Exercício Probabilidade 3

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Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri
Instituto de Ciência e Tecnologia
Diamantina - Minas Gerais
CTD113 - Probabilidade e Estat́ıstica Prof. Dr. Ricardo Luis dos Reis
Lista de Exerćıcios: Probabilidade
Exerćıcios Resolvidos
1. Suponha que o diagrama de um sistema elétrico seja o da Figura 1. Assuma que os componentes
falham independentemente, sendo a probabilidade de funcionamento de cada um mostrada no
gráfico. Qual é a probabilidade de que o sistema funcione? Dado que o sistema funciona, qual
é a probabilidade de que o componente B não esteja funcionando?
Figura 1: Sistema Elétrico.
Solução
• A probabilidade de funcionamento de cada componente é mostrada no gráfico. Assim, a
probabilidade do componente A funcionar é P (A) = 0, 95, a probabilidade do componente
B funcionar é P (B) = 0, 70, a probabilidade do componente C funcionar é P (C) = 0, 80 e
a probabilidade do componente D funcionar é P (D) = 0, 90. Por outro lado, temos que a
probabilidade do componente A não funcionar é P (Ac) = 1 − P (A) = 1 − 0, 95 = 0, 05, a
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probabilidade do componente B não funcionar é P (Bc) = 1− P (B) = 1− 0, 70 = 0, 30, a
probabilidade do componente C não funcionar é P (Cc) = 1 − P (C) = 1 − 0, 80 = 0, 20 e
a probabilidade do componente D não funcionar é P (Dc) = 1− P (D) = 1− 0, 90 = 0, 10.
Lembre que a palavra não é associada ao evento complementar e a fórmula da regra da
negação é P (Ac) = 1− P (A), ou seja, probabilidade de A não funcionar é igual a 1 menos
a probabilidade de A funcionar.
• A probabilidade de que o sistema funcione será representada por P (F ). Temos um sistema
série-paralelo e, para resolvê-lo, precisamos transformá-lo em um sistema em série ou um
sistema em paralelo. A solução seria transformá-lo em um sistema em série. Para isso,
precisamos tranformar as caixinhas do componente B e C em apenas uma caixinha (vou
chamá-la de G). Assim, ficamos com um sistema em série formado pelas caixinhas A, G
(transformei a B e C em uma caixinha G) e D.
• Primeiro vamos transformar as caixinhas B e C na caixinha G, ou seja:
• Isso resultará no sistema em série:
• Para o sistema em paralelo B e C temos o seguinte: se o sistema em paralelo B com C
funciona, significa que ou B funciona, ou C funciona ou ambos funcionam. Assim, temos o
evento união associado P (B ∪C). Lembre-se que a palavra ou é associada ao evento união
e a fórmula da regra da soma é P (B∪C) = P (B)+P (C)−P (B∩C). Assim, P (B) = 0, 70,
P (C) = 0, 80 e P (B ∩ C) = P (B).P (C) = 0, 70.0, 80 = 0, 56, que é a regra do produto
para eventos independentes. Lembre-se da frase no exerćıcio: assuma que os componentes
falham independentemente. Com isso, temos P (B ∪ C) = P (B) + P (C) − P (B ∩ C) =
0, 70 + 0, 80− 0, 56 = 0, 94. Assim, a caixinha G terá o valor de 0,94, ou seja, P (G) = 0, 94.
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• Ficamos assim, com o sistema em série formado pelos componentes A, G e D. Se o sistema
em série funciona, significa que A funciona e G funciona e D funciona, simultaneamente.
Assim, temos o evento interseção associado P (A ∩ G ∩ D). Lembre-se que a palavra e
é associada ao evento interseção e a fórmula da regra da produto é P (A ∩ G ∩ D) =
P (A).P (G).P (D), que é a regra do produto para eventos independentes. Lembre-se da frase
no exerćıcio: assuma que os componentes falham independentemente. Assim, P (A) = 0, 95,
P (G) = 0, 94 e P (D) = 0, 90. Com isso, temos P (A ∩ G ∩ D) = P (A).P (G).P (D) =
0, 95.0, 94.0, 90 = 0, 8037. Assim, a probabilidade de o sistema funcionar, ou seja, P (F ) =
0, 8037. Do mesmo modo, a probabilidade do sistema não funcionar é P (F c) = 1−P (F ) =
1− 0, 8037 = 0, 1963.
