Algebra moderna e introduccion al algebra geometrica

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Róbinson Castro Puche
moderna
Álgebra
e introducción al
álgebra geométrica
ECOE EDICIONES
Róbinson Castro Puche. 
Licenciado en Matemáticas, 
Universidad Nacional de 
Colombia, Bogotá. 
Master of Arts Mathematics 
Education, Ball State University, 
Muncie, Indiana, USA. Profesor 
titular de la Universidad de 
Córdoba, Montería, donde 
además ejerció las funciones de 
Secretario Académico de la 
Facultad de Ciencias, Director del 
departamento de Matemáticas y 
Director de la oficina de Registro 
y Admisiones. Es además, 
docente adscrito a la Universidad 
Nacional de Colombia, 1993 a 
1994.
ÁLGEBRA MODERNA
e introducción al álgebra
geométrica
RÓBINSON CASTRO PUCHE
Álgebra moderna
e introducción al álgebra geométrica
Copyright c© Róbinson Castro Puche. Es propiedad intelectual del autor.
Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción total o parcial, por
cualquier medio o con cualquier propósito, sin autorización escrita del autor.
Monteŕıa – Colombia
robinson castro p@hotmail.com
ISBN: 978-958-648-850-1
Primera edición: 2013
Diagramación: En LATEX realizada por Róbinson Castro Puche
Diseño de Carátula: Wilson Marulanda
Impreso por Ecoe Ediciones Ltda., Bogotá
E-mail: correo@ecoeedicioes.com
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Carrera 19 No 63C-32, Pbx: 2481449, fax. 346 1741
Coordinación editorial: Andrea del Pilar Sierra
Impreso en Colombia
Depósito legal: Hecho.
Catalogación en la publicación – Biblioteca Nacional de Colombia
Castro Puche, Róbinson
Álgebra moderna e introducción al álgebra geométrica / Róbinson 
Castro Puche – 1ª. ed. – Bogotá : Ecoe Ediciones, 2013
 p. – (Ciencias exactas. Matemáticas)
ISBN 978-958-648-850-1
 1. Aritmética 2. Álgebra 3. Geometría algebraica I. Título II. Serie
CDD: 512 ed. 20 CO-BoBN– a834338
www.ecoeediciones.com
mailto:correo@ecoeediciones.com
mailto:robinson castro p@hotmail.com
A Olga, la esposa; Milton, Tania, Jaime y Glenna, los hijos;
Alejandro, Andrea, Paula, Valery, Daniel y Sara, los nietos.
Índice general
EL AUTOR V
PRESENTACIÓN VII
PREFACIO IX
1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA 3
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. El m.c.d y el m.c.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4. Criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5. Sistemas de numeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5.1. Cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5.2. Operaciones en base cualquiera . . . . . . . . . . . . . 45
2. GRUPOS 53
2.1. Leyes de composición internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3. Grupos finitos y construcción de tablas . . . . . . . . . . . . . 61
2.4. Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.5. Grupos de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.6. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.7. Grupos Ćıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.8. Aplicaciones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS 101
3.1. Grupos con operadores externos . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
i
ii ÍNDICE GENERAL
3.2. Producto de las partes de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3. Δ–Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.4. Clases laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.6. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.7. Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4. ANILLOS 141
4.1. Definición y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.2. El Anillo Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.3. El anillo de los Endomorfismos de A . . . . . . . . . . . . . . 147
4.4. Divisores de Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.5. Dominios–Semicampos–Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.5.1. Subdominios–Subcampos . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.6. Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.7. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.8. Otras clases de ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.9. Dominios Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.10. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.11. Dominios de factorización única . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.12. El campo de cocientes de un dominio . . . . . . . . . . . . . . 185
4.13. Caracteŕısticas de Dominios y Campos . . . . . . . . . . . . . 192
5. ANILLOS DE POLINOMIOS 199
5.1. Construcción del anillo F [ x ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.2. Polinomios Irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.3. Extensiones de Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.4. Los ceros de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.5. El Dominio de Factorizacion Unica D[ x ] . . . . . . . . . . . . 230
6. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA 239
6.1. Álgebras de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.1.1. Bases y dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.1.2. El producto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
6.1.3. El producto de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
6.2. Álgebras del plano y el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.2.1. El álgebra tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.2.2. Trivectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
ÍNDICE GENERAL iii
6.3. El álgebra Cln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.3.1. Bases algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
6.4. La transformación dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
6.4.1. Propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.4.2. Involuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
6.5. Los productos interno y externo . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.6. Multivectores de grado k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
6.7. La norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
6.7.1. El inverso de A〈k〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.8. Representación matricial del producto . . . . . . . . . . . . . . 288
6.9. El inverso de un multivector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
6.9.1. El producto geométrico en Cl3 . . . . . . . . . . . . . . 294
6.10. Versores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
6.11. El plano euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
6.11.1. Interpretación geométrica de los bivectores en el plano
euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
6.11.2. El i-plano espinor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
EL AUTOR
RÓBINSON CASTRO PUCHE
Licenciado en Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá.
Master of Arts Mathematics Education, Ball State University, Muncie, In-
diana, USA.
En la Universidad de Córdoba, en Monteŕıa, ejerció las funciones de secreta-
rio académico de la Facultad de Ciencias, director de la Oficina de Registro
y Admisiones, director del Departamento de Matemáticas y profesor titular.
También fue rector del Colegio El Carmen de Cotorra, Córdoba y entre di-
ciembre de 1993 y noviembre de 1994, fue docente adscrito a la Universidad
Nacional de Colombia.
v
PRESENTACIÓN
Álgebra moderna e introducción al álgebra geométrica es un texto
cuyo objetivo es promover una actitud matemática positiva entre los estu-
diantes de una asignatura reconocida tradicionalmentecomo una disciplina
abstracta, en la que se estudian entes aparentemente distantes de la realidad
concreta y de la experiencia tangible.
¿Qué se persigue con la enseñanza del álgebra moderna en las instituciones
de educación superior? Ciertamente no es hacer conocer al futuro matemático
una serie de teoremas y ejercicios ingeniosos relacionados con las estructuras
algebraicas, sino enseñarle a ordenar el pensamiento con arreglo al método
axiomático, para desarrollar el rigor del juicio lógico, indispensable en la
labor del matemático.
En ese aspecto, el autor presenta un trabajo prolijo que será de gran ayu-
da a los estudiantes que se inician en el conocimiento del álgebra moderna.
El texto está agradablemente redactado y en algunos aspectos presenta ori-
ginalidad en la exposición y concatenación lógica de los temas, cosa dif́ıcil de
lograr con un material que hoy es completamente estándar. De acuerdo con
mi criterio, esto último representa un aspecto muy valioso del libro.
Conociendo las cualidades pedagógicas del profesor Róbinson Castro, veo
en la presente obra la continuación de su convicción de poner en práctica las
teoŕıas de la enseñanza de las matemáticas desarrolladas por Piaget; por esta
razón puedo afirmar que estamos, sin duda, frente a un material valioso para
los interesados en conocer de cerca los fundamentos del álgebra moderna.
RAFAEL OBREGÓN, Msc.
Los Ángeles, California, USA. enero de 2013.
vii
PREFACIO
Si nos ubicamos en la posición del maestro, de enseñar la teoŕıa o en la del
epistemólogo, que tiene que ver con la naturaleza de los entes matemáticos;
el problema consiste en saber si las conexiones matemáticas son engendradas
por la inteligencia o si esta las descubre como una relidad exterior.
Jean Piaget en su disertación, con motivo del Coloquio de la Rochette
de Melun en 1952, refiriéndose a las estructuras matemáticas; expresó: Un
grupo es un sistema operatorio; la cuestión estriba en saber si los elementos
de diversa naturaleza a los que se aplica la estructura existen previamente
a esta, o si, por el contrario, es la acción de la estructura la que confiere
a los elementos sus propiedades esenciales. El problema sicológico consiste
en establecer si los entes que sirven de elementos a las estructuras son el
resultado de las operaciones que los engendran o si preexisten a aquellas
operaciones que se aplican a ellos.
Para dar respuesta al dilema, continuó diciendo: En vez de definir los
elementos aisladamente por convenio, la definición estructural consiste en
carcterizarlos por las relaciones operatorias que mantienen entre śı, en fun-
ción del sistema. Y la definición estructural de un elemento hará las veces
de demostración de la necesidad de este elemento, en cuanto está concebido
como perteneciente a un sistema cuyas partes son interdependientes.
Teniendo en cuenta el criterio de Piaget, el objetivo principal de este
trabajo es poner a la consideración de la comunidad matemática un texto
que proporcione a los estudiantes las bases teóricas del álgebra moderna que
les permita abordar con éxito una disciplina con un alto grado de abstracción.
Dominar las ideas expuestas en el texto constituye un paso fundamental para
el estudio de teoŕıas más avanzadas relacionadas con el desarrollo axiomático
de las matemáticas.
En concordancia con lo anterior, el texto está diseñado para usarlo co-
mo guia para un primer curso de álgebra moderna. Se encuentra dividido
ix
x PREFACIO
en seis caṕıtulos. En el primero se estudian los aspectos más relevantes de
la aritmética elemental, comenzando con la caracterización de los números
naturales tomando como fundamento los postulados de Peano. A partir del
concepto de divisibilidad se estudian las congruencias, concluyendo con una
presentación suscinta de los sistemas de numerción de base diferente a la
decimal.
Los caṕıtulos segundo y tercero están dedicados al desarrollo de los gru-
pos. El material consignado es el que tradicionalmente se estudia, pero he
considerado que desde el punto de vista didáctico los subgrupos normales se
introduzcan a través de los automorfismos internos.
Los caṕıtulos cuarto y quinto están dedicados a los anillos. El cuarto se
inicia con una descripción detallado de los enteros módulo n, se extiende el
estudio de la divisibilidad a los anillos en general y se desarrolla la teoŕıa
correspondiente a las estructuras algebraicas hasta la noción de campo. El
quinto correponde al anillo de los polinomios.
El álgebra geométrica es un tópico que en la actualidad no cuenta con
una amplia difusión como herramienta matemática aplicada a la solución de
algunos problemas de la ingenieŕıa; donde el análisis vectorial estándar, en
dos y tres dimensiones, y el álgebra matricial son las ayudas ampliamente
usadas. Pero lo cierto es que cada d́ıa aumenta el número de investigadores
convencidos de la utilidad de esta rama descubierta por Günther Grassmann.
Presentar las bases mı́nimas de esta teoŕıa, tiene como propósito invitar
a los interesados a profundizar en su estudio e investigar acerca de la im-
portancia de esta herrmienta en la reformulación de algunos conceptos de la
f́ısica.
El autor.
Monteŕıa, enero de 2013.
ÁLGEBRA MODERNA
e introducción al álgebra
geométrica
Caṕıtulo 1
TEORÍA DE LA
ARITMÉTICA
Introducción
El punto de partida es aceptar que los enteros y sus operaciones aritméticas
han sido objeto de análisis. El interés primario será estudiar los fundamentos
de la aritmética elemental. Se supone conocido el desarrollo axiomático de
los naturales propuesto por G. Peano en 1889 que permite concebirlos como
la colección {0, 1, 2, . . . , n, . . . } y una operación unaria, la función siguiente
o sucesor que verifica los postulados de Peano:
1. Cero es un número.
2. El sucesor de un número es único.
3. Cero no es el sucesor de ningún número.
4. Si Sig(n) = Sig(m), entonces n = m.
5. El principio de inducción completa: Dado un conjunto M de números
naturales con las dos propiedades siguientes:
a) Cero pertenece a M.
b) Si n pertenece a M implica que Sig(n) también pertenece a M ;
entonces M contiene a todos los números naturales.
3
4 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
Partiendo de estos fundamentos se define la adición mediante las fórmulas:
Sig(n) = n + 1
Sig[Sig(n)] = n + 2
y aśı sucesivamente,
n+ Sig(m) = Sig(n+m)
llamadas fórmulas de recurrencia.
La multiplicación se expresa en términos de la adición por:
nm = m+m+ · · ·+m︸ ︷︷ ︸
n veces
indicando que el número m se ha sumado n veces.
Los enteros serán el resultado de reunir los naturales con sus respectivos
inversos aditivos, o sea:
{. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
Más tarde se estudiarán como ejemplos de sistemas numéricos espećıficos
objeto del álgebra moderna.
La representación polinómica de los enteros será igualmente asumida,
dándose por cierto que para todo entero t > 1, cada uno de los enteros a > 0
puede representarse en forma única como
a = c0 + c1t+ · · ·+ cn−1tn−1 + cntn =
n∑
i=0
cit
i
donde cn es positivo y 0 ≤ ci < t, para 0 ≤ i ≤ n. Esta proposición garantiza
que cada entero mayor que 1 puede servir como base para un sistema de
numeración.
Las precisiones expuestas servirán para movernos con libertad suficiente
en el desarrollo de algunos tópicos cuya construcción está por fuera de los
objetivos planteados.
Construir triángulos rectángulos con lados enteros fue objeto de investi-
gación por parte de los babilonios 1600 años antes de Cristo. No solamente
le dieron solución a este problema sino que lo aplicaron a la trigonometŕıa
5
construyendo tablas. Euclides en el décimo libro de los Elementos escribió un
análisis detallado al plantear la solución en los enteros de la ecuación:
x2 + y2 = z2
conocida como ecuación pitagórica, debido a la creencia que fue Pitágoras
quien la planteó por primera vez en el año 550antes de Cristo. Las soluciones
más simples están conformadas por 3, 4, 5 y 5, 12, 13 y múltiplos de estos, por
ejemplo 6, 8, 10 que es el doble de la primera y 25, 60, 65 que es cinco veces la
segunda. Tal vez se piense que no haya otras, pero efectivamente las hay. En
los triángulos de lados 3, 4, 5 y 5, 12, 13 la hipotenusa es una unidad mayor
que uno de los catetos. Si a y b son los catetos y la hipotenusa es b + 1, de
acuerdo con el teorema de Pitágoras
a2 + b2 = (b+ 1)2.
Realizando las operaciones pertinentes se llega a la igualdad
a2 = 2b+ 1
de donde se concluye que a2 es impar y por lo tanto a también lo es. Tomando
a = 2n+ 1,
reemplazando en la igualdad anterior se observa que
b = 2n2 + 2n
lo que lleva a deducir que (2n+1), (2n2+2n), (2n2+2n+1) son los lados de un
triángulo rectángulo, donde la última expresión corresponde a la hipotenusa.
Pero los anteriores distan de ser todos, estos se encuentran a través de la
solución de la ecuación
x2 + y2 = z2
ecuación que tiene infinitas soluciones si x, y, z son primos relativos; y es par
positivo; x, z ambos impares positivos. Las soluciones vienen dadas por
x = u2 − v2, y = 2uv, z = u2 + v2
donde u, v son enteros que satisfacen las condiciones u > v > 0, son primos
relativos y uno de los dos es par. Si u = 2, v = 1 se tiene la solución 3, 4, 5.
Si u = 3, v = 2, la solución es 5, 12, 13.
6 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
La mejor contribución de Euclides a la aritmética fue el desarrollo de las
demostraciones del algoritmo euclidiano, la existencia de un número infinito
de primos y el teorema fundamental de la aritmética que establece que todo
entero distinto de cero se puede expresar como el producto de un número
finito de factores primos, conceptos que tienen su fundamento en la relación
de divisibilidad.
Fermat estudió la ecuación
xn + yn = zn
para enteros n ≥ 3. Afirmó tener una solución asegurando que, excepto para
el caso en que n = 2, no hab́ıa solución diferente a 0, 0, 0. Desafortunadamente
no la dio a conocer siendo este uno de los tres problemas insolubles más
famosos. Este hecho se nombra en la historia como el último teorema de
Fermat o el teorema grande de Fermat, en contraposición al conocido como
el teorema menor de Fermat, cuyo enunciado establece que si p es primo,
entonces para todo a,
ap ≡ a mod p.
Y si p no divide a a,
ap − 1 ≡ 1 mod p.
Lo de menor tal vez fue para resaltar la importancia del primero. Un caso
especial del teorema menor de Fermat establece que si p es primo, entonces
p|(2p − 2).
Los chinos creyeron por mucho tiempo que el rećıproco también era cierto y
lo verificaron hasta 300. Consideraron durante más de 23 siglos que era una
regla infalible para decidir primalidad, pero falla para 341 = 11× 31.
Debido a que 2341− 2 consta de 103 cifras comprobarlo se pospone hasta
cuando haya la teoŕıa suficiente.
1.1. Divisibilidad
Definición 1.1.1. Considérense los enteros a, b con a �= 0. Si existe un
entero c tal que b = ac, se dice que a divide a b y se escribe a|b. Si a no
divide a b, se escribe a � b.
1.1. DIVISIBILIDAD 7
Como 8 = 2× 3 + 2 , se deduce que 3 � 8. Otros ejemplos son:
5|15, 1|4, (−2)|6, 2|(−8), 5 � 14.
La relación de divisibilidad no es una equivalencia debido a que no es simétri-
ca, por ejemplo 3|6, pero 6 � 3.
Es fácil verificar que es reflexiva y transitiva.
Para todo entero a diferente de cero, existe el entero 1, tal que a = a× 1
y de acuerdo con la definición a|a indicando que es reflexiva.
Sean a, b, c tres enteros donde a y b son ambos diferentes de cero tales
que a|b y b|c entonces existen enteros d, e que satisfacen las igualdades
b = ad, c = be.
Si el valor de b en la primera igualdad lo reemplazamos en la segunda se
obtiene
c = (ad)e = a(de)
y como de es un entero se concluye que a|c, infiriéndose que es una relación
transitiva.
Las siguientes proposiciones son otras propiedades de la divisibilidad que
se pueden deducir usando la definición. Como es tradicional las letras se
usarán para representar enteros. Para evitar confusiones las cifras enteras se
escriben sin usar los puntos correspondientes a la escritura formal. El punto
y el signo × se usan para expresar producto, por ejemplo, 23 · 45 y 23× 45
significan ��23 por 45��, mientras que 2345 debe leerse ��dos mil trescientos
cuarenta y cinco��.
1. Si a|b y b|a, entonces a = b o a = −b.
2. Si a|b y a|c, entonces a|(bx ± cy) para toda pareja x, y. En particular
a|(b± c). Si a|b, entonces a|bx, para todo x.
3. Si a|b y b > 0, entonces a ≤ b.
4. Para todo a �= 0 y para todo b, a|0 y ±1|b.
5. Sean a, b, k con a �= 0, k �= 0, entonces a|b si y solo si ak|bk.
6. Si a|b y b �= 0, entonces | a | ≤ | b |.
8 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
Note que el orden en que aparecen las anteriores proposiciones no es impor-
tante, por ejemplo la proposición (3) se puede considerar como una conse-
cuencia de (6) pero es posible hacer una demostración directa de (3) sin usar
(6).
Definición 1.1.2. Dos enteros a, b ambos diferentes de cero tales que a|b y
b|a se dice que son asociados.
De acuerdo con (1) los únicos asociados de un entero a son a y −a.
Para demostrar la propiedad (1) se deben tomar dos asociados y concluir
que son iguales o que solo difieren en el signo. Para el efecto tómense los
asociados a, b. Por definición existen c y d tales que
b = ac, a = bd.
Si el valor de a, en la igualdad de la derecha, lo reemplazamos en la de la
izquierda se obtiene
b = (bd)c = b(dc)
y de esta última se deduce que dc = 1, pero debido a que d y c son enteros,
únicamente se pueden tener dos posibilidades, d = c = 1 o d = c = −1. Si
ocurre la primera posibilidad, reemplazando a c se concluye de la primera
igualdad que b = a. Si ocurre la segunda se obtiene b = −a.
Para demostrar la propiedad (2) se supone que a|b y a|c, luego existen
enteros m,n tales que
b = am
c = an.
Multiplicando ambos miembros de la primera igualdad por x y los de la
segunda por y, sumando miembro a miembro y factorizando a, se tiene
bx+ cy = a(mx+ ny).
Por la selección de m, x, n, y, (mx+ny) es un entero, t lo que permite concluir
que
bx+ cy = at
de donde se puede afirmar que a|(bx + cy). Haciendo x = y = 1, obtenemos
a|(b + c). Si reemplazamos a x por 1, a y por −1 entonces a|(b − c). Si se
iguala c con cero se concluye que a|bx.
1.1. DIVISIBILIDAD 9
Hay dos hechos importantes de la aritmética que usaremos a lo largo
del texto. El primero afirma que cualquier conjunto de enteros positivos que
contenga al menos un elemento contiene un elemento mı́nimo, y es conocido
como el principio de la buena ordenación. El segundo es una consecuencia
del primero y se ha mencionado con anterioridad, es el algoritmo de Euclides
o algoritmo de la división. Se denomina algoritmo porque proporciona un
método mediante el cual se pueden hallar cocientes y residuos al momento
de dividir.
Definición 1.1.3. Un entero p es primo si siendo distinto de cero y de ±1
es divisible solamente por ±1 y ±p.
Definición 1.1.4. Un natural n �= 1 se dice compuesto si no es primo, esto
es, si existen naturales d1 y d2 tales que 1 < d1 < n, 1 < d2 < n con n = d1d2.
Teorema 1.1.1 (El algoritmo de la división). Si a es un número natural
y b es un entero, existen enteros únicos q, r tales que b = aq+r, con 0 ≤ r < a.
Demostración. De la igualdad b = at + r, se obtiene r = b − at. Tómese el
conjunto
S = {b− at, t ∈ Z} ⊆ Z.
Consideremos b ≥ 0, como t recorre el conjunto de los enteros, sea t = 0. En
este caso b− at ≥ 0.
Supongamos que b < 0 por idéntica razón hagamos t = b. En dicho caso,
b− at = b− ab = b(1− a).
Pero, 1 ≤ a entonces, b(1−a) ≥ 0 es decir, b−at ≥ 0, lo que permite afirmar
que el conjunto S posee elementos no negativos. Sea D ⊆ S formado por
los elementos no negativos de S. Por el principio de la buena ordenación, D
tiene un elemento mı́nimo. Tomando r como este número y a q como el mayor
entero que satisface la condición b− aq ≥ 0, se deduce que, r = b − aq ≥ 0.
Restandoa a ambos miembros y factorizando,
r − a = b− aq − a = b− a(q + 1).
Pero, q + 1 > q y por la selección de q debe tenerse que
b− a(q + 1) < 0
10 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
o sea,
r − a < 0
de donde se concluye que r < a lo que permite escribir
0 ≤ r < a.
Para demostrar la unicidad supongamos que q y r no son únicos. Sean q1 y
r1 enteros tales que b = aq1 + r1, con 0 ≤ r1 < a. Por la propiedad transitiva
de la igualdad,
aq1 + r1 = aq + r.
Supongamos que r > r1, entonces r − r1 > 0. Trasponiendo términos y
factorizando,
0 < r − r1 = a(q1 − q)
de donde se tiene que a|(r − r1).
Pero 0 ≤ r1 < a, implica que −a < −r1 ≤ 0 y como 0 ≤ r < a se pueden
sumar miembro a miembro estas desigualdades dando como resultado
−a < (r − r1) < a
o sea,
(r − r1) < a.
De acuerdo con la propiedad (3) de divisibilidad, como a|(r − r1), necesa-
riamente a < (r − r1); lo cual es una contradicción. Por lo tanto, r no es
mayor que r1. Suponer que r1 es mayor que r conduce a una contradicción
similar, de donde se deduce que r1 no es mayor que r, quedando como única
posibilidad, r = r1.
De la expresión r − r1 = a(q1 − q) observamos que 0 = a(q1 − q) y como
a es diferente de cero se concluye que (q1 − q) = 0 y por lo tanto, q = q1. En
śıntesis la unicidad del cociente y el residuo quedan demostradas.
El quinto axioma de Peano es el principio de inducción, este enuncia-
do establece que dada una proposición P (n). Si P (0) es verdadera y para
cualquier k, la veracidad de P (k) implica la de P (k + 1), entonces P (n) es
verdadera para todo natural n. De este principio se conocen cinco formas,
la tercera tiene relación con el buen orden y es la clave para demostrar que
todo subconjunto S de los naturales que contenga a cero y contenga a n+1,
siempre que contenga a n, contiene también a todos los naturales. La quinta
forma nos permite realizar inducción a partir de un determinado natural k.
1.1. DIVISIBILIDAD 11
Para ilustrar el método de inducción matemática realizamos el siguiente
ejercicio.
Ejemplo 1.1.1. Para todo natural s, 11|(102s+1 + 1).
Demostración. Por inducción.
102+1 + 1 = 103 + 1
= 1001
= 11× 91.
De las igualdades se ve que la proposición es válida para s = 1.
Supongamos que es válida para s, esto es,
102s+1 + 1 = 11k.
Multiplicando ambos miembros de esta igualdad por 100,
102s+3 + 100 = 100× 11k.
Descomponiendo y factorizando el exponente y transponiendo términos,
102(s+1)+1 = 100× 11k − 100.
Sumando 1 a ambos miembros,
102(s+1)+1 + 1 = 100× 11k − 99
= 100× 11k − 11× 9
= 11(100k − 9).
Lo anterior permite inferir que la proposición es válida para s+1, luego debe
serlo también para todo natural.
Con respecto a los primos surgen algunas inquietudes referentes a su
número, a la existencia de una regla para calcular su secuencia, fórmulas para
determinarlos y muchos otros interrogantes estudiados por los matemáticos
de todos los tiempos entre los que se pueden mencionar, Euclides, Fermat,
Euler, Pòlya. En 1914 D. N. Lehmer calculó la lista de los primos desde el
primero hasta el que ocupa el 664999-ésimo lugar, este último resultó ser
10006721.
El siguiente enunciado sirve para establecer primalidad en un solo sentido
12 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
Ejemplo 1.1.2. Si 2n − 1 es primo, entonces n es primo, para n ≥ 2.
Solución. Para demostrarlo supongamos que n es compuesto, es decir, existen
naturales a, b tales que, 1 < a < n, 1 < b < n, con n = ab, entonces
2n − 1 = 2ab − 1
= (2a)b − 1
= cb − 1
= (c− 1)(cb−1 + cb−2 + · · ·+ c+ 1)
donde c ≥ 4. En consecuencia, 2n − 1 es el producto de un entero mayor o
igual a 3, por un entero mayor o igual a 5, contradiciendo la hipótesis, luego
la proposición se sigue.
El rećıproco no es cierto, ya que para 11, 211−1 = 2047 que es compuesto.
Ejemplo 1.1.3. La suma de los cuadrados de dos números impares no puede
ser un cuadrado perfecto
Solución. Para un entero cualquiera k, los posibles residuos al dividir por 4
son 0, 1, 2, 3, lo que significa que k es de una de las formas 4t, 4t+ 1, 4t+ 2,
4t + 3, y por consiguiente k2 se puede escribir como 16t2, 4(4t2 + 2t) + 1,
4(4t2 + 4t+ 1), 4(4t2 + 6t+ 2) + 1. Por lo visto el residuo de dividir k2 por 4
es 0 o 1.
Tomemos los impares x = 2n+ 1, y = 2m+ 1, elevándolos al cuadrado y
sumando
x2 + y2 = (4n2 + 4n+ 1) + (4m2 + 4m+ 1)
= 4(n2 +m2 + n+m) + 2
lo que lleva a concluir que al dividir x2 + y2 por 4 el residuo es 2. En mejores
palabras x2 + y2 no es un cuadrado perfecto.
Teorema 1.1.2. El menor divisor positivo mayor que 1, de un entero n > 1
es un primo.
Demostración. Sea n ∈ N− {1}, m > 1 el menor divisor positivo de n. Por
definición m|n. Si n es primo, n = m luego m es primo.
Sea n compuesto y suponga que m no es primo. Como m > 1, debe ser
compuesto, esto es, existe un natural d tal que 1 < d < m y d|m, pero por
hipótesis m|n. Por la propiedad transitiva de la divisibilidad, d|n contradi-
ciendo la minimalidad de m. Por consiguiente m debe ser primo.
1.1. DIVISIBILIDAD 13
Teorema 1.1.3. Todo compuesto es el producto de un número finito de
factores primos.
Demostración. Supongamos que existen compuestos que son el producto de
un infinito número de factores primos. Por el principio de la buena ordenación
existe m el menor compuesto que puede expresarse como un número infinito
de factores primos. Por el teorema 1.1.2, existe un primo p, 1 < p < m
además p|m, entonces
1
p
< 1 <
m
p
.
Multiplicando por m la primera desigualdad tenemos, m
p
< m, luego
1 <
m
p
< m.
Como m
p
es un natural, entonces
m
p
= p1p2 · · · pr
con pi un primo, para 1 ≤ i ≤ r, r es un número fijo. Dicho en otras palabras
m
p
debe ser el producto de un número finito de factores primos ya que es menor
que m y como es sabido, m es el menor compuesto que puede escribirse como
el producto de un infinito número de factores primos. Pero,
m = p(
m
p
) = p(p1p2 · · · pr)
indicando que m es el producto de un número finito de factores primos,
contradiciendo el supuesto. En conclusión, todo compuesto es el producto de
un número finito de factores primos.
Teorema 1.1.4 (Teorema fundamental de la aritmética). Todo entero
distinto de cero puede expresarse como el producto de (±1) por un número
finito de factores primos. Esta expresión es única salvo el orden en que los
factores se consideren.
Demostración. Si n es primo el teorema es inmediato. Si es compuesto basta
aplicar el teorema 1.1.3 teniendo en cuenta el signo y asunto concluido.
Unicidad. Dado n > 1 suponga que se puede escribir en dos formas
diferentes como producto de primos
n = p1p2 · · ·pr = q1q2 · · · qs
14 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
como p1 es un factor de n, p1|q1q2 · · · qs, por tanto p1|qj para 1 ≤ j ≤ s.
Ordenando nuevamente los sub́ındices de ser necesario se concluye que p1|q1.
Pero al ser primos cada uno de ellos, obligatoriamente p1 = q1. Cancelando
a ambos miembros de la igualdad se llega a
p2 · · · pr = q2 · · · qs.
Siguiendo un proceso similar se concluye que p2 = q2. Y aśı sucesivamente,
p3 = q3, . . . , pr = qs.
Sin pérdida de generalidad se puede aceptar que r ≤ s. Si r < s cancelando
factores iguales en la primera igualdad se llega a
1 = qr+1 · · · qs
lo que es imposible porque cada uno de los primos de la derecha es mayor
que 1, llegando a la conclusión que r = s y de aqúı a que pi = qi, para todo
i, 1 ≤ i ≤ r. Si n es negativo el primer factor será (−1) seguido por factores
primos positivos.
Para responder a la inquietud relacionada con la cantidad total de primos,
supongamos que existe un número finito de ellos y escribamos la sucesión de
todos los primos {p1, p2, . . . , pr}. Sea p el entero definido como sigue
p = (p1p2 . . . pr) + 1, p > pi para 1 ≤ i ≤ r,
p necesariamente es compuesto y debe existir un primo pj de la colección
dada tal que pj |p y como pj |p1p2 . . . pr sigue que pj|(p − p1p2 . . . pr) pero
esta afirmación equivale a decir que pj |1, contraviniendo el hecho de ser
pj �= 1. Ahora podemos asegurar formalmenteque el número de primos es
infinito.
Como aplicación del teorema 1.1.4 se propone el siguiente ejercicio.
Ejemplo 1.1.4. Hallar todos los primos que son una unidad menor que un
cuadrado perfecto.
Solución. Para el efecto tomemos un primo p = x2− 1. El teorema de facto-
rización única establece que p = (x − 1)(x + 1). Como p es primo se tienen
las dos posibilidades siguientes:
(x− 1) = 1 y (x+ 1) = p o (x− 1) = p y (x+ 1) = 1.
1.1. DIVISIBILIDAD 15
De estas ecuaciones se obtienen las soluciones,
x = 2 y p = 3 o x = 0 y p = −1.
La de la derecha hay que desecharla puesto que p es primo, quedando en
definitiva p = 3. Por tanto 3 es el único primo que es una unidad menor que
un cuadrado perfecto.
Ejemplo 1.1.5. Si n > 1 es compuesto, existe un primo p ≤ √n tal que p|n.
Solución. El teorema 1.1.2 dice que el menor divisor positivo mayor que 1
de un entero n mayor que 1 es un primo. Sea p tal primo, como p|n existe d,
1 < d < n tal que n = pd.
Por la definición de p, p ≤ d y por consiguiente p2 ≤ pd, de donde se
obtiene por reemplazo p2 ≤ n, esto es, p ≤ √n.
En las igualdades
3 = 2 + 1
7 = 2× 3 + 1
31 = 2× 3× 5 + 1
se observa que 1 más el producto de los primeros k primos es un primo al
menos para k = 2, 3, 5. Se puede pensar que es cierto para todo k pero un
ejemplo muestra lo contrario,
2× 3× 5× 7× 11× 13 + 1 = 30031 = 59× 509.
EJERCICIOS
1. Demostrar las propiedades 3, 4, 5, 6 de divisibilidad enunciadas ante-
riormente.
2. Demostrar que para todo natural n, 11 divide a 102n − 1.
3. Demostrar que para todo natural n, 3 divide a 10n − 1.
4. Demostrar que si 2 no divide a n y 3 no divide a n, entonces 24 divide
a n2 + 23.
16 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
5. Demostrar que para todo entero n, 3 divide a alguno de los números n,
n+ 2, n + 4.
6. Demostrar que todo primo impar puede ser expresado de manera única
como la diferencia de dos cuadrados. Por ejemplo, 11 = 36− 25.
7. Para todo natural n demostrar que ninguno de los siguientes n − 1
enteros consecutivos es primo: n! + 2, n! + 3, n! + 4, . . . , n! + n.
8. Usando la idea del ejercicio anterior hallar una sucesión de k consecu-
tivos naturales compuestos.
9. Demostrar que para n > 1, n4 + 4 es compuesto.
10. Un número n es compuesto si existe un primo p ≤ √n, tal que p|n.
Usando esta idea diga cuáles de los siguientes enteros son primos y
cuáles compuestos : 91, 103, 343, 731.
11. Hallar enteros r, s tales que 144r + 2975s = 5.
12. Demostrar: Si m|(45n+ 37) y m|(9n+ 4), (m > 1) entonces m = 17.
13. Demostrar que el producto de cuatro enteros consecutivos incrementado
en 1, es siempre un cuadrado perfecto.
14. Demuestrar que si p es primo y p|ab, entonces p|a o p|b.
15. Demostrar que si a, b son enteros positivos, existe un entero positivo n
tal que na > b. (Considere la diferencia b− na y aplique el axioma del
buen orden).
16. Usando el axioma del buen orden demuestrar que no hay enteros entre
cero y uno.
17. Demostrar que si p = 6k + r es un primo diferente de 2 y 3, entonces
r = 1 o r = 5.
18. Demostrar que existen infinitos primos de la forma 6k − 1.
19. Si a > 2 y s > 1. Demostrar as − 1 es compuesto.
20. Demostrar que el producto de números de la forma 6k + 1 es de la
misma forma.
1.2. EL M.C.D Y EL M.C.M 17
1.2. El máximo común divisor y El mı́nimo
común múltiplo
Si se toman dos enteros a, b puede ocurrir que ambos sean iguales a cero y
en este caso cualquier entero es un divisor común de ellos. Si al menos uno es
diferente de cero, los divisores comunes son finitos; uno de los cuales siempre
es 1, deduciéndose que existe alguno mayor que todos y debe ser positivo.
Definición 1.2.1. Dados dos enteros a, b, a2 + b2 �= 0, entonces d ∈ Z−{0}
se llama un común divisor de a y b si y solo si d|a y d|b.
Teorema 1.2.1. Dados dos enteros a y b, a2 + b2 �= 0, existe un entero único
g, tal que
1. g > 0.
2. g|a y g|b.
3. g = min{ax+ by > 0, x, y ∈ Z}.
4. Si d es cualquier entero tal que d|a y d|b, entonces d|g.
La proposición (4) dice que cualquier divisor común de a y b divide a g.
De la propiedad (6) de divisibilidad se deduce que g es numéricamente mayor
que los diferentes divisores de a y b. Por lo tanto, del conjunto de divisores
comunes de a y b, g es el máximo desde dos puntos de vista y por esto se
le llama el máximo común divisor de a y b. En forma abreviada se escribe
g = (a, b). Note que realmente lo ��máximo�� lo tomamos en el sentido de (4).
Demostración. Considérense primero a y b positivos, a > b. Por el algoritmo
de la división existen enteros r1, q1 únicos tales que
a = bq1 + r1, 0 ≤ r1 < b.
Si r1 = 0, entonces b es un común divisor de a y b. Podemos tomar g = b.
1. g > 0.
2. g|a y g|b.
18 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
Tomemos el conjunto
H = {ax+ by > 0, x, y ∈ Z} ⊆ Z.
Si x < 0, necesariamente y > 0 entonces by > 0. Debido a que
ax+ by > 0
debe tenerse
|ax| < by.
Pero cero es el mı́nimo natural que verifica esta última desigualdad, luego
x = 0, entonces el mı́nimo valor para y debe ser 1, por tanto
b = a× 0 + b× 1 > 0
es un elemento de H .
Similarmente si y ≤ 0 hallamos y = 0, x = 1 como valores mı́nimos, o sea
a = a× 1 + y × 0 > 0
pertenece también a H , pero b < a.
Si x > 0, y > 0, ax > a, by > y; entonces ax+ by > a+ b > b.
En śıntesis,
b = g = min{ax + by > 0, x, y ∈ Z}
dando por demostrado (3).
(4). Si existe d tal que d|a, d|b debe tenerse d|g puesto que g = b. Si r1 �= 0,
la aplicación repetida del algoritmo de la división demuestra la existencia de
parejas únicas qi, ri, 2 ≤ i ≤ k + 1, 0 < ri < ri−1, tales que
a = bq1 + r1
b = r1q2 + r2
r1 = r2q3 + r3
...
rk−2 = rk−1qk + rk
rk−1 = rkqk+1 + 0.
1.2. EL M.C.D Y EL M.C.M 19
Aqúı confrontamos cada etapa con la posibilidad de tener cero por residuo;
pero suponemos que esto no sucede sino hasta el k-ésimo paso de la división,
o diciéndolo en otra forma, definimos a k como el número de la etapa en
la cual aparece cero como residuo. En esta parte el proceso debe detenerse
porque la división por cero no está definida. Por otro lado, eventualmente
debe aparecer un cero como residuo puesto que b > r1 > r2 > . . . > rk es una
sucesión finita estrictamente decreciente de naturales; y como existen b − 1
enteros positivos menores que b, después de a lo más b − 1 divisiones debe
obtenerse el esperado cero como residuo.
En conclusión, si b no divide a a existe siempre un sistema finito de ecua-
ciones de la clase anterior y un k-ésimo residuo diferente de cero. Aseguramos
que para satisfacer las condiciones (1), (2), (3), (4) podemos tomar g = rk.
De la última ecuación observamos que rk | rk−1 entonces
rk−2 = rk−1 + rk
= (rkqk+1)qk + rk
= rk(qk+1qk + 1)
o sea que rk|rk−2.
Siguiendo el proceso vemos de las dos primeras ecuaciones que rk|a y
rk|b, luego rk es un divisor común a y b. Expresando los residuos sucesivos
se obtiene
r1 = a− bq1
r2 = b− r1q2
= b− (a− bq1)q2
= b− aq2 + bq1q2
= a(−q2) + b(1 + q1q2).
La forma de estas igualdades indica que rk puede obtenerse por reemplazos
sucesivos como una combinación lineal de a y b con coeficientes enteros en
cuya expresión intervienen los qi, o sea,
rk = ax+ by.
Como rk > 0, por el principio de la buena ordenación existe un elemento
mı́nimo en el conjunto H . Sea h tal elemento, luego para algunos enteros x0,
y0 se establece la igualdad
h = ax0 + by0 > 0.
20 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
Supongamos que h no divide a a, entonces existen enteros únicos q, r tales
que
a = hq + r, 0 < r < h
luego
r = a− hq
= a− (ax0 + by0)q
= a(1− x0q) + (−y0q).
Como r < h, implicaŕıa que h no es el mı́nimo, llegando a una contradicción;
por consiguiente h|a.
Similarmente h|b y de aqúı, h|(ax+ by), o sea, h|rk.
Por la propiedad (3) de divisibilidad h ≤ rk. Pero rk|a y rk|b implica que
rk|(ax0 + by0) y en consecuencia rk = h. Por la misma propiedad rk ≤ h,
concluyéndose que rk = h.
En śıntesis, rk es el mı́nimo del conjunto de los ax+ by > 0.
Sea d tal que d|a y d|b, entonces d|(ax+by), es decir d|rk.
Como rk cumple las cuatro condiciones del teorema, es posible afirmar
que rk = g = (a, b).
Si a < b, intercambiamos los roles.
Si a < 0 y b < 0 determinar g correspondiente a los respectivos valores
absolutos.
Si a = 0, entonces | b | = g = (a, b).
Para demostrar la unicidad, tomemos g, g1 dos enteros que satisfacen las
condiciones del teorema, entonces g|a y g|b implica que g|g1.
Por otra parte g1|a y g1|b implica g1|g y como consecuencia g ≤ g1 y
g1 ≤ g determinándose que g = g1.
El teorema anterior proporciona una regla para hallar el máximo común
divisor de dos números por divisiones sucesivas; este es el último residuo
diferente de cero que se obtiene al aplicar el algoritmo de Euclides.
El mismo procedimiento puede utilizarse para expresarlo como una com-
binación lineal de dichos números. Veamos cómo es posible mediante el al-
goritmo de Euclides calcular el máximo común divisor de dos números.
Ejemplo 1.2.1. Calcular el máximo común divisor de 42 y 30 y expresarlo
como una combinación lineal de dichos números.
1.2. EL M.C.D Y EL M.C.M 21
Solución.
42 = 30× 1 + 12
30 = 12× 2 + 6
12 = 6× 2 + 0.
La última igualdad indica que (42, 30) = 6. Ahora,
6 = 30− 12× 2
= 30− (42− 30)2
= 30− 42× 2 + 30× 2
= 30× 3− 42× 2
= 30× 3 + 42(−2).
El último renglón muestra la escritura de 6 como una combinación lineal de
42 y 30, donde intervienen 3 y −2.
Teorema 1.2.2. Sean a, b enteros, entonces,
1. (a, b) = (a, b+ ka).
2. (a, b) = (a,−b) = (−a, b) = (−a,−b).
3. (ka, kb) = | k |(a, b) si k �= 0.
4. Si d|a, d|b, entonces (a
d
, b
d
) = 1|d|(a, b).
5. Si g = (a, b), entonces (a
g
, b
g
) = 1.
Demostración. Sean
g = (a, b)
g1 = (a, b+ ka).
Si g|a y g|b, entonces para cualquier entero k, g|(a, b+ka), luego g|g1 y como
g > 0, g1 > 0 necesariamente g ≤ g1.
Por otra parte, g1|a, y g1|(b+ ka), implica que g1|(b+ ka− ka), o sea g1|b
y por razones similares g1 ≤ g.
En atención a las dos desigualdades se concluye que g = g1.
El resto de la demostración se asigna como ejercicio.
22 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
Definición 1.2.2. Sean ai, 1 ≤ i ≤ n, n enteros, si gi = (ai, ai+1), entonces,
gn−1 = (a1, a2, . . . , an). Si gn−1 = 1, los ai se dicen primos relativos o
coprimos.
Un caso particular se da cuando n es igual a 2. La definición anterior
garantiza la existencia del máximo común divisor de más de dos números, el
cual se puede considerar como el divisor común positivo que es divisible por
todo común divisor.
Definición 1.2.3. Sean ai, 1 ≤ i ≤ n, n enteros. Si (ai, aj) = 1, para i �= j
elementos de {1, 2, . . . , n}, entonces se dice que los ai, aj son primos relativos
dos a dos.
Por ejemplo (6, 5, 10) = 1, pero ellos no son primos relativos dos a dos
porque 5 divide a 10. En cambio 10, 9, y 49 son primos relativos dos a dos.
Teorema 1.2.3. Sean a, b dos enteros, si a = bq+ r, entonces (a, b) = (b, r).
Demostración. (a, b) = (bq + r, b) = (bq + r − bq, b) = (r, b) = (b, r).
Lema 1.2.1. Lema de Euclides. Si a|bc y (a, b) = 1, entonces a|c.
Demostración. Si (a, b) = 1 existen enteros x, y tales que 1 = ax + by,
entonces, c = acx + bcy pero por hipótesis a|bc y a|a luego a|(acx + bcy), o
sea, a|c.
Esta proposición se conoce mejor como la primera versión del lema de
Euclides.
Ejemplo 1.2.2. Si (a, 4) = 2, (b, 4) = 2, demostrar que (a + b, 4) = 4.
Solución. Si (a, 4) = 2, entonces 2|a, luego existe un impar x tal que a = 2x.
Si x fuera par, entonces x = 2m, y por lo tanto a seŕıa igual a 4m, de donde se
concluiŕıa que (a, 4) = (4m, 4) = 4. Como (b, 4) = 2, por las mismas razones,
b = 2n, para un impar n. Efectuando la suma, a+ b = 2(x+n) = 4z, puesto
que x+ n es un par, de donde se concluye que (a+ b, 4) = 4.
Ejemplo 1.2.3. Demostrar que si (a, b) = 1, entonces (a+ b, a− b) = 1 o 2
Solución. Sean (a, b) = 1. Si g = (a+ b, a− b), entonces g| [(a+ b)± (a− b)].
Tomando los signos positivo y negativo en ese orden se deduce que g|2a, g|2b
y por consiguiente g|(2a, 2b), luego g|2(a, b), de donde se concluye que g|2
puesto que (a, b) = 1. Pero g > 1, infiriéndose que g = 1 o g = 2.
1.2. EL M.C.D Y EL M.C.M 23
Examinando los conjuntos formados con los múltiplos de 2 y de 3 es fácil
darse cuenta que la intersección consta de todos los números de la forma
2 × 3n. De acuerdo con el principio de la buena ordenación este conjunto
posee un elemento mı́nimo, el número 6, indicando que 6 es el menor de los
múltiplos comunes a 2 y 3. Esta situación se puede generalizar a toda pareja
de enteros con la condición de ser por lo menos uno de los dos diferente de
cero, dando como resultado la existencia del mı́nimo común múltiplo de dos
enteros cualesquiera prevista la restricción anotada. Tome el valor absoluto
del producto y divida entre el máximo común divisor de los números dados,
este cociente siempre es posible puesto que el divisor nunca es cero y por la
forma como está concebido es un entero positivo.
Teorema 1.2.4. El entero [a, b] = | ab |
(a, b)
tiene las siguientes propiedades
1. [a, b] ≥ 0.
2. a| [a, b].
3. Si a|m y b|m, entonces [a, b]|m.
La demostración se deja al estudiante. Al elemento descrito en el teorema
1.2.4 se le llama el mı́nimo común múltiplo de los números dados. El concepto
es fácilmente extensivo a más de dos enteros.
EJERCICIOS
1. Demostrar los numerales restantes del teorema 1.2.2.
2. Dado (u, v) = 1; si u|n y v|n, entonces uv|n.
3. Mediante el algoritmo de la división hallar el máximo común divisor
de:
a) 1001 y 7655.
b) 4148 y 7684.
c) 11 y 15.
d) 144 y 24.
e) ) 75, 50 y 125.
24 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
4. Demostrar que si (a, b) = 1 y c|a, entonces (c, b) = 1.
5. Demostrar que si (a, b) = 1, entonces (a2 + b2, a+ b) = 1 o 2.
6. Demostrar que el ejercicio 2 no necesariamente es cierto si (u, v) > 1.
7. Demostrar que para todo n, 5|(n5 − n).
8. Si (a, b) = 1, hallar los posibles valores de (a+ 3b, a2 − b2).
9. Demostrar que si (a, b) = 1, (ac, b) = (c, b), para todo entero c.
10. Demostrar que si (b, c) = 1, entonces (a,bc) = (a, b)× (a, c).
11. Demostrar que si ax+ by = n, entonces (a, b)|n.
12. Demostrar que no es posible la simplificación de la fracción a1+a2
b1+b2
, si
a1b2 − a2b1 = ±1.
13. Hallar el mı́nimo común múltiplo de,
a) 24 y 144.
b) 1001 y 765.
c) 36, 12 y 144.
14. Demostrar que si l = [a, b] y n es un múltiplo común de a y b, entonces
l|n. Sugerencia: Suponer que l no divide a n.
1.3. Congruencias
La solución en los enteros de la ecuación ax + by = c, llevó a Diofanto a la
comparación de residuos entre algunos de sus componentes. Tomemos, por
ejemplo,
8x− 19y = 2.
Como la diferencia es 2, x puede ser par o impar, y necesariamente debe ser
par. Por ejemplo, x = 5, y = 2; x = 24, y = 10.
Usando el algoritmo de Euclides
19 = 8× 2 + 3
1.3. CONGRUENCIAS 25
8 = 3× 2 + 2
3 = 2× 1 + 1.
Despejando y reemplazando en orden inverso y conmutando los productos,
1 = 3− 2× 1
= 3 + 3× 2− 8
= 3× 3− 8
= 3(19− 8× 2)− 8
= 19× 3− 8× 7
= 8(−7)− 19(−3)
multiplicando por 2
2 = 8(−7× 2)− 19(−3× 2).
Sumando y restando 8(19)t al segundo miembro de esta última igualdad,
después de conmutar y factorizar, se tiene
2 = 8[(−7× 2) + 19t]− 19[(−3× 2) + 8t].
De esta igualdad se deduce que, si t es un entero; al dividir a 8[(−7×2)+19t]
y a 19[(−3× 2) + 8t] por 2, el residuo debe ser el mismo.
La solución general está dada por
x = −(7× 2) + 19t, y = −(3× 2) + 8t.
Si t = 1, x = 5, y = 2 y si t = 2, x = 24, y = 10.
Existen muchos otros problemas en los cuales debe hacerse comparación
de residuos. Los números que tienen idéntico residuo se les denomina equirre-
siduales o congruentes y es obvio que pertenecen a una misma clase residual.
Definición 1.3.1. Dados dos enteros a y b, m un natural diferente de cero,
se dice que a es congruente con b módulo m si y solo si m|(a− b) y se nota
a ≡ b mod m.
Ejemplos 17 ≡ 2 mod 5, 14 ≡ −6 mod 10.
La congruencia es una relación de equivalencia.
Para cualquier natural m diferente de ceroy para cualquier entero a, m es
un divisor de cero y por ende de a−a; esta situación conlleva a la reflexividad.
26 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
Si m es un divisor de a− b, también lo es de b− a, propiedad que implica la
simetŕıa.
Si m es simultáneamente divisor de a− b, y, de b− c, lo será de la suma
y por tanto de a− c, verificándose la transitividad.
Para una relación de equivalencia definida en un conjunto S y para cada
elemento a de S, existe un conjunto formado por todos los elementos relacio-
nados con a denominado la clase de equivalencia de a, notado [ a ]. Si b es un
elemento de S que no está relacionado con a también existe la clase de equiva-
lencia de b y aśı sucesivamente. Estas clases tienen la particularidad de no ser
vaćıas, de no tener elementos comunes, de poder incluir cada elemento de S
en alguna de ellas y la unión de todas debe ser todo S. Ya habrá oportunidad
de hacer una mejor exposición de este tema en otro contexto.
Teorema 1.3.1. Sean x, y enteros. Si a ≡ b mod m, c ≡ d mod m, entonces
1. (xa+ yc) ≡ (xb+ yd) mod m.
2. (a+ c) ≡ (b+ d) mod m.
3. xa ≡ xb mod m.
Demostración. Por hipótesis m|(a − b), m|(c − d). Por la propiedad (2) de
divisibilidad m| [x(a− b)+y(c−d)], entonces m| [(xa+yc)− (xb+yd)] y por
definición, (xa + yc) ≡ (xb+ yd) mod m. Si x = y = 1 se tiene (2). Si y = 0
se tiene (3).
Teorema 1.3.2. Si a ≡ b mod m y c ≡ d mod m, entonces ac ≡ bd mod m.
Demostración. Como m|(a− b), m|(c− d), entonces m|(ac− bc+ bc− bd) de
donde m|(ac− bd) y por definición ac ≡ bd mod m.
Una regla para multiplicar un número de tres d́ıgitos por 1001 consiste
en escribirlo dos veces. Por ejemplo, 152× 1001 = 152152. Por otra parte la
descomposición en factores primos de 1001 es 1001 = 7× 143. Estos hechos
permiten hallar rápidamente el factor desconocido del producto 143x si cono-
cemos los tres últimos d́ıgitos del resultado. La clave consiste en multiplicar
estas cifras por 7 y tomar nuevamente las tres últimas cifras de este nuevo
producto. Por ejemplo, si 143x = 61204 se toman las tres últimas cifras, esto
es, 204 y multiplicando por 7 se obtiene 204×7 = 1428. El factor desconocido
es 428. Puede comprobarlo.
1.3. CONGRUENCIAS 27
En términos de congruencias, deseamos encontrar un número x de una,
dos o tres cifras donde b es la cantidad formada con las tres últimas cifras de
143x. Esto lo podemos transformar en:
143x ≡ b mod 1000.
Además
7 ≡ 7 mod 1000.
Multiplicando miembro a miembro
7× 143x ≡ 7b mod 1000
en otros términos
1001x ≡ 7b mod 1000
pero
1001 ≡ 1 mod 1000
y
x ≡ x mod 1000
por tanto
1001x ≡ x mod 1000
finalmente
x ≡ 7b mod 1000.
Esta congruencia indica que los tres últimos d́ıgitos de x concuerdan con los
tres últimos d́ıgitos de 7b. Como x tiene a lo más tres d́ıgitos, los tres últimos
de 7b determinan completamente a x.
Teorema 1.3.3. Si a ≡ b mod m, entonces para todo n ∈ N, an ≡ bn mod m.
Demostración. Por inducción matemática.
Por hipótesis el teorema se verifica para 1. Supongamos que se verifica
para k, esto es,
ak ≡ bk mod m.
Usando el teorema 1.3.2,
aka ≡ bkb mod m,
pero esta expresión es equivalente a
ak+1 ≡ bk+1 mod m.
Es decir la proposición es válida para todo natural n.
28 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
Teorema 1.3.4. Sea f(x) un polinomio con coeficientes enteros.
Si a ≡ b mod m, entonces f(a) ≡ f(b) mod m.
Demostración. Sea f(x) =
n∑
i=0
cix
i un polinomio con coeficientes enteros,
f(a) =
n∑
i=0
cia
i
entonces
f(a) ≡
n∑
i=0
cia
i mod m.
Usando los teoremas 1.3.3 y 1.3.1 respectivamente
n∑
i=0
cia
i ≡
n∑
i=0
cib
i ≡ f(b) mod m
y por aplicación de la propiedad transitiva f(a) ≡ f(b) mod m.
La demostración del siguiente teorema es una de aquellas tareas fáciles si
se usa la inducción matemática.
Teorema 1.3.5. Si aj ≡ bj mod m, entonces
n∑
i=0
aj ≡
n∑
i=0
bj mod m para todo
n ≥ 1.
En lo que sigue se enuncian algunas propiedades importantes de las con-
gruencias, especialmente las restricciones impuestas a la ley cancelativa del
producto. El factor a cancelar puede ser parte decisiva de la divisibilidad in-
herente a la congruencia considerada. Dos de estas propiedades se establecen
de la siguiente manera y sus demostraciones se dejan al interés de los lectores.
1. Sea d �= 0 un natural tal que d|m. Si a ≡ b mod m, a ≡ b mod d.
2. a ≡ b mod xi, 1 ≤ i ≤ n si y solo si a ≡ b mod l, l = [x1, x2, . . . , xn].
Teorema 1.3.6. Si g = (a,m), ax ≡ ay mod m si y solo si x ≡ y mod m
g
.
1.3. CONGRUENCIAS 29
Demostración. Si g = (a,m), existen m1, a1, (m1, a1) = 1, m, g,m1 enteros
positivos tales que,
a = a1g, m = m1g.
Pero
ax ≡ ay mod m, si y solamente si, m|a(x− y)
o equivalentemente, después de realizar los reemplazos correspondientes y
cancelar,
m1|a1(x− y)
expresión equivalente, de acuerdo con el lema de Euclides, a
m1|(x− y).
La definición de congruencia indica que
x ≡ y mod m1.
Pero, m1 =
m
g
. Realizando la sustitución se obtiene lo pedido.
Teorema 1.3.7. Si ax ≡ ay mod m y (a,m) = 1, entonces x ≡ y mod m.
Demostración. En el teorema anterior tome g = 1.
Teorema 1.3.8. La congruencia ax ≡ b mod m tiene solución si y solamente
si (a,m)|b. Si g = (a,m), existen g diferentes soluciones módulo m.
Demostración. Considérese la congruencia
ax ≡ b mod m
donde a, b,m, son enteros y m > 0. Por hipótesis m|(ax− b).
Si el entero s es una solución, m|(as− b). Por la propiedad (2) de divisi-
bilidad para cualquier entero k,
m| [a(s+ km)− b]
por tanto
a(s+ km) ≡ b mod m,
o sea, s + km es otra solución. Aśı pues, si s es una solución también lo
es cualquier otro elemento de la clase de equivalencia [ s ] módulo m. En
30 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
consecuencia, si ax ≡ b mod m tiene soluciones, estas son elementos de una
o más clases de equivalencia del conjunto cociente Z/m.
Suponga ahora que
(a,m) = 1 = ra+ tm.
Entonces,
b = bra+ btm.
Despejando,
a(br)− b = (−bt)m
esto es, m| [a(br)− b)], concluyéndose que br es una solución.
Sea s = br y supongamos que u es otra solución. Como
as ≡ b mod m y au ≡ b mod m,
sigue que
as ≡ au mod m,
o sea, m|a(s− u).
Pero (a,m) = 1 entonces, por el lema de Euclides, m|(s− u) y de aqúı se
concluye s ≡ u mod m.
En śıntesis ax ≡ b mod m tiene una solución s y [ s ] denominada la clase
de congruencia contiene todas las soluciones. Supongamos que
(a,m) = g = ra+ tm > 1.
Como a = cg, m = dg se sigue que si s es una solución, entonces
as− b = mq = dgq.
Reemplazando y transponiendo términos de obtiene
b = g(cs− dq).
Ahora es obvio que g|b.
Rećıprocamente, supongamos que g = (a,m) divide a b y escribamos
a = cg, b = eg, entonces de acuerdo con el hecho de ser ax ≡ b mod m se
sigue que cg ≡ eg mod m.
Por el teorema 1.3.6,
1.3. CONGRUENCIAS 31
cx ≡ e mod n, n = m
g
.
Por tanto toda solución de ax ≡ b mod m es solución de cx ≡ e mod n
y viceversa. Ahora bien, (c, n) = 1 de modo que cx ≡ e mod n tiene una
solución y por tanto ax ≡ b mod m tiene soluciones, quedando demostrada
la primera parte del teorema.
Para la segunda parte sea
S = {s, s+ n, s+ 2n, . . . , s+ (g − 1)n} ⊆ [ s ]
el conjunto que contiene la totalidad de las soluciones de cx ≡ e mod n. Para
demostrar que no hay dos elementos de S congruentes módulo m, aśı que
ax ≡ b mod m tiene por lo menos g soluciones incongruentes, en tanto que
cada elemento de [ s ]−S es congruente módulo m con algún elemento de S.
