C2_CadernoDeExercicios02

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Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
 
Caderno de Exercícios 02 
 
1. Calcule as derivadas parciais primeiras zx e zy da função implícita 
xzxyzzezxyyx xy 3453 32  . 
Resolução: 
Inicialmente precisamos escrever todos os termos no primeiro membro da equação: 
03453 32  xzxyzzezxyyx xy 
Em seguida, vamos calcular as derivadas Fx, Fy e Fz: 
zyzyzezyxyF xyx 3456
3  
𝐹𝑦 = 3𝑥
2 + 15𝑥𝑦2𝑧 + 𝑥𝑧𝑒𝑥𝑦 − 4𝑥𝑧 
xxyexyF xyz 345
3  
Para derivarmos a função z em relação a x, temos 
xxyexy
zyzyzezyxy
F
F
z
xy
xy
z
x
x
345
3456
3
3


 
e 
xxyexy
xzyzezxyx
F
F
z
xy
xy
z
y
y
345
4153
3
22


 
 
2. Determine os pontos críticos, caso haja, da função f(x, y)=xy. Quais pontos críticos são 
pontos de mínimo local, pontos de máximo local e pontos de sela? 
 
Resolução: 
Para determinarmos os pontos críticos precisamos calcular as derivadas parciais de f em relação 
a x e a y e igualarmos essas derivadas a zero: 
fx(x, y)=0 implica que y=0 
e 
fy(x, y)=0 implica que x=0. 
Sendo assim, o ponto crítico é P(0,0). 
Verificando se P é extremo de f: 
 
 
Logo P(0,0) é ponto de sela, pela condição de otimalidade de segunda ordem. 
3. Para construir uma caixa retangular, sem tampa, com volume V=12m3, temos que o custo 
por metro quadrado do material a ser utilizado é de R$ 4,00 para o fundo, R$ 3,00 para dois 
lados opostos e R$ 2,00 para os dois lados opostos restantes. Com base nestes dados, 
determine as dimensões da caixa que minimizam o custo. 
Resolução: 
Se x e y são as dimensões (em metros) da base e z a altura (em metros), a área da base é xy. 
Temos também dois lados de área xz e dois lados de área yz. 
O custo C (em reais) do material a ser utilizado é dado por 
C(x, y) = 4xy + 3(2xz) + 2(2yz) 
Simplificando, temos 
C(x, y) = 4xy + 6xz + 4yz (*) 
Como V = xyz = 12, temos que 
 
Substituindo z em (*) e simplificando, obtemos 
 
Para determinar as dimensões que minimizam o custo, fazemos Cx = 0 e Cy = 0, donde 
 e 
Resolvendo simultaneamente as equações, temos que x = 2 e y = 3. 
Verificando se o ponto (2, 3) é extremo de C 
 
 
Como Cxx = 12 > 0, pela condição de otimalidade de segunda ordem, o ponto (2, 3) é 
minimizador local de C. Assim o custo mínimo C = R$ 72,00 ocorre quando as dimensões da 
base forem 2m por 3m, com uma altura correspondente z = 2m. 
 
4. Obtenha e classifique, caso existam, os pontos críticos de f(x, y)=x+y2-2y. 
 
Resolução: 
Determinando os pontos críticos: 
 
 
Fazendo 
 
temos que o sistema é impossível. 
Logo, não existem pontos críticos de f. 
 
 5. Obtenha e classifique, caso existam, os pontos críticos de 
0,0,
11
),(  yx
yx
xyyxf . 
 
Resolução: 
Pontos críticos: 
 
 
Resolvendo o seguinte sistema: 
 
Donde 
 
 
 
Ponto crítico: P(1, 1) 
Verificando se P(1, 1) é extremo de f: 
 
P(1, 1) é minimizador local de f.