Trigonometria_Parte_1

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Trigonometria
- Parte 1
Introdução
Trigonometria
no Triângulo
Retângulo
Relação
Fundamental
Ângulos Notáveis
Exercícios
Ângulos e
Arcos
Subdivisões do
grau
Ciclo Trigono-
métrico
Seno e Cosseno
Parametrização
da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Razões Trigonométricas e Ciclo Trigonométrico
2020
Trigonometria
- Parte 1
Introdução
Trigonometria
no Triângulo
Retângulo
Relação
Fundamental
Ângulos Notáveis
Exercícios
Ângulos e
Arcos
Subdivisões do
grau
Ciclo Trigono-
métrico
Seno e Cosseno
Parametrização
da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Sumário
1 Introdução
2 Trigonometria no Triângulo Retângulo
Relação Fundamental
Ângulos Notáveis
3 Exercícios
4 Ângulos e Arcos
Subdivisões do grau
5 Ciclo Trigonométrico
Seno e Cosseno
Parametrização da circunferência
Congruência de Arcos
6 Exercícios
7 Tangente
Trigonometria
- Parte 1
Introdução
Trigonometria
no Triângulo
Retângulo
Relação
Fundamental
Ângulos Notáveis
Exercícios
Ângulos e
Arcos
Subdivisões do
grau
Ciclo Trigono-
métrico
Seno e Cosseno
Parametrização
da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Trigonometria
Trigonometria é uma palavra de origem grega que significa “medidas
do triângulo”. A trigonometria se interessa pelas possíveis relações
entre as medidas dos lados e ângulos de triângulos. Nesses slides
estudaremos a trigonometria no triângulo retângulo.
O campo da matemática teve origem no século III a.C. advindo dos
estudos em geometria e astronomia. Os gregos estudaram cordas
(segmentos de retas na circunferência), e os indianos calcularam os
diversos valores para algumas funções que veremos mais adiante.
As aplicações da trigonometria podem ser encontradas nas mais
diversas áreas, como nas engenharias, arquitetura, indústrias,
agrimensura etc.
Trigonometria
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Introdução
Trigonometria
no Triângulo
Retângulo
Relação
Fundamental
Ângulos Notáveis
Exercícios
Ângulos e
Arcos
Subdivisões do
grau
Ciclo Trigono-
métrico
Seno e Cosseno
Parametrização
da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Introdução
Hipparcus (190 a.C. - 120 a.C.)
foi um dos expoentes da
trigonometria, sendo considerado
hoje o “pai da trigonometria”, por
ter elaborado a tabela
trigonométrica utilizando a
ideia pioneira de Hípsicles (180
a.C.), herdada dos babilônios, da
divisão do círculo em 360 partes
iguais (140 a.C.) e a divisão do
grau em sessenta minutos de
sessenta segundos.
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Introdução
Trigonometria
no Triângulo
Retângulo
Relação
Fundamental
Ângulos Notáveis
Exercícios
Ângulos e
Arcos
Subdivisões do
grau
Ciclo Trigono-
métrico
Seno e Cosseno
Parametrização
da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Teorema de Pitágoras
Uma relação importante é o Teorema de Pitágoras que, em um
triângulo retângulo, relaciona as medidas de seus lados, sendo uma
definição de distância.
Teorema de Pitágoras
Em um triângulo de catetos b e c
e hipotenusa a, “a soma dos
quadrados dos catetos é igual
ao quadrado da hipotenusa”.
Em símbolos,
b2 + c2 = a2
Acesse: https://www.geogebra.org/m/ywysvyfk
https://www.geogebra.org/m/ywysvyfk
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Fundamental
Ângulos Notáveis
Exercícios
Ângulos e
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Subdivisões do
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Ciclo Trigono-
métrico
Seno e Cosseno
Parametrização
da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Demonstração Teo. de Pitágoras
Considere um triângulo retângulo ABC. Trace a altura relativa à
hipotenusa. Identifique os três triângulos retângulos e mostre que são
semelhantes. A partir da semelhança desses triângulos, demonstre o
Teorema de Pitágoras.