Luego ax ≡ b mod m tiene a lo más g soluciones incongruentes.
Sean s + kn, s + ln con k �= l dos elementos diferentes de S. Aceptemos
que son congruentes módulo m, entonces m|(k− l)n, o sea, ng|(k− l)n, y por
consiguiente g|(k− l), pero (k− l) < g, implicando que k− l = 0, de donde se
concluye que k = l, contradiciendo el supuesto. De modo que los elementos
de S son incongruentes módulo m.
Sea por ejemplo,
s+ (qg + r)n, g > r ≥ 0, q > 0
un elemento arbitrario de [ s ] − S. Como gn = m, reordenando y reempla-
zando:
s+ (gq + r)n = (s+ rn) + q(gn)
= (s+ rn) + qm.
Pero (s+rn) + qm ≡ (s+ rn) mod m, y (s+ rn) ∈ S ya que r < g.
De modo que ax ≡ b mod m tiene exactamente g soluciones incongruen-
tes, siempre y cuando (a,m) = g, g|b.
Teniendo la teoŕıa suficiente nos proponemos demostrar que a pesar de
ser compuesto, 341 divide a (2341 − 2).
Solución. El teorema de Fermat establece que
210 ≡ 1 mod 11.
32 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
Por tanto
2341 ≡ 2(210)34 ≡ 2 mod 11
y en consecuencia
11|(2341 − 2).
Además,
25 ≡ 32 ≡ 1 mod 31
luego
2341 ≡ 2(25)68 ≡ 2(1)68 ≡ 2 mod 31
de donde se concluye que
31|(2341 − 2).
Puesto que 11 y 31 son primos relativos, su producto divide a (2341−2). Esto
es, 341|(2341 − 2).
Los chinos se equivocaron y en honor al eqúıvoco se dice que un compuesto
que verifica la anterior proposición es un seudoprimo. 341 es un seudoprimo.
Ejemplo 1.3.1. Resolver la congruencia 14x ≡ 5 mod 45.
Solución. Como (14, 45) = 1 y 1|5, existe una única solución. Dado que
5 ≡ 50 mod 45,
por la propiedad transitiva
14x ≡ 50 mod 45.
Pero (2, 45) = 1, luego simplificando por 2, resulta
7x ≡ 25 mod 45.
Pero
25 ≡ 70 mod 45,
por tanto
7x ≡ 70 mod 45,
además (7, 45) = 1, lo que permite simplificar por 7, reduciéndose a
x ≡ 10 mod 45,
1.3. CONGRUENCIAS 33
lo que en términos de divisibilidad se traduce en
45|(x− 10)
de donde se recibe finalmente la ecuación,
x = 45k + 10, 0 ≤ k ≤ 44
considerada la solución general. Si k = 0 se obtiene la solución particular
x = 10.
Ejemplo 1.3.2. Resolver 3x ≡ 2 mod 78.
Solución. En la congruencia 3x ≡ 2 mod 78, (3, 78) = 3, pero 3 no divide a
2, por lo tanto no existe solución.
Ejemplo 1.3.3. Resolver 6x ≡ 10 mod 14.
Solución. (6, 14) = 2 y 2|10, entonces existen dos soluciones. Por el teorema
1.3.6, simplificando,
3x ≡ 5 mod 7.
Como 5 ≡ 12 mod 7, entonces
3x ≡ 12 mod 7
de donde
x ≡ 4 mod 7
porque (3, 7) = 1. En total se obtienen dos soluciones
x ≡ 4 mod 7
x ≡ 4 mod 14
y al final las igualdades
x = 7k + 4, 0 ≤ k ≤ 6
x = 14k + 4, 0 ≤ k ≤ 13.
Para k = 1, se obtienen las soluciones respectivas, x = 11 y x = 18. Observe
que 11 y 18 no son congruentes módulo 14.
34 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
Algunas veces es de más utilidad usar el algoritmo de la división para
resolver congruencias como en el caso que presentamos a continuación que
por lo grande del módulo y los coeficientes, los métodos utilizados hasta ahora
no son recomendables
Ejemplo 1.3.4. Resolver 343x ≡ 15 mod 1426.
Solución. Como (343, 1426) = 1, existe una única solución. Aplicando el
algoritmo de Euclides,
1426 = 343× 4 + 54
54 = 1426− 343× 4
343 = 54× 6 + 19
19 = 343− 54× 6
54 = 19× 2 + 16
16 = 54− 19× 2
19 = 16× 1 + 3
3 = 19− 16× 1
16 = 3× 5 + 1
1 = 16− 3× 5.
A continuación procedemos a expresar a 1 como una combinación lineal de
343 y 1426.
1 = 16− 3× 5
= (54− 19× 2)− (19− 16× 1)5
= 54− 19× 7 + 16× 5
= 54− 19× 7 + (54− 19× 2)5
= 54× 6− 19× 17
= 54× 6− (343− 54× 6)17
= 54× 6− 343× 17 + 54× 102
= 54× 108− 343× 17
= (1426− 343× 4)108− 343× 17
= 1426× 108− 343× 432− 343× 17
= 1426× 108− 343× 449.
1.3. CONGRUENCIAS 35
Multiplicando por 15, el primero y el último miembros,
15 = 1426(108× 15)− 343(449× 15).
Multiplicando por (−1) esta última igualdad y transponiendo términos se
transforma en,
343(−449× 15)− 15 = 1426(−108× 15),
expresión que traducida en términos de congruencia significa
343(−449× 15) ≡ 15 mod 1426.
Comparando esta congruencia con la original, debido al parecido de las ex-
presiones se deduce que
x ≡ −449× 15 mod 1426
de donde finalmente se puede escribir como consecuencia de la definición
x = −449× 15 + 1426k, 0 ≤ k ≤ 1425.
Si k = 1, entonces
x = −449× 15 + 1426
= −6735 + 1426
= −5309.
Si k = 5,
x = −6735 + 1426× 5
= −6735 + 7130
= 395,
corresponde a la primera solución positiva.
EJERCICIOS
1. Demostrar el teorema 1.3.5.
36 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
2. Resolver las siguientes congruencias,
a) 3x ≡ 2 mod 5.
b) 243x+ 17 ≡ 101 mod 725.
c) 5x ≡ 2 mod 7.
d) 9x ≡ 21 mod 12.
e) 6x+ 3 ≡ 1 mod 10 .
3. Demostrar que si m es entero, m2 ≡ 0 o 1 mod 4.
4. Mostrar que la congruencia 6x ≡ 5 mod 78 no tiene solución.
5. Usando el algoritmo de Euclides resolver las siguientes congruencias,
a) 243x+ 17 ≡ 101 mod 725.
b) 3x ≡ 2 mod 5.
c) 7x ≡ 21 mod 14.
6. Demostrar que para todo x, x3 ≡ x mod 3 y x5 ≡ x mod 5.
7. Demostrar que el discriminante b2 − 4ac ≡ 0 o 1 mod 4.
1.4. Criterios de divisibilidad
Las congruencias hacen posible desarrollar los criterios de divisibilidad usados
en Aritmética de los cuales se demostrarán los más usados. El primero es el
Criterio de divisibilidad por 2.
Ejemplo 1.4.1. Un entero es divisible por 2 si y solo si la cifra de sus
unidades es un número par
Solución. Sea n un entero divisible por 2, n se puede escribir en forma única
como
n =
m∑
k=0
ak10
k
pero 10 ≡ 2 mod 2, entonces por el teorema 1.3.4
m∑
k=0
ak10
k ≡
m∑
k=0
ak2
k mod 2
1.4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 37
por consiguiente
n ≡
m∑
k=0
ak2
k mod 2
y como 2|n,
2
∣∣∣∣
[
n−
(
n−
m∑
k=0
ak2
k
)]
.
Iniciando la sumatoria con k = 1 y sumando a0, esta expresión se puede
escribir en forma equivalente como,
2
∣∣∣∣
[
m∑
k=1
ak2
k + a0
]
y su validez depende de ser a0 par, puesto que los restantes componentes son
todos divisibles por 2.
Si n es un entero terminado en cifra par se puede escribir
n = 2k +
m∑
k=1
ak10
k, 2k = a0, 0 ≤ k ≤ 4.
Por la forma de representar a n, se concluye que debe ser par.
Ejemplo 1.4.2. Un entero es divisible por 3 si y solo si la suma de sus
d́ıgitos es un múltiplo de 3.
Solución. Sea n un entero divisible por 3.
1k ≡ 10k mod 3
entonces
m∑
k=0
ak10
k ≡
m∑
k=0
ak1
k mod 3
sustituyendo la sumatoria por n
n ≡
m∑
k=0
ak1
k mod 3.
38 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
Por definición de congruencia,
3
∣∣∣∣
[
n−
m∑
k=0
ak1
k
]
Debido a que 3|n la propiedad (2) de divisibilidad y el reemplazo de n por
la sumatoria permiten escribir,
3
∣∣∣∣
[
m∑
k=0
ak10
k −
(
m∑
k=0
ak10
k −
m∑
k=0
ak
)]
lo que conduce a afirmar que
3
∣∣∣∣ m∑
k=0
ak.
Supongamos que
m∑
k=0
ak = 3c
luego
m∑
k=1
ak + a0 = 3c
despejando,
a0 = 3c−
m∑
k=1
ak
sumando,
m∑
k=1
ak10
k + a0 = 3c+
m∑
k=1
ak10
k −
m∑
k=1
ak
sustituyendo se obtiene
n = 3c+
m∑
k=1
ak
(
10k − 1)
de donde se observa que 3|n, ya que 3|(10k − 1).
1.4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 39
Ejemplo 1.4.3. Un entero es divisible por 7 si y solo si, separando la cifra
de las unidades, multiplicándola por 2, restando este producto de lo que queda
a la izquierda y aśı sucesivamente, el resultado es cero o un múltiplo de 7.
Solución. Sea n un entero tal que
m∑
k=1
ak10
k−1 − 2a0 = 7c
multiplicando por 10 ambos miembros
m∑
k=1
ak10
k − 20a0 = 70c
sumando 21a0 a ambos lados,
n = 70c+ 21a0
o equivalentemente, 7|n.
Realizando el proceso r veces
m∑
k=r
ak10
k−r +
r−1∑
k=0
(−1)r−k2r−kak = 7t.
Multiplicando por 10r ambos términos,
m∑
k=r
ak10
k +
r−1∑
k=0
(−1)r−k2r−kak10r = 7× 10rt.
Sumando a ambos lados la expresión
r−1∑
k=0
[
10k − (−1)r−k2r−k10r]ak.
Reorganizando términos y factorizando se llega a la igualdad
n = 7× 10rt+
r−1∑
k=0
10k
[
1± (2× 10)r−k]ak.
40 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
En la expresión [1± (2× 10)r−k] se toma el signo más si r − k es impar y el
signo menos si r − k es par, 0 < r − k ≤ m.
Pero 7|[1 + (2× 10)r−k] si r− k es impar e igualmente 7|[1− (2× 10)r−k]
si r − k es par. Por lo visto 7|n.
Suponga que n es divisible por 7, pero que
m∑
k=1
ak10
k−1 = 7s+ r, con 0 < r < 7.
Siguiendo el procedimiento de los casos anteriores n = 70s + 21a0 + 10r, lo
cual implica que 7 no divide a n, contradiciendo el supuesto. Para el caso
general proceda de la misma manera.
Ejemplo 1.4.4. Un entero es divisible por 11 si y solamente si la diferencia
entre la suma de sus d́ıgitos de lugar impar y la suma de sus d́ıgitos de lugar
par es cero o múltiplo de 11.
Solución. Supongamos que n tiene un número impar de d́ıgitos y verifica la
primera condición
n =
2m∑
k=0
ak10k.
Pero 10 ≡ −1 mod 11, lo que significa que
2m∑
k=0
ak10
k ≡
2m∑
k=0
ak(−1)k mod 11.
Aplicando un razonamiento similar al de las ocasiones precedentes mediante
el uso de la propiedad (2) de divisibilidad se llega a
11
∣∣∣∣ 2m∑
k=0
ak(−1)k
de esta expresión se concluye
2m∑
k=0
a2k −
m−1∑
k=1
a2k+1 = 11t.
Igualdad que expresa la conclusión deseada y será el punto de partida para
demostrar la segunda parte.
1.4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 41
De la última igualdad, después de efectuar algunas transformaciones es-
cribimos
a0 = 11t−
m∑
k=1
a2k(−1)2k +
m+1∑
k=0
a2k+1(−1)2k+1
agregando a ambos miembros de la ecuación la expresión
2m∑
k=1
ak10
k
se llega a la igualdad
n = 11t+
2m∑
k=1
(102k − 1)a2k +
m+1∑
k=0
(102t+1 + 1)a2k+1
factorizando el miembro de la derecha se obtiene
n = 11t+
m∑
k=1
(102k − 1)a2k +
m+1∑
k=0
(102k+1 + 1)a2k+1.
Pero 11|(102k − 1) y 11|(102k+1 + 1), por lo tanto 11|n.
Si n tiene un número par de d́ıgitos se procede de semejante manera.
Es necesario hacer notar que en la demostración de los criterios de divisi-
bilidad se asumió que n era un entero positivo a pesar de no hacer mención ex-
pĺıcita de este hecho. Las propiedades de la divisibilidad aśı lo justifican.
EJERCICIOS
1. Demostrar: Un entero es divisible por 5 si y solo si termina en cero o
en 5.
2. Demostrar: Un entero es divisible por 13 si y solo si separando la cifra
de las unidades, multiplicándola por 9, restando este producto de lo
que queda a la izquierda y aśı sucesivamente, da cero o múltiplo de 13.
3. Demostrar: Un entero es divisible por 17 si y solo si separando la cifra
de las unidades, multiplicándola por 5, restando este producto por lo
que queda a la izquierda, y aśı sucesivamente da cero o múltiplo de 17.
4. Demostrar: Un entero es divisible por 19, si y solo si, separando la cifra
de las unidades, multiplicándola por 17, restando este producto de lo
que queda a la izquierda, y śı sucesivamente, da cero o múltiplo de 19.
42 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
1.5. Sistemas de numeración
La invención de un sistema de numeración, que ahora luce tan natural costó mu-
chos milenios a la humanidad. Los pueblos primitivos trajinaban con conjun-
tos muy reducidos y los valoraban o comparaban sin necesidad de conocer
los nombres de sus objetos.
El gran descubrimiento fue hallar un procedimiento para nombrar y re-
presentar todos los números con un conjunto reducido de palabras y śımbo-
los que es el objetivo de cualquier sistema de numeración. La mayoŕıa de
los sistemas de numeración tienen su fundamento en un número clave lla-
mado base del sistema, que en el sistema decimal es el 10. Los śımbolos,
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se denominan d́ıgitos cuando se usan para representar
enteros. El sistema decimal se desarrolló en la India, pero fue introducido
en Europa por los árabes con motivo de la invasión efectuada por estos últi-
mos al continente, por esta razón se le conoce como hindú-arábico, pero más
popularmente como sistema arábico de numeración.
Cada entero t mayor que 1 puede servir de base para un sistema de
numeración. Escogemos śımbolos arbitrarios para representar los d́ıgitos, esto
es los elementos, 0, 1, 2, 3, 4, . . . , (t− 1). Y sustituimos el número
n =
m∑
k=0
akt
k
por el śımbolo
n = amam−1am−2 · · ·a1a0(t.
Si la base es mayor que 10 debemos buscar śımbolos para sustituir los d́ıgitos
mayores que 9. Por ejemplo para la base 12, hacemos 10 = α, 11 = β. Aśı las
cosas en dicha base podemos escribir números tales como 507β34, 87α35,
4129, β03, y aśı sucesivamente.
Siempre se ha pensado que el sistema duodecimal seŕıa muy práctico
porque 12 tiene más divisores primos que 10 y se puede agrupar mejor por
docenas que por decenas, pero esta inquietud se ha reducido al campo de
las especulaciones. Lo cierto es que el sistema decimal está muy adherido al
desarrollo de la humanidad. El sistema binario o los de potencias de 2 han
sido popularizados por las computadoras. La tecnoloǵıa de estos artefactos
está basada en los códigos de verdadero-falso, apagado-encendido. El sistema
binario está conformado por los d́ıgitos 0, 1, lo que constituye una aparente
desventaja debido a que se necesita una cantidad grande de d́ıgitos binarios
1.5. SISTEMAS DE NUMERACIÓN 43
para escribir cualquier número, por ejemplo 1325 = 10100101101. Pero la
aparente desventaja se traduce en versatilidad.
1.5.1. Cambio de bases
1. Paso de un número escrito en una base cualquiera t a la base
decimal. Sea t > 1 una base cualquiera, n un número escrito en dicha base
n =
m∑
k=0
akt
k con 0 ≤ ak ≤ (t− 1) para 0 ≤ k ≤ m
esta igualdad proporciona una regla práctica para escribir el número n en
base 10.
Primero desarrollamos todas las potencias de t, desde la cero hasta la
m-ésima, después efectuamos todos los productos y por último procedemos
a sumarlos. Si realizamos las operaciones en base 10 el resultado será la
representación de n en base decimal.
Ejemplo 1.5.1. Escribir en base 10 el número 2αβ12.
Las tres primeras potencias de 12 son 1, 12, 144.
2αβ12 = 2× 144 + 10× 12 + 11× 1 = 288 + 120 + 11 = 419.
2. Paso de un número escrito en base 10 a una base cualquiera. Sea
t > 1 una base cualquiera, n un número escrito en base 10 y sea
n = amam−1am−2 · · ·a1a0(t
la expresión de n en base t.
n =
m∑
k=0
akt
k =
m∑
k=1
akt
k + a0.
Del tercer miembro y teniendo en cuenta que los valores absolutos de los
d́ıgitos son siempre menores que la base se deduce que si dividimos n por t
44 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
se obtiene un cociente q1 y a0 de residuo, es decir, el residuo corresponde al
primer d́ıgito leyendo de derecha a izquierda.
m∑
k=1
akt
k =
m∑
k=2
akt
k + a1.
De esta igualdad observamos que si dividimos por segunda vez por t ob-
tenemos nuevos cocientes y residuos q2 y a1 respectivamente, residuo que
corresponde al segundo d́ıgito leyendo en el mismo orden. Después de rei-
teradas operaciones llega un momento en que se obtienen por cociente y
residuo finales am y am−1 respectivamente, números que corresponden a los
dos últimos d́ıgitos de n en base t.
Las operaciones anteriores se pueden representar en un gráfico aśı:
. . .
. . .
n t
a0 q1 t
ta1
q2
qm−2 tam−3
am−2 qm−1 t
am−1 am
Figura 1.1
Este gráfico nos dice que para pasar de un número escrito en base 10 a una
base cualquiera t dividimos el número dado (operando en base 10) sucesiva-
mente por t hasta que lleguemos a un cociente menor que la base y después
tomamos el último cociente y todos los residuos encontrados pero en sentido
retrógrado y estos valores serán las cifras del número de izquierda a derecha.
Hay que notar que si t es mayor que 10 los residuos pueden ser 10 o ma-
yores y entonces tenemos que sustituir esos residuos por los śımbolos que le
corresponden en ese sistema.
Ejemplo 1.5.2. Escribir en base 12 el número 15135510.
1.5. SISTEMAS DE NUMERACIÓN 45
Solución. Tome 10 = α, 11 = β. Efectuando las divisiones sucesivas
151355 = 12× 12612 + 11
12612 = 12× 1051 + 0
1051 = 12× 87 + 7
87 = 12× 7 + 3.
El número escrito en base 12 es 7370β12.
Ejemplo 1.5.3. Escribir en base 5 el número 7210.
Solución.
72 = 5× 14 + 2
14 = 5× 2 + 4.
La respuesta es 2425.
1.5.2. Operaciones en base cualquiera
Un procedimiento para operar números en cualquier base (pero todos en la
misma) seŕıa pasarlos a la base 10, efectuar las operaciones y el resultado
devolverlo luego a la base original.
Para cantidades pequeñas otro método consiste en operar en la base res-
pectiva teniendo el cuidado de recordar que opera en base diferente a la
decimal con el fin de evitar eqúıvocos. Cuando hay que realizar muchas ope-
raciones lo mejor es utilizar una tabla.
La tabla de sumar
Para construir una tabla de sumar, que puede utilizarse para restar, se escribe
en fila la sucesión de los números hasta donde se quiera, pero por lo menos
hasta agotar los d́ıgitos.
Debajo de esa primera fila se escribenlos mismos números agregados en la
unidad, la tercera será igual a la segunda más la unidad y aśı sucesivamente.
Para sumar dos números se toma uno en la primera columna y el otro en
la primera fila y la suma estará en la intersección de la columna y fila que
encabezan los sumandos, aunque la propiedad conmutativa permite tomarlos
sin importar cuál se toma en la fila y cuál en la columna.
A continuación se construye una tabla de sumar en base 5.
46 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
+ 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21
1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21 22
2 3 4 10 11 12 13 14 20 21 22 23
3 4 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24
4 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30
10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31
11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32
12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32 33
Figura 1.2
Ejemplo 1.5.4. Sumar: 11112 + 10102 + 1102 + 111012.
Solución. Tomando las primeras cifras de derecha a izquierda (unidades) y
operando en base dos,
1 + 0 + 0 + 1 = 1 + 1 = 10.
Escribo 0 en la primera posición del resultado y traslado 1 a la segunda
posición. Tomando las cifras de la segunda posición más 1 que traslado se
obtiene.
1 + (1 + 1 + 1 + 0) = 1 + (11) = 100.
Escribo 0 en la segunda posición y traslado 10 a la tercera. Tomando las
cifras de la tercera posición más 10 se escribe,
10 + (1 + 0 + 1 + 1) = 10 + (11) = 101.
Escribo 1 en la tercera posición y traslado 10 a la cuarta. Tomando las cifras
de la cuarta posición más 10, se tiene,
10 + (1 + 1 + 0 + 1) = 10 + 11 = 101.
Escribo 1 en la cuarta y traslado 10 a la quinta . Tomando las cifras de la
quinta posición más 10, se obtiene
10 + (0 + 0 + 0 + 1) = 11
cifra que corresponde al último resultado. Finalmente, escribiendo de izquier-
da a derecha se obtiene el total: 1111002.
Escribiendo la suma en forma compacta,
1.5. SISTEMAS DE NUMERACIÓN 47
1 1 1 1
1 0 1 0
+ 1 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0 0
Ejemplo 1.5.5. Efectuar la diferencia 220237 – 46257.
Solución. Tomando el desarrollo polinómico de 22023 en base siete
22023 = 2×74+2×73+0×72+2×7+3 = 1×74+11×73+6×72+11×7+13.
Recuerde que estamos haciendo un desarrollo en base 7. El desarrollo
polinómico de 4625 es,
4625 = 4× 73 + 6× 72 + 2× 7 + 5.
Ahora basta con efectuar las respectivas restas aśı,
13− 5 = 5
11− 2 = 6
6− 6 = 0
11− 4 = 4
1− 0 = 1.
Tomando los resultados en orden ascendente y escribiéndolos de izquierda a
derecha la respuesta obtenida es, 140657. En forma compacta
2 2 0 2 3
– 4 6 2 5
1 4 0 6 5
La tabla de multiplicar
La tabla de multiplicar que también sirve para dividir se construye escribien-
do la sucesión de los números de la base en el sistema en referencia a partir
48 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
de 1. En la segunda fila en correspondencia con la primera se escribe el resul-
tado de sumar la primera fila consigo misma. La tercera se obtiene sumando
la segunda con la primera. La cuarta es el resultado de sumar la primera con
la tercera y aśı sucesivamente cada nueva fila se obtiene sumando la primera
con la última obtenida. Para hallar el producto de dos números se toman los
factores se procede en forma similar a la suma. La siguiente es una tabla de
multiplicar en base cinco
× 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21
1 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21
2 2 4 10 13 20 22 24 31 33 40 42
3 3 11 13 22 30 33 41 44 102 110 113
4 4 13 21 31 40 44 103 112 121 130 134
10 10 20 24 40 100 110 120 130 140 200 210
11 11 22 32 44 110 121 132 143 204 220 231
12 12 24 40 103 120 131 144 211 223 240 302
Figura 1.3
Ejemplo 1.5.6. En base 4 se opera de manera semejante a la base 10, exa-
minemos el siguiente producto:
Solución. Se dispone el producto de manera ordinaria.
1 0 2 1 3
× 2 2 1
1 0 2 1 3
2 1 0 3 2
2 1 0 3 2
2 3 3 0 3 3 3
El resultado es 23303334.
Finalmente se da solución a la siguiente división en base cinco.
Ejemplo 1.5.7. Dividir 231245 entre 325.
Solución. La operación se dispone aśı:
1.5. SISTEMAS DE NUMERACIÓN 49
2 3 1
′
2
′
4
′
3 2
−2 0 1 3 4 2
1 4 4
3 0 2
−2 3 3
−1 1 4
3 0
El algoritmo se desarrolla de la siguiente forma. Se toman las tres primeras
cifras de la izquierda del dividendo, esto es, 231. El número que multiplicado
por 32 se aproxima más a 231 es 3. Se multiplica 32 por 3.
32× 3 = 201.
Se efectúa la diferencia
231− 201 = 30.
A 30 se le agrega la cuarta cifra del dividendo, obteniéndose 302. El número
que multiplicado por 32 se aproxima más a 302 es 4. Se multiplica 32 por 4.
32× 4 = 233.
Se realiza la diferencia
302− 233 = 14.
Tomando la última cifra del dividendo, 4 y agregándola a 14 se obtiene 144.
El número que multiplicado por 32 se aproxima más a 144 es 2. Multiplicando
32 por 2.
32× 2 = 114.
La diferencia
144− 114 = 30
produce el residuo 30. El cociente es 3425.
Los enteros obtenidos mediante las diferentes bases son equivalentes, por
ejemplo las igualdades
125 + 205 = 325
710 + 1010 = 1710
213 + 1013 = 1223
50 CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA ARITMÉTICA
conducen a resultados correspondientes. Estas correspondencias se dice que
son isomorfismos y a las estructuras se les denomina isomorfas.
EJERCICIOS
1. Construir tablas de adición y multiplicación para las siguientes bases:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12.
2. Usando las tablas del ejercicio anterior, evaluar:
a) 110112 + 10012 + 112 + 102 + 12 + 11000012 + 10001102.
b) 11220013 + 112200023 + 1112123 + 121211213 + 111110013.
c) 7650418 + 6755028 + 123456708 + 765432108 + 1006368.
d) 9α87654311 − 796α2511.
e) 11100010112 − 10001111002.
f ) βα985304β12 − α908548212.
g) 2α912 × β3012.
h) 1101012 × 10112.
i) 650327 × 3427.
j ) 44105 × 3145.
k) Dividir 434015 entre 3105.
l) Dividir 9αβ3412 entre 1812.
m) Hallar la ráız cuadrada de los siguientes números : 2112, 6912, α112,
1412, 4112.
n) Desarrollar (912 + β12)
2.
3. Expresar 1220013 en base 12.
4. Expresar 4300215 en base 7.
5. Expresar 1120013 en base 10.
6. Expresar 8753326710 en base 12.
7. Demostrar que en un sistema de base n los números n, n2, n3, . . . , están
representados por 10, 100, 1000, . . .
1.5. SISTEMAS DE NUMERACIÓN 51
8. ¿En qué sistema está expresado por 333n el número 9310?
9. ¿En qué sistema el cuadrado de 23n está expresado por 613n?
10. Demostrar: Un número en base n es divisible por (n− 1) si y solo si la
suma de sus d́ıgitos es un múltiplo de (n− 1).
11. Utilizando el ejercicio anterior enuncie un criterio de divisibilidad por
9.
12. Demostrar: Un número en base n, es divisible por (n + 1) si y solo si
la diferencia entre la suma de sus cifras de lugar impar y la suma de
sus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, da cero o múltiplo de
(n+ 1). Compare este criterio con el de divisibilidad por 11.
13. Demostrar: Si H es un número escrito en base n, y formamos otro
número K alterando el orden de las cifras de H , la diferencia H −K o
K −H es divisible por (n− 1).
Caṕıtulo 2
GRUPOS
2.1. Leyes de composición internas
El primer contacto que el estudiante tiene con el álgebra se produce cuando
aprende a sumar y a multiplicar. Básicamente estas operaciones son reglas
que asocian con cada par de números dados un único número llamado suma
y producto respectivamente.
La importancia de una operación está ligada a la calidad de los resultados
obtenidos y estos a su vez dependen de las propiedades que se puedan derivar
de dicha regla. Para definir una operación matemática basta con describir lo
que deseamos efectuar con los elementos de un determinado conjunto, pero
si los resultados no conducen a un desarrollo teórico de interés, es necesario
analizar la definición propuesta debido a que las propiedades que resulten en
definitiva son inferencias lógicas de esta última. En el caso de las operacio-
nes antes mencionadas las propiedades básicas son ampliamente conocidas y
son de tal calidad que se usaron para describir generalizaciones que susten-
taron la construcción de estructuras más complejas estudiadas por el álgebra
moderna.
Los grupos por ser una estructura con una sola operación sirven para darcomienzo. Este hecho no los coloca en desventaja con relación a otras más
amplias, antes por el contrario, al servir de base para estudiar conclusiones
que por sus limitaciones no pod́ıan resolver, muestran la calidad reclamada
para las leyes de composición internas.
Definición 2.1.1. Una ley de composición interna ∗ definida en un conjunto
no vaćıo A, es una regla que asocia con cada pareja de elementos de A un
53
54 CAPÍTULO 2. GRUPOS
único elemento de A. El elemento de A que es asociado con la pareja (a, b)
se nota a ∗ b. En śımbolos,
A× A −→ A
(a, b) −→ a ∗ b.
La suma de números naturales, el producto de reales, la suma de matrices
2 × 2 son conocidas leyes de composición internas, en cambio la resta de
naturales y la división de racionales no lo son, en el primer caso para efectuar
la diferencia a−b es necesario que a sea mayor que b, en el segundo la división
por cero no está definida.
Hasta el momento, sin haberlo mencionado, se ha dado por cierto que
las leyes de composición se efectúan con parejas de elementos; justificando
el nombre de operaciones binarias, pero restringir las operaciones solo con
parejas no conduce a satisfacer la expectativa planteada, por tal razón de-
bemos aclarar la forma de operar más de dos elementos. Por otra parte no
se ha mencionado el orden de los elementos a operar, para el propósito se
enuncian las definiciones que siguen.
Definición 2.1.2. Una ley de composición interna ∗ definida en un conjunto
A, se dice asociativa si y solo si, para los elementos a, b, c de A,
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
Definición 2.1.3. Una ley de composición interna ∗ definida en A se dice
conmutativa si y solo si, para a, b elementos de A
a ∗ b = b ∗ a.
La suma de reales satisface estas dos propiedades, pero la resta no. El pro-
ducto de matrices m×n no satisface la propiedad conmutativa, de alĺı surge
la necesidad de decidir cuál factor colocamos a la izquierda.
Definición 2.1.4. Una ley de composición interna ∗ en un conjunto A, posee
un elemento de identidad o neutro, si existe e en A tal que para todo elemento
a de A,
a ∗ e = e ∗ a = a.
Definición 2.1.5. Una ley de composición interna ∗ con elemento de iden-
tidad e se denomina inversible con respecto a e, si para todo a de A, existe
a′ en A tal que
a ∗ a′ = a′ ∗ a = e
a′ se denomina entonces el inverso de a.
2.1. LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNAS 55
En los reales diferentes de cero la multiplicación es una ley de compo-
sición interna asociativa, conmutativa, posee elemento de identidad el 1 y
es inversible con respecto al 1 (todo real diferente de cero posee un inverso
multiplicativo). En los enteros el producto no es inversible a pesar de tener
elemento de identidad.
EJERCICIOS
1. Decida cuáles de las siguientes reglas definen operaciones binarias en el
conjunto dado y cuáles no. En caso afirmativo demostrarlo y en caso
negativo dar una razón.
a) En el conjunto de los reales, a ∗ b = ab.
b) En el conjunto de los reales, a ∗ b = a− b.
c) En Z+, a∗b = c, donde c es el mayor entero menor que el producto
ab.
d) En el conjunto de los reales, a ∗ b = (ab) 12 .
2. En Zn = {x | 0 ≤ x < n}, a ∗ b = r donde r es el residuo de dividir
a+ b por n. Demuestre que ∗ es una operación binaria.
3. Sea Z∗n = Zn − {0}, a ∗ b = r, donde r es el residuo de dividir ab por
n. Demuestre que ∗ es una operación binaria si n es primo. Diga por
qué no lo es si n es compuesto.
4. En cada uno de los siguientes ejercicios ∗ es una operación binaria
definida en los enteros. Diga en cada caso y demuéstrelo, si la operación
es asociativa, conmutativa, si posee elemento de identidad y si tiene
inverso. En caso negativo dar ejemplos.
a) a ∗ b = b.
b) a ∗ b = a+ b+ ab.
c) a ∗ b = a+ b− 1.
d) a ∗ b = a+ ab.
e) a ∗ b = 2a+ 2b.
f ) a ∗ b = ab+ 1.
56 CAPÍTULO 2. GRUPOS
g) a ∗ b = a− b.
5. Con relación a los ejercicios 2 y 3 diga y demuestre si ∗ es una ope-
ración asociativa, conmutativa, si posee elemento de identidad y si es
inversible. En caso negativo dar ejemplos.
6. Dar un ejemplo de una operación binaria que posea elemento de iden-
tidad y sea inversible pero no sea asociativa ni conmutativa.
2.2. Grupos
Una vez estudiadas las propiedades anteriores, veamos cómo es posible usar-
las en la solución de problemas relacionados con la operación definida. Por
ejemplo una determinada situación puede llevarnos a plantear igualdades de
una de las formas
a ∗ x = b o x ∗ a = b
donde a, b son elementos dados de A, x es un elemento desconocido de A.
Si no podemos dar respuesta a este sencillo problema no vale la pena
continuar, por consiguiente debemos presuponer que es posible una solución.
Tomemos por ejemplo la ecuación de la izquierda
a ∗ x = b.
Operando a izquierda por a′, el inverso de a
a′ ∗ (a ∗ x) = a′ ∗ b.
Usando la propiedad asociativa
(a′ ∗ a) ∗ x = a′ ∗ b.
Por la propiedad modulativa
x = a′ ∗ b.
Estrictamente hablando no se puede decir que la expresión de la derecha de
la última igualdad sea la solución, pero se ha demostrado que es la única
posibilidad. Para demostrar que efectivamente es una solución, basta con
reemplazar el valor de x por a′ ∗ b. Básicamente se necesitó contar con la
existencia del elemento neutro, del inverso de a y de la propiedad asociativa.
Note la necesidad de la aplicación de estas propiedades para poder resolver
el problema formulado.
2.2. GRUPOS 57
Definición 2.2.1. Un grupo 〈G, ∗〉 es un conjunto G dotado de una opera-
ción ∗ que es
1. Asociativa.
2. Posee elemento de identidad e.
3. Es inversible con respecto a e.
Definición 2.2.2. Si la operación ∗ es conmutativa el grupo se dice conmu-
tativo o abeliano.
En lo que sigue notaremos los grupos usando la letra G sola, salvo en
algunos casos especiales.
Ejemplo 2.2.1. Sea X un conjunto arbitrario y T (X) el conjunto de todas
las aplicaciones biyectivas, φ : X −→ X. Entonces 〈T (X), ◦〉 es un grupo si
se considera como operación la composición de funciones.
Para todo x de X
x(ρ ◦ μ) = x(ρμ) = (xρ)μ.
Observe que se está usando la notación xφ para representar la imagen de x.
Esta forma de escribir tiene la ventaja de ejecutar las operaciones de izquierda
a derecha por ejemplo, ρ ◦ μ indica que primero debe aplicarse ρ y luego μ.
Para abreviar se omite el śımbolo de composición en lo que sigue.
Solución. Es claro que la composición es una operación asociativa. Para todo
x de X
x[(τρ)μ] = [x(τρ)]μ
= [(xτ)ρ]μ
= (xτ)(ρμ)
= x[τ(ρμ)].
Por lo tanto
(τρ)μ = τ(ρμ).
Tiene elemento neutro. La aplicación idéntica i definida en X, tal que para
todo x en X
xi = x
58 CAPÍTULO 2. GRUPOS
actúa como elemento de identidad.
Es inversible con respecto a i puesto que toda biyección posee inversa con
respecto a la idéntica.
T (X) se denomina el grupo de las transformaciones en X y es el ejemplo
más importante que podemos citar. Posteriormente habrá lugar para referir-
nos a él y veremos su trascendencia en el desarrollo de la teoŕıa.
Teorema 2.2.1. Si G es un grupo, entonces
1. Las dos leyes de cancelación se verifican, esto es
a) Si a ∗ b = a ∗ c, entonces b = c.
b) Si b ∗ a = c ∗ a, entonces b = c.
2. Si a, b son dos elementos cualesquiera de G, las ecuaciones lineales
a ∗ x = b, y ∗ a = b
tienen soluciones únicas en G.
Demostración. Como G es un grupo, para todo a de G, existe el inverso a′
en G. Supongamos que
a ∗ b = a ∗ c.
Multiplicando a izquierda ambos miembros de la anterior igualdad por a′, se
obtiene
a′ ∗ (a ∗ b) = a′ ∗ (a ∗ c).
Aplicando la propiedad asociativa
(a′ ∗ a) ∗ b = (a′ ∗ a) ∗ c.
Efectuando operaciones y usando la propiedad modulativa, se llega a
b = c.
De manera semejante se procede con la demostración de (b).
2.2. GRUPOS 59
Anteriormente se comprobó que una posible solución a la ecuación lineal
a ∗ x = b es a′ ∗ b. Para demostrar que verdaderamente lo es efectuemos el
reemplazo correspondiente
a ∗ x = a ∗ (a′ ∗ b)
= (a ∗ a′) ∗ b
= e ∗ b
= b.
Se ha comprobado que a′ ∗ b es una solución.
Para demostrar la unicidad supongamosque existen dos soluciones x1, x2
entonces
a ∗ x1 = b = a ∗ x2.
Por aplicación de la propiedad transitiva de la igualdad y cancelativa a iz-
quierda
x1 = x2.
Indicando que la solución es única. La otra demostración es similar, en este
caso se debe aplicar la propiedad cancelativa a derecha.
Teorema 2.2.2. En un grupo,
1. El elemento de identidad es único.
2. El inverso de un elemento es único.
Demostración. Supongamos que existen dos elementos de identidad e1, e2
entonces
e1 ∗ a = a ∗ e1 = a
e2 ∗ a = a ∗ e2 = a.
Por la propiedad transitiva de la igualdad
e1 ∗ a = e2 ∗ a.
Por la propiedad cancelativa a derecha
e1 = e2
o sea, el elemento de identidad es único.
60 CAPÍTULO 2. GRUPOS
Definición 2.2.3. Un sistema 〈G, ∗〉 se dice un grupo a izquierda si
1. La operación es asociativa.
2. Existe un elemento de identidad a izquierda.
3. Para todo a de G existe a′ en G inverso a izquierda.
Los grupos a izquierda y a derecha son conocidos como grupos uniláteros.
El siguiente teorema demuestra que el concepto de grupo unilátero no es
diferente del concepto de grupo, más precisamente: Todo grupo unilátero es
un grupo y viceversa.
Teorema 2.2.3. Un sistema 〈G, ∗〉 es un grupo a izquierda (respectivamente
a derecha) si y sólo si es un grupo.
La demostración la dejamos al cuidado de los interesados.
EJERCICIOS
1. Demostrar que el conjunto G = {a + b√2 | a, b ∈ Z} es un grupo
abeliano para la adición.
2. Demostrar el teorema 2.2.3.
3. Sea una operación asociativa definida en un conjunto finito G tal que
las dos leyes de cancelación se verifican en G. Demuestre que G es un
grupo.
4. Demuestre en cada uno de los siguientes ejercicios si el sistema descrito
es o no un grupo. En caso negativo diga cuál o cuáles de los axiomas
no se verifican. Para los grupos hallados diga cuáles son abelianos y
demuéstrelo.
a) En el conjunto de los enteros, a ∗ b = ab.
b) En el conjunto de los enteros, a ∗ b = a− b.
c) En el conjunto de los reales diferentes de cero, a ∗ b = ab.
d) En el conjunto de los complejos, a ∗ b = a+ b.
2.3. GRUPOS FINITOS Y CONSTRUCCIÓN DE TABLAS 61
e) En el conjunto de los enteros, a ∗ b = a+ b+ 1.
f ) En el conjunto de los racionales del intervalo (0, 1] , a ∗ b = ab.
5. Sea G = {x ∈ R | x �= −1}, a ∗ b = a+ b+ ab.
a) Demostrar que G es un grupo abeliano.
b) Hallar la solución de la ecuación, 5× x× 2 = 8.
6. Demostrar que las matrices 2× 2 con elementos complejos
i =
(
1 0
0 1
)
, j =
(
i 0
0 −i
)
, k =
(
0 1
−1 0
)
, l =
(
0 i
i 0
)
y sus inversas forman un grupo con respecto al producto, llamado el
grupo de los cuaternios.
2.3. Grupos finitos y construcción de tablas
Para un conjunto finito es posible definir una operación por medio de una
tabla. Sea G = {e, a, b} , y la operación definida por,
∗ e a b
e e a b
a a b e
b b e a
Figura 2.1
La regla que define la ley de composición expresada mediante una tabla es
ai ∗ aj = aij
donde ai es el i-ésimo elemento de la columna de encabezamiento, aj es el
j-ésimo elemento de la fila de encabezamiento, aij el elemento situado en la
intersección de la i-ésima columna con la j-ésima fila de las respuestas. Para
la tabla de arriba: a ∗ b = e , b ∗ e = b.
Una operación definida por medio de una tabla es conmutativa si y solo
si sus elementos son simétricos con respecto a la diagonal principal, o sea la
que comienza en la parte superior izquierda y termina en la parte inferior
derecha. Note que la operación de la tabla anterior no es conmutativa.
62 CAPÍTULO 2. GRUPOS
Suponga que e es el elemento de identidad para un grupo 〈G, ∗〉, considere
el conjunto {e}. La igualdad e ∗ e = e es la única posibilidad para operar
en este conjunto. Es sencillo demostrar que {e} forma un grupo abeliano.
∗ e
e e
Figura 2.2
Tomemos el conjunto G = {e,a}, tratemos de definir una operación que lo
convierta en un grupo. Comencemos la escritura de la tabla.
Como e es el elemento de identidad,
e ∗ a = a ∗ e = a.
Igualmente
e ∗ e = e.
Además a debe tener su inverso. Si el inverso de a es e,
a ∗ e = e,
contradiciendo la definición de e, luego a debe ser su propio inverso, esto es,
a ∗ a = e.
La tabla se puede llenar aśı,
∗ e a
e e a
a a e
Figura 2.3
Se debe verificar que la tabla define un grupo abeliano.
A continuación encontremos las condiciones que deben ser impuestas para
que una operación definida por medio de una tabla convierta un conjunto
finito G en un grupo.
Primero escribimos los elementos de G horizontalmente en un determina-
do orden, encabezados por el elemento de identidad e. A continuación se es-
criben en forma vertical y en el mismo orden predeterminado, conformándose
2.3. GRUPOS FINITOS Y CONSTRUCCIÓN DE TABLAS 63
lo que se denominan fila y columna externas y sirven para leer los elemen-
tos a operar. Por ejemplo a ∗ b indica que el primer elemento pertenece a
la columna y el segundo a la fila. Esta convención la vamos a respetar a lo
largo del texto y es importante aclararlo porque en los grupos no abelianos
el orden es decisivo.
Posteriormente se elaboran las filas y columnas internas correspondientes
a la parte donde se van a leer las respuestas, estas se denominarán primera,
segunda, tercera y aśı sucesivamente, de arriba hacia abajo en el caso de las
filas y de izquierda a derecha para el caso de las columnas.
Debido a que para todo x en G se debe tener la igualdad
e ∗ x = x
necesariamente debemos formar la primera fila interna escribiéndola en el
mismo orden de la fila externa.
Por otra parte, la igualdad
x ∗ e = x
nos obliga a escribir la primera columna interna en el mismo orden de la
columna externa.
El hecho que cada elemento x debe tener un inverso a derecha implica
que e debe aparecer en algún lugar en la fila encabezada por x. Como igual
sucede con el inverso a izquierda, e debe aparecer en algún lugar de la columna
encabezada por x.
En otras palabras, e debe aparecer en cada fila y en cada columna.
Por el teorema 2.2.1 las ecuaciones
a ∗ x = b, y ∗ a = b
tienen soluciones únicas, esto quiere decir que cada elemento de G debe
aparecer una y solamente una vez en cada fila y en cada columna.
Suponga ahora que existe una tabla para una operación en un conjunto
finito donde aparece un elemento actuando como elemento de identidad y que
cumple con todas las condiciones expuestas. Se puede ver que la operación
definida convierte al conjunto en un grupo si y solo si se verifica la propiedad
asociativa. Generalmente esta es laboriosa de comprobar, pero en la práctica
la información acerca de la asociatividad procede con frecuencia de otras
fuentes.
64 CAPÍTULO 2. GRUPOS
Si G = {e, a, b}, mirando las restricciones impuestas,existe una única
posibilidad para confeccionar una tabla que dote a G de una estructura de
grupo.
Hechas las consideraciones del caso resulta la tabla
∗ e a b
e e a b
a a b e
b b e a
Figura 2.4
G es un grupo abeliano.
Definición 2.3.1. Se denomina orden de un grupo G al número de elementos
del conjunto G y se nota | G |.
Si el orden de G es finito, diremos que G es un grupo finito, en caso
contrario se denomina infinito.
Por ejemplo si G = {2, 3, 4, 5} el orden de G, esto es, | G | = 4. El orden
de los enteros es infinito.
Se puede proceder de la siguiente forma para demostrar que solo existen
dos estructuras de grupo diferentes en un conjunto de orden cuatro.
Sea G = {e, a, b, c} donde e es el elemento idéntico para la operación
��asterisco��. Una tabla debe iniciarse de la siguiente manera
∗ e a b c
e e a b c
a a ?
b b
c c
Figura 2.5
En el espacio con la interrogación puede escribirse unicamente e, b o c. Si
se escribe e, la tabla puede ser confeccionada de dos modos para obtener
grupos. Si se escribe b, puede ser completada de una única forma. Otro tanto
sucede si se escribe c. Siguiendo el proceso explicado las tablas quedan aśı,
2.3. GRUPOS FINITOS Y CONSTRUCCIÓN DE TABLAS 65
TABLA I TABLA II
∗ e a b c ∗ e a b c
e e a b c e e a b c
a a e c b a a e c b
b b c a e b b c e a
c cb e a c c b a e
Figura 2.6 Figura 2.7
TABLA III TABLA IV
∗ e a b c ∗ e a b c
e e a b c e e a b c
a a b c e a a c e b
b b c e a b b e c a
c c e a b c c b a e
Figura 2.8 Figura 2.9
Dando por cierto que la propiedad asociativa se verifica en cada uno de los
cuatro casos, hemos obtenido cuatro grupos aparentemente diferentes; pero
la realidad es que las tablas I, III, IV son estructuralmente idénticos. Tome
la biyección φ definida de la siguiente manera
eφ = e
aφ = b
bφ = a
cφ = c
y vuelva a escribir la tabla I en el orden eφ, aφ, bφ, cφ
TABLA I
∗ eφ aφ bφ cφ
eφ eφ aφ bφ cφ
aφ aφ bφ cφ eφ
bφ bφ cφ eφ aφ
cφ cφ eφ aφ bφ
Figura 2.10
66 CAPÍTULO 2. GRUPOS
Esta última tabla se elaboró a partir de la I usando la biyección φ, por
ejemplo, dado que aφ = b, bφ = a, la operación (aφ)(bφ) se calculó mediante
las igualdades
(aφ)(bφ) = ba = c = cφ.
Note que la tabla I vuelta a escribir es idéntica con la III, salvo el uso del
śımbolo de la función. Tome hora la biyección ψ definida en la forma
eψ = e
aψ = a
bψ = c
cψ = b
y escriba la tabla IV en el orden eψ, aψ, bψ, cψ
TABLA IV
∗ eψ aψ bψ cψ
eψ eψ aψ bψ cψ
aψ aψ bψ cψ eψ
bψ bψ cψ eψ aψ
cψ cψ eψ aψ bψ
Figura 2.11
La tabla IV también es idéntica a la III, salvo el uso del śımbolo de la función.
En conclusión, las tablas I, III, IV son estructuralmente idénticas. Posterior-
mente se dirá que son grupos isomorfos.
Miremos el grupo constituido por el conjunto G = {0, 1, 2, 3} con la ope-
ración + definida mediante la tabla
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
Figura 2.12
2.3. GRUPOS FINITOS Y CONSTRUCCIÓN DE TABLAS 67
Finalmente vamos a estudiar la biyección ρ dada por
eρ = 0
aρ = 1
bρ = 2
cρ = 3.
Escribiendo la tabla de 〈G,+〉 en el orden eρ, aρ, bρ, cρ obtenemos
+ eρ aρ bρ cρ
eρ eρ aρ bρ cρ
aρ aρ bρ cρ eρ
bρ bρ cρ eρ aρ
cρ cρ eρ aρ bρ
Figura 2.13
Con el resultado obtenido hemos agregado un elemento más a la lista, pu-
diendo afirmar que las tablas I, III, IV y 〈G,+〉 constituyen el mismo grupo.
La tabla II es el grupo cuaternario de Klein, en honor del matemático alemán
Felik Klein, mientras que 〈G,+〉 corresponde al grupo 〈Z4,+〉 de los enteros
módulo 4, conocido también como el grupo ćıclico de orden 4. Ambos grupos
son abelianos
EJERCICIOS
1. En Zn = {x | 0 ≤ x < n}, a ∗ b = r donde r es el residuo de dividir
a+ b por n. Demuestre que Zn es un grupo abeliano.
2. De acuerdo con el ejercicio anterior,construya las tablas para Z1, Z3,
Z4, Z5, Z6, Z13.
3. Sea Z∗p = Zp −{0}, a ∗ b = r, donde r es el residuo de dividir ab por n.
Demuestre que Z∗p es un grupo abeliano si p es primo.
4. De acuerdo con el ejercicio anterior construya las tablas para Z∗2, Z
∗
3,
Z∗5, Z
∗
7, Z
∗
13.
5. Sea n �= 0 un entero, Wn = {x ∈ Z∗ | x es primo relativo con n}. Defi-
na ∗ como en el ejercicio 3 y demuestre que Wn es un grupo abeliano.
68 CAPÍTULO 2. GRUPOS
2.4. Notación
Con el propósito de simplificar la escritura, los algebristas generalmente usan
los conocidos śımbolos de adición y multiplicación para designar la ley de
composición interna definida en un grupo. Se usa el śımbolo + para los grupos
abelianos, reservando la notación de producto para cuando se hace referencia
a grupos que pueden o no ser abelianos. Si se usa notación aditiva, en lugar
de escribir a ∗ b se escribe a+ b y en este caso el inverso de a se nota −a. En
general, expresiones como
a ∗ a ∗ a ∗ · · · ∗ a︸ ︷︷ ︸
n veces
se pueden escribir
a+ a+ a+ · · ·+ a︸ ︷︷ ︸
n veces
= na.
El término na no tiene el significado que se le asigna en la multiplicación
usual, en este caso lo que se quiere significar es que el elemento a se ha
operado por śı mismo n veces, por ejemplo en 〈Z4,+〉
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5× 2
= (2 + 2) + (2 + 2) + 2
= 0 + 0 + 2
= 2.
Si se usa notación de producto, se escribe ab omitiendo el punto y en este
caso el inverso de a se escribe a−1. El producto generalizado se representa
aaaaa · · ·a︸ ︷︷ ︸
n veces
= an,
sirve para indicar que el elemento a se ha operado por śı mismo n veces
y no tiene el significado que se le asigna a la potenciación usual. Haciendo
referencia al grupo de Klein
bbbbb = b5
= (bb)(bb)b
= eeb
= b.
2.4. NOTACIÓN 69
Si usamos notación multiplicativa convenimos en enunciar las definiciones
recursivas.
Definición 2.4.1. a0 = e, donde e es el elemento de identidad.
Definición 2.4.2. a1 = a.
Definición 2.4.3. an = (an−1)a, n > 1, n en N.
Definición 2.4.4. a−n = (a−1)n = (an)−1 n > 1, n en N.
Se puede demostrar que algunas de las leyes de los exponentes se verifican,
por ejemplo
1. aras = ar+s.
2. (ar)s = ars.
3. En general (ab)r �= arbr.
Si se usa notación aditiva las definiciones anteriores se traducen en
Definición 2.4.5. 0a = e.
Definición 2.4.6. 1a = a.
Definición 2.4.7. na = (n− 1)a+ a, n > 1, n en N.
Definición 2.4.8. n(−a) = (−n)a = −na, n > 1, n en N.
También se verifican las siguientes propiedades
1. (mn)a = m(na).
2. (m+ n)a = ma+ na.
3. m(a+ b) = ma+mb.
Los grupos finitos presentan propiedades importantes que merecen ser estu-
diadas con el propósito de tener mejor conocimiento del comportamiento de
tales estructuras, analicemos el
Ejemplo 2.4.1. Demostrar que Si G es un grupo finito con un número par
de elementos ( |G| es un par) entonces existe a ∈ G, a �= e, tal que a2 = e.
70 CAPÍTULO 2. GRUPOS
Solución. Sea G = {e, a1, a2, . . . , a2n+1} un grupo finito. Si la operación es
tal que para todo elemento a de G a2 = e, el problema está resuelto.
Supongamos que para todo aj en G, aj �= a−1j . Dada la unicidad de los
inversos, es posible reorganizar los elementos de G de tal manera que cada
elemento quede colocado junto a su inverso, esto es, que a2n−1 sea el inverso
de a2n, para n ≥ 1. Pero a2n+1 no tiene pareja dentro de este nuevo orden
y como además a2n+1 �= e, la única posibilidad es que sea su propio inverso
y por tanto (a2n+1)
2 = e. Pero la anterior afirmación contradice el supuesto,
por lo tanto debe existir al menos un elemento ak �= e tal que a2k = e,
1 ≤ k ≤ 2n+ 1.
Por otra parte, también se puede demostrar que el enunciado siguiente es
válido
Ejemplo 2.4.2. Si G es un grupo finito, existe un entero positivo N tal que
aN = e, para cualquier a de G.
Demostración. DadoG finito, la colección infinita {a, a2, a3, . . . , at, . . . } debe
estar contenida en G, pero en algún momento debe haber repeticiones, dada
la finitud de G, entonces para algunos enteros r, s, con r > s > 0,
ar = as.
Por la propiedad cancelativa
ar−s = e.
Sea (r − s) = n, entonces
an = e.
En igual forma para todo ai de G, existe ni tal que
(ai)
ni = e.
Sea N el mı́nimo común múltiplo de los ni, entonces
aN = e
para todo a ∈ G.
2.4. NOTACIÓN 71
EJERCICIOS
1. Si ∗ es una operación en un conjunto S, un elemento x de S se dice
idempotente para ∗ si x ∗ x = x. Demuestre que en un grupo existe un
único elemento idempotente.
2. Demuestre que en todo grupo se verifican las siguientes propiedades
a) aras = ar+s.
b) (ar)s = ars.
3. Dar un ejemplo de un grupo donde (ab)r �= arbr.
4. Demostrar que en todo grupo aditivo se verifican las propiedades,
a) (mn)a = m(na).
b) (m+ n)a = ma+ na.
c) m(a+ b) = ma+mb.
5. Demostrar que si G es un grupo tal que x2 = e, para todo elemento x
de G, entonces es abeliano.
6. Demostrar que todo grupo de orden dos, tres, cuatro o cinco es abeliano.
7. Sea G = {x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6}. En G se ha definido una operación
mediante la fórmula
xixj = xi+j cuando i+ j < 7
xixj = xi+j−7 cuando i+ j ≥ 7.
Demuestre si G es un grupo, en caso contrario demuestre cuáles pro-
piedades no se verifican.
8. Demostrar que si G es un grupo abeliano, para todo a, b de G, para
todo entero n
(ab)n = anbn.
9. Demuestre que en todo grupo G,
a) (a−1)−1 = a.
72 CAPÍTULO 2. GRUPOS
b) (ab)−1 = b−1a−1.
10. Sea G un grupo, si para cada a, b de G, (ab)−1 = a−1b−1, entonces G
es abeliano.
11. Sea G un grupo, si para cada a, b de G, (ab)2 = a2b2, entonces es
abeliano.
12. Si G es un grupo para elcual (ab)i = aibi, para tres enteros consecutivos
i, i+ 1, i+ 2, y para cada a, b de G, entonces G es abeliano.
13. Demostrar que en todo grupo G siempre se verifica, para cada a, x de
G, para todo entero n,
(axa−1)n = axna−1.
14. Sea G = {x = a+ bi | a, b ∈ R, |x| = 1}. Demostrar que G es un grupo
para el producto de números complejos.
15. Sea G el conjunto de parejas ordenadas de números reales (a, b) con
a �= 0. En G se ha definido una operación mediante la fórmula,
(a, b)(c, d) = (ac, bc + d).
Demostrar que G es un grupo no abeliano.
2.5. Grupos de permutaciones
Iniciamos el estudio de las permutaciones con el análisis de las simetŕıas y en
particular con las del triángulo equilátero. Desde el ángulo de la geometŕıa,
dos figuras son congruentes si al ser superpuestas coinciden en cuanto a forma
y tamaño. Las congruencias permiten la posibilidad de hacer coincidir una
figura consigo misma a través de algunos movimientos que la dejan invariante.
Un caso especial es el de las simetŕıas.
Para los triángulos, se da la definición que sigue
Definición 2.5.1. Sean los triángulos �ABC, �DEF y una corresponden-
cia biuńıvoca
ABC ←→ DEF
2.5. GRUPOS DE PERMUTACIONES 73
entre sus vértices. Si cada par de lados correspondientes son congruentes y
cada par de ángulos correspondientes son congruentes, entonces la correspon-
dencia es una congruencia.
En un triángulo equilátero de vértices 1̂, 2̂, 3̂ se pueden establecer seis
biyecciones, congruencias o simetŕıas aśı,
ρ0 : 123←→ 123
ρ1 : 123←→ 231
ρ2 : 123←→ 312
μ1 : 123←→ 132
μ2 : 123←→ 321
μ3 : 123←→ 213.
Las anteriores expresiones son posibles porque los ángulos interiores miden
todos 60o y los lados son congruentes entre śı.
Dibujando un triángulo equilátero de modo que el ortocentro coincida
con el origen de coordenadas, se pueden analizar las congruencias anterio-
res suponiendo que los ejes permanecen estáticos y es posible rotar o re-
flejar el triángulo alrededor de algunas ĺıneas llamadas ejes de simetŕıa.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
��
��
��
�
��
��
��
��
�
1 2
3
Figura 2.14
Aceptando que todos los giros se efectuarán siguiendo el sentido de las ma-
necillas del reloj, la primera congruencia se puede considerar una rotación de
360o.
74 CAPÍTULO 2. GRUPOS
Como deja fijos todos los vértices se le denomina la idéntica y se representa
por ρ0
ρ0 =
(
1 2 3
1 2 3
)
.
