xy− + = ⋅ − +
Veja	outro	exemplo:	na	expressão	 2 2 2 3 3 44 6 2a b a b a b− + ,	o	
máximo	divisor	comum	dos	coeficientes	numéricos	4,	–6	e	2	é	o	
numeral	2;	na	parte	 literal,	as	 letras	que	aparecem	em	todos	os	
termos	da	expressão	e	que	possuem	o	menor	expoente	são	 2 2a b .
Na	expressão	 2 2 2 3 3 44 6 2a b a b a b− + ,	temos:
2 2 2 3 3 4 2 2 24 6 2 2 (2 3 )a b a b a b a b b ab− + = − +
Observe	que,	para	obtermos	os	termos	que	irão	ficar	dentro	
dos	parênteses,	temos	de	dividir	cada	um	dos	termos	da	expressão	
inicial	pelo	fator	comum,	ou	seja:
2 2 2 3 3 4
2
2 2 2 2 2 2
4 6 22 3 
2 2 2
a b a b a bb ab
a b a b a b
−
= = − =
Fatoração por agrupamento
Pode	ocorrer	de,	em	uma	expressão,	não	ser	possível	deter-
minar	um	fator	comum	a	todos	os	termos	para	colocar	em	evidên-
cia.	Quando	isso	acontecer,	podemos	tentar	reagrupar	ou	rearran-
jar	os	termos,	para	obtermos	um	fator	comum.
Observe	 a	 expressão	 ax ay bx by+ + + .	 A	 letra	a é	 comum	
somente	às	duas	primeira	parcelas,	enquanto	a	letra	b é	comum	
às	duas	últimas	parcelas.	Podemos	colocar	a	letra	a em	evidência	
para	as	duas	primeiras	parcelas	e	a	 letra	b em	evidência	para	as	
duas	últimas	parcelas:
( ) ( )ax ay bx by a x y b x y+ + + = + + +
Observe	que,	na	expressão	 ( ) ( )a x y b x y+ + + ,	temos	um	ter-
mo	comum	( )x y+ 	e	que	também	pode	ser	colocado	em	evidência:
( ) ( ) ( ) ( )a x y b x y x y a b+ + + = + ⋅ +
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119© U2 – Expressões Algébricas
Observe	que,	se	aplicarmos	a	propriedade	distributiva	na	ex-
pressão	 ,	obteremos	a	expressão	 .
Exemplos
1)	 Fatore	por	agrupamento	a	expressão	 .
Observe	que	a	letra	a é	fator	comum	para	as	duas	pri-
meiras	parcelas	e b	para	as	duas	últimas.	Assim,	temos:	
.
Na	 expressão	 anterior,	 observe	 que	 obtemos	 	
como	fator	comum	e	novamente	colocamos	esse	termo	
em	evidência:
Nesse	caso,	se	aplicarmos	a	propriedade	distributiva	na	
expressão	 ,	obteremos	a	expressão	origi-
nal	 .
2)	 Fatore	a	expressão	 .
Observe	que	a	letra	x é	fator	comum	para	a	primeira	e	
terceira	parcela,	 e	 o	número 1,	 o	 fator	 comum	para	 a	
segunda	e	última	parcela.	Assim,	temos:
Na	 expressão	 anterior,	 observe	 que	 obtemos	 	
como	fator	comum	e	novamente	colocamos	esse	termo	
em	evidência:
Nesse	caso,	se	aplicarmos	a	propriedade	distributiva	na	
expressão	 ,	obteremos	a	expressão	original	
.
8. prOdutOs nOtáveis
Cálculos	 que	 envolvem	 expressões	 algébricas	 são	 muito	
frequentes	e	utilizados	na	resolução	de	problemas	matemáticos.
© Matemática Básica I120
Provavelmente	 você	 já	 conhece	 alguns	 desses	 cálculos:	 os	
conhecidos	produtos	notáveis,	que	consistem	na	multiplicação	de	
expressões	algébricas.
Um	 exemplo	 de	 produto	 notável	 é	 a	 expressão	 2( )a b+ ,	
conhecida	como	o	quadrado da soma	de	dois	números	a	e	b.	Para	
obtermos	esse	produto,	utilizamos	a	propriedade	distributiva:
2
2 2
( ) ( ) ( )
2
a b a b a b
a a a b a b b b a ab b
+ = + ⋅ + =
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + +
Observe	 que,	 para	 resolver	 a	 expressão	 pela	 propriedade	
distributiva,	o	processo	é	 longo	e,	por	consequência,	demorado.	
Para	facilitar,	memorize	a	seguinte	sequência:
•	 O	quadrado	da	soma	de	dois	números	é	igual	ao	quadrado	
do	primeiro	termo,	mais	duas	vezes	o	produto	do	primeiro	
termo	pelo	segundo,	mais	o	quadrado	do	segundo	termo.
