ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA EQUAÇÕES DIFERENCIAI1

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
Cleiton Herbert Costa Gouveia 
Matricula: 01366357 
Engenharia Civil 
 
 A funçao de Heaviside ou funcao degrau unitario é nula para argumento 
negativo e vale 1 para argumento positivo. Quando o argumento é zero a 
funcao não precisa estar definida, (ou pode-se definir qualquer valor, 
dependendo do contexto, por exemplo 1/2) Observe que esta é funçao 
continua por partes: 
Equação da corrente elétrica do circuito RL para 0 ≤ t ≤ 1, deseja-se 
expandir tal circuito para um intervalo de 0 a 4, objetivando uma 
visualização gráfica do comportamento da corrente para a tensão 
aplicada de forma binária. Para obter os resultados solicitados, é 
necessário que se produza um texto com as seguintes informações 
1 – A definição de função degrau; 
2 – Cálculos desenvolvidos para a determinação da transformada de 
Laplace e da solução geral para i(t); 
3 – Gráfico referente à corrente para 0 ≤ t ≤ 4. 
 
 
FUNÇÃO DEGRAU: 
 
Em matemática e estatística, a função de Heaviside ou função 
degrau, desenvolvida pelo matemático e engenheiro eletricista Oliver 
Heaviside, é uma função singular e descontínua com valor zero quando o 
seu argumento é negativo e valor unitário quando o argumento é 
positivo. Nos casos em que o argumento é nulo seu valor assume a 
média dos limites laterias da função (pela esquerda e pela direita) 
calculados no ponto em que a abscissa vale "a". 
Normalmente a função é usada como uma distribuição, mas costuma-se 
definir por: 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculos envolvidos para a determinação da Transformada de Laplace e 
da solução geral para i(t). 
 
 
 
 
 No gráfico da função, é possível observar que se trata de uma função 
onda quadrada como dado de entrada para um circuito RL, onde: 
𝐸(𝑡) = { 
𝐸0, 𝑝𝑎r𝑎 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
 
 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 1 < 𝑡 < 2 
 
 Fonte: Fernando 
 
CÁLCULOS COM FUNÇÕES DEGRAU: 
 
1 – Definição de Transformada Laplace: 
Seja f(t) uma função definida nos reais não negativos. Quando a integral 
 
 
 
for convergente, ela será chamada de transformada de Laplace da função 
f(t). 
 
Para o caso específico desse tipo de circuito, tem-se que: 
𝑑𝑖(𝑡) 
𝐿 
𝑑𝑡 
+ 𝑅𝑖(𝑡) = 𝐸(𝑡) 
Aplicando Laplace na equação acima, tem-se: 
𝑑𝑖(𝑡) 
ℒ {𝐿 
𝑑𝑡 
} + ℒ{𝑅𝑖(𝑡)} = ℒ{𝐸(𝑡)} 
 
𝐿[𝑠 ∙ 𝐼(𝑠) − 𝑖(0)] + 𝑅 ∙ 𝐼(𝑠) = ℒ{𝐸(𝑡)} 
Calculando a transformada de Laplace de E(t): 
 
ℒ{𝐸(𝑡)} = 
 
1 
 
 
1 − 𝑒−2𝑠 
 
1 
[∫ 𝑒−𝑠𝑡𝐸0𝑑𝑡] = 
0 
 
1 
 
 
1 − 𝑒−2𝑠 
 
𝐸0 (− 
𝑒−𝑠𝑡 
1 
)| 
𝑠 
0 
1 1 − 𝑒−𝑠 
ℒ{𝐸(𝑡)} = 
1 − 𝑒−2𝑠 
𝐸0 ( 
𝑠 
) 
 
 
Substituindo o valor da transformada na equação do circuito: 
𝐿 ∙ 𝑠 ∙ 𝐼(𝑠) + 𝑅 ∙ 𝐼(𝑠) = 
𝐸0 
( 
1 − 𝑒−2𝑠 
𝐸0 
1 − 𝑒−𝑠 
) 
𝑠 
1 − 𝑒−𝑠 
𝐿 ∙ 𝑠 ∙ 𝐼(𝑠) + 𝑅 ∙ 𝐼(𝑠) = 
(1 − 𝑒−𝑠)(1 + 𝑒−𝑠) 
( 
𝑠 
) 
𝐸0 
𝐿 ∙ 𝑠 ∙ 𝐼(𝑠) + 𝑅 ∙ 𝐼(𝑠) = 
𝑠(1 + 𝑒−𝑠)
 
