AULA 3 - Álgebra Linear

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AULA 3 
Escalonamento de sistemas lineares: Operações elementares em sistemas lineares, 
Escalonamento de sistemas lineares e Interpretação geométrica de sistemas lineares de 
ordem 3 
 
 Caríssimos alunos, vamos continuar nossa meta no aprendizado de sistemas lineares, na 
geometria analítica combinada com a álgebra linear. Para isto, devemos nos lembrar que, nas 
aulas anteriores, aprendemos a calcular determinantes, transformar sistemas em matrizes e 
verificamos a existência da equação Ax = b, e com tudo isso fomos capazes de solucionar 
sistemas lineares, bem como interpretar geometricamente os seus significados. Para a aula de 
hoje espero que alcancem os seguintes objetivos: 
1. Identificar as matrizes associada e ampliada de um sistema de equações lineares. 
2. Reconhecer sistemas escalonados. 
3. Escalonar matrizes e sistemas utilizando operações elementares. 
4. Interpretar sistemas lineares de ordem 3 como interseção de três planos no espaço 
tridimensional. 
 
Vimos na aula passada a existência da equação Ax = b e com ela verificamos que A é 
uma matriz de parâmetros, x é uma matriz com as variáveis que desejamos encontrar e b é a 
matriz dos resultados, porém, não nomeamos a matriz A. Vamos considerar então que esta 
matriz A, a matriz de parâmetros será a nossa matriz incompleta, pois não representa 
completamente o nosso sistema. Neste caso, iremos considerar, então que qualquer um de 
nossos sistemas não precisa ser necessariamente representado na forma dada pela equação que 
conhecemos Ax = b, mas pode ser representada na forma de matriz ampliada, veja: 
 
{
𝑥 + 2𝑦 = 3
2𝑥 + 𝑦 = 3
 ; 𝐴𝑥 = 𝑏 𝑠𝑒𝑟á [
1 2
2 1
] [
𝑥
𝑦] = [
3
3
] , 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑟á [
1 2 3
2 1 3
] 
 
Então temos três formas diferentes de representar um mesmo sistema e a matriz 
ampliada irá nos auxiliar a compreender o que seria um sistema escalonado. 
 Como exemplo, vamos visualizar a tabela abaixo que representa as compras de três 
clientes diferentes em uma mesma loja de materiais de construção: 
Cliente Lâmpada Fio Piso Total 
Pedro 3 10 5 R$ 123,00 
Fernanda 0 20 10 R$ 210,00 
Victor 0 0 30 R$ 450,00 
 
 Agora, representando num sistema, na equação Ax = b e na matriz ampliada, teremos: 
{
3𝑥 + 10𝑦 + 5𝑧 = 123
20𝑦 + 10𝑧 = 210
30𝑧 = 450
 ; [
3 10 5
0 20 10
0 0 30
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
123
210
450
] ; [
3
0
0
10
20
0
5
10
3
123
210
450
] 
 
 Com isso, veja as diferentes representações das matrizes escalonadas. Nestas 
representações podemos perceber que todos os números abaixo da diagonal principal são iguais 
a zero. Quando conseguimos isto, estamos isolando as variáveis com muita facilidade para se 
resolver o sistema por substituição. Vamos iniciar a resolução deste sistema simplesmente 
utilizando primeiro a terceira equação, em que z se encontra sozinho: 
30𝑧 = 450 ; 𝑧 =
450
30
 ; 𝑧 = 15 
 Agora, como encontramos o valor de z, iremos substituir na equação em que temos z e 
y, de forma que encontraremos a segunda variável: 
20𝑦 + 10.15 = 210 ; 20𝑦 + 150 = 210 ; 20𝑦 = 210 − 150 ; 𝑦 =
60
20
 ; 𝑦 = 3 
 Tendo encontrado as duas variáveis, vamos substituir agora na primeira equação para 
encontrar agora a variável x: 
3𝑥 + 10.3 + 5.15 = 123 ; 3𝑥 + 105 = 123 ; 3𝑥 = 18 ; 𝑥 =
18
3
 ; 𝑥 = 6 
 Agora, conhecemos os valores unitários dos produtos que cada um dos clientes 
comprou, sendo então R$ 6,00 a unidade da lâmpada, R$ 3,00 o metro do fio e R$ 15,00 o metro 
quadrado do piso. 
 Assim, porém, se não tivermos uma matriz escalonada, devemos escalonar. Vamos 
iniciar com a seguinte situação do Campeonato Brasileiro: 
Clube Vitórias Empates Derrotas Pontos 
Flamengo 11 4 3 37 
Fluminense 6 4 8 22 
Paraná 3 5 10 14 
 