2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + +
O	mesmo	vale	para	o	quadrado	da	diferença	de	dois	núme-
ros	a	e	b,	 2( )a b− ,	que	resulta	em:
•	 O	quadrado	da	diferença	de	dois	números	é	igual	ao	quadrado	
do	primeiro	termo,	menos	duas	vezes	o	produto	do	primeiro	
termo	pelo	segundo,	mais	o	quadrado	do	segundo	termo.
2 2 2( ) 2a b a ab b− = − +
Exemplos:
1)	 Calcule	 2(2 3 )a b+ :
2 2 2
2 2 2
(2 3 ) (2 ) 2 (2 ) (3 ) (3 )
(2 3 ) 4 12 9
a b a a b b
a b a ab b
+ = + ⋅ ⋅ +
+ = + +
2)	 Calcule	 2( 3)x − :
2 2 2 2
2 2
( 3) 2 3 3 6 9
( 3) 6 9
x x x x x
x x x
− = − ⋅ ⋅ + = − +
− = − +
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121© U2 – Expressões Algébricas
Outro	importante	produto	notável	é	a	diferença	de	dois	nú-
meros	quadrados,	descrito	por	 2 2a b− ,	que	é	o	produto	de	 ( )a b− 	
por	 ( )a b+ ,	o	que	resulta:
2 2
2 2
( ) ( )
( ) ( )
a b a b a a ab ab b b a b
a b a b a b
− ⋅ + = ⋅ + − − ⋅ = −
− ⋅ + = −
Exemplos:
1)	 Simplifique	 ( 3) ( 3)x x− ⋅ + :
2 2 2( 3) ( 3) 3 9x x x x− ⋅ + = − = −
2)	 Fatore	 2 2x b− :
2 2 ( ) ( )x b x b x b− = − ⋅ +
9. eQuações
Equação	é	uma	 sentença	matemática	que	estabelece	uma	
igualdade	entre	duas	expressões	algébricas.
Nesse	sentido,podemos	afirmar	que	8 9 7x − = 	é	uma	equa-
ção,	pois	estabelece	uma	igualdade	entre	 8 9x − 	e	7,	como	tam-
bém	 2 9 0y − = ,	ao	estabelecer	uma	igualdade	entre	 2 9y − 	e	0.
Nos	 exemplos	 anteriores,	 as	 letras	 são	 descritas	 como	 in-
cógnitas,	que	representam	números	aos	quais	se	deseja	conhecer	
para	que	as	sentenças	matemáticas	sejam	verdadeiras.
Na	equação	8 9 7x − = ,	o	que	se	deseja	saber	é	qual	o	núme-
ro	x	que	multiplicado	por	8	e	subtraído	de	9	resulta	em	7.	Nesse	
caso,	o	valor	de	x	é	2,	pois	8 (2) 9 7⋅ − = .
Resolver	uma	equação	é	determinar	 todos	os	valores	pos-
síveis	para	a	incógnita	da	equação,	valores	esses	capazes	de	tornar	
a	igualdade	uma	sentença	matemática	verdadeira.
© Matemática Básica I122
A	seguir,	iremos	rever	alguns	tipos	de	equações	e	suas	res-
oluções,	já	estudados	ao	frequentarmos	o	Ensino	Fundamental	e	
o	Ensino	Médio.
equações do 1º grau
A	equação	do	1º	grau	é	representada	na	forma	 0ax b+ = ,	na	
qual	 0a ≠ ,	ao	passo	que	a	e	b	são	os	coeficientes	(números	conhecidos)	
e	x,	a	variável	ou	incógnita	da	equação.
A	solução	de	uma	equação	do	1º	grau	na	forma	 0ax b+ = ,	
na	qual	 0a ≠ ,	é	dada	por:	 bx
a
−
= .	Vejamos,	a	seguir,	exemplos	de	
equações	do	1º	grau	com	suas	soluções:
a)	 3 9 0x − =
Resolução:
3 9 0
3 9
9
3
3
x
x
x
x
⇒ − =
⇒ =
⇒ =
⇒ =
b)	 10 4 2x x+ = −
Resolução:
10 4 2
2 4 10
3 6
6
3
2
x x
x x
x
x
x
⇒ + = −
⇒ + = −
⇒ = −
−
⇒ =
⇒ = −
Claretiano - Centro Universitário
123© U2 – Expressões Algébricas
c)	 2 4 2
6 3
x +
=
Resolução:
3 (2 4) 2 6 6 12 12
6 12 12 6 0
0
x x
x x
x
⇒ ⋅ + = ⋅ ⇒ + =
⇒ = − ⇒ =
⇒ =
d)	 Em	uma	empresa,	estima-se	que	o	custo	de	fabricação	
(em	reais)	de	x	unidades	de	um	determinado	produto	é	
dado	pela	equação	 150 4C x= + ,	 e	a	 receita	 (também	
em	reais)	obtida	pela	comercialização	dessas	x	unidades	
é	 6R x= .	Assim,	o	lucro	obtido	pela	produção	e	comer-
cialização	de	x	unidades	é	dado	por	 L R C= − .	Qual	a	
produção	necessária	para	gerar	um	lucro	de	R$	250,00?
