Movimento Periódico e Oscilações

Prévia do material em texto

16/11/2016
1
Movimento Periódico
Prof. Cristiano Oliveira
Ed. Basilio Jafet – sala 202
crislpo@if.usp.br
Fisica I ‐ IO
A compreensão de movimentos periódicos é essencial para o
estudo de ondas, som, correntes alternadas, luz, radiação, etc.
Um corpo que está em movimento periódico está em uma
situação de equilíbrio estável. Quando é colocado fora deste
ponto de equilíbrio surge uma força, ou torque, restaurador e o
coloca de volta no equilíbrio.
Existem vários tipos de sistemas que seguem movimentos
periódicos, mas utilizaremos como exemplos simples pêndulos e
sistemas massa‐mola. Estes sistemas servem de base para a
descrição de outros casos mais complexos.
Movimento Periódico
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
2
Movimento Periódico
Movimento Periódico
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
3
Descrevendo oscilações
Tirando uma mola de sua posição de
equilibrio, surge uma força restauradora.
Amplitude, frequência e frequência angular
A amplitude do movimento, denotada por A, é o valor em módulo do máximo
deslocamento a partir do equilíbrio (|x|), É um valor sempre positivo. A unidade
dependerá do tipo de oscilação que estivermos olhando. Se for a oscilação de uma
mola, a unidade seria o metro (m).
O período, T, é o tempo que leva para termos um ciclo. É uma quantidade sempre
positiva. No SI sua unidade é em segundos mas algumas vezes se utiliza "segundos por
ciclo".
A frequência, f, é o numero de ciclos que se tem por unidade de tempo. É uma
quantidade sempre positiva. No SI sua unidade é o hertz:
A frequência angular, , é 2 vezes a frequência f:
Da definição de f ,T e  é obvio que,
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
4
Movimento Harmônico Simples
O tipo mais simples de oscilação ocorre quando uma força restauradora Fx é
diretamente proporcional com o deslocamento a partir do equilíbrio, x.
Isto ocorre em uma mola que segue a Lei de Hooke. A constante de proporcionalidade
entre Fx e x é a constante de mola, k.
Quando se tira o corpo da posição de equilíbrio, Fx e x sempre possuem sinais opostos.
A componente x da força que a mola exerce no corpo é:
Esta equação fornece o modulo e sinal corretos para a força, independente do valor de
x (positivo, negativo ou nulo). A constante de mola k é sempre positiva e tem unidade
de N/m. Como não assumimos atrito, equação acima provê a força resultante no
corpo.
Quando a força resultante é diretamente
proporcional ao deslocamento a partir do
equilíbrio, a oscilação é chamada movimento
harmônico simples, MHS (simple harmonic
Movement ‐ SHM)
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
5
Movimento Harmônico Simples
Da segunda lei de Newton, maFx 
Mas, , logo2
2
dt
xd
a 
x
m
k
a  x
m
k
dt
xd

2
2
Equação diferencial de segunda ordem
Um corpo cujo movimento satisfaz esta equação é denominado oscilador harmônico.
Este caso é extremamente importante na
física pois nem todos os movimentos
periódicos são harmônicos simples, ou
seja, a força restauradora pode depender
de outras potencias do deslocamento.
No entanto o oscilador harmônico
simples serve como primeira
aproximação em diversos casos onde as
oscilações são pequenas.
Movimento circular e o Movimento Harmônico Simples
Iremos demonstrar que a projeção da bola no eixo horizontal (ou no vertical)
descreve ummovimento harmônico simples.
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
6
Na animação abaixo é possível intuir que tal afirmação é verdadeira.
Movimento circular e o Movimento Harmônico Simples
Quando o ponto Q se move em torno do circulo de
referencia com velocidade angular constante , o vetor
OQ gira com a mesma velocidade angular. Este vetor
girante é denominado fasor.
A componente x do fasor no instante t é a coordenada x
do ponto Q:
Esta é também a coordenada x da sombra P, que é a
projeção de Q no eixo x. Assim a velocidade x da sombra
P ao longo do eixo x é igual à componente x do vetor
velocidade no ponto Q.