Para que el vértice 1 pase a ocupar la posición del 3, el 2 ocupe la del 1 y
el 3 la del 2, se necesita realizar un giro de 120o. Este giro corresponde a la
biyección ρ1
ρ1 =
(
1 2 3
2 3 1
)
.
Un giro de 240o hace que el vértice 1 pase a la posición del 2, el 2 a la del 3
y el 3 a la del 1, giro correspondiente a la congruencia ρ2, cuya escritura es
ρ2 =
(
1 2 3
3 1 2
)
.
El triángulo equilátero se puede reflejar en su plano alrededor de cada una
de las bisectrices de sus ángulos interiores. Estas reflexiones dejan invariante
el vértice correspondiente e intercambian los otros dos. Se representan de la
siguiente manera:
La reflexión μ1 deja invariante el vértice 1̂
μ1 =
(
1 2 3
1 3 2
)
.
La reflexión μ2 deja invariante el vértice 2̂
μ2 =
(
1 2 3
3 2 1
)
.
La reflexión μ3 deja invariante el vértice 3̂
μ3 =
(
1 2 3
2 1 3
)
.
Las simetŕıas del triángulo equilátero son un caso especial del grupo de las
transformaciones T (X) cuando X = {1, 2, 3} y la operación es la composición
de funciones; por tal razón se pueden operar sin riesgo de eqúıvocos, por
2.5. GRUPOS DE PERMUTACIONES 75
ejemplo
ρ2μ1 =
(
1 2 3
3 1 2
)(
1 2 3
1 3 2
)
=
(
1 2 3
2 1 3
)
= μ3.
Sea D3 = {ρ0, ρ1, ρ2, μ1, μ2, μ3}. Aprovechando la licencia que nos permite
este enfoque podemos confeccionar la tabla del grupo de las transformaciones
del triángulo equilátero. El śımbolo proviene del inglés third dihedral group.
∗ ρ0 ρ1 ρ2 μ1 μ2 μ3
ρ0 ρ0 ρ1 ρ2 μ1 μ2 μ3
ρ1 ρ1 ρ2 ρ0 μ2 μ3 μ1
ρ2 ρ2 ρ0 ρ1 μ3 μ1 μ2
μ1 μ1 μ3 μ2 ρ0 ρ2 ρ1
μ2 μ2 μ1 μ3 ρ1 ρ0 ρ2
μ3 μ3 μ2 μ1 ρ2 ρ1 ρ0
Figura 2.15
D3 es un grupo no abeliano y es el grupo no abeliano de menor orden, pues
como se sabe, los de orden menor o igual a 5 son todos conmutativos. Otro
ejemplo importante es el grupo de las simetŕıas del cuadrado, o grupo óctico
D4, a través de ellos se puede ilustrar la mayor parte de los conceptos de la
teoŕıa de grupos. La división en cuatro regiones se explicará mas adelante.
Definición 2.5.2. Una permutación es una transformación biuńıvoca de un
conjunto finito A en śı mismo.
Por brevedad se le llama una permutación en A. Al ser funciones biyecti-
vas, las transformaciones se asimilan al grupo T (A) y su producto obviamente
es la composición de funciones. Si ρ y μ son dos permutaciones, el producto
ρμ viene dado por la igualdad,
ρμ = ρ ◦ μ
siguiendo la notación, podemos escribir, para todo x de A
x(ρμ) = (xρ)μ.
76 CAPÍTULO 2. GRUPOS
Ejemplo 2.5.1. Si A = {1, 2, 3, 4, 5}
ρ =
(
1 2 3 4 5
3 1 4 2 5
)
, μ =
(
1 2 3 4 5
4 5 1 3 2
)
,
efectuar el producto ρμ.
Solución.
ρμ =
(
1 2 3 4 5
3 1 4 2 5
)(
1 2 3 4 5
4 5 1 3 2
)
=
(
1 2 3 4 5
1 4 3 5 2
)
.
Teorema 2.5.1. Sea A = {1, 2, 3, . . . , n} y sea Sn el conjunto de todas las
permutaciones en A, entonces Sn es un grupo para el producto de permuta-
ciones y Sn tiene n! elementos.
Demostración. La primera parte ya se demostró.
En la construcción de una permutación la imagen i1 de 1 puede elegirse
de n formas, la de 2 puede tomarse dentro de los (n−1) elementos diferentes
de i1 y aśı sucesivamente. En total resultan n(n− 1)× · · · × 3× 2× 1 = n!
permutaciones, de manera que Sn tiene orden n!
Definición 2.5.3. El grupo Sn se denomina el grupo simétrico de grado n.
Si consideramos el poĺıgono regular de n lados, el conjunto formado por
todas las congruencias del poĺıgono consigo mismo corresponde a las rota-
ciones y reflexiones alrededor de sus vértices y estas a la luz de la definición
anterior nos llevan al grupo diedro de orden n (nth dihedral group) Dn.
Tomando A = {1, 2, 3, 4, 5} y la permutación,
τ =
(
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
)
.
Observe que
1τ = 2
2τ = 3
3τ = 4
4τ = 5
5τ = 1
de manera que se conserva una ordenación circular como en la figura
2.5. GRUPOS DE PERMUTACIONES 77
�
�
��
�
1
2
34
5
Figura 2.16
Definición 2.5.4. Sea A un conjunto finito y sea S = {a1, a2, . . . , ak} un
subconjunto de A (k ≥ 1). La permutación φ en A tal que
a1φ = a2, a2φ = a3, . . . , akφ = a1,
y para todo x de A que no pertenezca a S, xφ = x se dice un ciclo de longitud
k y se nota usando la igualdad
φ = (a1 a2 a3 . . . ak−1 ak).
Se debe advertir que los elementos de un ciclo no necesariamente deben ser
escritos en orden ascendente. Para el ciclo τ del ejemplo anterior pueden
establecerse las siguientes identidades:
τ = (1 2 3 4 5)
= (2 3 4 5 1)
= (3 4 5 1 2)
= (4 5 1 2 3)
= (5 1 2 3 4).
Obviamente los ciclos se pueden multiplicar, pero el producto no necesaria-
mente es un ciclo. Por ejemplo,
(1 3)(2 4) =
(
1 2 3 4 5
3 4 1 2 5
)
.
Teorema 2.5.2. Toda permutación puede escribirse como el producto de
ciclos sin elementos comunes.
78 CAPÍTULO 2. GRUPOS
Demostración. No se pierde generalidad al suponer que A = {1, 2, 3, . . . , n}.
Considérese el ciclo φ y el conjunto {1, 1φ, 1φ2, 1φ3, 1φ4, . . . }. Como A es
finito la secuencia anterior no puede ser infinita, por tanto en un momento
dado debe haber repeticiones.
Sea 1φr el primer elemento que se repite ( r un natural), entonces 1φr = 1.
Si existiera s, 0 < s < r tal que 1φr = 1φs se tendŕıa 1φr−s = 1, con (r−s) < r
contradiciendo la elección de r, por lo tanto la sucesión se reduce a,
{1, 1φ, 1φ2, 1φ3, . . . , 1φr−1}.
Sea
φ1 = (1 1φ 1φ
2 1φ3 · · · 1φr−1).
De acuerdo con la forma en que hemos obtenido φ1 se tiene que xφ = xφ1,
para todo x de la sucesión anterior.
Sea i el primer elemento de A que no aparece en el ciclo φ1. Repitiendo
el proceso se obtiene la secuencia
{i, iφ, iφ2, iφ3, . . . , iφs, . . .}
y a partir de ella el cicloφ2.
Los ciclos encontrados deben ser disyuntos, si tuvieran un elemento j en
común necesariamente φ1 = φ2 ya que cada uno de ellos podŕıa ser construido
por repetidas aplicaciones de φ iniciando el proceso con j.
Continuando el proceso, se toma el primer elemento de A que no aparezca
ni en φ1 ni en φ2 y se construye el ciclo φ3 el cual debe ser disyunto con cada
uno de los dos anteriores. Como A es finito se debe terminar en un ciclo φm
disyunto con todos sus predecesores. El producto φ1φ2φ3 · · ·φm debe tener el
mismo efecto que φ para todos los elementos de A. Concluyendo,
φ = φ1φ2φ3 · · ·φm.
Se deja al estudiante verificar que este producto es único, salvo el orden de
los factores.
Definición 2.5.5. Un ciclo de longitud dos se dice una transposición.
Sea (a1 a2 a3 · · ·ak) un ciclo de longitud k, se sugiere demostrar que,
(a1 a2 a3 · · · ak) = (a1 a2)(a1 a3)(a1 a4) · · · (a1 ak).
O sea, que todo ciclo es el producto de transposiciones.
De esta proposición podemos derivar el siguiente,
2.5. GRUPOS DE PERMUTACIONES 79
Corolario. Cualquier permutación de un conjunto finito de al menos dos
elementos es el producto de transposiciones.
Definición 2.5.6. Sea A un conjunto finito y sea ρ una permutación en A.
ρ se dice par si se puede expresar como el producto de un número par de
transposiciones. En caso contrario se dice impar.
Ejemplo 2.5.2. (
1 2 3 4 5
2 3 1 4 5
)
= (1 2)(1 3)
es un permutación par porque es el producto de dos transposiciones, mientras
que (
1 2 3 4 5
2 3 5 4 1
)
= (1 2)(1 3)(1 5)
es una permutación impar porque es el producto de tres transposiciones.
EJERCICIOS
1. ¿Cuáles de las siguientes funciones φ : R −→ R son transformaciones
de R?
a) xφ = x+ a, con a un real fijo.
b) xφ = x2.
c) xφ = ex, e es la base de los logaritmos naturales.
d) xφ = x3 + 1.
2. Sea A = {1, 2, 3, . . . , 8}. En cada caso compute el producto de permu-
taciones indicado.
a)
(
1 2 3 4 5 6 7 8
4 1 2 5 3 7 6 8
)(
1 2 3 4 5 6 7 8
2 5 1 3 4 6 7 8
)
b)
(
1 2 3 4 5 6 7 8
4 3 2 1 5 6 7 8
)(
1 2 3 4 5 6 7 8
7 8 6 5 4 3 2 1
)
3. Sea A = {1, 2, 3, . . . , 9}. En cada caso compute el producto de ciclos
indicado.
80 CAPÍTULO 2. GRUPOS
a) (1 4 5)(7 8)(2 5 7).
b) (1 2 7)(3 4 1 5)(6 9).
c) (1 3 4 6)(4 8 7 9).
4. Sea A como en el ejercicio anterior. Exprese cada una de las siguientes
permutaciones como el producto de ciclos disyuntos y a continuación
como el producto de transposiciones. Diga cuáles de las permutaciones
son pares y cuáles son impares.
a)
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 4 9 3 1 2
)
.
b)
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 8 9 6 2 5 4 3 1
)
.
c)
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 7 3 1 2 4 5 6 8
)
.
d)
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 3 2 5 4 7 9 8 6
)
.
5. Sea A un conjunto y sea φ ∈ Sn. Para un elemento fijo x de A, el
conjunto
{xφn | n ∈ Z}
se llama la órbita de x bajo φ }. Hallar la órbita de 2 bajo las siguientes
permutaciones.
a)
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 8 4 5 6 1 2 3 7
)
.
b)
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 8 6 9 1 3 2 4 5
)
.
6. Sean a, b elementos de A, demostrar que si la órbita de a bajo φ y la
órbita de b bajo φ tienen un elemento en común, entonces son iguales.
7. Hallar la inversa de cada una de las siguientes permutaciones.
a)
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 5 4 3 2 1 9 8 7
)
.
b)
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 1 5 6 4 7 3 9 8
)
.
2.6. SUBGRUPOS 81
8. Sea A un conjunto finito. Demostrar que de las n! permutaciones de A,
la mitad son pares y la mitad impares.
9. Demostrar que el producto de ciclos es único salvo el orden de los
factores.
10. Sea c = (a1 a2 a3 · · · ak) un ciclo de longitud k. Demostrar que
c = (a1 a2)(a1 a3) · · · (a1 ak).
11. Sean G un grupo, a ∈ G un elemento fijo. Demostrar que la regla
φa : G −→ G definida por la igualdad xφa = ax para todo x de G, es
una transformación en G.
2.6. Subgrupos
A menudo se presentan grupos que están contenidos en otros más amplios,
aśı el grupo aditivo de los enteros está contenido en el grupo aditivo de los
racionales y este a su vez es una parte del grupo aditivo de los reales. Si m,
n son enteros, el elemento m + n es el mismo no importa si se opera en los
enteros o en los reales. Este hecho se expresa afirmando que la suma de los
reales está bien definida para los enteros. En general para un grupo G y un
subconjunto S de G, si para toda pareja (a, b) de elementos de S el producto
ab computado en G es también un elemento de S, entonces la operación de G
se dice cerrada en S. La operación aśı definida en S se denomina la operación
de G restringida a S.
Definición 2.6.1. Un subconjunto H de un grupo G se dice que es un sub-
grupo de G, si respecto a la operación de G, H mismo es un grupo. Si H es
un subgrupo de G se nota H ≤ G.
Los grupos G y {e} se denominan los subgrupos impropios o triviales, los
demás se llaman subgrupos propios. La tabla
+ 0 2
0 0 2
2 2 0
Figura 2.17
82 CAPÍTULO 2. GRUPOS
define un subgrupo de 〈Z4,+〉, más aún es el único subgrupo propio. El grupo
de Klein tiene tres subgrupos propios, esto es, {e, a}, {e, b}, {e, c}.
Las definiciones no son los mejores criterios para trabajar, por eso es
conveniente determinar algunos para decidir cuándo un subconjunto es un
subgrupo. Mientras encontramos otros daremos uno que parece el mejor para
iniciar.
Teorema 2.6.1. Un subconjunto no vaćıo H del grupo G es un subgrupo
de G si y solo si
i) Si a, b son elementos de H , entonces ab ∈ H
ii)Si a ∈ H , entonces a−1 ∈ H .
Las condiciones (i) y (ii) se hubieran podido escribir: a+b ∈ H y (−a) ∈ H
pero se prefiere usar notación de producto.
Demostración. Si H ≤ G es obvio que (i) y (ii) se verifican. Supongamos
que H es un subconjunto de G para el cual se verifican (i) y (ii). Debemos
demostrar que la propiedad asociativa se verifica en H , pero esta condición
necesariamente debe ser satisfecha en H por ser H un subconjunto de G y
este último conjunto la satisface. Si a ∈ H según la condición (ii) a−1 ∈ H y
de acuerdo con (i) aa−1 = e ∈ H . La condición (ii) implica que todo elemento
de H tiene su inverso en H . De modo que H es un grupo y por definición un
subgrupo de G.
El teorema anterior establece como consecuencia que si H es un subcon-
junto finito no vaćıo de G, cerrado para la operación de G, entonces H es un
subgrupo de G. Lo que indica que para el caso de los grupos finitos podemos
prescindir de la condición (ii).
Usando el teorema 2.6.1 se tiene que (i) es cierto por hipótesis. Escojamos
un elemento a de H , como H es cerrado, la colección infinita
{a, a2, a3, · · · , at, · · · }
debe estar contenida en H , pero como H es finito, en un momento determina-
do debe haber repeticiones, es decir para algunos enteros p, q con p > q > 0
ap = aq
entonces por la propiedad cancelativa
ap−q = e ∈ H.
2.6. SUBGRUPOS 83
Como p > q, p− q − 1 ≥ 0, entonces
ap−q−1 = ea−1 = a−1 ∈ H.
Concluimos que H es un subgrupo de G.
Ejemplo 2.6.1. Sean G grupo, a un elemento fijo de G, demostrar que
N [ a ] = {x ∈ G | xa = ax} = {x ∈ G | xax−1 = a}
es un subgrupo de G. N [ a ] se denomina el normalizador o centralizador de
a en G.
Solución. Por hipótesis N [ a ] ⊆ G. Sean x, y elementos de N [ a ] entonces
por la definición de N [ a ],
xa = ax
ya = ay.
Operando miembro a miembro las igualdades anteriores
(xa)(ya) = (ax)(ay).
Por hipótesis,
(ax)(ya) = (ax)(ay)
usando la propiedad asociativa,
a[x(ya)] = a[x(ay)].
Cancelando a izquierda,
x(ya) = x(ay).
Por la propiedad asociativa
(xy)a = (xa)y.
Usando la hipótesis
(xy)a = (ax)y
y nuevamente la propiedad asociativa,
(xy)a = a(xy).
84 CAPÍTULO 2. GRUPOS
Se concluye que el producto xy pertenece a N [ a ].
Sea x ∈ N [ a ]. Como ea = ae, x−1 ∈ G, reemplazando e por x−1x
(x−1x)a = a(x−1x).
Por la propiedad asociativa,
x−1(xa) = (ax−1)x.
Usando la hipótesis,
x−1(ax) = (ax−1)x.
Por la propiedad asociativa,
(x−1a)x = (ax−1)x.
Cancelando a derecha,
x−1a = ax−1.
Por consiguiente, x−1 ∈ N [ a ]. Esto es, N [ a ] es un subgrupo de G.
EJERCICIOS
1. Sean H1, H2 subgrupos de G. Demostrar que H1 ∩H2 es un subgrupode G. Generalice este resultado demostrando que la intersección de una
colección de subgrupos de G, es también un subgrupo de G.
2. Demostrar: Si n ≥ 2, la colección de todas las permutaciones pares
de un conjunto finito A forman un subgrupo de Sn de orden n!
2
, este
subgrupo se denomina el grupo alternante An de grado n.
3. Hallar el grupo alternante A4.
4. Sean a un elemento fijo de A , Ta el conjunto de las transformaciones de
A que verifican la propiedad aφ = a. Demostrar que Ta es un subgrupo
de T (A).
5. Demostrar que la relación ��ser subgrupo de�� es un orden parcial.
6. Mostrar con un ejemplo, que un subgrupo propio de un grupo no abe-
liano puede ser abeliano.
2.7. GRUPOS CÍCLICOS 85
7. Demostrar: Sea G un grupo. Un subconjunto H de G es un subgrupo
si y solo si ab−1 ∈ H , para todo a, b en H .
8. Si G es un grupo, el centro C de G está definido por
C = {z ∈ G | zx = xz, ∀x ∈ G}.
Demostrar que C es un subgrupo de G.
9. Hallar todos los subgrupos del grupo simétrico S3.
10. Sean G un grupo, a un elemento fijo de G, φa : G −→ G, definida por
xφa = ax. Demostrar que el conjunto
H = {φa | a ∈ G}
es un subgrupo de T (G).
11. Demuestre que si G es un grupo abeliano, entonces todos los x de G
que satisfacen la ecuación x2 = e, forman un subgrupo de G.
2.7. Grupos Ćıclicos
Dados un grupo G y un elemento cualquiera a de G. El conjunto
H = {. . . , a−n, . . . , a−1, a0, a, a2, a3, . . . , an, . . . }
= {an | n ∈ Z}
está totalmente contenido en G. Si r, s son dos enteros, ar y as pertenecen
a H , luego aras = ar+s también es un elemento de H ya que r + s es entero.
Además a−r pertenece a H por ser r un entero.
Usando la conclusión del teorema 2.6.1 afirmamos que H es un subgrupo
de G.
Si S es un subgrupo de G que contiene el elemento a, como S es cerrado
debe contener todas las potencias enteras positivas de a. De igual forma a−1
pertenece a S indica que S también contiene todas las potencias negativas
de a. Además aa−1 pertenece a S significa que a0 es un elemento de S.
Estas afirmaciones llevan a concluir que H es un subgrupo de S, habiendo
comprobado que
H = {an | n ∈ Z}
86 CAPÍTULO 2. GRUPOS
es el menor subgrupo de G que contiene al elemento a.
Puede suceder que H coincida con el grupo G, en cuyo caso se dice que
G es un grupo ćıclico. Para aclarar la situación damos las definiciones que
siguen.
Definición 2.7.1. El grupo
H = {an | n ∈ Z}
es el subgrupo ćıclico generado por a, y se nota (a).
Definición 2.7.2. Se llama orden de un elemento a en un grupo G al menor
entero positivo m tal que am = e. Si ninguna potencia de a es igual a e, se
dice que a tiene orden infinito.
Definición 2.7.3. Un elemento a de G se dice que genera al grupo G, si
(a) = G. En este caso a es un generador de G.
Definición 2.7.4. Un grupo G se dice ćıclico si existe a ∈ G tal que a es un
generador de G.
Es necesario aclarar que usando notación aditiva el grupo H se representa
por
H = {na | n ∈ Z}.
Como ejemplos se puede mencionar que el grupo aditivo de los enteros es
ćıclico y es generado por 1 y −1. El grupo aditivo Z4 es ćıclico y sus genera-
dores son 1 y su inverso 3. El grupo de las simetŕıas del triángulo equilátero
D3 no es ćıclico, es fácil ver que ninguno de los grupos ćıclicos generados por
cada uno de sus elementos es igual a D3. El grupo multiplicativo de los reales
diferentes de cero tampoco es ćıclico. Si consideramos el grupo aditivo de los
enteros, el subgrupo ćıclico generado por 2 consta de todos los múltiplos de
dos tanto positivos como negativos, esto es,
(2) = {. . . ,−6,−4,−2, 0, 2, 4, 6, . . .}.
Si observamos el grupo de los reales diferentes de cero con el producto, el
subgrupo (2) contiene todas las potencias de 2 y sus respectivos inversos
multiplicativos, pero todos sus elementos son estrictamente mayores que cero.
(2) = {. . . , 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16, . . .}.
2.7. GRUPOS CÍCLICOS 87
En los grupos,dependiendo de la notación, las expresiones
(a−1)−n = an o − (−na) = na
indican que las potencias(múltiplos) positivas(os) de un elemento a, coinciden
con las potencias(múltiplos) negativas(os) de su inverso y viceversa. Además
a0 = (a−1)0 = e o 0a = 0(−a) = e.
Razonamiento que permite afirmar que si a es un generador del grupo G, su
inverso también lo es. Dicho con otras palabras, un elemento y su inverso
generan el mismo grupo. Por otra parte si G es un grupo ćıclico que posee
un solo generador a necesariamente, de acuerdo con la notación,
a = a−1 o a = −a
y de aqúı se deduce que
a2 = e o 2a = e.
Pero G es ćıclico entonces (si usamos notación de producto) para todo x de
G, existe n, tal que x = an, donde n puede ser par o impar.
Si n = 2s,
x = a2s
= (e)s
= e.
Si n = 2s+ 1,
x = a2s+1
y mediante un razonamiento análogo se llega a x = a.
En śıntesis, cualquier elemento de G obligatoriamente es a, o es e. Si
a = e, G = {e}. Si a �= e, G = {e, a}. Es decir G posee a lo más dos
elementos. (Si se usa notación de suma solo cambia la nomenclatura).
Hemos comprobado que un grupo ćıclico con un solo generador posee a
lo más dos elementos.
Sea G un grupo ćıclico de orden infinito generado por a, si h, k son enteros
diferentes es correcto afirmar que ah �= ak. Suponga que ah = ak con h > k,
entonces h−k > 0 y ah−k = e. Sea m el menor entero positivo tal que am = e
88 CAPÍTULO 2. GRUPOS
y sea an un elemento de G, se pueden hallar entonces enteros q, r tales que
n = mq + r, con 0 < r < m, para los cuales
an = amq+r = (am)qar = eqar = ar.
Las anteriores igualdades indican que en un momento determinado se pro-
ducen repeticiones, indicando que G consta realmente de los elementos,
{a, a2, a3, . . . , am−1, am = e}
contradiciendo el supuesto de ser G de orden infinito, por tanto se concluye
que cero es el único entero tal que a0 = e y por consiguiente ah−k �= e, de
donde se deduce que si h �= k, ah �= ak.
Si G es de orden finito, para algunos enteros h, k, ah = ak y siguiendo
un razonamiento similar, se concluye que existe un entero positivo mı́nimo
m tal que am = e y para ningún otro entero positivo t, at = e, salvo el caso
en que t sea un múltiplo de m. En este caso G consta exclusivamente de los
elementos
{a, a2, a3, . . . , am−1, am = a0 = e}.
Se pueden ubicar los elementos de un grupo ćıclico finito en una circunferen-
cia, como se aprecia en la gráfica
�
�
�
�
�
a2
a1
a0 = e
am−1
a3
�
��
���
Figura 2.18
En un determinado punto se escribe a0 = e, se escoge una longitud como
unidad y a continuación se escriben los restantes elementos de manera que
el elemento ah estará ubicado a h unidades de e en el sentido contrario a
las manecillas del reloj. Para operar ah y ak utilizando el diagrama, basta
tomar ah y sumar k unidades en el sentido contrario del reloj. Para ver que
elemento corresponde a esta operación tome h + k = mq + r, como en el
2.7. GRUPOS CÍCLICOS 89
algoritmo de Euclides. Se ha dado entonces la vuelta a la circunferencia q
veces terminándose el recorrido en el punto ar. Note que lo que se ha efectuado
es la suma de h+ k módulo m, o sea,
h+ k ≡ r mod m.
La relación entre los grupos ćıclicos y los abelianos se da en un solo sentido
porque todo grupo ćıclico necesariamente es abeliano, pero el rećıproco no
es cierto. El grupo de Klein es un grupo conmutativo que no es ćıclico. La
primera afirmación se demuestra sin muchas complicaciones y es el
Ejemplo 2.7.1. Todo grupo ćıclico es abeliano.
Solución. Sea G un grupo ćıclico generado por a, y sean g1, g2 elementos de
G entonces existen enteros r, s tales que
g1 = a
r, g2 = a
s
por consiguiente
g1g2 = a
ras
= ar+s
= as+r
= asar
= g2g1
de manera que G es conmutativo.
Teorema 2.7.1. Todo subgrupo de un grupo ćıclico es ćıclico.
Demostración. Sean G un grupo ćıclico generado por a, H un subgrupo de
G. Si H = (e) es ćıclico. Si H �= (e) existe un entero positivo n tal que
an ∈ H.
Sea m el mı́nimo entero positivo tal que am ∈ H. Vamos a demostrar que
am es un generadorde H . Para esto, sea b ∈ H . Como H es un subgrupo de
G, para algún entero k, b = ak. Por el algoritmo de la división existen enteros
q, r tales que k = mq + r, 0 < r < m, entonces,
b = ak = (am)qar.
90 CAPÍTULO 2. GRUPOS
Despejando,
ar = (am)−qak.
El término de la derecha de la anterior igualdad pertenece a H , luego ar ∈ H .
Pero m es el menor entero positivo tal que am ∈ H , entonces r = 0, por lo
tanto k = mq o sea,
b = ak = (am)q.
De manera que b es una potencia de am, lo cual implica que todo elemento
de H es una potencia de am, de donde se deduce que am es un generador de
H , y consecuentemente H es ćıclico.
Teorema 2.7.2. Si G es un grupo de orden n generado por a y b es un
elemento de G tal que b = as, entonces b genera un subgrupo H de orden
n/d, donde d es el máximo común divisor entre n y s. Es más, todos los
elementos de la forma ar, donde r es primo relativo con n, son generadores
de G.
Demostración. Sean G = (a) un grupo ćıclico de orden n, b = as, entonces
H = {bn | n ∈ Z} se comprobó que es el menor subgrupo de G que contiene
a b. Sea b = as, como G es finito, existe un entero positivo m tal que bm = e,
entonces
(as)m = ams = e
y esta igualdad equivale a decir que ms es un múltiplo de n, luego n|ms. Pero
¿cuál es el menor valor de m para el cual n|ms? Sea d = (n, s), entonces d es
el mayor entero positivo tal que d|s y d|n. Ahora n = d(n/d) significa que el
factor d de n divide al factor s de (n/d)s, luego n|(n/d)s. Pero para todo t, si
t|n y t|s necesariamente t < d, por tanto se obtiene la desigualdad n/d < n/t
y por consiguiente, n/d es el menor entero positivo tal que n|(n/d)s. Sea
m = n/d, entonces n|ms luego
ams = e
= asm
= (as)m
= bm.
Por el razonamiento hecho para los grupos ćıclicos finitos concluimos que
H = (b) tiene m elementos, lo que en nuestro caso significa que H tiene
orden n/d.
2.7. GRUPOS CÍCLICOS 91
Nota. ¿Qué sucede si s = 1 o si s = n?
Si (n, r) = 1, de acuerdo con la primera parte ar genera un subgrupo de
orden n/d, pero
n/d = n/1
= n
= |H |
= |G |,
lo que significa que H = G. Concluimos que ar es un generador de G.
Ejemplo 2.7.2. Hallar todos los subgrupos de 〈Z15,+〉.
Solución. Por el teorema 2.7.2 los generadores de Z15 son 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14.
Comencemos con 3. Como 3 = 13 y (15, 3) = 3. El elemento 3 genera un
subgrupo de orden 15/3 = 5,
(3) = {0, 3, 6, 9, 12}.
Pero todos los elementos de la forma 3h donde 5 es primo relativo con h
generan este subgrupo. Por otra parte las igualdades
6 = 32 y (5, 2) = 1,
9 = 33 y (5, 3) = 1,
12 = 34 y (5, 4) = 1
indican que
(3) = (6) = (9) = (12).
Debido a que (15, 5) = 5, y 15/5 = 3, el elemento 5 genera un subgrupo de
orden 3, esto es
(5) = {0, 5, 10}.
Pero 10 = 52 y (3, 5) = 1, entonces
(5) = (10)
Finalmente
(0) = {0}.
92 CAPÍTULO 2. GRUPOS
En total se tienen los subgrupos
Z15 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}
(3) = {0, 3, 6, 9, 12}
(5) = {0, 5, 10}
(0) = {0}.
Ejemplo 2.7.3. Demostrar que si p es primo, entonces Zp no tiene subgrupos
propios.
Solución. Sea p un primo. Suponga que existe un subgrupo propio H de Zp,
entonces H debe ser ćıclico y por tanto existe b un generador de H . Dado
que b ∈ G, existe s tal que b = 1s. Pero H debe tener orden p/d, donde
d = (p, s). Por el hecho de ser p primo, d = 1, o d = p. Si ocurre el primer
caso, p/d = p, lo que indica que H debe poseer p elementos y en consecuencia
H = G. Si ocurre el segundo caso, p/d = 1 y en estas circunstancias H debe
tener orden 1, concluyéndose que H = (0). En ambos casos H es un subgrupo
trivial contradiciendo la hipótesis de donde se infiere que p no tiene subgrupos
propios.
EJERCICIOS
1. Demostrar que todo ciclo de longitud k tiene orden k, esto es,
(a1 a2 a3 · · ·ak)k = I, donde I es la permutación idéntica.
2. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Hallar el orden de la permutación,(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 4 7 9 8 2 5 1 3
)
.
3. Se puede definir el orden de un elemento a de un grupo como el orden del
grupo ćıclico generado por a. Basándose en esta definición demostrar
a) Sea a un elemento del grupo G, sea n el menor entero positivo tal
que an = e. Si k es un entero, ak = e si y solo si k ≡ 0 mod n. En
un sentido más general, si i, j son enteros entonces ai = aj si y
solo si i ≡ j mod n.
2.7. GRUPOS CÍCLICOS 93
b) Un elemento a del grupo G tiene orden n si y solo si n es el menor
entero positivo tal que an = e. Si no existe tal entero se dice que
a tiene orden infinito.
4. Demuestre que el grupo multiplicativo Z∗p es ćıclico, si p es primo. Ve-
rificar este hecho para p = 7, 11, 13.
5. Hallar todos los subgrupos del grupo aditivo Z20.
6. Demostrar que para cada par de elementos a, b del grupo G, ab y ba
tienen el mismo orden.
7. Sea G un grupo abeliano. Demostrar que si a tiene orden k y b tiene
orden j, y si k, j son primos relativos, entonces ab tiene orden kj.
Sugerencia. Si (ab)t = e, elevando ambos miembros a la potencia k se
concluye que t debe ser divisible por j. Similarmente demuestre que t
debe ser divisible por k.
8. Hallar los subgrupos ćıclicos (ρ0), (ρ2), (μ1) de D3.
9. Construir la tabla del grupo ćıclico de S5 generado por(
1 2 3 4 5
2 4 5 1 3
)
.
10. Hallar el orden de cada uno de los grupos ćıclicos siguientes
a) El subgrupo ćıclico del grupo aditivo Z30 generado por 25.
b) El subgrupo ćıclico del grupo aditivo Z42 generado por 30.
11. Demostrar que cualquier grupo abeliano de orden 6 debe ser ćıclico.
12. ¿Cuántos generadores tiene un grupo ćıclico de orden 6? Demuéstrelo.
13. Sea G un grupo abeliano finito tal que el número de soluciones de
la ecuación xn = e es cuando más n, para todo entero positivo n.
Demuestre que G debe ser ćıclico.
14. Si en el grupo G a5 = e y aba−1 = b2, para los elementos a, b de G,
halle el orden de b.
94 CAPÍTULO 2. GRUPOS
15. Decir cuáles de los siguientes grupos son ćıclicos. En los casos afirma-
tivos decir cuáles son los generadores de cada uno de ellos.
a) El grupo aditivo Z.
b) El grupo aditivo 6Z.
c) El grupo aditivo de los racionales.
d) El grupo aditivo {a+ b√2}.
e) El grupo multiplicativo {6n|n ∈ Z}.
16. Demostrar que todo grupo ćıclico es abeliano.
2.8. Aplicaciones geométricas
En 1872 Felik Klein dentro del Erlanger Programm, con motivo de su ingreso
a la cátedra de matemática de la Universidad de Erlanger, dio una definición
de geometŕıa, la cual si bien es cierto que no es lo suficientemente completa
desde el punto de vista moderno; nos da una idea de la relación estrecha entre
el álgebra moderna y esta rama de la matemática. Para Klein una geome-
tŕıa es el estudio de aquellas propiedades de un espacio E que permanecen
invariantes bajo algún subgrupo fijo del grupo de las transformaciones de E.
Terminamos este caṕıtulo con en análisis somero de algunos grupos que
aparecen con mucha frecuencia en el estudio de la geometŕıa como son las
traslaciones, reflexiones, homotecias.
Definición 2.8.1. Sea E un conjunto dotado de una distancia d. Una trans-
formación φ de E se dice una isometŕıa si d(x, y) = d(xφ, yφ), esto es, si φ
preserva las distancias.
Es claro que el conjunto de las isometŕıas es un subgrupo del grupo de las
transformaciones de E. El estudio de la ĺınea, el plano, el espacio tridimensio-
nal es el análisis de aquellas propiedades que permanecen invariantes bajo el
grupo de las isometŕıas. Podemos hablar en geometŕıa euclidiana de longitud
de un segmento, medida de un ángulo, número de lados de un poĺıgono por-
que estas nociones permanecen invariantes bajo las isometŕıas. Describamos
algunas isometŕıas del plano euclidiano.
Una traslación del plano es una transformación que mueve cada punto una
distancia fija en una dirección igualmente fija, por ejemplo una traslación φab
mueve el punto (x, y) a (x+ a, y + b).
2.8. APLICACIONES GEOMÉTRICAS 95
Una reflexión en el plano es una función μ que env́ıa en śı mismo cada
punto de una recta fija L y cada punto que no pertenece a L es enviadoen
otro punto xμ en tal forma que L es el bisector perpendicular del segmento
de extremos x, xμ . Como se aprecia en la figura, L actúa como un espejo.
��
�
�
xμ
x
L
Figura 2.19
Con las explicaciones anteriores creemos que el estudiante podrá comprender
la razón del análisis del grupo S3 mediante el uso de un triángulo equilátero,
lo que condujo al grupo D3. Una de las razones de haber dividido la tabla
en cuatro regiones significa que se puede construir una nueva, mirada desde
el enfoque geométrico. Si al conjunto {ρ0, ρ1, ρ2} lo denominamos ρrot y al
conjunto {μ1, μ2, μ3} se nombra μref es correcto escribir,
∗ ρrot μref
ρrot ρrot μref
μref μref ρrot
Figura 2.20
Geométricamente significa que el producto de dos rotaciones es una rotación,
el producto de una rotación por una reflexión es una reflexión, el producto de
una reflexión por una rotación es una reflexión y el producto de dos reflexiones
es una rotación. Observe cómo de un grupo no conmutativo se obtuvo uno
conmutativo. Se podŕıa pensar que el grupo de las permutaciones en un
conjunto de cuatro elementos, S4 pudiera ser obtenido a partir del grupo
de las simetŕıas del cuadrado D4. Veremos que esto no es posible, primero
porque S4 posee 24 elementos y D4 unicamente 8 y segundo porque en S4
no se preservan las distancias bajo la función φ. Por ejemplo el segmento
14 tiene menor longitud que el segmento 13 como se observa en la siguiente
figura.
96 CAPÍTULO 2. GRUPOS
�
�
3
1
4
2
Figura 2.21
La permutación (
1 2 3 4
1 2 4 3
)
no es una isometŕıa del cuadrado, si lo fuera, se tuviera
d(1, 3) = d(1φ, 3φ) = d(1, 4)
lo que indica que la longitud del segmento 13 seŕıa igual a la longitud del
segmento 14, contradiciendo el teorema de Pitágoras. Note que Dn coincide
con Sn solo para cuando n = 3.
Si en el plano R× R consideramos que no existen paralelas, esto es, que
todas las rectas se intersectan en un punto y si suponemos que las paralelas
definidas por Euclides son rectas que se intersectan en un punto en el infinito y
denominamos a tales puntos, puntos ideales y llamamos recta ideal a la recta
que pasa por todos los puntos ideales, hemos construido el plano proyectivo.
La geometŕıa proyectiva estudia cierto tipo de proyecciones que env́ıan ĺıneas
en ĺıneas, cuadriláteros en cuadriláteros pero que no preservan las distancias,
el conjunto de tales proyecciones es el grupo proyectivo.
Si para un espacio dado, tenemos precisa la idea de cuándo dos puntos
están lo suficientemente cerca para hablar de una transformación continua,
tal espacio se denomina un espacio topológico, entonces se puede definir
Topoloǵıa como el estudio de aquellas propiedades de los espacios que son
invariantes bajo el grupo de las transformaciones continuas cuyas inversas
también son continuas. Desde el punto de vista euclidiano la ĺınea, el plano,
R3 son espacios topológicos.
Examinemos la función Seno definida en los reales. Es bien conocido que
para cualquier entero n, sen x = sen(x + 2nπ), esto significa que la función
Seno es invariante bajo una transformación de su dominio por un elemento
del grupo ćıclico (2π). Las funciones de una variable real que permanecen
2.8. APLICACIONES GEOMÉTRICAS 97
invariantes bajo una transformación de su dominio por un elemento de un
grupo ćıclico infinito se les llama funciones periódicas.
Como estamos interesados en las propiedades de los conjuntos antes des-
critos solo desde el punto de vista de los grupos, analicemos los siguientes
ejemplos.
Ejemplo 2.8.1. Sea G = {φm : R −→ R, m un real diferente de cero}, φm
definida mediante la fórmula xφm = mx. Demostrar que G es un subgrupo del
grupo de las transformaciones de los reales, T (R). Se conoce como el grupo
de las homotecias de la recta.
Solución. Es fácil demostrar usando los métodos del Cálculo que φm aśı de-
finido es una biyección. Sean a, b reales diferentes de cero, entonces ab ∈ R y
además φa, φb, φab pertenecen a G. Por hipótesis, para todo x de R,
xφa = ax, xφb = bx
x(φaφb) = (xφa)φb
= (ax)φb
= b(ax)
= (ab)x
= xφab
con lo que se demuestra que φaφb = φab ya que ambas tienen por dominio R.
Debido a que a es un real diferente de cero, existe su inverso 1/a, por tanto
φ1/a existe en G y está definida por xφ1/a = (1/a)x. Quedando demostrado
que G es un subgrupo de T (R).
Ejemplo 2.8.2. Sean x1, x2 reales. Se denomina segmento de extremos x1,
x2 al conjunto
Sg(x1, x2) = {z | z = tx1 + (1− t)x2, t ∈ [0, 1]}.
Demuestre que la imagen de un segmento es un segmento si se considera la
traslación φa dada por xφa = x+ a.
Solución.
Sg[(x1, x2)]φa = [tx1 + (1− t)x2]φa
= [tx1 + (1−)tx2] + a.
98 CAPÍTULO 2. GRUPOS
Por otra parte,
Sg(x1 + a, x2 + a) = t(x1 + a) + (1− t)(x2 + a)
= [tx1 + (1− t)x2] + a.
El último término se obtiene después de realizar operaciones con reales. Con-
cluyendo,
Sg[(x1, x2)]φa = Sg(x1 + a, x2 + a)
es decir la imagen de un segmento es un segmento.
EJERCICIOS
1. Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos son subgrupos del
grupo de las transformaciones de los reales T(R).
a) G = { φa : R −→ R | xφa = x + a }. G se conoce como el grupo
de las traslaciones de la recta.
b) G = { φab : R −→ R a, b en R a �= 0 | xφab = ax + b }. G es el
grupo de las transformaciones afines de la recta. ¿Qué sucede si
b = 0. Si a = 1 y b �= 0?
c) G = {φabcd : R −→ R a, b, c, d en R ad − bc �= 0 | φabcd = ax+bcx+d }.
G se denomina el grupo proyectivo.
2. De acuerdo con el ejercicio (1.b). Sea H = { φab ∈ G | a ∈ Q }, Q es
el conjunto de los racionales. Demostrar que H es un subgrupo de G.
3. Con relación a la definición de segmento, demuestre que la imagen de
un segmento es un segmento si se considera la transformación af́ın φab
dada en el ejercicio (1.b).
4. Demuestre que cada uno de los conjuntos dados es un subgrupo del
grupo de las transformaciones T (R2).
a) G ={ φab : R2 −→ R2 | (x, y)φab = (x+ a, y + b) }. G es el grupo
de las traslaciones del plano.
b) G ={ φk : R2 −→ R2 | (x, y)φk = (kx, ky), k ∈ R∗ } G es el grupo
de las homotecias del plano.
2.8. APLICACIONES GEOMÉTRICAS 99
c) G = {φ : R2 −→ R2 }. Donde φ está definido por la igualdad
(x, y)φ = (x cosα + y senα , y cosα− x senα).
G es el grupo de las rotaciones del plano.
d) G = {φab : R2 −→ R2}. Donde φab está definido por la igualdad
(x, y)φab = (x cosα+ y senα + a , y cosα− x senα + b).
G es el grupo de los movimientos ŕıgidos del plano.
Caṕıtulo 3
SUBGRUPOS NORMALES
HOMOMORFISMOS E
ISOMORFISMOS
3.1. Grupos con operadores externos
El objetivo principal es presentar los subgrupos normales a través de un tipo
especial de biyecciones denominadas automorfismos internos, los cuales son la
génesis de la definición tradicional de los mencionados subgrupos. Para lograr
este propósito es indispensable dotar al grupo G de una nueva operación
denominada ley de composición externa, esto es, una función definida en
el producto cartesiano Δ × G −→ G, donde Δ es un conjunto no vaćıo.
Operación que abrirá las puertas a una variedad de conclusiones de capital
interés.
Definición 3.1.1. Sea E un conjunto no vaćıo, Δ �= ∅ un conjunto cual-
quiera. Una ley de composición externa por la izquierda es una función
Δ × E −→ E que asocia con cada pareja ordenada del producto Δ × E,
un único elemento de E. El elemento asociado con la pareja (α, x) se nota
αx.
El conjunto Δ se denomina un dominio de operadores por la izquierda.
De igual manera se define un dominio de operadores por la derecha.
Definición 3.1.2. Un grupo G provisto de un dominio de operadores y de
una ley de composición externa por la izquierda (o por la derecha) se dice un
101
102 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
grupo con operadores.
Los operadores además pueden poseer la propiedad distributiva dada por
la siguiente definición.
Definición 3.1.3. Un operador α ∈ Δ se dice distributivo si para cada par
de elementos a, b de G,
α(ab) = (αa)(αb)
donde las expresiones (ab) y (αa)(αb) representanla operación interna de
G mientras que α(ab), αa, αb indican la operación externa por la izquierda
mencionada anteriormente.
El dominio de operadores Δ se dice distributivo si todo operador α ∈ Δ
es distributivo.
Definición 3.1.4. Un grupo provisto de un dominio de operadores distribu-
tivo se denomina un Δ–grupo.
Hasta el momento no se ha dicho cuántas otras propiedades debe satisfa-
cer el dominio de operadores, sin embargo veamos que todo grupo abeliano
se puede convertir en un Δ–grupo. Para el efecto tomemos el grupo (G, +).
Sea Δ = Z, para n ∈ Z y a ∈ G, en el caṕıtulo anterior se definió
na = a+ a+ a+ · · ·+ a︸ ︷︷ ︸
n veces
indicando que a se ha operado n veces. Como G es abeliano,
n(a+ b) = na+ nb.
Se puede decir que todo grupo abeliano es un Z–grupo. Para el caso especial
de los enteros volveremos sobre este concepto cuando estudiemos los anillos.
Los espacios vectoriales son otro ejemplo de grupos con operadores. Si el
dominio de operadores son los reales, todo espacio vectorial V es un R–grupo.
La definición que sigue es puerta de entrada al reino de los subgrupos
normales.
Definición 3.1.5. Sean E, E ′ dos conjuntos dotados cada uno de una ley
de composición interna y de una ley de composición externa definida por
medio del mismo dominio de operadores. Una función φ : E −→ E ′ es un
homomorfismo de E en E ′ si,
3.1. GRUPOS CON OPERADORES EXTERNOS 103
i) Para cada par de elementos x, y de E,
(xy)φ = (xφ)(yφ).
ii) Para todo x de E y para todo α en Δ,
(αx)φ = α(xφ).
El conjunto de los homomorfismos de E en E ′ se designa Hom(E, E ′ ). Un
homomorfismo de E en śı mismo se denomina un endomorfismo.
Sea φ : E −→ E ′ una biyección. Si φ es un homomorfismo la biyección
rećıproca φ−1 también lo es. La demostración no es dif́ıcil y se deja a los
interesados. Un homomorfismo biyectivo se dice un isomorfismo, φ−1 se llama
entonces el isomorfismo rećıproco de φ. Un isomorfismo de E sobre śı mismo
se dice un automorfismo.
Definición 3.1.6. Si a y b son elementos de G se dice que b es un conjugado
de a en G si existe g ∈ G tal que b = gag−1.
Un automorfismo interno φ se obtiene escogiendo un elemento cualquiera
del grupo, por ejemplo, g y manteniéndolo fijo se halla la imagen de cada x
de G por conjugación con g, esto es, para todo x ∈ G, xφ = gxg−1.
Si G tiene n elementos existen n posibles automorfismos internos, uno
por cada elemento de G pero algunos pueden coincidir. Para el grupo de las
simetŕıas del triángulo equilátero la conjugación por ρ1, teniendo presente
que (ρ1)
−1 = ρ2, resulta:
ρ0φ = ρ1ρ0(ρ1)
−1 = ρ1ρ0ρ2 = ρ0
ρ1φ = ρ1ρ1(ρ1)
−1 = ρ1ρ1ρ2 = ρ1
ρ2φ = ρ1ρ2(ρ1)
−1 = ρ1ρ2ρ2 = ρ2
μ1φ = ρ1μ1(ρ1)
−1 = ρ1μ1ρ2 = μ3
μ2φ = ρ1μ2(ρ1)
−1 = ρ1μ2ρ2 = μ1
μ3φ = ρ1μ3(ρ1)
−1 = ρ1μ3ρ2 = μ2.
Figura 3.1
Este grupo posee seis automorfismos internos todos diferentes, en cambio D4
solo posee cuatro.
104 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
Considérense los homomorfismos φ de E en E ′, ϕ de E ′ en E ′′. La función
compuesta φϕ de E en E ′′ es también un homomorfismo, en efecto,
(xy)φϕ = [(xy)φ]ϕ
= [(xφ)(yφ)]ϕ
= [(xφ)ϕ][(yφ)ϕ]
= [x(φϕ)][y(φϕ)].
Además,
(αx)φϕ = [(αx)φ]ϕ
= [α(xφ)]ϕ
= α[(xφ)ϕ]
= α[x(φϕ)].
Las mismas caracteŕısticas presentan los isomorfismos, los automorfismos y
demás aplicaciones similares.
Sea ΔE = {φ : G −→ G } el conjunto de los endomorfismos de G, y defi-
namos una ley de composición externa, ΔE ×G −→ G mediante la siguiente
fórmula, φx = xφ , esto es, el producto de φ por x (descrito a la izquierda)
es igual a la imagen de x mediante la aplicación φ. Entonces,
φ(xy) = (xy)φ
= (xφ)(yφ)
= (φx)(φy).
Con el anterior razonamiento se demostró que φ es distributivo. No olvide
que φx es el producto de φ por x, mientras que xφ es la imagen de x bajo la
aplicación φ.
Sea G un grupo, ΔE = End(G) el conjunto de los endomorfismos de G.
G con la operación externa antes definida es un Δ–grupo. Igual cosa sucede
si consideramos ΔA = Aut(G), el conjunto de los automorfismos de G.
Considérese un elemento fijo g del grupo G y sea φ el automorfismo de G
en G por conjugación, esto es, para todo x de G, xφ = gxg−1.
Supongamos que xφ = yφ, entonces gxg−1 = gyg−1 y por la ley cancela-
tiva se concluye que x = y, lo que indica que φ es uno a uno.
3.1. GRUPOS CON OPERADORES EXTERNOS 105
Por otra parte, para todo y de G, g−1yg ∈ G. Sea entonces x = g−1yg,
luego
xφ = (g−1yg)φ
= g(g−1yg)g−1
= y.
Demostrándose que φ es sobre y por tanto una biyección.
Además, para todo x, y de G
(xφ)(yφ) = (gxg−1)(gyg−1)
= g(xy)g−1
= (xy)φ.
En definitiva se observa que φ es distributivo. Esta aplicación se denomina
el automorfismo interno asociado a g. Como el razonamiento es válido para
todo g de G, tómese el dominio de operadores ΔI = Int(G) el conjunto de
todos los automorfismos internos de G. El grupo G con la operación externa
definida en los ejemplos anteriores es un Δ–grupo.
Si se considera en especial el automorfismo interno asociado con el ele-
mento de identidad notado por conveniencia i, para todo x ∈ G se observa
que
xi = exe−1
= x
esto es, i es el automorfismo idéntico. Si Δi = { i }, definiendo la opera-
ción externa como en los ejemplos anteriores, se ha encontrado la forma más
económica de transformar cualquier grupo en un Δ–grupo. Un caso especial
lo constituyen los grupos abelianos donde la conmutatividad de la opera-
ción convierte a todo automorfismo interno por conjugación en la biyección
idéntica.
EJERCICIOS
1. Sea φ : E −→ E ′ una biyección. Si φ es un homomorfismo, demostrar
que φ−1 también lo es.
106 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
2. Defina el concepto de Δ–homomorfismo de un Δ–grupoG en un Δ–grupo G′.
Demostrar que el núcleo es un Δ–subgrupo de G.
3. Sean V = { x1, x2, x3, . . . , xn | xi ∈ R } el conjunto de los vectores fila
con entradas reales, Δ = R. Demuestre que el grupo aditivo V es un
Δ–grupo para el producto por escalares.
4. Sea Δ = { ϕ: V −→ V | ϕ es una transformación lineal en V}, V un
espacio vectorial. Demostrar que el grupo aditivo V es un Δ–grupo.
3.2. Producto de las partes de G
Sea G un grupo, P(G) el conjunto de las partes de G. Se puede definir una
operación en P(G) inducida por la ley de composición interna de G en la
siguiente forma.
Si A ⊆ G, B ⊆ G son dos conjuntos no vaćıos se conviene en definir el
producto de A por B mediante la igualdad,
AB = {x | x = ab, a ∈ A, b ∈ B}.
Si alguno de los conjuntos es vaćıo, AB = ∅. Puede suceder, por ejemplo, que
A = {a}, a ∈ G, en este caso el producto se escribe aB para simplificar la no-
tación. La asociatividad de este producto es consecuencia de la asociatividad
de la operación de G.
Si A ⊆ G se designa por A− al conjunto de los inversos de los elementos
de A, esto es,
A− = {a−1 ∈ G | a ∈ A}.
No se piense que A− es el inverso de A con respecto al conjunto E = {e}. Lo
único que se puede decir es que E ⊆ AA−.
Si x ∈ AB existen a en A, b en B tales que x = ab. Tomando inversos se
escribe x−1 = b−1a−1 ∈ B−A−, de aqúı se concluye que,
(AB)− = {x−1 ∈ G | x ∈ AB}
= {b−1a−1 ∈ G | b−1 ∈ B−, a−1 ∈ A−}
= B−A−.
Ahora estamos preparados para demostrar el
3.2. PRODUCTO DE LAS PARTES DE G 107
Teorema 3.2.1. Sea H �= ∅ un subconjunto del grupo G. H es un subgrupo
de G si y solo si H2 ⊆ H , H− ⊆ H , donde H2 = HH .
Demostración. Sea xy ∈ H2, entonces x, y pertenecen a H , pero al ser H
estable para la operación de G, xy ∈ H , luego H2 ⊆ H .
Además, si x ∈ H−, x−1 ∈ H , como H es un grupo, x ∈ H , de donde se
deduce que H− ⊆ H .
Rećıprocamente, suponga que H2 ⊆ H , H− ⊆ H . Si xy ∈ H2, por hipóte-
sis xy ∈ H indicando que H es estable. Por otra parte, si x ∈ H , x−1 ∈ H−
y por hipótesis x−1 ∈ H . De las dos afirmaciones anteriores se deduce que H
es un subgrupo de G.
Es fácil verificar que se cumple la propiedad de isotońıa para el producto,
esto es, si A ⊆ A′, entonces AB ⊆ A′B y BA ⊆ BA′. Con esta propiedad
y suponiendo que H2 ⊆ H y H− ⊆ H se deduce que H2 = H y H− = H .
En efecto,como H es un grupo e ∈ H , entonces E ⊆ H y por la propiedad
de isotońıa, EH ⊆ H2, pero EH = H , luego H ⊆ H2. Además H = (H−)−
que es un subconjunto de H−, por consiguiente H ⊆ H−.
Se puede en consecuencia redactar el teorema 3.2.1 en la siguiente forma:
Si H es un subconjunto del grupo G, H es un subgrupo de G si y solo si
H2 = H = H−.
Sea H un subgrupo de G, K ⊆ H , entonces KH ⊆ H2 = H , o sea
KH ⊆ H . Rećıprocamente, si k ∈ K, entonces como H es estable, para todo
h ∈ H , kh ∈ H , por consiguiente todo elemento de H se puede expresar como
el producto de k por algún elemento de H . En otras palabras, si k ∈ K, para
todo h de H existe x en H tal que h = kx, luego H ⊆ KH .
En resumen: Para todo H � G y para todo K ⊆ H, KH = H = HK.
En particular, para todo h de H, hH = Hh = H .
EJERCICIOS
1. Demostrar la propiedad de isotońıa: Si A ⊆ A′, entonces AB ⊆ A′B y
BA ⊆ BA′.
2. Sean H , K dos subgrupos de G. Demostrar que HK es un subgrupo
de G si y sólo si HK = KH .
3. Usando el ejercicio anterior, demuestre que si H , K son subgrupos de
un grupo abeliano G, entonces HK es un subgrupo de G.
108 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
3.3. Δ–Subgrupos
Dado un Δ–grupo G, surge la inquietud de encontrar algún subconjunto H
de G, para poder pensar en la existencia de los Δ–subgrupos. Este problema
efectivamente tiene solución y esta se puede plantear a partir de los sub-
grupos de G. La siguiente tarea es garantizar que el dominio de operadores
distributivo de G lo es también para H . Ahora la idea surge de una manera
natural con las definiciones que siguen.
Definición 3.3.1. Dado X un subconjunto del Δ–grupo G, aceptamos en
definir el producto externo de Δ por X, por la fórmula
ΔX = {αx, α ∈ Δ, x ∈ X}.
Definición 3.3.2. Sea H un subgrupo de G. H es un Δ–subgrupo del Δ–grupo
G, si y solo si ΔH ⊆ H.
Ejemplo 3.3.1. Los subgrupos triviales son Δ–subgrupos de G.
Si ΔE = End(G), los Δ–subgrupos se llaman subgrupos completamente
invariantes de G.
Si ΔA = Aut(G), los Δ–subgrupos reciben el nombre de subgrupos carac-
teŕısticos.
Si Δi = Int(G), los Δ–subgrupos se denominan subgrupos normales.
3.4. Clases laterales
La noción de clase lateral es de vital importancia en la teoŕıa de los grupos.
Nos proporciona la forma de dividirlos (partirlos) en subconjuntos con algu-
nas caracteŕısticas especiales. Para los grupos abelianos, por ejemplo, estas
clases conducen a conclusiones realmente extraordinarias. Al mencionar la
idea de dividir en subconjuntos se está pensando en describir una relación de
equivalencia que permita encontrar una partición para el grupo G, por esta
razón iniciamos con la descripción de algunas relaciones fundamentales.
Definición 3.4.1. Una relación R definida en un conjunto E �= ∅, se dice
regular por la izquierda si aRb, implica xaRxb, para todo x ∈ E.
Es regular por la derecha si aRb implica axRbx, para todo x ∈ E.
Es regular si lo es a izquierda y a derecha.
Es ĺıcita para la ley de composición externa, si aRb, entonces αaRαb,
para todo α ∈ Δ.
3.4. CLASES LATERALES 109
Definición 3.4.2. Una relación de equivalencia R ĺıcita para el dominio de
operadores Δ se llama una Δ–equivalencia.
Una relación de equivalencia R regular y ĺıcita para el dominio de opera-
dores Δ es una congruencia.
Si R es una relación de equivalencia definida en E �= ∅, la clase de equi-
valencia de un elemento x ∈ E notada [ x ], es el conjunto de todos los y de
E tales que xRy.
[ x ] = { y ∈ E | xRy }.
El conjunto de todas las clases de equivalencia es lo que se conoce como el
espacio cociente de E sobre R, y viene dado por la igualdad
E/R = { [ x ] | x ∈ E }.
Definición 3.4.3. Sea Ei una familia de subconjuntos de E tales que,
1. ∀i, Ei �= ∅.
2. Ei ∩ Ej = ∅, si i �= j.
3. ∪Ei = E.
La familia Ei se llama una partición de E.
El teorema fundamental de las relaciones de equivalencia se enuncia di-
ciendo que toda relación de equivalencia en un conjunto E, produce una
partición de E al reunir todos los elementos relacionados entre śı en una mis-
ma clase de equivalencia y rećıprocamente, toda partición de un conjunto E
induce una relación de equivalencia R en E.
Las condiciones 1, 2, 3 aplicadas a las clases de equivalencia se traducen
de la siguiente manera,
1. Toda clase de equivalencia [ x ] es diferente de vaćıo.
2. Dos clases de equivalencia [x ], [ y ] son idénticas o disyuntas.
3. La unión de todas las clases de equivalencia reproducen el conjunto E.
Teorema 3.4.1. En un Δ–grupo G, para toda equivalencia regular por la
izquierda R, la clase unidad [ e ] = H es un subgrupo de G. Una clase de
equivalencia [ a ] viene dada por la igualdad [ a ] = aH . Además, si R es una
Δ–equivalencia, H es un Δ–subgrupo.
110 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
Demostración. Sean x, y elementos de [ e ]. Como xRy, por ser R regular por
la izquierda, y−1xRy−1y y por consiguiente, y−1xRe. La última relación es
equivalente a decir que y−1x ∈ [ e ], de donde se deduce que [ e ] = H es un
subgrupo de G.
