MATEMATICA FINANCEIRA- APOSTILA 04 17-10-2019

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MATEMÁTICA 
PROF. REINALDO PATRIC 
1 
 
RAZÃO,PROPORÇÃO,REGRA DE TRÊS E JUROS SIMPLES 
 
1 - RAZÃO 
1.1 - RAZÃO COMO COMPARAÇÃO ENTRE DOIS NÚMEROS: 
 
 
Razão entre dois números é o quociente indicado entre eles. 
 
Ex. A razão entre a : b é representada pela fração 
b
a
 
 Se a e b representam dois números racionais (com b ≠ 0), então a razão entre a e b é o 
quociente de a por b. O primeiro número é chamado antecedente e o segundo conseqüente. 
OBS.: As razões são escritas preferencialmente na forma de fração mais simples. 
1.2 - RAZÕES INVERSAS: 
 
Ex.: 
3
2
 e 
2
3
 O produto de duas razões inversas é sempre igual a 1. 
1.3 - RAZÕES IGUAIS: 
 
Se as frações que representam duas razões são equivalentes, então as razões dizem-se iguais. 
 
 Ex. 12 : 8 e 6 : 4. 
8
12
 = 
4
6
 são frações equivalentes. 
1.4 - RAZÃO ENTRE DUAS GRANDEZAS: 
 
É o quociente indicado entre os números que medem essas grandezas, numa mesma unidade. 
 
1. A razão de 4 cm para 7 cm. 
7
4
 
 
2. A razão de 3 kg para 600 g. 
1
5
 
 
1.5 - RAZÕES ESPECIAIS: 
1.5.1 - Escala: (1 : 1000) 
 
Escala de um desenho é a razão entre um comprimento no desenho e o correspondente 
comprimento real medidos numa mesma unidade. 
 
Exemplo: a escala 1 : 1000 significa que os comprimentos verdadeiros são 1.000 vezes 
maiores que os correspondentes comprimentos do desenho. 
Assim, 5 cm no desenho equivalem a 5.000 cm no terreno, ou 50 metros. 
Aplicação prática: 
Num mapa a distância entre duas cidades está representada por 2,5 cm. Se a escala usada 
é 1 : 10.000.000 qual é, em km, a distância entre as duas cidades? 
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2 
R= 250 km. 
1.5.2 – Velocidade média: (Km/h) 
 
Velocidade média é a razão entre um espaço percorrido e o tempo gasto para percorrê-lo. 
 
Aplicação prática: 
Um automóvel percorreu 240 km em 3 horas. Qual a velocidade média desse automóvel? 
 Vm = 80 km/h. 
1.5.3 - Densidade demográfica: (hab/km²) 
 
Densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes e o número que exprime a 
medida da superfície da região que habitam. 
 
Aplicação prática: 
Qual é a densidade demográfica de um país de área igual a 258.000 km² e que possua 
32.585.400 habitantes? 
Resposta: D = 
2km
hab
 D = 
000.258
400.585.32
 D = 126,3 hab/km². 
1.5.4 - Densidade de um corpo: (d) 
 
Densidade de um corpo é a razão entre a sua massa e o seu volume. d = m/v 
 
Aplicação prática: 
 Uma estátua de bronze tem 140 kg de massa e seu volume é de 16 dm
3
. Qual é a sua 
densidade? 
 
 Resposta: d = 
v
m
 d = 
316
140
dm
kg
 d = 8,75 kg/dm
3
 
Exercícios: 
1. Escreva a razão, sob forma de fração mais simples, das seguintes expressões: 
a) 7 meses para um ano. 
b) 300 poltronas ocupadas para 900 poltronas disponíveis. 
c) 10 metros para 2 dam. 
d) 0,8 litros para 200 cm
3
 (1 litro = 1 dm
3
) 
e) 20 metros para 2 dam. 
f) 5 metros para 0,5 km. 
g) a para b sendo (a e b ≠ 0) 
h) 40 dm
3
 para 20 litros. 
i) 5 kg para 100 gramas. 
2. Qual a razão igual à 
5
2
, cujo antecedente é igual a 8? 
3. Qual a razão igual a 
4
1
, cujo consequente é igual a 12? 
5. Qual é a razão igual a 
42
30
, cujo antecedente é igual a 5? 
6. Quem tem a maior razão de acertos: Antônio, que em 40 exercícios acertou 32 ou Paulo que 
em 36 exercícios acertou 28? 
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3 
7. A escala de trabalho é 1 : 1.000. Responda: 
a) 1 cm corresponde na realidade a quantos metros? 
b) 500 m correspondem na realidade a quantos quilômetros? 
c) 8 mm correspondem na realidade a quantos metros? 
8. Qual a densidade demográfica de um município de área igual a 258.000 km2 e que possua 
32.585.400 habitantes? 
9. Um trem parte da cidade A às 17:45 h e chega na cidade B às 21;45 h. Se a distância da cidade 
A até a cidade B é de 290 km, qual a velocidade média do trem nesse percurso? 
10. Um avião voa 1.800 km em 3 horas. Qual é a razão que dá o número de quilômetros 
percorridos para o número de horas empregadas no vôo? 
11. A distância entre São Paulo e Brasília é de 1.150 km. Qual a velocidade média de um ônibus 
que faz esse percurso em doze horas e meia? . 
12. Uma pedra preciosa tem 67,2 g de massa e ocupa um volume de 16 cm
3
. Qual a densidade 
dessa pedra preciosa? 
 13. Calcule da densidade demográfica de Natal (RN), cuja área de 172 Km2, tinha 1989 uma 
população de 544.000 habitantes? 
14. Na planta de uma casa cada 5 cm desenhados estão representando 5 metros. Qual é a escala 
empregada? 
2 - PROPORÇÕES 
 
 
Proporção é a igualdade entre duas razões 
 
Sejam os números 3, 4, 6 e 8, onde a razão dos dois primeiros (3 : 4) é igual à razão dos 
dois últimos (6 : 8). 
Então 3 : 4 = 6 : 8 e dizemos que os números 3, 4, 6 e 8, nessa ordem, formam uma proporção 
2.1 - INDICAÇÃO E LEITURA: 
3 : 4 = 6 : 8 ou 
4
3
 = 
8
6
 ou 3 : 4 : : 6 : 8 
(lê-se três está para quatro assim como seis está para oito) 
Os números 3, 4, 6 e 8 são chamados termos da proporção, sendo o primeiro e o quarto os 
extremos e o segundo e o terceiro os meios. 
Os números 3 e 6 são os antecedentes 4 e 8 os conseqüentes da proporção. 
2.2 - PROPRIEDADE FUNDAMENTAL 
Se quatro números escritos numa certa ordem, todos diferentes de zero, são tais que o 
produto do primeiro pelo quarto é igual ao produto do segundo pelo terceiro, então os quatro 
números, nessa ordem, formam uma proporção. 
 