Resolução:
Com	as	informações	do	problema,	substituindo	na	equação	
do	lucro	as	expressões	correspondentes	à	receita	R	e	ao	custo	C,	
obtemos	 6 (150 4 ) 2 150L x x L x= − + ⇒ = − .
Impondo	a	condição	de	que	o	lucro	esperado	é	de	R$	250,00,	
obtemos	a	equação	do	1º	grau:
2 150 250 2 400 200x x x− = ⇒ = ⇒ =
Portanto,	a	produção	para	gerar	um	lucro	de	R$	250,00	deve	
ser	de	200	unidades.
equações do 2º grau
A	equação	do	2º	grau	caracteriza-se	por	ser	escrita	na	forma	
2 0ax bx c+ + = ,	na	qual	a,	b	e	c	são	os	coeficientes	(números	reais	
conhecidos),	com	 0a ≠ .
O	coeficiente	a	 tem	de,	necessariamente,	 ser	diferente	de	
zero,	 pois	 se	 0a = ,	 a	 equação	 não	 é	 do	 2º	 grau.	 Por	 exemplo,	
20 4 7 0 4 7 0x x x+ − = ⇔ − = 	 não	 é	 uma	 equação	 do	 2º	 grau	 e,	
sim,	do	1º	grau.
© Matemática Básica I124
Exemplos
1)	 22 3 2 0x x− − = ,	com:	 2a = ;	 3b = − ;	 2c = − .	(equação	
completa:	 0a ≠ ,	 0b ≠ ,	 0c ≠ );
2)	 2 5 3 0x x− + − = ,	 com:	 1a = − ;	 5b = ;	 3c = − 	 (equação	
completa:	 0a ≠ ,	 0b ≠ ,	 0c ≠ );
3)	 2 9 0x − = ,	 com:	 1a = ;	 0b = ;	 9c = − 	 (equação	 incom-
pleta,	 0b = );
4)	 21 9 0
2
x x− = ,	com:	 1
2
a = ;	 9b= − ;	 0c= 	(equação	in-
completa,	 0c = );
5)	 2 2 5x x+ = ,	 com:	 1a = ;	 2b = ;	 5c = − .	 (Observe	 que	
5c = − ,	porque,	como	a	 forma	geral	da	equação	apre-
senta	segundo	membro	igual	a	zero,	para	identificarmos	
os	coeficientes,	temos	de	escrever	a	equação	em	sua	for-
ma	geral,	equivalente	a:	 2 2 5x x+ = ⇔ 2 2 5 0x x+ − = ).
Para	 resolver	 uma	 equação	 do	 2º	 grau	 na	 forma	 geral,	
utilizamos	 a	 fórmula	 para	 resolução	 de	 equações	 do	 2º	 grau:	
2
bx
a
− ± ∆
= ,	na	qual:	 2 4b ac∆ = − .
Algumas	 observações	 sobre	 a	 fórmula	 para	 resolução	 de	
equações	do	2º	grau	:
•	 A	 expressão	 2 4b ac∆ = − 	 é	 chamada	 discriminante	 da	
equação,	 e	 a	 expressão	
2
bx
a
− ± ∆
= 	 só	 faz	 sentido	 se	 o	
discriminante	 for	não	negativo	 ( 0∆ ≥ ).	Caso	contrário,	 se	
0∆ < ,	não	é	possível	calcular	 ∆ 	no	conjunto	dos	números	
reais	(não	existem	raízes	reais).	Assim,	se	 0∆ < ,	a	equação	
não	possui	raízes	reais;
•	 O	sinal	( )± ,	na	expressão	das	soluções	(x),	significa	que	há	
duas	soluções:	uma	delas	calculada	com	o	sinal	negativo	
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125© U2 – Expressões Algébricas
(–);	a	outra	solução,	com	o	sinal	positivo	(+).	Poderíamos	
separar	 essas	 duas	 soluções	 escrevendo:	 	
ou	 .
A	seguir,	vejamos	alguns	exemplos	de	soluções	de	equações	
do	2º	grau:
Exemplos
1)	 Determine	 o	 conjunto	 solução	 para	 a	 equação	 do	 2º	
grau	 :
Resolução:
Substituindo	pela	fórmula	para	resolução	de	equações	do	2º	
grau,	obtemos:
Solução:	 	ou	 	.
2)	 Determine	 o	 conjunto	 solução	 para	 a	 equação	 do	 2º	
grau	 .