Además, si x ∈ [ a ], entonces xRa. Esto es, a−1xRe, luego a−1x ∈ H . Por
tanto existe h en H tal que a−1x = h, de donde se concluye que x = ah ∈ H.
La anterior expresión significa que [ a ] ⊆ aH .
Por otra parte, si x = ah ∈ H entonces h ∈ H , de donde se puede escribir
a−1xRe y de aqúı se obtiene xRa o x ∈ [ a ]. Lo que permite concluir que
[ a ] ⊆ aH . La doble contenencia garantiza que [ a ] = aH .
Sean α ∈ Δ, h ∈ H . Si hRe, αhRαe. Pero αe = e, porque todo opera-
dor distributivo deja invariante a e, (demostrarlo). Entonces αhRe, o sea,
αh ∈ H . En śıntesis H es un Δ–subgrupo.
En la demostración del teorema 3.4.1 se dedujo de modo tácito que para
toda equivalencia R. Si R es regular por la izquierda, entonces para todo par
x, y de elementos de H, xRy si y solamente si y−1x ∈ H. Donde H = [ e ].
A partir de ahora esta será la definición de R cuando se haga referencia a los
Δ–grupos.
El rećıproco del teorema 3.4.1 también es válido, es el
Teorema 3.4.2. Para todo subgrupo H de G, la relación definida por yRx
si y solo si, x−1y ∈ H ( y ∈ xH) es una equivalencia regular por la izquier-
da en la cual [ e ] = H. Si H es un Δ–subgrupo del Δ–grupo G, R es una
Δ–equivalencia.
Demostración. 1. R es reflexiva.
aRa, si y solo si, aa−1 = e ∈ H .
Afirmación que es válida por ser H un grupo.
2. Es simétrica. En efecto,
yRx, si y solo si, x−1y ∈ H.
Lo que equivale a decir que
(x−1y)−1 ∈ H
oración equivalente a
y−1x ∈ H.
3.4. CLASES LATERALES 111
Y esta última es una forma idéntica de afirmar que
xRy.
3. Es transitiva. Supongamos que
yRx, xRz.
Aplicando la definición y multiplicando en el orden adecuado se llega a
(z−1x)(x−1y) ∈ H.
Asociando y cancelando se obtiene
z−1y ∈ H.
Lo que es equivalente a decir
yRz.
4. Es regular por la izquierda.
Las siguientes oraciones son equivalentes:
yRx, si y solo si, x−1y ∈ H.
Operando por e = z−1z
x−1(z−1z)y ∈ H, z ∈ H.
Usando la propiedad asociativa
(x−1z−1)(zy) ∈ H.
Por la propiedad del producto de inversos
(zx)−1(zy) ∈ H.
Finalmente
zyRzx.
112 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
5. Además, para todo x de H , e−1x ∈ H , entonces xRe. Luego para todo
x de H , x ∈ [ e ] o [ e ] = H .
6. Finalmente, sea H un Δ–subgrupo, α ∈Δ, yRx. Aplicando la definición
y la distributividad del operador,
(αx)−1(αy) = (αx−1)(αy) = α(x−1y) ∈ H.
Por consiguiente
yRx.
Afirmación que conduce a decir que R es ĺıcita para el dominio de
operadores. Se ha comprobado que R es una Δ–equivalencia.
En la anterior demostración se usó la igualdad (αx)−1 = αx−1. Esta igual-
dad es cierta ya que
(αx)(αx−1) = α(xx−1) = αe = e.
Definición 3.4.4. Las clases [ a ] = aH se denominan las clases laterales
izquierdas con respecto al subgrupo H. Para las equivalencias regulares por la
derecha las clases laterales derechas se representan porHa. Si se usa notación
aditiva estas se traducen en a+H, y H + a respectivamente.
En lo que sigue nos referiremos a las clases laterales izquierdaspor como-
didad, pero observando que los mismos razonamientos son válidos para las
derechas. Los teoremas anteriores y los siguientes solo tienen un ligero cambio
en la redacción.
Al tenor de los teoremas 3.4.1 y 3.4.2, las clases laterales forman una
partición de G en subconjuntos disyuntos dos a dos, por consiguiente dos
clases laterales izquierdas (derechas) son idénticas o disyuntas.
Considérese la función φa : H −→ aH definida por la fórmula,
hφa = ah
φa es claramente biyectiva y lo invitamos a comprobarlo.
Esta biyección nos dice en lenguaje informal que H tiene tantos elementos
como aH . Afirmación válida en toda su magnitud cuando H es finito.
La biyección anterior se puede establecer entre H y una clase lateral
cualquiera bH ( b en G ). Por esta razón y por el hecho de ser la compuesta de
3.4. CLASES LATERALES 113
biyecciones una biyección, se concluye que entre dos clases laterales izquierdas
(derechas) cualesquiera existe una biyección, o equivalentemente, dos clases
laterales izquierdas (derechas) cualesquiera de H “tienen igual número de
elementos”.
Como e ∈ H , es claro que a = ae ∈ H , o sea, cada elemento a de G
pertenece a una clase lateral izquierda (derecha) de H .
En resumen: Si H es un subgrupo de G, entonces dos clases laterales
izquierdas (derechas) son idénticas o disyuntas. Entre dos clases izquierdas
(derechas) existe una biyección y cada elemento de G pertenece a una clase
de H .
Teorema 3.4.3. Si H es un subgrupo de G, entonces toda clase lateral
izquierda es una clase lateral derecha si y solo si el producto de dos clases
laterales izquierdas es de nuevo una clase lateral izquierda.
Demostración. Supongamos que toda clase lateral izquierda es una clase la-
teral derecha. Entonces,
(aH)(bH) = a(Hb)H Propiedad asociativa,
= a(bH)H Hipótesis,
= (ab)HH Propiedad asociativa,
= (ab)H Porque HH = H.
Esta fórmula indica que el producto de clases aH , bH es la clase que contiene
el producto de dos representantes cualesquiera, uno de aH y otro de bH . Se
acostumbra decir que el producto de clases está bien definido.
Supongamos ahora que el producto de dos clases izquierdas es de nuevo
una clase lateral izquierda. Sea a ∈ G. Como eH = H , entonces
H(aH) = (eH)(aH) = eaH = aH
(aH)H = (aH)(eH) = aeH = aH.
Sean h, h1 elementos de H tales que ah1 ∈ aH . Como H(aH) = (aH)H ,
existen h2, h3 tales que,
h(ah1) = (ah2)h3.
Después de aplicar las propiedades asociativa e invertiva se obtiene la igual-
dad
ha = a(h2h3)(h1)
−1.
114 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
Pero H es un grupo, entonces (h2h3)(h1)
−1 = h4 ∈ H , por lo tanto,
ha = ah4 ∈ aH.
Lo que indica que
Ha ⊆ aH.
Por otra parte
aH(a−1H) = aa−1H = eH = H
a−1H(aH) = a−1aH = eH = H.
De manera que escogiendo representantes arbitrarios, x ∈ aH , a−1 ∈ a−1H ,
se obtiene, xa−1 ∈ H , entonces (xa−1)a ∈ Ha y de aqúı se sigue que x ∈ Ha,
esto es,
aH ⊆ Ha.
De las dos contenencias se obtiene
aH = Ha.
Lo que dicho en palabras significa que toda clase lateral izquierda es una
clase lateral derecha.
Al definir el producto de las partes de un grupo se observó que es asocia-
tivo y al ser el producto de clases un caso especial se puede afirmar que el
producto de clases laterales es asociativo, esto es
aH(bH)(cH) = (aH)(bH)cH
= abcH.
En la demostración del teorema 3.4.2 se dedujeron las igualdades
H(aH) = (aH)H = aH
aH(a−1H) = a−1H(aH) = H.
Las anteriores igualdades significan que H es el elemento de identidad y a−1H
el inverso de aH . Estas conclusiones se obtuvieron a partir del supuesto de
ser el producto de dos clases laterales izquierdas una clase lateral izquierda.
Estas afirmaciones se pueden condensar diciendo:
“Si H es un subgrupo de G y el producto de dos clases laterales izquierdas
es una clase lateral izquierda, entonces la colección de todas las clases late-
rales izquierdas de H forman un grupo para el producto de clases”.
Tómese el grupo de las simetŕıas del cuadrado D4
3.4. CLASES LATERALES 115
* ρ0 ρ1 ρ2 ρ3 μ1 μ2 δ1 δ2
ρ0 ρ0 ρ1 ρ2 ρ3 μ1 μ2 δ1 δ2
ρ1 ρ1 ρ2 ρ3 ρ0 δ2 δ1 μ1 μ2
ρ2 ρ2 ρ3 ρ0 ρ1 μ2 μ1 δ2 δ1
ρ3 ρ3 ρ0 ρ1 ρ2 δ1 δ2 μ2 μ1
μ1 μ1 δ1 μ2 δ2 ρ0 ρ2 ρ1 ρ3
μ2 μ2 δ2 μ1 δ1 ρ2 ρ0 ρ3 ρ1
δ1 δ1 μ2 δ2 μ1 ρ3 ρ1 ρ0 ρ2
δ2 δ2 μ1 δ1 μ2 ρ1 ρ3 ρ2 ρ0
Figura 3.2
Examinemos el subgrupo H = {ρ0, ρ1, ρ2, ρ3}. Para el caso de un grupo
finito G, para hallar las clases laterales del subgrupo H se busca un elemento
a de G que no pertenezca a H y se confecciona la clase aH . A continuación se
busca un elemento b de G que no pertenezca a ninguna de las clases anteriores
y se elabora la clase bH . El proceso continúa hasta agotar todos los elementos
de G. Para el presente caso,
μ1H = {μ1, δ1, μ2, δ2}.
Solo existen dos clases. Considérese el conjunto G/H = {H, μ1H}. Si obser-
vamos la tabla notamos que hay cuatro combinaciones posibles para operar
con las clases,
HH = H
H(μ1H) = μ1H
(μ1H)H = μ1H
(μ1H)(μ1H) = H.
Las igualdades garantizan que el producto de clases izquierdas está bien
definido. Por lo visto G/H es un grupo cuya tabla se puede escribir aśı:
* H μ1H
H H μ1H
μ1H μ1H H
Figura 3.3
116 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
Como se vio anteriormente Z6 es un grupo abeliano. Considérese el subgrupo
H = {0, 3}, sus clases laterales izquierdas son
H = {0, 3}
1 +H = {1, 4}
2 +H = {2, 5}.
Estas clases coinciden con las derechas. Para cualquier otro subgrupo la situa-
ción es similar. ¿No es asombroso que Z6 posea tal cantidad de propiedades?
Más tarde con la introducción de algunos criterios veremos que todos los
grupos abelianos presentan igual comportamiento.
Teorema 3.4.4. Teorema de Lagrange. Si G es un grupo finito de orden n,
H un subgrupo de G, el orden de H divide al orden de G.
Demostración. Supongamos que H tiene m elementos. Consideremos la co-
lección de todas las clases laterales izquierdas de H . Son disyuntas dos a dos,
tienen igual número de elementos, en este caso m, y cada elemento de G se
encuentra en alguna clase. Supóngase que existen en total r clases, entonces
n = rm, o sea, m | n.
Corolario. Todo grupo de orden primo es ćıclico.
Demostración. Sea G un grupo de orden primo p y sea a �= e un elemento
de G. El grupo ćıclico generado por a posee al menos dos elementos {e, a}.
Por el teorema de Lagrange el orden m ≥ 2 de este grupo debe dividir a p.
Luego necesariamente m = p, de manera que (a) = G, de donde se deduce
que G es ćıclico.
Teorema 3.4.5. El orden de cualquier elemento de un grupo finito G divide
al orden de G.
Demostración. Recordando que el orden de cualquier elemento es igual al
orden del grupo ćıclico generado por dicho elemento, este teorema es una
consecuencia directa del teorema de Lagrange.
Definición 3.4.5. Sea G un grupo finito, H un subgrupo de G. El ı́ndice de
H en G, (H:G), es igual al orden G dividido por el orden de H, esto es,
|G|
|H| .
3.4. CLASES LATERALES 117
Sea G un grupo finito de orden n, H un subgrupo de G de orden m, supon-
gamos que H tiene r clases laterales, entonces n = rm, luego n/m = r. Se
ha demostrado que: El ı́ndice de H en G es el número de las clases laterales
izquierdas de H.
El teorema de Lagrange afirma que si G es un grupo finito, H un subgrupo
de G, el orden de H divide al orden de G, pero el rećıproco no siempre es
cierto, porque siG es de orden n, ym divide a n, puede no existir un subgrupo
de orden m. El grupo alternante A4 tiene orden 12 y sin embargo no tiene
subgrupos de orden 6. El rećıproco es cierto cuando G es abeliano, es decir:
“Si G es un grupo abeliano finito de orden n y m divide a n entonces G tiene
un subgrupo H de orden n”.
El teorema de Lagrange es de mucha utilidad en la teoŕıa de los grupos
finitos, a continuación presentamos algunos ejemplos.
Ejemplo 3.4.1. Demostrar que si G es un grupo de orden n, entonces an = e,
para todo a de G.
Solución. Sea n el orden de G, m el orden de a, entonces am = e. Por el
teorema 3.4.5, m | n, luego existe k �= 0 tal que n = km y por consiguiente,
an = akm = (am)k = ek = e.
Ejemplo3.4.2. Demostrar que si G es un grupo finito, H un subgrupo de
ı́ndice dos en G, entonces cada clase lateral izquierda es una clase lateral
derecha.
solución. Por hipótesis H tiene dos clases laterales izquierdas y dos derechas.
Si a ∈ G − H , sean aH y eH las dos clases laterales izquierdas, como ellas
son disyuntas, para todo x ∈ G, x pertenece a una y solo una de las dos
clases, por consiguiente
G−H = aH.
En igual forma para las clases laterales derechas,
G−H = Ha.
De estas igualdades se infiere que, aH = Ha.
118 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
EJERCICIOS
1. La relación R es compatible con la ley de composición externa si aRa′
y bRb′ implica (ab)R(a′b′).
a) Sea R transitiva. Demostrar que si R es compatible, entonces es
regular.
b) Sea R una relación de equivalencia. Demostrar que R es regular si
y solo si es compatible.
2. Asociemos al homomorfismo Ψ : E −→ E ′ la relación binaria R defi-
nida en E por aRa′ si y solo si Ψa = Ψa′. Demostrar que R es una
congruencia, denominada la congruencia nuclear asociada a Ψ.
3. Consideremos la aplicación canónica γ : E −→ E/R donde R es la
congruencia nuclear asociada a Ψ, definida por γx = [ x ] es la clase
módulo R a la que pertenece x. Demostrar que γ es un homomorfismo
suprayectivo canónico de E sobre E/R.
4. Sea κ : E/R −→ EΨ, definida por xκ = xΨ. Demostrar que κ es un
isomorfismo canónico asociado a Ψ.
5. Sea λ : EΨ −→ E definida por, ∀ y ∈ EΨ, yλ = y ∈ E ′. Demostrar
que λ es una inyección (canónica de EΨ ).
6. Demostrar que Ψ = γκλ.
7. Demostrar que hay tantas clases laterales derechas como izquierdas en
un subgrupo H de un grupo G, esto es, encuentre una biyección entre
las clases derechas y las izquierdas. Este resultado es obvio para un
grupo finito. Demuéstrelo para un grupo cualquiera.
8. SeanG un grupo finito,H ,K dos subgrupos deG tales queH ≤ K ≤ G.
Demostrar que (G : H) = (G : K)(K : H).
9. Demostrar que un grupo ćıclico finito de orden n tiene exactamente un
subgrupo de orden d, para todo d que divida a n. Demuestre además
que estos son los únicos subgrupos.
10. Sea el grupo aditivo de los enteros y Hn el subgrupo conformado con
todos los múltiplos de un entero fijo n. Halle el ı́ndice de Hn en G y
escriba las clases laterales izquierdas de Hn.
3.5. SUBGRUPOS NORMALES 119
11. ¿Qué es Hm ∩Hn (ejercicio anterior), para m, n enteros fijos?
12. Si H , K son dos subgrupos de ı́ndice finito en G, demuestre que H ∩K
es de ı́ndice finito en G.
13. Tome el grupo multiplicativo Z19. Sea H el subgrupo generado por 8.
Hallar las clases laterales derechas de H .
14. Tome el grupo aditivo Z20. Hallar las clases laterales derechas del sub-
grupo H = {0, 4, 8, 12, 16}.
15. Demuestre que para todo subgrupo H de G la relación R definida por
xRy si y solo si xy−1 ∈ H , (y ∈ Hx) es una equivalencia regular por la
derecha en la cual H = [ e ]. Si H es un Δ–subgrupo del Δ–grupo G, R
es una Δ–equivalencia. Demuestre además que [ a ] = Ha.
Si tomamos el grupo aditivo de los enteros y Hn es el subgrupo de
los múltiplos de n, de acuerdo con la notación aditiva, xy−1 ∈ Hn
se reduce a “(x − y) es un múltiplo de n” la cual es la relación de
congruencia estudiada en los enteros.
16. Si H , K son dos grupos finitos de G de órdenes |H|, |K| respectiva-
mente, entonces |HK| = |H||K| /|H ∩ |K|.
17. Un subconjunto no vaćıo K del grupo G es una clase lateral (por la
derecha o por la izquierda) con respecto a un subgrupo H de G, si y
sólo si, para x, y, z elementos de K, xy−1z ∈ K.
3.5. Subgrupos normales
En la sección anterior se vio que para algunos subgrupos, por ejemplo
los abelianos, las nociones de clase lateral izquierda y derecha coinciden, el
producto de clases está bien definido y la colección de todas las clases forman
un grupo, mientras que algunos subgrupos no poseen estas propiedades. Fue
el genio de Galois quien descubrió la existencia de estos subgrupos especiales.
La presentación de los subgrupos normales se hará a partir de los automor-
fismos internos por conjugación y de los Δ–subgrupos asociados con ellos. El
punto de partida es la definición que sigue.
120 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
Definición 3.5.1. Sea G un grupo, Δi el conjunto de los automorfismos
internos por conjugación de G. Los Δ–subgrupos del Δ–grupo G reciben el
nombre de subgrupos normales de G.
Sean, g un elemento fijo de G, φ el automorfismo interno por conjugación con
g. Tomando el producto externo definido anteriormente, esto es, para todo x
∈ G, φx = xφ, se puede escribir
φx = xφ
= gxg−1.
El automorfismo inverso es también un automorfismo interno, entonces
φ−1x = xφ−1
= g−1xg.
Por la definición de Δ–subgrupo, para todo subgrupo normal N de G
φN ⊆ ΔN ⊆ N y φ−1N ⊆ ΔN ⊆ N.
Sea n ∈ N , entonces gng−1 ∈ φ−1N , luego g−1ng ∈ N , en consecuencia existe
n1 en N tal que g
−1ng = n1, por consiguiente n = gn1g−1 ∈ φN , lo que en
otras palabras significa que N ⊆ φN , de esta contenencia y de la obtenida
anteriormente se concluye que N = φN . Pero el anterior razonamiento es
válido para todo g de G y para todo n de N , por lo cual se puede deducir
que para todo φ ∈ Δi, φN = N . Pero
φN = {gng−1 | n ∈ N, g ∈ G} = N.
Igualdad que permite concluir que para todo g ∈ G y para todo n ∈ N
gNg−1 = N o gN = Ng.
Rećıprocamente, sea N un subgrupo de G tal que para todo g de G y para
todo n de N , gNg−1 = N , es decir, para todos los automorfismos internos por
conjugación de G, φN = N , lo que implica que φN ⊆ N para todo φ ∈ Δi.
La afirmación anterior es equivalente a ΔiN ⊆ N o N es un Δ–subgrupo,
esto es, un subgrupo normal por definición.
Se ha demostrado que N es un subgrupo normal si y solo si para todo g
de G
gNg−1 = N o gN = Ng.
En D3 se pueden construir seis automorfismos internos por conjugación con
cada uno de sus elementos aśı.
3.5. SUBGRUPOS NORMALES 121
φρ0
ρ0 ↔ ρ0
ρ1 ↔ ρ1
ρ2 ↔ ρ2
μ1 ↔ μ1
μ2 ↔ μ2
μ3 ↔ μ3
φρ1
ρ0 ↔ ρ0
ρ1 ↔ ρ1
ρ2 ↔ ρ2
μ1 ↔ μ3
μ2 ↔ μ1
μ3 ↔ μ2
φρ2
ρ0 ↔ ρ0
ρ1 ↔ ρ1
ρ2 ↔ ρ2
μ1 ↔ μ2
μ2 ↔ μ3
μ3 ↔ μ1
φμ1
ρ0 ↔ ρ0
ρ1 ↔ ρ2
ρ2 ↔ ρ1
μ1 ↔ μ1
μ2 ↔ μ3
μ3 ↔ μ2
φμ2
ρ0 ↔ ρ0
ρ1 ↔ ρ2
ρ2 ↔ ρ1
μ1 ↔ μ3
μ2 ↔ μ2
μ3 ↔ μ1
φμ3
ρ0 ↔ ρ0
ρ1 ↔ ρ2
ρ2 ↔ ρ1
μ1 ↔ μ2
μ2 ↔ μ1
μ3 ↔ μ3
Figura 3.4
Recuerde que todas las imágenes se obtuvieron después de realizar las corres-
pondientes operaciones en D3 tomando la conjugación con cada uno de sus
elementos en la forma como se realizó en la figura 3.1 para ρ1.
El conjunto Δi se representa por
Δi = {φρ0 , φρ1, φρ2, φμ1 , φμ2 , φμ3}.
Para convertir a D3 en un Δ–grupo tomemos el producto externo definido
anteriormente, esto es
φγix = xφγi .
Donde φγi representa cada uno de los seis elementos de Δi.
La expresión de la izquierda es el producto y la de la derecha, el auto-
morfismo correspondiente.
Por ejemplo, para calcular φμ3ρ1, esto es, el producto externo de φμ3 por
ρ1, se toma la imagen de ρ1 a través del automorfismo interno φμ3 ; imagen
que corresponde a la rotación ρ2.
En las anteriores condiciones se establecen las igualdades,
φμ3ρ1 = ρ1φμ3
= ρ2.
El último resultado se obtuvo de acuerdo con los automorfismos descritos en
la figura 3.4.
La tabla del producto externo es
122 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
⊥ ρ0 ρ1 ρ2 μ1 μ2 μ3
φρ0 ρ0 ρ1 ρ2 μ1 μ2 μ3
φρ1 ρ0 ρ1 ρ2 μ3 μ1 μ2
φρ2 ρ0 ρ1 ρ2 μ2 μ3 μ1
φμ1 ρ0 ρ2 ρ1 μ1 μ3 μ2
φμ2 ρ0 ρ2 ρ1 μ3 μ2 μ1
φμ3 ρ0 ρ2 ρ1 μ2 μ1 μ3
Figura 3.5
Como el producto externo está bien definido, D3 es un Δ–grupo. Para el
subgrupo H = {ρ0, ρ1, ρ2}, el producto externo ΔiH = {ρ0, ρ1, ρ2} es un
subconjunto de H , significando que H es un Δ–subgrupo y por definición un
subgrupo normal de D3 (ver la parte sombreada de la figura 3.5).
Por el contrario, el subgrupo H1 = {ρ0, μ1} no es un Δ–subgrupo, el
producto externo ΔiH = {μ1, μ2, μ3} � H1. Se afirma entonces que H1 no
es un subgrupo normal de D3.
Esperamos que sea productivo para el estudiante la forma de describir
los subgrupos normales relacionándolos con los automorfismos internos y el
producto externo definido en ellos.A medida que avance en el estudio se
irá dando cuenta de su relación fundamental con las clases de equivalencia
dadas. Confiamos en que estas hayan servido para facilitar la introducción
de un tema tradicionalmente denso. La idea es tener una mejor comprensión
del concepto de subgrupo normal.
Comprobar que un determinado subgrupo es normal usando la definición
es tarea harto agobiante, pero esta dificultad de obvia con el desarrollo de
algunos criterios, el primero de ellos es el teorema que sigue.
Teorema 3.5.1. El subgrupo H de G es un subgrupo normal de G, si y solo
si, toda clase lateral izquierda de H en G es una clase lateral derecha de H
en G.
Demostración. SiH es un subgrupo normal de G, entonces para todo h deH ,
para todo g de G, gHg−1 = H , de donde (gHg−1)g = Hg, esto es, gH = Hg,
es decir, las clases laterales izquierdas y derechas coinciden.
Supongamos que toda clase lateral izquierda es una clase lateral derecha.
Entonces, gH = Hg, y por consiguiente gHg−1 = H , indicando que H es
normal.
3.5. SUBGRUPOS NORMALES 123
Con el teorema 3.5.1, el ejercicio anterior se reduce a encontrar las clases
laterales izquierdas y derechas de H = {ρ0, ρ1, ρ2}. Como solo hay dos clases
izquierdas o derechas.
μ1H = {μ1ρ0, μ1ρ1, μ1ρ2} = {μ1, μ3, μ2}
Hμ1 = {ρ0μ1, ρ1μ1, ρ2μ1} = {μ1, μ2, μ3}.
Además
ρ0H = Hρ0 = H.
Por lo visto toda clase lateral derecha es una clase lateral izquierda, indicando
que H es normal.
Con los teoremas 3.4.3 y 3.5.1 es tarea fácil comprobar que los subgrupos
normales son los subgrupos especiales descubiertos por Galois. El hecho que
todo grupo abeliano pertenezca a tan distinguida clase se demuestra con el
Teorema 3.5.2. Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal.
Demostración. Sea G abeliano y H un subgrupo de G. Para todo h en H y
para todo g en G, ghg−1 = g−1hg = h, entonces H es un subgrupo normal
de G.
Definición 3.5.2. Dos subgrupos H, K de G son conjugados si y solo si
H = aKa−1 para algún a de G.
Los subgrupos H = {ρ0, μ1}, K = {ρ0, μ3} son conjugados. Es muy
sencillo comprobar que H = 2K(2)−1.
Definición 3.5.3. Sea a un elemento del grupo G. La clase conjugada C[ a ]
de a es el conjunto
{x ∈ G | xax−1 = a}.
En un grupo abeliano, xax−1 = a, de modo que C[ a ] = {a}.
Las clases conjugadas parten el grupo en bloques disyuntos de una manera
similar a como lo hacen las clases laterales, sin embargo las clases conjugadas
no necesariamente deben tener igual número de elementos, no es dif́ıcil darse
cuenta que en el fondo hay una relación de equivalencia.
Definición 3.5.4. Si N es un subgrupo normal de G, el grupo de las clases
laterales de N para el producto de clases es el grupo cociente (o grupo factor)
de G por N y se nota G/N.
124 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
Ejemplo 3.5.1. Como el grupo aditivo de los enteros es abeliano, el subgrupo
nZ es normal ( n > 0 ). Existen n clases, 0 + nZ, 1 + nZ, . . . , (n− 1) + nZ,
por lo tanto el orden de Z/nZ es n.
Definición 3.5.5. Un grupo se dice simple si no tiene subgrupos normales
propios.
Definición 3.5.6. Sea G un grupo, ai ∈ G, para algún i en I, donde I es un
conjunto de ı́ndices. El menor subgrupo de G que contiene a {ai | i ∈ I} es
el subgrupo generado por {ai | i ∈ I}. Si este subgrupo es igual a G, se dice
que {ai | i ∈ I} genera a G y en tal caso se afirma que cada uno de los ai
son generadores de G. Si existe un conjunto finito {ai | i ∈ I} que genera a
G, entonces G se dice finitamente generado.
Esta definición es consistente con la dada para grupos ćıclicos. Se deja
a los interesados demostrar que la intersección de todos los subgrupos de
G que contienen a {ai | i ∈ I} es el menor subgrupo de G que contiene a
{ai | i ∈ I}.
Teorema 3.5.3. Si G es un grupo, ai ∈ G, para algún i en I, entonces el
subgrupo H generado por {ai | i ∈ I} tiene por elementos precisamente
aquellos de G que son productos finitos de potencias enteras de los ai, donde
las potencias de un ai fijo pueden aparecer varias veces en el producto.
Demostración. El hecho que las potencias de un ai fijo puedan aparecer varias
veces en el producto se debe a que G puede no ser abeliano. Si es abeliano,
(ai)
n(aj)
s(ai)
m = (ai)
n+m(aj)
s
pero esto no es cierto si no es conmutativo.
Sea K el conjunto de todos los productos finitos de potencias enteras
de los ai. Es claro que K ⊆ H . Solo se necesita demostrar que K es un
subgrupo de H . Y como H es el menor subgrupo que contiene a ai para todo
i de I, entonces K = H . Es obvio que K es cerrado para el producto ya que
este producto es también un producto finito de potencias enteras de los ai.
Además e ∈ K por ser la potencia cero de ai.
Sea k ∈ K, entonces
k = (ai)
n(aj)
m . . . (as)
r
3.5. SUBGRUPOS NORMALES 125
(m,n, . . . , r) son enteros, (i, j, . . . , s) son elementos de I. Pero (−r, . . . ,−m,−n)
son enteros luego,
(k)−1 = (as)−r . . . (aj)−m(ai)−n ∈ K.
De esta manera se demuestra que K es un subgrupo de H .
Ejemplo 3.5.2. Z× Z2 es generado por {(1, 0), (0, 1)} = K.
Solución. Vamos a comprobar que Z × Z2 es el menor subgrupo de Z × Z2
que contiene a K.
Sea H un subgrupo de Z× Z2 que contiene a K, entonces ( −1, 0 ) ∈ H
y además
(1, 0)n = (n, 0) ∈ H, n ∈ N.
Como H es un grupo, (−n, 0 ) ∈ H y también,
(1, 0) + (−1, 0) = (0, 0) ∈ H.
Para todo entero n, (n, 0) ∈ H .
(0, 1)m = (0, 0) si m es par
(0, 1)m = (0, 1) si m es impar.
Para todo entero n y todo impar m,
(1, 0)n + (0, 1)m = (n, 1) ∈ H.
En conclusión, para todo entero n ( n, 1) ∈ H . También ( n, 0 )∈ H y de esta
última parte se deduce que H contiene todos los elementos de Z× Z2 o que
Z× Z2 está contenido en H y de aqúı se sigue que
Z× Z2 = H.
Definición 3.5.7. Sean a, b elementos del grupo G, aba−1b−1 se dice el
conmutador de a y b.
Teorema 3.5.4. El conjunto de todos los conmutadores aba−1b−1 de un
grupo G genera un subgrupo normal G′ de G, G/G′ es abeliano. Además
G/N es abeliano si y solo si G′ es un subgrupo de N .
126 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
Demostración. Sea H el subconjunto de G formado por todos los conmuta-
dores de G y sea G′ el mı́nimo subgrupo de G que contiene a H . G′ siempre
existe y es la intersección de todos los subgrupos que contienen a H . (demos-
tración dejada a los interesados). Como G contiene todos sus conmutadores,
debe contener a H , entonces la intersección de todos los subgrupos que con-
tienen a H nunca es vaćıa y en el caso más amplio G = G′. Luego es cierto
que el conjunto de todos los conmutadores de G generan un subgrupo G′
de G. El teorema 3.5.3 muestra que G′ consta de todos los productos finitos
de conmutadores. Note que el inverso de un conmutador es también un con-
mutador, lo mismo que el elemento de identidad. Para demostrar que G′ es
normal (para todo g de G y para todo c, d de G′), las igualdades que siguen
se obtuvieron usando la propiedad asociativa e introduciendo el elemento de
identidad (g−1d−1dg) en el segundo miembro aśı
g(cdc−1d−1)g−1 = (gcdc−1)(g−1d−1dg)(d−1g−1)
= [(gc)d(gc)−1d−1][dgd−1g−1] ∈ G′.
Luego G′ es normal en G.
Dado que b−1a−1ba = b−1a−1(b−1)−1(a−1)−1 es un elemento de G′ debe
tenerse que la clase
b−1a−1baG′ = eG′.
Como G′ actúa como elemento de identidad de G/G′, la clase b−1a−1baG′
actúa como elemento de identidad para G/G′, entonces
abG′ = (abG′)(b−1a−1baG′).
Desarrollando la segunda parte se llega a,
abG′ = baG′ = bG′aG′.
Concluyéndose que G/G′ es abeliano.
Si G/N es abeliano
aba−1b−1N = (abN)(b−1N)(a−1N)
= abb−1a−1N
= N.
3.5. SUBGRUPOS NORMALES 127
De modo que aba−1b−1 ∈ N y por consiguiente G′ es un subgrupo de N .
Finalmente si G′, es un subgrupo de N entonces
(aN)(bN) = abN
= ab(b−1a−1ba)N
= (abb−1a−1)baN
= baN
= (bN)(aN).
Definición 3.5.8. El subgrupo G’, generado por todos los conmutadores de
G, se llama el subgrupo conmutador de G.
Ejemplo 3.5.3. Si G es un grupo y H un subgrupo de ı́ndice dos en G
demostrar que H es normal en G
Solución. Como H es de ı́ndice dos, existen dos clases laterales derechas y
dos izquierdas,esto es, He, Ha, eH , aH . Es obvio que a ∈ H , pero
He = eH = H.
Por formar las clases laterales una partición
aH = G−H = Ha.
En conclusión toda clase izquierda es una clase derecha y por el teorema
3.5.1, H es un subgrupo normal en G.
Ejemplo 3.5.4. Demuestre que el centro de un grupo G es un subgrupo
normal.
El centro de un grupo G es el conjunto de todos los a de G tales que
ax = xa para todo x de G, esto es, es el conjunto de aquellos elementos de
G que conmutan con todo elemento de G.
Solución. Lo primero que hay que demostrar es que el centro es un subgrupo,
tarea que se deja como ejercicio. Para demostrar que es normal, tómese un
elemento cualquiera a que pertenezca al centro, lo que significa que para
todo g de G, ag = ga. Operando a derecha, a = gag−1 es un elemento del
centro.
128 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
EJERCICIOS
1. Demostrar que la intersección de dos subgrupos normales de G es un
subgrupo normal de G.
2. Si H es un subgrupo de G y N es un subgrupo normal de G, demostrar
que H ∩N es un subgrupo normal de H .
3. Demostrar que todo subgrupo de un grupo abeliano es normal.
4. Demostrar que el centro de un grupo es un subgrupo normal.
5. Sea G un grupo finito y sea H el único subgrupo de orden |H| que
posee G. Demuestre que H es un subgrupo normal de G.
6. Si M , N son dos subgrupos normales de G, demuestre que MN es un
subgrupo normal de G.
7. Sean M , N dos subgrupos normales de G tales que M ∩ N = {e},
demostrar que para todo m ∈ M , para todo n ∈ N , nm = mn.
8. Demostrar que si T es un grupo ćıclico normal de G, entonces todo
subgrupo de T es normal en G.
9. Dado un grupo G, se designa por B(G) al conjunto de los elementos de
G que conmutan con todo subgrupo H de G.
B(G) = { x ∈ G | xH = Hx, ∀H ∈ λ }. Donde λ es el conjunto de to-
dos los subgrupos de G. Demostrar que B(G) es un subgrupo que con-
tiene al centro de G, que es un subgrupo caracteŕıstico de G y que
B(G) = B[B(G)].
10. Demostrar que para todo subgrupo H de G se tiene, H∩B(G) ⊆ B(H).
11. Sean Z4 = {0, 1, 2, 3}, Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, H el subgrupo ćıclico
generado por (0, 1). Computar el grupo cociente (Z4 × Z6)/H .
12. Demostrar que el grupo cociente de un grupo ćıclico es ćıclico.
13. Hallar los subgrupos de Z12 generados por {2, 3} y {6, 8, 10}.
3.6. HOMOMORFISMOS 129
3.6. Homomorfismos entre grupos
El concepto de homomorfismo entre grupos es exactamente el mismo dado
en la sección 3.1. Si Δ = {i}, donde i es el automorfismo idéntico, vimos cómo
cualquier grupo se convierte en un Δ–grupo mediante el producto externo
definido por
ix = xi = x.
El primer miembro de la igualdad representa el producto de i por el ele-
mento x y el segundo es la imagen de x a través de i. Como esta operación
es distributiva se da por descontado que todo homomorfismo entre grupos
satisface la definición dada anteriormente. Siguiendo este orden de ideas, un
homomorfismo entre grupos es esencialmente una función de un grupo G a
un grupo similar G′ que preserva la estructura.
Si 〈G, ∗〉, 〈G′, ◦〉 son grupos y φ es una función de G en G′ tal que para
toda pareja x, y de elementos de G, existen elementos únicos xφ, yφ en G′
que satisfacen la igualdad
(x ∗ y)φ = xφ ◦ yφ
Se dice que es un homomorfismo entre G y G′.
Usualmente se omiten los śımbolos de las operaciones y se usa notación
multiplicativa para ambas operaciones, esto es, se escribe
(xy)φ = (xφ)(yφ).
Teniendo en cuenta que la operación de la izquierda es la de G, mientras que
la de la derecha es la de G′.
La noción de homomorfismo está fuertemente ligada con la de grupo
cociente y por ende con los subgrupos normales. Esta relación hace posible
identificar cada elemento con la clase que lo contiene, reforzando la idea que
nos permitió considerar cada clase como un elemento de un nuevo grupo
denominado grupo cociente.
Ejemplo 3.6.1. En los grupos aditivos Z y Zn definamos φ mediante la
fórmula xφ = r, donde r es el residuo de dividir x entre n.
Solución. Para verificar que φ es un homomorfismo, tómense x, y en Z tales
que
x = q1 + r1, 0 ≤ r1 ≤ n y = q2 + r2, 0 ≤ r2 ≤ n.
130 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
Por la definición
xφ = r1, yφ = r2.
Luego
xφ+ yφ = r1 + r2 = r3.
Siempre y cuando
r1 + r2 = q3n+ r3, 0 ≤ r3 ≤ n.
Por otra parte
x+ y = (q1 + q2)n+ (r1 + r2) = (q1 + q2 + q3)n + r3.
Con 0 ≤ r3 ≤ n. De manera que
(x+ y)φ = r3.
Comprobándose que φ es un homomorfismo.
Ejemplo 3.6.2. En el grupo aditivo de los enteros definamos la función φ
por la igualdad, xφ = 2x.
Solución.
(x+ y)φ = 2(x+ y) = 2x+ 2y = xφ + yφ
Demostrándose que es un homomorfismo.
Ejemplo 3.6.3. La función, φ: R −→ C∗ definida por xφ = sin x+ i cosx es
un homomorfismo donde R es el grupo aditivo de los reales y C∗ es el grupo
multiplicativo de los complejos diferentes de cero.
El siguiente teorema representa una fuente rica en homomorfismos.
Teorema 3.6.1. Si N es un grupo normal de G, entonces la función canónica
o natural φ : G −→ G/N dada por xφ = xN , para x en G es un homomor-
fismo.
Demostración. Es consecuencia inmediata de la definición de producto de
clases laterales en términos del producto de representantes, es decir
(xy)φ = xyN = (xN)(yN) = (xφ)(yφ).
3.6. HOMOMORFISMOS 131
Definición 3.6.1. Si φ es un homomorfismo de G en G′ el núcleo Kφ se
define por la fórmula
Kφ = { x ∈ G | xφ = e′ }.
Donde e′ es el elemento de identidad de G′.
Definición 3.6.2. Sea φ : X −→ Y . La imagen Aφ de un subconjunto
cualquiera A de X es el conjunto de las imágenes de todos los elementos
de A. La imagen inversa Bφ−1 de un subconjunto cualquiera B de Y es el
conjunto de los elementos de X cuyas imágenes son elementos de B. Esto es
Aφ = { aφ | a ∈ A }, Bφ−1 = { x ∈ X | x ∈ B }.
La primera parte del siguiente teorema demuestra que el núcleo de un ho-
momorfismo nunca es vaćıo, mientras que la segunda describe algunas carac-
teŕısticas que son preservadas por estas aplicaciones.
Teorema 3.6.2. Si φ es un homomorfismo de G en G′, entonces. Si e es el
elemento de identidad de G, eφ es el elemento de identidad de G′ y si a ∈ G,
a−1φ = (aφ)−1. Si H es un subgrupo de G, entonces Hφ es un subgrupo
de G′. Si H es normal entonces Hφ es normal en Gφ. Por otra parte si K ′
es un subgrupo de G′, entonces K ′φ−1 es un subgrupo de G y si K ′ es un
subgrupo normal de Gφ, entonces K ′φ−1 es un subgrupo normal de G. En
otras palabras, bajo los homomorfismos los subgrupos se corresponden lo
mismo que los subgrupos normales.
Demostración. Sea φ es un homomorfismo de G en G′, entonces
aφ = (ae)φ = (aφ)(eφ).
Esto es, eφ es el elemento de identidad de G′. La ecuación,
eφ = (aa−1)φ = (aφ)(a−1φ)
muestra que a−1φ = (aφ)−1.
Por otra parte, seanH un subgrupo de G, aφ, bφ dos elementos arbitrarios
de Hφ. Como (ab)φ = (aφ)(bφ), se concluye que (aφ)(bφ) ∈ Hφ. Dado que
a−1 pertenece aH , entonces a−1φ pertenece aHφ, por tanto (aφ)−1 pertenece
a Hφ, por ser iguales, lo que indica que Hφ es un subgrupo de G′.
132 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
La demostración anterior permite concluir que Gφ en particular es un
subgrupo de G′ y por tanto es un grupo. Además H ⊆ G, luego Hφ ⊆ Gφ y
como ambos conjuntos son grupos con respecto a la operación de G′ se puede
deducir que Hφ es un subgrupo de Gφ.
Supongamos que H es un subgrupo normal de G. Y sea gφ un elemento
de Gφ. Por la propiedad del inverso y la definición de φ
gφhφ(gφ)−1 = (ghg−1)φ.
Como, (ghg−1) ∈ H , (ghg−1)φ ∈ Hφ esto es, Hφ es un subgrupo normal de
Gφ.
Sea K ′ un subgrupo de G′. Suponga que a, b pertenecen a K ′φ−1 entonces
(ab)φ = aφbφ ∈ K ′ luego ab ∈ K ′φ−1.
Si a ∈ K ′φ−1 es obvio que aφ ∈ K ′, de modo que (aφ)−1 = a−1φ ∈ K ′ y
en consecuencia a−1 ∈ K ′φ−1 lo cual permite decir que K ′φ−1 es un subgrupo
de G.
Si K ′ es un subgrupo normal de Gφ, entonces, si b pertenece a K ′ y g
pertenece G, se deduce que
(gbg−1)φ = gφbφ(gφ)−1 ∈ K ′.
Es decir, gbg−1 ∈ K ′φ−1. Por consiguiente, K ′φ−1 es un subgrupo normal de
G.
Por serfácil la demostración del siguiente teorema la encomendamos a
los interesados.
Teorema 3.6.3. Un homomorfismo φ de un grupo G en un grupo G′ es una
función uno a uno si y solo si, Kφ = { e }.
EJERCICIOS
1. Dados G = {1,−1} el grupo definido por la tabla
∗ 1 −1
1 1 −1
−1 −1 1
R∗ el grupo multiplicativo de los reales diferentes de cero,
3.7. ISOMORFISMOS 133
φ : R∗ −→ G dado por xφ = 1 si x > 0, xφ = −1 si x < 0.
Demostrar que φ es un homomorfismo y hallar el núcleo.
2. Sean R el grupo aditivo de los reales, R∗ el grupo multiplicativo de los
reales diferentes de cero, φ : R −→ R∗ dada por xφ = 3x para todo
real x. Demostrar que φ es un homomorfismo
3. Demostrar que un homomorfismo φ de un grupo G en un grupo G′ es
una función uno a uno si y solo si el núcleo de φ es { e }.
4. Determı́nese en cada caso si las aplicaciones siguientes son o no homo-
morfismos. En caso afirmativo hallar el núcleo.
a) R∗ es el grupo de los reales diferentes de cero para el producto,
φ : R −→ R∗ definida por xφ = x2.
b) R es el grupo aditivo de los reales, φ : R−→ R, dado por xφ = x+ 1.
c) R es el grupo aditivo de los reales, φ : R −→ R, dado por xφ = 7x.
d) Sea G un grupo abeliano, φ : G −→ G, dado por xφ = x5.
e) R es el grupo aditivo de los reales, C∗ el grupo de los comple-
jos diferentes de cero para el producto, φ : R −→ C∗ dada por,
xφ = cosx+ i sen x.
f ) Sean G, G′ dos grupos, φ : G×G′ −→ G dado por (x, y)φ = x.
g) Sean Z, R los grupos aditivos de los enteros y los reales respecti-
vamente, φ: R −→ Z definido por xφ = el mayor entero menor o
igual a x.
5. Demostrar que si φ es un homomorfismo de G en G′ de núcleo Kφ
entonces Kφ es un subgrupo normal de G.
3.7. Isomorfismos
Es la hora de precisar una idea mencionada con anterioridad, esto es,
cuando dos grupos son estructuralmente idénticos. Desde un punto de vista
netamente matemático carece de importancia la naturaleza de los elementos
que constituyen un grupo, lo realmente interesante son las propiedades que
presentan dichos objetos a través de la operación respectiva. Son en verdad
134 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
estas propiedades los ingredientes caracteŕısticos de cada grupo. Se dice que
dos grupos son isomorfos si son idénticos, salvo el nombre de los elementos y
operaciones. Sean G, G′ dos grupos isomorfos, se trata de encontrar la forma
de obtener a G′ a través de G. En realidad lo que se debe hacer es definir
un homomorfismo biyectivo entre los dos grupos. La biyección φ es la que
permite rebautizar los elementos de G.
Concretamos la idea con la definición que sigue, caso particular de la ya
establecida.
Definición 3.7.1. Un homomorfismo φ entre los grupos G, G’se dice un
isomorfismo si es uno a uno y sobre.
Definición 3.7.2. Dos grupos G, G′ se dice que son isomorfos si existe un
isomorfismo de G sobre G′. En este caso se escribe G ≈ G′.
Por ser la demostración del siguiente teorema similar a la del teorema 3.6.2,
se deja al cuidado de los estudiantes.
Teorema 3.7.1. Si φ es un isomorfismo de G sobre G′, y si e es el elemento
de identidad de G, entonces eφ es el elemento de identidad para G′. Además,
para todo a ∈G, a−1φ = (aφ)−1. O sea, que un isomorfismo hace corresponder
los elementos de identidad y los inversos.
Es importante poseer algunas técnicas que permitan demostrar cuando
dos grupos son isomorfos. Tales técnicas se reducen a los siguientes pasos:
Primero definir la función la cual nos proporciona el homomorfismo entre
los grupos, segundo demostrar que es una biyección y tercero que verifica la
igualdad (xy)φ = (xφ)(yφ).
Ejemplo 3.7.1. Demostrar que el grupo aditivo de los reales es isomorfo al
grupo multiplicativo de los reales positivos.
Solución. Defina φ : R −→ R+ mediante la fórmula xφ = ex, donde e es la
base de los ritmos naturales. Del curso de cálculo podemos afirmar que φ
es una función uno a uno y sobre, pero si es el caso hay que demostrarlo.
Finalmente, para todo x, y de R,
(x+ y)φ = ex+y = exey = (xφ)(yφ).
Queda como ejercicio demostrar que la relación ser isomorfo es de equiva-
lencia.
3.7. ISOMORFISMOS 135
Ejemplo 3.7.2. Existe solo un grupo de orden uno, uno de orden dos, uno
de orden tres, dos de orden cuatro, el grupo cuaternario de Klein y el grupo
aditivo Z4, salvo isomorfismos.
Teorema 3.7.2. Si un elemento a genera el grupo ćıclico G, este queda
determinado por el orden de a, salvo isomorfismos. Si el orden de a es infinito
G es isomorfo al grupo aditivo de los entero, si el orden de a es el entero n,
G es isomorfo al grupo aditivo Zn. Dos grupos ćıclicos del mismo orden son
isomorfos.
Demostración. Sean G un grupo ćıclico infinito generado por a, φ : Z −→ G
dado por iφ = ai, para todo i en Z. Si i, j son elementos de Z
(i+ j)φ = ai+j = aiaj = (iφ)(jφ).
Es decir, φ es un homomorfismo.
Supongamos a continuación que i = j, entonces ai = aj .
Si i > j, ai−j = e esto es, el orden de a es finito contradiciendo la hipótesis.
Igual sucede si i < j, por consiguiente, i = j. Indicando que φ es uno a uno.
Finalmente, cada elemento de G es de la forma ak, para algún entero k y
por lo tanto φ es sobre. Completándose la primera parte de la demostración.
Supongamos que el orden de a es n. Sea φ : G −→ Zn definido por aiφ = i.
Si el orden de a es n, at = e, si y solo si, t es cero o un múltiplo de n.
De manera que ai = aj equivale a decir que ai−j = e, o en otras palabras
n | (i− j), o sea, i ≡ j mod n. Además para todo r de Zn existe ar en G tal
que arφ = r. Finalmente, (aiaj)φ = i+ j = aiφ + ajφ, por lo tanto es sobre
y G ≈ Zn.
Como la relación ser isomorfo es de equivalencia es posible afirmar que
todos los grupos ćıclicos de orden n son isomorfos puesto que lo son con Zn.
De acuerdo con el corolario del teorema de Lagrange todo grupo de orden
primo es ćıclico y por el teorema 3.7.2 es isomorfo con Zp, obteniéndose como
conclusión que existe un único grupo, salvo isomorfismos, de un determinado
orden primo p.
Ejemplo 3.7.3. Demostrar que si G es un grupo con al menos dos elementos
que no posee subgrupos propios, entonces es finito y de orden primo.
Solución. Sea, a un elemento de G, como G no tiene subgrupos propios, el
subgrupo ćıclico generado por a, esto es, (a) debe ser igual a G, de donde
se infiere que G debe ser ćıclico, además no puede ser infinito puesto que
136 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
seŕıa isomorfo al grupo aditivo de los enteros, pero esto no es posible porque
los enteros poseen subgrupos propios, eso quiere decir que G es de orden
finito. Como es ćıclico debe ser abeliano. Por otra parte sea p el orden de
G, si existiera m un divisor de p, el rećıproco del teorema de Lagrange para
grupos abelianos garantiza la existencia de un subgrupo de orden m, lo cual
es falso por hipótesis, de donde se sigue que p no tiene divisores diferentes
de si mismo y la unidad, entonces necesariamente p debe ser primo.
A continuación se ilustran ciertas formas de comprobar cuando dos gru-
pos no son isomorfos. Lo primero que se le ocurre al lector desprevenido en
este caso es demostrar que no existe homomorfismo alguno entre los grupos
dados, procedimiento que desgraciadamente falla en algunos ocasiones. Si los
grupos son finitos pero con diferente orden, inmediatamente observamos la
imposibilidad de establecer una biyección. Pero puede darse el caso de la
existencia de una biyección y sin embargo los grupos pueden no ser isomor-
fos, en cuyo caso se debe demostrar que uno de ellos posee una propiedad
que el otro no posee. Esta propiedad debe depender de la operación y no de
los elementos en particular. Por ejemplo, el grupo aditivo de los enteros no
es isomorfo al grupo aditivo de los reales porque no existe biyección entre
ellos. Por otra parte no se puede decir que el grupo aditivo de los enteros no
es isomorfo al grupo aditivo de los racionales porque 1
2
pertenece al segundo
pero no al primero, la verdadera razón es Z ćıclico pero Q no lo es.
El teorema de Cayley
Una considerableparte de los grupos fue concebido previamente como
grupos de permutaciones, adquiriendo posteriormente otras connotaciones
en la medida en que el desarrollo de la teoŕıa les dio vida propia y fue Cayley
el primero en notar que todo grupo pod́ıa presentarse como un grupo de
permutaciones. La importancia del teorema de Cayley radica básicamente en
el hecho de reducir todo grupo a un grupo de permutaciones, pero algunos
algebristas no le conceden otra. Sin embargo es un teorema clásico de la
teoŕıa de grupos y no se puede pasar por alto porque encadena algunas ideas
que se veńıan estudiando con anterioridad. El teorema establece que:
Teorema 3.7.3. Todo grupo es isomorfo a un grupo de permutaciones.
Demostración. La tarea inicial es encontrar un grupo de permutaciones que
sea isomorfo con el grupo G. Piense en el grupo SG, el grupo de las transfor-
3.7. ISOMORFISMOS 137
maciones enG. En el caso de un grupo finito, SG tiene n! elementos resultando
ser demasiado grande para ser isomorfo con G, por lo tanto hay necesidad
de buscar un subconjunto con un menor número de elementos.
Para todo a de G, sea ρa : G −→ G, tal que para todo x de G xρa = xa.
Si xρa = yρa, entonces xa = ya, por ende, x = y. Indicando que ρa es
uno a uno.
Además para todo y ∈ G,
(ya−1)ρa = (ya−1)a = y.
Por consiguiente ρa es sobre, y en consecuencia ρa ∈ SG.
Sea G′ = { ρa | a ∈ G}. Se debe comprobar que G′ es un subgrupo de
SG, tarea que dejamos al lector.
Toca demostrar queG ≈ G′. Para el efecto tomemos la función φ : G −→ G′
dada por aφ = ρa, para todo a de G. Si aφ = bφ, ρa = ρb y en particular
eρa = eρb, luego ea = eb o sea, a = b es decir, φ es uno a uno.
Por la definición de G′ resulta fácil demostrar que φ es sobre.
Finalmente, (aφ)(bφ) = ρaρb y (ab)φ = ρab. Se dejó al cuidado del estu-
diante demostrar que ρaρb = ρab, lo que lleva a concluir que (aφ)(bφ) = (ab)φ,
concluyéndose que G es isomorfo a G′.
Para la demostración se pudo haber usado la transformación μa = ax,
para todo x de G.
Definición 3.7.3. El grupo G′ = { ρa | a ∈ G}, descrito en la demostración
del teorema de Cayley, se llama la representación regular a derecha de G.
G′′ = { μa | a ∈ G } es la representación regular a izquierda de G, donde μa
se definió en la nota anterior.
Ejemplo 3.7.4. Computar la representación regular a derecha del grupo da-
do por la tabla
∗ e a b
e e a b
a a b e
b b e a
Solución . Los elementos de esta representación son
138 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
ρe =
(
e a b
e a b
)
ρa =
(
e a b
a b e
)
ρb =
(
e a b
b e a
)
Si hallamos todos los productos posibles podremos calcular la tabla del grupo
G′ = { ρe, ρa, ρb }. Suponiendo que tales productos se han calculado la tabla
es la siguiente
∗ ρe ρa ρb
ρe ρe ρa ρb
ρa ρa ρb ρe
ρb ρb ρe ρa
Figura 3.6
La estructura del grupo es idéntica salvo el renombramiento de los elementos
de la tabla inferior, donde x se denomina ahora ρx.
Para un grupo finito representado mediante una tabla, ρx es la permu-
tación calculada tomando los elementos en el orden en que aparecen en la
columna encabezada por x, para todo x de G. Como en la columna encabe-
zada por b, los elementos aparecen en el orden (b, e, a) es claro que
ρb =
(
e a b
b e a
)
.
EJERCICIOS
1. Sean G un grupo ćıclico generado por a y G′ un grupo isomorfo con G.
Demostrar que para todo x de G, xφ está completamente determinado
por el valor de aφ, donde φ es el isomorfismo respectivo.
2. Demostrar que la relación ser isomorfo es una relación de equivalencia.
3. Sean 〈G, ·〉 un grupo y ∗ una operación definida en G, mediante la
fórmula x ∗ y = yx, para x, y elementos de G. Demostrar que 〈G, ∗〉 es
un grupo y además es isomorfo a 〈G, ·〉. Sugerencia, tome φ dado por
xφ = x−1.
3.7. ISOMORFISMOS 139
4. Sea φ : G −→ G′ un isomorfismo. Demuestre que para todo entero n,
xnφ = (xφ)n.
5. Demostrar que si φ : G −→ G′ es un homomorfismo de núcleo Kφ
entonces Gφ es un grupo y existe un isomorfismo canónico de G sobre
G/Kφ.
6. Demostrar que si φ : G −→ G′ es un isomorfismo y si H es un subgrupo
de G, entonces Hφ = { hφ | h ∈ H} es un subgrupo de G′.
7. Sea 〈R−1, ∗〉 un grupo, donde R−1 es el conjunto de los reales diferentes
de −1 y ∗ es la operación definida por la igualdad, x ∗ y = x+ y + xy.
Demostrar que 〈R−1, ∗〉 es isomorfo al grupo multiplicativo de los reales
diferentes de cero.
Sugerencia: Considere φ : R∗ −→ R−1 donde xφ = x− 1.
8. Demostrar que la aplicación φr : G −→ G dada por la igualdad
xφr = x
r es un automorfismo, donde G es un grupo abeliano finito
de orden n y r es un entero positivo primo relativo con n.
9. Deduzca que la ecuación xr = a siempre tiene solución en un grupo
abeliano finito G si r es primo relativo con el orden de G. ¿ Qué sucede
si r no es primo relativo con el orden de G?
10. Sea Int(G) el conjunto de los automorfismos internos del grupo G.
Demostrar que la aplicación φ : G −→ Int(G) dada por la igualdad
gφ = ig−1 es un homomorfismo de G sobre Int(G). Demostrar que el
núcleo (centro de G) es { a ∈ G | ax = xa, ∀x ∈ G }. Describa cuando
φ es un isomorfismo.
11. Sean G1, G2 grupos, φ1 : G1 −→ G2 , φ2 : G2 −→ G1 homorfismos tales
que las respectivas compuestas verifican la igualdad: φ1φ2 = φ2φ1 = i,
(la función idéntica). Demostrar que φ1, φ2 son isomorfismos y que
φ1 = (φ2)
−1.
12. Considere el grupo cuaternario de Klein. Hallar la representación regu-
lar a izquierda de dicho grupo y construir la tabla correspondiente.
13. Sean G1, G2 grupos notados multiplicativamente. En el producto car-
tesiano G1 ×G2 defina una operación mediante la igualdad,
(a1, a2)(b1, b2) = (a1a2, b1b2)
140 CAPÍTULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS
La operación de la primera componente es la de G1 y la de la segunda
es la de G2
a) Demostrar que esta ley de composición convierte a G1 × G2 en
un grupo denominado el producto directo de G1 por G2, notado∏2
i=1Gi.
b) Dar una generalización del producto directo de una familia finita
de grupos Gi, 1 ≤ i ≤ n, y demostrar que el producto directo
forma un grupo con la operación dada.
14. Sean G1 = { e1, a1 }, G2 = { e2, a2 }. Escribir la tabla de
∏2
i=1Gi.
15. Considere el grupo S4 de las permutaciones del conjunto { e, a, b, c }.
Sea SK el conjunto formado por
(
e a b c
e a b c
) (
e a b c
a e c b
) (
e a b c
b c e a
) (
e a b c
c b a e
)
Las permutaciones involutivas, esto es, cuyo cuadrado es la idéntica.
a) Demostrar que SK es un grupo y escriba la tabla.
b) Demostrar que SK es isomorfo al producto directo del ejercicio 14.
c) Demostrar que SK es un subgrupo normal de S4.
d) Demostrar que el grupo cociente S4/SK es isomorfo con S3.
e) Demostrar que SK es isomorfo con el grupo cuaternario de Klein.