Se quatro números formam uma proporção, então o produto dos 
extremos é igual ao produto dos meios. 
 
 
2.3 - QUARTA PROPORCIONAL DE TRÊS NÚMEROS DADOS 
Se quatro números formam uma proporção, como por exemplo: 3, 4, 6 e 8, então dizemos 
que o quarto número, 8 é a quarta proporcional dos três primeiros números: 3, 4 e 6. 
Aplicação prática: 
Determinar a quarta proporcional dos números 3, 5 e 12. 
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4 
5
3
 = 
x
12
 => 3.x = 5.12 => x = 
3
12.5
 => x = 20 
2.4 - PROPORÇÃO CONTÍNUA 
Uma proporção que apresenta meios iguais é denominada contínua. 
Exemplo: 2 : 4 = 4 : 8 
O meio comum (4, no exemplo) é chamado de média proporcional ou média geométrica 
dos extremos (2 e 8). O último termo (8) chama-se terceira proporcional dos outros dois (2 e 4) 
A determinação da terceira proporcional de dois números e da média proporcional de 
dois números é feita aplicando-se a propriedade fundamental das proporções. 
 
Aplicação prática: 
1) Calcular a terceira proporcional de 24 e 36. 
Resposta: 
36
24
 = 
x
36
 => 24.x = 36.36 => x = 
24
36.36
 => x = 54 
 
2) Calcular a média proporcional de 4 e 16. 
 
Resposta: 
x
4
 = 
16
x
 => x . x = 4.16 => x² = 64 => x = 64 => x = 8 
2.5 - PROPRIEDADES USUAIS DAS PROPORÇÕES: 
2.5.1 - Propriedade da Composição: 
 
Em toda proporção a soma dos dois primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo, 
assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro ou quarto. 
 
 
Se 
b
a
 = 
d
c
 então 
a
ba 
 = 
c
dc 
 ou 
b
ba 
 = 
d
dc 
 
 
Exemplo: 
 
Se 
4
3
 = 
8
6
 então 
3
43
 = 
6
86 
 ou 
4
43
 = 
8
86 
 
 
 
Aplicação prática: 
 
 Os volumes de dois cubos estão entre si assim como 3 está para 4. Calcular o volume de 
cada cubo, sabendo-se que a soma desses volumes é 21 dm
3
. 
 







21
4
3
ba
b
a
 
a
ba 
 = 
3
43
 => 
a
21
= 
3
7
 => a = 
7
3.21
 => a = 9 
 
Como a + b = 21 vem: 9 + b = 21 => b = 21 – 9 => b = 12 
2.5.2 - Propriedade da decomposição: 
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5 
 
Em toda proporção a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro ou para o 
segundo, assim com a diferença dosdois últimos está para o terceiro ou quarto. 
 
Se 
b
a
 = 
d
c
 então 
a
ba 
 = 
c
dc 
 ou 
b
ba 
 = 
d
dc 
 
 
Exemplo: Se 
2
5
 = 
8
20
 então 
5
25 
 = 
20
820 
 ou 
2
25 
 = 
8
820 
 
 
Aplicação prática: 
Calcular dois números sabendo-se que a diferença entre eles é 20 e a razão é 7 : 3. 
 
Temos: 







3
7
20
b
a
ba
 
3
37 


b
ba
 => 
3
420

b
 => b = 
4
3.20
 => b = 15 
 
Como a – b = 20, temos: a – 15 = 20 => a = 20 + 15 => a = 35 
 
2.5.3 - Propriedade dos Antecedentes e Conseqüentes, relativa à soma: 
 
Em toda proporção a soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) 
dos conseqüentes, assim como um antecedente está para o seu conseqüente. 
 Para a > c e b > d. 
 
Se 
b
a
 = 
d
c
 então 
db
ca


 = 
b
a
 = 
d
c
 ou 
db
ca


 = 
b
a
 = 
d
c
 
 
Exemplo: 
 
Se 
6
8
 = 
3
4
 então 
36
48


= 
6
8
 = 
3
4
 ou 
36
48


= 
6
8
= 
3
4
 
 
 
Essa propriedade é também verdadeira se as razões iguais forem mais de duas. 
 
b
a
 = 
d
c
 = 
f
e
 => 
fdb
eca


 = 
b
a
 = 
d
c
 = 
f
e
 
 
Aplicação Prática: 
Calcular os valores de x, y, z, de modo que: 
 







432
180
zyx
zyx
 
2432
xzyx



 => 
29
180 x
 => 
9
2.180
x => x = 40 
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6 
 
39
180 y
 => y =
9
3.180
 => y = 60 
 
 
49
180 z
 => z = 
9
4.180
 => z = 80 
 
2.5.4 - Propriedade dos Antecedentes e Conseqüentes, relativa ao produto: 
 
Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim 
como o quadrado de um antecedente está para o quadrado de seu conseqüente. 
 