Resolução:
© Matemática Básica I126
Substituindo	pela	fórmula	para	resolução	de	equações	do	2º	
grau,	obtemos:
( )
( )
1
2
6 0 6 3
2 1 2
6 0 6 3
2 1 2
x
x
− − −
= = =
⋅
− − +
= = =
⋅
Solução:	 1 2 3x x= = 	
3)	 Determine	 o	 conjunto	 solução	 para	 a	 equação	 do	 2º	
grau	 22 3 2 0x x− + = .
Resolução:
( )2
2, 3 e 2
3 4 2 2 9 16 7 7
a b c= = − =
∆ = − − ⋅ ⋅ = − = − ⇒ ∆ = −
No	último	caso,	é	um	número	negativo,	e	não	existe	 ∆ 	no	
conjunto	dos	números	reais;	portanto,	a	equação	não	tem	solução	
no	conjunto	dos	números	reais	quando	delta	for	negativo.
4)	 O	 problema	 a	 seguir	 foi	 estudado	 pelo	 matemático	
Báskara	em	sua	obra	Lilavati:
•	 O	quadrado	da	oitava	parte	de	um	bando	de	macacos	
saltitava	no	bosque,	enquanto	os	12	restantes	tagare-
lavam	no	alto	de	um	outeiro.	Quantos	macacos	cons-
tituíam	o	bando?
Resolução:
Introduzindo	como	variável	x	o	número	de	macacos	do	ban-
do,	escrevemos	a	equação:	
2
12
8
x x  + = 
 
,	que	é	equivalente	a	
2
12
64
x x+ = ,	ou	ainda,	
2 64 768 0x x− + = .
Ao	 resolver	 essa	 equação,	 sabendo	 que	 1a = ;	 64b = − 	 e	
768c = ,	temos:	 2( 64) 4 1 768 1024∆ = − − ⋅ ⋅ = .
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127© U2 – Expressões Algébricas
Calculando	 ∆ ,	temos:	 1024 32= .
Substituindo	pela	fórmula	para	resolução	de	equações	do	2º	
grau,	obtemos:
( )64 32
2
x
− − ±
=
⇒ 1 16x = ou 2 48x =
Portanto,	o	bando	de	macacos	poderia	ser	constituído	tanto	
de	16	como	de	48	elementos.
Resumidamente,	 na	 resolução	 da	 equação	 do	 2º	 grau,	 te-
mos:	 2 0ax bx c+ + = ,	sendo	que	 0a ≠ .
•	 Se	 0∆ > ,	a	equação	possuirá	duas	raízes	reais	distintas:	
1 2
bx
a
− − ∆
= 	e	 2 2
bx
a
− + ∆
= .
•	 Se	 0∆ = ,	 a	 equação	 possuirá	 duas	 raízes	 reais	 iguais:	
1 2 2
bx x
a
−
= = .
•	 Se	 0∆ < ,	a	equação	não	admitirá	raízes	reais	(não	haverá	
solução	no	conjunto	dos	números	reais).
Fatoração de expressões do tipo ²ax bx c+ +
Vimos	 anteriormente	 que	 fatorar	 uma	 expressão	 signifi-
ca	 transformá-la	 em	 um	 produto.	 Se	 em	 uma	 equação	 do	 tipo	
2 0ax bx c+ + = ,	com	a,	b	e	c pertencentes	ao	conjunto	dos	números	
reais,	 0a ≠ 	e	 2 4 0b ac− ≥ ,	podemos	escrevê-la	 1 2( )( )a x x x x− − ,	na	
qual	 1x 	e	 2x 	são	as	raízes	da	equação	do	2º	grau.	Para	 0∆ ≥ ,	temos:	
2
1 2( )( )ax bx c a x x x x+ + = − − .
Exemplos
1)	 Fatorar	a	expressão	 2 5 6x x+ + .
Resolução (etapa por etapa):
a)	 Calculamos	o	valor	de	delta:
© Matemática Básica I128
2 24 5 4 1 6 25 24 1b ac∆ = − ⇒ ∆ = − ⋅ ⋅ ⇒ ∆ = − ⇒ ∆ =
b)	 Utilizamos	a	fórmula	para	resolução	de	equações	do	
2º	grau	para	determinar	as	raízes:
1
2
5 1 5 1
2 2 1 2
5 1 4 2
2 2
5 1 6 3
2 2
b
a
x
x
− ± ∆ − ± − ±
⇒ = =
⋅
− + −
⇒ = = = −
− − −
⇒ = = = −
c)	 Em	seguida,	substituímos	os	valores	das	raízes	e	o	va-
lor	numérico	de	a	na	expressão	 1 2( ) ( )a x x x x⋅ − ⋅ − ,	
obtendo:
1 2( ) ( ) 1 ( ( 3)) ( ( 2))
1 ( 3) ( 2)
a x x x x x x
x x
⋅ − ⋅ − ⇒ ⋅ − − ⋅ − −
⇒ ⋅ + ⋅ +
2)	 Fatore	a	expressão	 2 4 4x x− + .