Como o ponto Q está em um movimento circular
uniforme, sua aceleração aQ é sempre direcionada na
direção de O. Assim, o modulo de aQ é constante e dado
por:
AaAv
A
v
a QQ
2
2
.,  
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
7
Movimento circular e o Movimento Harmônico Simples
A componente de aQ é ax=‐ aQ cos, assim
A aceleração do ponto P é diretamente proporcional ao
deslocamento x e sempre tem sinal oposto a este. Como
mostrado antes, estes são os requisitos do MHS.
Esta equação é a mesma obtida para o oscilador harmônico se substituirmos a velocidade 
angular  do ponto de referencia Q pela relação entre a constante de mola k e a massa m:
Esta relação permite entender porque a velocidade angular do ponto Q pode ser entendida
como frequência angular do ponto P. Se o ponto Q faz uma volta completa no tempo T então
o ponto P vai e volta em um ciclo completo de oscilação neste mesmo tempo. Assim T é o
período de oscilação.
Durante o tempo T o ponto Q se desloca de 2 radianos, logo, sua velocidade angular é
= 2 /T, o que justifica a relação entre frequência angular e frequência,
Movimento circular e o Movimento Harmônico Simples
Deste modo, podemos interpretar a frequência angular do movimento harmônico
simples para um corpo de massa m sob a ação de uma força restauradora com
constante de mola k:
Desta forma, para um corpo oscilando em MHS o valor de  é pré‐definido pelos
valores de k em. A unidade de K é N/m, ou, kg/s2, assim, k/m = (kg/s2)/kg = s‐2.
Quando tiramos a raiz obtemos s‐1, ou mais precisamente rad/s pois esta é uma
frequência angular. (lembre que o radiano é uma medida angular vinda da razão entre
dois comprimentos, ie, é um número puro)
Assim,
Quanto maior a massa, maior sua inercia, e assim menor sua aceleração: ela se move mais
lentamente e leva mais tempo para completar um ciclo.
Por outro lado, quanto mais dura a mola (kmaior) maior a força restauradora e assim maior
a aceleração: maiores velocidades e menores tempos T por ciclo.
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
8
Diapasão de som
Período e Amplitude no MHS
O período e a frequência no MHS são determinados pela massa m e constante de mola
k. Sendo assim, no MHS a o período e frequência não dependem da amplitude A.
Definidos os valores dem e k, o tempo de uma oscilação é o mesmo independente de a
amplitude ser grande ou pequena.
Deslocamentos maiores acabam por causar forças restauradoras maiores e em
consequência maiores acelerações. Este ganho de velocidade compensa o
deslocamento maior e assim o tempo do ciclo se mantem constante.
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
9
Deslocamento, velocidade e Aceleração no MHS
Para termos o conhecimento completo do MHS é necessário termos a solução da
equação diferencial para o deslocamento x.
Existem várias formas de obter a solução. Pela analogia com o movimento circular
uniforme, fica claro que a solução envolve uma função seno ou cosseno pois a projeção
do fasor era x=Acos. Agora, no MHS,  = t +  onde  =(k/m)1/2 e  o ângulo inicial
do fasor. Assim,
Veja que a escolha da função cosseno é arbitraria. A solução também pode ser escrita em
termos de uma função seno pois
“No movimento harmônico simples, a posição é periódica e com
perfil senoidal em função do tempo.”
Deslocamento, velocidade e Aceleração no MHS
O valor da função cosseno varia entre ‐1 e 1,
logo, x sempre está entre ‐A e A. Assim A é a
amplitude do movimento.
O período T é o tempo para um ciclo completo
de oscilação. A função cosseno repete a si
mesma sempre que a quantidade nos
parênteses aumenta pela quantidade 2
radianos. Assim, Se iniciamos em t=0, o tempo T
para um ciclo completo é,
Que repete a equação obtida anteriormente.LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
10
Deslocamento, velocidade e Aceleração no MHS
A constante  é chamada de angulo de fase, e nos fornece o ponto deinicio do
movimento para t=0. Para t=0 temos o ponto x0. Assim,
Deslocamento, velocidade e Aceleração no MHS
Definida a função que descreve o deslocamento
podemos obter a velocidade e a aceleração do
sistema,
A velocidade vx oscila entre vmax = +A  e ‐vmax = ‐ A,  e a 
aceleração varia entre amax=+2A e – amax =‐ 2A. Como 
2=k/m,
que é o mesmo resultado obtido para o MHS.