 
Se 
d
c
b
a
 então 
2
2
2
2
.
.
d
c
b
a
db
ca
 
 
Exemplo: 
8
6
4
3
 então 
2
2
2
2
8
6
4
3
8.4
6.3
 
 
Conseqüência: Em toda proporção, os quadrados de seus termos também formam uma 
proporção. 
Assim: Se 
d
c
b
a
 então 
2
2
2
2
d
c
b
a
 
 
Exemplo: Se 
8
6
4
3
 então 
2
2
2
2
8
6
4
3
 e 
64
36
16
9
 
Aplicação Prática: 
 Quais são os dois números que estão na razão 4 : 5 e cujo produto é 180? 
 







180.
5
4
ba
b
a
 (pm) 
54
ba
 aplicar a 4ª propriedade. 
 
2
2
45.4
. aba
 => 
1620
180 2a
 => a
2
 = 
20
16.180
 => a
2
 = 144 => 144a => a = 12 
 
Se a = 12, então 12 . b = 180 => b = 180 : 12 => b = 15. 
 
Exercícios: 
1. Determine a quarta proporcional dos seguintes números: 
a) 4, 6 e 8 b) 6, 19 e 18 c) 3, 5 e 15 d) 4, 
3
2
 e 5 
e) 0,3; 1,2 e 3,8 f) 0,2; 0,5 e 0,7 
 
2. Calcule a terceira proporcional dos seguintes números: 
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7 
a) 4 e 8 b) 2,4 e 5,4 c) 
4
3
1 e 
5
4
2 d) 1 e 0,4 
e) 10 e 100 f) 
2
1
 e 6 
3. Calcule a média proporcional dos números: 
a) 8 e 2 b) 6 e 24 c) 0,2 e 0,8 d) 40 e 160 
e) 
7
4
 e 
7
9
 f) 
3
2
 e 
12
8
 
4. Determine dois números sabendo-se que a razão entre eles é 1/3 e a soma de seus quadrados é 
90. (3 e 9) 
5. Determine as dimensões de um retângulo sabendo-se que elas estão na razão 4/3 e que a área 
desse retângulo é igual a 48 m
2
. (16 e3) 
6. O produto de dois números é 60. A razão entre eles e 3/5. Determine esses números. (12 e 5) 
7. Determine a base e a altura de um triângulo cujo produto é igual a 48 m
2
, sabendo-se que a 
razão entre elas é 3. (12 e 4) 
8. A área de um triângulo retângulo é 600 cm
2
 e seus catetos estão entre si como 3 está para 4. 
Calcule os catetos. (30 e 40) 
9. Um salão de festas, de forma retangular, tem área de 1.000 m
2
. Calcule as dimensões do salão, 
sabendo-se que estão na razão de 5 : 8. (25 e 40) 
10. Os ângulos de um quadrilátero estão entre si como os números 2, 3, 5 e 8. Determine os 
valores desses ângulos, sabendo-se que a soma deles é igual a 360°. (40, 60, 100, 160) 
 
3 - NÚMEROS PROPORCIONAIS: 
3.1 - NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS: 
 Seja uma sucessão de números: 5 8 10 
Multiplicado por um mesmo número (2 por exemplo), obtém-se uma nova sucessão: 
 10 16 20 
 Observe que a razão entre os números dessas sucessões é sempre a mesma. 
 
10
5
 = 
16
8
 = 
20
10
 = 
2
1
 (razões iguais) 
 Nestas condições, dizemos que os números dessas sucessões são diretamente 
proporcionais. A razão igual (1/2 no exemplo) entre dois números correspondentes é 
denominada fator de proporcionalidade. 
Aplicação prática: 
 Sabendo-se que os números das sucessões 
8
a
 e 
d
3
 são diretamente proporcionais e que o 
fator de proporcionalidade é 1/4 determinar os valores de a e d. 
4
1
8

a
 => 
4
1.8
a => a = 2 
 
4
13

d
 => 
1
4.3
d => d = 12 
 
3.2 - NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS: 
 
 Sejam as duas sucessões de números: │4 6 8 
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8 
 │12 8 6 
Esses números, que não são diretamente proporcionais pois (
12
4
 ≠ 
8
6
 ≠ 
6
8
), têm uma propriedade 
comum: o produto do antecedente pelo seu conseqüente é sempre o mesmo (48). 
 
4 x 12 = 6 x 8 = 8 x 6 
 
Nestas condições, dizemos que os números 4 6 8 
 12 8 6 
São inversamente proporcionais e que o produto comum (48) é o fator de proporcionalidade. 
 
Aplicação prática: 
 
Determinar a e b na sucessão de números inversamente proporcionais: 
 │52 a 13 
 │1 26 b 
Como os números são inversamente proporcionais, temos: 
 
 52 x 1 = a x 26 = 13 x b => a x 26 = 52 => a = 
26
52
 => a = 2 
 b x 13 = 52 => b = 
13
52
 => b = 4 
Exercícios: 
1. Repartir 32 em partes diretamente proporcionais aos números 3, 5 e 8. 
2. Repartir 92 em partes diretamente proporcionais a 
4
3
, 
3
2
 e 
2
1
. 
3. Repartir 144 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 4 e 12. 
4. Repartir 2.500 em partes inversamente proporcionais a 
2
3
, 
4
1
 e 
8
9
. 
5. Repartir 3.900 em partes inversamente proporcionais aos números 1, 
7
1
 e 0,2. 
Exercícios de recapitulação: 
1. Determine a forma mais simples de cada uma das seguintes razões: 
a) 12 : 120 b) 0,3 : 0,33 c) 
2
1
1
3
2
.
4
3
.
3
1
2
1