• Dado que o sistema funciona, qual é a probabilidade de que o componente B não esteja
funcionando? Para responder essa pergunta, você poderia interpretar da seguinte maneira:
dado (|) que o sistema funciona (F), ou seja, temos aqui um evento condicional e já sabemos
que P (?|F ). Lembre-se que como já sabemos que o sistema funciona, ou seja, o evento já
ocorreu, o evento F fica depois do traço vertical (|). Agora falta apenas substituir o ?
por um evento, que no caso seria a continuação da frase que diz: probabilidade de que o
componente B não esteja funcionando, ou seja, Bc. Lembre-se que temos a palavra não na
frase. Assim, estamos interessado na seguinte probabilidade P (Bc|F ).
• Lembre-se que a palavra dado é associada ao evento condicional e a fórmula da probabili-
dade condicional é P (E1|E2) = P (E1∩E2)P (E2) . Lembre-se que no denominador sempre teremos
o evento que está após o |, ou seja, P (E2). No numerador temos P (E1 ∩E2). Para eventos
independentes, a fórmula é P (E1 ∩E2) = P (E1).P (E2). Lembre-se que os componentes A,
B, C e D são independentes (assuma que os componentes falham independentemente), mas
aqui temos o cálculo da probabilidade P (Bc|F ), ou seja, o componente B e o sistema F
são eventos dependentes. Para eventos dependentes, temos duas fórmulas para P (E1∩E2),
que são P (E1 ∩ E2) = P (E1|E2).P (E2) ou P (E1 ∩ E2) = P (E2|E1).P (E1). A pergunta é:
vou substituir P (E1 ∩ E2) por qual fórmula P (E1|E2).P (E2) ou P (E2|E1).P (E1). Para a
primeira temos: P (E1|E2) = P (E1∩E2)P (E2) =
P (E1|E2).P (E2)
P (E2)
, anulando toda a fórmula. A única
solução é substituir pela segunda fórmula, ou seja, P (E1|E2) = P (E1∩E2)P (E2) =
P (E2|E1).P (E1)
P (E2)
.
Portanto, essa fórmula poderá ser utilizada, ou seja, P (E1|E2) = P (E2|E1).P (E1)P (E2) . Lembre-
se que no numerador trocamos as posições da probabilidade pedida P (E1|E2), ou seja,
P (E2|E1) e multiplicamos pela probabilidade após o traço vertical (|) de P (E2|E1), ou
seja, P (E1). Esse sempre será o processo utilizado nos exerćıcios de evento condicional em
sistemas de confiabilidade, ou seja, usando a fórmula P (E1|E2) = P (E2|E1).P (E1)P (E2) . Basta
identificar em cada exerćıcio quem são os eventos E1 e E2 e substituir na fórmula.
• Voltando para a probabilidade P (Bc|F ) da pergunta e associando com a fórmula P (E1|E2) =
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P (E2|E1).P (E1)
P (E2)
temos que E1 será o B
c e E2 será o F . Substituindo na fórmula temos:
P (Bc|F ) = P (F |B
c).P (Bc)
P (F ) . A P (F ) foi calculada no exerćıcio e o valor é P (F ) = 0, 8037. A
probabilidade P (Bc) = 0, 30, conforme já apresentado no ińıcio do exerćıcio.
• Falta apenas o cálculo da probabilidade P (F |Bc), que ainda não é conhecida, para efe-
tuarmos o cálculo da probabilidade pedida P (Bc|F ). Para o cálculo desta probabilidade
P (F |Bc), temos o seguinte: já sabemos que o componente B não está funcionando, pois está
após o traço |, ou seja, este evento já ocorreu. Sabendo que B não está funcionando, qual
é a probabilidade do sistema estar funcionando, ou seja, P (F |Bc)? A única possibilidade
de estar funcionando é passando pelos componentes A, C e D, formando assim um sistema
em série A, C e D.
• Isso resultará no sistema em série:
• A probabilidade deste sistema em série A, C e D estar funcionando é dado por P (A ∩
C ∩ D) = P (A).P (C).P (D) = 0, 95.0, 80.0, 90 = 0, 684. Portando, P (F |Bc) = 0, 684 =
P (A ∩ C ∩ D). Finalmente, basta substituir as probabilidades encontradas na fórmula
inicial, ou seja, P (Bc|F ) = P (F |B
c).P (Bc)
P (F ) =
0,684.0,30
0,8037 = 0, 2553.
2. Em certa linha de montagem, três máquinas B1, B2 e B3 produzem 30%, 45% e 25% dos
produtos, respectivamente. Sabe-se, de experiências anteriores, que 2%, 3% e 2% dos produtos
feitos por cada máquina são, respectivamente, defeituosos. Agora, suponha que um produto, já
acabado, seja selecionado aleatoriamente.
(a) Qual é a probabilidade de que tal produto apresente algum defeito?
(b) Se descobrir que este produto apresenta defeitos, qual é a probabilidade de que o produto
tenha sido fabricado pela máquina B3?