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
11
Deslocamento, velocidade e Aceleração no MHS
Se nos é dado uma posição inicial x0 e uma velocidade inicial vx0 para um corpo em 
movimento oscilatório, pode‐se determinar a amplitude A e o angulo de fase . 
Se a velocidade inicial é vx0, colocamos t=0 na equação da velocidade e obtemos, 
Para obtermos , dividimos a equação de v0x pela equação de x0:
Para obtermos A, temos,
(1) coscos 22200  AxAx 
 sin0 Av x  
sin0 A
v x  (2) cos22
2
2
0 

A
v x 
 
2
2
02
0
2
2
02
0
222
2
2
02
0
2222
sincos
sincos
(2)(1)





x
x
x
v
xA
v
xA
v
xAA




LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
12
Energia no MHS
Para um oscilador massa‐mola a força feita pela mola é a única força horizontal agindo
no corpo.
A força feita por uma mola ideal é conservativa, e as forças verticais não realizam
trabalho. Logo a energia mecânica é conservada.
A energia cinética é K=½mv2 e a energia potencial U=½kx2. Logo, como E=K+U,
Quando o corpo atinge a máxima amplitude, x=A, ele para momentaneamente e volta 
no sentido oposto. Logo, quando x=A (ou ‐A), vx=0. neste ponto a Energia é totalmente 
potencial sendo, E=½kA2. Como E é constante temos, 
Este resultado pode ser demonstrado diretamente, utilizando as expressões de vx e x, e 
lembrando que 2=k/m
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
13
Podemos obter a velocidade do corpo em MHS em termos da amplitude e da posição:
Os dois possíveis sinais indicam que o corpo pode estar se movendo em ambos os 
lados da posição de equilíbrio.
Veja que a máxima velocidade ocorre quando x=0 (posição de equilibrio), sendo
Energia no MHS : Interpretando U, K e E
2
2
1
kxU 
 222
2
1
2
1
xAkmvK x 
Parábola com concavidade para baixo
Parábola com concavidade para cima
  2222
2
1
2
1
2
1
kAxAkkxKUE 
Energia mecânica constante!
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
14
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
15
APLICAÇÕES DO MHS
MHS na vertical
Vamos supor que uma mola de constante k suspende um corpo com massa m. As oscilações
agora ocorrerão na vertical.
Inicialmente o corpo é sustentado parado, em equilíbrio. Nesta posição a mola é esticada de
uma quantidade dL de modo que a força exercida pela mola equilibra o peso mg:
Quando o corpo está a uma distancia x acima da posição de equilíbrio, a distensão da mola
é Dl‐x. A força resultante no corpo é então, k(l‐x) e a componente resultante será:
Ou seja, uma força para baixo com modulo kx. Similarmente, quando a distensão é para
baixo, surge uma força para cima. Sendo assim a oscilação ocorre em torno da nova posição
de equilíbrio induzida pelo peso do corpo.LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
16
MHS angular
Um relógio mecânico mantem a hora baseado nas
oscilações de uma roda de balanço. A roda possui
momento de inércia I em torno do eixo.
Uma mola helicoidal exerce um torque restaurador z que
é proporcional ao deslocamento angular , a partir de
sua posição de equilíbrio.
Escrevemos z = ‐ , onde  (kappa) é a constante de
torsão. Usando a segunda Lei de Newton Rotacional,
 = I = Id2/dt2, obtemos
A forma desta equação é a mesma da anterior, alterando x por  e k/m por  / I. Assim, temos 
uma forma angular do movimento harmônico simples. Com isso podemos escrever :
O movimento de uma roda de balanço oscilando 
é harmônico simples!
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
17
Pendulo simples
O pendulo simples é um modelo idealizado de um ponto
material suspenso por uma corda sem massa e inextensível.
Quando o ponto material é movido para um dos lados de
sua posição de equilíbrio, ele oscila em torno desta posição
de equilíbrio.
O caminho do ponto material não é uma linha reta, mas sim
um arco de circulo com raio L igual ao comprimento da
corda. Vamos definir a coordenada x como sendo a distancia
ao longo do arco
Se o movimento é harmônico simples, a força
restauradora deve ser diretamente
proporcional a x, ou, como x = L, a . Iremos
demonstrar isso.