 d) 
5
1
3
2
.
10
1
25
1
5
3


 
2. Marcelo tinha 1,57 m de altura na 5ª série e agora na 6ª série mede 1,61 m. Determine a razão 
da altura atual para a do ano anterior. 
3. Se numa prova de 15 questões Lúcia acertou 12 e numa de 20 questões Ana acertou 18, quem 
teve a maior razão de acertos? 
4. Na planta de uma casa 2 cm representam 4 m. Qual a escala empregada? 
5. Num baile havia 3 homens para cada 2 mulheres. Se havia 90 homens, quantas eram as 
mulheres? Quantas pessoas havia no baile? 
6. Dois cubos são tais que a resta de um é a terça parte da aresta do outro. Calcule as razões entre 
os volumes. 
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9 
7. Desenhe numa escala 1:100 um canteiro retangular de 3 m de comprimento e 2,5 m de largura. 
8. Desenhe numa escala 1:30 um canteiro circular de 1,5 m de raio. 
9. Num guia rodoviário, uma estrada que liga duas cidades x e y tem 12,8 cm de comprimento. Se 
a escala usada foi de 1:1.000.000, qual é a distância real entre as duas cidades? 
10. Um carro percorreu 600 km em 8 h. Qual foi a sua velocidade? 
11. Calcule a densidade demográfica de uma sala de aula de 8 m de comprimento por 6 m de 
largura, freqüentada por 41 alunos mais o professor. 
12. Numa cidade A, o último censo registrou 58.000 habitantes e numa outra B, registrou 28.000. 
Qual tem maior densidade demográfica se a primeiratem 50.000 km
2
 e a segunda 6.000 km
2
? 
13. Calcule o valor de x em: 
a) 
4
3
1
1
32
9
.
3
1
1
0
2
x















 b) 
  05,05,01
8.
4,05,0
25,0
2
3
x









 
14. Calcule a 4ª proporcional dos seguintes números: 
a) 5, 2 e 1 b) 
4
3
, 3 e 
2
1
. 
15. Calcule a 3ª proporcional dos seguintes números: 
a) 
16
1
 e 
2
1
 b) 0,3 e 
6
1
 
16. Calcule a média proporcional dos seguintes números: 
a) 2 e 0,18 b) 4 e 2 (com aprox. 0,001) 
c) 1 e 5 (com aprox. 0,01) d) 
5
3
 e 
9
5
 (com aprox. 0,01). 
17. Decomponha 175 em duas parcelas tais que estejam entre si como 8 está para 27. 
18. Calcule o volume de um cone, sabendo-se que sua altura está para o raio da base assim como 
8 está para 5 e a diferença entre essas dimensões é de 9 cm. (V cone = 
3
.. 2 hr
; π = 3,14). 
19. A área de um retângulo é 126 cm
2
. Calcule suas dimensões, sabendo-se que estão entre si 
como 2 : 7. 
20. Divida 51 em partes diretamente proporcionais a 
5
2
, 8 e 12. 
21. Divida 3.800 em partes inversamente proporcionais a 
5
2
, 
5
16
 e 
5
32
. 
22. Dois amigos formaram uma sociedade. O primeiro entrou com R$ 38.000,00 e o segundo 
com R$ 62.000,00. No fim de três meses lucraram R$ 25.000,00. Que parte desse lucro coube a 
cada um? 
23. Determine a medida de cada um dos ângulos de um triângulo, sabendo-se que a soma deles é 
180° e que essas medidas são inversamente proporcionais aos números 1, 6 e 3. 
24. Foram repartidos 62 lápis entre três crianças em partes inversamente proporcionais às idades 
de cada uma (9 anos, 3 anos e 12 anos respectivamente) e diretamente proporcionais ao número 
de irmãos de cada uma (1, 2 e 1 respectivamente). Quanto recebeu cada uma 
4 - GRANDEZAS PROPORCIONAIS 
4.1 - GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS: 
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10 
 Duas grandezas dizem-se diretamente proporcionais ou simplesmente proporcionais 
quando aumentando (ou diminuindo) uma delas de duas, três, quatro, etc. vezes o seu valor, a 
outra também aumenta (ou diminui) de duas, três, quatro, etc. vezes o respectivo valor. 
 
Consideremos as grandezas: Comprimento do tecido custo 
 
 Se 3 metros custam R$ 18,00 
 então 6 metros custarão R$ 36,00 
 e 9 metros custarão R$ 54,00 
 Logo, quando o comprimento do tecido torna-se duplo, triplo, etc., o mesmo acontece 
com o respectivo custo e as duas grandezas diz-se que são diretamente proporcionais. 
 A propriedade que caracteriza a existência de grandezas diretamente proporcionais é a 
seguinte: 
 
Em duas grandezas diretamente proporcionais a razão entre dois valores de uma delas é igual à 
razão entre os dois valores correspondentes da outra. 
 
 Assim, no exemplo citado, as flechas indicam que as razões resultaram de grandezas 
diretamente proporcionais. Temos, portanto: 
 
6
3
 
36
18
 => 
6
3
=
36
18
 
4.2 - GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS: 
 Duas grandezas, dizem-se inversamente proporcionais quando aumentando (ou 
diminuindo) uma delas de duas, três, quatro, etc. vezes o seu valor, a outra diminui (ou aumenta) 
de duas, três, quatro, etc. vezes o respectivo valor. 
Sejam as grandezas: N° de operários tempo 
 
 Se 5 operários fazem certo trabalho em 12 dias 
 então 10 operários farão o mesmo trabalho em 6 dias 
 e 15 operários farão o mesmo trabalho em 4 dias. 
 
 Logo, quando o número de operários torna-se duplo, triplo, etc., o tempo empregado 
para realizar o mesmo trabalho torna-se a metade, um terço, etc. e as duas grandezas são 
inversamente proporcionais. 
 A propriedade que caracteriza a existência de grandezas inversamente proporcionais é a 
seguinte: 
 
Em duas grandezas inversamente proporcionais a razão entre dois valores de uma delas é igual 
ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra. 
 
 Agora as flechas são de sentido contrário. Logo: 
 
 
10
5
 
6
12
 => 
10
5
12
6
 
15
10
 
4
6
 => 
15
10
6
4
 
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11 
 
5 - REGRA DE TRÊS 
5.1 - REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA: 
 
É uma técnica de cálculo, mediante a qual são resolvidos problemas que envolvem duas 
grandezas diretamente proporcionais. 
 