Resolução	(etapa	por	etapa):
a)	 Calculamos	o	valor	de	delta:
2 24 4 4 1 4 16 16 0b ac∆ = − ⇒ ∆ = − ⋅ ⋅ ⇒ ∆ = − ⇒ ∆ =
b)	 Utilizamos	a	fórmula	para	resolução	de	equações	do	
2º	grau	para	determinar	as	raízes:
1 2
( 4) 0 4 0
2 2 1 2
4 2
2
ba
x x
− ± ∆ − − ± ±
⇒ = =
⋅
⇒ = = =
c)	 Em	seguida,	substituímos	os	valores	das	raízes	e	o	va-
lor	numérico	de	a	na	expressão	 1 2( ) ( )a x x x x⋅ − ⋅ − ,	
obtendo:
1 2
2
( ) ( ) 1 ( 2) ( 2)
1 ( 2) ( 2) ( 2)
a x x x x x x
x x x
⋅ − ⋅ − ⇒ ⋅ − ⋅ −
⇒ ⋅ − ⋅ − = −
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129© U2 – Expressões Algébricas
10. ineQuações
Inequação	é	uma	sentença	matemática	que	estabelece	uma	
desigualdade	entre	duas	expressões	algébricas.
Nesse	 sentido,	 podemos	 afirmar	 que	 8 9 7x − ≥ 	 é	 uma	 in-
equação,	 pois	 estabelece	 uma	 desigualdade	 entre	 8 9x − 	 e	 7,	
como	também	 2 9 0y − > ,	ao	estabelecer	uma	desigualdade	entre	
2 9y − 	e	0.
Nos	exemplos	anteriores,	as	letras	são	descritas	como	incóg-
nitas,	que	representam	os	intervalos	aos	quais	se	deseja	conhecer	
para	que	as	sentenças	matemáticas	sejam	verdadeiras.
Na	 inequação	 8 9 7x − ≥ ,	 o	 que	 se	 deseja	 saber	 é	 qual	 o	
mínimo	valor	de	x	que,	multiplicado	por	8	e	subtraído	de	9,	resulta	
em	um	número	maior	 ou	 igual	 a	 7.	Nesse	 caso, x	 deve	 assumir	
valores	maiores	ou	iguais	a	2,	pois	se	 2x ≥ ,	a	sentença	8 9 7x − ≥ 	
será	verdadeira.
Resolver	uma	inequação	é	determinar	todos	os	valores	pos-
síveis	(intervalo)	para	a	incógnita	da	inequação,	valores	estes	capaz-
es	de	tornar	a	desigualdade	uma	sentença	matemática	verdadeira.
A	seguir,	iremos	rever	alguns	tipos	de	inequações	e	suas	res-
oluções,	já	estudados	ao	frequentarmos	o	Ensino	Fundamental	e	
o	Ensino	Médio.
inequações do 1º grau
A	inequação	do	1º	grau	pode	ser	definida	como	uma	relação	
da	forma	 0ax b+ > ,	com	 0a ≠ 	ou	qualquer	outro	dos	sinais	de	
desigualdade,	 como,	 por	 exemplo,	 ( ; ; ; )> < ≥ ≤ ,	 isto	 é,	 maior,	
menor,	maior	ou	igual,	menor	ou	igual,	respectivamente.
Vamos	recordar	o	que	as	desigualdades	podem	representar:
•	 A B> :	significa	que	"A	é	maior	que	B".
•	 A B< :	significa	que	"A	é	menor	que	B".
© Matemática Básica I130
•	 A B≥ :	significa	que	"A	é	maior	que	ou	igual	a	B".
•	 A B≤ :	significa	que	"A	é	menor	que	ou	igual	a	B".
Para	resolver	uma	inequação	do	1º	grau,	devemos	estar	aten-
tos	à	seguinte	regra	envolvendo	operações	com	desigualdades:
•	 Somando-se	ou	subtraindo-se	ambos	os	membros	de	uma	
desigualdade,	em	uma	mesma	quantidade,	a	desigualda-
de	não	se	altera.	Observem	o	exemplo	em	símbolos:
A B A C B C> ⇒ + > + 	e	 A C B C− > − .
Para	multiplicar	ou	dividir	uma	desigualdade	por	certa	quan-
tidade,	temos	de	tomar	um	pouco	mais	de	cuidado:	separar	em	
dois	casos,	conforme	essa	quantidade	seja	positiva	ou	negativa,	de	
acordo	com	as	regras:
•	 Multiplicando-se	ou	dividindo-se	ambos	os	membros	de	
uma	desigualdade	por	uma	mesma	quantidade	positiva,	
a	desigualdade	não se altera.	Vejamos	em	símbolos:
A B> ,	C 0 A C B C> ⇒ ⋅ > ⋅ 	e	 A C B C÷ > ÷ .