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Fundamental
Ângulos Notáveis
Exercícios
Ângulos e
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Ciclo Trigono-
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Seno e Cosseno
Parametrização
da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Pitágoras
Pitágoras de Samos (c. 570 - c.
495 d.C.) foi um filósofo e
matemático jônico, que
desenvolveu estudos sobre
números figurados, números
perfeitos e o Teorema que leva o
seu nome.
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Ângulos e
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Subdivisões do
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Ciclo Trigono-
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Seno e Cosseno
Parametrização
da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Problema motivador
Um avião está voando paralelo ao solo. Próximo do aeroporto, o
avião inclina-se 30◦ e percorre 6 km até tocar a pista de pouso. A
que altura ele estava voando?
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Ângulos Notáveis
Exercícios
Ângulos e
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Seno e Cosseno
Parametrização
da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Em um triângulo retângulo de lados a,b e c, temos as seguintes
relações entre os lados:
Definição
Observe que os valores de seno, cosseno e tangente são constantes
para um mesmo ângulo, ou seja, independe do triângulo retângulo.
Acesse: https://www.geogebra.org/m/hbq7stcn
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Congruência de
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Exercícios
Tangente
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Para lembrar
SENO: COH I︸ ︷︷ ︸
C ateto Oposto sobr e H I potenusa
COSSENO: C AH I︸ ︷︷ ︸
C ateto Ad j acente sobr e H I potenusa
TANGENTE: COC A︸ ︷︷ ︸
C ateto Oposto sobr e C ateto Ad j acente
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Exercícios
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Seno e Cosseno
Parametrização
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Tangente
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Pelo Teorema de Pitágoras,
a2 = b2 + c2
de onde b2 + c2 > b2 e consequentemente, a2 > b2 =⇒ a > b e
a2 > c2 =⇒ a > c, de modo que o maior lado é a hipotenusa.
Assim, 0 < ba e ca < 1 de onde
0 < senB
e
cosB < 1
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Ângulos Notáveis
Exercícios
Ângulos e
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Seno e Cosseno
Parametrização
da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Ângulos complementares
As igualdades
senB̂ = cosĈ = ba
cosB̂ = senĈ = ca
e a relação
t anB̂ = 1
t anĈ
não são coincidências. Como Ĉ + B̂ = 90◦, temos que Ĉ = 90◦− B̂ , de
modo que {
senB̂ = cos(90◦− B̂)
cosB̂ = sen(90◦− B̂)
e
t anB̂ = 1
t an(90◦− B̂)
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Relação
Fundamental
Ângulos Notáveis
Exercícios
Ângulos e
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Subdivisões do
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Ciclo Trigono-
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Seno e Cosseno
Parametrização
da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Exemplo
Seja α um ângulo qualquer. Mostre que
sen2α+ cos2α= 1 (1)
demonstração: Para demonstrar, vamos considerar um triângulo retângulo de
hipotenusa a e catetos b e c tal que α seja o ângulo formado por c e a. Pelo
Teorema de Pitágoras,
a2 = b2 + c2 (2)
Mas,
senα= b
a
=⇒ sen2α=
(
b
a
)2
(3)
cosα= c
a
=⇒ cos2α=
( c
a
)2
(4)
Somando as equações 3 e 4 obtemos:
sen2α+ cos2α= b
2
a2
+ c
2
a2
= b
2 + c2
a2
= a
2
a2
= 1
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Relação
Fundamental
Ângulos Notáveis
Exercícios
Ângulos e
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Tangente
Relação Fundamental
A identidade
sen2α+ cos2α= 1
é conhecida como Relação Fundamental da Trigonometria.
Existem outras relações, a saber:
tan x = sin xcosx
cot an x = 1tan x = cos xsin x
sec x = 1cos x
cossec x = 1sen x
sec2x = 1+ t an2x
cossec2x = 1+ cot an2x
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Congruência de
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Exercícios
Tangente
Exemplo 1
Seja x um ângulo agudo tal que sen(x) = 45 . Calcular:
a) cos(x)
b) t g (x)
c) cot g (x)
d) sec(x)
e) cossec(x)
Sendo senx = a 6= 0 e cosx = b 6= 0, calcule t g x + cot g x.
