Tópico 16 - Soluções Matemáticas

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Taxa de variação
APRESENTAR O CONCEITO DE TAXA DE VARIAÇÃO
AUTOR(A): PROF. CLAUDINEIA HELENA RECCO
TAXA DE VARIAÇÃO
 
As taxas de variação ocorrem em todas as ciências. Podemos observar a taxa de variação quando ouvimos
em pesquisas que a população de uma determinada cidade varia em um determinado período. Que a
temperatura varia durante um período de 24 horas, de dois meses, qual a taxa de variação flui para entro ou
para fora de um reservatório, o estudo da curva de aprendizado, velocidade, a densidade, a corrente, a
potência na física, o custo e o lucro marginal na economia. Para obtermos esses valores devemos calcular a
taxa de variação. Em todos esses exemplos podemos estudar como a mudança que uma variável pode afetar
a segunda variável, o estudo que nos fornece esses valores é a taxa de variação. Quando estudamos a taxa
de variação em um certo contexto podemos observar se temos um crescimento ou decrescimento dentro do
estudo. (FLEMMING, 2007; GUIDORIZI, 2000; MUROLO, 2016, STEWART, 2009, VILCHES, 2010).
Para calcular a taxa de variação vamos ver o exemplo dado na tabela 1:
Tempo (horas) Temperatura °C Tempo (horas) Temperatura °C
0 -2 13 17
1 -2 14 17
2 -1 15 15
3 0 16 14
4 1 17 13
5 4 18 13
6 5 19 12
7 7 20 10
8 7 21 8
9 8 22 7
10 9 23 5
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Tabela 1: temperatura x tempo
Suponha que analisaremos a variação da temperatura entre1 hora até as 8 horas. A 1 horas a temperatura é
-2°C e as 8 horas 7 °C. Pela tabela 1 notemos que no intervalo de tempo mencionado a temperatura
aumentou. Queremos saber em quanto a temperatura aumentou. Assim temos a taxa de variação da
temperatura que é dada por:
           
Além da temperatura podemos estudar a variação do tempo como estamos estudando em um período de 24
horas podemos dizer que essa variação de 10ºC é alta. A variação de tempo entre 1 horas e 8 horas é dada
por:
 
 
TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA
 
A partir do conceito de limite de uma função onde estuda-se o comportamento de uma função nas
proximidades de um determinado ponto . Quando se fala em taxa de variação média podemos pensar de
forma semelhante, mas ao invés de estudar o comportamento da função em um ponto vamos estudar o
comportamento da função em um determinado período (intervalo), conforme FLEMMING, (2007);
GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART, (2009), VILCHES, (2010).
Voltando a tabela 1 podemos calcular a que taxa a temperatura varia com relação ao tempo no período da 1
horas as 8 horas como segue:
   
   
 por hora
Podemos conclui que a temperatura está aumentando no decorrer do período a uma taxa média de 1.43 °C
por hora.
Ainda considerando a tabela 1 podemos notar que no intervalo de tempo das 16 horas as 22 horas o
comportamento a temperatura não é o mesmo.
De fato 
   
   
 por hora
Calculando a taxa média de variação da temperatura podemos concluir que a temperatura está diminuindo
a uma taxa média de 0.86 °C por hora.
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x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x) 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8
Ampliando nossos estudos consideremos a função    para realizar o estudo de seu comportamento
e fazer a análise da taxa de variação média. Para tal construir o gráfico da função  .
Para a construção do gráfico vamos primeiro atribuir alguns valores e calcular o valor numérico da função
para os  atribuídos, em seguida vamos construir o gráfico no eixo cartesiano (gráfico 1).
Passo 1. Vamos construir uma tabela a partir da função .
 
 
 
