C2_CadernoDeExercicios04

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01. Calcule a derivada direcional do campo escalar𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥² + 𝑦² no ponto indicado 
e na direção �⃗� = 2𝑖 + 𝑗 em 𝑃(1,1). 
Resposta: 
Calculando o vetor unitário de �⃗�: 
�⃗⃗� =
�⃗⃗�
|�⃗⃗�|
, �⃗⃗� =
(2,1)
√2²+1²
, �⃗⃗� = (
2
√5
,
1
√5
) 
Usando a definição: 
𝜕𝑓
𝜕𝑠
(𝑃) = �⃗⃗� ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓(𝑃) = �⃗⃗� ∙ 𝛻𝑓(𝑃) 
Em que: 
�⃗⃗� = (
2
√5
,
1
√5
) 
𝛻𝑓 = (2𝑥, 2𝑦) 
𝑃 = (1,1) 
Então: 
𝜕𝑓
𝜕𝑠
(1,1) = (
2
√5
,
1
√5
) ∙ (2(1), 2(1)) = (
2
√5
,
1
√5
) ∙ (2,2) =
4
√5
+
2
√5
=
6√5
5
 
 
 
02. Calcular o gradiente: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥3𝑦 + 2𝑦𝑧² 
Resposta: 
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 = ∇𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
�⃗⃗� = (3𝑥²)𝑖 + (𝑥3 + 2𝑧²)𝑗 + (4𝑦𝑧)�⃗⃗� 
 
 
03. Calcular o gradiente dos campos escalares: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 2𝑦𝑧 
Resposta: 
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 = ∇𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
�⃗⃗� = (2𝑥)𝑖 + (2𝑧)𝑗 + (2𝑦)�⃗⃗� 
 
 
04. Dado o campo vetorial 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥²𝑖 + 3𝑥𝑦𝑧𝑗 + 3𝑧�⃗⃗�, calcular o 𝑑𝑖𝑣𝑓 
Resposta: 
𝑑𝑖𝑣𝑓 =
𝜕𝑓1
𝜕𝑥
+
𝜕𝑓2
𝜕𝑦
+
𝜕𝑓3
𝜕𝑧
= (3𝑥²) + (3𝑥𝑧) + (3) 
 
 
05. Se 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝑖 + 𝑥𝑦𝑧𝑗 + 𝑥𝑧²�⃗⃗�, calcular o 𝑟𝑜𝑡𝑓 
Resposta: 
Usando a definição: 𝑟𝑜𝑡𝑓 = ∇ × 𝑓 = |
𝑖 𝑗 �⃗⃗�
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑥² 𝑥𝑦𝑧 𝑥𝑧²
| = −𝑥𝑦𝑖 − 𝑧2𝑗 + 𝑦𝑧�⃗⃗