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Parametrização
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Exercícios
Tangente
Exemplo 2
Considere um triângulo retângulo isósceles e mostre que
sen45◦ = 1p
2
cos45◦ = 1p
2
t an45◦ = 1
Considere um triângulo equilátero e mostre que
sen60◦ =
p
3
2
cos60◦ = 12
t an60◦ =p3
Finalmente, mostre que:
sen30◦ = 12
cos30◦ =
p
3
2
t an30◦ = 1p
3
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Seno e Cosseno
Parametrização
da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Ângulos Notáveis
É importante memorizar o seno e cosseno de pelo menos 3 ângulos,
chamados de ângulos notáveis (a tangente basta dividir o seno pelo
cosseno). Resumimos na tabela abaixo.
x 30◦ 45◦ 60◦
sen x 12
p
2
2
p
3
2
cos x
p
3
2
p
2
2
1
2
tan x
p
3
3 1
p
3
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Congruência de
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Exercícios
Tangente
Ângulos Notáveis
Para lembrar
Uma maneira de lembrar os valores para o seno, cosseno e tangente de
ângulos notáveis é cantar a música:
Geometria é bela/ Precisamos dela
Trigonometria vamos estudar
Ela vem de Tales e vem de Pitágoras
Prova do Pantera vou gabaritar
1,2,3, 3,2,1/ Tudo sobre 2
A raiz vai no 3 e também no 2
A tangente é diferente, vejam só vocês
Raiz de 3 sobre 3, 1, raiz de 3
Seno e cosseno e tem a tangente/ Com o SOH CAH TOA vou memorizar
Dizem que é difícil/ Eu já decorei
Prova do Pantera já gabaritei
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Resolução Problema Motivador
Um avião está voando paralelo ao solo. Próximo do aeroporto, o
avião inclina-se 30◦ e percorre 6 km até tocar a pista de pouso. A
que altura ele estava voando?
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Exemplo 3
Considere um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero de
10
p
2 cm de lado e cuja altura mede 5 cm.
Se M é o ponto médio da aresta DF , qual é a medida do seno do
ângulo B ME?
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Exemplo 4
Na figura abaixo, determinar o valor de AB .
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Exemplo 5
Seja ABC um triângulo retângulo com catetos a,b e hipotenusa h.
Mostre que o diâmetro D da circunferência inscrita no triângulo é
D = a +b −h.
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Exemplo 6
Demonstre que a área S do 4ABC pode ser calculada pela fórmula
S = 1
2
bc senα
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Exemplo 7
Para calcular a altura de um morro, um topógrafo posicionou-se com
seu teodolito a 200 m do morro e o aparelho forneceu a medida do
ângulo de visada do morro: 30◦. O topógrafo, olhando numa tabela,
considerou t g 30◦ = 0,57. Se a altura do teodolito é 1,60 m, qual é a
altura, em metros, do morro obtida pelo topógrafo?
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Exemplo 8
Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. O segmento AB é
perpendicular a essas retas e o ponto P , nesse segmento, é tal que
AP = 2 e BP = 1. O ponto X pertence à reta r e a medida do
segmento B X é indicada por x. O ponto Y pertence à reta s e o
triângulo X PY é retângulo em P .
Determine o valor de x para o qual a área do triângulo X PY é
mínima e calcule o valor dessa área.
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Exemplo 9
Proposição 1
Para o 4ABC , com ceviana BD, vale que:
α(ABD)
α(C BD)
= AD
C D ′
Proposição 2 Para o 4ABC , bissetriz BD, D ∈ AC , é válido que:
AD
AB
= DC
C B
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Exercício 1
Quais das ternas (a,b,c) abaixo poderiam ser lados de triângulos
retângulos?