•	 Multiplicando-se	ou	dividindo-se	ambos	os	membros	de	
uma	desigualdade	por	uma	mesma	quantidade	negativa,	
a	desigualdade	muda de sentido.	Vejamos	em	símbolos:
 A B> ,	C 0 A C B C< ⇒ ⋅ < ⋅ 	e	 A C B C÷ < ÷ .
Exemplos numéricos:
Na	desigualdade	 2 5− ≤ ,	multiplicando	ambos	os	membros	
por	5,	sendo	5 0> ,	obtemos:	 2 5 5 5 10 25− ⋅ ≤ ⋅ ⇒ − ≤ ,	manten-
do	o	sentido	da	desigualdade	e	a	sentença	verdadeira.
Na	desigualdade	 2 5− ≤ ,	multiplicando	ambos	os	membros	
por	–5,	sendo	 5 0− < ,	obtemos:	 2 ( 5) 5 ( 5) 10 25− ⋅ − ≤ ⋅ − ⇒ ≤ − .
Observe	que,	nesse	caso,	10	não	é	menor	que	–25	e,	sim,	maior	
que	–25.	Quando	isso	acontecer,	é	preciso	inverter	o	sinal	da	desigual-
dade	para	que	a	sentença	seja	verdadeira.	Assim,	obtemos:	10 25≥ − .
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131© U2 – Expressões Algébricas
solução da inequação do 1º grau
Para	 resolver	 a	 inequação	 do	 1º	 grau	 0ax b+ ≥ ;	 0a ≠ ,	
devemos	separá-la	em	dois	casos:
•	 Caso 1:	 0a > .
Solução:	 0 ax b+ ≥ ⇒ ax b≥ − ⇒
bx
a
−
≥
•	 Caso 2:	 0a < .
Solução:	 0 ax b+ ≥ ⇒ ax b≥ − ⇒
bx
a
−
≤
Vamos	analisar	outros	exemplos?	Observe	as	inequações	do	
1º	grau	e	acompanhe	a	resolução	dos	exemplos	a	seguir:
1)	 Resolva	a	inequação	3 5 7x − ≤ 	no	conjunto	dos	R.
Resolução:
3 5 7 3 7 5
123 12
3
4
x x
x x
x
⇒ − ≤ ⇒ ≤ +
⇒ ≤ ⇒ ≤
⇒ ≤
Qualquer	número	real	menor	ou	 igual	a	4	é	solução	dessa	
inequação.	 Na	 linguagem	 de	 "intervalos	 da	 reta",	 essa	 solução	
pode	ser	escrita:
( , 4]x∈ −∞ 	ou	 ] , 4]x∈ −∞
2)	 Resolva	a	inequação	 0,1 0,4x− < 	no	conjunto	dos	R.
Resolução:
a)	 Multiplicando	por	–1	a	inequação	 0,1 0,4x− < ,	obtemos:
0,1 0,4
0,4 4
0,1
x
x x
⇒ > −
−
⇒ > ⇒ > −
Qualquer	 número	 real	 maior	 que	 –4	 é	 solução	 para	 a	
inequação	 0,1 0,4x− < .	 Em	 linguagem	 de	 "intervalos	 da	 reta",	
temos:	 ( )4,x∈ − ∞ 	ou	 ] 4, [x∈ − ∞ .
© Matemática Básica I132
3)	 Resolva	a	inequação	 2 4 2
5 3
x x− +
≥ 	no	conjunto	R.
Resolução:
( ) ( )2 4 2 3 2 5 4 2
5 3
6 3 20 10 3 20 10 6
23 4 23 4
4
23
x x x x
x x x x
x x
x
− +
⇒ ≥ ⇒ − ≥ +
⇒ − ≥ + ⇒ − − ≥ −
⇒ − ≥ ⇒ ≤ −
−
⇒ ≤
Qualquer	número	real	menor	ou	igual	a	 4
23
− 	é	solução	para	
a	inequação	 2 4 2
5 3
x x− +
≥ .
Em	linguagem	de	"intervalos	da	reta",	temos:
4] , ]
23
x∈ −∞ −
inequações do 2º grau
A	inequação	do	2º	grau	pode	ser	definida	como	uma	relação	
da	forma	 2 0ax bx c+ + > ,	com	 0a ≠ 	ou	qualquer	outro	dos	sinais	
de	desigualdade,	como,	por	exemplo,	 ( ; ; ; )> < ≥ ≤ ,	isto	é,	maior,	
menor,	maior	ou	igual,	menor	ou	igual,	respectivamente.