Na figura ao lado representamos as forças na
massa em termos das componentes tangenciais
e radiais.
Percebeu que independentemente da distância percorrida pelo pêndulo, o tempo 
para completar o movimento é sempre o mesmo. 
A duração do movimento pendular não é afetada pelo peso do corpo suspenso, 
mas sim pelo tamanho da corda que o suspende.
Galileu Galilei 
Pendulo simples
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
18
43200USD$
http://www.panerai.com/en/collections/clocks‐
and‐instruments/pendulum‐clock/643‐pendulum‐
clock‐pam00500
Interessantemente, Galileo Galilei morreu sem ver seu relogio ser
implementado, em 1641.
Seu filho, Vincenzo Galilei decidiu tentar finalizar o projeto em 1649, 
usinando ele proprio as engrenagens. Infelizmente morreu alguns
meses depois sem ter o relogio funcionando. 
Em 1659, Vincenzo Viviani, amigo e biografo de Galileo recuperou os desenhos e levou para o Principe de
Florentina. Somente o desenho sobrou pois todas as partes mecanicas feitas pelos Galilei haviam
desaparecido.
Tida como primeira invenção de Galileo, o relogio de pendulo foi finalmente implementado pelo mestre
relojoeiro de Florentina, Eustachio Porcellotti in 1887. Atualmente a Empresa PANERAI reproduz replicas do
relogio de Galileo.
Pendulo simples
A força restauradora F é a componente tangencial da
força resultante:
A força restauradora é feita pela gravidade. A tensão T faz
o ponto material se mover no arco. A força restauradora
não é proporcional a  mas a sin, logo, em principio, não
é um movimento harmônico simples.
Porém se o angulo  é pequeno, sen  é praticamente
igual a , quando o angulo é dado em radianos. Por
exemplo, quando  =0.1 rad (~6º), sin =0.0998, uma
diferença de 0.2%. Com essa aproximação,
A força restauradora é proporcional a coordenada para
pequenos deslocamentos com constante de mola k = mg/L.
Assim a frequência angular do pendulo para pequenas
oscilações é,
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
19
Pendulo simples
Assim, para um pendulo simples com pequenas oscilações:
Note que estas formulas não envolvem a massa da partícula. Isso ocorre pois a força
restauradora é o peso da partícula, o qual é proporcional a m. Para pequenas
oscilações o período do pendulo, para um dado g, depende somente do comprimento
do mesmo.
Deve‐se ter em mente que o pendulo é aproximadamente harmônico simples. Quando
a amplitude não é pequena a diferença para o harmônico simples é substancial. Para
se ter uma ideia do qual pequeno, significa, pode‐se ter a solução do pendulo em
termos de uma serie de potencias do ângulo máximo  :
Por exemplo, se =15º, a diferença é menor que 0,5%.
Como mencionado antes, um dos principais usos de pêndulos é para medida de tempo,
uma vez que o período praticamente não depende da amplitude da oscilação. Assim, em
relógios de pendulo, mesmo que a amplitude da oscilação diminua, o relógio continua
marcando o tempo corretamente!
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
20
Pendulo Físico
Um pendulo físico é qualquer pendulo real composto por
um corpo extenso, então por uma massa concentrada em
um único ponto como no pendulo simples.
Para pequenas oscilações, o movimento de um pendulo
real é muito semelhante ao de um pendulo simples.
O corpo está preso a um pivô, que o permite girar sem
atrito. A distancia deste pivô para o centro de gravidade(massa) do corpo é d e o momento de inércia deste corpo
para com o eixo de rotação passando pelo pivô é I, com
massa totalm.
Quando o corpo se deslocado de seu equilíbrio, surge um
torque restaurador dado por,
O sinal negativo mostra que o torque é oposto ao deslocamento do corpo. 
Quando o corpo é solto, ele oscila em torno da posição de equilíbrio. Novamente o
movimento não é harmônico simples pois o torque é proporcional a sen e não a .
Pendulo Físico
Similarmente ao caso do pendulo simples, se  for
pequeno, podemos aproximar sin por , em radianos.
Assim, o movimento será aproximadamente harmônico
simples. Assim,
Da Segunda Lei de Newton para os torques,
Novamente temos a equação diferencial de segunda
ordem, característica do movimento harmônico simples.