(5,12,13)
(8,15,17)
(7,24,25)
(12,35,37)
(11,60,61)
(20,21,29)
(9,40,41)
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Exercício 2
Um triângulo tem lados medindo 3 cm, 4 cm e 5 cm. Outro triângulo
tem lados medindo 9 cm, 12 cm e 15 cm. Os ângulos desses
triângulos são iguais?
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Exercício 3
Utilizando os valores aproximados da tabela, determine os
comprimentos x e y de cada figura.
Arco sen cos tan
15◦ 0,26 0,97 0,27
20◦ 0,34 0,93 0,36
30◦ 0,50 0,87 0,58
40◦ 0,64 0,77 0,84
57◦ 0,84 0,54 1,54
80◦ 0,98 0,17 5,67
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Exercício 3Trigonometria
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Exercício 4
Sendo α um ângulo agudo num triângulo retângulo qualquer, prove
que
senα · cosα · t anα= sen2α
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Exercício 5
Ao atender o chamado de um incêndio em um edifício, o corpo de
bombeiros de uma cidade utilizou um veículo de combate a incêndio,
dotado de escada magirus. Esse veículo possibilita atender a resgates
a uma altura máxima de 54 metros, utilizando um ângulo máximo de
levantamento de 60◦.
Qual o comprimento dessa escada
quando totalmente esticada?
Houve um problema e o ângulo
de levantamento foi reduzido em
25%. Qual a nova altura máxima
alcançada?
Trigonometria
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Exercício 6
Seja x um número real positivo tal que
secx − t anx = 1
Calcule secx + t anx.
Trigonometria
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Exercícios
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Exercício 7
No triângulo abaixo, qual é a razão entre as áreas S1 e S2?
Trigonometria
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Exercícios
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Congruência de
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Exercícios
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Exercício 8
No triângulo ABC, a altura AH = 1cm. Calcule:
a) em função do ângulo α, o
valor de AB.
b) em função do ângulo α, o
valor de HB.
c) em função do ângulo β, o
valor de AC.
d) em função do ângulo β, o
valor de HC.
e) a área de 4ABC , em função
de BC e da altura AH.
f) a área de 4ABC .
g) uma fórmula para o sen(α+β)
a partir dos resultados dos itens
e e f.
Trigonometria
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Exercícios
Ângulos e
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Seno e Cosseno
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da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Exercício 9
Um avião voava a uma altitude e velocidade constantes. Num certo
instante, quando estava a 8 km de distância de um ponto P, no solo,
ele podia ser visto sob um ângulo de elevação de 60◦ e, dois minutos
mais tarde, esse ângulo passou a valer 30◦, conforme a figura. Qual
era, em km/h, a velocidade desse avião?
Trigonometria
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Exercícios
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Subdivisões do
grau
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Seno e Cosseno
Parametrização
da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Arco
Antes de falarmos sobre o ciclo trigonométrico, precisamos da
seguinte definição:
Definição
Sejam A e B pontos distintos sobre um círculo. O conjunto de todos
os pontos sobre o círculo que forma a curva que vai de A a B é
chamado de arco.
Quando o segmento AB é um diâmetro, este divide o círculo em duas
partes congruentes, chamadas semicírculo. Quando AB não é
diâmetro, esses dois arcos têm comprimentos diferentes, o maior,
chamado de arco maior e o menor, de arco menor.
Todo arco ÙAB determina um ângulo central.
Trigonometria
- Parte 1
Introdução
Trigonometria
no Triângulo
Retângulo
Relação
Fundamental
Ângulos Notáveis
Exercícios
Ângulos e
Arcos
Subdivisões do
grau
Ciclo Trigono-
métrico
Seno e Cosseno
Parametrização
da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Arco
Uma volta completa no círculo é 360◦ e denotando por α a medida
do ângulo central (em graus), o comprimento deste arco é
Car co = 2πr · α
360◦
Trigonometria
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Trigonometria
no Triângulo
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Fundamental
Ângulos Notáveis
Exercícios
Ângulos e
Arcos
Subdivisões do
grau
Ciclo Trigono-
métrico
Seno e Cosseno
Parametrização
da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Arco
As medidas de arco podem ser definidas assim:
Definição
Dividindo-se o círculo em 360 arcos iguais, define-se 1◦ a medida do
ângulo central.