𝐼(𝑠) ∙ (𝑠𝐿 + 𝑅) = 
𝐸0
 
𝑠(1 + 𝑒−𝑠) 
𝐸0 
𝐼(𝑠) = 
𝑠(1 + 𝑒−𝑠)(𝑠𝐿 + 𝑅) 
 
 
Rearranjando a equação: 
 
𝐼(𝑠) = ( 
𝐸0
 
1 + 𝑒−𝑠 
 
 
1/𝐿 
) [ 𝑅 ] 
 
Aplicando a Laplace inversa: 
𝑠 (𝐿 + 𝑠) 
𝑖(𝑡) = ℒ−1{𝐼(𝑠)} 
 
𝑖(𝑡) = 
𝐸0 1 
( − 
𝑅 𝑠 
𝑒−𝑠 
 
 
𝑠 
1 
𝑒−2𝑠 
+ 
𝑠 
1 
𝑒−3𝑠 
− 
𝑠 
𝑒−𝑠 
 
+ ⋯ ) 
 
𝑒−2𝑠 
 
 
 
𝑒−3𝑠 
− 
𝑅 
( 𝑅 − 𝑅 
+
 𝑅 
−
 𝑅 + ⋯ ) 
𝑠 + 𝐿 𝑠 + 𝐿 𝑠 + 𝐿 𝑠 + 𝐿 
𝑖(𝑡) = 
𝐸0 (1 − 𝑢 (𝑡) + 𝑢 
 
 
(𝑡) − 𝑢 (𝑡) + ⋯ ) 
𝑅 1 
1 
2 
 𝑅 
3 
 𝑅( ) 𝑅( ) 
 
 𝑅 
 
 
Logo
: 
− [𝑒−𝐿𝑡 − 𝑒−𝐿 𝑡−1 
𝑅 
∙ 𝑢1(𝑡) + 𝑒−𝐿 
𝑡−2
 
 
 
∞ 
∙ 𝑢2(𝑡) − 𝑒−𝐿
(𝑡−3) ∙ 𝑢3(𝑡)] 
𝒊(𝒕) = 
𝑬𝟎 
 
 
𝑹 
 𝑹 
(𝟏 − 𝒆− 𝑳
𝒕
) + 
𝑬𝟎 
 
 
𝑹 
 𝑹 
∑(−𝟏)𝒏 (𝟏 − 𝒆− 𝑳
(𝒕−𝒏)
) ∙ 𝒖𝒏(𝒕) 
𝒏=𝟏 
 
 
 Gráfico referente à corrente para 0 ≤ t ≤ 4 
Utilizando a equação da corrente encontrada anteriormente, encontram- 
se as seguintes situações: 
𝐸0 
 
 
𝑅 
 𝑅 
(1 − 𝑒− 𝐿
𝑡
) , 0 ≤ 𝑡 < 1 
𝐸0 𝑅 𝑅 
 
𝑖(𝑡) = 
 (−𝑒− 𝐿𝑡 + 𝑒− 𝐿(𝑡−1)) , 1 ≤ 𝑡 < 2 
𝑅 
𝐸0 
 
 
𝑅 
(−𝑒 
 𝑅 
− 𝐿𝑡 + 𝑒 
−
 𝑅
(𝑡−1) 
𝐿 − 𝑒 
−
 𝑅
(𝑡−2) 
𝐿 ) , 2 ≤ 𝑡 < 3 
 𝐸0 
(−𝑒 
{ 𝑅 
 𝑅 
− 𝐿𝑡 + 𝑒 
−
 𝑅
(𝑡−1) 
𝐿 − 𝑒 
−
 𝑅
(𝑡−2) 
𝐿 + 𝑒 
−
 𝑅
(𝑡−4) 
𝐿 ) , 3 ≤ 𝑡 < 4 
 
 GRÁFICO DA CORRENTE PARA 
 0 ≤ t ≤ 4 ; 
 
 
 
 
 
 
 
REFERENCIAS: 
 
↑ SAUTER, Esequia; AZEVEDO, Fábio; STRAUCH, Irene. (15 de maio de 2019). «A função de 
Heaviside». Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Disponivel: 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_Heaviside. Acessado dia 21 de março 
2021. 
Disponivel: https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-tl/apdtedtd-
a_funx00e7x00e3o_de_heaviside.html. Acessado dia 21 de março 2021. 
 
Disponivel:https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/2016/MA311/Aula11.pdf Acessado dia 21 
de março 2021. 
Disponivel : https://www.youtube.com/watch?v=yjI0YWSh594. Acessado dia 22 dearco