c2m1l1_gab

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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo II
Módulo 1 – Gabaritos – Lista 1 1.◦/2020
Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) A compra de um determinado produto depende de um est́ımulo externo (preço, propa-
ganda, etc.) e da tendência a imitar os que já compraram o produto. Neste caso, indicando
por q(t) > 0 a medida do est́ımulo externo e por b > 0 o coeficiente de imitação, a proporção
y(t) dos que já compraram o produto, com 0 ≤ y(t) ≤ 1, pode ser modelada pelo PVI
y′(t) = [1− y(t)][q(t) + b y(t)], y(0) = 0.
C E a) A mudança y(t) = 1 + x(t)−1 transforma
a equação em y(t) na equação linear
x′(t) = (q(t) + b)x(t) + b.
C E b) A equação linear pode ser resolvida por fator
integrante.
C E c) Se q(t) ≡ a, a solução geral da equação linear
é x(t) = k e(a+b)t, onde k é constante.
C E d) Se q(t) ≡ a, a solução do PVI é y(t) = 1− e−(a+b)t.
C E e) Se q(t) ≡ a, o produto não tende a ser comprado por todos os consumidores.
2) Em um ponto (x, y(x)) do gráfico de uma função derivável y(x), as retas tangente e normal
têm inclinações dadas por y′(x) e −1/y′(x), respectivamente. Considere o caso em que y(x)
tem a propriedade de que as retas normais passam todas pelo ponto (2, 0).
2 x
y(x)
Normal
a) Determine a inclinação da reta que passa pelos pontos
(2, 0) e (x, y(x)).
Resposta: y(x)/(x − 2) .
b) Justifique a afirmação de que a inclinação acima é a
da reta normal ao gráfico de y(x) no ponto (x, y(x)).
Resposta: a reta normal passa pelos pontos (2, 0) e (x, y(x))
c) Use os itens anteriores para obter uma equação dife-
rencial satisfeita por y(x).
Resposta: −1/y′(x) = y(x)/(x− 2) .
d) Obtenha a solução geral da equação do item anterior usando separação de variáveis.
Resposta: y(x) = ±
√
C − (x− 2)2 , C constante arbitrária
e) Determine a função y(x) sabendo que seu gráfico passa pelo ponto (2, 3).
Resposta: y(x) =
√
32 − (x− 2)2 .
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3) Segundo a lei de resfriamento de Newton, a taxa de variação da temperatura de um objeto é
proporcional à diferença entre a sua temperatura e a temperatura do meio ambiente. Indique
por y(t) a temperatura do objeto no instante t, por K a constante de proporcionalidade e
por T a temperatura do meio ambiente.
a) Obtenha a equação diferencial que y(t) satisfaz.
Resposta: y′(t) = K(y(t)− T )
b) Use um argumento f́ısico para justificar o fato de que
K é negativo.
Resposta: se y(t)− T > 0, então y(t) > T e y′(x) é negativo.
c) Esboce o campo de direções da equação acima.
Resposta: ver figura ao lado.
y(0) < T
T
y(0) > T
t
d) Use o campo de direções do item anterior para esboçar o gráfico da solução y(t) com
a condição inicial y(0) > T . Repita o procedimento para a condição y(0) < T .
Resposta: ver figura ao lado.
e) Resolva a equação do item a). Em seguida, calcule e interprete o limite limt→∞ y(t).
Resposta: lim
t→∞
y(t) = T ; com o passar do tempo o objeto tende a ficar na temperatura ambiente.
4) Suponha que 1 g de uma substância qúımica A combine com 3 g de outra substância B
para formar o composto C, e que hajam inicialmente 50 g de A e 33 g de B. Denotando
por Q(t) a quantidade de C no instante t, tem-se que Q(t)/4 correspondem à massa da
substância A e 3Q(t)/4 correspondem à de B. Assim, as quantidades remanescentes de A
e B após t segundos são, respectivamente, 50−Q(t)/4 e 33− 3Q(t)/4. Suponha ainda que
a taxa Q′(t) de formação do composto C seja proporcional ao produtos das quantidades
remanescentes. Nesse caso, indicando por k ou K a constante de proporcionalidade, segue-se
que Q(t) satisfaz à equação
(∗∗) Q′(t) = k (50−Q(t)/4) (33− 3Q(t)/4) = K (200−Q(t)) (44−Q(t))
44
200
a) Esboce o campo de direções da equação, indicando as so-
luções de equiĺıbrio estável e de equiĺıbrio instável, caso
existam.
Resposta: ver figura; Q ≡ 44 é solução estável e Q ≡ 200 é instável.
b) Reescreva a equação usando separação de variáveis.
Resposta: dQ(200−Q) (44−Q) = K dt
c) Obtenha a solução geral usando o item anterior e frações parciais.
Resposta: Q(t) = (200− 44C e156Kt)/(1− C e156Kt) .
d) Determine a solução que satisfaz a condição inicial Q(0) = 0.
Resposta: Q(t) = 44 (1− e156Kt)/[(44/200)− e156Kt]
e) Calcule e interprete o valor do limite lim
t→∞
Q(t)
Resposta: lim
t→∞
Q(t) = 44 g, que é à quantidade final do produto C
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