AOL 1 Equações Diferenciais

Prévia do material em texto

1. Pergunta 1 
O raio de convergência indica o raio em torno do centro da série no qual a série converge para algum 
valor. Valores superiores ao raio indicam que a série diverge, ou seja, existe um número R tal que a 
série converge se |x−a| < R, e diverge se |x−a| > R. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, dada a série 
∑(x−2)n / n, pode-se afirmar que o raio de convergência é igual a: 
1. 
R = 2. 
2. 
R = ½. 
3. 
R = 4. 
4. 
R = 1. 
Resposta correta 
5. 
R = 3. 
2. Pergunta 2 
Leia o excerto e analise a figura a seguir: 
“Dados os pontos F1 e F2, com a distância 2c entre eles, a elipse é o conjunto dos pontos P em que é 
válida a seguinte igualdade: dPF1 + dPF2 = 2a. Em outras palavras, a elipse é o conjunto de pontos 
no qual a soma das distâncias até cada um dos focos é igual à constante 2a. 
”Fonte: SILVA, L. P. M. O que é elipse? Uma figura geométrica? Brasil Escola. Disponível em: 
<https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-elipse.htm>. Acesso em: 5 set. 2019. 
 
questão 3.PNG 
São comuns forças que variam ao longo de uma trajetória. A força representada na figura é 
proporcional ao afastamento em relação à origem das coordenadas, descrevendo no sentido anti-
horário a parte da elipse x2/4 + y2/16 = 1 no primeiro quadrante, sendo F(x,y) = −k(x,y). 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Green, pode-se afirmar 
que o trabalho realizado equivale a: 
1. 
5 k. 
2. 
10 k. 
3. 
−6 k. 
Resposta correta 
4. 
16 k. 
5. 
−12 k. 
3. Pergunta 3 
O raio de convergência, em séries de potências, indica o raio da circunferência em torno do centro da 
série dentro da qual a série converge. Ou seja, pode-se garantir a convergência no intervalo aberto (a 
− R, a + R), onde a é o centro da série. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, analise as 
afirmativas a seguir. 
I. Se R é o raio de convergência de ∑cn.xn, então (R) 1/2 é o raio de convergência de ∑cn.x2n. 
II. O teste da razão determina a convergência nas extremidades do intervalo de convergência. 
III. Se limite de (Cn) 1/n = L>0, então a série ∑cn(x − a)n tem raio de convergência 1/L. 
IV. Se uma série de potências é convergente para valores de |x| < R com R > 0, então R é chamado 
de raio de convergência. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
1. 
I e IV. 
2. 
II, III e IV. 
3. 
II e III. 
4. 
I, II e IV. 
5. 
I, III e IV. 
Resposta correta 
4. Pergunta 4 
A circulação de um vetor v (conhecida como integral de linha), ao longo de uma curva c, 
corresponde à soma dos produtos escalares de v por dr ao longo da curva c, sendo dr um vetor 
elementar que tem as seguintes características: o módulo corresponde ao valor do arco da curva, a 
direção é tangente à curva e o sentido é o mesmo sentido da curva. 
Dada a superfície S: x2 + y2 + z2 = 9, z ≥ 0, sua respectiva circunferência de borda C: x2 + y2 = 9, z = 0 
e o campo correspondente F = yI. xj, calcule o valor da circulação no sentido anti-horário ao redor da 
curva C. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Stokes, pode-se 
afirmar que o valor da circulação corresponde a: 
1. 
10π. 
2. 
20π 
3. 
12π. 
4. 
18π. 
5. 
−18π. 
Resposta correta 
5. Pergunta 5 
Suponha que desejemos encontrar o fluxo de F = (xy) I + (yz)j + (xz)k através da superfície de um 
cubo cortado do primeiro octante, pelos planos x =1, y=1 e z=1. Uma dica importante é resolver pela 
integração do divergente ao invés de realizar 6 integrais diferentes, uma para cada face do cubo. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Stokes, pode-se afirmar 