Vamos	recordar	o	que	as	desigualdades	podem	representar:
•	 A B> :	significa	que	"A	é	maior	que	B".
•	 A B< :	significa	que	"A	é	menor	que	B".
•	 A B≥ :	significa	que	"A	é	maior	que	ou	igual	a	B".
•	 A B≤ :	significa	que	"A	é	menor	que	ou	igual	a	B".
Para	resolver	uma	inequação	do	2º	grau	devemos	estar	aten-
tos	à	regra	envolvendo	operações	com	desigualdades,	como	estu-
damos	nas	inequações	do	1º	grau.
Claretiano - Centro Universitário
133© U2 – Expressões Algébricas
solução da inequação do 2º grau
Para	resolver	a	inequação	do	2º	grau	 2 0ax bx c+ + > ;	 0a ≠ ,	
devemos	primeiro	determinar	as	raízes	dessa	inequação	utilizando-
-se	o	cálculo	do	delta	∆ 	e	a	fórmula	para	resolução	de	equações	do	
2º	grau	
2
b
a
− ± ∆
⋅
	estudados	anteriormente.
Nesse	caso,	devemos	lembrar	que	temos	duas	possibilidades:
1)	 Se	 0∆ > 	e	 0a > ,	temos	duas	raízes	reais	distintas,	e	a	
inequação	assume	valores	negativos	entre	as	raízes	 1x 	e	
2x 	e	positivos	para	valores	maiores	que	 2x 	e	menores	
que	 1x ,	conforme	na	Figura	1:	
Figura	1	Esquema de solução da inequação do 2º grau para a 0> .
Vejamos	 um	 exemplo:	 dada	 a	 inequação	 2 5 6 0x x− + > ,	
determine	o	conjunto	solução.
Resolução:
Observe	na	inequação	que	 0a > ,	ou	seja,	 1a = 	e,	portanto,	
entre	 as	 raízes	 a	 inequação	 assume	 valores	 negativos	 e,	 para	
valores	maiores	que	a	maior	raiz	e	menores	que	a	menor	raiz,	a	
inequação	assume	valores	positivos.
Observe	 também	 que	 5b = − 	 e	 6c = ,	 portanto,	
2 24 ( 5) 4 1 6b ac∆ = − ⇒ ∆ = − − ⋅ ⋅ ,	 o	 que	 resulta	 em	 1∆ = .	
Com	os	valores	do	delta	e	dos	coeficientes	a,	b	e	c	determinados,	
calculamos	as	raízes	da	inequação	do	2º	grau	utilizando	a	fórmula	
para	resolução	de	equações	do	2º	grau	:
© Matemática Básica I134
1
2
( 5) 1 5 1
2 2 1 2
5 1 6 3
2 2
5 1 4 2
2 2
b
a
x
x
− ± ∆ − − ± ±
= = ⇒
⋅ ⋅
+
⇒ = = =
−
⇒ = = =
Observe,	na	Figura	2	que,	para	valores	maiores	que	3,	a	ine-
quação	assume	valores	positivos	e,	para	valores	menores	do	que	
2,	também,	portanto,	a	solução	para	a	inequação	 2 5 6 0x x− + > 	é:
2 3
Figura	2	Esquema de solução da inequação 2 5 6 0x x− + > .
V { / 2 e 3} ] ; 2[ ]3; [x R x x= ∈ < > = − ∞ ∪ +∞
1)	 Se	 0∆ > 	e	 0a < ,	temos	duas	raízes	reais	distintas,	e	a	
inequação	assume	valores	positivos	entre	as	raízes	 1x 	e	
2x 	e	negativos	para	valores	maiores	que	 2x 	e	menores	
que	 1x .	Observe	o	esquema	na	Figura	3	a	seguir:
Figura	3	Esquema de solução da inequação do 2º grau para 0a < .
Exemplo: 
Dada	 a	 inequação	 2 7 12 0x x− + + − > ,	 determine	 o	 con-
junto	solução.
Resolução:
Observe	na	inequação	que	 0a < ,	ou	seja,	 1a = − 	e,	portanto,	
entre	 as	 raízes	 a	 inequaçãoassume	valores	positivos	 e,	 para	 valores	
maiores	e	menores	que	as	raízes,	a	inequação	assume	valores	negativos.
Claretiano - Centro Universitário
135© U2 – Expressões Algébricas
Observe	 também	 que	 7b = 	 e	 12c = − ,	 portanto,	
2 24 (7) 4 ( 1) ( 12)b ac∆ = − ⇒ ∆ = − ⋅ − ⋅ − ,	o	que	resulta	 1∆ = .	