Vamos descobrir a quantidade de pontos que uma vitória, empate e derrota dá para 
cada um dos clubes aqui apresentados. Escrevendo cada um na sua forma específica, vamos 
verificar o sistema que os representa: 
{
11𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 37
6𝑥 + 4𝑦 + 8𝑧 = 22
3𝑥 + 5𝑦 + 10𝑧 = 14
 ; [
11 4 3
6 4 8
3 5 10
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
37
22
14
] ; [
11
6
3
4
4
5
3
8
10
37
22
14
] 
Para escalonarmos, necessitamos zerar todos os elementos da matriz que estão abaixo 
da diagonal principal. Os elementos da diagonal principal são, 11, 4 e 10. A matriz que iremos 
escalonar será a matriz ampliada, pois nela temos tanto a matriz de parâmetros como os 
resultados. 
Vamos iniciar o escalonamento zerando todos os elementos abaixo do número 11, que 
será o nosso pivô. Fazendo lentamente, vamos primeiro multiplicar a segunda linha por 11, 
vejam: 
[
11
66
3
4
44
5
3
88
10
37
242
14
] 
Agora, vamos subtrair da segunda linha a multiplicação por 6 da primeira linha, sem ao 
menos multiplicar a primeira linha de fato. Caso multiplicamos a primeira linha por 6, teremos 
66, 24, 18 e 222. Nesta subtração, devemos apenas subtrair os elementos que estão na primeira 
coluna, então teremos 66-66 = 0, 44-24 = 20, 88-18 = 70 e 242-222 = 20. Agora, substituimos 
todos estes valores na segunda linha: 
[
11
0
3
4
20
5
3
70
10
37
20
14
] 
Tendo zerado o primeiro elemento abaixo do nosso pivô, vamos agora zerar o próximo, 
que é igual a 3. Vamos multiplicar então toda a terceira linha por 11, vamos: 
[
11
0
33
4
20
55
3
70
110
37
20
154
] 
Agora, vamos subtrair da terceira linha todos os elementos da primeira linha 
multiplicados por 3, que serão 33, 12, 9 e 111. Assim, teremos 33-33 = 0, 55-12 = 43, 110-9 = 
101 e 154-111 = 43, vejam: 
[
11
0
0
4
20
43
3
70
101
37
20
43
] 
Conseguimos zerar todos os elementos abaixo do pivô 11, agora, vamos descer uma 
linha e avançar uma coluna para continuar o nosso escalonamento. Para facilitar os nossos 
cálculos, irei dividir toda a segunda linha por 10, então: 
[
11
0
0
4
2
43
3
7
101
37
2
43
] 
Assim, vamos multiplicar a terceira linha por 2: 
[
11
0
0
4
2
86
3
7
202
37
2
86
] 
Então, iremos subtrair da terceira linha, a segunda linha multiplicada por 43, então 
teremos os seguintes elementos: 86, 301 e 86. Subtraindo os elementos, teremos então os 
seguintes resultados: 86-86 = 0, 201-301 = -100 e 86-86 = 0, então: 
[
11
0
0
4
2
0
3
7
−100
37
2
0
] 
Agora, conseguimos com tranquilidade escalonar o nosso sistema. Vamos retornar à 
forma de sistema: 
{
11𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 37
2𝑦 + 7𝑧 = 2
−100𝑧 = 0
 
Agora, resolvendo tudo por substituição, vejam: 
−100𝑧 = 0 ; 𝑧 = 0 
2𝑦 + 7.0 = 2 ; 2𝑦 = 2 ; 𝑦 = 1 
11𝑥 + 4.1 + 3.0 = 37 ; 11𝑥 = 37 − 4 ; 11𝑥 = 33 ; 𝑥 = 3 
Como sempre pudemos confirmar, então temos que as vitórias dão 3 pontos, os 
empates dão 1 ponto e as derrotas nos dão 0 pontos. 
Quando a matriz está escalonada desta forma, dizemos que temos uma matriz 
triangular superior, porém, podemos realizar um escalonamento completo fazendo com que 
todos os elementos fora da diagonal principal sejam iguais a zero. Para isso vamos iniciar 
zerando todos os elementos acima do número 2 da segunda coluna. Vamos subtrair da primeira 
linha os elementos da segunda linha multiplicados por 2, que são 0, 4, 14 e 4, assim, teremos os 
seguintes elementos na primeira linha: 11-0 = 11, 4-4 = 0, 3-14 = -11 e 37-4 = 33. Vejam: 
[
11
0
0
0
2
0
−11
7
−100
33
2
0
] 
Como conseguimos zerar os elementos do segundo pivô, vamos agora zerar os 
elementos do terceiro pivô, que é -100, então, para facilitar, vamos dividir toda a terceira linha 
por -100: 
[
11
0
0
0
2
0
−11
7
1
33
2
0
] 
Para zerar os elementos acima do terceiro pivô, que agora é 1, então vamos subtrair dos 
elementos da segunda linha os elementos da terceira linha multiplicados por 7, vejam: 0-0 = 0, 
2-0 = 0, 7-7 = 0 e 2-0 = 0, então: 
[
11
0
0
0
2
0
−11
0
1
33
2
0
] 
Agora, vamos zerar o último número restante da terceira coluna simplesmente somando 
à primeira linha os elementos da terceira linha multiplicados por 11, vejam: 11+0 = 11, 0+0 = 0, 
-11+11 = 0 e 33+0 = 33, então: 
[
11
0
0
0
2
0
0
0
1
33
2
0
] 
Paradeixar o resultado mais completo, vamos dividir a primeira linha por 11 e a segunda 
linha por 2: 
[
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3
1
0
] 
Note que o resultado da primeira linha representa a quantidade de pontos por vitórias, 
o da segunda linha mostra a quantidade de pontos por empates e o da terceira linha representa 
os pontos por derrotas, então, escrevendo na forma de sistema, teremos: 
{
𝑥 = 3
𝑦 = 1
𝑧 = 0
 