Use el ejercicio 12.
f ) Compare los literales (b) y (e) y obtenga una conclusión.
16. Demostrar que Z4×Z6/H es isomorfo con Z4, donde H es el subgrupo
ćıclico generado por (0, 1).
Caṕıtulo 4
ANILLOS
4.1. Definición y Ejemplos
Los anillos son estructuras con dos operaciones. Desde este punto de vista
se pueden considerar como sistemas más complejos, pero a pesar de esta
diferencia con los grupos, en su estudio se seguirá en lo posible el mismo
esquema desarrollado con estos últimos. Hay una clase especial de subanillos,
los ideales, que permiten partir los anillos en clases para construir, como en
el caso de los grupos, nuevas estructuras relacionadas con sus generadoras
a través de los homomorfismos. Los ideales servirán para estudiar con un
ángulo más amplio la teoŕıa de la divisibilidad aplicada hasta el momento
solo al anillo de los números enteros.
Definición 4.1.1. Un anillo 〈A,+, ·〉 es un conjunto A dotado de dos ope-
raciones, suma y producto que satisfacen las siguientes propiedades.
1. 〈 A, + 〉 es un grupo abeliano.
2. El producto es asociativo.
3. Las propiedades distributivas a izquierda y derecha se verifican, esto es,
para cualesquiera a, b, c de A.
a(b+ c) = ab+ ac y (b+ c)a = ba+ ca.
Por abuso del lenguaje, al igual que con los grupos,los anillos y demás
estructuras se notarán usando solo la letra respectiva siempre que no haya
lugar a confusión. Con Z, Q, R, C se nombrarán en ese orden los anillos
141
142 CAPÍTULO 4. ANILLOS
enteros, racionales, reales y complejos con la suma y producto usuales. El
punto del producto se usará en los casos estrictamente necesarios.
Ejemplo 4.1.1. Sea A el conjunto { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } con las operaciones
suma y producto módulo seis, esto es, donde “a + b” y “ab” son el residuo
obtenido cuando la suma y el producto usuales se dividen por seis. La es-
tructura aśı definida se denomina el anillo Z6 y se acostumbra representarlo
mediante un par de tablas,
Tabla de sumar Tabla de multiplicar
+ 0 1 2 3 4 5 · 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0
1 1 2 3 4 5 0 1 0 1 2 3 4 5
2 2 3 4 5 0 1 2 0 2 4 0 2 4
3 3 4 5 0 1 2 3 0 3 0 3 0 3
4 4 5 0 1 2 3 4 0 4 2 0 4 2
5 5 0 1 2 3 4 5 0 5 4 3 2 1
Figura 4.1
4.2. El Anillo Zn
En general, para n ≥ 2 se puede describir a Zn como el anillo de los
enteros módulo n. Veamos cómo es esto posible.
Definición 4.2.1. Un conjunto de n enteros: a1, a2, a3, . . . , an se denomina
un sistema residual completo módulo n si cada entero es congruente módulo
n con exactamente uno de los ai, 1 ≤ i ≤ n.
El siguiente teorema garantiza que cualquier entero es congruente módulo
n exactamente con uno de los naturales 0, 1, 2, 3, · · · , n− 1.
Teorema 4.2.1. El conjunto 0, 1, 2, 3, . . . , n − 1 es un sistema residual
completo módulo n.
Demostración. Sea a un entero, el algoritmo de la división establece que
existen enteros q, r, con 0 ≤ r ≤ (n− 1), tales que a = nq + r, entonces
a ≡ nq + r ≡ 0q + r ≡ r mod n.
4.2. EL ANILLO ZN 143
Se ha demostrado que a es congruente con al menos uno de los números de
la colección 0, 1, 2, 3, . . . , n− 1.
Supongamos que existen enteros 0 ≤ r1 ≤ (n− 1), 0 ≤ r2 ≤ (n− 1) tales
que
a ≡ r1 mod n, a ≡ r2 mod n y r1 > r2.
Por la propiedad transitiva, r1 ≡ r2 mod n y por definición n|(r1 − r2). Pero
r1− r2 es un entero positivo menor que n, por lo tanto no puede ser divisible
por n, concluyéndose que a no puede ser congruente con dos elementos del
conjunto 0, 1, 2, 3, . . . , n− 1.
Si agrupamos todos los enteros congruentes con j, 0 ≤ j ≤ (n − 1) en
un mismo conjunto y esto lo hacemos con cada uno de los j, obtenemos n
colecciones o clases en la siguiente forma,
[ 0 ] = {. . . ,−2n,−n, 0, n, 2n, 3n, . . . }
[ 1 ] = {. . . ,−(2n− 1),−(n− 1), 1, (n+ 1), (2n+ 1), . . .}
[ 2 ] = {. . . , (2n− 2),−(n− 2), 2, (n+ 2), (2n+ 2), . . . }
...
[n− 1 ] = {. . . ,−(2n + 1),−(n+ 1), (n− 1), (2n− 1), . . . }.
Colecciones que inducen una partición de los enteros en clases residuales a
través de la congruencia módulo n.
Consideremos el dominio de operadores Δ = N, y la ley de composición
externa
N× Z→ Z
(n, z)→ nz = z + z · · ·+ z︸ ︷︷ ︸
n veces
(0, z)→ 0z = 0.
Sean x, y enteros, n un natural, entonces
n(x+ y) = (x+ y) + (x+ y) + · · ·+ (x+ y)︸ ︷︷ ︸
n veces
= (x+ x+ · · ·+ x)︸ ︷︷ ︸
n veces
+ (y + y + · · ·+ y)︸ ︷︷ ︸
n veces
= nx+ ny.
144 CAPÍTULO 4. ANILLOS
Además,
0(x+ y) = 0 = 0 + 0 = 0x+ 0y,
identidades que nos conducen a afirmar que N es un dominio de operadores
distributivo y de aqúı a considerar al grupo Z como un grupo con operadores,
o un Δ–grupo. La construcción anterior debe dejar establecido que en general
na no es el producto de elementos del anillo Z, porque el natural n siempre
va a ser tomado del dominio de operadores Δ = N que opera a la derecha.
Si a ≡ b mod n, para todo entero x,
x+ a ≡ x+ b mod n y a+ x ≡ b+ x mod n
indicando que la congruencia módulo n es regular puesto que lo es a izquierda
y a derecha.
De idéntica manera se ve que para todo natural m,
ma ≡ mb mod n,
es decir, la congruencia es ĺıcita para la ley de composición externa N×Z→ Z.
En śıntesis, la congruencia módulo n es una congruencia y consecuente-
mente la clase [ 0 ] = [ n ] es un subgrupo de Z, donde las clases de equivalencia
vienen dadas por la igualdad,
[ a ] = [ a+ 0 ], 1 ≤ a ≤ (n− 1).
Como Z es abeliano, [ 0 ] es un subgrupo normal. El grupo factor de Z módulo
n, esto es, Z/n es de orden n.
La suma de clases definida por la igualdad
(a+ [ 0 ]) + (b+ [ 0 ]) = (a+ b) + [ 0 ],
o equivalentemente,
[ a ] + [ b ] = [ a+ b ]
es conmutativa, en efecto,
[ a ] + [ b ] = [ a+ b ]
= [ b+ a ]
= [ b ] + [ a ],
indicando que Z/n es abeliano.
4.2. EL ANILLO ZN 145
Antes de proseguir es indispensable definir en Z una ley de composición
interna Z× Z → Z llamada producto aśı,
(n, z)→ nz = z + z + z + · · ·+ z︸ ︷︷ ︸
n veces
(0, z)→ 0z = 0
(n, z)→ nz = (−z) + (−z) + · · ·+ (−z)︸ ︷︷ ︸
(−n) veces
para n < 0.
Se deja al lector demostrar que esta operación está bien definida, es asocia-
tiva, conmutativa y distributiva lo que no es tarea complicada.
Se define un producto entre clases en la siguiente forma,
(a+ [ 0 ])(b+ [ 0 ]) = ab+ [ 0 ]
o equivalentemente,
[ a ][ b ] = [ ab ].
Este producto está bien definido. Si
a+ [ 0 ] = c + [ 0 ] y b+ [ 0 ] = d+ [ 0 ]
necesariamente
a ≡ c mod n y b ≡ d mod n
entonces
ab ≡ cd mod n
o sea,
ab+ [ 0 ] = cd+ [ 0 ]
o equivalentemente,
[ ab ] = [ cd ].
Para demostrar la asociatividad considérense las clases [ a ], [ b ], [ c ], luego
[ a ]([ b ][ c ]) = [ a ]([ bc ])
= [ a(bc) ]
= [ (ab)c ]
= [ ab ][ c ]
= ([ a ][ b ])[ c ].
146 CAPÍTULO 4. ANILLOS
Es, además, distributiva tanto a derecha como a izquierda, ya que,
([ a ] + [ b ])[ c ] = [ a+ b ][ c ]
= [ ac+ bc ]
= [ ac ] + [ bc ]
= [ a ][ c ] + [ b ][ c ].
Igualmente,
[ c ]([ a ] + [ b ]) = [ c ][ a ] + [ c ][ b ].
Se ha demostrado que Zn es un anillo, donde las operaciones pueden realizarse
tomando elementos arbitrarios de cada una de las clases a operar. Para sumar
o multiplicar clases se eligen representantes x, y pertenecientes a estas y se
busca la clase que contiene la suma o producto de los escogidos.
Tome la suma y el producto [ rj + rs ], [ rj ][ rs ] de las clases determinadas
por los residuos módulo n, rj, rs seleccionando los elementos a en [ rj ], b en
[ rs ]. Como
a ≡ rj mod n y b ≡ rs mod n.
Sumando y multiplicando miembro a miembro,
a+ b ≡ rj + rs mod n y ab ≡ rjrs mod n,
pero rj + rs y rjrs deben estar ubicados en sus respectivas clases por lo que
deben existir residuos rt, ru tales que,
rj + rs ≡ rt mod n y rjrs ≡ ru mod n,
y en consecuencia,
a+ b ≡ rt mod n y ab ≡ ru mod n,
lo que indica que para sumar o multiplicar clases basta con sumar o multipli-
car los correspondientes residuos determinantes de cada clase (representantes
canónicos ). Las operaciones suma y producto módulo n están uńıvocamente
determinadas por la suma y producto de los residuos 0, 1, 2, . . . , n− 1. Cual-
quier entero es “igual” a uno de los restos anteriores. Dos de tales residuos
pueden sumarse o multiplicarse en la forma habitual reduciendo el resultado
a un residuo módulo n que será en definitiva la respuesta buscada. El álgebra
de Zn se obtiene reemplazando la congruencia por la igualdad, ya que al fi-
nal de cuentas ambas son relaciones de equivalencia. Este reemplazo permite
4.3. EL ANILLO DE LOS ENDOMORFISMOS DE A 147
escribir en general, para los elementos del conjunto {0, 1, 2, 3, . . . , n− 1}, las
igualdades
rj + rs = rt y rjrs = ru,
omitiendo las clases a las que pertenecen cada uno de los r.
Más tarde volveremos a tratar el tema para dar algunos toques finales,
entre tanto mencionaremos indistintamente a Zn y Z/[n ] como si se tratara
del mismo anillo. Un ejemplo particular se dio para Z6.
Definición 4.2.2. El elemento 1 del anillo A se llama un elemento unitario
si para todo a de A, a1 = 1a = a. En este caso se dice que A es un anillo
con elemento unitario.
El anillo 2Z de los enteros pares es un anillo sin elemento unitario, en
cambio Z6 tiene a 1 como elemento unitario.
Definición 4.2.3. A se dice un anillo conmutativo si el producto lo es, esto
es, si para todo a, b en A, ab = ba.
4.3. El anillo de los Endomorfismos de A
Sea A un grupo abeliano, End(A) elconjunto de los endomorfismos de
A. Se puede definir una ley de composición interna “+” en End(A) de la
siguiente manera.
Para cada pareja φi, φj de End(A), φi + φj, está descrito para todo a de
A, por la igualdad,
a(φi + φj) = (aφi)(aφj).
Donde la segunda parte de la igualdad representa la operación del grupo A,
que se ha notado multiplicativamente. Como
(ab)(φi + φj) = [(ab)φi][(ab)φj ]
= [(aφi)(bφi)][(aφj)(bφj)]
= [(aφi)(aφj)][(bφi)(bφj)]
= [a(φi + φj][b(φi + φj)],
indicando que φi+φj pertenece a End(A), esto es, la suma de endomorfismos
es un endomorfismo.
148 CAPÍTULO 4. ANILLOS
Sean φi, φj, φk endomorfismos de A,
a[φi + (φj + φk)] = (aφi)[a(φj + φk)]
= (aφi)[(aφj)(aφk)]
= [(aφi)(aφj)](aφk)
= [a(φi + φj)](aφk)
= a[(φi + φj) + φk],
de donde se deduce que la suma es asociativa.
Si e es el elemento de identidad de A, la función 0 definida para todo a
de A por
a0 = e,
es indudablemente el elemento de identidad para la adición de End(A). Efec-
tivamente, para todo φ que pertenece a End(A) es cierto que,
a(0 + φ) = (a0)(aφ)
= e(aφ)
= aφ
= a(φ+ 0)
= (aφ)(a0)
= (aφ)e
= aφ.
Si φ pertenece a End(A), el endomorfismo (−φ) definido por
a(−φ) = (aφ)−1
pertenece a End(A) porque
(ab)(−φ) = [(ab)φ]−1
= [(aφ)(bφ)]−1
= [aφ]−1[bφ]−1
= [a(−φ)][b(−φ)].
Claramente (−φ) + φ = 0 puesto que
a[−(φ) + φ] = [a(−φ)][aφ]
= [aφ]−1[aφ]
= e
= a0.
4.3. EL ANILLO DE LOS ENDOMORFISMOS DE A 149
Similarmente
φ+ (−φ) = 0.
Como A es abeliano se puede establecer sin dificultad la igualdad
a(φi + φj) = a(φj + φi).
Se ha demostrado que End(A) es un grupo abeliano.
Si en el conjunto End(A) se considera la composición de funciones como
la segunda operación, esta es asociativa ya que la composición de funciones
lo es. Además la propiedad distributiva a izquierda se verifica sin restriccio-
nes para funciones en general y la distributiva a derecha es válida para los
endomorfismos, para el efecto tomemos los endomorfismos φi, φj, φk y a en
A.
a[(φi + φj) o φk] = [a(φi + φj)]φk
= [(aφi)(aφj)]φk
= [(aφi)φk][(aφj)φk] (Por ser φk un endomorfismo)
= [a(φi o φk)][a(φj o φk)]
= a(φi o φk) + a(φj o φk).
De manera análoga se demuestra para funciones cualesquiera,
a[φk o (φi + φj)] = [a(φk o φi)] + [a(φk o φj)].
En conclusión, End(A) es un anillo llamado el anillo de los endomorfismos del
grupo A. Como la composición de funciones no es en general conmutativa,
End(A) no es en general un anillo conmutativo. Sin embargo, End(Z) es
conmutativo cuando se considera el grupo de los enteros con la suma habitual.
Si A es un grupo abeliano y consideramos AA el conjunto de todas las
funciones de A en A, y definimos las mismas operaciones anteriores, en AA se
verifican todas las propiedades de los anillos excepto la distributiva a derecha.
El teorema que sigue demuestra algunos hechos de común ocurrencia en
los enteros que se pueden generalizar. Excepto para el caso el anillo A = {0}
donde se han definido las operaciones suma y producto por las igualdades
0 + 0 = 0, y 0.0 = 0, en este caso el elemento cero actúa a la vez como
módulo aditivo y multiplicativo. En los demás siempre se tendrá que dichos
elementos deben ser diferentes.
150 CAPÍTULO 4. ANILLOS
Teorema 4.3.1. Si A es un anillo, entonces para toda pareja a, b de elemen-
tos de A.
1. a0 = 0a = 0.
2. a(−b) = (−a)b = −(ab).
3. (−a)(−b) = ab.
4. Si A tiene elemento unitario 1, entonces 1 es el único elemento de
identidad para el producto.
5. (−1)a = −a.
Demostración. Sea a un elemento de A, entonces,
a0 = a(0 + 0) = a0 + a0.
Por la propiedad cancelativa de la suma
0 = a0.
Similarmente es obvio que 0a = 0.
Para demostrar que a(−b) es el inverso de ab, se debe comprobar que
ab+ a(−b) = 0.
Por la propiedad distributiva y (1) obtenemos el resultado deseado.
ab+ (−ab) = a(b+ (−b)) = a0 = 0.
Análogamente se demuestra que (−a)b = −ab.
El numeral (3) es una consecuencia de (2) y la dejamos al lector. Por
idéntica razón dejamos también la demostración de (5). Para demostrar (4)
proceda como lo hizo con los grupos.
Definición 4.3.1. Sea A un anillo, A′ un subconjunto de A. A′ es un suba-
nillo de A, si A′ con las operaciones de A es a su vez un anillo.
Teorema 4.3.2. Un subconjunto A′ de un anillo A es un subanillo de A si
y solamente si
1. 0 es un elemento de A′.
4.3. EL ANILLO DE LOS ENDOMORFISMOS DE A 151
2. a− b pertenece a A′, siempre que a y b pertenezcan a A′.
3. ab pertenece a A′, siempre que a y b pertenezcan a A′.
Demostración. En el estudio de la teoŕıa de grupos se demostró que A′ es un
subgrupo de A si A′ es cerrado para la diferencia. Esto es, si a− b pertenece
a A′. Como esto es cierto por hipótesis, A′ es un subgrupo. Como A es
abeliano, A′ también lo es. Por la condición (3) el producto es cerrado en
A′. Las propiedades asociativa y distributiva de hecho se verifican en A′,
porque de no ser aśı tampoco se verificaŕıan en A. Lo mismo sucede con las
propiedades restantes, por lo tanto A′ es un subanillo de A.
Si A′ es un subanillo de A, es igualmente un subgrupo, luego 0 pertenece
a A′. Además para todo par a, b de A′, −b pertenece a A′, y por ser la suma
estable en A′, a− b = a+ (−b) pertenece a A′. Igual sucede con el producto
ab.
Ejemplo 4.3.1. Sea a un elemento fijo del anillo A. Demostrar que el con-
junto
Ia = { x ∈ A | ax = 0 }
es un subanillo de A.
Demostración. Como 0 ∈ A y a0 = 0, es obvio que 0 ∈ Ia.
Sean x, y elementos de Ia, entonces
ax = 0, ay = 0
por tanto a(x− y) = 0, lo que indica que (x− y) ∈ Ia.
Similarmente xy ∈ Ia, concluyéndose que Ia es un subanillo de A.
EJERCICIOS
1. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos con las operaciones indicadas for-
man un anillo? Para aquellos que lo son diga cuáles son conmutativos
y cuáles tienen elemento unitario y descŕıbalos. Para los que no lo son
establezca la propiedad que no se cumple.
a) Si A y B son dos anillos, la suma directa de A y B esto es, el
conjunto A + B de todos los pares (a, b) con a en A, b en B con
152 CAPÍTULO 4. ANILLOS
las dos operaciones definidas por
(a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + b1, a2 + b2)
(a1, b1)(a2, b2) = (a1a2, b1b2).
b) La suma directa A1 + A2 + A3 + · · · + An de n anillos. Defina
previamente las operaciones correspondientes. Estas son generali-
zaciones de las dadas en (a).
c) {a+ b√2 | a, b ∈ Z} con la suma y el producto usuales.
d) {a+ b√2 | a, b ∈ Q} con las operaciones usuales.
e) {a√−1 | a ∈ R} con las operaciones entre complejos.
f ) Sea Z[ i ] = {x | x = a + bi a, b son enteros, i = √−1 con las
operaciones entre complejos.
2. Si a, b son elementos de un anillo y m, n son enteros, demuestre que
(na)(mb) = (mn)(ab).
3. Si A es un conjunto que satisface todas las propiedades de los anillos con
elemento unitario, excepto posiblemente la propiedad conmutativa de la
suma, demuestre que dicha propiedad necesariamente debe verificarse
en A.
4. Demostrar que la intersección de subanilllos de un anillo A, es un sub-
anillo de A.
5. Un anillo A es un anillo Booleano si a2 = a, para todo a ∈ A. Demostrar
que todo anillo Booleano es conmutativo.
6. Sea A un conjunto. En las partes de A, P(A) defina una suma y un
producto aśı: A1 + A2 = (A1 ∪ A2)− (A1 ∩A2) y A1 · A2 = (A1 ∩ A2).
Demostrar que P(A) con las operaciones antes definidas en un anillo
Booleano.
7. Sea A un anillo en el que se verifica la igualdad x3 = x, para todo x de
A. Demuestre que A es un anillo conmutativo.
4.4. DIVISORES DE CERO 153
4.4. Divisores de Cero
En el álgebra de los números reales es un lugar común decir que si el
producto de dos factores es cero, al menos uno de ellos debe ser cero, hecho
usado especialmente en la solución de ecuaciones por el método de factori-
zación. Esta propiedad que quisiéramos se verificara en todos los anillos no
es cierta en general, por ejemplo en Z6 el producto 4× 3 = 0, siendo ambos
factores diferentes de cero.
Definición 4.4.1. Sean a �= 0, b �= 0 dos elementos de un anillo A tales que
ab = 0. a y b se denominan divisores de cero, a es un divisor a izquierda,mientras que b lo es a derecha.
Si el anillo es conmutativo no se establece distinción entre divisores a derecha
o a izquierda. En Z6 los divisores de cero son 2, 3, 4. Note que estos números
no son primos relativos con 6. Esta situación se generaliza con el siguiente
teorema.
Teorema 4.4.1. En el anillo Zn los divisores de cero son aquellos números
que no son primos relativos con n.
Demostración. Sea m �= 0 un elemento de Zn tal que (m,n) = g �= 1,
entonces m = gr, n = gs, 1 ≤ r ≤ n− 1, 1 ≤ s ≤ n− 1.
ms = m
n
g
= n
m
g
= nr = 0
por ser nr un múltiplo de n. Entonces ms = 0, indicando que m es un divisor
de cero.
Por otra parte, supongamos que existen enteros m, s en Zn, tales que
ms = 0 con (m,n) = 1. Si ms = 0, ms es un múltiplo de n, esto es, ms = nt,
para 1 ≤ t ≤ n − 1 de donde se deduce que n divide a ms, pero m y n son
primos relativos entonces la única posibilidad es que n divida a s, y dado que
s es menor que n, s = 0.
El teorema 4.4.1 se usa para demostrar que para todo primo p, Zp no
tiene divisores de cero. En efecto, para todo m en Zp (m, p) = 1. Si existe
s en Zp tal que ms = 0, por el teorema mencionado necesariamente s = 0
indicando que s no es un divisor de cero.
Observando la tabla de multiplicar de Z6 se nota que 3× 4 = 3× 2 y sin
embargo, no se puede asegurar usando la propiedad cancelativa que 4 = 2.
Esta propiedad se verifica en un anillo siempre y cuando no existan divisores
de cero y viceversa. La demostración se propone como ejercicio.
154 CAPÍTULO 4. ANILLOS
4.5. Dominios de Enteros–Campos
En un anillo A sin divisores de cero, si a �= 0, la ecuación ax = b tiene
cuando más una solución, dado el cumplimiento de la propiedad cancelativa.
Si 1 es el módulo para el producto, la solución viene dada por x = a−1b,
mientras que ba−1 es la solución de la ecuación xa = b. En algunos conjuntos
como los racionales, los reales y otros, el producto es conmutativo y posee
elemento unitario 1, pero en otros estas condiciones no se verifican, por ejem-
plo las matrices n×n (n ≥ 2) con componentes enteras no son conmutativas
para el producto. Por otra parte, el conjunto A∗ de los elementos diferentes
de cero en un anillo A con elemento unitario, si el producto está bien defi-
nido en A∗ y está asegurada la existencia de los inversos multiplicativos, A∗
conforma un grupo para dicho producto.
Definición 4.5.1. Un dominio de enteros es un anillo conmutativo con ele-
mento unitario que no tiene divisores de cero.
Los enteros y Zp, para p un primo son dominios de enteros, mientras que Zn
no lo es cuando n es compuesto.
Sea Z[ i ] = {x | x = a+bi, a, b son enteros, i = √−1 } con las operaciones
entre complejos. Se asignó como ejercicio demostrar que Z[ i ] es un anillo
conmutativo con elemento unitario.
Para demostrar que es un dominio basta comprobar que no tiene divi-
sores de cero. Para el efecto tómense los elementos x, y con sus respectivos
conjugados x, y. Supongamos que xy = 0, entonces por las propiedades del
producto de complejos se obtienen las igualdades:
(xx)(yy) = (xy)(xy) = 0.
De estas deducimos que
(xx) = 0 o (yy) = 0
y de las últimas se concluye que x = 0 o y = 0.
Z[ i ] es conocido como el dominio de los enteros gaussianos.
Definición 4.5.2. Sea A un anillo con elemento unitario. Un elemento u de
A (u �= 0) se denomina una unidad si el inverso multiplicativo de u también
pertenece a A.
4.5. DOMINIOS–SEMICAMPOS–CAMPOS 155
En el anillo de los enteros las únicas unidades son 1 y −1 mientras que en
los racionales todo elemento diferente de cero es una unidad.
Definición 4.5.3. Sea A un anillo con elemento unitario. Si cada elemento
de A diferente de cero es una unidad, entonces A se llama un anillo con
división o un semicampo
Los racionales forman un semicampo, pero los enteros no.
Si A es un semicampo los elementos de A diferentes de cero son todos uni-
dades, esto significa que el inverso multiplicativo de todo elemento diferente
de cero también es un elemento de A. En adelante el inverso multiplicativo
de a se notará a−1.
En un semicampo el producto es asociatvo, existe un único elemento
unitario y cada a �= 0 es una unidad. Esto es, para todo a �= 0, a1 = 1a = a,
existe a−1 en A tal que aa−1 = a−1a = 1. Condiciones que garantizan que
en un semicampo los elementos diferentes de cero forman un grupo bajo el
producto.
Ahora estamos en condición de dar la definición de la estructura conocida
con el nombre de campo o cuerpo.
Definición 4.5.4. Un campo es un anillo conmutativo con división.
Los racionales y los reales son dos conocidos campos, mientras que los enteros
no lo son. Por ejemplo, 3 es una unidad para los racionales y los reales y no
lo es para los enteros.
Dados dos elementos a, b ( b �= 0 ) de un campo, el producto ab−1 también
le pertenece y al ser esta última operación conmutativa, ab−1 = b−1a. Como
no hay lugar a confusión se conviene en establecer la igualdad
ab−1 =
a
b
y será llamado el cociente entre a y b. Las reglas conocidas de la suma y
producto de racionales son casos particulares de unas más generales de estas
mismas operaciones entre cocientes de un campo cualquiera. Estas pueden
demostrarse a partir de la suma y el producto del campo en consideración.
Si hacemos referencia a un campo F , y se consideran los elementos a, b, c, d
en F , donde b �= 0, d �= 0, se puede decir,
1.
a
b
=
c
d
si y solo si ad = bc.
156 CAPÍTULO 4. ANILLOS
2.
a
b
+
c
d
=
ad+ bc
bd
y
a
b
− c
d
=
ad− bc
bd
.
3.
a
b
c
d
=
ac
bd
.
4.
a
b
+
−a
b
= 0.
5. Si
a
b
�= 0 entonces a
b
b
a
= 1.
4.5.1. Subdominios–Subcampos
Aśı como se definieron para los grupos y los anillos las nociones de sub-
grupo y subanillo, se pueden definir para los dominios y los campos las corres-
pondientes subestructuras
Definición 4.5.5. Un subconjunto de un dominio (campo) se denomina un
subdominio (subcampo) si tal conjunto con las mismas operaciones es a su
vez un dominio (campo).
Las propiedades que se verifican en un dominio (campo) también se verifi-
can en cualquier subconjunto siempre y cuando sea posible realizarlas. La
demostración del siguiente teorema se deja al cuidado del lector.
Teorema 4.5.1. Sea F un campo. Un subconjunto S de F se dice un sub-
campo si y solo si,
1. 0 pertenece a S.
2. 1 pertenece a S, 1 es el elemento unitario de F.
3. S es cerrado para la suma y el producto.
4. Para todo a de S, −a también pertenece a S.
5. Para todo a �= 0 en S, a−1 pertenece a S.
Para los subdominios basta con suprimir el numeral (5).
El siguiente teorema permitirá dar una infinidad de ejemplos de campos.
Teorema 4.5.2. Todo dominio de enteros finito es un campo.
4.5. DOMINIOS–SEMICAMPOS–CAMPOS 157
Demostración. Sea A = {0, 1, a2, a3, . . . , an} un dominio de enteros finito.
Para demostrar que A es un campo basta comprobar que todo elemento de
A diferente de cero tiene su inverso multiplicativo en A. Como 1 es su propio
inverso, sea aj �= 0 un elemento de A para 2 ≤ j ≤ n. La sucesión,
0, aj, aja2, aja3, . . . , ajan
es una colección de elementos de A. Supongamos que ajai = ajak. Como A
no tiene divisores de cero se puede aplicar la propiedad cancelativa y obtener
ai = ak, pero esto es imposible si i �= k.
Si existiera as en A tal que ajas = 0, as fuera un divisor de cero, por
consiguiente, para todo s entre 2 y n, ajas �= 0.
Los anteriores argumentos inducen a concluir que el conjunto
{0, aj, aja2, . . . , ajan} = A.
Por tanto debe existir r, tal que 2 ≤ r ≤ n, se tiene ajar = 1, lo que significa
que ar es el inverso de aj. Como aj es un elemento cualquiera se deduce
que todos los elementos diferentes de cero tienen su inverso o sea, A es un
campo.
Si p es un primo se demostró que Zp es un dominio de enteros finito y
por lo tanto es un campo.
Ejemplo 4.5.1. Demostrar que 1 y (p−1) son los únicos elementos del campo
Zp que son sus propios inversos multiplicativos y que (p− 1)! ≡ −1 mod p.
Solución. Sea a un elemento de Zp diferente de cero, 1 ≤ a ≤ p − 1, luego
0 ≤ a −1 ≤ p − 2. Si 0 ≤ a− 1 ≤ p− 2, el residuo de dividir (a − 1) por p
nunca es cero. Este residuo es cero solo en el caso de ser a − 1 = 0, es decir
a = 1. Por otra parte, 2 ≤ a+ 1 ≤ p, indica que el residuo de dividir (a+ 1)
por p es cero solo cuando a+ 1 = p es decir, a = p− 1.
El anterior razonamiento indica que la ecuación, a2 − 1 = 0 o su equi-
valente (a − 1)(a + 1) = 0 tiene por únicas soluciones a = 1, a = p − 1.
Soluciones que permiten concluir que 1 y (p− 1) son los únicos elementos de
Zp tales que, 12 = 1 y (p− 1)2 = 1, es decir son sus propios inversos.
Para la otra parte del ejercicio, si p = 2 o p = 3, entonces, 1 ≡ −1 mod 2
y 2 ≡ −1 mod 3.
Considérese un primo p ≥ 5. Excepto 1 y (p−1) que son sus propios inver-
sos cada uno de los números entre 2 y (p−2) tiene por inverso multiplicativo
otro número entre p y (p− 2).
158 CAPÍTULO 4. ANILLOS
Si tomamos el producto 2 × 3 × 4 × 5 × · · · × (p − 2), este producto
está compuesto por un número par de elementos. Aplicando las propiedades
asociativa y conmutativa un número finito de veces es posible escribir cada
uno junto a su inverso multiplicativo sin que sobren, de donde se puede inferir
que
2× 3× 4× 5× · · · × (p− 2) = 1
entonces
2× 3× 4× 5× · · · × (p− 2)× (p− 1) = (p− 1)
pero
(p− 1) ≡ −1 mod p
luego
2× 3× 4× 5× · · · × (p− 2)× (p− 1) ≡ −1 mod p
o equivalentemente (p− 1)! ≡ −1 mod p.
EJERCICIOS
1. Sea A un anillo, U = {u ∈ A | u es una unidad de A}. Demostrar que
U con el producto es un grupo. Primero demuestre que el producto
está bien definido.
2. Demostrar que la propiedad cancelativa se verifica en un anillo A si y
solo si en A no existen divisores de cero.
3. Demostrar que la suma directa de dos dominios de enteros no necesa-
riamente es un domino de enteros.
4. Describa todas las unidades en los siguientes anillos.
a) Z.
b) Z+Z.
c) Z5.
d) Q.
e) Z+Q+Z.
5. Sea A un conjunto. Considere la estructura 〈A,+, ·〉 tal que:
4.6. IDEALES 159
a) 〈A,+〉 es un grupo.
b) 〈A∗, .〉 es un grupo, donde A∗ es el conjunto de los elementos de
A diferentes del elemento de identidad para la suma.
c) a(b+ c) = ab+ ac y (a+ b)c = ac+ bc para todo a, b, c elementos
de A.
Demostrar que 〈A,+, ·〉 es un anillo con division.
6. Demostrar que un anillo finito A con elemento unitario y que no con-
tiene divisores de cero es un anillo con division.
7. Si D es un dominio, demostrar que el conjunto {n · 1 | n ∈ Z} es un
subdominio de D contenido en todo subdominio de D.
4.6. Ideales
Es válido afirmar que los ideales representan para los anillos lo que los
subgrupos normales representan para los grupos. Esta analoǵıa se demues-
tra a través de la construcción de los anillos cociente siguiendo los métodos
usados en la teoŕıa de grupos. Se Establecen condiciones semejantes para los
homomorfismos entre anillos teniendo el cuidado de desarrollar las ideas de
la parte correspondiente al producto ya que los aspectos relacionados con la
suma han sido tratados con suficiente extensión. Como los ideales resultan ser
subgrupos normales, se indican con la letra N para seguir usando la misma
nomenclatura.
Definición 4.6.1. Sea A un anillo, un subconjunto no vaćıo N de A es un
ideal si,
1) N es un subgrupo de A bajo la adición.
2) Para todo n de N y para todo a de A, tanto na como an son elementos
de N.
Por la condición (2),N debe llamarse un ideal bilateral, pero como habrá muy
poca ocasión de estudiar ideales que no sean bilaterales este último término
se omite en la definición. En los casos especiales se hará notar la diferencia.
Por ser N un grupo abeliano al hacer referencia a las clases laterales no se
especificará si son derechas o izquierdas.
Usando el teorema 4.3.2 se demuestra que N es un subanillo de A. Las
dos primeras condiciones se verifican puesto que N es un subgrupo. Para la
160 CAPÍTULO 4. ANILLOS
tercera tómense a, n elementos de N . Como N está contenido en A, a es
también un elemento de A. Por la definición de ideal an pertenece a N y en
conclusión N es un subanillo de A
La condición (2) de la definición de ideal se puede expresar equivalente-
mente diciendo que tanto Na como aN son subconjuntos de N , para cual-
quier a de A, y consecuentemente se puede concebir un ideal N como un
subanillo de A tal que para todo a de A, Na y aN son subconjuntos de N .
Teorema 4.6.1. Si N es un ideal del anillo A, entonces A/N es un anillo.
Demostración. Considerada la suma como operación, N es un subgrupo de
A. Este hecho permite hacer una partición de A en clases laterales. Sea A/N
el conjunto de todas las clases laterales de N en A. Aplicando los resultados
obtenidos para los grupos A/N es un grupo abeliano bajo la adición de clases
descrita mediante la igualdad,
(a+N) + (b+N) = (a+ b) +N.
Que, como se ha visto, es independiente de la selección de los elementos de
las clases dadas.
Para dotar a A/N de una estructura de anillo es indispensable definir
un producto de clases. La forma más simple está sugerida por la fórmula
propuesta para el anillo de los enteros, que resulta ser un caso particular de
la que se propone a continuación,
(a+N)(b+N) = ab+N.
Para que esta identidad tenga sentido se debe demostrar que el producto
aśı representado está bien definido. Para el efecto se demuestra que el pro-
ducto es independiente de la selección de los elementos de las clases respec-
tivas.
Sean a+ n1, b+ n2 representantes arbitrarios de las clases a+N , b+N
respectivamente,
(a+ n1)(b+ n2) = ab+ (an2 + n1b+ n1n2) = ab+ n3.
Por serN un ideal, (an2+n1b+n1n2) pertenece a N. Llamando al contenido de
este paréntesis n3 se pudo escribir la última igualdad. Pero ab+n3 pertenece a
la clase ab+N , lo que permite concluir que todos los productos de elementos
4.6. IDEALES 161
de la clase (a + N) por elementos de la clase (b + N) pertenecen a la clase
(ab+N), indicando que el producto está bien definido.
Las propiedades asociativa y distributivas son consecuencia de las res-
pectivas propiedades del anillo A, ya que los elementos de A/N son todos
subconjuntos de A, lo que garantiza la verificación de dichas leyes. Se ha
demostrado que A/N es un anillo llamado el anillo cociente.
Si A tiene elemento unitario, entonces (1 +N) es el elemento unitario de
A/N en efecto
(a+N)(1 +N) = a1 +N = a+N
(1 +N)(a+N) = 1a+N = a+N.
Ejemplo 4.6.1. Considérese el subgrupo N = {0, 2, 4} de Z6 representado
mediante la tabla
+ 0 2 4
0 0 2 4
2 2 4 0
4 4 0 2
Figura 4.2
El producto de elementos de N por Z6 se representa aśı,
· 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
2 0 2 4 0 2 4
4 0 4 2 0 4 2
Figura 4.3
Note que N absorbe la multiplicación por elementos arbitrarios del anillo
tanto a izquierda como a derecha (el producto es conmutativo).
En conclusión, para todo n de N , y para todo a en Z6, an y na pertenecen
a N o sea, N es un ideal.
El anillo A y el subanillo {0} son los denominados ideales impropios o
triviales, los restantes son los propios.
Ejemplo 4.6.2. Si N, M son ideales del anillo A.
Sea N + M = {n + m | n ∈ N, m ∈ M}. Demostrar que N + M es un
ideal de A.
162 CAPÍTULO 4. ANILLOS
Solución. Sean (n1 +m1), (n2 +m2) elementos de N +M , entonces
(n1 +m1) + (n2 +m2) = (n1 + n2) + (m1 +m2)
por ser N , M grupos abelianos para la suma. Por tanto
(n1 +m1) + (n2 +m2) ∈ N +M.
Si (n+m) ∈ N+M entonces −n ∈ N , −m ∈M luego (−n)+(−m) ∈ N+M ,
por tanto −(n+m) ∈ N +M . Se ha demostrado que N +M es un subgrupo
de A.
Tome a ∈ A, entonces (n + m)a = na + ma. Como N , M son ideales,
na ∈ N , ma ∈M , por tanto (n +m)a ∈ N +M .
Similarmente, a(n + m) ∈ N + M . En śıntesis, N + M es un ideal de
A.
Ejemplo 4.6.3. Demostrar que un campo no tiene ideales propios.
Solución. Sea F un campo, N un ideal propio de F . Para todo a de F , para
todo n de N , tanto na como an pertenecen a N . En particular si a = n−1,
1 = nn−1 ∈ N . También para todo a de F , si n = 1, a = 1a pertenece a
N . Se ha demostrado que F es un subconjunto de N y como por definición
N está contenido en F , se concluye que N = F , indicandoque F no tiene
ideales propios.
EJERCICIOS
1. Dados N un anillo conmutativo, a ∈ N , aN = {an | n ∈ N}. Demues-
tre que aN es un ideal de N . Diga qué sucede si N no es conmutativo.
2. SeaMN = {x | x =
k∑
i=1
mini, mi ∈ M,ni ∈ N, k un natural} dondeN ,
M son ideales de A. Demuestre que MN es un ideal de A. Demuestre
además que MN ⊆ (M ∩N).
3. Sean M un ideal de A, a(M) = {x ∈ A | xm = 0, ∀ m ∈ M}.
Demuestre que a(M) es un ideal de A.
4. Sean M , N ideales del anillo conmutativo A. El cociente de M por
N , se define por la igualdad: M : N = {a ∈ A | an ∈ M, ∀n ∈ N}.
Demostrar que M : N es un ideal de A.
4.7. HOMOMORFISMOS 163
5. Un elemento a del anillo A se dice nilpotente si an = 0, para algún
n ∈ Z+. Demuestre que el conjunto de todos los nilpotentes de un
anillo conmutativo A es un ideal, el radical de A.
6. De acuerdo con la definición dada en el ejercicio anterior hallar el radical
del anillo de los enteros.
7. Sea A un anillo conmutativo y N un ideal. Demostrar que si cada
elemento de N es nilpotente y el radical de A/N es A/N , entonces el
radical de A es A.
8. Demostrar que si N es el radical del anillo conmutativo A, entonces
A/N tiene como radical el ideal (0 +N).
9. Hallar todos los ideales de Zn para cualquier n.
4.7. Homomorfismos
Como se hab́ıa anotado, el estudio de los homomorfismos entre anillos
se hará siguiendo los mismos parámetros marcados a los grupos. Por eso
no debe sorprender la similitud de los resultados. Al finalizar la sección se
podrá encontrar la analoǵıa entre los ideales y los subgrupos normales.
La ley de composición externa definida para los grupos se puede hacer
extensiva a los anillos. Si Δ = Z, sea
Z ×A −→ A
(n, a) −→ na = a+ a+ a+ a+ · · ·+ a︸ ︷︷ ︸
n veces
(0, a) −→ 0a = 0
(n, a) −→ na = (−a) + (−a) + (−a) + · · ·+ (−a)︸ ︷︷ ︸
(−n veces)
. Si n < 0.
Recordemos que en la expresión 0a = 0, el cero de la izquierda es el elemento
de identidad de la suma de enteros, mientras que el de la derecha es el idéntico
aditivo del anillo A. Se demostró que con esta ley A es un Δ–grupo , más
aún, es un Δ–anillo de acuerdo con la siguiente definición.
Definición 4.7.1. Se denomina Δ–anillo (anillo con operadores) a un anillo
A dotado de un dominio de operadores por la izquierda tal que
164 CAPÍTULO 4. ANILLOS
1. A es un Δ–grupo.
2. n(xy) = (nx)y = x(ny), para n en Δ, x, y en A.
El dominio de operadores se ha definido por la izquierda para estar a tono
con la definición de grupo.
Como A es un Δ–grupo, para demostrar que es un Δ–anillo hay que
comprobar la condición (2).
Para ello basta con tomar n en Z, a, b en A, entonces,
n(ab) = ab+ ab+ ab+ ab+ · · ·+ ab︸ ︷︷ ︸
n veces
= a(b+ b+ b+ b+ · · ·+ b)︸ ︷︷ ︸
n veces
= a(nb).
Por otra parte,
n(ab) = ab+ ab+ ab+ ab+ · · ·+ ab︸ ︷︷ ︸
n veces
= (a+ a+ a+ a+ · · ·+ a)b︸ ︷︷ ︸
n veces
= (na)b.
Se deja a los interesados demostrar los casos en que n sea menor o igual a
cero, lo que es tarea sencilla.
Hemos llegado a la conclusión que A es un anillo con operadores.
Ahora estamos preparados para dar la siguiente definición.
Definición 4.7.2. Una función φ de un anillo A en un anillo A′ es un
homomorfismo si para todo a, b en A,
1. (a+ b)φ = aφ + bφ
2. (ab)φ = (aφ)(bφ).
Un homomorfismo entre anillos lo es también entre los respectivos grupos
aditivos, por esta razón se verifican las siguientes igualdades
1. 0φ = 0′
4.7. HOMOMORFISMOS 165
2. (−a)φ = −(aφ).
Sea n un entero, a un elemento de A. Si n es mayor que cero, usando la
definición de na y las propiedades de φ se pueden escribir las igualdades que
siguen,
(na)φ = (a+ a+ a+ a+ · · ·+ a︸ ︷︷ ︸
n veces
)φ
= aφ+ aφ + aφ+ aφ+ · · ·+ aφ︸ ︷︷ ︸
n veces
= n(aφ).
Si n = 0, entonces
(0a)φ = 0φ = 0′.
Además
0(aφ) = 0′.
La última igualdad es posible gracias a que Z es un dominio de operadores
por la izquierda para el anillo A′. Si n es menor que cero,
(na)φ = [(−a) + (−a) + (−a) + (−a) + · · ·+ (−a)︸ ︷︷ ︸
n veces
]φ
= [−(a)φ] + [−(a)φ] + [−(a)φ] + [−(a)φ] + · · ·+ [−(a)φ]︸ ︷︷ ︸
−n veces
= n(aφ).
Lo que quiere decir que en todo homomorfismo entre anillos la condición
(na)φ = n(aφ)
se verifica si consideramos a Z como el dominio de operadores para A y A′.
Por esta razón tampoco se consigna esta igualdad en la definición.
Considerando los anillos Z y Zn y la función,
φ : Z −→ Zn
a −→ [ a ]
166 CAPÍTULO 4. ANILLOS
donde a es la clase residual módulo n. Demostrar que es un homomorfismo
es tarea sencilla y se reduce a recordar las definiciones de suma y producto
de clases.
Para los homomorfismos entre anillos la noción de núcleo surge de una
manera natural como consecuencia de ser A un grupo abeliano para la adi-
ción. Desde este punto de vista se pretende utilizar la teoŕıa desarrollada
para estas últimas estructuras y de paso seguirlas mostrando como el punto
de apoyo para el estudio de estructuras más amplias.
Definición 4.7.3. Si φ es un homomorfismo de A en A′, el núcleo de φ,
notado Kφ, es el conjunto de los elementos a de A tales que aφ = 0
′, el cero
de A′.
Por brevedad se notará solo con la letra K cuando no haya lugar a confusión.
Definición 4.7.4. Un homomorfismo de A en A′ se dice un isomorfismo si
es uno a uno y sobre.
Teorema 4.7.1. Si φ es un homomorfismo de A en A′, el núcleo de φ es un
ideal de A.
Demostración. Usando los resultados de la sección 3.6 se concluye K es un
subgrupo normal de A. Tómese k en K, a en A, entonces kφ = 0′. Además
(ka)φ = (kφ)(aφ) = 0′(aφ) = 0′
luego ka pertenece al núcleo K. Idénticamente
(ak)φ = (aφ)(kφ) = (aφ)0′ = 0′
es decir, ak también pertenece al núcleo K. En śıntesis, K es un ideal de
A. Demostrándose igualmente la analoǵıa entre los ideales y los subgrupos
normales.
Ejemplo 4.7.1. Sea φ : A −→ A′ un homomorfismo definido para todo a de
A por la igualdad aφ = 0′, entonces K = A. φ se denomina el homomorfismo
cero.
Por otra parte si φ : A −→ A′ es el homomorfismo idéntico, K = {0}.
Si consideramos φ : Z −→ Zn dado por aφ = [ a ], K consiste en el
conjunto de los múltiplos de n.
4.7. HOMOMORFISMOS 167
A los homomorfismos de anillos también se les puede aplicar el hecho de
ser uno a uno como condición equivalente de ser su núcleo igual al conjunto
{0}, condición demostrada para los grupos.
Teorema 4.7.2. Sea φ : A −→ A′ un homomorfismo, entonces
1. Si S es un subanillo de A, Sφ es un subanillo de A′.
2. Si S es un ideal de A, Sφ es un ideal de A′.
3. Si S ′ es un subanillo de A′, S ′φ−1 es un subanillo de A.
4. Si S ′ es un ideal de Aφ, S ′φ−1 es un ideal de A.
5. Si A tiene elemento unitario 1, y 1φ �= 0′, 1φ = 1′ es el elemento
unitario de A.
Demostración. Sea S un subanillo de A′, entonces 0 pertenece a S por tanto,
0φ = 0′ pertenece a Sφ. Los resultados obtenidos en la teoŕıa de grupos
garantizan que Sφ es un subgrupo de A, entonces si aφ y bφ son elementos de
Sφ, la diferencia aφ−bφ también pertenece a Sφ. Además (aφ)(bφ) pertenece
a Sφ ya que ab pertenece a S. En conclusión, Sφ es un subanillo de A′.
Indudablemente A es un subanillo de A, entonces de acuerdo con lo de-
mostrado en (1) Aφ es un subanillo de A′ y en consecuencia Aφ es a su vez
un anillo.
Sea S un ideal de A. Nuevamente apelando a la teoŕıa de grupos se afirma
que Sφ es un subgrupo de Aφ ya que S es a su vez un grupo, además para todo
s en S, para todo a en A, (aφ)(sφ) = (as)φ pertenece a Sφ. Similarmente
(sφ)(aφ) pertenece a Sφ, concluyéndose que Sφ es un ideal de Aφ.
Si S ′ es un subanillo de A′, por las razones expuestas anteriormente, S ′φ−1
es un subgrupo de A, entonces si aφ, y bφ pertenecen a S ′, la diferencia aφ−bφ
es también un elemento de S ′, pero esta diferencia es igual a (a − b)φ, de
donde se deduce que (a− b)φ pertenece a S ′, luego (a− b) pertenece a S ′φ−1.
Además (aφ)(bφ) = (ab)φ pertenece a S ′, lo que equivale a decir que ab
pertenece a S ′φ−1 o sea, S ′φ−1 es un ideal de A.
Si S ′ es un ideal de Aφ, entonces S ′φ−1 es un subgrupo de Aφ. Además,
para todo s en S ′φ−1, para todo a en A, (aφ)(sφ) = (as)φpertenece a S ′,
de donde se concluye que as pertenece a S ′φ−1. Igualmente, sa pertenece a
S ′φ−1 indicando que S ′φ−1 es un ideal de A.
168 CAPÍTULO 4. ANILLOS
Si A tiene elemento unitario 1, entonces para todo a de A,
aφ = (1a)φ = (1φ)(aφ)
aφ = (a1)φ = (aφ)(1φ).
Si 1φ = 0′, las anteriores igualdades dicen que el elemento 1′ = 1φ es el
elemento unitario de Aφ.
Ejemplo 4.7.2. Sea A un anillo con elemento unitario, A′ un anillo, φ un
homomorfismo de A sobre A′. Demostrar que uφ es una unidad de A′ si y
solo si u no pertenece al núcleo de φ. Donde u es una unidad de A.
Solución. Sea u una unidad de A. Supongamos que uφ es una unidad de A′,
entonces, uφ �= 0′, lo que indica que uφ no pertenece al núcleo de φ. Por otra
parte sea u una unidad de A que no pertenece al núcleo K de φ, entonces
uφ �= 0′. Como 1 es una unidad, para todo a de A,
aφ = (a1)φ = (aφ)(1φ)
aφ = (1a)φ = (1φ)(aφ).
Estas igualdades dicen que 1φ es un elemento unitario, luego 1φ �= 0′ lo
que significa que 1φ = 1′ es el elemento unitario de A. Pero al ser φ sobre
Aφ = A′ concluyéndose que 1φ = 1′ es el elemento unitario de A′. Pero u es
una unidad, entonces,
1φ = (uu−1)φ = (uφ)(u−1φ)
1φ = (u−1u)φ = (u−1φ)(uφ).
Además 1 �= 0′, entonces de las dos últimas igualdades se concluye que ne-
cesariamente u−1φ �= 0′, por tanto u−1φ es el inverso multiplicativo de uφ o
equivalentemente uφ es una unidad de A′.
Nos preguntamos si dado un ideal N , existe un homomorfismo φ tal que
N sea el núcleo de φ. La respuesta surge inmediatamente y es afirmativa. Se
condensa en el teorema que sigue.
Teorema 4.7.3. Si N es un ideal de A, la función canónica φ : A −→ A/N
definida por aφ = a +N , para a en A, es un homomorfismo cuyo núcleo es
N.
4.7. HOMOMORFISMOS 169
Demostración. En la teoŕıa de grupos se estudió que para el grupo aditi-
vo A y el subgrupo normal N , la función canónica φ : A −→ A/N es un
homomorfismo, luego
(a+ b)φ = aφ+ bφ.
Además,
(ab)φ = ab+N = (a+N)(b+N) = (aφ)(bφ),
de donde se obtiene que φ es un homomorfismo de anillos. Al ser N un
subgrupo es cerrado para la adición por tanto, para todo n de N , n+N = N ,
lo que equivale a decir que para todo n de N , nφ = n+N = N . De donde se
infiere que K = N , puesto que N es el módulo para la suma de clases.
Teorema 4.7.4. Sea φ un homomorfismo entre los anillos A, A′ de núcleo
K, entonces Aφ es isomorfo con el anillo A/K.
Demostración. Sea φk : A −→ A/K, definido por la igualdad (a+K)φk = aφ.
Los estudios previos indican que φk es un isomorfismo entre los respectivos
grupos aditivos, por lo que es uno a uno y sobre y además,[
(a+K) + (b+K)
]
φ = (a+K)φk + (b+K)φk.
Veamos que es un isomorfismo entre anillos. En efecto,[
(a+K)(b+K)
]
φk = (ab+K)φk
= (ab)φ
= (aφ)(bφ)
= (a+K)φk(b+K)φk.
El teorema anterior establece que para un homomorfismo entre los anillos
A, A′ de núcleo K la imagen directa de A, Aφ coincide exactamente con
el anillo A/K. El isomorfismo φk se denomina canónico en el sentido que si
ψ : A −→ A/K es la función canónica, entonces φ = ψ ◦ φk. En śımbolos,
φ : A
ψ
A/K
φk
Aφ.
Si φ es un homomorfismo sobre, φk es un isomorfismo entre A/K y A
′.
Ahora es viable decir que una imagen homomorfa de un anillo A está de-
terminada, salvo isomorfismos, por el núcleo K del homomorfismo respectivo.
Regresando al anillo Zn, llamemos φ al homomorfismo de Z en Zn
170 CAPÍTULO 4. ANILLOS
φ : Z −→ Zn
a −→ aφ = r
donde 0 ≤ r ≤ n− 1 es el residuo de dividir a por n. Es fácil verificar que φ
es un homomorfismo sobre cuyo núcleo es el conjunto de los múltiplos de n.
Sea
φk : Z/[n ] −→ Zn
a+ [n ] −→ (a+ [n ])φk = aφ = r.
φk es indudablemente un isomorfismo entre Zn y el anillo cociente Z/[n ].
Si
ψ : Z −→ Z/[n ]
a −→ a+ [n ]
es el homomorfismo canónico, entonces φ = ψ ◦ φk.
φ : Z Z/[n ] Zn
ψ φk
a −→ a+ [n ] −→ aφ = r.
El anillo Zn de los enteros módulo n puede finalmente concebirse como el
anillo cociente Z/[n ]. Este era el toque formal que haćıa falta para poder
trabajar indiscriminadamente con Zn o con Z/[n ].
Desviamos la atención hacia algunas aplicaciones de Zn a la teoŕıa de los
números, espećıficamente hacia un teorema debido a Fermat y a su genera-
lización enunciada por Euler.
Teorema 4.7.5. Si a es un entero y p es un primo que no divide a a, entonces
ap−1 ≡ 1 mod p.
Demostración. Sea a un entero. Si p|a, entonces a ≡ 0 mod p y el teorema
no es válido. Suponga que a no es divisible por p, existe entonces un entero
r en Zp tal que a ≡ r mod p, de donde se obtiene ap−1 ≡ rp−1 mod p.
Pero el grupo multiplicativo de los enteros Zp diferentes de cero es de
orden (p−1). Si r tiene orden s o sea, rs = 1, como consecuencia del teorema
de Lagrange s divide a (p − 1), y por consiguiente rp−1 = rst = 1. Por
reemplazo se obtiene ap−1 ≡ 1 mod p.
Definición 4.7.5. Sea n ≥ 1 un entero. La función φ(n) : Z+ −→ Z+
definida por φ(1) = 1 o como el número de enteros positivos menores o
iguales a n y primos relativos con n, si n ≥ 2, se denomina la φ función de
Euler.
Si n = 8, los enteros positivos menores o iguales a 8 y primos relativos con 8
son, 1, 3, 5, 7. Para este caso φ(8) = 4.
4.7. HOMOMORFISMOS 171
Teorema 4.7.6. (Teorema de Euler). Si a es un entero primo relativo con
n, entonces aφ(n) ≡ 1 mod n.
Demostración. Si a es primo relativo con n, la clase a + [n ] contiene a a y
también a un entero positivo b menor que n y primo relativo con n.
Si (b, n) = g �= 1, entonces por definición b = gt, n = gk.
Como b pertenece a la clase a + [n ], es obvio que b = a + ns, por con-
siguiente gt = a + gks o sea, a = g(t − ks), n = gk, lo que indica que
(a, n) �= 1 contradiciendo la hipótesis, luego b es primo relativo con n. Además
a ≡ b mod n, de donde,
aφ(n) ≡ bφ(n) mod n.
En el ejercicio 5 de la sección 2.3 se pidió demostrar que el conjunto Wn
formado por los elementos de Zn diferentes de cero y primos relativos con n
forman un grupo. El orden de dicho grupo es φ(n).
Como b es primo relativo con n, se puede considerar como un elemento
de Wn, por lo que b
φ(n) = 1, esto es,
aφ(n) ≡ 1 mod n.
Una aplicación del teorema de Fermat permite encontrar rápidamente el re-
siduo de algunas divisiones sin necesidad de efectuarlas, método útil espe-
cialmente cuando se trata de cantidades grandes como en el ejercicio que
sigue,
Ejemplo 4.7.3. Hallar el residuo de dividir 48148 entre 17.
Solución.
48148 = (4816)9(484).
De acuerdo con el teorema de Fermat,
4816 ≡ 1 mod 17,
en consecuencia,
48148 ≡ (19)(484) mod 17.
Pero,
484 = (16× 3)4 = (216)(34).
El teorema de Fermat asegura que
216 ≡ 1 mod 17.
172 CAPÍTULO 4. ANILLOS
Reemplazando se obtienen las siguientes congruencias.
48148 ≡ (216)(34) ≡ (1)(34) ≡ 34 mod 17.
Por otra parte
34 ≡ 81 ≡ 30 ≡ 13 mod 17.
Aplicando la propiedad transitiva
48148 ≡ 13 mod 17.
En śıntesis, el residuo de dividir 48148 entre 17 es 13.
Veamos finalmente un resultado que indica que para un campo el anillo
de los cocientes no tiene mucha aplicación.
Un homomorfismo propio para un anillo A será el que haga corresponder
a un ideal propio de A el núcleo K del homomorfismo en referencia.
En el ejercicio 4.6.3 se demostró que un campo no tiene ideales propios, es-
to quiere decir que no pueden existir homomorfismos propios para los campos
o equivalentemente, un campo no tiene ninguna imagen homomorfa propia.
EJERCICIOS
1. Demostrar que cualquier imagen homomorfa de un anillo conmutativo
es conmutativa.
2. Si un anillo A tiene un elemento unitario e, demostrar que cualquier
imagen homomorfa de A tiene un elemento unitario.
3. Si A1, A2, A3 son anillos y φ : A1 −→ A2, ϕ : A2 −→ A3 son homo-
morfismos. Demostrar que φϕ : A1 −→ A3 es un homomorfismo.
4. Sea Z el anillo de los enteros.
a) Describa todos los homomorfismos de Z en Z.
b) Describa todos los homomorfismos de Z + Z en Z.
5. Use el teorema de Fermat para demostrar que para cualquier entero
positivo n, n37 − n es divisible por 383838.
Sugerencia: 383838 = 37× 19× 13× 7× 3× 2.