 Conhecido um par de valores correspondentes das duas grandezas, procura-se um segundo 
valor de uma delas que corresponda a um segundo valor assinalado na outra. 
 Se as grandezas são diretamente proporcionais, a regra de três diz-se direta. 
 A técnica para resolver problemas consiste em obter com os três dados e a incógnita 
procurada uma proporção e dela tirar o valor desejado. 
Exemplo: 
 Se 15 m de certo tecido custam R$ 90,00, quanto custarão 32 m desse tecido? 
 
 Indicando por x o preço dos 32 m de tecido, temos a seguinte disposição prática: 
 
↓ 15 -------------- 90 ↓ 
↓ 32 -------------- x ↓ 
 
 Como neste exemplo as grandezas comprimento e custo são diretamente proporcionais, 
assinalamos essa variação na disposição prática mediante flechas no mesmo sentido. 
 A proporção resultante é: 
 

32
15
x
90
 onde x = 
15
90.32
 => x = 192 
 
 Logo, os 32 m de tecido custarão R$ 192,00 
 
5.2 - REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA: 
 
 
É uma técnica de cálculo, mediante a qual são resolvidos problemas que envolvem duas 
grandezas inversamente proporcionais. 
 
 Conhecido um par de valores correspondentes das duas grandezas, procura-se um segundo 
valor de uma delas que corresponda a um segundo valor assinalado na outra. 
 Se as grandezas são inversamente proporcionais, a regra de três diz-se inversa. 
Exemplo: 
 Se 6 operários levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de futebol, 
quantos operários seriam necessários para levantar o muro em 3 dias. 
 Como o tempo necessário para efetuar uma obra é inversamente proporcional ao 
número de operários empregados, temos a seguinte disposição prática, agora assinalada com 
flechas de sentidos contrários: 
 
↓ 6 operários------------------ 10 dias ↑ 
↓ x operários ----------------- 3 dias ↑ 
 
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12 
 Invertendo a segunda razão (10 / 3), resultará a seguinte proporção: 
 

x
6
10
3
 onde x = 
3
10.6
 => x = 20 
 
 Portanto, são necessários 20 operários para levantar o muro em 3 dias. 
 
Exercícios: 
1. Cinco operários fazem um serviço em 8 dias. Se forem contratados mais 3 operários, em 
quantos dias ficaria pronto o serviço? 
2. Se uma torneira enche 1/6 de um tanque em uma hora, quanto tempo levará para encher o 
tanque todo? 
3. Calcule a altura de um edifício que projeta uma sombra de 19,60 m. no mesmo instante 
em que um bambu de 3,8 m, plantado verticalmente, projeta uma sombra de 4,90 m. 
4. Uma roda dá 2.376 voltas em 9 minutos. Quantas voltas dará em 1 h 27 min? 
5. Um automóvel percorre um determinado trajeto em 2 horas, com a velocidade de 40 
km/h. Se triplicar a velocidade, para percorrer o mesmo trajeto, qual será o tempo do 
percurso? 
6. Cinco homens, em 8 dias, ganham US$ 480,00. Quantos dias seriam necessários para 9 
homens ganharem US$ 2.376,00? 
7. Para alimentar uma família de 6 pessoas durante dois dias, são necessários 3 litros de 
leite. Para alimentá-los durante 5 dias, estando ausentes duas pessoas, quantos litros de 
leite serão necessários? 
5.3 - REGRA DE TRÊS COMPOSTA: 
 
É uma técnica de cálculo empregada para resolver problemas que envolvem 
mais de duas grandezas. 
 
 A grandeza cujo valor é procurado pode ser diretamente ou inversamente proporcional a 
todas as outras ou ainda diretamente proporcional a umas e inversamente proporcional a outras. 
Aplicação Prática: 
1. Em 6 dias de trabalhos aprontam-se 720 uniformes escolares fazendo funcionar 16 máquinas 
de costura. Em quantos dias de podem aprontar 2.160 uniformes escolares, fazendo funcionar 12 
máquinas iguais às primeiras?Temos a seguinte distribuição prática: 
 
 Dias Uniformes Máquinas 
↓ 6 720 ↓ 16 ↑ 
↓ x 2.160 ↓ 12 ↑ 
 
 Invertendo os valores correspondentes à 3ª grandeza: 
 
16.2160
12.7206

x
 
 
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13 
 Lembrando a propriedade que caracteriza a existência de uma grandeza diretamente 
proporcional a várias outras (os valores que exprimem sua medida são diretamente proporcionais 
aos produtos dos valores correspondentes das outras), vem: 
 
16.2160
12.7206

x
 => 
12.720
16.2160.6
x => x = 24 dias 
 
 
2. Foram empregados 24 kg de fio para tecer 120 m de brim de 0,82 m de largura. Quantos 
metros de brim de 1,23 m de largura serão tecidos com 30 kg do mesmo fio? 
 