Com	os	valores	do	delta	e	dos	coeficientes	a, b e c	determinados,	
calculamos	as	raízes	da	inequação	do	2º	grau	utilizando	a	fórmula	
para	resolução	de	equações	do	2º	grau:
1
2
(7) 1 7 1
2 2 ( 1) 2
7 1 6 3
2 2
7 1 8 4
2 2
b
a
x
x
− ± ∆ − ± − ±
= = ⇒
⋅ ⋅ − −
− + −
⇒ = = =
− −
− − −
⇒ = = =
− −
Observe,	na	Figura	4	que,	para	valores	maiores	que	3	e	me-
nores	que	4	a	 inequação	assume	valores	positivos	e,	portanto	a	
solução	para	a	inequação	 2 7 12 0x x− + − > 	é:
Figura	4	Esquema de solução da inequação 2 7 12 0x x− + + − > .
V { / 3 4} ]3; 4[x R x= ∈ < < =
11. Questões autOavaliativas
Confira,	a	seguir,	as	questões	propostas	para	verificar	seu	de-
sempenho	no	estudo	desta	unidade:
1)	 Dados	os	polinômios	 3 2( ) 5 3 2 12P x x x x= − + − − 	 e	 3 2( ) 2 4 2 8Q x x x x= − + − ,	
calcule	 ( ) ( )P x Q x− .
2)	 Fatore	a	expressão	 22 8 6x x− + .
3)	 Sabe-se	que	o	custo	de	fabricação	(em	reais)	de	x	unidades	de	um	determina-
do	produto	é	dado	pela	equação	 45 2C x= + ,	e	a	receita	(também	em	reais)	
obtida	pela	comercialização	dessas x	unidades	é	 4R x= .	Sabe-se	ainda	que	o	
lucro	obtido	pela	produção	e	pela	comercialização	de	x	unidades	é	dado	por	
L R C= − .	Qual	a	produção	necessária	para	gerar	um	lucro	de	R$	235,00?
© Matemática Básica I136
4)	 Em	uma	sala	de	um	curso	vestibular	há	40	alunos,	sendo	que	o	dobro	do	nú-
mero	de	meninos	é	igual	ao	triplo	do	número	de	meninas	menos	10.	Quan-
tos	meninos	e	quantas	meninas	há	nessa	sala?
5)	 Determine	as	raízes	da	equação	 22 5 1 0x x+ + = .
6)	 Há	dois	números	cujo	dobro	do	quadrado	é	igual	a	16	vezes	eles	mesmos.	
Quais	são	esses	números?
7)	 Determine	a	equação	do	2º	grau,	cujas	raízes	são	 (1 3)− 	e	 (1 3)+ .
8)	 Determine	o	conjunto	solução	para	a	inequação	 2 5 6 0x x− + ≤ .
gabarito
Confira,	a	seguir,	as	respostas	corretas	para	as	questões	au-
toavaliativas	propostas:
1)	 3 2( ) ( ) 7 7 4 4P x Q x x x x− = − + − −
2)	 2( 1) ( 3)x x− ⋅ −
3)	 140	unidades.
4)	 22	meninos	e	18	meninas.
5)	 5 17
4
− ±
6)	 São	eles:	0	e	8.
7)	 2 2 2 0x x− − =
8)	 V { / 2 3}x R x= ∈ ≤ ≤
12. COnsiderações
Nesta	unidade,	você	teve	a	oportunidade	de	revisar	concei-
tos	e	conteúdos	relacionados	ao	estudo	das	expressões	algébricas,	
produtos	notáveis,	 fatoração,	equações	e	 inequações	do	1º	e	2º	
graus.
Na	Unidade	3,	estudaremos	conceitos	matemáticos	referen-
tes	aos	conteúdos	de	razão	e	proporção,	regra	de	três	simples	e	
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137© U2 – Expressões Algébricas
composta,	relações	trigonométricas	no	triângulo	retângulo,	plano	
cartesiano	e	algumas	funções.
13. E-REFERÊNCIA
PEREIRA,	R.	M.	M.;	SODRÉ,	U.	Ensino Médio:	teoria	dos	conjuntos.	Disponível	em:	<http://
pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/conjunto.htm>.	 Acesso	 em:	 4	
abr.	2013.
14. REFERÊNCIAS	BIBLIOGRÁFICAS
AGUIAR,	A.	 F.	A.	 et	 al.	Cálculo para ciências médicas e biológicas.	 São	Paulo:	Harbra,	
1988.
DANTE,	L.	R.	Matemática:	contexto	&	aplicações.	2.	ed.	São	Paulo:	Ática,	2007.
MORETTIN,	P.	A.	et	al.	Cálculo:	 funções	de	uma	e	várias	variáveis.	São	Paulo:	Saraiva,	
2003.
SILVA,	S.	M.	et	al.	Matemática para os cursos de Economia, Administração e Ciências 
Contábeis.	São	Paulo:	Atlas,	1999.
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