No entanto, dividir o círculo em 360 partes é totalmente arbitrário.
Poderíamos dividir por exemplo, em 400 partes. Para evitar a
arbitrariedade, define-se:
Definição
Um radiano é a medida do ângulo central de um arco cujo
comprimento é igual ao raio do círculo. Abreviamos 1 radiano para 1
rad.
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Ângulos Notáveis
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Ângulos e
Arcos
Subdivisões do
grau
Ciclo Trigono-
métrico
Seno e Cosseno
Parametrização
da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Arco
Tomando um arco de comprimento r e, portanto, um ângulo central
de α= 1 r ad , temos que este arco representa uma fração do
comprimento da circunferência, dado por C = 2πr . Então
C
α
360
= r =⇒ 2πr α
360
= r =⇒ π α
180
= 1 =⇒ α= 180
◦
π
≈ 57◦
A partir disto é possível converter graus em radianos e vice-versa.
2πr ad = 360◦
Veja como construir arcos medindo 1 rad:
Acesse: https://i.stack.imgur.com/jqagd.gif
https://i.stack.imgur.com/jqagd.gif
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Exercícios
Tangente
Exemplo 1
Converta para radianos os seguintes ângulos:
a) 30◦
b) 45◦
c) 60◦
d) 90◦
e) 270◦
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Tangente
Resolução
Sabemos que 180◦ =πr ad . Para converter um ângulo α dado em
graus em radianos usamos uma regra de três simples:
Para converter 30◦ em radianos fazemos o seguinte:
x = 30π
180
= π
6
r ad
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Arcos
Exercícios
Tangente
Exemplo 2
Se o comprimento de uma circunferência é 2π cm, determine o
comprimento de arco de 180◦, 90◦, 45◦, 60◦, 30◦, 120◦ e 270◦.
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Tangente
Subdivisões do grau
Muitas vezes se faz necessário uma medida mais precisa de grau, por
exemplo 40,1875◦. A parte decimal pode ser convertida em uma nova
notação usando “arco minuto” e “arco segundo”. Define-se:
Definição
1 hora = 60 minutos = 60’= 1◦
1 minuto = 60 segundos = 60”
Como converter 40,1875◦ nesta notação?
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da circunferência
Congruência de
Arcos
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Tangente
Subdivisões do grau
Temos que 40,1875◦ podeser escrito como 40◦+0,1875◦. Fazemos a
regra de três
1◦ 60′
0,1875 x
então
x = 0,1875×60 = 11,25′
Portanto, 40,1875◦ = 40◦11,25′. Como ainda temos casas decimais,
precisamos de uma nova conversão, agora para segundos. Como
11,25′ = 11′+0,25′, fazemos a regra de três:
1′ 60′′
0,25 y
De onde y = 0,25×60 = 15′′. Assim,
40,1875◦ = 40◦11′15′′
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Tangente
Exemplo 3
Qual é o ângulo formado pelos ponteiros de um relógio à 1 hora e 12
minutos?
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da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Resolução
Primeiramente: o ponteiro das horas é o menor e o dos minutos, o maior. O
relógio é uma circunferência dividida em 12 arcos subtendidos por um ângulo
central α de 360
◦
12 = 30◦.
Ponteiro das horas
Queremos saber quantos graus o
ponteiro das horas desce quando se
passa 12 minutos. Observe que o
ponteiro anda 30◦ a cada hora. Então:
60mi n — 30◦
12mi n — x =⇒ x = 6
◦
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Tangente
Resolução
Ponteiro dos minutos
Note que o ponteiro dos minutos
anda a circunferência toda a
cada hora. Queremos saber.
Queremos saber quantos graus o
ponteiro desce quando se passa
12 minutos a partir da marcação
de 10 minutos, ou seja, quanto
ele anda em 2 minutos.