 Quilos Comprimento Largura 
 ↓ 24 120 m ↓ 0,82 m ↑ 
 ↓ 30 x ↓ 1,23 ↑ 
 
82,0.30
23,1.24120

x
 => 
23,1.24
82,0.30.120
x => x = 100 m 
 
Exercícios: 
1) Um operário levou 10 dias de 8 horas para fazer 1.000 m. de tecido. Quantos dias, de 6 horas 
levaria para fazer 2.000 m de um tecido que apresenta dificuldade igual a ¾ do primeiro? 
 (20 dias) 
2) Foram empregados 36 kg de fio para tecer 126 m de tecido com 0,60 m de largura. Pergunta-
se: quantos metros de tecido de 0,72 m de largura se podem tecer com 48 kg do mesmo fio? 
 (140 m) 
3) Uma equipe de mineiros composta de 15 homens extraiu, em 30 dias, 3,5 toneladas de carvão. 
Se esta equipe for aumentada para 20 homens, em quanto tempo será extraída a mesma 
quantidade de carvão? (22,5 d) 
4) Se três homens podem arar um campo de 8 ha em 5 dias, trabalhando 8 horas diárias, em 
quantos dias 8 homens poderão arar 192 ha trabalhando 12 horas diárias? (30 d) 
5) Para o piso de uma sala empregaram-se 750 tacos de madeira de 45 cm de comprimento por 8 
cm de largura. Quantos tacos, de 40 cm de comprimento por 7,5 de largura, são necessários para 
um piso cuja superfície é o dobro da anterior? (1800 t) 
6) Três operários trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo 
tipo produzirão sete operários trabalhando 9 dias? (1.400 peças) 
7) Duas máquinas produzem 32 peças de um certo produto em 4 dias. Quantas peças produzirão 5 
máquinas iguais as primeiras em 3 dias? (60 peças) 
8) Um motociclista percorre 120 km em 2 dias, durante 3 horas por dia. Em quantos dias 
percorrerá 500 km rodando 5 horas por dia? (5 dias) 
9) Em uma tecelagem, 12 teares produzem 600 m de tecido em 5 dias trabalhando 8 horas por 
dia. Quantas horas por dia deverão trabalhar 15 teares para produzirem 1.200 m do mesmo tecido 
em 8 dias? (8 horas por dia) 
10) Numa fábrica de calçados trabalham 16 operários que produzem em 8 horas de serviço diário, 
240 pares de calçados. Quantos operários são necessários para produzir 600 pares de calçados por 
dia, com 10 horas de trabalho? (32 operários) 
11) Em 30 dias uma frota de 25 táxis consome 100.000 litros de combustível. Em quantos dias 
uma frota de 36 táxis consumirá 240.000 litros de combustível? (50 dias) 
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14 
12) Para construir uma ponte em 75 dias de 8 horas diárias de trabalho foram contratados 100 
operários. Como se deseja terminar a obra em 40 dias de 10 horas de trabalho determine quantos 
operários a mais devem ser contratados? (50 operários) 
13) Um edifício é construído em 18 meses por 20 operários trabalhando 10 horas por dia. Em 
quanto tempo esse edifício seria construído, se fossem demitidos 5 operários e o restante 
trabalhasse com um jornada de 12 horas por dia? (20 meses) 
14) Um folheto enviado pela Corsan informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, 
em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 litros de água. Na casa de Helena, uma torneira 
esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram 
desperdiçados? (250 litros) 
15) Meia dúzia de datilógrafos prepara 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafos, 
com a mesma capacidade, prepararão 800 páginas? (15 dias) 
16) Numa fábrica de calçados trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas diárias de 
serviço, 240 pares de calçados por dia. Quantos operários serão necessários para produzir 600 
pares de calçado por dia, se a jornada de trabalho diária for de 10 horas? (32 op) 
17) Durante 60 dias, 10 máquinas, funcionando um certo número de horas por dia, produzem 
90.000 peças. Qual é o número de dias que 12 dessas máquinas, funcionando o mesmo número de 
horas por dia, levarão para produzir 135.000 peças? (75 dias) 
18) Dois carregadores levam caixas de um depósito para um caminhão. O primeiro leva 4 caixas 
por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O segundo leva 6 caixas por vez e demore 5 minutos 
para ir e voltar. Mantendo o mesmo ritmo, enquanto o primeiro leva 240 caixa, quantas caixas 
leva o segundo? (216 cx) 
19) Uma tonelada de ração alimenta 20 vacas durante 30 dias. Quantos quilogramas de ração 
serão necessários para alimentar 30 vacas durante 75 dias? (3.750 Kg) 
20) Em uma granja, 120 galinhas produzem em média 100 dúzias de ovos em 10 dias. Quantas 
dúzias de ovos serão produzidas por 80 galinhas em 18 dias? (120 duz) 
6 - PORCENTAGEM 
 
Porcentagem é a razão que tem 100 por conseqüente. 
 
100
50
 = 50% (lê-se “50 por cento”) 
Se uma loja estiver dando 30% de desconto para qualquer mercadoria, então o valor desse 
desconto é chamado porcentagem. 
O cálculo da porcentagem é feito aplicando-se a técnica da “Regra de Três Simples”. 
Aplicação prática: 
1. Ao comprar uma camisa de R$ 120,00, obtive 20% de desconto no preço. De quanto foi esse 
desconto (porcentagem)? 
 
120 ------------ 100% 
 x ------------ 20% x = 
100
20.120
 x = 24,00 
 
2. Vendi um relógio por R$ 170,00 com 15 % de prejuízo. Quanto havia pago por ele? 
 
170 ----------- 85% 
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15 
 x ----------- 100% x = 
85
100.170
 x = 200,00 
 
3. Vendi um terreno por R$ 4.800,00 com 20% de lucro. Quanto eu havia pago por ele? 
 
 4.800 ---------- 120 
 x ---------- 100 x = 
120
100.4800
 x = 4.000,00 
Exercícios: 
1. Determine quanto por cento é R$ 500,00 de R$ 2.500,00. 
2. Uma pessoa vende sua casa por R$ 55.200,00 tendo um lucro de 15%. Quanto pagou pela 
casa? 
3. Papai comprou um terreno à vista e obteve um abatimento de 20%, equivalente a R$ 3.000,00. 
Quanto pagou por ele? 
4. Numa certa excursão participaram 27 rapazes. Sabendo que 46% dos excursionistas são moças, 
quanto por cento de rapazes participou dessa excursão e qual o total de excursionistas? 
5. Uma casa foi comprada por R$ 48.000,00 e vendida por R$ 53.760,00. Qual foi a taxa de lucro 
dessa transação? 
6. Na última avaliação de minha classe, faltaram: 5% dos alunos por doença e 5% por motivo de 
viagem. Quantos alunos fizeram a avaliação, se a classe tem 40 alunos? 
8 - JURO SIMPLES: 
8.1 - CAPITAL: (C) - Será usado no sentido restrito de dinheiro, quer seja emprestado ou 
tomado por empréstimo. 
8.2 - TAXA: Na prática financeira, a grandeza do juro é definida por um coeficiente denominado 
taxa. São duas as taxas habitualmente usadas: 
 
►Taxa unitária (i) – que representa o juro da unidade de um capital num determinado 
período tomado para unidade de tempo. Ex.: Se o juro do capital 1 real em 1 ano é 5 
centavos (R$ 0,05), diz-se que a taxa unitária anual de juro é 0,05. De acordo com a 
Notação Universal, representaremos por “i” essa taxa. 
 
