AOL1 - Equações Diferenciais

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Equações Diferenciais - 20211.A 
Avaliação On-Line 1 (AOL 1) - 
Questionário 
1. Pergunta 1 
/1 
Leia o excerto a seguir: 
“Campos vetoriais representam o fluxo de um fluído (entre muitas outras coisas). Eles 
também representam uma maneira de visualizar funções cujo espaço de entrada e 
espaço de saída têm a mesma dimensão. Além disso, um campo vetorial associa um 
vetor a cada ponto no espaço.”Fonte: KHAN ACADEMY. Campos vetoriais. 
Disponível em: <https://bit.ly/2kSojV5>. Acesso em: 1 set. 2019. (Adaptado). 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Green, 
dado o campo F(x,y) = (y3, −x3), calcule a integral do campo vetorial sob a curva C que 
corresponde a um círculo igual a x2 + y2 = 4. Considerando que a orientação da curva é 
positiva, pode-se afirmar que a integral do campo vetorial equivale a: 
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1. −25 π. 
2. 16 π. 
3. -32 π. 
4. −24 π.Resposta correta 
5. 30 π. 
 
2. Pergunta 2 
/1 
Leia o excerto e analise a figura a seguir: 
“Dados os pontos F1 e F2, com a distância 2c entre eles, a elipse é o conjunto dos 
pontos P em que é válida a seguinte igualdade: dPF1 + dPF2 = 2a. Em outras palavras, a 
elipse é o conjunto de pontos no qual a soma das distâncias até cada um dos focos é 
igual à constante 2a. 
”Fonte: SILVA, L. P. M. O que é elipse? Uma figura geométrica? Brasil Escola. 
Disponível em: <https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-
elipse.htm>. Acesso em: 5 set. 2019. 
 
 
São comuns forças que variam ao longo de uma trajetória. A força representada na 
figura é proporcional ao afastamento em relação à origem das coordenadas, descrevendo 
no sentido anti-horário a parte da elipse x2/4 + y2/16 = 1 no primeiro quadrante, sendo 
F(x,y) = −k(x,y). Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o 
teorema de Green, pode-se afirmar que o trabalho realizado equivale a: 
Ocultar opções de resposta 
1. −12 k. 
2. 16 k. 
3. −6 k.Resposta correta 
4. 5 k. 
5. 10 k. 
 
3. Pergunta 3 
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A expansão de uma série corresponde a atribuir valores aos termos da série, ou seja, 
variar o termo n de zero ao termo que deseja na expansão da série. Tal operação é 
fundamental para a análise das propriedades de uma função, já que permite a 
visualização prática de seus termos. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, dada 
a função f(x) = 1/ x2 −1, pode-se afirmar que a expansão em série de potências em torno 
de x0 = 0 corresponde a: 
Ocultar opções de resposta 
1. ∑ nxn−1. 
2. ∑ xn. 
3. −∑ an.x2n. 
4. −∑ x2n. Resposta correta 
5. ∑ (n−1)x2. 
 
4. Pergunta 4 
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Leia o excerto a seguir: 
“O teorema fundamental das integrais de linha, também chamado de teorema do 
gradiente, diz que os campos gradientes são independentes do caminho, o que significa 
que as integrais de linha ao longo de dois caminhos quaisquer que conectam os mesmos 
pontos inicial e final serão iguais.”Fonte: KHAN ACADEMY. “Teorema fundamental 
das integrais de linha”. Disponível em: <https://bit.ly/2kJ6k3w>. Acesso em: 1 set. 
2019. 
O teorema de Green é usado para calcular integrais de linha complexas, transformando-
as em integrais duplas mais simples. De acordo com essas informações e o conteúdo 
estudado sobre o teorema de Green, calcule a integral de linha (3y − )dx + (7x + (
 + 1)dy, dada a curva C: = 9. Considerando esses dados, pode-se afirmar que o 
resultado da integral é: 
Ocultar opções de resposta 
1. 72 π. 
2. 18 π. 
3. 36 π.Resposta correta 
4. 24 π. 
5. 40 π. 
 
