AVA1P1GAB

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Cálculo Diferencial 3
Prof: Adriano Delfino
CD23NB-3MC
Avaliação 1<��>04/09/2018
Gabarito
1. Considere o campo vetorial dado por F (x, y) = ( y
1+x2
, arctanx). Calcule o trabalho
realizado para deslocar uma partícula sobre a curva γ(t) = (sin3(π
2
t), t), 0 ≤ t ≤ 1.
Solução:
Observe que o domínio Ω = R2. Logo uma condição su�ciente para que o campo seja
conservativo é ∂P
∂y
= ∂Q
∂x
. Temos que P (x, y) = y
1+x2
e Q(x, y) = arctanx. Calculando as
derivadas parciais obtemos
∂P
∂y
=
1
1 + x2
e
∂Q
∂x
=
1
1 + x2
.
Portanto o campo é conservativo. Logo existe uma função φ : Ω→ R tal que ∇φ(x, y) =
F (x, y). Comparando os vetores temos que(
∂φ
∂x
,
∂φ
∂y
)
=
(
y
1 + x2
, arctanx
)
.
Donde integrando em relação a x primeiro
∂φ
∂x
(x, y) =
y
1 + x2
⇒ φ(x, y) = y arctanx+ c(y)
Agora derivando essa função em relação a y e comparando com o que temos
∂φ
∂y
(x, y) = arctan x+ c
′
(y) = arctan x⇒ c′(y) = 0⇒ c(y) = c.
Portanto a função potencial é dada por φ(x, y) = y arctanx+ c, onde c é uma constante.
Portanto a integral é independente do caminho e é dado por∫
γ
F dγ = φ(B)− φ(A).
O ponto A é onde começa a curva e o ponto B é onde termina a curva. Logo
A = γ(0) = (sin3(
π
2
· 0), 0) = (0, 0) e B = γ(1) = (sin3(π
2
· 1), 1) = (1, 1).
Portanto o trabalho é
w =
∫
γ
F dγ = φ(B)− φ(A) = φ(1, 1)− φ(0, 0) = arctan 1 = π
4
.
2. Calcule a integral de linha
∫
γ
xy4 ds onde γ é a metade direita do círculo x2 + y2 = 16.
Solução:
Observe que essa é uma integral de linha de um campo escalar dado por f(x, y) = xy4.
Portanto a fórmula é ∫
γ
f ds =
∫ b
a
f(γ(t))||γ′(t)|| dt.
1
A curva é um círculo de raio 4 centrado na origem e saomente o lado direito e portanto
pode ser parametrizado de forma natural como
γ(t) = (4 cos t, 4 sin t), −π
2
≤ t ≤ π
2
.
Donde
f(γ(t)) = f(4 cos t, 4 sin t) = 4 cos t(4 sin t)4.
Calculando γ
′
obtemos γ
′
(t) = (−4 sin t, 4 cos t) e portanto
||γ′(t)|| =
√
(−4 sin t)2 + (4 cos t)2 = 4.
Portanto o valor da integral é∫
γ
xy4 ds =
∫ π
2
−π
2
4 cos t(4 sin t)4 · 4 dt
= 4096
∫ π
2
−π
2
cos t(sin t)4 dt
= 4096
∫ 1
−1
u4 du
= 4096 · 2
∫ 1
0
u4 du
= 4096 · 2
[
u5
5
]1
0
= 8192
5
.
3. Considere o campo vetorial dado por F (x, y) = ( 1
π
y, 2
π
x− 1
π
). Calcule a integral de linha
sobre o círculo de centro em (π, π) e raio
√
2.
Solução:
Observe que o domínio do campo é Ω = R2 e a integral de linha é sobre uma região
compacta. Portanto o Teorema de Green pode ser aplicado. O Teorema diz que∮
γ
F dγ =
∫∫
K
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
dA
Nesse exercício temos que P (x, y) = 1
π
y e Q(x, y) = 2
π
x − 1
π
. Calculando as derivadas
obtemos ∂Q
∂x
= 2
π
e ∂P
∂y
= 1
π
. Portanto∮
γ
F dγ =
∫∫
K
2
π
− 1
π
dA =
1
π
∫∫
K
dA =
1
π
· π(
√
2)2 = 2.
4. Calcule a integral
∫
γ
xy dx+ (x− y) dy onde γ consiste nos segmentos de reta de (0, 0) a
(2, 0) e de (2, 0) a (3, 2).
Solução:
O campo é dado por F (x, y) = (xy, x− y) e o domínio Ω = R2. Temos que P (x, y) = xy
e Q(x, y) = x − y. Calculando as derivadas parciais obtemos ∂P
∂y
= x e ∂Q
∂x
= 1. Como
essas derivadas são diferentes, o campo F não é conservativo. A curva γ é composta por
junção de duas semi retas γ1 e γ2. Portanto nesse caso a integral é soma de duas∫
γ
F dγ =
∫
γ1
F dγ1 +
∫
γ2
F dγ2.
2
Vamos resolver a primeira integral. A curva γ1 é o segmento de reta de (0, 0) a (2, 0) e
que pode ser parametrizada como γ1(t) = (2t, 0), 0 ≤ t ≤ 1. Logo
γ
′
1(t) = (2, 0) e F (γ1(t)) = F (2t, 0) = (0, 2t).
Logo ∫
γ1
F dγ1 =
∫ 1
0
F (γ1(t)) · γ
′
1(t) dt =
∫ 1
0
(0, 2t)(2, 0) dt = 0.
A curva γ2 é o segmento de reta de (2, 0) a (3, 2) e que pode ser parametrizada como
γ2(t) = (2 + t, 2t), 0 ≤ t ≤ 1. Logo
γ
′
2(t) = (1, 2) e F (γ2(t)) = F (2 + t, 2t) = ((2 + t)2t, 2− t).
Logo ∫
γ2
F dγ2 =
∫ 1
0
F (γ2(t)) · γ
′
2(t) dt
=
∫ 1
0
((2 + t)2t, 2− t)(1, 2) dt
=
∫ 1
0
2t2 + 2t+ 4 dt
=
[
2
3
t3 + t2 + 4t
]1
0
= 2
3
+ 1 + 4 = 17
3
.
Logo a integral é ∫
γ
F dγ =
∫
γ1
F dγ1 +
∫
γ2
F dγ2 = 0 +
17
3
=
17
3
.
5. Considere o campo F (x, y, z) = (ex sin y, 0, arctan(xy)). Determine o rotacional e o di-
vergente deste campo.
Solução:
Dado um campo vetorial F = (P,Q,R), o rotacional é dado por
rotF (x, y, z) =
(
∂R
∂y
− ∂Q
∂z
,
∂P
∂z
− ∂R
∂x
,
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
Fazendo as derivadas obtemos
rotF (x, y, z) =
(
x
1 + (xy)2
,− y
1 + (xy)2
,−ex cos y
)
.
Já o divergente é um campo escalar dado por
divF (x, y, z) =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
.
Fazendo as derivadas obtemos
divF (x, y, z) = ex sin y.
3