4.8. OTRAS CLASES DE IDEALES173
6. Use el teorema de Euler para hallar el residuo de dividir 71000 entre 24.
7. Halle φ(n), para n = 2, 3, 4, 74, 10, 13, 15, 21, 23, 28.
4.8. Otras clases de ideales
Abordamos ahora el estudio de los anillos cociente considerados como
dominios de enteros o campos; dando condiciones especiales que los identifi-
quen como una de tales estructuras. El primer problema a resolver es el de
los divisores de cero de A/N . El segundo tiene que ver con las unidades, si
queremos hablar de campos. Los dilemas planteados tienen solución y esta
se da a través de la introducción de algunos tipos especiales de ideales.
Definición 4.8.1. Un ideal maximal de un anillo A es un ideal M �= A tal
que para todo ideal N de A, si M ⊆ N ⊆ A, entonces M = N o N = A.
En otras palabras, no podemos encontrar un ideal que sea superconjunto de
M y subconjunto de A.
Un anillo cualquiera puede, o no, tener ideales maximales y en caso de
tenerlos pueden ser más de uno. Más adelante veremos que el anillo de los
enteros posee infinitos.
Dados un anillo conmutativo A, y un elemento a ∈ A, considérese el
conjunto (a) = {xa | x ∈ A}. Tómense x1, x2 en A, entonces la suma
(x1 + x2) ∈ A, y en consecuencia (x1 + x2)a ∈ (a).
0 = 0a ∈ (a), puesto que 0 es un elemento de A. Además para todo x ∈ A,
−x también es un elemento de A, luego tanto xa como −xa son elementos
de (a).
Se ha demostrado que (a) es un subgrupo deA y al ser este último abeliano
se puede firmar que (a) es un subgrupo normal. También, y(xa) = (yx)a
pertenece a (a), para todo y de A. Igualmente, (xa)y = (yx)a ∈ (a). En
conclusión (a) es un ideal de A. Más aún, es el más pequeño de los ideales
de A, que contienen al elemento a, afirmación que invitamos a verificar.
Definición 4.8.2. El ideal (a) se denomina un ideal principal.
Definición 4.8.3. Un dominio de enteros D es un dominio de ideales prin-
cipales si todo ideal de D es principal.
El dominio Z de los enteros es un dominio de ideales principales. En este
caso, (a) = {na | n ∈ Z} coincide con el grupo aditivo generado por a.
174 CAPÍTULO 4. ANILLOS
Definición 4.8.4. Si A es un anillo conmutativo. Un ideal P �= A es un
ideal primo si ab ∈ P implica que a ∈ P o b ∈ P .
En el dominio de los enteros, si p es un número primo, el ideal principal (p)
consta de los múltiplos de p. Si a y b son enteros y el producto ab pertenece
a P , entonces, ab = np, para algún entero n, significando que p divide a ab,
pero al ser p primo, se dice que p|a o p|b, pero esto último equivale a decir
que a = n1p o b = n2p y en este caso se puede decir que a es un múltiplo de
p o que b es un múltiplo de p, de donde se deduce que a pertenece a (p) o b
pertenece a (p), lo que permite concluir que (p) es un ideal primo.
Se ha comprobado que si p es primo, (p) es un ideal primo. Al menos
para los enteros los conceptos de primo e ideal primo están relacionados
ı́ntimamente.
Teorema 4.8.1. Sea A un anillo conmutativo con elemento unitario. A/M
es un dominio de enteros si y solo si M es un ideal primo. A/M es un campo
si y solo si M es un ideal maximal.
Demostración. Dado un anillo conmutativo con elemento unitario A, sea
M �= A un ideal de A, entonces A/M es un dominio de enteros si y solo si no
tiene divisores de cero, lo que equivale a decir que si (a +M)(b +M) = M ,
entonces (a + M) = M o (b + M) = M o equivalentemente, si la clase
ab +M = M , entonces (a+ M) = M o (b+ M) = M . Pero x +M = M si
y solo si x pertenece a M , ya que M es el módulo aditivo. Luego la última
condición se puede expresar diciendo que, si ab pertenece a M , entonces a
pertenece a M o b pertenece a M , indicando que M es un ideal primo.
Para la segunda parte suponga en primera instancia que M es un ideal
maximal de A. Por ser A un anillo conmutativo con elemento unitario, el
producto de clases es conmutativo y la clase (1 + M) es el elemento de
identidad para el producto, esto implica que A/M es un anillo conmutativo
con elemento unitario.
Sea a ∈ (A−M), entonces a+M �= M esto es, a+M no es el elemento
de identidad para la suma de A/M .
Para que A/M sea un campo, a+M debe ser una unidad.
Como a no pertenece a M , a �= 0. El ideal principal generado por a, esto
es, (a) = {xa | x ∈ A} necesariamente debe ser igual a A, puesto que M es
un ideal maximal y a no pertenece a M .
Pero 1 ∈ A = (a), entonces existe b �= 0 en A, tal que 1 = ab. El
homomorfismo canónico entre A y A/M establece que (ab) = ab+M = 1+M
4.8. OTRAS CLASES DE IDEALES 175
y de esta parte se deduce que (ab +M) = (a+M)(b +M) = 1 +M . Se ha
demostrado que a+M es una unidad o que A/M es un campo.
Rećıprocamente, suponga que A/M es un campo. Sea N un ideal de A
tal que M ⊆ N ⊆ A. Sea φ el homomorfismo canónico de A sobre A/M ,
entonces Nφ es un ideal de A/M . Por ser M ⊆ N ⊆ A, Mφ ⊆ Nφ ⊆ Aφ.
Pero Mφ = M , Aφ = A/M .
Reemplazando se obtiene finalmente M ⊆ Nφ ⊆ A/M . Luego N es un
ideal propio de A/M contradiciendo el hecho de carecer A �= M de ideales
propios. Se concluye que necesariamente M debe ser un ideal maximal.
Si un anillo conmutativo con elemento unitario no tiene ideales propios, el
ideal {0} es maximal y A/{0} que es isomorfo con A, por el teorema anterior
es un campo. Por otra parte, si un anillo conmutativo con elemento unitario
es un campo, no tiene ideales propios ya que ningún campo los tiene.
En śıntesis, un anillo conmutativo con elemento unitario es un campo si
y solo si no tiene ideales propios.
Considérese un ideal maximal M , de un anillo conmutativo con elemento
unitario A. A/M es entonces un campo y por tanto un dominio de enteros
y en consecuencia M debe ser un ideal primo por el teorema anterior. Estas
aseveraciones indican que todo ideal maximal de un anillo conmutativo con
elemento unitario es un ideal primo.
EJERCICIOS
1. Sea A un anillo conmutativo. Demuestre que P es un ideal primo de A
si y solo si P/A es un dominio de enteros.
2. Sea A un anillo conmutativo con elemento unitario. Demuestre que
todo ideal maximal de A es un ideal primo.
3. Si A es un anillo finito con elemento unitario, demuestre que todo ideal
primo de A es un ideal maximal.
4. Demuestre que cualquier ideal distinto de cero en los enteros gaussianos
debe contener algún elemento positivo.
176 CAPÍTULO 4. ANILLOS
4.9. Dominios Euclidianos
Los dominios euclidianos, de los cuales los enteros son el ejemplo t́ıpico,
derivan su nombre del hecho de satisfacer lo que puede considerarse una gene-
ralización del algoritmo de Euclides, o algoritmo de la división. En un dominio
euclidiano se define una función llamada ν-valor euclidiano que será usada
para generalizar las nociones de divisibilidad de los enteros e igualmente para
aplicarla al anillo de polinomios.
Definición 4.9.1. Un dominio de enteros D es un dominio euclidiano, si
para todo a diferente de cero en D está definido un entero no negativo ν(a)
tal que,
1. Para los elementos a, b en D, existen q, r en D tales que, a = bq + r,
donde r = 0 o ν(r) < ν(b).
2. Para a, b en D, ambos diferentes de cero, ν(a) ≤ ν(ab).
ν(a) se denomina un ν-valor euclidiano.
Si en el dominio de los enteros definimos ν(a) = | a |, a �= 0. Donde ν(a)
es el valor absoluto de a, las condiciones (1) y (2) son obvias.
En el dominio Z[ i ] de los enteros gaussianos, sea x = a+ bi �= 0. Defina
ν(x) por la igualdad
ν(x) = ν(a+ bi) = (a+ bi)(a− bi) = a2 + b2 > 0.
Se da por cierto que las condiciones (1) y (2) se verifican. Los interesados
pueden leer a la literatura correspondiente. Se puede afirmar que tanto los
enteros como los enteros gaussianos son dominios euclidianos.
Teorema 4.9.1. Todo dominio euclidiano es un dominio de ideales princi-
pales.
Demostración. Sea D un dominio euclidiano, N un ideal de D. Si N = {0},
entonces N es un ideal principal.
Supongamos que N tiene al menos un elemento diferente de cero. Como
los ν-valores son enteros positivos deben tener un elemento mı́nimo. Sea b el
elemento de N con menor ν-valor o sea ν(b)< ν(a), para todo a �= 0 enN .
Sea a �= b en N , entonces existenq, r en N tales que
a = bq + r,
4.10. DIVISIBILIDAD 177
con r = 0 o ν(r) < ν(b).
Como N es un ideal, r = a − bq pertenece a N . Si ν(r) < ν(b) se
contradice la elección de b, luego r = 0 y a = bq.
Se ha demostrado que todo elemento de N es un múltiplo de b. Entonces
N = (b) es un ideal principal y por definición D es un dominio de ideales
principales
Sea D un dominio euclidiano. La condición (2) de la definición indica que
ν(1) ≤ ν(1a) = ν(a). Esta condición se verifica para todo a diferente de cero
en D, indicando que ν(1) es el menor de los ν-valores de elementos de D.
Supongamos que u es una unidad de D, entonces ν(u) ≤ ν(uu−1) = ν(1),
y como además ν(1) ≤ ν(u), necesariamente ν(u) = ν(1).
A continuación consideremos que ν(u) = ν(1). Por el algoritmo de la
división existen enteros q, r tales que uq + r = 1 donde r = 0 o ν(r) < ν(u).
Pero ν(u) = ν(1) y ν(1) es el mı́nimo de los ν-vlores, entonces ν(r) < ν(u) es
imposible, luego r = 0 y qu = 1, de donde se concluye que u es una unidad.
En conclusión, u es una unidad de D si y solo si ν(u) = ν(1).
Sean a, b elementos no nulos de D tales que b no es una unidad de D.
Sea (a) el ideal generado por a. Para todo x en (a), ν(a) ≤ ν(xa), luego el
ν-valor de a es el mı́nimo de los ν-valores de elementos de (a). Como ab es un
elemento de (a), supongamos que ν(ab) = ν(a), entonces ν(ab) es el mı́nimo
de los ν-valores de elementos de (a). Por lo demostrado en el teorema 4.9.1
todo elemento de (a) es un múltiplo de ab. De aqúı se sigue que a = abx,
para algún x de D y por tanto, 1 = bx o sea b es una unidad, contradiciendo
lo supuesto inicialmente. Entonces, ν(ab) no puede ser igual a ν(a). La única
posibilidad es ν(a) < ν(ab). Se puede decir en consecuencia que si a, b son
elementos no nulos de D y b no es una unidad, necesariamente ν(a) < ν(ab).
4.10. Divisibilidad
El objeto de esta sección como se hab́ıa anunciado es generalizar las ideas
de divisibilidad de los enteros a un dominio cualquiera. Muchas de las de-
mostraciones tienen tal similitud con hechos ya demostrados que bastará con
remitirse al caṕıtulo uno.
Definición 4.10.1. Sea D un dominio de enteros a, b en D, a �= 0. Se dice
que a|b si existe c en D tal que b = ac.
178 CAPÍTULO 4. ANILLOS
Definición 4.10.2. Dos elementos a, b en D se dicen asociados si a = bu,
donde u es una unidad de D.
El siguiente teorema que fue demostrado para los enteros, por su similitud
se deja a los estudiantes.
Teorema 4.10.1. Sea D un dominio de enteros, entonces
1. Si a|b y a|c, a|(bx± cy) para x, y en D. En particular a|(b± c).
2. Si a|b, entonces a|bx para todo x en D.
3. Si a|b y b|c, entonces a|c.
4. Si a|b y b|a, entonces a y b son asociados. ( a �= 0, b �= 0).
Definición 4.10.3. Sea D un dominio euclidiano a, b elementos de D. g ∈ D
se dice un máximo común divisor de a y b, notado g = (a, b), si g|a, g|b y
además si c|a y c|b, entonces c|g.
En los anillos conmutativos es posible que el máximo común divisor no exista,
pero en los dominios euclidianos su existencia está garantizada por el teorema
que a continuación se transcribe.
Teorema 4.10.2. Sea D un dominio euclidiano. a, b elementos de D no
simultáneamente nulos. Entonces existe un máximo común divisor de a y b.
Además g se puede expresar como una combinación lineal de a y b esto es,
existen r, s en D tales que g = ra+ sb.
Demostración. El conjunto N = {ra + sb r, s en D} es un ideal de D, en
efecto
(r1a+ s1b) + (r2a+ s2b) = (r1 + r2)a+ (s1 + s2)b ∈ N
0 = 0a+ 0b ∈ N
−(ra+ sb) = (−r)a+ (−s)b ∈ N
t(ra+ sb) = (ra+ sb)t = (rt)a+ (st)b ∈ N.
Como D es un dominio euclidiano, N es un ideal principal, entonces existe g
en D tal que N = (g), luego todo elemento de N es un múltiplo de g o sea,
para todo r, s en D, g|(ra + sb). Si s = 0, r = 1, se concluye que g|a. Por
otra parte si s = 1, r = 0 y por consiguiente g|b.
4.10. DIVISIBILIDAD 179
Si c|a, entonces c|b, c|(ra+ sb) para r, s en D y por tanto c|g. De donde
se deduce que g es un máximo común divisor de a y b y por la forma como
se ha escogido g, existen r, s en D tales que g = ra+ sb.
Sea g1 un máximo común divisor de a y b, entonces g|g1 y g1|g. Existe
por tanto k en D tal que,
g1 = kg
= k(ra+ sb)
= (kr)a+ (ks)b
= r1a+ s1b.
Se concluye que todo máximo común divisor de a y b es una combinación
lineal de a y b. Además, g1 = kg, g = tg1, con k, t en D, de donde se deduce
que g1 = (kt)g1 y de aqúı se obtiene que kt = 1 o sea, k es una unidad.
Al final se puede afirmar que dos máximos comunes divisores de a y b son
asociados.
El teorema anterior es un caso t́ıpico de existencia pero no describe un
algoritmo para hallar el máximo común divisor. El método de las divisiones
sucesivas usado en los enteros es un caso particular donde se ha tomado el
valor absoluto como el ν-valor euclidiano. En los ejercicios se da una genera-
lización del método de las divisiones sucesivas tomando un ν-valor euclidiano
cualquiera.
Definición 4.10.4. Sea D un dominio de enteros. Un elemento p �= 0 en D
que no sea una unidad, es un primo o irreducible si siempre que p = ab, con
a, b en D se tiene que uno de los dos, a o b es una unidad.
En los dominios euclidianos la inclusión y la divisibilidad van tomadas de la
mano. Si g es un máximo común divisor de a y b, g|a, g|b o a = gc y b = gd.
(a) + (b) = {ar + bs | ar ∈ (a), bs ∈ (b)}
es un ideal. Pero para algún par k, t de elementos de D, g = ak+ bt, luego g
pertenece a (a) + (b) y por consiguiente todos los múltiplos de g pertenecen
a (a) + (b), indicando que (g) ⊆ (a) + (b).
Si (ar + bs) pertenece a (a) + (b), reemplazando se obtiene el par de
igualdades,
ar = g(cr) y bs = g(ds),
180 CAPÍTULO 4. ANILLOS
entonces sumando se obtiene
ar + bs = g(cr + ds)
lo que indica que (ar + bs) ∈ (g), por lo que (a) + (b) ⊆ (g). Identificándose
el ideal (a) + (b) con el ideal (g).
En el estudio del álgebra elemental es común escribir un polinomio de
grado mayor que cero como el producto de dos polinomios no constantes cuyos
grados sean menores que el polinomio original, todav́ıa mejor, no es posible
descomponer en factores un polinomio indefinidamente sin llegar a factores
constantes es decir, polinomios de grado cero. Para el caso de los dominios de
ideales principales la tarea de descomponer un elemento en factores primos
no es obvia, y es el dilema que abordaremos a continuación, o sea, comprobar
que en todo dominio de ideales principales un elemento diferente de cero que
no es una unidad es el producto de irreducibles. Para el efecto tomemos el
dominio de ideales principales D.
Si a ∈ D, a �= 0 no es una unidad ni un primo, a = a1b1, donde ni a1 ni
b1 son unidades.
Si n ∈ (a), entonces n = at, con t ∈ D. Reemplazando y aplicando la
propiedad asociativa, n = a1(b1t), de donde se puede decir que n ∈ (a1) y de
aqúı se deduce que (a) ⊂ (a1).
Además (a) �= (a1). Si (a) fuera igual a (a1), se tuviera que a1 = ta para
t ∈ D. Reemplazando se tendŕıan las igualdades
a = a1b1 = a(tb1)
o sea, 1 = tb1 indicando que b1 seŕıa una unidad en contradicción con lo
supuesto inicialmente. En śıntesis (a) ⊂ (a1).
Si a1 = a2b2, donde ni a2 ni b2 son unidades. Siguiendo un proceso similar
se obtiene el ideal (a2) tal que (a1) ⊂ (a2).
Si ai = ai+1bi+1, para i un entero mayor o igual a 2, repitiendo el proceso
se llega a una sucesión estrictamente creciente de ideales
(a) ⊂ (a1) ⊂ (a2) ⊂ · · · ⊂ (an) ⊂ · · ·
Con respecto a esta sucesión se pueden demostrar dos cosas,
1. M =
⋃
(ai) con i un natural es un ideal. Donde (a) = (a0).
2. (a) ⊂ (a1) ⊂ (a2) ⊂ · · · ⊂ (an) ⊂ · · ·
es una sucesión finita.
4.10. DIVISIBILIDAD 181
Sean x, y en M, entonces existen ideales (ai), (aj) con x en (ai), y en (aj).
Supongamos que (ai) ⊂ (aj), luego x, y pertenecen a (aj) o sea, x± y, xy
pertenecen a (aj) y por lo tanto a M .
Además, 0 pertenece a M y por consiguiente 0− x = −x ∈ (aj) y por lo
ende a M . M es entonces un subgrupo de D.
Por otra parte, si x ∈ (ai), entonces para y en D, tanto xy como yx
pertenecena (ai) y por lo tanto pertenecen a M . En conclusión, M es un
ideal.
Como M es un ideal principal, existe d en D para el cual M = (d). Existe
entonces un natural r tal que d ∈ (ar), luego d = art, con t en D, dándose
en consecuencia que (d) ⊆ (ar), lo que equivale a decir que M ⊆ (ar), pero
(ar) ⊆M o sea, (ar) = M .
Sea (ar+1) tal que (ar) ⊆ (ar+1), entonces como (ar+1) ⊆ M ⊆ (ar), es
obvio que (ar+1) ⊆ (ar) o sea, (ar+1) = (ar). Más aún, ar es un primo.
Si ar = ar+1br+1, donde br+1 no es una unidad. Como (ar+1) = (ar), se
sigue que ar+1 = kar, con k en D o sea, ar = ar(kbr+1), y entonces 1 = kbr+1,
esto es, br+1 es una unidad, concluyéndose que ar es un primo.
Resumiendo la situación anterior afirmamos que la sucesión antes men-
cionada se debe reducir a la secuencia finita
(a) ⊂ (a1) ⊂ (a2) ⊂ · · · ⊂ (ar),
ar un primo. Las igualdades que dieron origen a la sucesión se reducen en
consecuencia a,
a = a1b1
a1 = a2b2
...
ar−1 = arbr
y por reemplazos sucesivos se escribe
a = a1b1
= a2b2b1
=
...
= arbrbr−1 · · · b3b2b1
= arb
182 CAPÍTULO 4. ANILLOS
indicando que a posee al menos un factor primo y un número finito de otros
factores.
Teorema 4.10.3. Sea D un dominio de ideales principales. Todo elemento
no nulo de D que no sea una unidad es el producto de un número finito de
factores primos.
Demostración. Si a ∈ D y a �= 0 no es una unidad, se debe demostrar que
debe tener al menos un factor primo. Si a es primo el problema está resuelto.
Si no lo es, el razonamiento anterior permite decir que posee al menos un
factor primo esto es, a = p1c1 con p1 un primo y c1 no es una unidad.
Siguiendo un proceso similar se afirma que (a) ⊂ (c1) y si c1 no es primo
debe tener al menos un factor primo o sea, c1 = p2c2, con p2 un primo y c2
no es una unidad, dándose la igualdad a = p1p2c2, y la sucesión de ideales
(a) ⊂ (c1) ⊂ (c2).
Si se continúa el proceso se debe llegar al final a una sucesión finita
estrictamente creciente de ideales principales, (a) ⊂ (c1) ⊂ (c2) ⊂ · · · ⊂ (cs),
con cs = ps+1 un primo y entonces a = p1p2p3 · · · ps+1.
Definición 4.10.5. Sea D un dominio euclidiano, a, b en D se dice que son
primos relativos si (a, b) = u, una unidad de D.
Teorema 4.10.4. Sea D un dominio euclidiano. Si para a, b, c en D, a|bc y
(a, b) = u, entonces a|c, donde u es una unidad de D.
Demostración. Es similar a la desarrollada en el caṕıtulo I.
Teorema 4.10.5. En un dominio de ideales principales (p) es maximal, si y
solo si, p es primo.
Demostración. Sea (p) un ideal maximal. Supongamos que p = ab. Como p
es múltiplo de a, entonces (p) ⊆ (a) y al ser (p) maximal, si (p) ⊆ (a) ⊆ D,
puede suceder que (p) = (a) o (p) = D. Si (p) = (a), existe d en D tal que
a = dp. Pero como p = ab, entonces a = a(db) o 1 = db, significando que b
debe ser una unidad.
Si (a) = D, como 1 pertenece a D, 1 debe ser un múltiplo de a, existiendo
u en D tal que 1 = au, implicando que a es una unidad.
Se ha demostrado que si p = ab, a o b deben ser unidades y por consi-
guiente p debe ser un primo.
Rećıprocamente, supongamos que p es primo en D.
4.10. DIVISIBILIDAD 183
Sea (a) un ideal tal que (p) ⊆ (a) ⊆ D. La primera contenencia implica
que p = ab.
Si a es una unidad, a−1 ∈ D, entonces todo elemento x de D se pue-
de expresar como un múltiplo de a, esto es, x = a(a−1x), concluyéndose
que x es un elemento de (a) y en consecuencia D ⊆ (a) y como (a) ⊆ D,
necesariamente (a) = D.
Si a no es una unidad, b es necesariamente una unidad, por tanto existe
u en D tal que 1 = bu.
Ahora, pu = abu = a. De estas igualdades se concluye que (a) ⊆ (p) y de
esta contenencia se llega a afirmar que (a) = (p). De este hecho y el anterior
se infiere que (p) es maximal.
En el anillo de los enteros se pueden caracterizar ahora los ideales maxi-
males como los generados por los números primos. Por ejemplo, (2), (3), (17)
son algunos ideales maximales.
Teorema 4.10.6. Sea D un dominio de ideales principales, p un primo. Si
p|ab, entonces p|a o p|b.
Demostración. Sea p un primo tal que p|ab, entonces ab = tp, para t en D,
aśı que (ab) ⊆ (p) o ab ∈ (p). Pero todo ideal maximal es primo, luego (p)
es un ideal primo. Si ab ∈ (p), entonces a ∈ (p) o b ∈ (p) y estas dos últimas
afirmaciones significan que p|a o p|b.
Corolario. Sea D un dominio de ideales principales, p un primo. Si p divide
al producto a1a2 · · ·an (ai en D), entonces p|ai para algún i.
Demostración. Se deja a los interesados.
Finalmente se puede demostrar que la factorización en elementos primos
es única salvo el uso de asociados.
Teorema 4.10.7. Sea D un dominio de ideales principales, a �= 0 un elemen-
to de D que no es una unidad. Supongamos que a = p1p2 · · · pr = q1q2 · · · qs,
donde cada uno de los pi y cada uno de los qj es primo. Entonces r = s y
cada uno de los pi es asociado con algún qj y rećıprocamente, (1 ≤ i ≤ r, 1 ≤
j ≤ s).
Demostración. Con ligeros cambios es la misma dada para los enteros.
Como p1p2 · · · pr = q1q2 · · · qs y p1 es uno de los factores de a,
p1|q1q2 · · · qs,
184 CAPÍTULO 4. ANILLOS
luego p1|qj, 1 ≤ j ≤ s. Además,
p1p2 · · · pr = q1q2 · · · qs
o sea,
p2 · · ·pr = u1q2 · · · qs.
Siguiendo un proceso similar y reordenando los ı́ndices en caso de ser nece-
sario se observa que
p2|q2, . . . , pr|qs o q2 = p2u2, . . . , qs = prur
donde u2,. . . , ur son unidades, lo que es igual a decir que cada uno de los pi
es asociado de algún qj .
Sin pérdida de generalidad se puede suponer que r < s, y en tal caso
cancelando sucesivamente se llega a que,
1 = u1u2 · · ·urqr+1 · · · qs
lo que es imposible porque cada uno de los qj es primo, para r + 1 ≤ j ≤ s,
y en consecuencia, r = s.
4.11. Dominios de factorización única
Hasta el momento se han estudiado dominios donde es posible factorizar
elementos como el producto de un número finito de irreducibles. Ahora nos
proponemos caracterizarlos.
Definición 4.11.1. Un dominio de enteros es un dominio de factorización
única si,
1. Todo elemento de D diferente de cero que no sea una unidad puede
factorizarse como el producto de un número finito de irreducibles.
2. Si p1p2 · · · pr y q1q2 · · · qs son dos factorizaciones en irreducibles del
mismo elemento de D, entonces, r = s y los qj se pueden reordenar de
tal manera que pi, qi sean asociados.
Damos un paso en la caracterización que estudiamos con el,
Teorema 4.11.1. Todo dominio de ideales principales es un dominio de
factorización única.
4.12. EL CAMPO DE COCIENTES DE UN DOMINIO 185
Demostración. Es una consecuencia de los teoremas 4.10.3 y 4.10.7.
Corolario. Z es un dominio de factorización única.
Demostración. Debido a que Z es un dominio de ideales principales, el coro-
lario se obtiene como consecuencia del teorema anterior.
EJERCICIOS
1. Demuestre que en un anillo conmutativo con elemento unitario, la re-
lación “a es asociado de b” es una relación de equivalencia.
2. Demuestre que en un dominio euclidiano dos máximos común divisores
de a y b son asociados.
3. Demuestre que a es una unidad del dominio euclidiano A si y solo si
ν(a) = ν(1).
4. Demuestre que si a+bi es una unidad en los enteros gaussianos, entonces
ν(a+ bi) > 1.
5. Hallar el máximo común divisor en los enteros gaussianos de 5 + 4i y
4− 5i.
6. Sea D un dominio euclidiano. Demostrar que si a y b son asociados en
D, entonces ν(a) = ν(b).
7. Determı́nense todos los elementos primos en el dominio de los enteros
gaussianos.
8. Considere A∗ el conjunto de los elementos diferentes de cero del dominio
euclidiano A. Demostrar que si el entero n es tal que n + ν(1) > 0,
γ : A∗ −→ Z está definida por la igualdad γ(a) = ν(a) + n para todo a
en A∗, entonces γ(a) es también un ν-valor euclidiano en A.
4.12. El campo de cocientes de un dominio
Un anillo A está sumergido en un anillo A′ si se puede establecer un
isomorfismo de A en A′. Si ambos anillos tienen elemento unitario, estos
deben corresponderse. A′ se dice en este caso que es una extensión de A.
186 CAPÍTULO 4. ANILLOS
Con esta idea en menteveremos que todo dominio puede sumergirse en un
campo.
Dado un dominio D no siempre es posible que todo elemento no nulo
tenga su inverso respecto al producto, pero a pesar de esta restricción es
posible la construcción de un campo mı́nimo F que contenga a D y a todos
los elementos de la forma a/b, con a, b en D, b �= 0.
El campo en consideración se denomina el campo de los cocientes de D.
La construcción de F es idéntica a la construcción de los racionales a partir
de los enteros. Q es entonces el campo de cocientes de Z.
Sea S un subconjunto del producto cartesiano D × D definido por la
igualdad
S = {(a, b) | a, b en D y b �= 0}.
Los elementos de S con algunos arreglos son los candidatos a representar los
cocientes a/b, si pensamos en establecer la correspondencia (a, b) −→ a/b.
Antes de establecerla se deben definir algunos conceptos preliminares. Como
no hay garant́ıa que tal correspondencia sea uno a uno, es posible que parejas
diferentes representen el mismo cociente. Para mejorar la idea, se conviene
en afirmar que dos parejas son “equivalentes” cuando representan el mismo
cociente, convención que nos induce a pensar en una relación de equivalencia.
Definición 4.12.1. Sean (a, b), (c, d) elementos de S. Se dice que (a, b) es
equivalente con (c, d), notado (a, b) ∼ (c, d) si y solo si ad = bc.
La relación anterior es de equivalencia ya que,
1. (a, b) ∼ (a, b) si y solo si ab = ba. Igualdad que es cierta dado que el
producto en D es conmutativo.
2. Por otra parte las siguientes proposiciones son equivalentes.
(a, b) ∼ (c, d) si y solamente si ad = bc.
Por la propiedad conmutativa del producto cb = da.
Y esta última igualdad es válida si y solamente si (c, d) ∼ (a, b).
3. Igualmente (a, b) ∼ (c, d) y (c, d) ∼ (e, f) equivale a ad = bc y cf = de.
Multiplicando miembro a miembro se obtiene adcf = bcde.
Aplicando las propiedades asociativa y conmutativa afdc = bedc.
Por la propiedad cancelativa af = be.
igualdad equivalente a firmar que (a, b) ∼ (e, f).
4.12. EL CAMPO DE COCIENTES DE UN DOMINIO 187
Se define la clase de equivalencia
[
(a, b)
]
aśı,[
(a, b)
]
= {(x, y) en S | (x, y) ∼ (a, b)}
La equivalencia ∼ induce una partición de S en conjuntos no vaćıos disyuntos
dos a dos, cuya unión es todo S. Con estas ideas en mente no hay duda que
toda pareja (a, b) de S pertenece a la clase
[
(a, b)
]
y para cualesquiera dos
parejas (a, b), (c, d) en S
[
(a, b)
]
= [
(
c, d)
]
o
[
(a, b)
] ∩ [(c, d)] = ∅.
El conjunto cociente S/ ∼ es el campo F que se desea construir. Para
tal fin es indispensable definir dos operaciones binarias en F aśı,
Definición 4.12.2. Sean (a, b), (c, d) en F. La suma y el producto se definen
respectivamente por las igualdades,
(a, b) + (c, d) = (ad+ bc, bd).
(a, b)(c, d) = (ac, bd).
Estas operaciones están bien definidas, veamos. Como
[
(a, b)
]
,
[
(c, d)
]
per-
tenecen a F , las parejas (a, b), (c, d) pertenecen a S, entonces a, b, c, d
pertenecen a D. Además bd �= 0, lo que indica que (ad+ bc, bd), (ac, bd) son
elementos de S.
Sean (a1, b1) ∈
[
(a, b)
]
, (c1, d1) ∈
[
(c, d)
]
. Se debe demostrar que la suma
(a1d1 + b1c1, b1d1) ∈
[
(ad+ bc, bd)
]
y el producto (a1c1, b1d1) ∈
[
(ac, bd)
]
.
Pero (a1, b1) ∼ (a, b) y (c1, d1) ∼ (c, d) o sea,
a1b = b1a y c1d = d1c.
Multiplicando la primera igualdad por d1d y la segunda por b1b, sumando
miembro a miembro, conmutando, asociando y factorizando se obtiene,
(a1d1 + b1c1)bd = b1d1(ad+ bc)
igualdad equivalente a la expresión,
(a1d1 + b1c1, b1d1) ∼ (ad+ bc, bd)
luego,
(a1d1 + b1c1, b1d1) ∈
[
(ad+ bc, bd)
]
.
Multiplicando miembro a miembro las igualdades,
a1b = b1a y c1d = d1c
188 CAPÍTULO 4. ANILLOS
se obtiene
a1c1bd = b1d1ac
igualdad equivalente a afirmar que
(a1c1, b1d1) ∼ (ac, bd).
Luego, (a1c1, b1d1) ∈
[
(ac, bd)
]
.
Concluyéndose que la suma y el producto están bien definidos, lo que
significa que sin importar los representantes de S que se escojan al momento
de operar, se obtendrá el mismo resultado.
Teorema 4.12.1. F con las operaciones anteriormente definidas es un campo
con la clase
[
(0, 1)
]
como módulo aditivo y
[
(−a, b)] como inverso aditivo de[
(a, b)
]
. El elemento unitario es
[
(1, 1)
]
y además, si
[
(a, b)
]
no es el idéntico
aditivo, entonces a �= 0 y [(b, a)] es el inverso de [(a, b)] para el producto.
Demostración. Se debe demostrar con respecto a la adición: Que es asocia-
tiva, que existe elemento de identidad, que es inversible, que es conmutativa.
Con respecto al producto: Que es asociativo, que es conmutativo, que
verifica las propiedades distributivas, que posee elemento de identidad, que
es inversible.
Se demostrarán solamente dos propiedades dejando el resto a los intere-
sados.
Propiedad conmutativa de la suma.[
(a, b)
]
+
[
(c, d)
]
=
[
(ad+ bc, bd)
]
=
[
(cb+ da, db)
]
=
[
(c, d)
]
+
[
(a, b)
]
.
Las igualdades anteriores son válidas porque la suma y el producto son con-
mutativos en D.
Sea
[
(a, b)
] �= [(0, 1)]. Si a = 0, entonces (a, b) ∼ (0, 1) ya que a×1 = b×0.
Luego
[
(a, b)
]
=
[
(0, 1)
]
significando que
[
(0, 1)
]
es el idéntico aditivo. Por
consiguiente, si
[
(a, b)
] �= [(0, 1)], a �= 0.
Veamos que sucede con el producto [(a, b)][(b, a)].[
(a, b)
][
(b, a)
]
=
[
(ab, ba)
]
.
Pero (ab, ba) ∼ (1, 1), ya que ab× 1 = ba× 1.
Entonces, [
(ab)
][
(b, a)
]
=
[
(1, 1)
]
.
4.12. EL CAMPO DE COCIENTES DE UN DOMINIO 189
Veamos cómo es posible encontrar un isomorfismo entre D y un subdominio
de F , de manera que podamos sumergir a D en dicho subdominio. Para el
efecto, Sea F1 = {(a, 1) | a ∈ D} ⊆ F .
En primera instancia
[
(0, 1)
]
y
[
(1, 1)
]
son elementos de F1.
Sean
[
(a, 1)
]
,
[
(b, 1)
]
elementos de F1, entonces,[
(a, 1)
]
+
[
(b, 1)
]
=
[
(a+ b, 1)
] ∈ F1
[
(a, 1)
][
(b, 1)
]
=
[
(ab, 1)
] ∈ F1.
Además
[
(−a, 1)] también pertenece a F1. En śıntesis, F1 es un subdominio
de F .
Tome la aplicación φ : D −→ F1 definida por la igualdad aφ =
[
(a, 1)
]
.
Supongamos que
[
(a, 1)
]
=
[
(b, 1)
]
, de modo que (a, 1) ∼ (b, 1) y por
consiguiente, a× 1 = b× 1, es decir, a = b. Luego φ es inyectivo.
Es indudable que φ es sobre, porque para todo
[
(a, 1)
]
en F1, existe a en
D tal que aφ =
[
(a, 1)
]
.
Además,
(a+ b)φ =
[
(a+ b, 1)
]
=
[
(a, 1)
]
+
[
(b, 1)
]
= aφ+ bφ.
(ab)φ =
[
(ab, 1)
]
=
[
(a, 1)
][
(b, 1)
]
= aφ bφ.
Se ha demostrado que φ es un isomorfismo entre D y un subdominio de F .
Teorema 4.12.2. Cualquier dominio D puede ser sumergido en un campo F
de tal manera que todo elemento de F pueda ser expresado como el cociente
de dos elementos de D. F se denomina un campo de cocientes de D.
Demostración. En la demostración de este teorema y en el siguiente, aśı como
en los corolarios se usará la expresión x/y para indicar el cociente entre x, y,
esto es, xy−1.
190 CAPÍTULO 4. ANILLOS
Como φ : D −→ F1 definido en el párrafo anterior es un isomorfismo,
ninguna propiedad de D se pierde si identificamos cada elemento a en D con
la clase
[
(a, 1)
]
. De esta manera sumergimos a D en F .
Sea
[
(a, b)
]
un elemento de F1, entonces,[
(a, b)
]
=
[
(a, 1)
][
(1, b)
]
=
[
(a, 1)
][
(b, 1)
]−1
=
[
(a, 1)
]/[
(b, 1)
]
= aφ/bφ.
El campo F es en cierto sentido el campo mı́nimo que contiene aD. Cualquier
otro campo F ′ que contenga a D contiene un subcampo F ′0 isomorfo con F ,
en este isomorfismo cada elemento de D se corresponde consigo mismo.
Teorema 4.12.3. Sea φ : D −→ D′ un isomorfismo entre los dominios D,
D′. Sea F un campo de cocientes de D y sea F ′ un campo que contiene a
D′. Entonces existe un isomorfismo ψ entre F y un subcampo de F ′ tal que
aψ = aφ, para todo a en D.
Demostración. Todo x en F es el cociente a/b, con a, b en D, b �= 0.
Definamos ψ por la igualdad (a/b)ψ = aφ/bφ. Se debe demostrar que ψ
está bien definido. Como φ es un isomorfismo, si b �= 0, bφ �= 0, aφ/bφ tiene
sentido.
Como
[
(a, b)
]
=
[
(c, d)
]
equivale a que ad = bc, se puede decir que si
a/b = c/d en F , entonces ad = bc en D,luego (ad)φ = (bc)φ, pero por
ser φ un isomorfismo, (aφ)(dφ) = (bφ)(cφ) y por tanto se puede escribir
aφ/bφ = cφ/dφ.
La última igualdad significa, (a/b)ψ = (c/d)ψ en F ′, aśı que ψ está bien
definida.
También,
(a/b+ c/d)ψ =
(
(ad+ bc)/bd)
)
ψ
= (ad+ bc)φ/(bd)φ
= (aφ dφ+ bφ cφ)/(bφ)(dφ)
= aφ/bφ+ cφ/dφ
= (a/b)ψ + (c/d)ψ
4.12. EL CAMPO DE COCIENTES DE UN DOMINIO 191
Igualmente, (
(a/b)(c/d)
)
ψ = (ac/bd)φ
= aφ cφ/bφ dφ
= (aφ/bφ)(cφ/dφ)
= (a/b)ψ (c/d)ψ.
Supongamos que (a/b)ψ = (c/d)ψ. Entonces,
aφ/bφ = cφ/dφ o aφ dφ = bφ cφ
es decir, (ad)φ = (bc)φ.
Pero como φ es inyectiva, ad = bc o sea, a/b = c/d. En śıntesis ψ es
inyectiva.
ψ es un isomorfismo de F con F (ψ) y por supuesto F (ψ) es un subcampo
de F ′.
Finalmente, sea a en D, Entonces, aψ = (a/1)ψ.
Pero (a/1)ψ = aφ/1φ = aφ, ya que 1φ es el elemento de identidad para
D′. Por la propiedad transitiva de la igualdad, aψ = aφ.
Corolario. Todo campo F ′ que contiene un dominio D, contiene un campo
de cocientes de D.
Demostración. En el teorema anterior tome D = D′ y la aplicación idéntica.
Sea F un campo de cocientes de D, entonces para todo a/b en F ,
(a/b)ψ = aφ/bφ = a/b.
Dándose en conclusión que F ≈ F (ψ) ⊆ F ′ o sea, F ′ contiene un campo de
cocientes de D.
Corolario. Cualesquiera dos campos de cocientes de un dominio D son iso-
morfos.
Demostración. En el teorema anterior suponga que F ′ es un campo de co-
cientes de D′, entonces todo elemento de F ′ puede ser expresado como el
cociente de elementos de D′ esto es, x/y, con x, y en D′, y �= 0.
Por ser φ sobreyectiva se afirma que existen a, b, en D tales que aφ = x,
bφ = y. En consecuencia, (a/b)ψ = x/y, es decir ψ es sobre F ′.
Tome D = D′, φ la aplicación idéntica y F un campo de cocientes de
D, entonces como en el corolario anterior F ≈ F (ψ) = F ′. La igualdad se
verifica por ser ψ sobre. En śıntesis, F ≈ F ′. La relación ≈ es la relación de
isomorfismo.
192 CAPÍTULO 4. ANILLOS
EJERCICIOS
1. Demostrar el teorema 4.12.1.
2. Sea A un anillo conmutativo, N �= {0} un subconjunto no vaćıo de A,
cerrado para el producto y que no contiene divisores de cero. A partir
de A×N se puede construir un anillo de cocientes Q (de una manera
similar a como se hizo en la discusión previa) donde A esté sumergido.
Se pide demostrar sólo lo siguiente:
a) Q tiene elemento unitario, aśı A no lo tenga.
b) En Q cada elemento diferente de cero de N es una unidad.
4.13. Caracteŕısticas de Dominios y Campos
Considerando D como un anillo, la ley de composición externa
Δ×D −→ D (Δ = Z)
(n, a)→ na = a+ a+ · · ·+ a︸ ︷︷ ︸
n sumandos
(0, a)→ 0a = 0
(−n, a)→ (−n)a = (−a) + (−a) + · · ·+ (−a)︸ ︷︷ ︸
n sumandos
,
se demostró que convierte a D en un Δ-anillo, teniéndose por definición que
(na)b = n(ab) = a(nb).
En la teoŕıa de grupos se demostró que,
1. (ma)(na) = (m+ n)a.
2. m(na) = (mn)a.
3. (ma)(nb) = (mn)(ab).
Para el caso de Zp, sea a ∈ Zp. Como [ p ] = [ 0 ], son válidas las igualdades,
[ pa ] = [ p ][ (a) ] = [ 0 ].
4.13. CARACTERÍSTICAS DE DOMINIOS Y CAMPOS 193
Obteniéndose entonces,
pa = a+ a+ · · ·+ a︸ ︷︷ ︸
p sumandos
= 0.
Lo que significa que el orden de a en el grupo aditivo Zp es p o un divisor de
p. Pero p no tiene divisores diferentes de 1 y śı mismo, esto quiere decir que
el orden de a es p, siendo a un elemento cualquiera no nulo de Zp.
En el caso de los enteros, el hecho de ser ab = 0, implica que a es cero o
b es cero. Con base en lo anterior decimos que
a+ a+ a+ · · ·+ a = 0
si y solo si a = 0. Se concluye que en los enteros el orden de cualquier
elemento no nulo es cero. Los anteriores solo son casos particulares de la
siguiente generalización.
Teorema 4.13.1. En el grupo aditivo de un dominio de enteros, los elemen-
tos no nulos tienen el mismo orden.
Demostración. Sea a un elemento no nulo del dominio D de orden n. Enton-
ces n es el menor entero positivo tal que na = 0. Sea b un elemento no nulo
de D. Se debe demostrar que na = 0, si y solo si nb = 0.
Si na = 0, b(na) = 0. Pero
b(na) = (bn)a
= (nb)a
= 0.
Simplificando a se obtiene nb = 0, luego el orden de b es n.
Si el orden de b es n, nb = 0 y de aqúı se concluye que na = 0 o sea, el
orden de a también es n.
Se concluye que los elementos no nulos del dominio D considerado como
grupo aditivo, tienen todos el mismo orden.
El teorema 4.13.1 da origen a la siguiente definición,
Definición 4.13.1. Se llama caracteŕıstica de un dominio D al orden común
de los elementos no nulos del grupo aditivo D.
194 CAPÍTULO 4. ANILLOS
Si D es un dominio con elemento unitario 1 se puede afirmar que la carac-
teŕıstica deD es el menor entero positivo n tal que n×1 = 0. Si n×1 �= 0, para
cualquier entero positivo n, se dice que D tiene caracteŕıstica cero. Algunos
autores dicen que es de caracteŕıstica infinita o que no tiene caracteŕıstica.
Teorema 4.13.2. La caracteŕıstica de un dominio es cero o un número pri-
mo.
Demostración. Suponga que D tiene caracteŕıstica m = rs, donde r, s no
son unidades. Entonces
m× 1 = 0
= (rs)× 1
= (r × 1)(s× 1)
luego r× 1 = 0 o s× 1 = 0. Si r× 1 = 0, m|r o r = mk. Reemplazando m se
deduce la igualdad r = (rs)k. Eliminando r se obtiene 1 = sk indicando que
r es una unidad lo que va en contra de la hipótesis. Similarmente, si s×1 = 0,
se deduce que r debe ser una unidad contradiciendo la hipótesis. Se concluye,
en consecuencia, que si m = rs, s es una unidad o r es una unidad y de esto
se infiere que m debe ser primo. En śıntesis, D tiene caracteŕıstica un primo,
o es de caracteŕıstica cero. Si la caracteŕıstica es el primo p, entonces pa = 0.
Si es cero, pa = 0 si y solo si a = 0.
Los dominios t́ıpicos de caracteŕıstica cero o p son los enteros o Zp res-
pectivamente. Los racionales, los reales, los complejos y los polinomios con
coeficientes racionales son dominios con caracteŕıstica cero. El último de los
nombrados será objeto de discusión posterior. Obsérvese que cada uno de
los dominios mencionados contiene a los enteros. Esta situación se puede
generalizar diciendo que cualquier dominio de caracteŕıstica cero contiene a
los enteros o a un dominio isomorfo con ellos. Igual situación ocurre con los
dominios de caracteŕıstica p, resultados que se sintetizan en los dos teoremas
que siguen.
Teorema 4.13.3. En un dominio con elemento unitario de caracteŕıstica
cero, el subgrupo aditivo generado por el elemento unitario es un dominio
isomorfo con los enteros.
Demostración. Sea D un dominio con elemento unitario de caracteŕıstica
cero. Sea
G = {n× 1 | n ∈ Z},
4.13. CARACTERÍSTICAS DE DOMINIOS Y CAMPOS 195
el subgrupo ćıclico generado por el elemento unitario. Para m, n enteros
(m× 1)(n× 1) = (mn)× 1,
indicando que G es cerrado para el producto. Además,
m× 1± n× 1 = (m± n)× 1.
También 1 está en G. Se dice entonces que G es un subdominio de D con
caracteŕıstica cero. Si no lo fuera, existiera p �= 0 en Z en tal forma que
p× 1 = 0, pero p× 1 pertenece a D, luego D no seŕıa de caracteŕıstica cero.
Considérese φ : G −→ Z, definida por la igualdad (n× 1)φ = n.
φ es indudablemente una biyección. Por otra parte,
(m× 1 + n× 1)φ = ((m+ n)× 1)φ
= m+ n
= (m× 1)φ+ (n× 1)φ.
Además (
(m× 1)(n× 1))φ = ((m× n)× 1)φ
= mn
=
(
(m× 1)φ)((n× 1)φ).
Se ha demostrado que φ es un isomorfismo de G sobre Z.
Teorema 4.13.4. En un dominio con elemento unitario de caracteŕıstica
p, el subgrupo aditivo generado por el elemento unitario es un subdominio
isomorfo con Zp.
Demostración. El subgrupo aditivo G generado por 1 consta de los elementos
1, 2× 1, 3× 1, . . . , (p− 1)× 1, p× 1 = 0. En total p elementos. Es cerrado
para la suma y el producto, contiene el elemento unitario 1, aśı como el cero,
y todo elemento contiene su inverso aditivo. Es por tanto un subdominio. La
función φ : G −→ Zp definida por (n× 1)φ = n es una biyección.
Si (n× 1)φ = (m× 1)φ, entonces [n ] = [m ], lo que implica afirmar que
n ≡ m mod p o sea n−m = 0. Entonces (n−m)× 1 = 0 y en consecuencia
n× 1−m× 1 = 0, es decir, n× 1= m× 1 indicando que φ es uno a uno.
196 CAPÍTULO 4. ANILLOS
Todo elemento n de Zp es representante de una clase [n ] y como cada
elemento de G puede ser escrito en la forma n× 1, y este elemento es tal que
(n,1)φ = [n ], de aqúı se concluye que φ es sobre. Además,
(n× 1 +m× 1)φ = ((n+m)× 1)φ
= [n+m ]
= [n ] + [m ]
= (n× 1)φ+ (m× 1)φ.
Con respecto al producto, se verifican las igualdades(
(n× 1)(m× 1))φ = ((nm)× 1)φ
= [nm ]
= [n ][m ]
=
(
(n× 1)φ)((m× 1)φ).
φ es un isomorfismo de G sobre Zp.
Teorema 4.13.5. Un campo tiene caracteŕıstica p un primo y contiene un
campo isomorfo a Zp o es de caracteŕıstica cero y contiene un campo isomorfo
a Q.
Demostración. Por el hecho de ser todo campo un dominio, los resultados
obtenidos acerca de la caracteŕıstica son extensibles a los primeros. Si el
campo F tiene caracteŕıstica p, el subgrupo aditivo generado por el elemento
unitario además de ser un dominio resulta ser necesariamente un subcampo
isomorfo a Zp ya que este último es un campo, por ser p primo. Si F tiene
caracteŕıstica cero el subgrupo aditivo D generado por el elemento unitario
es un dominio isomorfo con los enteros. El campo de cocientes de D es un
subcampo de F conformado por los cocientes m× 1/n× 1 con n diferente de
cero. La correspondencia descrita en la forma m×1/n×1 −→ m/n conserva
las operaciones de F llevándonos a identificar los elementos m× 1/n× 1 con
los racionales m/n. De esta manera todo campo de caracteŕıstica cero debe
contener los racionales o cualquier campo isomorfo con ellos. Similarmente
cualquier campo de caracteŕıstica p debe contener al campo Zp. Con esta
convención los campos Q y Zp son los campos “mı́nimos”, llamados campos
primos.
4.13. CARACTERÍSTICAS DE DOMINIOS Y CAMPOS 197
En los dominios de caracteŕıstica cero, si el producto de dos factores es
igual a cero, por lo menos uno de los factores debe ser cero, cosa que no es
cierta en los dominios de caracteŕıstica p. En un dominio de caracteŕıstica
cero la fórmula del binomio para un exponente natural viene dada por(
a+ b
)n
= an +
(
n
1
)
an−1b+
(
n
2
)
an−2b2 + · · ·+ bn,
donde los coeficientes
(
n
r
)
son enteros.
Si D es un dominio de caracteŕıstica p, entonces(
a+ b
)p
= ap +
(
p
1
)
ap−1b+
(
p
2
)
ap−2b2 + · · ·+ bp.
Donde (
n
r
)
=
p !
(p− r)!r! 1 ≤ r ≤ p.
Como r < p y p − r < p, los factores de (p − r)! y de r! son todos primos
relativos con p y en consecuencia
(
p
r
)
tiene a p como factor 1 ≤ r ≤ p o
equivalentemente
(
p
r
)
es un múltiplo de p, lo que en Zp significa que
(
p
r
)
= 0.
De lo anterior se deduce que,(
a+ b
)p
= ap + 0 + 0 + · · ·+ 0 + bp.
También, puede establecer la igualdad,(
a− b)p = ap − bp.
El conjunto Dp = {ap | a ∈ D} es un subdominio de D.
La función φ : D −→ Dp definida por aφ = ap es una biyección. Además,
(a+ b)φ = ap + bp
= aφ+ bφ,
(ab)φ = (ab)p
= apbp
= (aφ)(bφ).
φ es entonces un isomorfismo de D sobre Dp.
Si D = Zp, φ es la función idéntica.
198 CAPÍTULO 4. ANILLOS
Por el teorema de Fermat,
a ≡ ap mod p,
entonces
aφ = ap ≡ a mod p.
Lo que en el lenguaje de Zp significa que aφ = a. En conclusión, la correspon-
dencia a −→ ap establece isomorfismos entre el dominio D de caracteŕıstica
p y los subdominios Dp para todos los elementos de D.
EJERCICIOS
1. Hallar la caracteŕıstica de los siguientes anillos:
a) 2Z.
b) Z + Z.
c) Z3 + Z4.
2. Demostrar que la caracteŕıstica de un subdominio del dominio D es
igual a la caracteŕıstica de D.
Caṕıtulo 5
ANILLOS DE POLINOMIOS
5.1. Construcción del anillo F [ x ]
El interés primordial del estudio de los polinomios radica en su presentación
como elementos de un dominio euclidiano, que ha heredado su carácter de
tal, del campo que les da vida. Las propiedades algebraicas del anillo de los
polinomios son fundamentales en la construcción de las extensiones de los
campos, motivo por el cual su desarrollo se sustentará principalmente en el
análisis de dichas propiedades.
Una forma de construir el anillo F [ x ] consiste en tomar sucesiones infi-
nitas
(a0, a1, . . . , an, . . . )
de elementos de un campo F , donde los ai son iguales a cero excepto para
un número finito de ellos. Tomar S como el conjunto de todas las sucesiones
aśı construidas y definir dos operaciones en la forma siguiente:
(a0, a1, . . . , an, . . . ) + (b0, b1, . . . , bn, . . . ) = (a0 + b0, a1 + b1, . . . , an + bn, . . . )
(a0, a1, . . . , an, . . . )(b0, b1, . . . , bn, . . . ) = (c0, c1, . . . , cn, . . . )
donde
ci =
∑
j+k=i
ajbk i = 0, 1, 2, 3, . . .
Fundamentándose en estas definiciones, demostrar que 〈S,+, ·〉 es un anillo
con elemento unitario (1, 0, 0, . . . , 0, . . . ). Siguiendo este orden de ideas, cons-
truir F ′ con los elementos de S que tienen la forma (a, 0, 0, . . . , 0, . . . ), para
199
200 CAPÍTULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
cualquier a de F. Comprobar que F ′ con las operaciones de S es un campo.
Definir la aplicación
φ : F −→ F ′
dada por la igualdad,
aφ = (a, 0, 0, . . . , 0, . . . )
que efectivamente es una aplicación y además cumple,
(a+ b)φ = (a+ b, 0, 0, . . . , 0, . . . )
= (a, 0, 0, . . . , 0, . . . ) + (b, 0, 0, . . . , 0, . . . )
= aφ+ bφ.
(ab)φ = (a, 0, 0, . . . , 0, . . . )(b, 0, 0, . . . , 0, . . . )
= (ab, 0, 0, . . . , 0, . . . )
= (aφ)(bφ).
Para concluir que φ es un isomorfismo entre F y F ′ que identifica el elemento
a de F con la sucesión (a, 0, 0, . . . , 0, . . . ) de F ′, pudiéndose escribir
a = (a, 0, 0, . . . , 0, . . . ).
Finalmente, definir x como la sucesión
(0, 1, 0, . . . , 0, . . . )
y a partir de aqúı demostrar que x2 está representada por (0, 0, 1, . . . , 0, . . . )
y en general xk viene dado por
(0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . )
donde el elemento 1 está ubicado en la posición (k + 1)–ésima y los demás
son ceros.
Con estas consideraciones, se establece la igualdad
axk = (0, 0, . . . , 0, a, 0, . . . ).
Cualquier elemento (a0, a1, . . . , an, 0, . . . ) puede ahora representarse en la for-
ma,
a0 + a1x+ · · ·+ anxn + · · ·
5.1. CONSTRUCCIÓN DEL ANILLO F [X ] 201
tomando el nombre de polinomio con coeficientes a0, . . . , an en el campo F .
La caracterización que se le dará a F [ x ] seguirá un camino diferente sin
preocuparse de lo que será el objeto x, simplemente considerándolo como una
indeterminada. Iniciamos con la definición que sigue.
Definición 5.1.1. Sea A un anillo. Un polinomio f(x)en la variable x con
coeficientes en A es una suma infinita
∞∑
n=0
anx
n = a0 + a1x+ · · ·+ anxn + · · ·
con an en A y an = 0 excepto para un número finito de valores de n. Los
an se denominan los coeficientes de f(x). El mayor de los n para los cuales
an �= 0 se denomina el grado de f(x) y se nota grf(x). Si tal n > 0 no existe,
se dice que f(x) es de grado cero.
Si f(x) es de grado n esto es, si an �= 0 y ai = 0 para i > n se conviene en
escribir
f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn.
Al término anx
n se le denomina el término principal, su coeficiente an es el
coeficiente principal. Si an = 1 el polinomio se llama mónico.
Los coeficientes iguales a 1 se omiten por simplicidad esto es, se escri-
be simplemente xk. Igualmente se omiten los términos con coeficiente cero,
excepto para el polinomio nulo f(x) = 0 al cual no se le asigna grado. El
polinomio f(x) = a (a ∈ A) se le nombra el polinomio constante y su grado
es cero siempre y cuando a sea diferente de cero.
Definición 5.1.2. Si f(x) =
∑∞
k=0 akx
k, g(x) =
∑∞
k=0 bkx
k son dos polino-
mios de grado k se dice que f(x) = g(x) si y solo si para todo entero k ≥ 0
ak = bk.
En śıntesis, dos polinomios son iguales si son del mismo grado y sus coefi-
cientes correspondientes son iguales.
La adición y el producto de polinomios se definen en la forma como pro-
bablemente se esperaba.
Definición 5.1.3. Si f(x) =
∑∞
k=0 akx
k, g(x) =
∑∞
k=0 bkx
k son dos polino-
mios de grado k, la adición y el producto se definen por las igualdades,
f(x) + g(x) =
∞∑
k=0
(
ak + bk
)
xk
202 CAPÍTULO 5. ANILLOS DEPOLINOMIOS
f(x)g(x) =
∞∑
k=0
(∑
i+j=k
aibjx
k
)
.
Se insiste en que los coeficientes de la suma y el producto son iguales a cero,
excepto para un número finito de ellos.
Ejemplo 5.1.1. En Z5. Sean f(x) = 4 + x, g(x) = 1 + 4x2.
Hallar f(x) + g(x) y f(x)g(x).
Solución.
f(x) + g(x) = (4 + 1) + (1 + 0)x+ (0 + 4)x2
= 0 + x+ 4x2
= x+ 4x2.
Por su parte
f(x)g(x) =
3∑
k=0
(∑
i+j=k
aibjx
k
)
.
Desarrollando la sumatoria se llega a
a0b0 + (a0b1 + a1b0)x+ (a0b2 + a1b1 + a2b0)x
2 + (a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0)x
3.
Reemplazando los valores correspondientes se obtiene
4×1+(4×0+1×1)x+(4×4+1×0+0×1)x2+(4×0+1×4+0×0+0×1)x3.
Efectuando operaciones y teniendo en cuenta que 4×4 = 1 se tiene finalmente
el polinomio
4 + x+ x2 + 4x3.
A pesar de la aparente complicación, note que la suma y el producto se
reducen a ejecutar las mismas operaciones entre polinomios descritas en el
álgebra elemental.
Se hab́ıa dicho que el conjunto de los polinomios en la indeterminada x
con coeficientes en A, esto es, A[ x ] tiene estructura de anillo. El siguiente
teorema garantiza este hecho.