Neste caso, a relação k/m é dada pormgd/I, assim,
Esta equação para o período é utilizada para a determinação experimental do momento de
inércia de um corpo com forma complicada. Se suspendemos o corpo por um eixo passando
pelo centro de gravidade, e medimos o período para pequenas oscilações, pode‐se
determinar I.
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
21
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
22
Oscilações amortecidas
Ate agora abordamos sistemas oscilatórios sem atrito. Todas as forças são conservativas, a
energia mecânica é constante e o sistema pode oscilar infinitamente sem a perda de
amplitude.
Sistemas reais sempre possuem forças dissipativas e assim as oscilações acabam a não ser
que a perda da energia mecânica dissipada seja reposta de alguma maneira. Na ausência
desta reposição, as oscilações cessam.
A diminuição da amplitude de oscilação causada por forças dissipativas é denominada
amortecimento e assim teremos as chamadas oscilações amortecidas.
Oscilador Ideal Oscilador Amortecido
Oscilações amortecidas
O caso mais simples para se analisar é o oscilador harmônico com amortecimento por atrito
que é proporcional à velocidade do corpo oscilatório. Temos este caso quando o corpo se
move em um fluido viscoso, como em amortecedores de carro ou superfícies em contato
lubrificadas por óleo.
Na prática teremos uma força adicional, onde é a velocidade e b a
constante que descreve a força da força de amortecimento. O sinal negativo mostra que a
força é sempre oposta à direção da velocidade.
A força resultante será,
A segunda Lei de Newton para o sistema será,
Tratar‐se de uma equação diferencial em x, similar à anterior , mas com o termo ‐bdx/dt. A
resolução desta equação é feita com técnicas de resolução de equações diferenciais.
Como Resolver? 
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
23
Oscilações amortecidas
Se o amortecimento é fraco, o movimento será descrito por,
A frequência angular de oscilação´ será,
Comparado com o caso sem amortecimento temos duas diferenças. Primeiro a amplitude 
de oscilação, dada por  Ae‐(b/2m)t, não é constante e decresce com o tempo devido ao termo 
exponencial e‐(b/2m)t. Nesta condição temos o amortecimento fraco. 
Segundo, a frequência angular ´, não é igual à = (k/m)1/2 mas um pouco menor. 
Oscilações amortecidas
A frequência angular ´poder ser até zero se b aumentar de modo que, 
Quando esta equação é satisfeita têm‐se a condição de amortecimento crítico. O sistema 
não oscila e retorna à posição de equilíbrio sem nenhuma oscilação.
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
24
Oscilações amortecidas
Se b é maior que 2(km)1/2 a condição é chamada superamortecida. Novamente não temos 
oscilação, mas o sistema retorna ao equilíbrio mais lentamente que o amortecimento 
critico. Para o caso superamortecido tem‐se as solução, 
sendo C1 e C2 constantes que dependem das condições iniciais e a1 e a2 constantes 
determinadas por m, k e b.
 fraco
 critico
 supercritico
t
x(t)x(t)
 fraco
 critico
 supercritico
t
Energia em Oscilações Amortecidas
Em oscilações amortecidas a força de amortecimento não é conservativa, assim a energia 
mecânica do sistema não é constante e decresce continuamente ate zero. 
Para obtermos a taxa de mudança de energia podemos partir da expressão da energia 
mecânica em um dado instante:
Para obter a taxa de mudança desta quantidade, tomamos a derivada temporal:
Mas,                        e                      , logo
O termo é a taxa na qual a força de amortecimento faz trabalho no sistema
(ou seja, potencia de amortecimento), que é igual a taxa com que a energia mecânica muda.
Um comportamento análogo ocorre em circuitos elétricos contendo resistores, capacitores e
indutores!
Como,                                                        , temos:
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
25
Oscilações Forçadas e Ressonância
Se aplicamos uma força externa variável, com frequência angular d em um oscilador
harmônico amortecido, o movimento resultante é denominado oscilação forçada ou
oscilação com força propulsora. Ele é diferente do movimento harmônico simples onde o
sistema oscila com sua frequência natural ´ determinada porm, k e b.