60mi n — 360◦
2mi n — y =⇒ y = 36
◦
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Ângulos e
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Seno e Cosseno
Parametrização
da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Resolução
Como o arco de 1h a 2h é 30◦,
x +α= 30◦+ y =⇒ α= 30◦+ y −x =⇒ α= 30◦+36◦−12◦ = 36◦
Portanto, o ângulo formado pelos ponteiros à 1 hora e 12 minutos é
de 36◦.
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da circunferência
Congruência de
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Tangente
Ciclo Trigonométrico
O ciclo trigonométrico é um círculo de raio 1 e centro (0,0) do
plano cartesiano.
Os eixos dividem o círculo em 4 partes, chamadas quadrantes
numerados no sentido anti-horário conforme figura abaixo.
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Arcos
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Tangente
Ciclo Trigonométrico
A orientação positiva do ângulo medida a partir do eixo das
abscissas é no sentido anti-horário.
A orientação negativa do ângulo medida a partir do eixo das
abscissas é no sentido horário.
Para lembrar
Uma frase que pode ajudar a lembrar é
Relógios são negativos.
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Parametrização
da circunferência
Congruência de
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Tangente
Seno e Cosseno
O eixo horizontal é o eixo dos cossenos e o eixo vertical, o eixo dos
senos, conforme figura:
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Parametrização
da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Seno e Cosseno
Anteriormente definimos as razões trigonométricas em triângulo
retângulo, ou seja, para ângulos agudos. Agora, de modo mais geral,
definimos o ponto P sobre a circunferência como P = (cosα, senα).
Fique atento ao sinal do seno e cosseno. Se o ângulo α pertence aos
quadrantes I e II, senα> 0; se α pertence aos quadrantes III e IV,
senα< 0.
Se α pertence aos quadrantes I e IV, cosα> 0; se α pertence aos
quadrantes II e III, cosα< 0.
Valem sempre:
sen(π−α) = senα
cos(π−α) =−cosα
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grau
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Parametrização
da circunferência
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Arcos
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Tangente
Projeção Ortogonal
O cosseno do ângulo α é a medida da projeção ortogonal, ou seja,
que forma um ângulo reto, do ponto P sobre o eixo horizontal.
O seno do ângulo α é a medida da projeção ortogonal do ponto P
sobre o eixo vertical.
Para lembrar
Quem está COM SONO (cosseno) está deitado.
Quem está SEM SONO (seno) está em pé.
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Seno e Cosseno
Parametrização
da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Parametrização da circunferência
Observe que o ponto P fica bem determinado pelas coordenadas (cosα, senα).
Mais geralmente, se um círculo tem raio r , as coordenadas do ponto P são
(r · cosα,r · senα).
Podemos reinterpretar o ângulo α como um parâmetro, ou seja, variando α o
ponto P percorre todo o círculo e, portanto, pode ser definido pelas coordenadas
de P , isto é, {
x = r · cosα
y = r · senα
As equações acima são chamadas de parametrização da circunferência.
Observe que o ponto P percorre a circunferência no sentido anti-horário. Como
ficariam as coordenadas (x, y) para que o ponto P percorra a circunferência no
sentido horário?
Acesse: https://www.geogebra.org/m/bnkks969
Tente desenhar a figura parametrizada por{
x = a · cosα
y = b · senα
onde a,b são constantes reais.
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Seno e Cosseno
Parametrização
da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Congruência de Arcos
Não necessariamente os ângulos α são tais que 0 ≤α≤ 2π. Quando
dois arcos possuem as mesmas extremidades, eles são ditos
congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.
Por exemplo, o ângulo 780◦ é congruente ao ângulo de 60◦.
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Parametrização
da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Congruência de Arcos
De modo geral, se α e β são as medidas em radianos de dois arcos
(positivos ou negativos), temos que α e β são congruentes se, e somente
se,
α−β= 2πk =⇒ α=β+2kπ
ou seja, se existir k ∈Z e β é chamado primeira determinação positiva e
deve satisfazer 0 ≤β≤ 2π.