Teorema 5.1.1. Sea A un anillo. El conjunto A[ x ] de los polinomios en
la indeterminada x con coeficientes en A, es un anillo con las operaciones
definidas anteriormente. Si A es conmutativo también lo es A[ x ]. Si A tiene
elemento unitario 1, el polinomio constante f(x) = 1 es el elemento unitario
de A[ x ].
5.1. CONSTRUCCIÓN DEL ANILLO F [X ] 203
Demostración. La forma como se ha definido la suma en función de los ele-
mentos del anillo A, garantiza que A[ x ] es un grupo abeliano. De no veri-
ficarse algunas propiedades en A[ x ], esas mismas propiedades tampoco se
verificaŕıan en A.
Las demostraciones de las propiedades asociativa del producto y distribu-
tiva corresponden al tipo de comprobaciones fáciles pero tediosas. La segunda
se presenta sin mayores justificaciones esperando que el lector acucioso supla
los detalles que faltan.
f(x)
[
g(x) + h(x)
]
=
∞∑
k=0
akx
k
[ ∞∑
k=0
bkx
k +
∞∑
k=0
ckx
k
]
=
∞∑
k=0
[ ∞∑
k=0
(bk + ck)x
k
]
=
∞∑
k=0
[ ∑
i+j=k
ai(bj + cj)x
k
]
=
∞∑
k=0
[ ∑
i+j=k
(aibjx
k + aicjx
k)
]
=
∞∑
k=0
[ ∑
i+j=k
aibjx
k +
∑
i+j=k
aicjx
k
]
=
∞∑
k=0
[ ∑
i+j=k
aibjx
k
]
+
∞∑
k=0
[∑
i+j=k
aicjx
k
]
= f(x)g(x) + f(x)h(x).
Las anteriores igualdades aseguran el cumplimiento de la propiedad distri-
butiva. De manera semejante se pueden demostrar las demás propiedades.
Puesto que el producto de A es conmutativo, se puede decir que,
f(x)g(x) =
∞∑
k=0
(∑
i+j=k
aibjx
k
)
=
∞∑
k=0
(∑
j+i=k
bjaix
k
)
= g(x)f(x).
204 CAPÍTULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
Finalmente, por la forma como se ha definido el producto, el polinomio cons-
tante f(x) = 1 es el elemento unitario de A[ x ], comprobando aśı la demos-
tración. Las propiedades no demostradas se asignan como ejercicios.
Si F es un campo, el conjunto de los polinomios en la indeterminada x
con coeficientes en F se denomina por extensión F [ x ]. Es fácil demostrar que
F [ x ] es un dominio de enteros. También lo es para D[ x ] si D es un dominio
de enteros. Antes de proceder a realizar la demostración se debe analizar una
condición preliminar enunciada mediante el teorema que sigue.
Teorema 5.1.2. Sea F un campo. Si f(x), g(x) son dos elemento no nulos
de F [ x ], entonces gr(f(x)g(x)) = grf(x) + grg(x).
Demostración. Supongamos que grf(x) = m, grg(x) = n, en consecuencia,
f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ amxm, am �= 0, ai = 0, si i > m.
g(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bnxn, bn �= 0, bj = 0, si j > m.
No se pierde generalidad al suponer que m > n.
f(x)g(x) =
∞∑
k=0
(∑
i+j=k
aibjx
k
)
= a0b0 +
∑
i+j=1
aibjx+ · · ·+
∑
i+j=m+n
aibjx
m+n.
Donde ∑
i+j=m+n
aibjx
m+n = (am+nb0 + · · ·+ a0bm+n)xm+n
= cm+nx
m+n.
Pero para cualquiera de los coeficientes aibj , 0 ≤ i ≤ m+ n, 0 ≤ j ≤ m+n,
observe que i+ j = m+ n, o equivalentemente, j = (m+ n)− i.
Supongamos que i < m, entonces i+ n < m+ n, o sea, n < (m+ n)− i.
Reemplazando esta última expresión por su equivalente j se sigue que n < j,
esto es, j > n y en consecuencia bj = 0 por hipótesis. En conclusión, si i < m,
el coeficiente aibj = 0. Similarmente, si j < n, ai = 0 luego aibj = 0.
Si i = m, j = n, am �= 0, bn �= 0 y por lo tanto el coeficiente de xm+n se
reduce a ambn esto es, cm+n = ambn �= 0.
5.1. CONSTRUCCIÓN DEL ANILLO F [X ] 205
Falta demostrar que ck = 0, para k ≥ m+ n+ 1,
ck = akb0 + ak−1b+ · · ·+ a0bk.
Para cualquier aibj , i + j = k ≥ m + n + 1, luego i + j ≥ m + n + 1, de
donde se deduce que (m+n+ 1)− i ≤ j. Suponiendo que i ≤ m, sumando a
ambos miembros n+ 1, aplicando las propiedades del caso y trasponiendo i,
se obtiene, n+1 ≤ (m+n+1)− i, y de aqúı n+1 ≤ j, lo que necesariamente
lleva a afirmar que bj = 0 esto es, aibj = 0.
Similarmente se concluye que si j ≤ n, ai = 0 y aibj = 0.
En śıntesis, el término principal de f(x)g(x) es exactamente ambnx
m+n.
Aplicando la definición se afirma que
gr((x)g(x)) = m+ n = grf(x) + grg(x).
El corolario que sigue precisa una idea que esperábamos.
Corolario. Si f(x), g(x) son dos polinomios no nulos de F [ x ], entonces
gr(f(x)) ≤ gr((x)g(x)).
Demostración. Como gr(g(x)) ≥ 0, entonces
gr(f(x)) ≤ grf(x) + grg(x) = gr(f(x)g(x)).
Con el argumento que sigue se pretende demostrar que F [ x ] es un domi-
nio de enteros, para lo cual considérense f(x), g(x) dos polinomios no nulos
de F [ x ].
Si ambos polinomios son de grado cero, existen a, b en F diferentes de
cero tales que f(x) = a, g(x) = b, de donde f(x)g(x) = ab �= 0. Como ab es
una constante de F , f(x)g(x) es de grado cero.
Si alguno es de grado mayor que cero, por ejemplo, si grf(x) = m > 0,
entonces gr(f(x)g(x)) = grf(x) + grg(x) ≥ m, luego f(x)g(x) es de grado
mayor que cero.
El anterior razonamiento se enuncia mediante el condicional: Si f(x), g(x)
son dos polinomios no nulos de F [ x ], entonces f(x)g(x) �= 0. La contraposi-
tiva indica que si f(x)g(x) = 0, entonces, f(x) = 0 o g(x) = 0.
Se ha comprobado que F [ x ] no tiene divisores de cero y por ende que
es un dominio de enteros. Ampliando el horizonte a F [ x ] se podŕıa pensar
que es un campo, para lo cual es indispensable hallar los inversos para el
producto.
Supongamos que f(x) tiene un polinomio inverso, esto es, existe g(x) tal
que f(x)g(x) = 1, entonces gr(f(x)g(x)) = grf(x) + grg(x) = 0, luego f(x)
206 CAPÍTULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
es de grado cero conduciendo a la conclusión que es un polinomio constante,
o sea los únicos que tienen inverso son los polinomios constantes. En palabras
equivalentes significa que las únicas unidades de F [ x ] son las unidades de F ,
comprobándose aśı que F [ x ] no es un campo, pero al ser un dominio se puede
construir el campo de cocientes compuesto por los cocientes de polinomios,
denominado el campo de las funciones racionales en x sobre F . El término
racional se usa por ser sus elementos razones de funciones.
La función grado se puede sugerir como el ν-valor necesario para convertir
a F [ x ] en un dominio euclidiano. Está definida para todo f(x) �= 0 y se ha
demostrado que:
1. grf(x) ≥ 0. (Es un entero no negativo).
2. grf(x) ≤ gr(f(x)g(x)), para f(x) �= 0.
Falta por demostrar que dados f(x), g(x) �= 0, existen q(x), r(x) en F [ x ]
tales que f(x) = q(x)g(x)+r(x), con r(x) = 0 o grr(x) < grg(x). Condiciones
que se sintetizan en el algoritmo de Euclides aplicado a las funciones y que
a continuación se demuestra.
Teorema 5.1.3. Dados dos polinomios f(x), g(x) �= 0 en F [ x ], existen q(x),
r(x) en F [ x ] tales que
f(x) = q(x)g(x) + r(x)
donde r(x) = 0 o grr(x) < grg(x).
Demostración. Sean
f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn
g(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bmxm
polinomios de grado n, m respectivamente. Si m > n, f(x) = 0×g(x)+f(x),
donde se han tomado q(x) = 0, r(x) = f(x), y evidentemente grr(x) es menor
que grg(x) = m.
Si m ≤ n el proceso a seguir es el usado al dividir polinomios. Como g(x)
es de grado m, al multiplicar g(x) por el polinomio (anb
−1
m )x
n−m se obtiene
un polinomio de grado n.
Ladiferencia
f(x)− (anb−1m )xn−mg(x) = r1(x)
5.1. CONSTRUCCIÓN DEL ANILLO F [X ] 207
es un polinomio de grado menor que n. Si grr1(x) < m, r1(x) es el resto
deseado y,
f(x) = (anb
−1
m )x
n−mg(x) + r1(x).
En caso contrario se repite el proceso hasta obtener un resto de grado menor
que m.
Generalizando veamos que sucede cuando m ≤ n, esto es, n −m = k0,
con k0 entero positivo. El planteamiento enunciado indica que,
f(x) = t0x
k0g(x) + r1(x)
donde r1(x) ∈ F [ x ], grr1(x) = m1, t0 = anb−1m .
Puede suceder:
1. r1(x) = 0.
2. m1 < m < n.
3. m < m1 < n.
Si ocurre (1) o (2) el problema está resuelto.
Si ocurre (3), entonces, m1 = m+ k1, con k1 entero positivo.
Si
r1(x) = c0 + c1x+ · · ·+ cm1xm1
el proceso de dividir nos da :
r1(x) = t1x
k1g(x) + r2(x)
con r2(x) ∈ F [ x ], grr2(x) = m2, t1 = cm1bm1
Donde m2 puede ser mayor que m, en cuyo caso se escribe, m2 = m+ k2.
Además m2 < m1 < n, es decir el grado de los residuos correspondientes for-
ma una sucesión decreciente de enteros positivos, lo que implica que después
de un número finito de veces se obtendrá una sucesión finita,
mj < m < · · · < m2 < m1 < n.
208 CAPÍTULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
Que satisface las igualdades:
n = m+ k0
m1 = m+ k1
m2 = m+ k2
...
mj−1 = m+ kj−1
m = mj + k
y un último residuo rj(x) tal que rj−1(x) = tj−1xkj−1 donde, rj(x) ∈ F [ x ],
el grado de rj(x) es igual a mj y tj−1 se ha escogido como en los casos
precedentes. De la sucesión e igualdades descritas anteriormente se obtiene:
m+ kj−1 < · · · < m+ k2 < m+ k1 < m+ k0.
Cancelando m se obtiene,
kj−1 < · · · < k2 < k1 < k0.
Entonces,
f(x) = t0x
k0g(x) + r1(x)
= t0x
k0g(x) + t1x
k1g(x) + r2(x)
= t0x
k0g(x) + t1x
k1g(x) + t2x
k2g(x) + r3(x)
...
= t0x
k0g(x) + t1x
k1g(x) + t2x
k2g(x) + · · ·+ tj−1xkj−1g(x) + rj(x)
=
(
t0x
k0 + t1x
k1 + t2x
k2 + · · ·+ tj−1xkj−1
)
g(x) + rj(x).
Donde rj(x) = 0 o el grado de rj(x) es menor que m.
Se puede en consecuencia escribir en general:
f(x) = q(x)g(x) + r(x)
donde r(x) = 0 o el grado de r(x) es menor que m.
Para demostrar la unicidad supongamos que existen q0(x), q1(x), r0(x),
r1(x), con las condiciones establecidas en el teorema, de tal manera que,
f(x) = q0(x)g(x) + r0(x)
f(x) = q1(x)g(x) + r1(x).
5.1. CONSTRUCCIÓN DEL ANILLO F [X ] 209
Entonces, [
q0(x)− q1(x)
]
g(x) = r1(x)− r0(x).
Como el grado de r1(x)−r0(x) es menor que el grado de g(x) la igualdad se da
solo en el caso que q0(x)− q1(x) = 0 o q0(x) = q1(x) luego r1(x)− r0(x) = 0
o r1(x) = r0(x).
Corolario. F [ x ] es un dominio euclidiano.
Demostración. Tómese la función grado como el ν-valor euclidiano necesario
y apĺıquese la definición.
1. Si f(x) �= 0, el grado de f(x) es un entero no negativo.
2. Para todo f(x), g(x) �= 0, existen polinomios q(x), r(x) en F [ x ] tales
que, f(x) = q(x)g(x) + r(x), donde r(x) = 0 o el grado de r(x) es
menor que el grado de g(x).
3. El grado de g(x) es menor o igual al grado de f(x)g(x).
Ahora se puede decir que F [ x ] es un dominio de ideales principales.
Esta conclusión se fundamente en el teorema 4.9.1, pero se puede dar una
demostración directa.
Sean f(x), h(x) dos polinomios de F [ x ]. Considérese el conjunto N for-
mado por las combinaciones lineales de f(x) y h(x), siempre y cuando f(x),
h(x) no sean simultáneamente nulos.
N = {p(x)f(x) + q(x)h(x) | p(x), q(x) ∈ F [ x ]}.
Mediante un razonamiento similar al del teorema 4.10.2 se demuestra que
N es un ideal principal de F [ x ], lo que significa que N es generado por un
polinomio de grado mı́nimo g(x) esto es, N =
(
g(x)
)
.
Como f(x) = 1f(x) + 0h(x) y h(x) = 0f(x) + 1h(x) son elementos de
N , entonces f(x) = a(x)g(x), h(x) = b(x)g(x) es decir, g(x)
∣∣f(x), g(x)∣∣h(x).
Además g(x) es un elemento de N , y esto quiera decir que
g(x) = u(x)f(x) + t(x)h(x).
O sea, cualquier divisor común de f(x) y h(x) debe dividir a g(x).
Observando la definición de máximo común divisor se concluye que dos
polinomios no simultáneamente nulos f(x), h(x) de F [ x ] tienen un máximo
210 CAPÍTULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
común divisor g(x) tal que, g(x)
∣∣f(x), g(x)∣∣h(x). Si c(x)∣∣f(x), c(x)∣∣h(x),
entonces c(x)
∣∣g(x). Además g(x) es una combinación lineal de f(x) y h(x).
Como todos los asociados de g(x) verifican la condición de ser un máximo
común divisor de f(x) y h(x) no hay un máximo común divisor único, pero se
puede escoger como el máximo común divisor a aquel polinomio mónico que
satisfaga la definición, cuya existencia está garantizada porque la relación
“ser máximo común divisor” es una relación de equivalencia.
EJERCICIOS
1. Si A es un anillo
a) Demostrar que A[ x ] con la operación suma es un grupo abeliano.
b) Demostrar que la propiedad asociativa se verifica en A[ x ].
2. Demostrar que en Z3[ x ], se verifica:
a) (x+ 2)2 = x2 + x+ 1.
b) 2(x+ 2) = 2x+ 1.
3. En Z5 hallar la suma y el producto de f(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 1,
g(x) = 2x2 + 3x+ 4.
4. Sea D un dominio de enteros.
a) Hallar las unidades de D[ x ]
b) Hallar las unidades de Z[ x ]
c) Hallar las unidades de Z3[ x ].
5. Sea D un dominio de enteros. ¿Son los siguientes conjuntos anillos
conmutativos con elemento unitario?
a) {f(x) ∈ D[ x ] | f(0) = 0}.
b) {f(x)D[ x ] | f(0) = f(1)}
c) {f(x)D[ x ] | f(0) �= 0}.
6. Sea F un campo, demostrar que {f(x) | a0 = 0} forman un ideal de
F [ x ].
5.2. POLINOMIOS IRREDUCIBLES 211
7. Sean F un campo, f(x), g(x) en F [ x ]. Demostrar que
N =
{
r(x)f(x)+ s(x)g(x)
∣∣ r(x), s(x) ∈ F [ x ] } es un ideal de F [ x ].
8. Sea S ⊆ F [ x ] tal que si f(x) y g(x) ∈ S, entonces si f(x)− g(x) ∈ S
y si h(x) ∈ S, entonces xh(x) y ah(x) también pertenecen a S, para
cualquier constante a en F . Demostrar que S es un ideal.
9. En Z5 dados: f(x) = 3x3 +4x2 +2x+1, g(x) = x2 +4. Hallar p(x), r(x)
tales f(x) = p(x)g(x) + r(x) y satisfagan las condiciones del algoritmo
de Euclides.
10. Demostrar: SiA es un anillo conmutativo con elemento unitario,entonces∑n
i=0 aix
i es una unidad en A[ x ] si y solo si, a0 es una unidad en A y
ai es nilpotente en A, para 1 ≤ i ≤ n.
11. Si D es un dominio de enteros, F es su campo de cocientes, demues-
tre que cualquier elemento f(x) en F [ x ] puede escribirse usando la
igualdad: f(x) = f0(x)/a donde f0(x) ∈ D[ x ], a ∈ D.
12. Sean f(x), g(x), h(x) en F [ x ], demostrar: Si h(x) es primo simultánea-
mente con f(x) y g(x), entonces h(x) es primo con f(x)g(x).
13. Sean f(x), g(x), h(x) en F [ x ], demostrar: Si h(x)
∣∣f(x)g(x) y h(x) es
primo con f(x) entonces h(x)
∣∣g(x).
14. a) En Z[ x ] hallar el (m. c. d.) de x3 − 7x2 + 7x+ 15 y x2 − 2x− 3 .
b) Expresarlo como una combinación lineal de los polinomios dados.
15. a) Hallar el (m. c. d.) de 2x3 − 6x2 − 10x − 2 y 2x3 + 2x2 − 5x − 1
en Z11[ x ].
b) Expresarlo como una combinación lineal de los polinomios dados.
5.2. Polinomios Irreducibles
Los polinomios irreducibles corresponden a los elementos primos de un
dominio de enteros y como tales serán tratados.
212 CAPÍTULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
Definición 5.2.1. Un polinomio no constante de F [ x ] se denomina irredu-
cible sobre F , un irreducible de F [ x ] o un irreducible en F [ x ] si siempre
que p(x) = a(x)b(x) en F [ x ], a(x) o b(x) tienen grado cero esto es, son
constantes de F .
Se especifica la irreducibilidad sobre el campo F , puesto que un polinomio
irreducible sobre un determinado campo puede ser reducible sobre otro. El
caso t́ıpico es f(x) = x2 + 1, que es irreducible sobre los reales, pero es
factorizable en los complejos.
Los teoremas expresados a continuación son consecuencias de ser F [ x ]
un dominio de ideales principales, pero se sugiere realizar demostraciones
directas.
Teorema 5.2.1. El ideal
(
p(x)
)
generado por p(x) es maximal si y solo si
p(x) es irreducible sobre F .
Teorema 5.2.2. Sea p(x) un irreducible sobre F . Si p(x)
∣∣r(x)s(x), entonces
p(x)
∣∣r(x) o p(x)∣∣s(x).
Al igual que en los enteros surge el siguiente corolario.
Corolario. Si el polinomio p(x) es irreducible sobre F , y p(x) divide alproducto r1(x)r2(x) . . . rn(x), ri(x) ∈ F [ x ], 1 ≤ i ≤ n entonces p(x) divide
a ri(x), para algún i.
El siguiente teorema indica que F [ x ] es un dominio de factorización única
Teorema 5.2.3. Sea f(x) un polinomio no constante de F [ x ], f(x) pue-
de factorizarse como el producto de polinomios irreducibles sobre F . Esta
factorización es única salvo el orden de los factores y asociados.
Ejemplo 5.2.1. Demostrar que x4 + 4 es reducible en Z5.
Solución. Dividiendo x4 + 4 entre x− 1 se obtiene:
5.2. POLINOMIOS IRREDUCIBLES 213
x4 + 4 x − 1
x3 + x2 + x + 1− x4 + x3
0 + x3
− x3 + x2
0 + x2
− x2 + x
0 + x + 4
− x + 1
0 + 0
Dividiendo sucesivamente por (x− 2) y (x− 3) se obtiene la igualdad
x4 + 4 = (x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)
= (x+ 4)(x+ 3)(x+ 2)(x+ 1).
En la última expresión se han remplazado los términos que aparecen con
signo negativo por sus inversos en Z5.
EJERCICIOS
1. Demostrar que:
a) x2 + x+ 1 es irreducible sobre Z2.
b) x2 − 6 es irreducible sobre Z7.
c) x3 + 2 es irreducible sobre Z11.
d) x2 + 4 es reducible sobre Z5.
e) x2 + 6 es reducible sobre Z7.
2. Demostrar que:
a) x3 + 3x2 − 8 es irreducible sobre Q.
b) x4 − 22x2 + 1 es irreducible sobre Q.
214 CAPÍTULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
3. Demostrar sin usar el hecho de ser F [ x ] un dominio de ideales princi-
pales.
a) El ideal
(
p(x)
)
generado por p(x) es maximal si y solo si p(x) es
irreducible sobre F .
b) Sea p(x) un irreducible sobre F . Si p(x)
∣∣r(x)s(x), entonces p(x)∣∣r(x)
o p(x)
∣∣s(x).
c) Si el polinomio p(x) es irreducible sobre F y p(x) divide al pro-
ducto r1(x)r2(x) · · · rn(x), ri(x) ∈ F [ x ], 1 ≤ i ≤ n, entonces p(x)
divide a ri(x) para algún i.
d) Sea f(x) un polinomio no constante de F [ x ], f(x) puede factori-
zarse como el producto de polinomios irreducibles sobre F . Esta
factorización es única salvo el orden de los factores y asociados.
4. Demostrar que el ideal
(
p(x)
)
generado por p(x) es maximal si y solo
si p(x) es irreducible sobre F .
5. Exprese el polinomio x3 +3x2 +4x+2 como el producto de irreducibles
en Z5.
6. Dados F un campo, f(x), g(x) en F [ x ]. Demostrar que f(x)
∣∣g(x) si y
solo si g(x) pertenece al ideal
(
f(x)
)
.
7. Sean F un campo, f(x), g(x) en F [ x ].
N = {r(x)f(x) + s(x)g(x) | r(x), s(x) ∈ F [ x ]} un ideal de F [ x ].
Demostrar que si f(x) y g(x) tienen grados diferentes y N �= F [ x ],
entonces f(x) y g(x) no pueden ser ambos irreducibles sobre F .
8. Hallar todos los ideales primos y todos los maximales de Z12.
9. Hallar un ideal maximal de Z + Z.
10. Hallar un ideal primo de Z + Z que no sea maximal.
11. Hallar un ideal propio de Z + Z que no sea primo.
12. Demostrar que si p(x) ∈ F [ x ] es tal que para todo f(x) ∈ F [ x ], p(x)
es primo con f(x) o p(x)|f(x), entonces p(x) es irreducible.
5.3. EXTENSIONES DE CAMPOS 215
5.3. Extensiones de Campos
Dado f(x) un polinomio de F [ x ], surge la pregunta acerca de la posi-
bilidad de encontrar un campo E que contenga los ceros de f(x). En otras
palabras de encontrar un campo E donde la igualdad f(t) = 0, resultante de
reemplazar la indeterminada x por el elemento t, sea satisfecha por al menos
un t de E. Afortunadamente la respuesta es positiva y su construcción es
posible a través del campo F y un irreducible de la descomposición factorial
de f(x).
Definición 5.3.1. Un campo E es una extensión del campo F, si F es un
subcampo de E.
Se inicia la construcción partiendo del campo F y un polinomio cualquiera
f(x) no constante de F [ x ]. Como f(x) puede expresarse como el producto
de polinomios irreducibles en F , sea p(x) un irreducible de la descomposición
factorial de f(x). Sea N =
(
p(x)
)
el ideal generado por p(x). Por ser p(x)
un irreducible, N es un ideal maximal de F [ x ] y en consecuencia el anillo
cociente F [ x ]/N es un campo.
La función φ : F −→ F [ x ]/N , definida mediante la igualdad aφ = a+N ,
para todo a de F , es un isomorfismo. En efecto, sean a, b elementos de F .
(a+ b)φ = (a+ b) +N
= (a+N) + (b+N)
= aφ+ bφ,
(ab)φ = (ab+N)
= (a+N)(b+N)
= (a)φ(b)φ.
Además si a, b son elementos de F tales que aφ = bφ o expresado en forma
equivalente, a+N = b+N , entonces se puede decir que a− b pertenece a N ,
asi que p(x) debe dividir a a− b, de donde se deduce que grp(x) ≥ 1. Como
a− b pertenece a F , entonces a− b es de grado cero o es el polinomio nulo.
Pero esta diferencia no puede ser de grado cero, porque al ser p(x) de grado
mayor que cero no la dividiŕıa, luego a− b = 0 o sea a = b deduciéndose que
φ es uno a uno.
Si a+N un elemento de F [ x ]/N , existe a en F tal que aφ = a+N , de
donde se concluye que φ es sobre, demostrándose que es un isomorfismo. Se
216 CAPÍTULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
identifica a F con el conjunto {a+N | a ∈ F} y en tales condiciones F [ x ]/N
es una extensión de F que contiene los ceros de f(x).
Estableciendo la igualdad F [ x ]/N = E se ha encontrado la respuesta a
la inquietud planteada, o sea siempre es posible encontrar un campo E que
contenga los ceros de cualquier polinomio f(x) ∈ F [ x ].
Más tarde se construirá un campo isomorfo a los complejos que contenga
los ceros del polinomio f(x) = x2 + 1, que no los tiene en los reales.
Con la garant́ıa dada por la consideración anterior se puede enunciar la
siguiente proposición.
Teorema 5.3.1. Sean F un campo, E una extensión de F, t un elemento de
E, x una indeterminada. La función φt : F [ x ] −→ E definida por
(a0 + a1x+ · · ·+ anxn)φt = f(t) = a0 + a1t+ · · ·+ antn
es un homomorfismo además
1. xφt = t.
2. La imagen directa de F es todo F esto es, Fφt = F .
Se conviene en establecer la igualdad,
f(t) = a0 + a1t+ · · ·+ antn.
Demostración. Sean m > n y
f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn
g(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bmxm.
[
f(x) + g(x)
]
φt =
[
(a0 + b0) + (a1 + b1)x+ · · ·+ (an + bn)xn + · · ·+ bmxm
]
φt
= (a0 + b0) + (a1 + b1)t+ · · ·+ (an + bn)tn + · · ·+ bmtm
= a0 + a1t+ · · ·+ antn + b0 + b1t+ · · ·+ bmtm
= (a0 + a1x+ · · ·+ anxn)φt + (b0 + b1t+ · · ·+ bmxm)φt
= f(x)φt + g(x)φt.
5.3. EXTENSIONES DE CAMPOS 217
Para el producto se escribe
[
f(x)g(x)
]
φt =
[n+m∑
k=0
(∑
i+j=k
aibjx
k
)]
φt
=
[n+m∑
k=0
(∑
i+j=k
aibjt
k
)]
=
[
f(x)g(x)
]
φt
=
[
f(x)φt
][
g(x)φt
]
.
Por definición de φt, xφt = (1x)φt = 1t = t.
Para todo a de F el polinomio constante f(x) = a, es tal que f(x)φt = a.
De lo anterior se concluye que Fφt = F . En otras palabras, para todo a
de F , xφt = a, lo que indica que φt mirado con esta lente no es otra cosa que
la función idéntica, que es un isomorfismo de F sobre śı mismo.
Ejemplo 5.3.1. Sea R una extensión de Q, considere el homomorfismo φ3,
dado por
f(3) = a0 + a13 + · · ·+ an3n.
Para el polinomio
g(x) = x2 − 7x+ 12,
la imágen de g(x) está dada por la igualdad
g(3) = 32 − 7× 3 + 12 = 0.
El polinomio
x2 − 7x+ 12 = (x− 3)(x− 4)
pertenece al núcleo de φ3, esto es,
N =
(
(x− 3))
es el ideal generado por
(
x− 3). En conclusión, Q[ x ]/N ≈ Q.
218 CAPÍTULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
EJERCICIOS
1. Sea φt : Z7[ x ] −→ Z7 el homomorfismo definido en el teorema 5.3.1.
Evaluar:
a) (x2 + 5)φ3.
b) (3x2 + 2x− 5)φ5.
c) (x3 − 2)(x2 + 5x+ 4)φ3.
d) (x3 − 2)(x2 + 5x+ 4)φ0.
2. Sea φt : Q[ x ] −→ R el homomorfismo definido en el teorema 5.3.1.
Describir el núcleo de φ3 y hallar 6 de sus elementos.
3. Hallar los ceros en Z5 de (x5 + 3x4 − x2 − 3x) ∈ Z5[ x ]. Sugerencia:
Usando el teorema 5.3.1 pruebe con los cinco candidatos posibles.
4. Sea φt : Z5[ x ] −→ Z5 el homomorfismo definido en el teorema 5.3.1.
Evaluar (x231 + 3x117 − 2x53 + 1)φ3. Sugerencia: Use el teorema de
Fermat.
5.4. Los ceros de Polinomios
Definición 5.4.1. Sea E una extensión de F , t un elemento de E, f(x) en
F [ x ], φt : F [ x ] −→ E, el homomorfismo descrito en el teorema 5.3.1. Si
f(t) = 0, se dice que t es un cero de f(x).
Definición 5.4.2. Sea E una extensión de F, t en E se dice algebraico sobre
F, si f(t) = 0 para algún polinomio no nulo de F [ x ]. Si t no es algebraico
sobre F, se dice trascendente sobreF .
Si F son los racionales y E los complejos en lugar de decir que un núme-
ro es algebraico o trascendente sobre Q, simplemente se dice algebraico o
trascendente sin más especificación.
Ejemplo 5.4.1. Veamos que
√
3−√5 es algebraico sobre Q.
Solución. Si t =
√
3−√5 entonces t2 = 3−√5, luego t2 − 3 = −√5 o sea
(t2 − 3)2 = 5 y de aqúı, elevando al cuadrado y trasponiendo términos, se
obtiene que t4 − 6t2 + 4 = 0, significando que t es un cero de x4 − 6x2 + 4
sobre Q.
5.4. LOS CEROS DE POLINOMIOS 219
Con el teorema que sigue se da respuesta definitiva a la inquietud plan-
teada al principio de la sección
Teorema 5.4.1. Sea F un campo, f(x) un polinomio no constante de F [ x ],
entonces existen una extensión E de F y un elemento t de E tal que f(t) = 0.
Demostración. Sea p(x) un polinomio irreducible de la descomposición fac-
torial de f(x). El campo E = F [ x ]/N , con E el ideal generado por p(x) se
demostró que es una extensión de F . Sea t = x+N un elemento de E.
p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn
φt : F [ x ] −→ E, dada por:
p(x)φt = a0 + a1(x+N) + · · ·+ an(x+N)n = p(t).
Pero en E se opera escogiendo representantes de las clases laterales x+N y
como x es uno de tales representantes,
p(t) = (a0 + a1x+ · · ·+ anxn) +N
= p(x) +N
= N
= 0,
ya que N es el cero de E. Se ha encontrado entonces un t en E tal que
p(t) = 0 y como p(x) es un factor de f(x) se concluye que f(t) = 0, dándose
que t es un cero de f(x).
Los teoremas que siguen relacionan la reducibilidad con los ceros de un
polinomio.
Teorema 5.4.2. Sea E una extensión de F , t ∈ E es un cero de f(x) si y
solo si x− t es un factor de f(x) en F [ x ].
Demostración. Sea t en E tal que f(t) = 0. Por el algoritmo de la división,
existen q(x), r(x) en F [ x ] tales que, f(x) = (x − t)q(x) + r(x), donde el
grado de r(x) es menor que 1. Se debe tener entonces que r(x) = k, con k en
F , aśı que
f(x) = (x− t)q(x) + k.
220 CAPÍTULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
Aplicando el homomorfismo φt se llega a
0 = f(t) = (t− t)q(t) + k = 0q(t) + k.
Luego k = 0 y de aqúı se deduce que f(x) = (x− t)q(x).
Rećıprocamente, sea (x− t) un factor de f(x), t en E,
f(x) = (x− t)q(x)
f(t) = f(x)φt = (t− t)q(t) = 0q(t) = 0.
Significando lo anterior que f(t) = 0, t es un cero de f(x).
La situación descrita en el teorema anterior conduce a una generalización
que se expresa mediante el siguiente corolario.
Corolario. Sea E una extensión de F . Un polinomio no nulo f(x) de F [ x ]
de grado n tiene a lo más n ceros en E.
Demostración. Si t1 es un cero de f(x), entonces
f(x) = (x− t1)q1(x),
donde el grado de q1(x) es n − 1. Si continuamos el proceso se llega a la
igualdad,
f(x) = (x− t1)(x− t2) · · · (x− tr)qr(x)
donde t1, t2 . . . tr son ceros de f(x) y qr(x) no tiene más ceros. Indudable-
mente r ≤ n. También, si c ≤ ti, (1 ≤ i ≤ r), c en E, se puede escribir
f(c) = (c− t1)(c− t2) · · · (c− tr)qr(x) �= 0.
Como E no tiene divisores de cero y (c−ti) �= 0 (por construcción) los únicos
ceros de f(x) son t1, t2, . . . , tr, (r ≤ n).
Teorema 5.4.3. Sea E una extensión de F . f(x) en F [ x ] de grado 2 o 3.
f(x) es reducible sobre F si y solo si tiene un cero en E.
Demostración. Como f(x) es reducible, existen polinomios g(x), h(x) en
F [ x ] de grado menor que el de f(x) tales que, f(x) = g(x)h(x). Como
el grado de f(x) es 2 o 3, entonces alguno de los dos g(x) o h(x) es de grado
1. Supongamos que g(x) es de grado 1, entonces g(x) es de la forma x − t,
excepto por un posible factor en F , luego g(t) = 0, y por tanto f(t) = 0, es
decir f(x) tiene un cero.
5.4. LOS CEROS DE POLINOMIOS 221
El teorema 5.4.2 asegura que si f(t) = 0, t en E, entonces x − t es un
factor de f(x), por lo que se afirma que f(x) es reducible.
Los dos próximos teoremas son de prima importancia porque permiten
caracterizar los elementos algebraicos y trascendentes. Muestran además la
utilidad del homomorfismo φt.
Teorema 5.4.4. Sea E una extensión de F, t en E, sea φt el homomorfismo
descrito anteriormente, t es trascendente si y solo si φt es uno a uno.
Demostración. Decir que t es trascendente equivale a afirmar que f(t) es
diferente de cero para todo polinomio no constante f(x) en F [ x ], afirmación
equivalente a decir que el núcleo de φt es {0} y esta última equivale a asegurar
que φt es uno a uno.
Teorema 5.4.5. Sea E una extensión de F . Si t ∈ E, t �= 0 es algebraico
sobre F , existe un polinomio irreducible p(x) en F [ x ] tal que p(t) = 0, p(x)
está uńıvocamente determinado salvo un factor constante de F y es de grado
mı́nimo ≥ 1 en F [ x ] y tiene a t como cero. Si f(t) = 0, para f(x) �= 0 un
polinomio de F [ x ], entonces p(x) divide a f(x).
Demostración. Sea φt el homomorfismo de F [ x ] −→ E. El núcleo de φt es
un ideal principal generado por algún polinomio mónico p(x) de F [ x ]. Sea
N =
(
p(x)
)
. N consiste en aquellos elementos de F [ x ] que tienen a t como
cero esto es, si f(t) = 0, para f(x) �= 0, entonces f(x) pertenece a N , luego
p(x) divide a f(x). Indudablemente p(x) es un polinomio de grado mı́nimo
mayor o igual a 1 que tiene a t como cero, y cualquier otro polinomio del
mismo grado que p(x) que tenga a t como cero debe ser de la forma ap(x)
para algún a en F . Si p(x) = r(x)q(x) es una descomposición de p(x) en
polinomios de grado menor, entonces si p(t) = 0 se obtiene r(t)q(t) = 0, es
decir r(t) = 0 o q(t) = 0, contradiciendo el hecho de ser p(x) de grado mı́nimo
mayor o igual a 1 tal que p(t) = 0 y en consecuencia p(x) es irreducible.
Definición 5.4.3. Sea E una extensión de F, t ∈ E algebraico sobre F . El
polinomio mónico único p(x) que satisface las condiciones del teorema 5.4.5
es el polinomio mónico irreducible para t sobre F . Se nota irr(t, F ). El grado
de irr(t, F ) es el grado de t sobre F y se nota gr(t, F ).
Sean E una extensión de F, t ∈ E, φt el homomorfismo de F [ x ] −→ E
definido anteriormente. Analicemos lo que sucede con la imagen directa de
F [ x ]. Debido a que las operaciones de suma y producto definidas en F [ x ]
222 CAPÍTULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
son idénticas a las definidas en
(
F [ x ]
)
φt es decir, f(x) + g(x), f(x)g(x),
se realizan de manera semejante a f(t) + g(t), f(t)g(t), es tarea de rutina
demostrar que
(
F [ x ]
)
φt es un dominio de enteros, comprobación que dejamos
al cuidado el estudiante. Para ilustrar veamos que es cerrado para la suma y
el producto esto es, si se toman m > n(
f(x)
)
φt = a0 + a1t+ · · ·+ antn
(
g(x)
)
φt = b0 + b1t+ · · ·+ bmtm
f(x)φt + g(x)φt = (a0 + b0) + (a1 + b1)t+ · · ·+ (an + bn)tn + · · ·+ bmtm
[
f(x)φt
][
g(x)φt
]
=
m+n∑
k=0
(∑
i+j=k
aibjt
k
)
.
Son elementos de (F [ x ])φt.
Finalmente veamos que todo elemento diferente de cero tiene su inverso.
Sea
f(t) = a0 + a1t+ · · ·+ antn �= 0
lo que significa que
f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn
es un polinomio no nulo. Si t es algebraico sobre F, existe un polinomio
irreducible p(x) de grado mı́nimo en F [ x ] tal que p(t) = 0. Por el teorema
anterior, como f(x) no es nulo, p(x) no divide a f(x) ya que por hipótesis,
f(t) �= 0.
Por ser p(x) irreducible, 1 es un máximo común divisor entre p(x) y f(x)
esto es, existen polinomios r(x), s(x) tales que
1 = p(x)r(x) + f(x)s(x)
y de aqúı se deriva,
1 = p(t)r(t) + f(t)s(t).
5.4. LOS CEROS DE POLINOMIOS 223
Pero p(t) = 0, entonces, 1 = f(t)s(t), lo que indica que el inverso de f(t)
es s(t). Lo anterior induce a concluir que
(
F [ x ]
)
φt es un campo y en con-
secuencia es un subcampo de E, denominado el campo por adjunción de t
a F y se nota F (t). Se deja al cuidado del estudiante demostrar que es la
intersección de todos los subcampos de E que contienen a t y a F . Por esta
razón se dice que es el menor de los subcampos que contienen a t y a F .
Como t es algebraico sobre F el núcleo de φt es N =
(
irr(t, F )
)
, el ideal
generado por irr(t, F ), que en este caso es un ideal maximal de F [ x ] y por
consiguiente, de acuerdo con el teorema 4.7.4, el anillo cociente F [ x ]/N es
un campo isomorfoa F (t).
Si t es trascendente sobre F,
(
F [ x ]
)
φt no es un campo, pero es un dominio
de enteros que denotaremos F [ t ], en este caso E contiene un campo de
cocientes de F [ t ] esto es, un campo de la forma {p(t)/q(t)}, con q(t) �= 0,
p(t) y q(t) en
(
F [ x ]
)
φt y es indudablemente el menor subcampo de E que
contiene tanto a t como a F . (Demostrarlo). Lo notamos igualmente F (t).
Definición 5.4.4. Una extensión E de F se dice simple si existe t en F tal
que F (t) = E.
A continuación se pretende dar algún sentido al campo F (t) cuando t es
algebraico sobre F , comprobando que todo elemento b de F (t) puede ser
expresado de manera única por la igualdad:
b = b0 + b1t+ · · ·+ bn−1tn−1.
En efecto, sean E una extensión simple del campo F, F (t) =
(
F [ x ]
)
φt con t
algebraico sobre F . Los elementos de F (t) son polinomios en t con coeficientes
en F esto es,
f(x)φt = f(t) = c0 + c1t+ · · ·+ crtr.
Sea p(x) el polinomio mónico irreducible para t sobre F , p(x) = irr(t, F ), al
que suponemos de grado n ≥ 1,
p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ xn, ai ∈ F.
Como p(t) = 0
a0 + a1t+ · · ·+ tn = 0.
Despejando tn se escribe,
tn = −an−1tn−1 − an−2tn−2 − · · · − a1t− a0.
224 CAPÍTULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
Esta expresión puede usarse para representar a tm (m ≥ n), como una com-
binación de potencias de t menores o iguales a (n− 1) por ejemplo,
tn+1 = t× n = −an−1tn − an−2tn−1 − · · · − a1t2 − a0t.
Igualdad obtenida por reemplazo de tn. Continuando el proceso, mediante el
uso de la inducción matemática, se puede obtener tm como una combinación
de los elementos 1, t, . . . , tn−1, lo que quiere decir que si b pertenece a F (t)
puede escribirse en la forma
b = b0 + b1t+ · · ·+ bn−1tn−1.
Además esta escritura es única. Si
b = b0 + b1t+ · · ·+ bn−1tn−1
= d0 + d1t+ · · ·+ dn−1tn−1
con, bi, di elementos de F se obtiene,
(b0 − d0) + (b1 − d1)t+ · · ·+ (bn−1 − dn−1)tn−1 = 0.
De esta igualdad se deduce la existencia de un polinomio g(x) en F [ x ] de
grado (n − 1), tal que g(t) = 0. Como irr(t, F ) es el polinomio de grado
mı́nimo en F [ x ] que tiene a t como cero se deduce que g(x) = 0, por tanto
(bi− di) = 0, de donde bi = di, estableciéndose la unicidad de la escritura de
b.
Considérese el conjunto formado por las combinaciones de las (n − 1)
primeras potencias de t esto es,
Ft = {b0 + b1t+ · · ·+ bn−1tn−1, bi ∈ F}.
Ft es indudablemente un campo. La demostración como se hab́ıa dicho corres-
ponde a esa clase de comprobaciones fáciles pero tediosas de alguna ocurren-
cia en los polinomios. En realidad es idéntica a la realizada para el campo F (t)
y se cree que cualquier persona capaz de realizar una está en condición de de-
sarrollar ambas. Sin embargo es conveniente que el estudiante la efectúe para
afianzar su destreza. Por definición de Ft se observa que Ft ⊆ F (t). Además
Ft contiene a F y a t, luego F (t) ⊆ Ft y en consecuencia Ft = F (t). Ahora es
correcto afirmar que F (t) está generado por las potencias de t menores que
el grado de irr(t, F ).
5.4. LOS CEROS DE POLINOMIOS 225
Por la forma de construirlo, F (t) es una extensión simple de F . Si t es
algebraico, F (t) se denomina una extensión algebraica. En caso contrario se
dice trascendente.
Si t es trascendente, se dijo que F (t) contiene a F, t y todos los cocientes
p(t)/q(t), q(t) �= 0.
Para los dominios F [ x ], F [ t ], la correspondencia φ : F [ x ] −→ F [ t ]
descrita por f(x)φ = f(t) es un isomorfismo.
Supongamos que f(t) = g(t), entonces
a0 + a1x+ · · ·+ amxm = b0 + b1x+ · · ·+ bnxn
necesariamente m = n y ai = bi.
Si ocurriera que m �= n o ai �= bi para algún i, f(t) − g(t) seŕıa un
polinomio h(t) con coeficientes en F no todos nulos. Pero al ser f(t) igual a
g(t), se tendŕıa que h(t) = 0, contradiciendo el hecho de ser t trascendente.
Igualmente, para todo f(t) existe f(x) tal que f(x)φ = f(t).
Por la forma de operar,(
f(x) + g(x)
)
φ = f(x)φ+ g(x)φ
[
f(x)g(x)
]
φ =
[
f(x)φ
][
g(x)φ
]
.
Este isomorfismo se puede hacer extensivo a los correspondientes cocientes
aśı, [
f(x)/g(x)
]
φ = f(t)/g(t).
Se ha establecido un isomorfismo entre los campos F (x) y F (t), donde F (x)
es el campo de las funciones racionales en la indeterminada x con coeficientes
en F esto es,
F (x) = {p(x)/q(x) | q(x) �= 0, p(x), q(x) en F [ x ]}.
Finalmente supongamos que F (t) y F (u) son dos extensiones algebraicas
simples del campo F engendradas por irr(t, F ) e irr(u, F ) respectivamente.
La función φ : F (t) −→ F (u) dada por f(t)φ = f(u) es un isomorfismo.
Si f(u) = g(u), f(u) − g(u) = 0. Por el teorema 5.4.5 p(x) divide a
f(x) − g(x) o sea, f(x) − g(x) = p(x)(q(x). Luego f(t) − g(t) = p(t)(q(t),
pero p(t) = 0, lo que significa que f(t)− g(t) = 0 es decir, f(t) = g(t).
226 CAPÍTULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
Además φ es sobre, y al ser semejantes las formas de operar en ambos
campos, se verifican las propiedades caracteŕısticas de los isomorfismos. F (t)
es entonces isomorfo a F (u).
El isomorfismo anterior indica que dos ceros cualesquiera de un polinomio
irreducible p(x) tienen iguales propiedades algebraicas y que todas las pro-
piedades algebraicas de un cero pueden derivarse del polinomio irreducible
que satisfacen.
El polinomio de Z3
p(x) = x2 + 2x+ 2
no tiene ceros en Z3 ya que
p(0) = 0 + 0 + 2 = 2,
p(1) = 1 + 2 + 2 = 2,
p(2) = 1 + 1 + 2 = 1.
Por lo tanto es irreducible en Z3. Pero se sabe que existe una extensión E de
Z3, t en E tal que p(t) es cero, esto es,
t2 + 2t+ 2 = 0.
Despesjando y teniendo en cuenta que el inverso aditivo de 2 en Z3 es 1,
t2 = −2t− 2 = t+ 1.
F (t) tiene entonces la forma
F (t) = {ai + ajt | ai, aj en Z3}.
Observe que no aparecen términos en t2. Por cálculo directo se obtiene,
F (t) = Z3[ t ] = {0, 1, 2, t, 2t, 1 + t, 2 + 2t, 1 + 2t, 2 + t}.
Excepto el 0, que es su propio inverso, los demás elementos se agruparon por
parejas, escribiendo cada uno junto a su inverso aditivo. Es fácil verificar la
existencia de los inversos multiplicativos.
5.4. LOS CEROS DE POLINOMIOS 227
Teniendo en cuenta que t2 = t+ 1, veamos por ejemplo:
(1 + t)(2 + 2t) = 2 + 2t+ 2t+ 2t2
= 2t2 + t+ 2
= 2(t+ 1) + t+ 2
= 2t+ 2 + t+ 2
= (2 + 2) + (2 + 1)t
= 1 + 0t
= 1.
Las tablas de la suma y el producto se escriben a continuación.
+ 0 1 2 t 2t 1 + t 2 + 2t 1 + 2t 2 + t
0 0 1 2 t 2t 1 + t 2 + 2t 1 + 2t 2 + t
1 1 2 0 1 + t 1 + 2t 2 + t 2t 2 + 2t t
2 2 0 1 2 + t 2 + 2t t 1 + 2t 2t 1 + t
t t 1 + t 2 + t 2t 0 1 + 2t 2 1 2 + 2t
2t 2t 1 + 2t 2 + 2t 0 t 1 2 + t 1 + t 2
1 + t 1 + t 2 + t t 1 + 2t 1 2 + 2t 0 2 2t
2 + 2t 2 + 2t 2t 1 + 2t 2 2 + t 0 1 + t t 1
1 + 2t 1 + 2t 2 + 2t 2t 1 1 + t 2 t 2 + t 0
2 + t 2 + t t 1 + t 2 + 2t 2 2t 1 0 1 + 2t
* 0 1 2 t 2t 1 + t 2 + 2t 1 + 2t 2 + t
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 t 2t 1 + t 2 + 2t 1 + 2t 2 + t
2 0 2 1 2t t 2 + 2t 1 + t 2 + t 1 + 2t
t 0 t 2t 1 + t 2 + 2t 1 + 2t 2 + t 2 1
2t 0 2t t 2 + 2t 1 + t 2 + t 1 + 2t 1 2
1 + t 0 1 + t 2 + 2t 1 + 2t 2 + t 2 1 2t t
2 + 2t 0 2 + 2t 1 + t 2 + t 1 + 2t 1 2 t 2t
1 + 2t 0 1 + 2t 2 + t 2 1 2t t 2 + 2t 1 + t
2 + t 0 2 + t 1 + 2t 1 2 t 2t 1 + t 2 + 2t
Figura 5.1
228 CAPÍTULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
Con el siguiente ejemplo, veremos que los complejos son generados sobre los
reales por los ceros i, −i del polinomio x2 + 1. Existe por tanto un automor-
fismo de los complejos que env́ıa i en −i o a+ bi en su conjugado a− bi.
Ejemplo 5.4.2. Los complejos son generados sobre los reales por los ceros
i, −i del polinomio x2 + 1.
Solución. En los reales el polinomio f(x) = x2 + 1 es irreducible. Si N es
el ideal generado por f(x), R[ x ]/N es un campo, existe entonces t en dicho
campo, un cero de f(x). Sea t = x+N .
t2 + 1 = (x+N)2 + 1
= x2 +N + 1
= (x2 + 1) +N.
Pero (x2 + 1) ∈ N , entonces
(x2 + 1) +N = N
= 0,
indicando que t es un cero de x2 + 1.
F (t) = {ai + ajt | ai, aj ∈ R, t2 + 1 = 0 o t2 = −1}.
Sumando y multiplicando se obtienen las igualdades,
(ai + ajt) + (ak + alt) = (ai + ak) + (aj + al)t
= am + ant
(ai + ajt)(ak + alt) = aiak + (aial + ajak)t+ ajalt
2
= (aiak − ajal)+ (aial + ajak)t
= aq + art.
Obsérvese que t actúa como i, entonces, a+ bt realiza las funciones de a+ bi,
indicando que F (t) es isomorfo a los complejos.
Con un razonamiento similar, si u es un cero de x2 + 1, y
F (u) = {ai − aju | ai, aj son reales y u2 = −1}.
5.4. LOS CEROS DE POLINOMIOS 229
La suma y el producto de dos elementos (ai − aju), (ak − alu) de F (u)
tienen respectivamente la forma (as − atu) y (av − awu), lo que es fácil de
comprobar realizando las operaciones y efectuando los reemplazos necesarios.
En este caso u actúa como −i. Como ya se hab́ıa dicho F (t) es isomorfo a
F (u).
EJERCICIOS
1. Demostrar que f(x) = x2 + 7x+ 2 es irreducible en Q.
2. Demostrar que f(x) = x2 − 5 es irreducible en Q.
3. Demostrar que f(x) = x4 − 2x2 + 8x+ 1 es irreducible en Q
4. Demostrar que f(x) = x3 + 3x+ 2 es irreducible en Z5.
5. Sean F un campo, t �= 0 un cero de f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn en
F [ x ] entonces 1/t es un cero de g(x) = an + an−1x+ · · ·+ a0xn.
6. Sea E una extensión de F . Demostrar que si t es trascendente sobre
F , F [ x ]φt no es un campo, pero es un dominio de enteros denotado
F [ t ]. Además E contiene un campo de cocientes de F [ t ] esto es, un
campo de la forma {p(t)/q(t) | q(t) �= 0, p(t), q(t) ∈ F [ x ]φt} y es
indudablemente el menor subcampo de E que contiene tanto a t como
a F .
7. Demostrar que cada uno de los complejos t dados es algebráico sobre
Q, hallando f(x) en Q[ x ] tal que f(t) = 0. Halle además irr(t,Q) y
gr(t,Q)
a) 1 +
√
3.
b) 1 + i.
c)
√
2 +
√
3.
8. Demostrar que el polinomio x2 + 1 es irreducible sobre Z3.
9. Sea t un cero de x2 +1, en una extensión de Z3. Confeccionar las tablas
de la suma y el producto para los nueve elementos de Z3(t). Escŕıbalos
en el mismo orden en que aparecen en el ejemplo y compare las tablas
respectivas.
230 CAPÍTULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
10. Use el teorema de Fermat para hallar los ceros en Z5 de
2x219 + 3x74 + 2x57 + 3x44.
5.5. El Dominio de Factorizacion Unica D[ x ]
Dado un dominio de factorización única D se puede construir su campo
de cocientes F . El anillo F [ x ] es al menos un dominio de factorización única.
La idea es ver que cualquier polinomio de D[ x ] se puede factorizar siempre y
cuando sea posible hacerlo en F [ x ]. Para el efecto habrá necesidad de saber
que sucede en D[ x ] con los irreducibles de F [ x ].
Definición 5.5.1. Sea D un dominio de factorización única. Un polinomio
no constante f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn de D[ x ] se denomina primitivo
si los únicos divisores comunes de los coeficientes ai, 0 ≤ i ≤ n son las
unidades de D.
En Z[ x ] el polinomio 3x2 +4x+6 es primitivo porque el único divisor común
a 3, 4 y 6 es 1. En cambio 2x+ 10 no lo es porque 2, es un divisor común a
2, 10 y 2 no es una unidad en Z.
Teorema 5.5.1. Si D es un dominio de factorización única, entonces para
cualquier polinomio no constante f(x) en D[ x ] existen c en D, h(x) primitivo
en D[ x ] tales que f(x) = ch(x), c y h(x) son únicos excepto por factores
unidades de D. El elemento c se denomina el contenido o factor contingente
de f(x).
Demostración. Sea f(x) = a0 +a1x+ · · ·+anxn un polinomio del dominio de
factorización única D[ x ]. Sea g = (a0, a1, . . . , an) un máximo común divisor
de todos los coeficientes de f(x). Los asociados de g son también máximos
comunes divisores de todos los coeficientes de f(x), entonces para u una
unidad de D, ug = (a0, a1, . . . , an).
De esta igualdad se deduce que u = (a0/g, a1/g, . . . , an/g) y en conse-
cuencia el polinomio h(x) = a0/g + (a1/g)x+ · · ·+ (an/g)xn es primitivo de
D[ x ] ya que los divisores comunes de sus coeficientes son unidades de D, y
de aqúı se concluye que f(x) = gh(x). Escoja c = g y entonces f(x) = ch(x).
Supongamos que f(x) = dh1(x), d en D, h1(x) un polinomio primitivo
de D[ x ], entonces cada factor primo de c dividirá a d y rećıprocamente cada
factor primo de d dividirá a c.
5.5. EL DOMINIO DE FACTORIZACION UNICA D[X ] 231
Como ch(x) = dh1(x), cancelando factores primos comunes a c y d, se
obtiene uh(x) = vh1(x). Como u es una unidad de D, v también debe serlo,
porque de no ser aśı se podŕıan cancelar factores primos entre u y d, lo que
no es posible. Como u, v son unidades de D, c es único excepto por factores
unidades. La igualdad f(x) = ch(x) sugiere que el polinomio primitivo h(x)
también es único excepto por factores unidades.
Teorema 5.5.2. Si D es un dominio de factorización única, el producto de
dos polinomios primitivos de D[ x ] es primitivo.
Demostración. Sean,
f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn,
g(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bmxm
polinomios primitivos de D[ x ]. Tómese h(x) = f(x)g(x) y supóngase que
h(x) no es primitivo. En estas circunstancias todos los coeficientes de h(x)
deben ser divisibles por algún elemento de D distinto de 1 y por consiguiente
por algún irreducible p en D. Como f(x) y g(x) son primitivos, p no divide
a algunos de los ai ni a algunos de los bj . Sea ar el primer coeficiente de f(x)
al que p no divide esto es p divide a ai para i < r, pero p no divide a ar.
Similarmente, sea bs el primer coeficiente de g(x) al que p no divide o sea
p divide a bj para j < s, pero p no divide a bs. El coeficiente de x
r+s en h(x)
es,
cr+s = (a0br+s + · · ·+ ar−1bs+1) + arbs+1 + (ar+1bs−1 + · · ·+ ar+sb0).
Por hipótesis, p divide a cr+s. Además, dado que p divide a ai para i < r, y p
divide a bj siempre que j < s implica que p divide a (a0br+s+· · ·+ar−1bs+1) y
p divide a (ar+1bs−1 + · · ·+ ar+sb0), entonces necesariamente p debe dividir a
arbs, lo cual resulta imposible porque p no divide ni a ar ni a bs concluyéndose
que h(x) debe ser primitivo.
Del anterior teorema se pueden extraer los dos corolarios que siguen,
Corolario. SiD es un dominio de factorización única y si f(x), g(x) pertene-
cen a D[ x ], entonces el contenido del producto f(x)g(x) es igual al producto
de los contenidos de f(x) y g(x).
232 CAPÍTULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
Demostración. Si c y d son respectivamente los contenidos de f(x) y g(x),
existen polinomios primitivos h(x), h1(x) en D[ x ] tales que f(x) = ch(x),
g(x) = dh1(x), entonces
f(x)g(x) = cdh(x)h1(x).
Pero h(x)h1(x) es un polinomio primitivo, luego el contenido de f(x)g(x) es
cd.
Igual cosa sucede para un número finito de polinomios.
Usando inducción matemática se demuestra el siguiente corolario.
Corolario. Si D es un dominio de factorización única, el producto de un
número finito de polinomios primitivos es primitivo.
Para un dominio de factorización única D y su correspondiente campo
de cocientes F, los irreducibles de D[ x ] son los irreducibles de D junto con
los polinomios primitivos no constantes que son irreducibles en F [ x ]. Esta
situación se describe en el siguiente teorema.
Teorema 5.5.3. Sean D un dominio de factorización única, F un campo de
cocientes de D, f(x) un polinomio no constante de D[ x ] de grado n. Si f(x)
es irreducible en D[ x ] también lo es en F [ x ]. Si f(x) es primitivo en D[ x ]
e irreducible en F [ x ] es irreducible en D[ x ].
Demostración. Sea f(x) un polinomio no constante de D[ x ] de grado n. Si
f(x) es reducible sobre F esto es, factorizable en polinomios de F [ x ] de
grado menor r, s, donde r + s = n, existen polinomios f1(x), f2(x) en F [ x ]
tales que f(x) = f1(x)f2(x).
Como F es un campo de cocientes de D.
f1(x) = a0/b0 + (a1/b1)x+ · · ·+ (ar/br)xr
Con ai, bi en D, bi �= 0
f2(x) = c0/d0 + (c1/d1)x+ · · ·+ (cs/ds)xs.
Con cj, dj en D, dj �= 0.
f1(x) = (1/b)(v0 + v1x+ · · ·+ vrxr) = (1/b)f3(x)
5.5. EL DOMINIO DE FACTORIZACION UNICA D[X ] 233
f2(x) = (1/d)(w0 + w1x+ · · ·+ wsxs) = (1/d)f4(x)
donde vi, wj son “enteros” esto es, elementos de D, y b = b0b1b2 · · · br,
d = d0d1d2 · · ·ds
Reemplazando se demuestra que f(x) = (1/b)(1/d)f3(x)f4(x), teniendo
presente que f3(x), f4(x) son polinomios de D[ x ] de grados r, s respectiva-
mente. Eliminando denominadores se concluye que
ef(x) = f3(x)f4(x), e = bd.