Solução
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(a) Iniciamos o exerćıcio com a frase: a máquina B1 produz 30%, ou seja,P (B1) = 30% =
30/100 = 0, 30, a máquina B2 produz 45%, ou seja, P (B2) = 45% = 45/100 = 0, 45
e a máquina B3 produz 25%, ou seja, P (B3) = 25% = 25/100 = 0, 25. Assim, temos
P (B1) = 0, 30, P (B2) = 0, 45 e P (B3) = 0, 25. Continuando temos que 2% dos produ-
tos feitos pela máquina B1 são defeituosos, ou seja, surge aqui o evento defeituoso (D).
Temos dois eventos aqui B1 e D e uma probabilidade 2% = 2/100 = 0, 02. Qual evento
vamos associar aqui: união, interseção, complemento ou condicional. Como já sabemos que
o produto foi produzido pela máquina B1, ou seja, este evento já ocorreu, temos aqui o
evento condicional D|B1, ou seja, defeituoso dado que foi produzido pela máquina B1. A
probabilidade associada é P (D|B1) = 0, 02. O racioćınio é o mesmo para as máquinas B2
e B3. Assim, P (D|B2) = 0, 03 e P (D|B3) = 0, 02. Agora, finalmente chegamos na questão
referente a probabilidade de que tal produto apresente algum defeito, ou seja, P (D). Essa
probabilidade pode ser interpretada como sendo o produto é defeituoso e foi produzido pela
B1 ou produto é defeituoso e foi produzido pela B2 ou produto é defeituoso e foi produzido
pela B3. Usando notação de eventos temos o seguinte: (D ∩ B1) ∪ (D ∩ B2) ∪ (D ∩ B3).
Chegamos assim a fórmula da regra ou teorema da probabilidade total que é dada por:
P (D) = P (D ∩ B1) + P (D ∩ B2) + P (D ∩ B3). Usando probabilidade condicional, pode-se
transformar a probabilidade P (D ∩ B1) em P (D|B1).P (B1), a probabilidade P (D ∩ B2)
em P (D|B2).P (B2) e a probabilidade P (D ∩ B3) em P (D|B3).P (B3). Chegamos assim na
fórmula P (D) = P (D|B1).P (B1)+P (D|B2).P (B2)+P (D|B3).P (B3). Agora é só substituir
as probabilidades, ou seja, P (D) = 0, 02.0, 30 + 0, 03.0, 45 + 0, 02.0, 25 = 0, 0245.
(b) Iniciamos com a seguinte frase: se descobrir que este produto apresenta defeitos. Isto indica
que já sabemos que o produto é defeituoso, ou seja, o evento já ocorreu, indicando um evento
condicional. Assim, temos ?|D. Lembre-se que o evento que já ocorreu é colocado após o
traço |. O evento que substitui o ? está na continuação da frase: probabilidade de que o
produto tenha sido fabricado pela máquina B3, ou seja, temos o evento condicional B3|D.
Assim, nosso interesse é na probabilidade P (B3|D). A fórmula é dada por: P (B3|D) =
P (D∩B3)
P (D) . Lembre-se que no denominador sempre teremos o evento que está após o |, ou seja,
P (D). No numerador podemos sunstituir P (D ∩ B3) por P (D|B3).P (B3), conforme visto
na letra (a). Assim, ficamos com a seguinte fórmula: P (B3|D) = P (D|B3).P (B3)P (D) . Agora basta
substituir cada valor de probabilidade na fórmula, ou seja, P (B3|D) = 0,02.0,250,0245 = 0, 2041.
Exerćıcios Propostos
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1. Um sistema de circuitos é dado na Figura 2. Assuma que os componentes falham independen-
temente, sendo a probabilidade de funcionamento de cada um mostrada no gráfico.
Figura 2: Sistema de circuitos.
(a) Qual é a probabilidade de que o sistema funcione?
(b) Dado que o sistema funciona, qual é a probabilidade de que o componente A não esteja
funcionando?
2. Na situação do exerćıcio anterior, sabe-se que o sistema não funciona. Qual é a probabilidade
de que o componente A também não funcione?
3. Uma indústria emprega três planos anaĺıticos para criar e desenvolver certo produto. Devido
aos custos, os três planos são usados em momentos variados. Na verdade, os planos 1, 2 e 3 são
usados para 30%, 20% e 50% dos produtos, respectivamente. O ı́ndice de defeitos é diferente
para os três procedimentos: P (D|P1) = 0, 01, P (D|P2) = 0, 03 e P (D|P3) = 0, 02, em que
P (D|Pj) é a probabilidade de um produto apresentar defeitos, dado o plano j. Se selecionarmos
um produto aleatoriamente e observarmos que ele apresenta defeitos, qual foi provavelmente o
plano usado e, em consequência, responsável pelo defeito?
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