No exemplo, temos que 780◦ é congruente ao ângulo de 60◦ pois,
convertendo 780◦ em radianos, obtemos 780◦ = 13π3 e 60◦ = π3 . Assim:
13π
3
= π
3
+2kπ ⇐⇒ 13π=π+6kπ ⇐⇒ 12π= 6kπ ⇐⇒ k = 2 ∈Z
No caso de α e β ângulos congruentes,{
senα= senβ
cosα= cosβ
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Exemplo 4
Determine a expressão geral dos arcos côngruosaos arcos de:
30◦, 60◦, 135◦, π r ad , π4 r ad
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Exemplo 5
Determine a primeira determinação positiva dos arcos:
400◦,900◦,1500◦,−860◦, 19π4 r ad
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Exemplo 6
Seja C (1,0) uma circunferência de centro (0,0) e raio 1. Encontre o
comprimento do arco ÙAP , entre 0 e 2π, que é congruente a 27π4
radianos. Em seguida, indique em qual quadrante do círculo
trigonométrico se encontra o ponto P e calcule o seno e cosseno de
27π
4 .
Resolução: Uma possível maneira de resolver esse problema é
converter a medida em graus, fazendo π= 180◦. Assim,
27π
4 r ad = 1215◦.
Para sabermos quantas voltas esse ângulo representa, dividimos esse
valor por 360◦ e observamos o resto da divisão:
1215 = 3×360+135
ou seja, é como se o ponto A tivesse dado 3 voltas completas no
círculo e andado mais 135◦. Portanto, 27π4 radianos é congruente a
135◦ ou 3π4 radianos e pertence ao Quadrante II.
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da circunferência
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Arcos
Exercícios
Tangente
Resolução
Note que neste exemplo,
α= 27π
4
β= 3π
4
Assim,
α=β+2kπ
27π
4
= 3π
4
+3×2π
ou seja, k = 3 ∈Z, satisfazendo a condição α=β+2kπ, k ∈Z.
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Exercícios
Tangente
Resolução
Podemos ainda reduzir o ângulo 135◦ ao primeiro quadrante, fazendo
180◦−135◦ = 45◦ ou π4 radianos.
Como 1215◦ ≡ 135◦, pertencentes aos quadrantes I e II e, portanto,
possuem seno positivo, temos que:
sin(1215◦) = sin(135◦) = sin(45◦) =
p
2
2
No caso do cosseno devemos ficar atento ao sinal, uma vez que
1215◦ ≡ 135◦ pertencem ao II quadrante, o cosseno é negativo, ou
seja,
cos(1215◦) = cos(135◦) =−cos(45◦) =−
p
3
2
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Exemplo 7
Como podemos obter uma expressão geral para o arco ÙAP?
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Resolução
Encontrar uma expressão geral significa encontrar todos os arcos
congruentes a ÙAP , ou seja, que têm a mesma extremidade. Assim, se
andarmos 2πr ad com o ponto P sobre a circunferência, ele irá parar
no mesmo lugar de onde começou - em 2π3 . Essa observação permite
encontrar a expressão: ÙAP ≡ 2π
3
+2kπ
onde k ∈Z representa o número de voltas. Assim, por exemplo,
temos que 2π3 é congruente a
2π
3 +2π= 8π3 , 2π3 +4π= 14π3 , 2π3 +6π= 20π3 etc
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Exemplo 8
Agora, considere a situação onde QP é um diâmetro.
Queremos encontrar os arcos congruentes a ÙAP e ÙAQ ao mesmo
tempo.
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da circunferência
Congruência de
Arcos
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Tangente
Resolução
Já vimos que ÙAP ≡ 2π3 +2kπ.
De forma semelhante, para obter ÙAQ rodamos P de πr ad . Assim,
ÙAQ ≡ ( 2π
3
+π)+kπ= 5π
3
+kπ
Não queremos duas expressões. De que forma podemos obter uma
única expressão? Observe que ao girar P de πr ad foi suficiente para
obtermos o arco ÙAP , ou seja, ao variamos k ∈Z, também obtemos o
arco ÙAP . Portanto, os arcos ficam definidos pela expressãoÙPQ ≡ 5π3 +kπ, k ∈Z.