Pero existen polinomios primitivosh(x), h3(x), h4(x) en D[ x ] y c, c3, c4
en D tales que
f(x) = ch(x)
f3(x) = c3h3(x)
f4(x) = c4h4(x).
Ahora,
ef(x) = ech(x)
= f3(x)f4(x)
= c3c4h3(x)h4(x).
Existe una unidad u en D tal que c3c4 = ecu, entonces
ech(x) = ecuh3(x)h4(x)
o sea,
ch(x) = cuh3(x)h4(x).
Reemplazando se deduce la igualdad
f(x) = cuh3(x)h4(x).
Donde h3(x), h4(x) son de grado r, s respectivamente, c, u pertenecen a
D. Se ha demostrado que si f(x) tiene una factorización no trivial en F [ x ]
también tiene una factorización no trivial en D[ x ] o equivalentemente, si
f(x) es irreducible en D[ x ] también lo es en F [ x ].
Como D[ x ] es un subconjunto de F [ x ], entonces cualquier polinomio no
constante f(x) en D[ x ] que sea primitivo en D[ x ] e irreducible en F [ x ]
debe también ser irreducible en D[ x ].
234 CAPÍTULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
Una consecuencia del teorema anterior es la proposición que se enuncia
como el siguiente corolario.
Corolario. Si D es un dominio de factorización única, F un campo de co-
cientes deD, entonces un polinomio no constante f(x) enD[ x ] es el producto
de dos polinomios de menor grado en F [ x ] si y solo si es el producto de dos
polinomios del mismo grado en D[ x ].
Demostración. En la demostración anterior se partió del hecho de factorizar
a f(x) como el producto de dos polinomios de grados r, s en F [ x ] y se
comprobó que f(x) se pod́ıa escribir como el producto de dos polinomios del
mismo grado en D[ x ]. El rećıproco es obvio ya que D[ x ] es un subconjunto
de F [ x ], completándose aśı la demostración.
Como un caso particular del anterior corolario se afirma que si D es el
conjunto de los enteros, D[ x ] es el anillo de los polinomios con coeficientes
enteros Z[ x ], F es el campo de los racionales y F [ x ] es Q[ x ], entonces
un polinomio no constante de Z[ x ] se puede expresar como el producto de
dos polinomios de menor grado en Q[ x ] si y solo si tiene una factorización
semejante con polinomios del mismo grado en Z[ x ] o expresado en otros
términos: Si un polinomio entero mónico se factoriza como el producto de
dos polinomios no constantes de coeficientes racionales entonces se expresa
como el producto de dos polinomios enteros mónicos y rećıprocamente.
De esta última afirmación se puede derivar la siguiente: Sea
f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ xn, a0 �= 0
un polinomio mónico con coeficientes enteros. Si f(x) tiene un cero racional
t entonces tiene un cero entero r y además r divide a a0.
En efecto, si f(x) tiene un cero racional t, se puede escribir mediante la
igualdad f(x) = (x − t)q(x), donde q(x) ∈ Q[ x ] y es de grado (n − 1). Es
entonces posible escribir a f(x) como el producto de dos polinomios enteros
del mismo grado, luego existe r en Z tal que,
f(x = (x− r)(a0/r + · · ·+ xn−1),
con a0/r en Z y en consecuencia a0 divide a r.
Ejemplo 5.5.1. Demostrar que x2 − 11 es irreducible sobre Q
5.5. EL DOMINIO DE FACTORIZACION UNICA D[X ] 235
Solución. Decir que t es un cero de x2 − 11 significa que t2 − 11 = 0. Pero
si el valor absoluto de t es mayor o igual a 4, t2 − 11 es positivo. Si el valor
absoluto de t es menor o igual a 3, t2−11 es negativo. Lo anterior significa que
la igualdad, t2 − 11 = 0 no es posible para ningún t, concluyéndose entonces
que x2 − 11 no tiene ceros enteros, luego tampoco tiene ceros racionales y
por lo tanto no es posible factorizarlo como (x− t)q(x), con t un racional, es
decir es irreducible.
Ejemplo 5.5.2. Demostrar que el polinomio x3 + 2x2 + x− 5 es irreducible
sobre Q
Solución. Si f(x) tiene un factor lineal en Q, también tiene un cero en Z
y este cero debe dividir a −5. Los posibles divisores de −5 son 1 y 5 y
ninguno de ellos es un cero de dicho polinomio. Si uno de los factores fuera
cuadrático el otro deb́ıa ser lineal, pero esto es imposible. En conclusión f(x)
es irreducible.
El criterio de Eisenstein permite comprobar la irreducibilidad de polino-
mios en Q. Su enunciado se expresa como sigue.
Teorema 5.5.4. Sea f(x) = a0+a1x+· · ·+anxn un polinomio con coeficien-
tes enteros. Sea p un primo tal que p divide a ai ( 0 ≤ i ≤ n−1), p no divide
a an, p
2 no divide a a0. Entonces f(x) es irreducible sobre los racionales.
Demostración. Si es posible la factorización de f(x) como el producto de
dos polinomios con coeficientes racionales, es posible factorizarlo como el
producto de dos polinomios con coeficientes enteros.
Supongamos que f(x) es reducible, entonces
f(x) = g(x)h(x) = (b0 + b1x+ · · ·+ brxr)(c0 + c1x+ · · ·+ csxs)
con r + s = n, bi, cj enteros.
Desarrollando el producto se observa que a0 = b0c0. El hecho de p dividir
a a0 implica que p divide a b0 o p divide a c0, pero no a ambos, ya que p
2 no
divide a a0.
Supongamos que p divide a b0 entonces no divide a c0.
Si p dividiera a cada uno de los bi, (0 ≤ i ≤ r), se tuviera que p fuera un
factor de cada uno de los coeficientes de f(x) y entonces p deb́ıa dividir a
an lo que es falso por hipótesis, significando que p no divide a algunos de los
236 CAPÍTULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
bi. Sea bk el primero de los coeficientes de g(x) no divisibles por p esto es, p
divide a bi (0 ≤ i ≤ k) y p no divide a bk.
Pero
ak = bkc0 + bk−1c1 + · · ·+ b0ck.
Como p divide a ak necesariamente p divide a bkc0 pero por hipótesis p no
divide a bk ni a c0, luego no debe dividir a bkc0 lo cual es una contradicción y
en conclusión la supuesta factorización de f(x) no es posible y necesariamente
debe ser irreducible sobre Q.
Ejemplo 5.5.3. Demostrar que el polinomio 7x4− 15x3 + 10x2 + 5x− 35 es
irreducible sobre los racionales.
Solución. Tome p = 5 y aplique el criterio de Eisenstein.
A continuación se procede a demostrar que D[ x ] es un dominio de fac-
torización única.
Teorema 5.5.5. Si D es un dominio de factorización única, D[ x ] también
lo es, o equivalentemente D[ x ] es un dominio de factorización única siempre
y cuando D lo sea.
Demostración. Sea D un dominio de factorización única, F un campo de
cocientes deD, f(x) un polinomio deD[ x ] de grado n. f(x) se puede expresar
como el producto de un número finito de polinomios irreducibles en F [ x ] con
coeficientes en F , entonces,
f(x) = p1(x)p2(x) · · · pr(x).
Todos los coeficientes de los polinomios de la descomposición factorial de f(x)
se pueden expresar como cocientes de elementos de D es decir, elementos de
la forma a/b, b �= 0. Simplificando los denominadores se llega a la igualdad
df(x) = q1(x)q2(x) · · · qr(x)
con d ∈ D, qi(x) ∈ D[ x ] esto es, los coeficientes de dichos polinomios son
todos “enteros” o dicho con otros vocablos, elementos de D y el grado de
qi(x) es igual al de pi(x). Además cada uno de los qi(x) es irreducible. Tam-
bién f(x) = cg(x) y qi(x) = cigi(x), con g(x) y gi(x) polinomios primitivos.
Entonces
dcg(x) = (c1c2 · · · cr)g1(x)g2(x) · · · gr(x).
5.5. EL DOMINIO DE FACTORIZACION UNICA D[X ] 237
Pero g1(x)g2(x) · · · gr(x) es primitivo e irreducible en F [ x ] y c1c2 · · · cr = dcu
para alguna unidad u de D. Se puede por tanto escribir
dcg(x) = dcug1(x)g2(x) · · · gr(x)
g1(x), g2(x), . . . , gr(x) son irreducibles en D[ x ] dado que son primitivos
e irreducibles en F [ x ] por construcción. Además cu puede ser factorizado
como el producto de irreducibles en D.
En conclusión, f(x) se ha factorizado como el producto de irreducibles en
D[ x ].
Dado que el grado de f(x) es n, una representación de f(x) como el
producto de irreducibles sobre D[ x ] constantes o no, no es otra cosa que la
representación como el producto de unidades de F y polinomios irreducibles
de F [ x ]. Tales polinomios son únicos en D[ x ] salvo factores unidades. El
producto de los polinomios irreducibles de grado cero de D[ x ] (constantes de
D) que aparecen en la fatorización de f(x) es el contenido de dicho polinomio,
que es único salvo el orden y asociados.
Se concluye que D[ x ] es un dominio de factorización única.
EJERCICIOS
1. Exprese cada uno de los siguientes polinomios como el producto de su
contenido con un polinomioprimitivo.
a) 15x4 − 9x3 + 21x− 12 en Z[ x ].
b) 10x3 + 5x2 − 15x+ 30 en Z[ x ].
c) 18x2 − 12x+ 48 en Q[ x ].
d) 3x2 − 4x+ 6 en Z7[ x ].
2. Factorizar el polinomio 2x2 + 2x+ 3 en Z7[ x ].
3. Sean D un dominio de enteros, p un irreducible de D y [ p ] el conjunto
de todos los asociados de p en D. Demostrar que si p, q son irreducibles
en D tales que [ p ] ∩ [ q ] �= ∅, entonces [ p ] = [ q ].
4. Si D es un dominio de factorización única. Describa los irreducibles
de D[ x ] en términos de los irreducibles de D y de los irreducibles de
F [ x ], donde F es un campo de cocientes de D.
238 CAPÍTULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS
5. Tomando las definiciones de divisibilidad, unidad, asociado, irreducible
y dominio de factorización única dadas para los dominios de enteros y
adecuándolas a los anillos conmutativos con elemento unitario discuta
las factorizaciones en irreducibles de Z + Z. Discuta en particular la
factorización de (1, 0).
6. Si D es un dominio de factorización única, demostrar que un divisor no
constante de un polinomio primitivo deD[ x ] es un polinomio primitivo.
7. Demostrar que en un dominio de ideales principales, cada ideal está con-
tenido en un ideal maximal.
8. Factorizar x6 − y6 en irreducibles de Q[ x ] y compruebe que cada uno
de ellos es irreducible.
9. Se demostró que si D es un dominio de factorización única con un cam-
po de cocientes F , un irreducible f(x) de D[ x ] es también irreducible
en F [ x ]. Mostrar con un ejemplo que si g(x) ∈ D[ x ] es un irreducible
de F [ x ] no necesariamente debe ser un irreducible de D[ x ].
10. Determinar cuáles de los siguientes polinomios en Z[ x ] satisfacen el
criterio de Eisenstein sobre irreducibilidad en los racionales.
a) 4x10 − 9x6 + 24x2 − 6.
b) 3x4 + 14x2 + 35x+ 21.
c) 5x4 + 15x2 + 10x− 15.
d) 5x4 + 3x3 − 6x2 − 9x+ 24.
e) x2 + 2x− 15.
f ) 8x4 + 6x2 − 9x+ 24.
11. Use el criterio de Eisenstein para demostrar que
xp−1 + xp−2 + · · ·+ x2 + x+ 1
donde p es primo, es un polinomio irreducible sobre el campo de los
racionales.
12. Demuestre que si p es primo, el polinomio xn − p es irreducible sobre
el campo de los racionales.
Caṕıtulo 6
INTRODUCCIÓN AL
ÁLGEBRA GEOMÉTRICA
6.1. Álgebras de Clifford
La geometŕıa desarrollada por Euclides como un sistema axiomático y la ex-
presión de las relaciones geométricas usando ecuaciones algebraicas dominó el
pensamiento matemático hasta el siglo XIX cuando fueron propuestos nue-
vos sistemas conocidos como geometŕıas no euclidianas. Estas nuevas teoŕıas
se apoyaron en diferentes propiedades algebraicas, por lo que las investiga-
ciones se dirigieron a uniformarlas a través de estructuras con propiedades
semejantes.
El nombre de álgebra de Clifford se estableció en honor al matemático
y filósofo inglés William Kingdon Clifford, quien fue uno de los primeros en
reconocer la importancia del trabajo de Günther Grassmann, un profesor de
secundaria alemán. Clifford unificó las ideas de Grassmann y Hamilton en un
trabajo al que denominó álgebras geométricas. Demostró cómo el álgebra de
los cuaterniones de Hamilton pod́ıa ser considerada dentro de la estructura
planteada por Grassmann mediante la introducción de un nuevo producto
geométrico.
El álgebra de Clifford fue introducida en la f́ısica por David Hestenes y su
importancia radica en que mediante su uso se pueden desarrollar las teoŕıas
f́ısicas dándole significado geométrico a las operaciones e interpretación f́ısica
al desarrollo matemático de esta ciencia. Por ejemplo, ayuda a presentar de
manera coherente la teoŕıa de los espinores o multivectores pares del álgebra
239
240 CAPÍTULO 6. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA
cuando se consideran las variables espacio y tiempo. Su versatilidad consiste
en ubicar los tensores y los espinores al mismo nivel, un hecho importante en
la teoŕıa de la relatividad.
Para entender los descubrimientos de Clifford comenzamos examinando
brevemente algunos conceptos de los espacios vectoriales, para introducir el
producto de Clifford aśı como el producto externo.
Definición 6.1.1. Sea F = Δ = {α, β, γ, δ, λ, μ, . . .} un campo. El conjunto
V = {a, b, c, d, . . .} se denomina un espacio lineal o vectorial sobre F , si y
solamente si
1. V es un grupo abeliano.
2. FXV −→ V es una ley de composición externa tal que V es un grupo
con operadores y F es un dominio de operadores distributivo, o sea,
μ(a+ b) = μa+ μb.
3. (λ+ μ)a = λa+ μa.
4. (λμ)a = λ(μa).
5. 1a = a. Donde 1 es el módulo multiplicativo de F .
Note que en (3), el signo + escrito a la izquierda representa la suma del
campo F ; mientras que a la derecha es la suma del espacio V .
6.1.1. Bases y dimensión
El concepto de dimensión en los reales se usa en forma intutiva. Se dice que
las ĺıneas son unidimensionales, los planos son bidimensionales, el espacio eu-
clidiano es tridimensional y aśı sucesivamente. Pero es a través de los axiomas
como se puede formalizar esta noción.
Definición 6.1.2. El vector b se dice que es una combinación lineal de los
vectores a1, a2, . . . , an si existen escalares λ1, λ2, . . . , λn tales que
b = λ1a1 + λ2a2 + · · ·+ λnan.
Un conjunto de vectores {a1, a2, . . . , an} se dice linealmente dependiente,
si existen escalares λ1, λ2, . . . , λn, no todos nulos, tales que
λ1a1 + λ2a2 + · · ·+ λnan = 0.
6.1. ÁLGEBRAS DE CLIFFORD 241
Se dice que el conjunto {a1, a2, . . . , an} es linealmente independiente si el
hecho que
λ1a1 + λ2a2 + · · ·+ λnan = 0
equivale a afirmar que λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.
El conjunto {a1, a2, . . . , an} se dice que genera el espacio V , si cada
elemento de V puede ser expresado como una combinación lineal de elementos
de dicho conjunto.
Un conjunto de vectores linealmente independientes que generan el espacio
V se denomina una base de V.
Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que gene-
ran el espacio. En particular, si los elementos de la base son perpendiculares
dos a dos la base se denomina ortonormal.
Definición 6.1.3. Un espacio vectorial diferente de {0} que tiene una base
con n elementos, se dice que es un espacio n-dimensional o simplemente que
tiene dimensión n.
Para los espacios de dimensión finita, el número de elementos de la base
no es otra cosa que el cardinal de dicho conjunto. En cualquier texto de
álgebra lineal se puede leer la demostración del siguiente teorema.
Teorema 6.1.1. Dado un espacio vectorial V de dimensión n.
1. Toda base de V tiene exactamente n elementos.
2. Todo conjunto de vectores linealmente independientes es un subcon-
junto de alguna base de V .
3. Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes forma una
base de V .
Definición 6.1.4. Sean V , W dos espacios vectoriales sobre el campo F. Se
dice que V es isomorfo a W si y solo si existe un isomorfismo φ entre los
respectivos grupos, esto es, para todo a, b en V
(a+ b)φ = aφ+ bφ
y para todo λ en F
(λa)φ = λ(aφ).
242 CAPÍTULO 6. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA
El espacio de los polinomios de segundo grado con coeficientes reales es iso-
morfo con R3. Basta definir φ mediante la igualdad
(λ0 + λ1x+ λ2x
2)φ = (λ0, λ1, λ2).
Las operaciones de los espacios vectoriales no son suficientes para abordar la
mayoŕıa de los problemas de la f́ısica teórica, por lo que se requiere considerar
otro tipo de operaciones. Lo primero es dotar los espacios vectoriales de una
métrica que permita extender los conceptos de la geometŕıa euclidiana. En
principio partimos de una métrica con valor real, esto es, una función de
V XV → R, la cual es viable extender a los complejos.
Definición 6.1.5. Un producto interno de un espacio vectorial sobre R es
una función (·) de V XV → R tal que
1. a · b = b · a, para todo a, b en V .
2. (λa+ μb) · c = λ(a · c) + μ(b · c), para todo a, b en V , λ, μ en R.
3. a · a > 0, si a �= 0.
Particularmente en Rn para a = (x1, x2, . . . , xn), b = (y1, y2, . . . , yn) se
tiene la igualdad
a · b =
n∑
i=1
xiyi.
Definición 6.1.6. Un espacio vectorial sobre R dotadode un producto in-
terno se denomina un espacio euclidiano.
Definición 6.1.7. En un espacio euclidiano la longitud o norma de un vector
a, denominado ‖ a ‖, se define mediante la igualdad
‖ a ‖= √a · a.
Definición 6.1.8. En un espacio euclidiano, dos vectores a, b se dicen orto-
gonales o perpendiculares si y solamente si a · b = 0.
Una base se dice ortogonal, si sus elementos son perpendiculares dos a dos.
Si además, cada uno es un vector unitario, la base se denomina ortonormal.
En un espacio euclidiano siempre es posible, a partir de un vector no nulo
a, encontrar un vector unitario b. Este se describe por la igualdad
b =
a
‖ a ‖ .
6.1. ÁLGEBRAS DE CLIFFORD 243
Es fácil ver que ‖ b ‖= 1. La situación anterior permite a partir de una
base ortogonal encontrar una base ortonormal, basta con dividir cada uno
de los elementos de la base por su respectiva norma. En este punto estamos
preparados para introducir el álgebra de Clifford.
Partiendo de una base ortonormal cualquiera {e1, e2} en R2, para un
vector a = xe1 + ye2
‖ a ‖=
√
x2 + y2.
Es natural establecer que el producto de a por a, es decir, a2 sea igual al
cuadrado de la longitud de a. En śımbolos
a2 =‖ a ‖2 .
En otros términos, se ha establecido un producto que satisface la igualdad
(xe1 + ye2)
2 = x2 + y2.
Aplicando las leyes del álgebra, excepto la conmutativa, se establece que
(xe1 + ye2)
2 = x1
2e1
2 + xy(e1e2 + e2e1) + y2
2e2
2
= x2 + y2.
Pero la última igualdad se verifica si y solo si
e21 = e
2
2 = 1 y e1e2 = −e2e1,
hechos que corresponden a la escogencia de la base.
Para calcular (e1e2)
2 se establecen las igualdades
(e1e2)
2 = (e1e2)(e1e2)
= e1(e2e1)e2
= e1(−e1e2)e2
= −(e1e1)(e2e2)
= −(e1)2(e2)2
= −(1)(1)
= −1.
El producto e1e2 es un elemento cuyo cuadrado es igual a −1, por lo tanto
no es un escalar ni un vector. Este producto es una nueva clase de unidad,
denominada bivector, representado por el área plana orientada formada por
el cuadrado cuyos lados son e1 y e2. Por brevedad se escribe e1e2 = e12 y se
conviene en representarlo por e1 ∧ e2.
244 CAPÍTULO 6. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA
x
y
e12
e1
e2
Figura 6.1
Observe que al dar un giro de noventa grados en el sentido positivo, los ejes
coordenados cambian roles por lo que e2 = −e1 y e1 = e2, obteniendose el
producto e1e2 = e2(−e1) = −e2e1 = −e21.
El conjunto {1, e1, e2, e12} es una base para el álgebra de Clifford Cl2
del plano vectorial R2. Un elemento A de este álgebra viene dado por la
igualdad
A = λ0 + λ1e1 + λ2e2 + λ3e12.
Esto es, A es una combinación lineal de un escalar λ0, un vector (λ1e1 +λ2e2)
y un bivector λ3e12.
El álgebra de Clifford Cl2 es un espacio lineal 4-dimensional sobre los
reales con la siguiente tabla de multiplicar
∗ e1 e2 e12
e1 1 e12 e2
e2 −e12 1 −e1
e12 −e2 e1 −1
Figura 6.2
6.1.2. El producto exterior
Para los propósitos del álgebra geométrica, el producto exterior provee una
forma de representar bivectores; por lo tanto el resultado del producto ex-
terior no es ni un escalar ni un vector. Para dos vectores a = λ1e1 + λ2e2,
b = μ1e1 + μ2e2 el producto a ∧ b contiene los siguientes elementos
a ∧ b = (λ1e1 + λ2e2)(μ1e1 + μ2e2)
= λ1μ1(e1)
2 + λ1μ2e12 + λ2μ1e21 + λ2μ2(e2)
2
= λ1μ1 + λ1μ2e12 − λ2μ1e12 + λ2μ2
= λ1μ1 + λ2μ2 + (λ1μ2 − λ2μ1)e12.
6.1. ÁLGEBRAS DE CLIFFORD 245
Para que el producto tenga sentido es necesario eliminar la parte real, obte-
niéndose la expresión (λ1μ2 − λ2μ1)e12. Esto permite establecer la siguiente
definición
Definición 6.1.9. Dados los vectores a = λ1e1 + λ2e2, b = μ1e1 + μ2e2 el
producto exterior a ∧ b se define mediante la igualdad
a ∧ b = (λ1μ2 − λ2μ1)e12.
El bivector a ∧ b se representa por la región plana conformada por el para-
lelogramo de lados a y b. Donde la parte inicial de b se ubica a partir de la
parte final de a.
x
y
a ∧ b
a
b
Figura 6.3
No se pierde generalidad al suponer que los vértices de dicho paralelogramo
son los puntos (0, 0), (λ1, λ2), (λ1 + μ1, λ2 + μ2), (μ1, μ2) el área es igual a la
mitad del valor absoluto del determinante formado con las coordenadas de
los vértices respectivos, o sea,
1
2
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 0
λ1 λ2
λ1 + μ1 λ2 + μ2
μ1 μ2
∣∣∣∣∣∣∣∣
Desarrollando el determinante se obtiene
A =
1
2
∣∣∣[0 + λ1(λ2 + μ2) + μ2(λ1 + μ1)− μ1(λ2 + μ2)− λ2(λ1 + μ1)− 0]∣∣∣
=
1
2
∣∣∣[λ1λ2 + λ1μ2 + λ1μ2 + μ1μ2 − λ2μ1 − μ1μ2 − λ1λ2 − λ2μ1]∣∣∣
=
1
2
∣∣∣2[λ1μ2 − λ2μ1]∣∣∣
=
∣∣λ1μ2 − λ2μ1∣∣
= |a ∧ b|.
246 CAPÍTULO 6. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA
Tomando el producto externo b por a
b ∧ a = (μ1λ2 − μ2λ1)e12
= (λ2μ1 − λ1μ2)e12
= −(λ1μ2 − λ2μ1)e12
= −a ∧ b.
De acuerdo con la posición de a y b, los bivectores a∧b, b∧a tienen igual mag-
nitud pero sentidos opuestos, este hecho se expresa diciendo que el producto
exterior de vectores es anticonmutativo. Además, para todo vector a
a ∧ a = 0.
El producto externo es distributivo con respecto a la adición.
Sean a = (λ1e1 + λ2e2), b = (μ1e1 + μ2e2), c = (κ1e1 + κ2e2)
a ∧ (b+ c) = [λ1(μ2 + κ2)− λ2(μ1 + κ1)]e1e2
= [λ1μ2 + λ1κ2 − λ2μ1 − λ2κ1]e1e2
= [(λ1μ2 − λ2μ1) + (λ1κ2 − λ2κ1)]e1e2
= [λ1μ2 − λ2μ1]e1e2 + [λ1κ2 − λ2κ1]e1e2
= a ∧ b+ a ∧ c.
6.1.3. El producto de Clifford
Teniendo en cuenta que al realizar el producto ab se obtiene la igualdad
ab = λ1μ1 + λ2μ2 + (λ1μ2 − λ2μ1)e12,
y a partir del producto interior
a · b = λ1μ1 + λ2μ2
se establece la definición
Definición 6.1.10. Para los vectores a = λ1e1 + λ2e2, b = μ1e1 + μ2e2 el
producto de Clifford ab se define por la igualdad
ab = a · b+ a ∧ b.
6.2. ÁLGEBRAS DEL PLANO Y EL ESPACIO 247
El producto de Clifford es la combinación de un escalar y un bivector. Se da
por aceptado que este es asociativo. Esto es, para los vectores a, b, c
a(bc) = (ab)c = abc.
La conmutatividad del producto escalar y la anticonmutatividad del producto
exterior implican una relación entre los productos ab y ba. Esto es,
ba = a · b− a ∧ b.
Sumando las anteriores igualdades se obtiene
ab+ ba = 2(a · b).
Despejando a · b se llega a
a · b = 1
2
(ab+ ba).
Por otra parte si restamos estas igualdades y despejamos a ∧ b se concluye
que
a ∧ b = 1
2
(ab− ba).
Partiendo de los vectores paralelos a = λ1e1 + λ2e2 y b = κλ1e1 + κλ2e2
ab = κ(λ1)
2 + κ(λ2)
2 + κ(λ1λ2 − λ1λ2)e12
= κ[(λ1)
2 + (λ2)
2]
= ba.
Como en este caso el bivector se anula, ab es un escalar igual a ba y por lo
tanto se tiene que a ∧ b = 0.
En śıntesis, si a y b son paralelos ab = ba y además a ∧ b = 0. Si a y b
son perpendiculares a · b = 0, en cuyo caso ab = a ∧ b y por consiguiente
ab = −ba.
6.2. Álgebras geométricas del plano y el
espacio
Considere el espacio bidimensional generado por la base ortonormal {e1, e2}.
Teniendo en cuenta que el producto externo de cualquier conjunto de vectores
248 CAPÍTULO 6. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA
linealmente dependientes es igual a cero, el elemento de mayor grado que se
puede obtener en este espacio es el bivector e1 ∧ e2.
El álgebra del plano, Cl2 es generado por la base {1, e1, e2, e1 ∧ e2}. Cual-
quier multivector es una combinación de elementos de la base. Si e0 = 1,
dados los multivectores
A = λ0e0 + λ1e1 + λ2e2 + λ3e1 ∧ e2,
B = μ0e0 + μ1e1 + μ2e2 + μ3e1 ∧ e2,
la suma está dada por
A+B = (λ0 + μ0)e0 + λ1 + μ1)e1 + (λ2 + μ2)e2 + (λ3 + μ3)e1 ∧ e2.
De acuerdo con la definición
e1e2 = e1 · e2 + e1 ∧ e2 = e1 ∧ e2.
Por ser perpendiculares, el producto exterior es anticonmutativo,
e2e1 = e2 ∧ e1 = −e1 ∧ e2 = −e1e2.
Por otra parte se tiene la igualdad,
(e1e2)
2 = −1.
Siempre es posible operar vectores tanto a izquierda como a derecha por el
bivector e1 ∧ e2. Por ejemplo, al operar por la izquierda a e1 y e2 se obtiene
(e1 ∧ e2)e1 = (−e2e1)e1 = −e2e1e1 = −e2,
(e1 ∧ e2)e2 = (e1e2)e2 = e1e2e2 = e1.
Al operar por la derecha se tiene
e1(e1 ∧ e2) = e1(e1e2) = e1e1e2 = e2,
e2(e1 ∧ e2) = e2(−e2e1) = −e2e2e1 = −e1.
Asumiendo que e1, e2 forman un sistema coordenado de mano derecha, se
puede decir que multiplicando un vector a izquierda por e1 ∧ e2 lo rota 90o
en el sentido de las manecillas del reloj o sentido negativo. De igual mane-
ra aloperar e1 ∧ e2 por la derecha se efectúa una rotación de 90o en sentido
6.2. ÁLGEBRAS DEL PLANO Y EL ESPACIO 249
positivo. Si operamos sucesivamente a izquierda o a derecha por e1e2 el resul-
tado será una rotación de 180o, lo que implica un cambio de sentido, esto es
equivalente a multiplicar por −1; lo cual es de esperarse ya que (e1e2)2 = −1.
Por su similitud con la unidad imaginaria de los complejos, a e1 ∧ e2 se
le denomina un seudoescalar y se conviene en representarlo con I. Ahora
es obvia la relación existente entre el álgebra de los complejos y el álgebra
geométrica bidimensional. La combinación de un escalar con un bivector
puede asimilarse a un complejo mediante la igualdad
Z = λ+ μe1e2 = λ+ Iμ.
Es necesario aclarar que mientras los complejos sirven para generar rotaciones
y dilataciones mediante su descomposición polar e igualmente representan
vectores en el plano complejo, en el álgebra geométrica Cl2 los complejos son
sumas de escalares con bivectores y por su parte los vectores son elementos
de grado uno, esto es, son combinaciones lineales de elementos de la base.
Dado un vector a = λ1e1 + λ2e2, es viable multiplicarlo a izquierda por
e1 estableciéndose las igualdades
e1a = e1(λ1e1 + λ2e2)
= λ1 + λ2e1e2
= λ1 + Iλ2.
Al multiplicar a izquierda por e1 se transforma un vector en un complejo.
6.2.1. El álgebra tridimensional
A través del álgebra geométrica en tres dimensiones se pueden presentar los
vectores, los planos y los volúmenes en un sistema unificado más amplio que
incluye las operaciones clásicas con los vectores. En especial el producto cruz
es asimilado a un bivector generalizando este concepto para convertirlo en
una herramienta útil en el desarrollo de la geometŕıa, contribuyendo de paso
a facilitar el estudio de la mecánica clásica y otros problemas de la f́ısica.
La idea, como en el caso de Cl2, es partir de tres vectores unitarios per-
pendiculares entre śı {e1, e2, e3}, esto es, tales que su producto geométrico
sea anticonmutativo.
Con e1, e2, e3 solo se pueden construir tres bivectores linealmente inde-
pendientes, los que se denominan e1e2, e2e3 y e3e1. Tomando el producto
250 CAPÍTULO 6. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA
(e1e2)e3 se obtiene
(e1e2)e3 = e1e2e3.
Este producto es un elemento de grado tres al que se denomina un trivector
y corresponde a proyectar el plano de e1e2 perpendicularmente a lo largo
de e3, generando en este caso un cubo orientado. Es el único que constituye
un volumen en el espacio tridimensional y corresponde al elemento de mayor
grado. Se representa por I y se denomina un seudoescalar ya que su cuadrado
es igual a −1, en efecto
(e1e2e3)
2 = e1e2e3e1e2e3
= e1e1e2e3e2e3
= −e1e1e2e2e3e3
= −1.
e1
e3
e2 e2
I
Figura 6.4
El álgebra Cl3 se puede generar por el conjunto
{1, e1, e2, e3, e23, e31, e12, e123}.
Un escalar, tres vectores, tres bivectores y un trivector. En total son ocho
elementos correspondientes al desarrollo de los coeficientes binomiales(
3
0
)
+
(
3
1
)
+
(
3
2
)
+
(
3
3
)
=
(
1 + 1
)3
= 23.
Donde (
3
r
)
=
3!
(3− r)!r! 0 ≤ r ≤ 3.
El álgebra de Cl3 posee algunos nuevos elementos y relaciones a estudiar. Un
vector a tiene ahora la forma
a = λ1e1 + λ2e2 + λ3e3.
6.2. ÁLGEBRAS DEL PLANO Y EL ESPACIO 251
El cuadrado de cada uno de los bivectores e1e2, e2e3, e3e1 es igual a −1.
Al multiplicar e1, e2, e3 por la derecha por e2e3,
e1(e2e3) = e1e2e3 = I,
e2(e2e3) = e2e2e3 = e3,
e3(e2e3) = e3e2e3 = −e2.
Las anteriores igualdades indican que al operar un vector por la derecha por
e2e3 lo rota 90
o en sentido positivo en su respectivo plano. Igual cosa sucede si
operamos por e1e2 o por e3e1. En general, cada uno de los bivectores básicos
genera rotaciones de 90o en su propio plano.
Partiendo del hecho que e1, e2, e3 conforman un sistema coordenado a
mano derecha, el producto externo de dos vectores se puede representar como
una combinación lineal de los bivectores e2 ∧ e3, e3 ∧ e1 y e1 ∧ e2.
Definición 6.2.1. Si a = (λ1e1 + λ2e2 + λ3e3), b = (μ1e1 + μ2e2 + μ3e3), el
producto externo a ∧ b viene dado por la igualdad
a ∧ b = (λ2μ3 − λ3μ2)e23 + (λ3μ1 − λ1μ3)e31 + (λ1μ2 − λ2μ1)e12.
Las componentes de a ∧ b son las mismas del producto a × b, la diferencia
radica en que en el primer caso son los coeficientes de los bivectores básicos
e23, e31, e12; en el segundo a× b, a y b conforman un sistema a mano derecha
y a × b es un vector perpendicular al plano definido por a y b. Por otra
parte, mientras el producto externo puede ser definido en cualquier espacio,
el producto cruz solo tiene sentido en tres dimensiones.
El conjunto V2 de los bivectores forman un grupo abeliano bajo la suma,
poseen un producto externo distributivo V2 × F → F que además verifica
para los bivectores A,B de V2 y los escalares 1, λ, μ de F .
1. λ(A+B) = λA + λB.
2. (λμ)A = λ(μA).
3. 1A = A,
lo que identifica a V2 como un espacio lineal.
Si en Cl3 definimos una función φ : V → V2 dada por
(λ1e1 + λ2e2 + λ3e3)φ = λ1e23 + λ2e31 + λ3e12,
252 CAPÍTULO 6. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA
es tarea de rutina verificar que φ es un isomorfismo.
En Cl3 se verifica la propiedad distributiva del producto externo con res-
pecto a la suma, esto es,
a ∧ (b+ c) = a ∧ b+ a ∧ c.
b + c
a ∧ c
a ∧ (a + c)
a ∧ b
a
a b
c
Figura 6.5
En el espacio tridimensional, la intersección de dos planos no paralelos es una
recta, si esta ĺınea se representa por a, los bivectores a∧b, a∧c corresponden
a los planos.
Al extender el producto geométrico, se obtienen elementos de la forma
aA donde a es un vector y A es un bivector. Sin pérdida de generalidad,
supongamos que a es un vector que no pertenece al plano de e1e2. En estas
condiciones a se puede descomponer en la forma
a = a‖ + a⊥.
Donde a‖ está contenido en el plano de e1e2 y a⊥ es perpendicular a dicho
plano. Por otra parte, siempre es posible encontrar un vector b en el plano
de e1e2 perpendicular a a‖.
a⊥ a
a‖A
b
Figura 6.6
Sea A el bivector conformado por a‖ y b, es decir
A = a‖ ∧ b = a‖b.
6.2. ÁLGEBRAS DEL PLANO Y EL ESPACIO 253
Tomando el producto a‖A
a‖A = a‖(a‖b) = a2‖b.
a‖A es un vector contenido en el plano de e1e2. Por su parte
a⊥A = a⊥(a‖ ∧ b) = a⊥a‖b,
a⊥A es un trivector conformado por el producto de tres vectores perpendi-
culares.
Como se ha mostrado, el producto de un vector por un bivector en general,
está conformado por vectores y trivectores.
Partiendo de las anteriores consideraciones
a(b ∧ c) = a1
2
(bc− cb) = 1
2
(abc− acb).
Teniendo en cuenta que
ab = 2(a · b)− ba y ac = 2(a · c)− ca,
se trata de establecer la diferencia entre a(b ∧ c) y (b ∧ c)a.
a(b ∧ c) = 1
2
(abc− acb)
=
1
2
[(2(a · b)− ba)c− (2(a · c)− ca)b]
=
1
2
[(2(a · b)c− bac)− (2(a · c)b− cab)]
=
1
2
[2(a · b)c− 2(a · c)b− bac + cab]
= (a · b)c− (a · c)b− 1
2
(bac− cab).
(b ∧ c)a = 1
2
(bca− cba)
=
1
2
[(2(b · c)− cb)a− (2(c · b)− bc)a]
=
1
2
[2(b · c)a− cba− 2(c · b)a+ bca]
=
1
2
[2(b · c)a− cba− 2(b · c)a+ bca]
=
1
2
bca− 1
2
cba.
254 CAPÍTULO 6. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA
Tomando la diferencia,
a(b ∧ c)− (b ∧ c)a = (a · b)c− (a · c)b− 1
2
(bac− cab)− 1
2
(bca− cba)
= (a · b)c− (a · c)b− 1
2
(bac + bca) +
1
2
(cab+ cba)
= (a · b)c− (a · c)b− 1
2
b(ac + ca) +
1
2
c(ab+ ba)
= (a · b)c− (a · c)b− (a · c)b+ (a · b)c
= 2(a · b)c− 2(a · c)b.
El resultado anterior muestra que
1
2
[a(b ∧ c)− (b ∧ c)a] = (a · b)c− (a · c)b.
Debido a que la parte derecha de la igualdad es un vector, la operación
anterior transformó de alguna manera el producto de vectores por bivectores
en un vector. Ante esta situación, por su similaridad con el producto interno,
se conviene en escribir
a · A = 1
2
(aA− Aa) = −A · a,
donde A es un bivector cualquiera. La última parte de la igualdad muestra
que el producto interno de un vector por un bivector, a · A es antisimétrico.
Combinando las dos últimas igualdades se concluye que
a · (b ∧ c) = (a · b)c− (a · c)b.
De la expesión
a(b ∧ c) = (a · b)c− (a · c)b− 1
2
(bac− cab),
se concluye que el productode un vector por un bivector, en general, está con-
formado por vectores y trivectores. Este producto se nota con ∧ por aumentar
el grado de los componentes, por lo que se escribe
a ∧ (b ∧ c) = 1
2
[a(b ∧ c) + (b ∧ c)a].
6.2. ÁLGEBRAS DEL PLANO Y EL ESPACIO 255
De la anterior igualdad se establece
a ∧ A = 1
2
(aA+ Aa).
Sumando a ·A con a ∧ A,
a · A + a ∧A = 1
2
[aA− Aa] + 1
2
[aA + Aa]
=
1
2
[aA+ aA] +
1
2
[Aa− Aa]
= aA.
En śıntesis, se concluye que, para todo vector a y para todo bivector A
aA = a · A+ a ∧ A.
A partir de ahora se puede demostrar la propiedad asociativa del producto
exterior.
a ∧ (b ∧ c) = 1
2
[a(b ∧ c) + (b ∧ c)a]
=
1
2
[
1
2
(abc− acb) + 1
2
(bca− cba)]
=
1
4
[abc− acb+ bca− cba].
Sumando 1
4
(bac− bac + cab− cab), reorganizando términos y factorizando,
a ∧ (b ∧ c) = 1
4
[(ab− ba)c + b(ac+ ca) + c(ab− ba)− (ca+ ac)b].
Usando la igualdad (ab− ba) = 2(a ∧ b),
a ∧ (b ∧ c) = 1
4
[2(a ∧ b)c+ b(ac + ca) + 2c(a ∧ b)− (ca+ ac)b]
=
1
2
[(a ∧ b)c + c(a ∧ b) + 1
2
b(ac+ ca)− 1
2
(ca+ ac)b]
=
1
2
[(a ∧ b)c + c(a ∧ b) + b(c · a))− (c · a)b]
=
1
2
[c(a ∧ b) + (a ∧ b)c]
= (a ∧ b) ∧ c.
256 CAPÍTULO 6. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA
Es fácil comprobar que el producto externo de un vector por un bivector es
simétrico, en efecto
a ∧ A = a ∧ (b ∧ c)
= (a ∧ b) ∧ c
= −(b ∧ a) ∧ c
= −b ∧ (a ∧ c)
= b ∧ (c ∧ a)
= (b ∧ c) ∧ a
= A ∧ a.
6.2.2. Trivectores
Dados tres vectores a, b, c el producto externo a ∧ b ∧ c se denomina un
trivector. Se obtiene proyectando el plano de a∧b a lo largo de c y corresponde
a un volumen orientado. Gráficamente se representa por un un paraleleṕıpedo
rectangular.
De acuerdo con la propiedad asociativa, a∧ (b∧ c) = (a∧ b)∧ c, situación
que corresponde a decir que a ∧ b ∧ c también se obtiene proyectando el
plano de b ∧ c a lo largo de a como se ilustra en el gráfico. Esto indica que
a ∧ b ∧ c = b ∧ c ∧ a.
a
b
c
a ∧ b
a
b
cb ∧ c
Figura 6.7
Debido a la antisimetŕıa del producto externo entre vectores, a ∧ b ∧ c cam-
bia de signo al conmutar cualquier par. Geométricamente significa que al
conmutar cualquier par de vectores se invierte el sentido de la proyección.
Como es obvio, al conmutar sucesivamente una pareja de vectores el sen-
tido de la proyección no cambia, por esta razón,
a ∧ b ∧ c = c ∧ a ∧ b = b ∧ c ∧ a.
6.3. EL ÁLGEBRA CLN 257
Debido a que I es el único trivector unitario, a ∧ b ∧ c necesariamente debe
ser un múltiplo escalar de I, esto es,
a ∧ b ∧ c = κI.
donde | κ | representa el volumen del paraleleṕıpedo de lados a, b, c.
6.3. El álgebra Cln
Iniciamos con una discusión axiomática del álgebra geométrica Cln, en térmi-
nos de los elementos de lo que se denominará la base canónica de Rn. El obje-
tivo es discutir las propiedades que deben tener las operaciones para trabajar
con ciertas ecuaciones propias de Cln.
Sean, Rn el espacio vectorial n-dimensional sobre los reales y un producto
escalar conmutativo, ∗ : Rn×Rn −→ R tal que para toda pareja de vectores
a, b de Rn
a ∗ b = b ∗ a ∈ R.
Definición 6.3.1. La base canónica vectorial de Rn, es el conjunto ordenado
{e1, e2, . . . , en}
donde ei ∗ ei = 1, ei ∗ ej = 0 si i �= j; para 1 ≤ i, j ≤ n.
La combinación de un espacio vectorial con producto escalar se denomina
un espacio cuadrático, estos espacios son la base para la construcción de
las álgebras geométricas. Iniciamos la construcción de Cln con el siguiente
axioma:
Axioma 6.3.1. Sean Cln el álgebra asociativa sobre el espacio cuadráti-
co 〈Rn, ∗〉 y el producto geométrico de elementos de Rn. Cln es un álgebra
geométrica si para a ∈ Rn ⊂ Cln, aa = a ∗ a.
Los elementos de Cln, denominados multivectores, satisfacen los axiomas
de un espacio vectorial sobre Rn.
Axioma 6.3.2. En Cln existen dos operaciones denominadas suma y pro-
ducto por escalares tales que:
1. Para cada pareja A, B ∈ Cln, existe C ∈ Cln; C = A+B.
258 CAPÍTULO 6. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA
2. Para todo A ∈ Cln y para todo escalar α ∈ R; αA ∈ Cln.
Axioma 6.3.3. Dados A,B,C ∈ Cln; α, β ∈ R:
1. (A+B) + C = A+ (B + C).
2. A+B = B + A.
3. Existe 0 ∈ Cln tal que:
A+ 0 = 0 +A = A.
4. α(βA) = (αβ)A.
5. αA = Aα.
6. Existe 1 ∈ R tal que:
1A = A1 = A.
7. α(A+ B) = αA+ αB.
8. (α+ β)A = αA+ βB.
Definición 6.3.2. Dados A,B ∈ Cln, la diferencia entre A y B, notada
A− B se define por la igualdad:
A− B = A + (−1)B.
Axioma 6.3.4. Existe en Cln un producto denominado producto geométri-
co, de modo que para A,B,C ∈ Cln y α, β ∈ R, se verifican las siguientes
propiedades:
1. AB ∈ Cln.
2. (AB)C= A(BC).
3. A(B+C)= AB + AC.
4. (B + C)A = BA + CA.
5. El producto geométrico de un escalar α por un multivector A, es idéntico
al producto escalar αA.
Axioma 6.3.5. Si a ∈ Rn, entonces aa = a ∗ a ∈ R.
6.3. EL ÁLGEBRA CLN 259
El axioma anterior establece que el producto geométrico de un vector con
él mismo, es un real. Esta aseveración no es válida para multivectores en
general.
Antes de continuar se establecen unas definiciones preliminares.
Definición 6.3.3. Dado un conjunto ordenado B = {b1, b2, . . . , bk}, se de-
nomina B[ i ] al i-ésimo elemento de B. B[ i ] = bi; 1 ≤ i ≤ k.
Si B = {2, 4, 1, 5}, B[ 3 ] = 1.
Definición 6.3.4. Si {e1, e2, . . . , en} es la base canónica de Rn, el producto
geométrico de elementos de Rn se define por la igualdad:
k∏
i=1
ei = e1e2 . . . ek, 1 ≤ k ≤ n, {ei} ⊂ Rn.
Definición 6.3.5. Un k-vector básico de Cln es el producto de un número
de diferentes elementos de la base canónica de Rn. Si B ⊂ {1, 2, . . . , n},
entonces eB es el k-vector básico:
eB =
|B |∏
i=1
eB[ i ], donde k = |B |.
6.3.1. Bases algebraicas
Dado un conjunto A = {1, 2, 3, . . . , n}, cuyo cardinal |A | = n, el conjunto
de las partes de A está dado por la igualdad:
P(A) =
{
φ, {1}, {2}, . . . , {n}, {1, 2}, {1, 3}, . . . , A}
P(A) es un conjunto totalmente ordenado de acuerdo con el orden natural
de N: sus 2n elementos se ordenan aśı:
1. En forma ascendente de acuerdo con el cardinal de cada subconjunto.
2. Los elementos de cada subconjunto se escriben de menor a mayor.
3. Los subconjuntos con igual cardinal se ordenan teniendo en cuenta el
primer elemento; una vez agotado, este se procede a ordenar teniendo
en cuenta el segundo y aśı sucesivamente.
260 CAPÍTULO 6. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA
4. Debido a que el cardinal de φ es igual a cero, este elemento aparece
en primer lugar. Finalmente se escribe el subconjunto A por tener el
cardinal mayor.
El conjunto N de los números naturales es un conjunto totalmente orde-
nado por el orden natural. Dicho orden permite ubicar los elementos de la
base mediante la sucesión:
0 < 1 < · · · < 9
y a partir de estos elementos se conviene en escribir:
ab < ac si y solamente si b < c
donde a, b, c son elementos de la base. Para ordenar elementos con tres o
más d́ıgitos se procede comparando los d́ıgitos que ocupen el tercer lugar y
aśı sucesivamente. Además, todo elemento conformado con un número mayor
de d́ıgitos se ubicará a la derecha.
Se establece una correspondencia biuńıvoca de P(A) con los productos
geométricos de Rn, en la siguiente forma:
B ←→ eB, B ⊆ A.
Además se establece la relación:
φ←→ 1 = eφ.
Definición 6.3.6. La base canónica algebráica de Cln se define mediante el
conjunto ordenado:
Bn = {eBi | Bi ∈ P(A)}
Definición 6.3.7. El elemento eA = e1e2 . . . en, A ∈ P(A) se denomina un
seudoescalar y se representa por I.
Teniendo presente, que en Cln, el cuadrado de cada uno de los 1-vectores
básicos ei es igual a 1, se da la siguiente definición.
Definición 6.3.8. El grado del k-vector básico eB, notado gr(eB), se define
por la igualdad:
gr(eB) = |B |.
6.3. EL ÁLGEBRA CLN 261
Como |φ | = 0, por definición, gr(eφ) = 0 y dado que eφ = 1, se concluye
que gr(1) = 0.
El orden de los elementos de la base canónica de Cln es el mismo de los de
P(A), por ejemplo si B y C pertenecen a P(A) y B < C, entonces eB < eC .
Estamos en posición de afirmar que el conjunto:
Bn =
{
1, e1, e2, . . . , en, e12, e13, . .. , eBi , . . . , I
}
=
{
eBi | Bi ∈ P(A)
}
constituye la base canónica de Cln. Como eiej �= ejei para i �= j, usando un
orden diferente, es posible describir diferentes bases. La selección de una de
tales bases es arbitraria, debido a que los espacios que generan son isomorfos.
Debido a la existencia de múltiples bases, la escogencia de una determi-
nada, condiciona la conformación de cada uno de los k-vectores básicos eBi .
El producto de los ej ∈ Bi debe hacerse siguiendo el orden de los elementos
de Bi, por ejemplo, si Bi = {3, 2, 1}, eBi = e3e2e1.
Para simplificar la notación se conviene en establecer la igualdad:
eBi = Ei
para designar los elementos de Bn. Con esta convención, un multivector A
de Cln puede representarse por la ecuación:
A =
2n∑
i=1
aiEi,
mientras que el vector a viene dado por:
a =
n+1∑
i=2
aiEi.
Vimos además, que el conjunto:
Bn = {1, e1, e2, e3, e2e3, e3e1, e1e2, e1e2e3}
= {1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, I}
es una base de Cl3, donde los bivectores básicos se ubicaron en el orden e2e3,
e3e1, e1e2.
262 CAPÍTULO 6. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA
Realizando las operaciones del caso se construyó la tabla,
Cl3 1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 I
1 1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 I
E2 E2 1 E7 −E6 I −E4 E3 E5
E3 E3 −E7 1 E5 E4 I −E2 E6
E4 E4 E6 −E5 1 −E3 E2 I E7
E5 E5 I −E4 E3 −1 −E7 E6 −E2
E6 E6 E4 I −E2 E7 −1 −E5 −E3
E7 E7 −E3 E2 I −E6 E5 −1 −E4
I I E5 E6 E7 −E2 −E3 −E4 −1
Figura 6.8
Si miramos las entradas correspondientes, se observa con relación a E2, E3,
E4 y E5, E6, E7, que presentan simetŕıa con respecto a la diagonal principal,
excepto por el signo. Esta situación significa que tanto el producto de los
vectores como el de los bivectores básicos es antisimétrico, lo cual era de
esperarse teniendo en cuenta la ortogonalidad de los dos sistemas. Por otra
parte observe que la última columna coincide con la última fila, significando
que el trivector I conmuta con cada uno de los elementos de la base. Además
I2 = −1.
De aqúı se sigue que el seudoescalar I conmuta con cada uno de los
vectores del espacio tridimensional
Ia = aI.
Esta relación es cierta para el seudoescalar de los espacios de dimensión
impar, por el contrario en los de dimensión par, I anticomnuta con cada uno
de los vectores, como es el caso de Cl2, ver la tabla de la figura 6.2.
Por otra parte, tomando el producto E2I = IE2 = E5, se nota que el
resultado es el bivector perpendicular a E2. Lo mismo ocurre con respecto a
E3 y E6 y E4 y E7.
Considerando el producto e3e2e1, si se multiplica a izquierda por I, des-
pués de realizar operaciones se obtiene la igualdad:
(e1e2e3)(e3e2e1) = 1.
En igual forma al multiplicar a derecha por I se tiene:
(e3e2e1)(e1e2e3) = 1.
6.3. EL ÁLGEBRA CLN 263
Las anteriores expresiones permiten deducir que e3e2e1 es el inverso de I,
esto es:
I−1 = e3e2e1.
Además,
I = e1e2e3
= −e1e3e2
= e3e1e2
= −e3e2e1
De estas igualdades, sigue que:
−I = e3e2e1.
Finalmente por comparación se escribe:
−I = I−1.
EJERCICIOS
1. Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos, con sus respectivas
operaciones, determina un espacio vectorial.
a) El conjunto de los polinomios de grado n.
b) El conjunto de las matrices n×m.
c) El espacio nulo N(L).
Donde L(y) = 0 es una ecuación lineal homogénea de orden n, L
es el operador diferencial lineal de orden n.
El espacio nulo N(L) es el conjunto de las soluciones de L(y) = 0.
2. Construir la tabla del producto geométrico de los vectores ortonormales
{e1, e2, e3} de Cl3. ¿Generan estos elementos un grupo finito?
264 CAPÍTULO 6. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA
6.4. La transformación dual
La transformación dual es un concepto de importancia para el álgebra geométri-
ca.
Definición 6.4.1. Si eB es un k-vector básico de Cln, el dual de eB, notado
e∗B se define por la igualdad
e∗B = eBI
−1.
Donde I−1 es el inverso del seudoescalar I de Cln.
Considerando la ecuación
EiE
∗
i = EiEiI
−1.
Como EiEi ∈ R, se puede deducir que
EiE
∗
i = kI, donde | k | = 1.
Por otra parte es fácil comprobar que, en general, para todo Ei;
(((E∗i )
∗)∗)∗ = Ei.
Si I2 = 1, esto es, II = 1; entonces
((E∗i ))
∗ = −I(−IEi)
= IIEi
= Ei.
Volviendo a la tabla 6.8 se observa que,
E∗2 = E2I
−1 = −IE2 = −E5
E∗3 = E3I
−1 = −IE3 = −E6
E∗4 = E4I
−1 = −IE4 = −E7.
De las relaciones anteriores se obtiene:
IE2 = E5
IE3 = E6
6.4. LA TRANSFORMACIÓN DUAL 265
IE4 = E7.
Teniendo en cuenta que E∗5 = E2, E
∗
6 = E3, E
∗
7 = E4, se puede ahora expresar
cada uno de los bivectores básicos como el producto del seudoescalar I y un
vector dual.
Debido a que el producto a ∧ b está definido por
a ∧ b = (λ2μ3 − λ3μ2)E5 + (λ3μ1 − λ1μ3)E6 + (λ1μ2 − λ2μ1)E7,
(a ∧ b)I−1 = (λ2μ3 − λ3μ2)E∗5 + (λ3μ1 − λ1μ3)E∗6 + (λ1μ2 − λ2μ1)E∗7
= (λ2μ3 − λ3μ2)E2 + (λ3μ1 − λ1μ3)E3 + (λ1μ2 − λ2μ1)E4
= (a× b).
Pero,
(a ∧ b)I−1 = −I(a ∧ b) = a× b.
De esta última expresión se deriva una relación para el doble producto a×b×c,
a× b× c = −Ia ∧ [−I(b ∧ c)]
=
1
2
I[aI(b ∧ c)− (b ∧ c)Ia]
= −a · (b ∧ c).
La igualdad, a× b = (a∧ b)I−1 muestra cómo el vector a× b se convierte en
un bivector mediante la transformación dual. Como solamente en el espacio
tridimensional la transformación dual de un bivector es un vector, se tiene
la razón de la falta de sentido del producto cruz en espacios de dimensión
diferente.
El operador dual es distributivo con respecto a la suma y el producto
escalar, en efecto, para todo aiEi, bjEJ
(aiEi + bjEj)
∗ = −I(aiEi + bjEj)
= ai(−IEi) + bj(−IEj)
= ai(Ei)
∗ + bj(Ej)∗.
Usando la anterior propiedad repetidas veces sobre cada elemento de la base
se concluye que [
ai
2n∑
i=1
Ei
]∗
= ai
2n∑
i=1
(Ei)
∗.
266 CAPÍTULO 6. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA
La igualdad se traduce diciendo que para todo multivector A
A∗ = ai
2n∑
i=1
(Ei)
∗.
Ejemplo 6.4.1. Sea A = 2E3 − E5, entonces
A∗ = −2E6 − E2 = −E2 − 2E6.
6.4.1. Propiedades generales
El axioma 6.3.5 establece que si a ∈ Rn, entonces aa = a ∗ a ∈ R. Usando
este hecho se puede derivar el producto escalar de dos vectores diferentes en
términos del producto geométrico. Si a, b son elementos de Rn
(a+ b)(a+ b) = (a+ b) ∗ (a+ b)
aa+ ab+ ba+ bb = a ∗ a+ 2a ∗ b+ b ∗ b.
Cancelando términos semejantes y dividiendo por 2 se llega a la igualdad
1
2
(ab+ ba) = a ∗ b.
La suma 1
2
(ab+ ba) se denomina el producto anticonmutador y se nota a×b,
Por su parte, la diferencia
1
2
(ab− ba)
se denomina el producto conmutador y se nota por a×b.
Como
b×a = 1
2
(ba− ab),
Se tiene la igualdad
a×b = −b×a.
Por otra parte al sumar a×b con a×b se obtiene
1
2
(ab+ ba) +
1
2
(ab− ba) = ab.
6.4. LA TRANSFORMACIÓN DUAL 267
La anterior igualdad se puede expresar mediante la relación
ab = a×b+ a×b.
En Cl2 la expresión
ab = a · b+ a ∧ b
es un caso particular de esta relación general.
Como en Cln los ei ∈ Rn son ortogonales,
ei×ei �= 0 y ei×ej = 0, i �= j.
Por lo tanto, si i �= j
eiej = ei×ej + ei×ej
= ei×ej ,
ejei = ej×ei + ej×ei
= ej×ei.
Como ei×ej = −ej×ei, se concluye que
eiej = −ejei.
Para los multivectores A, B de Cln, teniendo en cuenta la propiedad distri-
butiva; se puede escribir
AB =
1
2
(AB +BA) +
1
2
(AB −BA).
La relación anterior lleva a expresar el producto geométrico como la suma
AB = A×B + A×B.
EJERCICIOS
1. Demostrar que cada una de las siguientes expresiones son formas equi-
valentes del producto cruz a× b.
a) −Ia ∧ b.
268 CAPÍTULO 6. ÁLGEBRA GEOMÉTRICA
b) b · (Ia).
c) −a(Ib).
2. Interprete geométricamente cada una de la formas anteriores y demues-
tre que
a) a× b× c = −(a · bc− a · cb).
b) a · (b× c) = a ∧ b ∧ cI−1.
6.4.2. Involuciones
Una involución es una operación que env́ıa cualquier elemento en śı mis-
mo cuando se aplica dos veces. Las involuciones más usadas en el álgebra
geométrica son la reversión y la conjugación. Como en Cln, para todo Ei de
Rn, E2i �= −1, no se definirá el segundo término; pero de todas maneras hay
que aclarar que en este álgebra la conjugación es equivalente a la reversión.
Definición 6.4.2. Sea eB un k-vector básico