Em oscilações amortecidas o sistema dissipa a energia e para de se mover. No entanto,
pode‐se manter uma oscilação em amplitude constante quando se aplica uma força externa
que varia no tempo de modo cíclico, com frequência e períodos definidos. Denominamos
esta força externa de força propulsora.
Em oscilações forçadas, a frequência angular que o sistema é igual à frequência angular da
força externa, d. Esta frequência não precisa ser igual a frequência angular natural do
sistema.
0
2
2
 kx
dt
dx
b
dt
xd
m
)(
2
2
tfkx
dt
dx
b
dt
xd
m 
Como resolver as equações neste caso? Bem é necessário considerar outras formas de
resolver equações diferenciais, agora com uma força externa. A solução será a composição
da solução da equação homogênea com a obtida para a força externa:
Solução Homogênea
Solução Particular
Solução Geral:
Solução Homogênea
+
Solução Particular
Oscilações Forçadas e Ressonância
A solução homogênea, também denominada de transiente, se extingue rapidamente e o
sistema entra em operação com a solução particular.
O caso mais simples de força externa é a inserção de uma força oscilatória na forma
senoidal (cossenoidal). Por exemplo, se tomarmos uma força na forma, F(t) = Fmax cos d t ,
a amplitude da oscilação resultante será dada por:
Em um gráfico A vs. d /, teremos
um máximo em d=  (=(k/m)1/2 ).
A altura deste pico pode aumentar
ou diminuir, dependendo do fator
de amortecimento (b ou b/m).
Pode‐se mostrar que a largura do
pico varia com 1/b.
  22222
max
)/( dd mbm
F
A
 

Note que o extremo de baixa
frequência, d=0, fornece, A=Fmax/k.
isso corresponde a uma força
constante Fmax, e deslocamento
A=Fmax/k a partir do equilíbrio, como
esperado.
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
26
Oscilações Forçadas e Ressonância
  )(
0b para 
)/(
22
max
22222
max
d
dd
m
F
A
mbm
F
A
 



O fato da amplitude aumentar quando a frequência externa se aproxima da frequência
natural do sistema é denominado ressonância.
Para d= 
 Singularidade!
Diversos exemplos do cotidiano são associados à
ressonância.
• Aumento da amplitude de oscilação de um
balanço infantil pela aplicação de uma força
com frequência igual à natural
• Uma “tremedeira” no carro quando atinge
certa velocidade e a frequência de rotação
das rodas é igual à alguma frequência interna
do carro.
• A sintonia de um canal de radio ou TV ocorre
quando se ajusta a frequência interna do
circuito receptor para entrar em ressonância
com uma dada frequência do sinal recebido.
Assim pode‐se selecionar uma estação
particular e rejeitar as outras.
Oscilações Forçadas e Ressonância
No entanto, ressonância em sistemas mecânicos também pode ser destrutiva. O aumento
da amplitude pode causar oscilações muito grandes, gerando a fadiga e ruptura do material.
Isso é particularmente importante para construções na engenhariacivil, sujeitas a ação de
ventos e intempéries.
Ponte Tacoma Narrows, destruída quatro meses e seis dias após a inauguração (1940).  A 
frequência de ressonância foi de 0.2Hz
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO
16/11/2016
27
A ponte Angers, também conhecida como Ponte Basse‐Chaîne
entrou em colapso em 16 de Abril de 1850 quando um
batalhão de soldados franceses marchavam sobre ela,
matando mais de 200 deles.
O desastre aconteceu pois a marcha compassada dos soldados gerou uma força
oscilatória externa que entrou em ressonância com a oscilação natural da ponte, gerando
ressonância.
Após este desastre, soldados quando passam por pontes e afins são liberados de marchar
compassadamente para evitar eventuais ressonâncias.
Frequências naturais de materiais podem gerar efeitos bastante peculiares. Abaixo 
temos placas de metal ligadas a um a um gerador de funções.
Quando a força externa
aplicada na placa ressoa com
a frequência natural cria‐se os
chamados modos normais de
oscilação.
Quando isso ocorre regiões da
placa não oscilam e acabam
armazenando o material
particulado
Com isso tem‐se um mapa 2D
dos modos de vibração na
placa
LE
CT
UR
E 
NO
TE
S 
PR
OF
. C
RI
ST
IA
NO