►Taxa percentual (r) – que representa o juro do capital 100 no período tomado para 
unidade de tempo. Ex.: Se o capital 100 reais rende 5 reais em um ano, diz-se que a taxa 
anual de juro é cinco por cento (5%). Concluímos, então, que a taxa percentual é iguala 
100 vezes a taxa unitária correspondente. 
8.3 - TEMPO: (t) - É o período pelo qual o capital foi emprestado ou aplicado. (dia, mês, 
bimestre, trimestre, semestre, ano, etc.). 
8.4 - JURO: (j) - Representa a soma em dinheiro que deve ser paga pelo direito de se dispor 
temporariamente de um capital, sendo, portanto um prêmio em dinheiro que o emprestador 
recebe, além da restituição integral do capital cedido. 
Ou ainda, juro é o “aluguel” ou o “prêmio” que se paga ou se recebe sobre o dinheiro que 
se toma emprestado ou que se empresta. 
Assim, se uma pessoa empresta a outra a importância de R$ 1.000,00 e após um ano 
recebe a quantia emprestada mais R$ 120,00 como prêmio por esse empréstimo, diremos que 
esses R$ 120,00 representam o juro do capital emprestado e correspondem a 12% de seu valor em 
um ano. 
 Podemos então observar que o juro é uma grandeza variável, diretamente proporcional: 
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16 
 à quantia emprestada que é denominada capital (C); 
 ao tempo pelo qual esse capital foi emprestado (t); 
 à taxa (i) que é a razão por cento entre a compensação (j) e a quantia 
emprestada (C), numa unidade de tempo (d, m, a). 
Exemplo: 
Se um capital 100 rende i em 1 ano, quanto de j renderia o capital C em t anos? 
 
Capital Juro Tempo 
C
100
 
j
r
 
t
1
 => 
t
x
Cj
r 1100
 => 
tCj
r
.
100
 
 
 
j .100 = C.r.t => j = 
100
.. trC
 mas não queremos taxa percentual (r) e como a taxa unitária 
(i) é igual a r/100, temos que j = Cit. 
 
Exemplo: 12% ao ano, 





100
12
 equivale a uma taxa unitária de 0,12 a.a. 
8.5 - FÓRMULA PARA CÁLCULO DO JUROS: 
 
j = Cit 
 
Onde: 
 j = Juro que remunera o capital expresso monetariamente. 
 C = Capital emprestado expresso monetariamente 
 i = taxa unitária da transação expresso em % 
 t = tempo expresso em dia, mês, ano, etc. 
 
Nota: 
Com esta fórmula podemos resolver qualquer problema sobre juros simples, desde que a taxa 
(i) e o tempo (t) estejam na mesma unidade de tempo. 
 
 Por exemplo: Se a taxa for 1% ao ano, o tempo deverá estar em anos; se for 1% ao mês, o 
tempo deverá também estar em mês. 
Técnica de redução da unidade de tempo: 
 
1°) Reduzir 5 anos em meses. 
 1 ano = 12 meses 5 anos = 5 x 12 m = 60 meses 
 
2°) Reduzir 3 meses em anos. 
 1 mês = 1/12 do ano 3 meses = 3 x 1/12 a 3/12 a 1/4 ano. 
 
3°) Reduzir 100 dias em meses. 
 1 dia = 1/30 do mês 100 dias = 100 x 1/30 m 100/30 m 10/3 meses. 
 
4°) Reduzir 1 ano 5 meses 10 dias em meses. 
 Sugestão: reduza tudo para a menor unidade (dias) e depois para a unidade pedida. 
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17 
 1 x 360 d + 5 x 30 d + 10 d = 520 dias 
 520 d = 520 x 1/30 m 520/30 m 52/3 meses. 
Aplicação prática: 
1. Calcular o juro produzido por um capital de R$ 30.000,00 à taxa de 3% ao mês durante 1 ano. 
.j = ? (Sendo a taxa (i) ao mês devemos reduzir o tempo (t) para meses). 
 C = 30.000 1a = 12 m 
 i = 3% /100 = 0,03 usar sempre taxa unitária (r/100 = i) 
 t = 1 a = 12 meses. 
 
Aplicando a fórmula: j = Cit j = 30.000 x 0,03 x 12 j = R$ 10.800,00 
2. Um certo capital à taxa de 36% ao ano rendeu R$ 6.240,00 de juro, durante 5 meses. 
Determinar o valor desse capital. 
 j = 6.240 
 C = ? 
 I = 36% ou 0,36 aa 
 t = 5 m ou 5/12 a 
 
Aplicando a fórmula: 
 
j = Cit 6.240 = C x 0,36 x 5/12 0,15C = 6.240 C = R$ 41.600,00 
Exercícios: 
1. Calcule os juros produzidos por: 
a) R$ 8.000,00 à taxa de 32% ao ano, em 2 anos. (R$ 5.120,00) 
b) R$ 3.500,00 à taxa de 46% ao ano, em 18 meses. (R$ 2.415,00) 
c) R$ 48.600,00 à taxa de 4% ao mês, durante 90 dias. (R$ 5.832,00) 
d) R$ 25.000,00 à taxa de 2.3/4% ao mês, durante 2 a 6 m 12 d. (R$ 20.900,00) 
2. Determine o capital que produziu os juros de: 
a) R$ 50.000,00, à taxa de 25% ao ano, durante 2 anos. (R$ 100.000,00) 
b) R$ 26.400,00, à taxa de 2% ao mês, durante 1 a 10m. (R$ 60.000,00) 
c) R$ 75.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante 1 ano. (R$ 250.000,00) 
d) R$ 13.650,00, à taxa de 2,6% ao mês, durante 5 meses. (R$ 105.000,00) 
3. Qual a taxa: 
a) por ano, que faz um capital de R$ 50.000,00 render R$ 38.500,00 em 2 anos? (38,5% aa) 
b) por mês, que faz um capital de R$ 24.000,00 render R$ 15.120,00 em 18 meses? (3,5% am) 
c) por mês, que faz um capital de R$ 48.000,00 render R$ 30.720,00 em 1 a 8 m? (3,2% am) 
d) por ano, que faz um capital de R$ 500.000,00 render R$ 304.000,00 em 2 anos? (30,4% aa) 
 