5. Pergunta 5 
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Leia o excerto e analise a figura a seguir: 
“Vamos pensar em uma roda de carro que apresenta um ponto fixo para observação. 
Agora, pensando nessa roda em movimento, sobre uma rua lisa, vamos observar a 
trajetória desse ponto fixo. A curva descrita por esse ponto é a curva cicloide.”Fonte: 
CORDEIRO, A. C. F. O que é a curva cicloide: ideias centrais no ensino da matemática. 
Trabalho de conclusão de curso (Licenciatura em matemática) – Instituto Federal de 
Educação, Ciência e Tecnologia, IFSP. São Paulo, p. 88. 2013. 
 
De 
acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Green, calcule 
a área da figura, descrita pelas curvas C1 e C2, dada a cicloide abaixo x= t − sen(t), y = 
1 − cos(t). Considerando esses dados, pode-se afirmar que a área da cicloide 
corresponde a: 
Ocultar opções de resposta 
1. 6π. 
2. 3π.Resposta correta 
3. −3π. 
4. 9π. 
5. 12 π. 
 
6. Pergunta 6 
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No campo matemático, um campo vetorial (campo de vetores) corresponde a um 
conceito do cálculo vetorial que relaciona um vetor a cada ponto de uma variedade 
diferenciável, ou seja, é uma função vetorial que associa um vetor a cada ponto do 
espaço xyz.ç 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Green, 
calcule a integral do campo vetorial F=(y−ex^2, 2x − ey^2) e a curva C: x2 + y2 = 1, 
orientada positivamente. Considerando esses dados, pode-se afirmar que a integral do 
campo vetorial corresponde a: 
Ocultar opções de resposta 
1. 6π. 
2. π/2. 
3. 3π. 
4. 2π. 
5. πResposta correta 
 
7. Pergunta 7 
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A série de Taylor corresponde à representação de funções como séries de potências. 
Uma das aplicações em tal conversão é a resolução de equações diferenciais por meio 
de série de potencias. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, dada 
a função f(x) = sen x, pode-se afirmar que a série de Taylor correspondente a: 
Ocultar opções de resposta 
1. ∑ (−n)n x2n+1 / (2n+1)! 
2. ∑ (−1)n x2n+1 / (2n)! 
3. ∑ (−1)n x / (2n+1)! 
4. ∑ (−1) x2n+1 / (2n+1)! 
5. ∑ (−1)n x2n+1 / (2n+1)!Resposta correta 
 
8. Pergunta 8 
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O raio de convergência indica o raio em torno do centro da série no qual a série 
converge para algum valor. Valores superiores ao raio indicam que a série diverge, ou 
seja, existe um número R tal que a série converge se |x−a| < R, e diverge se |x−a| > R. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, dada 
a série ∑(x−2)n / n, pode-se afirmar que o raio de convergência é igual a: 
Ocultar opções de resposta 
1. R = ½. 
2. R = 2. 
3. R = 3. 
4. R = 1.Resposta correta 
5. R = 4. 
 
9. Pergunta 9 
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O divergente de um campo vetorial corresponde a um operador que mede a magnitude 
de fonte de um campo vetorial em um dado ponto, ou seja, pode ser representado como 
um valor escalar que mede a dispersão dos vetores do campo em um ponto específico. O 
divergente de um campo vetorial, dado como F = M(x,y,z) I + N(x,y,z)j + P(x,y,z)k, é 
uma função escalar: div F = dM/dx + dN/dy + dP/dz. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Stokes, dado 
o campo vetorial F = (2xz) I + (xy)j − (z)k, pode-se afirmar que o valor do divergente 
corresponde a: 
Ocultar opções de resposta 
1. 2z − x − 1.Resposta correta 
2. a 2x + z. 
3. a 2y − x. 
4. a 2y − x −1. 
5. a x + 2z. 
 
10. Pergunta 10 
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Analise a figura a seguir: 
 
 
O teorema de Stokes trata de campos vetoriais em três dimensões, sendo o teorema de 
Green uma particularidade bidimensional do teorema de Stokes. No campo da 
geometria diferencial, é uma teoria sobre a integração de formas diferenciais. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Stokes, 
calcule a circulação do campo F: yi + xzj + x2k, dado que a curva C corresponde à 
fronteira do triângulo cortado a partir do plano x + y + z = 1, no sentido anti-horário no 
primeiro octante. Considerando esses dados, pode-se afirmar que a circulação do campo 
equivale a: 
Ocultar opções de resposta 
1. 5/7. 
2. 9/2. 
3. 10/7. 
4. −5/6.Resposta correta 
5. 4/3.