que o fluxo da função F corresponde a: 
1. 
4/3. 
2. 
1/2. 
3. 
3/2. 
Resposta correta 
4. 
3. 
5. 
5. 
6. Pergunta 6 
Leia o excerto a seguir: 
“O trabalho mecânico é uma grandeza vetorial que permite calcular a variação de energia sofrida por 
um corpo ou a quantidade de energia que um corpo possui. Ele pode ser calculado pelo produto entre 
a força e o deslocamento.”Fonte: TEIXEIRA, M. M. “O que é trabalho mecânico?”; Brasil Escola. 
Disponível em: <https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-e-trabalho-mecanico.htm>. 
Acesso em: 1 set. 2019. 
O teorema de Green é usado para calcular o trabalho realizado por campos de força, que 
movimentam partículas, por exemplo. De acordo com essas informações e o conteúdo estudado 
sobre o teorema de Green, calcule o trabalho realizado sobre uma partícula que está sob ação do 
campo de força F(x,y) = (−3y, 3x) e se movimenta ao longo de uma elipse equivalente a 4x2 + 25
= 100, no sentido anti-horário. Considerando esses dados, pode-se afirmar que o trabalho 
equivale a: 
1. 
60 π. 
Resposta correta 
2. 
120 π. 
3. 
60. 
4. 
30 π. 
5. 
30. 
7. Pergunta 7 
No campo matemático, um campo vetorial (campo de vetores) corresponde a um conceito do cálculo 
vetorial que relaciona um vetor a cada ponto de uma variedade diferenciável, ou seja, é uma função 
vetorial que associa um vetor a cada ponto do espaço xyz.ç 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Green, calcule a 
integral do campo vetorial F=(y−ex^2, 2x − ey^2) e a curva C: x2 + y2 = 1, orientada positivamente. 
Considerando esses dados, pode-se afirmar que a integral do campo vetorial corresponde a: 
1. 
3π. 
2. 
2π. 
3. 
 π/2. 
4. 
6π. 
5. 
π 
Resposta correta 
8. Pergunta 8 
O divergente de um campo vetorial corresponde a um operador que mede a magnitude de fonte de 
um campo vetorial em um dado ponto, ou seja, pode ser representado como um valor escalar que 
mede a dispersão dos vetores do campo em um ponto específico. O divergente de um campo 
vetorial, dado como F = M(x,y,z) I + N(x,y,z)j + P(x,y,z)k, é uma função escalar: div F = dM/dx + 
dN/dy + dP/dz. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Stokes, dado o campo 
vetorial F = (2xz) I + (xy)j − (z)k, pode-se afirmar que o valor do divergente corresponde a: 
1. 
a x + 2z. 
2. 
a 2y − x. 
3. 
a 2y − x −1. 
4. 
a 2x + z. 
5. 
2z − x − 1. 
Resposta correta 
9. Pergunta 9 
A série de Taylor corresponde à representação de funções como séries de potências. Uma das 
aplicações em tal conversão é a resolução de equações diferenciais por meio de série de potencias. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre séries de potências, dada a função 
f(x) = sen x, pode-se afirmar que a série de Taylor correspondente a: 
1. 
∑ (−n)n x2n+1 / (2n+1)! 
2. 
∑ (−1)n x2n+1 / (2n)! 
3. 
∑ (−1)n x2n+1 / (2n+1)! 
Resposta correta 
4. 
∑ (−1) x2n+1 / (2n+1)! 
5. 
∑ (−1)n x / (2n+1)! 
10. Pergunta 10 
Analise a figura a seguir: 
 
questão 6.PNG 
O teorema de Green é extremamente útil na aplicação de cálculo de área de figuras planas. O 
teorema tem esse nome, pois foi desenvolvido por George Green, em 1828, e seu princípio é 
utilizado em outros teoremas como, por exemplo, os teoremas de Gauss e de Stokes. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o tópico, dada a região D, D=(1≤ x2 + 
y2≤4, x>0, y>0), calcule a área da região D, sendo a curva C correspondente à fronteira da região D. 
Considerando esses dados, pode-se afirmar que a área da região D corresponde a: 
1. 
7/3. 
2. 
10/3. 
3. 
5/3. 
4. 
19/3 
5. 
14/3. 
Resposta correta