4. Calcule o tempo empregado pelo capital de: 
a) R$ 48.000,00 que, à taxa de 2,8% ao mês, rendeu R$ 67.200,00 de juros. (50 meses) 
b) R$ 180.000,00 que, à taxa de 36% ao ano, rendeu R$ 145.800,00 de juros. (2 a 3 m) 
c) R$ 60.000,00 que, à taxa de 36% ao ano, rendeu R$ 129.600,00 de juros. (6 anos) 
d) R$ 100.000,00 que, à taxa de 40% ao ano, rendeu R$ 200.000,00 de juros. (5 anos) 
 
 
8.5.1 - Caso em que o tempo não é um número inteiro de períodos. 
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18 
 Quando o prazo não é um número inteiro de períodos, adota-se universalmente a seguinte 
convenção: t = 
q
p
 
J
q
p = Ci . 
q
p
 j
3
1 = Ci . 
3
1
 
 
 
 
Ou quando o prazo é composto de uma parte inteira e outra fracionária: t = m + 
q
p
 
J
q
p
m
 = Cim + Ci . 
q
p
 
 
8.9 - MONTANTE DE UM CAPITAL. 
 
 Se um capital é colocado a juro durante certo prazo, chama-se montante ou valor final 
desse capital a soma do capital e do juro por ele produzido durante esse prazo. 
 
M = C + J M = C + Cit M = C(1+it) 
 
 
M = C(1+it) 
 
 
 Por exemplo, se o capital R$ 1.000,00 foi colocado a juros, à taxa de 4% a.a., durante um 
ano e meio, o montante desse capital no fim desse prazo é: 
 
M = 1.000 (1+ 0,04 x 1,5) M = R$ 1.060,00 
 
Exercícios: 
 
1. A que taxa foi depositado o capital de R$ 12.000,00 que, em 6 meses, produziu R$ 1.500,00 de 
juros? (2,08% a.m.) 
2. Qual o capital que aplicado a 24% ao ano produz R$ 7.500,00 de juros em 10 meses? 
 (R$ 37.500,00) 
3. Qual o capital que, aplicado a 36% ao ano, produz R$ 6.000,00 de juros em 14 meses? 
 (R$ 14.285,71) 
4. Uma pessoa toma emprestado de um Banco R$ 154.000,00 e após 6 meses devolve R$ 
200.000,00. A que taxa foi tomado o empréstimo? (4,97% a.m.) 
5. Por quanto tempo se deve emprestar, a 12,5% ao ano, uma certa quantia para que a mesma 
duplique? (8 anos) 
 
6. Uma indústria compra uma máquina por R$ 59.500,00 e dá de entrada R$ 9.500. O restante irá 
pagar a 12% ao ano durante 3 anos. Quais os juros pagos por essa dívida? (R$ 18.000,00) 
 
7. Durante quanto tempo se deve emprestar certa quantia para que, a 12% ao ano, ela triplique? 
 (16a 7m 27d) 
MATEMÁTICA 
PROF. REINALDO PATRIC 
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8. A que taxa anual um capital qualquer produziria, em 2 anos, 1/5 do seu valor? 
 (10 % a.a.) 
9. Qual o rendimento de R$ 16.000,00, a 5% ao ano, em 2 anos e 6 meses? (R$ 2.000,00) 
10. A que taxa anual o capital de R$ 14.400,00, em 2 meses e 15 dias, renderia R$ 330,00 de 
juros? (10,8 % a.a.) 
11. Qual o capital que se deve emprestar a 9% ao ano, para se receber, no fim de 1 ano e 8 meses, 
R$ 4.500,00 de juros? (R$ 30.000,00) 
12. Qual o juro de R$ 120.000,00, aplicado durante 3 meses, à taxa de 0,3% a.d. (R$ 32.400,00) 
13. Determine o tempo necessário para que R$ 40.000,00, aplicados a 48% ao ano rendam R$ 
38.400,00 de juros? (2 anos) 
14. A que taxa semestral foi aplicado o capital de R$ 3.500,00 que, em 6 meses, rendeu R$ 
700,00 de juros? (20 % a.s.) 
15. Qual o tempo necessário para que R$ 10.000,00 a taxa de 0,2% ao dia, possa render R$ 
2.000,00? (100 dias) 
16. Qual o montantede uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante 2 anos? 
 (R$ 8.000,00) 
17. Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 2.800,00 durante 15 meses, à 
taxa de 3% ao mês? (R$ 5.060,00) 
18. Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$ 2.960,00 daqui a 18 meses, a 
uma taxa de 48% ao ano, no regime de juros simples? (R$ 1.720.93) 
19. Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 720,00, entregando ao credor uma nota 
promissória de R$ 972,00, com vencimento para daí a 10 meses. Determine a taxa de juros anual 
cobrada. (42% a.a) 
20. Qual o tempo a ser aplicado o capital de R$ 800,00, à taxa de juros de 16% ao ano, para 
obtenção de um montante de R$ 832,00? (3 meses) 
21. Qual o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante 2 anos? 
 (R$ 8.000.00) 
22. Uma pessoa aplicou R$ 4.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de 
R$ 9.000,00. Qual foi a taxa anual? (20% a.a) 
23. Qual o prazo para que uma aplicação de R$ 20.000,00 a 2,5% ao mês, renda um montante de 
R$ 2.400,00? (8 meses) 
24. Em que prazo uma aplicação de R$ 35.000,00 pode gerar um montante de R$ 53.375,00, 
considerando-se uma taxa de 30% ao ano? (1a 9m)