Agora, como verificamos, trabalhamos apenas com os sistemas possíveis e 
determinados, vamos verificar o mesmo para os sistemas possíveis e indeterminados e os 
impossíveis. 
Seja o sistema a seguir: 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
2𝑥 + 2𝑧 = 8
𝑥 + 𝑧 = 4
 
Vamos verificar qual a solução deste sistema ao escalonarmos o mesmo, vejam: 
[
1
2
1
1
0
0
1
2
1
6
8
4
] 
Para escalonar este sistema, irei utilizar outras notações considerando L1, L2 e L3 como 
as linhas 1, 2 e 3, respectivamente: 
[
1
2
1
1
0
0
1
2
1
6
8
4
] 𝐿2 = 𝐿2 − 2𝐿1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ [
1
0
1
1
−2
0
1
0
1
6
−4
4
] 𝐿3 = 𝐿3 − 𝐿1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ [
1
0
0
1
−2
−1
1
0
0
6
−4
−2
] 
𝐿2 = −
𝐿2
2
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
[
1
0
0
1
1
−1
1
0
0
6
2
−2
] 𝐿3 = 𝐿3 + 𝐿2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ [
1
0
0
1
1
0
1
0
0
6
2
0
] 
Veja a catástrofe que ocorreu. Uma linha inteira zerou, que foi a terceira. Como ela zerou 
operando com a segunda linha, significa dizer que a terceira e a segunda linha são linearmente 
dependentes, e na prática, uma linha é igual à outra. Dessa forma, como não conseguimos isolar 
todas as nossas variáveis, e a linha zerou, siginifica dizer que temos um sistema possível e 
indeterminado. Veja o resultado final do sistema: 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
𝑦 = 2
0 = 0
 
Aqui, conhecemos apenas o resultado de y, porém, x e z podem assumir qualquer valor 
que obedeça à seguinte relação: x+2+z=6, ou seja, x+z=4. De forma que existe uma infinidade 
de soluções para o nosso sistema. Se isolarmos z, teríamos a seguinte solução: 
{𝑥 ; 2 ; 4 − 𝑥} 
Onde x, assumindo qualquer número real, traria uma solução para z. 
Indo em frente, vamos verificar agora como se comporta um sistema de solução 
impossível: 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
2𝑥 + 2𝑧 = 8
𝑥 + 𝑧 = 0
 
Escalonando, teremos: 
[
1
2
1
1
0
0
1
2
1
6
8
0
] 𝐿2 = 𝐿2 − 2𝐿1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ [
1
0
1
1
−2
0
1
0
1
6
−4
0
] 𝐿3 = 𝐿3 − 𝐿1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ [
1
0
0
1
−2
−1
1
0
0
6
−4
−6
] 
𝐿2 = −
𝐿2
2
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
[
1
0
0
1
1
−1
1
0
0
6
2
−6
] 𝐿3 = 𝐿3 + 𝐿2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ [
1
0
0
1
1
0
1
0
0
6
2
−4
] 
Perceba a estranheza deste resultado. Na parte variável da matriz, as três primeiras 
colunas, há uma linha completa igual a zero, porém, um enorme problema nos ocorre, pois na 
parte de resultados da matriz, nenhum valor é igual a zero, e pior, na verdade na linha de 
variáveis iguais a zero, há um resultado diferente de zero. Sua representação do sistema será a 
seguinte: 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
𝑦 = 2
0 = −4
 
Isto significa dizer que o nosso sistema é impossível, portanto, sem solução alguma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
QUESTÃO 1: Utilize o escalonamento para resolver os exercícios encontrados na lista da Aula 2.