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Exemplo 9
Encontre o conjunto das determinações dos arcos assinalados nas
figuras abaixo.
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Exercício 1
Um pêndulo de 50 cm descreve um movimento no qual suas posições
extremas formam um ângulo de 45◦. Determine o comprimento dessa
trajetória.
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Exercício 2
Em uma pista circular de 400 m de comprimento, Joaquim realiza um
treinamento no qual ele corre 160m na maior velocidade que consegue
e faz pausas por 30s, repetindo o processo 12 vezes. Determine:
a) o raio aproximado desta pista.
b) a medida, em graus, do arco determinado em cada treinamento.
c) a medida da menor determinação positiva do ângulo encontrado
no item anterior.
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Exercício 3
Marca-se em um pneu, no ponto de seu contato com o solo, um
ponto com tinta, que chamaremos de A. O carro percorre um
determinado trecho, onde o pneu gira 18780◦. Qual a distância do
ponto A ao novo ponto de contato do pneu com o solo, chamado de
P, em função do raio r do pneu?
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Exercício 4
Considere um círculo trigonométrico com centro na origem do sistema
de coordenadas cartesianas. Quais arcos possuem a mesma abscissa,
analisando apenas a primeira determinação positiva, que os arcos de:
a) 25◦
b) 130◦
c) 315◦
d) 190◦
e) 3π5 r ad
f) π6 r ad
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Arcos
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Tangente
Exercício 5
Considere um círculo trigonométrico com centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. Quais arcos possuem a mesma
ordenada, analisando apenas a primeira determinação positiva, que
os arcos de:
a) 55◦
b) 110◦
c) 300◦
d) 220◦
e) 2π5 r ad
f) 5π6 r ad
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Relação
FundamentalÂngulos Notáveis
Exercícios
Ângulos e
Arcos
Subdivisões do
grau
Ciclo Trigono-
métrico
Seno e Cosseno
Parametrização
da circunferência
Congruência de
Arcos
Exercícios
Tangente
Tangente
Definimos que o seno e o cosseno são as projeções ortogonais de um
ponto sobre os eixos das abscissas e ordenadas, respectivamente.
Vamos agora definir a tangente. Para isso, considere o seguinte
esquema:
Trigonometria
- Parte 1
Introdução
Trigonometria
no Triângulo
Retângulo
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Parametrização
da circunferência
Congruência de
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Tangente
Demonstração
Temos que OC = 1 e, por definição,{
senα = ACOC = AC =OB
cosα = O AOC =O A
Vamos demonstrar que DE = ACO A . Para isso, prolongue a semirreta
BC até intersectar DE no ponto que chamaremos I. Da semelhança
entre 4C EF e 4OC A, temos
C I
O A
= E I
AC
=⇒ E I = C I · AC
O A
Mas C I = AD, então
E I = AD · AC
O A
(5)
Trigonometria
- Parte 1
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no Triângulo
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Tangente
Demonstração
Agora, da semelhança entre 4ODE e 4C E I , temos:
OD
C I
= DE
E I
=⇒ AF = OD ·E I
C I
Mas OD = 1, então
DE = E I
C I
(6)
Substituindo a equação (5) na equação (6) obtemos:
DE =
AD·AC
O A
C I
= AD · AC
O A ·C I
Mas como AD =C I =OD −O A, temos:
DE = (OD −O A) · AC
O A · (OD −O A) =
AC
O A
(7)
Trigonometria
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Definição
Definimos, portanto,
DE = AC
O A
= t gα
A partir de demonstrações semelhantes, mostra-se que
OE = 1O A := secα
OH = 1OB := cossecα
F H = O AOB := cot gα
É imediato que se α= π2 , o segmento DE é indefinido.
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	Trigonometria no Triângulo Retângulo
	Relação Fundamental
	Ângulos Notáveis
	Exercícios
	Ângulos e Arcos
	Subdivisões do grau
	Ciclo Trigonométrico
	Seno e Cosseno
	Parametrização da circunferência
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