 
Passo 2. Vamos construir agora o gráfico da função 
Nota-se no gráfico 1 que quando  varia de 1 a 2, o valor de   também varia, e varia de 0,5 a 2. Assim,
enquanto  varia de 1 unidade,    varia 1,5 unidades.
Podemos observar no gráfico 1 que se mantermos a variação da variável x em uma unidade (constate) as
variações da variávely não se mantem constante em 1.5 unidades. Estas variações encontradas foram de 0.5,
para variação de x de 0 a 1, de 1.5 na variação de x de 1 a 2, de 2.5 na variação de x de 2 a 3, de 3.5 na
variação de x de 3 a 4, e assim por diante.
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Vamos então considerar, para , dois valore  , e    para , dois valores (distintos)   e   com   ,
para podermos calcular a razão  e verificar o quanto a variável   cresce ou descreve no determinado
período (intervalo). Temos:
Para
Podemos dizer que entre 1 e 2, y cresce em média 1,5 unidades por unidade de x.
Para
Podemos dizer que entre 3 e 4, y cresce em média 3,5 unidades por unidade de x.
Para
Podemos dizer que entre 1 e 4, y cresce em média 2,5 unidades por unidade de x.
Para
Podemos dizer que entre -2 e -1, y decresce em média 1,5 unidades por unidade de x.
Para
Podemos dizer que entre -3 e -2, y decresce em média 2,5 unidades por unidade de x.
Para
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Podemos dizer que entre -3 e -1, y decresce em média 2 unidades por unidade de x.
Pelos exemplos podemos generalizar que a taxa média de variação, sendo   uma função definida num
intervalo aberto ,  e    dois pontos distintos  com valores pertencentes ao intervalo . 
A razão   representa a variação média da função por unidade que se acrescenta ou diminui no valor
de  entre  e  . (FLEMMING, 2007; GUIDORIZI, 2000; MUROLO, 2016, STEWART, 2009, VILCHES, 2010).
Assim, a taxa de variação média da função entre  e   é dada por:
Observação: A taxa de variação média pode ser positiva ou negativa dependendo dos pontos considerados.
(FLEMMING, 2007; GUIDORIZI, 2000; MUROLO, 2016, STEWART, 2009, VILCHES, 2010).
Exemplo:
No instante t=0, um corpo inicia um movimento me linha reta. Sua posição no intervalo t é dada por: 
Determine:
A velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2, 4];
Solução:
Para calcular a velocidade média usamos a formula da taxa de variação média da seguinte maneira:
Velocidade média é calculada por:
Assim:
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Observação: S(4) é o Valor numérico da função S(t) para t=4 e S(2) é o Valor numérico da função S(t) para
t=2.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Os exercícios foram extraídos de FLEMMING, (2007); GUIDORIZI, (2000); MUROLO, (2016), STEWART,
(2009), VILCHES, (2010).
1) Sendo , definida em   , calcule a taxa de variação média da função entre  e  .
Solução:
2)  Sendo , definida em , calcule a taxa de variação média da função entre 
 e  .
Solução:
 
3) A equação horária de uma partícula em movimento é S = 4t (Unidade SI: t em segundos e s em metros).
Determine a velocidade média da partícula entre os instantes t = 2s e t = 5s.
Solução:
 
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4) A equação da velocidade de uma partícula em movimento é v = t - 2t (Unidade SI: t em segundos e v em
metros por segundo). Determine aceleração média da partícula entre os instantes t = 1s e t = 6s.
Solução:
ATIVIDADE FINAL
Sabendo que a área de um quadrado é função de seu lado, determine a
variação média da área de um quadrado, em relação ao lado, quando
este varia de 2,5 a 3,0 m.
A. Taxa de variação média da área do quadrado é de 5.5.     
B. Taxa de variação média da área do quadrado é de 5.0. 
C. Taxa de variação média da área do quadrado é de .5.     
D. Taxa de variação média da área do quadrado é de 6.0 
Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de
saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois
de um tempo t (medido em dias a partirdo primeiro dia da epidemia) é
dado, aproximadamente, pela função , sendo que a
variação da moléstia epidêmica é dada pela função ,
assim pede-se:
a) Qual a taxa da expansão da epidemia após 4 dias?
b) Qual a taxa da expansão da epidemia após 8 dias?
c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia?
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A. Após 4 dias a moléstia estará se alastrando à razão de 70 pessoas por dia, após 8 dias a moléstia
estará totalmente controlada e no quinto dia foram atingindo o número de pessoas atingidas pela
moléstia será de 80 pessoas.
B. Após 4 dias a moléstia estará se alastrando à razão de 50 pessoas por dia, após 8 dias a moléstia
estará totalmente controlada e no quinto dia foram atingindo o número de pessoas atingidas pela
moléstia será de 43 pessoas.
C. Após 4 dias a moléstia estará se alastrando à razão de 48 pessoas por dia, após 8 dias a moléstia
estará totalmente controlada e no quinto dia foram atingindo o número de pessoas atingidas pela
moléstia será de 100 pessoas.
D. Após 4 dias a moléstia estará se alastrando à razão de 48 pessoas por dia, após 8 dias a moléstia
estará totalmente controlada e no quinto dia foram atingindo o número de pessoas atingidas pela
moléstia será de 43 pessoas.
De 1998 a 2005, a receita R (em milhões de dólares por ano) da
McDonald?s CORPARATION pode ser modelada por 
  , em que t representa o ano
e t=8 corresponde a 1998. Qual a taxa de variação média da receita da
McDonald?s entre 2000 e 2004 com relação ao tempo?
A. A taxa de variação da receita da McDonald's entre 2000 e 2004 é de $ 1.3956 milhões de dólares.   
B. A taxa de variação da receita da McDonald's entre 2000 e 2004 é de $ 1.7544 milhões de dólares.
C. A taxa de variação da receita da McDonald's entre 2000 e 2004 é de $ 1.8142 milhões de dólares.   
D. A taxa de variação da receita da McDonald's entre 2000 e 2004 é de $ 1.874 milhões de dólares.
REFERÊNCIA
FLEMMING, D. M. Cálculo A. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2007.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo.Vol.1. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
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Murolo, A. C e Bonetto, G. Matemática Aplicada a administração, economia e contabilidade. São Paulo:
Cengage Learning, 2016.
STEWART, J. Cálculo. 6ª ed. Vol.1. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
VILCHES, M. A. e CORRÊA M. L.. CÁLCULO: V. I. Departamento de Análise - IME UERJ: Rio de Janeiro. 2010. 
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